6第六讲势能机械能守恒功能原理

A保 = F 保 dr = (E pb E pa ) =E pa E pb
a
b
某点a的势能 注意：
E pa = F 保 d r E pb
a
b
某点a的势能定义
E pa = F 保 d r
a
b
说明: 1.某点势能的大小是相对零势能点而言

势能曲线
Ep mgz
Ep
1 2 Ep kx 2
Mm Ep G r
Ep
O
Ep
r
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
' '
例1（教材P64例4-4）如图所示弹性系数为k的轻质弹 簧挂在天花板上，原长在 o 处，其下挂一质量为m的 物体，平衡时物体在O 处，且设平衡处为坐标原点和 所有势能的零点，求当物体处于 o 处时系统的重力势 能、弹性势能及总势能。
P
R
A B 只有保守内力做功
系统机械能守恒 EB E A
取图中点 B 为重力势能零点
o
B
30
A
Ep 0
系统机械能守恒 EB 即
E A , 图中 B 点为重力势能零点
1 1 2 2 mvB kR mgR(2 sin 30) (1) 2 2
P
又B点运用牛顿第二定律
本节内容提纲
• 一 势能 • 二 系统功能原理 • 三 机械能守恒 重点：机械能守恒条件 • 四机械能守恒、功能原理的应用
4-3 势能:
与物体间相互作用及相对位置有关的能量.
zb
１．保守力做功特点：
A重ab mgdz ( mgzb mgza )
za
A弹ab
A引ab
1 1 2 kxdx ( kxb kxa 2 ) 2 2 xa
2.两点间的势能差与零势能点无关
某点a的势能定义 常取:
重力势能：
0
E pa =
b ( E p 0)
a

F保 dr
E p重 mgdz mgz
z
弹性势能： 平衡位置（变形为0处）（x=0）弹性零势能点
E p弹 kxdx 1 kx 2 2 x
引力势能：
0
mM Mm E p引 G 2 dr G r r r
飞船摆脱太阳引力在地球上的发射速度，以上计算 忽略了地球引力，。 飞船在摆脱太阳引力的同时必须摆脱地球引力， 第二宇宙速度
v2 11.2 10 m / s
3
所以发射能量必须满足：
1 1 1 2 2 2 mv 3 mv 2 mv 3 2 2 2
第三宇宙速度： v
3
16.7 10 (m / s) v v3
机械能： E
Ek Ep
A外 A非保内 E E0 E
质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和。
质点系的功能原理： A外 A非保内 E E0 E 注意： 1）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系， 只须计算保守内力之外的其它力的功。 而动能定理给出的是动能的改变与功的关系， 应计算包括保守力在内的所有力的功； 2）功能原理也只适用于惯性系。
R
v kR mg m (2) R
所以
2 B
o
B
30
A
2mg k R
Ep 0
第二宇宙速度—摆脱地球束缚的逃逸速度
例题3：由地面沿铅直方向发射质量为m的宇 宙飞船，如图所示。试求宇宙飞船能脱离地 球引力所需的最小初速度。不计空气阻力及 其它作用力。 解： 1.对象：飞船、地球组成系统 2.受力分析：保内：万有引力；非保 内：无；外力作用忽略（空气阻力） 3.系统机械能守恒： 1 mM 2 初态机械能： E0 mv2 G 2 R 末态机械能： v2 最小 v 0 G Mm 0 r
飞船相对于太阳的速度 v3 2GM s 42.2 10 3 m / s Rs
飞船相对于太阳的速度 v3
2GM s 42.2 10 3 m / s Rs
由于地球相对于太阳速度为29.88×103m/s,如果让飞 船发射方向与地球公转方向一致，则飞船发射速度为 飞船相对于地球的速度 静系S —太阳 动系
(l - b) b
y 0
m dv dv dv dy m m v （1）+（2） gy ma m L dt dy dy dt
y
g 1 2 ydy vdv v L 2 b 0
L
v
b v gl (1 2 ) l
2
例 2 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点 P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆 环上运动(不计摩擦).开始小球静止于点A,弹簧处于自 然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的底 端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数. 解:以弹簧、小球和地球为一系统，
y
(l -b) b
0
得
b2 v gl (1 2 ) l
例题1:如图，一柔软链条长为l , 桌面光滑，悬垂长度为 b 。开始链条静止。求：当链条全部脱离桌子时的速度。 解法二：动能定理 取整个链子为研究对象 受力分析：只有重力 G (y)做功，由动能定理：
1 2 G(y)dy mv 0 2 b
E 0
机械能守恒
1 mM 2 mv2 G 0 2 R
第二宇宙速度
v2
2GM 3 11.2 10 m / s R
引力常量 地球质量
G 6.67259 1011 N m2 kg 2
M 5.98 1024 kg
地球半径
R 6.37 10 m
6
第一宇宙速度 —— 绕地球作圆运动的环绕速度 • 维系飞船绕地球作园运动的力只有万有 引力， 2 mv Mm • 由牛顿第二定律： 1
解：建立如图所示坐标系， 设平衡时弹簧伸长了 x0
kx0 mg
在参考点o 处势能为零
E p (o )= ' F保 dr
' o o
'
E p (o )= ' F保 dr
' o o
1）o 处重力势能：
E p重 (o ) ( mg )dx
' x0
0
mg dx mgx0
Potential
Energy
Law of Conservation of Mechanical
机械能守恒原理
• 基本概念：势能，机械能 • 基本规律：功能原理
机械能守恒
作业：练习3 运动定律及其力学中的 守恒定律
教学基本要求：
掌握功能原理和机械能守恒 掌握运用功能原理和机械能守恒分析 问题的思路和方法。
G
GM v1 r
r
2

