山东省临沂市郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学(理)试题
2014临沂一模数学理
临沂市高三教学质量检测考试理科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12iz i -=+在复平面上对应的点的坐标为 (A) 11(,)55- (B)31(,)55- (C) 11(,)55(D)13(,)55-2．已知集合{}{}2|12,|log 2A x x B x x =-<=<，则A B = (A)(-1,3) (B)(0,4) (C)(0,3) (D)(-1,4)3．若向量(2cos ,1),)a b αα=-=，且//a b ，则sin α=(A)2 (B)2- (C) 4π (D)4π-4．下列说法正确的是(A)“a>b ”是“22a b >”的充分不必要条件(B)命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是：200,10x R x ∃∈+< (C)若p q ∧为假命题，则p 、g 均为假命题(D)若(1)f x +为R 上的偶函数，则()f x 的图象关于直线x=l 对称 5．函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象为6．若曲线()sin 1f x x x =+在2x π=处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则251()ax x-展开式中x 的系数为(A)40 (B) -10 (C)10 (D) -407．已知31,n a n n N *=+∈，如果执行右边的程序框图，那 么输出的S 等于(A)17.5 (B)35 (C)175 (D)350 8．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．若某同学根据上表中的最后两组数据(5，2)和(6，0)求得的直线方程为''y b x a =+，则以下结论正确的是(A)ˆˆ','bb a a >> (B)ˆˆ','b b a a >< (C) ˆˆ','bb a a << (D)ˆˆ','b b a a << 9．已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等积为(A)3(B)43(C)23 (D)310.设1,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M ，使11()0FM OF OM ⋅+=，O 为坐标原点，且12F M M = ，则该双曲线的离心率为1第Ⅱ卷 （共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题纸给定的横线上． 11.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生， 将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60）， [60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到 如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学 生500名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的 学生人数为_________． 12.在△ABC,中，,2,33ABC AB BC π∠===，则sin ABC ∠=_________．13.若变量x ，y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且z=5y-x 的最大值为m ，最小值n ，则m+n=___________．14．在长方形区域{}(,)|02,01x y x y ≤≤≤≤中任取一点P ，则点P 恰好取自曲线cos(0)2y x π=≤≤与坐标轴围成的区域内的概率为____________．15．已知()f x 为定义在(0，+∞)上的可导函数，且()'()f x x f x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16（本小题满分12分）已知函数21()cos (0)2f x xcos x x ωωωω=+->的最小正周期是π，将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象． (I)()g x 的解析式；(Ⅱ)在△ABC.中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4(),225g A b π-==，△ABC 的面积为3，求边长a 的值．17．（本小题满分12分） 某工厂生产A ，B 两种元件，已知生产A 元件的正品率为75%，生产B 元件的正品率为80%，生产1个元件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个元件B ，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元．(I)求生产5个元件A 所得利润不少于140元的概率；(Ⅱ)设X 为生产1个元件A 和1个元件B 所得总利润，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为菱形，14AA= 3,AC =115,60BC BC ABB ==∠= ，D 为AB 的中点． (I)求证：111B D BC ⊥；(Ⅱ)求直线1AA ,与平面1CB D 所成角的正弦值． 19.（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,4,n n n a S a a n N *+==⋅∈． (I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与的前n 项和为n T ，求证：1442n n T n <<+． 20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=与双曲线221(14)41x y v v v+=<<--有公共焦点，过椭圆C 的右顶点B 任意作直线l ，设直线l 交抛物线22y x =于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥ (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)在椭圆C 上，是否存在点R(m ，n)，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点M 、N ，且△OMN 的面积最大？若存在，求出点R 的坐标及对应的△OMN 的面积；若不存在，请说明理由． 21.（本小题满14分） 已知函数()ln f x x =.( I)若直线y x m =+与函数()f x 的图象相切，求实数m 的值；(Ⅱ)证明曲线()y f x =与曲线1y x x=-有唯一公共点； (Ⅲ)设0a b <<，比较()()f b f a b a --与2a b+的大小，并说明理由．。
