最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面垂直的判定》2

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

问题导学

一、直线与平面垂直的证明

活动与探究1

如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．

迁移与应用

1．一直线和三角形两边所在直线都垂直，则该直线和三角形所在平面的位置关系是__________．

2．在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，BA＝BC，O是AC的中点，则AC与平面VOB的关系是________．

利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是在平面内找(或作)两条相交直线，再证明已知直线与这两条相交直线都垂直．

二、直线与平面垂直定义的应用

活动与探究2

如下图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．

迁移与应用

1．如图，P为△ABC所在平面外的一点，且P A，PB，PC两两垂直，则P A与BC的关系是__________．

2．如下图，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B．求证：CD⊥AB．

在立体几何中，为证两直线垂直，常需证明一条直线与另一条直线所在的平面垂直．这体现了线线垂直与线面垂直的相互转化，也是证明两直线垂直的重要方法．

三、直线与平面所成的角

活动与探究3

如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．

迁移与应用

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．

求斜线与平面所成角的步骤：

①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；

③把该角放入三角形中计算．

当堂检测

1．下列命题中正确的个数是()

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()

A．平面DD1C1C B．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB

3．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()

A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交

C．a⊥b D．a与b不一定垂直

4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为__________．

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若P A⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为__________．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．任意一条垂直l⊥α垂线垂面垂足

预习交流1(1)提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．

(2)提示：l⊥a．

2．(1)两条相交直线(3)a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b

预习交流2(1)提示：定理中“相交”二字不可去掉，否则直线与平面不一定垂直．

(2)提示：设法在平面内找(或作)两条相交直线与已知直线垂直．

3．(1)斜线斜足(2)垂足O和斜足A(3)射影锐角(4)直角0°0°≤θ≤90°课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1思路分析：由于D是AC中点，SA＝SC，则SD是△SAC的高，可证△SDB≌△SDA．由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．

证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，

∴△ADS≌△BDS．

∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，

∴SD⊥平面ABC．

(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．

又由(1)知SD ⊥BD ，

于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥平面SAC ． 迁移与应用 1．垂直 2．AC ⊥平面VOB

活动与探究2 思路分析：要证AE ⊥平面PBC ，∵AE ⊥PC ，只需证AE ⊥BC ； 要证AE ⊥BC ，只需证BC ⊥平面P AC ．

证明：∵P A ⊥⊙O 所在平面，而BC 在⊙O 所在平面内，∴P A ⊥BC ． 又∵AB 为⊙O 直径，∴AC ⊥BC ．

又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．∵AE ⊂平面P AC ， ∴BC ⊥AE ．

又∵AE ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ， ∴AE ⊥平面PBC ． 迁移与应用 1．垂直

2．证明：∵EA ⊥α，CD ⊂α，

根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA ．同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD ． 又EA ∩EB ＝E ，

∴CD ⊥平面AEB ．又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB ．

活动与探究3 解：由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影， ∴MA ⊥平面ABC ．∴MC 在平面CAB 内的射影为AC ． ∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角．

又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°，∴MC ＝BM ·sin ∠MBC ＝5sin 60°＝5×

3

2＝5

2

3． 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－BA 2＝52－42＝3．

在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3523＝253．即MC 与平面CAB 所成角的正弦值为

2

5

3．

迁移与应用 解：取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ．因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1

为正方形，所以EM ∥AD ．又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，

从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．

设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3，于是在Rt △BEM 中，

sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2

3

．

【当堂检测】

1．B 2．B 3．C 4．1

3

5．4