r
h R r (R h) R
GM 3 v 7 . 91 10 (M / S) 第一宇宙速度: 1 R
第三宇宙速度—摆脱太阳系束缚的速度
对于飞船(m)与太阳(Ms)所组成的系统，令Rs为太阳 半径。 系统机械能守恒： mM s 1 2 G 初态机械能：E0 mv3 2 Rs Msm 最小 v 0 G 0 E 0 末态机械能： v3 r mM s 1 2 G mv3 0 机械能守恒 2 Rs
L
y
(l -b) b
m 1 2 ygdy mv L 2 b
b2 v gl (1 2 ) l
L
0
y
dy
方法三：由牛二律求解。
取整个链子为研究对象
受力分析：只有重力 ，由牛二律： 设t时刻链条下落y，桌面上还有（L-y）
m m y : yg T(y) ya (1) L L (L y) : T(y) m (L y)a ( 2) L
s —地球
运动的物体 —飞船
v船太 v船地 v地太
v船地 v船太 -v地太
v船地 : v3 42.2 103 29.8 103 12.4 103 (m / s)
飞船相对于地球的速度
3 v3 12.4 10 (m / s)
17
例题1:如图，一柔软链条长为l , 桌面光滑， 悬垂长度为 b 。开始链条静止。求：当链条 全部脱离桌子时的速度。 解法一：选链─桌─地系统 机械能守恒
建坐标（重力势能零点在原点）
m b E0 0 bg ( ) l 2
1 l 2 E mv mg ( ) 2 2
m b 1 l 2 bg ( ) mv mg ( ) l 2 2 2
2．势能： 两点间的势能差定义：
A保ab = F 保 d r = (E pb E pa ) EP =E pa E pb
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
说明： 保守力做功等于势能增量的负值， 或保守力的功等于系统始末位置的势能之差。
注意： 1）势能为保守力的施力物体和受力物体组成的 系统所拥有，单个物体无势能。 2）只有保守力才能引入势能 3）势能是状态量，是空间坐标的函数
机械能守恒定律也可以表示为： ΔEk
ΔEp
表明：如果在某一过程中作用于系统的外力和非 保守内力都不对系统作功，或作功之代数和为零， 则系统的机械能在该过程中保持不变，即质点系 的总机械能是守恒的。
说明：
Ek Ek 0 ( Ep Ep0 ) ΔEk ΔEp
1）机械能守恒定律的条件是：