山东省临沂市2014-2015学年高三上学期期中考试理科数学试题word版含答案
高三教学质量检测考试理科数学2014.11本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集2,{|1},{|20}U R A x x B x x x ==>=->，则()U C AB =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|1x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|02x x ≤≤ 2、下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2(1)y x =- B ．2xy -= C ．ln y x = D ．y3、已知命题:22;p q ≤ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝4、设函数()()23,(2)f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +5、如图，AB 是O 的直径，点,C D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，,AB a AC b ==，则AD =（ ）A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b + D ．12a b - 6、函数(01)xxa y a x=<<的图象的大致形状是（ ）7、已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan2α=（ ）A ．13-B ．12- C ．2 D ．3 8、给出下列四个结论：①函数()2log f x x =是偶函数；②若393,log a x a ==，则x =③若,1x x R e x ∀∈≥+，则0:,1x p x R e x ⌝∀∈≤+；④“3x >”是“21x ->”的充分不必要条件，其中正确的结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．3 9、已知函数()sin()f x x ϕ=-，且()30f x dx π=⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．23x π=B ．56x π=C ．3x π=D ．6x π= 10、设()22x x f x -=-，若当,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，21()(3)0cos 1f m f m θ-+->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,1-C ．()[),21,-∞-+∞D ．(),2(1,)-∞-+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
【数学】山东省临沂市郯城一中2014届高三上学期第一次月考(理)27
山东省临沂市郯城一中2014届高三上学期第一次月考（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）共两卷。
其中第Ⅰ卷共60分，第Ⅱ卷共90分，两卷合计150分。
答题时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={0，1，2，-1}，N={0， 1，2，3}，则M ∩N=A.{1，2}B.{0，1，2}C.{0，1}D. {0，1，-1} 2．已知幂函数f （x ）的图象经过点（9，3），则f （2）-f （1）≈ A ．3B．CD ．13．在△ABC 中，A=60°，B=75°，a=10，则c 等于 A． B．C． D．34 . 若)1(2)(2f x x x f '+=，则)0(f '等于 ( ) A ．0 B.4- C ．2- D ．25．将函数sin(23)y x π=-的图象先向左平移6π个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为A ．cos y x =-B ．sin 4y x =C ．sin()6y x π=- D ．sin y x =6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14]D ．(－∞，3)7．已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示数列{a n }的前n 项的和，若a 1=3，a 2a 4=144，则S 5的值为A ．692B ．69C ．93D ．1898．若函数x y a b =+的图象如图1，则函数11y b x a=+++的图象为图19．函数)23(log 2+-=x x y a ，当3=x 时0<y ，则此函数的单调递增区间是 （ ）A ．)23,(-∞ B ．)1,(-∞ C ．),23(∞+ D ．),2(∞+ 10．已知函数f （x ）=Asin(ωx ＋ϕ)（A>0, ω>0）的图象与直线y=b （0<b<A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8,则函数f(x)的单调递增区间是 （ ）. A ．[6k π, 6k π＋3]，k ∈Z B ．[6k ―3, 6k]，k ∈Z C ．[6k, 6k ＋3]，k ∈Z D ．无法确定11.已知函数2()2,(13)f x ax ax b a =++<<，且a x x x x -=+<1,2121，则下列说法正确的是（ ）。
2014山东高考数学(理)真题及详细答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
数学_2014年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z =1−i 2+i在复平面上对应的点的坐标为（ ）A (15，−15) B (35，−15) C (15，15) D (15，−35)2. 已知集合A ={x||x −1|<2}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =( ) A (−1, 3) B (0, 4) C (0, 3) D (−1, 4)3. 若向量a →=(2cosα, −1)，b →=(√2, tanα)，且a → // b →，则sinα=( ) A √22B −√22 C π4 D −π4 4. 下列说法正确的是（ ）A “a >b”是“a 2>b 2”的充分不必要条件B 命题“∀x ∈R ，x 2+1>0”的否定是：∃x 0∈R ，x 02+1<0 C 若p ∧q 为假命题，则p 、g 均为假命题 D 若f(x +1)为R 上的偶函数，则f(x)的图象关于直线x =1对称5. 函数f(x)＝sinx ⋅ln|x|的部分图象为（ ）A BC D6. 若曲线f(x)=xsinx +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直，则(ax 2−1x )5展开式中x 的系数为（ ）A 40B −10C 10D −407. 已知a n =3n +1，n ∈N ∗，如果执行如图的程序框图，那么输出的S 等于（ ）A 17.5B 35C 175D 350 8. 已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ̂=b 数据(5, 2)和(6, 0)求得的直线方程为y =b′x +a′，则以下结论正确的是（ ）A b ̂>b′，a ̂>a′B b ̂>b ，a ̂<a′C b ̂<b′，a ̂<a′D b ̂<b′，a ̂>a′9.已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为√2，则该三棱锥的体积为（ ） A √23 B 43 C 23 D 2√2310.设F 1，F 2是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0（O 为坐标原点），且|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A√2+12B √2+1 C√3+12D √3+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写在答题纸给定的横线上．11. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生500名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．12. 在△ABC 中，∠ABC =π3，AB =2，BC =3，则sin∠BAC =________．13. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤82y −x ≤4x ≥0y ≥0且z =5y −x 的最大值为a ，最小值为b ，则a +b的值是________．14. 在长方形区域{(x, y)|0≤x ≤2, 0≤y ≤1}中任取一点P ，则点P 恰好取自曲线y =cosx(0≤x ≤π2)与坐标轴围成的区域内的概率为________．15. 已知f(x)为定义在(0, +∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)，则不等式x 2f(1x )−f(x)<0的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数f(x)=√3sinωxcosωx +cos 2ωx −12(ω>0)的最小正周期是π，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象． （1）求g(x)的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g(π2−A)=45，b =2，ABC 的面积为3，求边长a 的值．17. 某工厂生产A ，B 两种元件，已知生产A 元件的正品率为75%，生产B 元件的正品率为80%，生产1个元件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个元件B ，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元．（1）求生产5个元件A 所得利润不少于140元的概率；（2）设X 为生产1个元件A 和1个元件B 所得总利润，求X 的分布列和数学期望．18. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为菱形，AA 1=4，AC =3，BC =B 1C =5，∠ABB 1=60∘，D 为AB 的中点． （1）求证：B 1D ⊥B 1C 1；（2）求直线AA 1与平面CB 1D 所成角的正弦值．19. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2,4S n =a n ⋅a n+1,n ∈N ∗． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{1a n2}与的前n 项和为T n ，求证：n 4n+4<T n <12．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 24−v +y 21−v =1(1<v <4)有公共焦点，过椭圆C 的右顶点B 任意作直线l ，设直线l 交抛物线y 2=2x 于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点R(m, n)使得直线l:mx +ny =1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点M 、N ，且△OMN 的面积最大？若存在，求出点R 的坐标及对应的△OMN 的面积；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=lnx ．（1）若直线y =x +m 与函数f(x)的图象相切，求实数m 的值； （2）证明曲线y =f(x)与曲线y =x −1x 有唯一公共点；（3）设0<a <b ，比较f(b)−f(a)b−a与2a+b的大小，并说明理由．2014年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. C3. B4. D5. A6. D7. A8. B9. C 10. D 11. 400 12.3√211413. 8 14. 1215. {x|0<x <1}16. 解：（1）∵ f(x)=√3sinωxcosωx +cos 2ωx −12(ω>0)=√32sin2ωx +1+cos2ωx 2−12 =√32sin2ωx +12cos2ωx =sin(2ωx +π6)．∵ f(x)的最小正周期为π，且ω>0，∴ 2π2ω=π，∴ ω=1．∴ f(x)=sin(2x +π6)．将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数y =sin(x +π6)的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位， 得到函数y =sinx 的图象， 故g(x)=sinx ；（2）由（1）知g(x)=sinx ，∴ g(π2−A)=sin(π2−A)=cosA =45，∵ 0<A <π，∴ sinA =√1−cos 2A =√1−(45)2=35．∵ △ABC 的面积为3，∴ 12bcsinA =3，又∵ b =2，∴ 12×2⋅c ⋅35=3，得c =5．由a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA =22+52−2×2×5×45=13． 得a =√13． 17. 解：（1）设生产的5个元件A 中有正品n 个，由题意得50n −10(5−n)≥140， 解得n ≥196，∵ n ≤5，∴ n =4或n =5，设“生产5个元件A 所得利润不少于140元”为事件A ，则P(A)=C 54×(34)4×14+(34)5=81128．（2）随机变量X 的所有可能取值为90，45，30，−15， P(X =90)=34×45=35， P(X =45)=34×15=320， P(X =30)=14×45=15，P(X =−15)=14×15=120， ∴ X 的分布列为：∴ EX =90×35+45×320+30×15+(−15)×120=66．18. 证明：（1）∵ 四边形AA 1B 1B 为菱形， ∴ AB =AA 1=4，又∵ AC =3，BC =B 1C =5， ∴ BC 2=AB 2+AC 2， 即AC ⊥AB ， 连接AB 1，∵ ∠ABB 1=60∘， ∴ AB 1=AB =4，∴ B 1C 2=AB 12+AC 2， 即AC ⊥AB 1，又∵ AB 1∩AB =A ，AB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， ∴ AC ⊥平面AA 1B 1B ， 又∵ B 1D ⊂平面AA 1B 1B ， ∴ AC ⊥B 1D ，又∵ D 为AB 的中点， ∴ AB ⊥B 1D ，又∵ AC ∩AB =A ，AC ，AB ⊂平面ABC ， ∴ B 1D ⊥平面ABC ， 又∵ BC ⊂平面ABC ， ∴ B 1D ⊥BC ， 又∵ BC // B 1C 1， ∴ B 1D ⊥B 1C 1； 解：（2）以D 为坐标原点建立空间坐标系，则D(0, 0, 0)，B 1(0, 2√3, 0)，C(−2, 0, 3)，A(−2, 0, 0)，A 1(−4, 2√3, 0)， ∴ DB 1→=(0, 2√3, 0)，DC →=C(−2, 0, 3)，AA 1→=(−2, 2√3, 0)， 设平面CB 1D 的一个法向量为n →=(x, y, z)， 由{n →⊥DB 1→n →⊥DC→得：{n →⋅DC →=0˙， 即{2√3y =0−2x +3z =0， 令x =3，则n →=(3, 0, 2)， 设直线AA 1与平面CB 1D 所成角为θ， 则sinθ=|n →|⋅|AA 1→|˙=6√13×4=3√1326． 19. （1）∵ 4S n =a n ⋅a n+1,n ∈N ∗①，∴ 4a 1＝a 1⋅a 2， 又a 1＝2， ∴ a 2＝4．当n ≥2时，4S n−1＝a n−1⋅a n ②，①-②得：4a n ＝a n ⋅a n+1−a n−1⋅a n ， 由题意知a n ≠0， ∴ a n+1−a n−1＝4，当n ＝2k +1，k ∈N ∗时，a 2k+2−a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴ a 2k ＝4+4(k −1)＝4k ＝2×2k ；当n ＝2k ，k ∈N ∗时，a 2k+1−a 2k−1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k−1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴ a 2k−1＝2+4(k −1)＝4k −2＝2×(2k −1)． 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N ∗； （2）证明：∵ 1an 2=14n 2>14n(n+1)=14(1n −1n+1)，∴ T n =1a 12+1a 22+⋯+1an2>14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4． 又∵ 1an 2=14n 2<14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)∴ T n =1a 12+1a 22+⋯+1a n2<12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．即得，n4n+4<T n <12．20. 解：（1）∵ 1<v <4，∴ 双曲线的焦点在x 轴上，设F(±c, 0)， 则c 2=4−v +v −1=3，由椭圆C 与双曲线共焦点，知a 2−b 2=3，设直线l 的方程为x =ty +a ，代入y 2=2x ，可得y 2−2ty −2a =0， 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则y 1+y 2=2t ，y 1y 2=−2a ， ∵ OP ⊥OQ ，∴ x 1x 2+y 1y 2=a 2−2a =0， ∴ a =2，b =1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）在△MON 中，S △OMN =12|OM||ON|sin∠MON =12sin∠MON 当∠MON =90∘时，sin∠MON 有最大值12，此时点O 到直线L 的距离为d =√m 2+n 2=√22． ∴ m 2+n 2=2． 又∵ m 2+4n 2=4，联立{m 2+n 2=2m 2+4n 2=4， 解得m 2=43，n 2=23，此时点R(2√33, ±√63)或(−2√33, ±√63)，△MON 的面积为12．21. 解：（1）f′(x)=1x，设切点为(x 0, y 0)，则k =1x 0=1，∴ x 0=1，y 0=lnx 0=0，代入y =x +m ．得m =−1．（2）令ℎ(x)=f(x)−(x −1x )=lnx −x +1x ， 则ℎ′(x)=1x −1−1x 2=−x 2+x−1x 2=−(x−12)2−34x 2<0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减．又ℎ(1)=ln1−1+1=0，∴ x =1是函数ℎ(x)唯一的零点， 故点(1, 0)是两曲线唯一的公共点． （3）f(b)−f(a)b−a=lnb−lna b−a=lnb ab−a ，要比较=ln bab−a与2a+b的大小，∵ b−a>0，∴ 只要比较ln ba 与2(b−a)b+a的大小．∵ ln ba −2(b−a)b+a=ln ba−2(ba−1)ba+1，构造函数φ(x)=lnx−2(x−1)x+1，(x>1)则φ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2，显然φ′(x)>0，∴ φ(x)在(1, +∞)上单调递增．又当x=1时，φ(1)=0，∴ 当x>1时，φ(x)>0，即lnx−2(x−1)x+1>0．则有ln ba −2(b−a)b+a>0，即lnb−lnab−a>2a+b成立．即得f(b)−f(a)b−a >2a+b．。
(新)山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学(理)试题(word版)
理 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、.已知全集U=R ，集合{}{}2320,0U A x x x B x x a C B A =-+>=-≤⊆，若，则实数a的取值范围是（） A.()1-∞， B.(]2-∞，C.[)1+∞，D.[)2+∞，2.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递增的是（） A.1y x x=+B.x x y e e -=-C.3y x x =-D.ln y x x =4.函数()22x f x x =-零点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.下列命题中的假命题是 A.0,32x x x ∀>>B.()0,,1x x e x ∀∈+∞>+C.()0000,,sin x x x ∃∈+∞<D.00,lg 0x R x ∃∈< 6.若实数11.ea dx x =⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为（）A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=-7.已知函数()y xf x '=-的图象如图（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，()y f x =的图象可能是（ ）8.直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切时，a=（ ）A.1-B.1C.2-D.29.对于函数()22cos sin 11212f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列选项中正确的是（ ）A.()42f x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，内是递增的B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的最小正周期为2πD.()f x 的最大值为110.定义全集U 的子集P 的特征函数()1,0,p U U x Pf x C P x C P ∈⎧=⎨∈⎩，这里表示集合P 是全集U 的补集.已知,P U Q U ⊆⊆，给出下列命题：①若P Q ⊆，则对于任意()()P Q x U f x f x ∈≤，都有；②对于任意()(),1U p x U fC p x f x ∈=-都有；③对于任意()()(),P Q p Q x U f x f x f x ⋂∈=⋅都有；④对于任意()()(),P Q p Q x U f x f x f x ⋃∈=+都有.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. 在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S = 12.已知,sin 2cos tan 2R αααα∈+==__________. 13.定义在R 上的函数()()()12,10f x f x f x x -=-≤≤满足若当时，()f x =()1x x +；则当()01x f x ≤≤=时，______________________.14.正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()22210n n S n n S n n -+--+=，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.15.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A,B 满足||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{},0,0,1p op OA OB λμλμλμ=+≥≥+≤所表示区域的面积为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sin ,0,2a x x b x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭其中.（I ）若//a b ，求x 的值；（II ）设函数()()(),f x a b b f x =+⋅求的最大值.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,,sin sin sin sin cos21,a b c A C B C C ++=且10.a b +=（I ）求c 的值；（II ）若23B π=，求△ABC 的面积.18.（本小题满分12分）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310041x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭元.（I ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x 的取值范围；（II ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,.22n n n a a a n++== （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有4个元素，求实数λ的取值范围.20.（本小题满分13分）已知函数()2ln 1x f x a x x a a =+->，其中.（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若方程()0f x m -=在区间[]1,1-上有两个不相等实数根，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知()03x aa f x x a->=+，函数.（I ）记()f x 在区间[]0,9上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间（0，9）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.1删4変11。
山东省临沂市郯城一中2014届高三12月月考 数学(理)试题 Word版含答案
时间：120分钟 满分：150分 2013 /12一．选择题：1已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 ( )A.(1,1)-B.1(1,)2--C.(1,0)-D.1(,1)23．将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 ( )A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -=4．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当20()2x f x x x ≤=-时，则(1)f = ( ) A.—3 B.—1 C.1 D.3 5．已知命题p 1：函数22x x y -=-在R 上为增函数，p 2：函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题1:122:123:12,,()q p p q p p q p p ⌝∨∧∨和4:12()q p p ⌝∨中，真命题是 ( )A.13,q qB.23,q qC.14,q qD.24,q q6．已知n n a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = ( )A.9331）（B.9231）（C. 9431）（D.11231）（ 7. 已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t = ( )A.1B.-2C.-2或4D.48．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且 4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于 ( ) A.2113B.5C.41D.25 9、已知0x 是xx f x 1)21()(+=的一个零点，)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，则 ( )A.0)(,0)(21<<x f x fB.0)(,0)(21>>x f x fC.0)(,0)(21<>x f x fD.0)(,0)(21><x f x f10、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是( )A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞-11．已知函数32(),f x x ax bx c =+++下列结论中①00()0x R f x ∃∈=， ②函数()f x 的图象是中心对称图形 ③若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 ④若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=. 正确的个数有 ( )A.1B.2C.3D.412. 对任意实数a,b 定义运算""*如下{)()(b a b a a bb a ≤>=*，则函数x x x f 221log )23(log )(*-= 的值域为 ( )A. [)∝+,0B. (]o ,∝-C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛0,32log 2D. ⎪⎭⎫⎝⎛∝+,32log 2二、填空题：13．不等式 3|1||1|≥++-x x 的解集是 .14．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ，则y x z 23+=的值域是 .15．已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)1,0(∈x 时， x x f 2)(=，则)27(f 的值为16.已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示， 下列关于函数)(x f 的命题； ①函数)(x f 的值域为［1，2］； ②函数)(x f 在［0，2］上是减函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点. 其中正确命题的序号是 .三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省临沂市重点中学2014届高三12月月考 数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．对于任意实数,,,a b c d ，下列五个命题中：① 若,0a b c >≠，则ac bc >；② 若a b >,则22acbc >;③ 若22ac bc >,则a b >； ④若,a b >则11a b <； ⑤若0,a b c d >>>,则ac bd >。
其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知0,0x y >>,且131x y+=，则2x y +的最小值为（ ） A ．726+ B ．23 C ．723+ D ．14【答案】A【解析】3．“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的（ ）条件A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A ．//,////,//m n m n αβαβ且则B ．,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥C ．,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥D ．,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ考点:平行关系，垂直关系。
5．已知圆的方程为08622=--+y x y x,过点)5,3(A 的直线被圆所截,则截得的 最短弦的长度为 （ ）。
.26.36.46.56A B C D6．设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π347．三视图如右图的几何体的全面积是（ ）。
数学_2014年山东省某校高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省某校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 定义差集A −B ={x|x ∈A, 且x ∉B}，现有三个集合A 、B 、C 分别用圆表示，则集合C −(A −B)可表示下列图中阴影部分的为( )A B C D2. 函数：f(x)=3+xlnx 的单调递增区间是（ ）A (0, 1e )B .(e, +∞)C (1e , +∞)D (1e , e) 3. 函数f(x)=sin 4x +cos 2x ，x ∈[0, π6]的最小值是（ ）A 34B 1316C 78D 1 4. 等差数列数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则S 20=( )A 180B 220C 580D 4105. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PA →⋅PB →=0，PB →⋅PC →=0，PC →⋅PA →=0，则三棱锥P −ABC 的侧面积的最大值为（ ）A 2B 1C 12D 14 6. 一动圆圆心在抛物线x 2=4y 上，过点(0, 1)且与定直线l 相切，则l 的方程为（ ）A x =1B x =116C y =−1D y =−116 7. 在算式“4×□+1×△=30”的两个□，△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对(□,△)应为（ ）A (4, 14)B (5, 10)C (6, 6)D (3, 18)8. 如图是一个正方体纸盒的展开图，把1、−1、2、−2、√2、−√2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数的绝对值相等，求不同填法的种数（ ）A 3B 6C 24D 489. 将甲、乙两颗骰子先后各抛掷一次，a ，b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所掷出的点数，若M(a, b)落在不等式x 2+y 2≤m （m 为常数）所表示的区域内，设为事件C ，要使事件C 的概率P(C)=1，则m 的最小值为（ ）A 52B 61C 72D 710. 设z =1+i1−i +(1−i)2，则(1+x)4(1+zx)3展开式中x 5项的系数是（ ）A −2−3iB −12+3iC 1+21iD −35i11. 在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的个数最多是（ ）A 30B 60C 120D 24012. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数3，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是（ ）A 49B 59C 736D 2536二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填写在题中横线上.13. 考察某种针剂对预防疾病的效果，进行的试验数据记录如下：注射针剂患病的有12例，未患病的有48例；没注射针剂患病的有22例，未患病的有35例，根据所学知识，你认为针剂无效这一结论的可能性约为________（百分数要为整数）14. 设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2+1>0的解集是R ；②函数f(x)=log m x 是减函数，如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是________．15. 某班有50个同学，其中男生30人，女生20人，某次导师要抽五位同学打扫环境，依性别按人数作分层抽样，则班上的男同学甲被抽中的概率是________．16. 给出以下几个命题：①由曲线y =x 2与直线y =2x 围成的封闭区域的面积为43； ②已知点A 是定圆C 上的一个定点，线段AB 为圆的动弦，若OP →=12(OA →+OB →)，O 为坐标原点，则动点P 的轨迹为圆；③把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为A 54⋅A 41=480种；④若直线l // 平面α，直线l ⊥直线m ，直线l ⊂平面β，则β⊥α．其中，正确的命题有________．（将所有正确命题的序号都填在横线上）三．解答题17. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，关于x 的不等式x 2cosC +4xsinC +6<0的解集是空集.(1)求角C 的最大值；(2)若c =72，△ABC 的面积S =32√3，求当角C 取最大值时a +b 的值． 18. 高考理科总分得640就能上北京大学，已知一名理科学生的语文、英语、理综合得分分别为135分，125分，260分．数学试卷中12个选择题每题5分，且每题答对的概率都是0.9，4个填空题每题4分且每题答对的概率都是0.8，6个大题前五个每题12分，最后一题14分，前两个大题估计能得满分，最后一个大题估计能得2分．已知第三、四、五个大题每题答对的概率都相等，且至少答对一题的概率为0.992．（1）求这名理科学生数学试卷得分的期望；（2）这名学生能否考上北京大学？19. 正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A −DC −B(Ⅰ)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(Ⅱ)求二面角E −DF −C 的余弦值；(Ⅲ)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．20. 东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙（如图所示）．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次（放入一球就算玩一次）先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、−2元．（一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内）．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内庄家是赢是赔；通过计算，你想到了什么？21. 点A 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)短轴位于x 轴下方的顶点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于P 点，B 点在y 轴上且BP // x 轴，且AB →⋅AP →=9．（1）若B(0, 1)，求椭圆的方程；（2）若B(0, t)，求t 的取值范围．22. 已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f(a ⋅b)=af(b)+bf(a)．（1）求f(0)，f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f(12)=−12，令b n =2n f(2n )，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g(n)，使得S 1+S 2+S 3+...+S n−1=(S n −1)⋅g(n)对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试什么理由．2014年山东省某校高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. C3. A4. B5. A6. C7. B8. D9. C10. B11. B12. D13. 5%14. m=0或m≥115. 11016. ①②17.解：(1)∵ 不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集．∴ {cosC>0，Δ≤0，即{cosC>0，16sin2C−24cosC≤0，即{cosC>0，cosC≤−2或cosC≥12，故cosC≥12，∴ 角C的最大值为60∘．(2)当C=60∘时，S△ABC=12absinC=√34ab=32√3，∴ ab=6，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2abcosC，∴ (a+b)2=c2+3ab=1214，∴ a+b=112．18. 解：（1）数学卷中，选择题得分的期望为12×0.9×5=54，…2分填空题得分的期望为4×0.8×4=12.8，…4分前两个大题得24分，设三，四，五是每题答对的概率为P，则至少答对一题的概率为1−(1−p)3=0.992，解得p=0.8．∴ 三，四，五题得分的期望为3×0.8×12=28.8．…7分最后一题得2分，54+12.8+24+28.8+2=121.2∴ 数学试卷得分的期望为121.2（分）．…9分（2）得总分的期望为135+125+260+121.2=641.2，∵ 641.2>640，∴ 能考上北京大学．…12分19. 法一：(I)如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF // AB，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ．∴ AB // 平面DEF ．(II)∵ AD ⊥CD ，BD ⊥CD∴ ∠ADB 是二面角A −CD −B 的平面角∴ AD ⊥BD∴ AD ⊥平面BCD取CD 的中点M ，这时EM // AD∴ EM ⊥平面BCD过M 作MN ⊥DF 于点N ，连接EN ，则EN ⊥DF∴ ∠MNE 是二面角E −DF −C 的平面角在Rt △EMN 中，EM ＝1，MN =√32 ∴ tan∠MNE =√32，cos∠MNE =y =−√3x +2√3．(Ⅲ)在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE证明如下：在线段BC 上取点P ．使BP =13BC ，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴ PQ ⊥平面ACD∵ DQ =13DC =2√33在等边△ADE 中，∠DAQ ＝30∘ ∴ AQ ⊥DE∴ AP ⊥DE ．法二：(Ⅱ)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0, 0, 2)B(2, 0, 0)C(0，2√3,0,),E(0,√3,1),F(1,√3,0)平面CDF 的法向量为DA →=(0,0,2)设平面EDF 的法向量为n →=(x,y,z)则{DF →⋅n →=0DE →⋅n →=0 即{x +√3y =0√3y +z =0 n →=(3,−√3,3)cos <DA →,n →>=DA →⋅n →|DA →||n →|=√217 所以二面角E −DF −C 的余弦值为√217(Ⅲ)在平面坐标系xDy 中，直线BC 的方程为y =−√3x +2√3设P(x,2√3−√3x,0),AP →=(x,2√3−√3x,−2)∴ AP ⊥DE ⇔AP →⋅DE →=0⇔x =43⇔BP →=13BC →所以在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE另设P(x,y,0),AP →⋅DE →=√3y −2=0∴ y =2√33 又BP →=(x −2,y,0),PC →=(−x,2√3−y,0)∵ BP →∥PC →∴ (x −2)(2√3−y)=−xy ∴ √3x +y =2√3把y =2√33代入上式得x =43， ∴ BP →=13BC →所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE20. 庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑．21. 解：（1）直线AP 的方程为y =x −b ，联立{y =1y =x −b，解得{x =b +1y =1，∴ P(b +1, 1)． ∴ AB →⋅AP →=(0, 1+b)⋅(b +1, b +1)=(1+b)2=9(b >0)，解得b =2．∴ P(3, 1)，代入椭圆的方程为32a 2+1b 2=1，解得a 2=12． ∴ 椭圆的方程为x 212+y 24=1． （2）由AB →⋅AP →=9，∴ (0, t +b)⋅(t +b, t +b)=(t +b)2=9(t >0, b >0)，∴ t +b =3①．把P(3, t)代入椭圆的方程可得9a 2+t 2b 2=1，化为a 2=9b 2b 2−t 2．∵ a 2>b 2，∴ 9b 2b 2−t 2>b 2，∴ 9b 2−t 2>1，②由①可得b =3−t 代入②可得9(3−t)2−t 2>1，化为99−6t >1，解得0<t <32．∴ t 的取值范围是(0,32)．22. 解：（1）令a =b =0，得f(0)=0⋅f(0)+0⋅f(0)=0．令a =b =1，得f(1)=1⋅f(1)+1⋅f(1)，∴ f(1)=0．（2）令a =b =−1，得f(1)=f[(−1)⋅(−1)]=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)，∴ f(−1)=0．令a =−1，b =x ，得f(−x)=f(−1⋅x)=−1⋅f(x)+x ⋅f(−1)=−f(x)+0=−f(x)．∴ f(x)是奇函数．（3）当ab ≠0时，f(a⋅b)a⋅b =f(b)b +f(a)a ． 令g(x)=f(x)x ，则g(a ⋅b)=g(a)+g(b)，∴ g(a n )=ng(a)．∴ f(a n )=a n ⋅g(a n )=n ⋅a n ⋅g(a)=n ⋅a n−1⋅f(a)．∵ f(1)=f(2⋅12)=2f(12)+12f(2)=0，f(12)=−12∴ f(2)=2，∴ b n=2nf(2n)=1n∴ S n=1+12+13+⋯+1n，∴ S n−S n−1=1n(n≥2)即nS n−(n−1)S n−1=S n−1+1，∴ (n−1)S n−1−(n−2)S n−2=S n−2+1，…，2S2−S1=S1+1，∴ nS n−S1=S1+S2+...+S n−1+n−1，∴ S1+S2+...S n−1=nS n−n=(S n−1)⋅n(n≥2)∴ g(n)=n．故存在关于n的整式g (n)=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立。