无因次水侵量计算新方法

&Ｋ（０ ｘ） ＝Ｋ（１ ｘ） ＝%π／２ｘ ｅ－ｘ；
（ ６）
Ｉ（０ ｘ） ＝Ｉ（１ ｘ） ＝%１／２πｘ ｅｘ，
则无限大天然水域无因次水侵量在 Ｌａｐｌａｃｅ 空间的解
为
（ｌ ＱＤ） ＝ Ｋ（１ % ｓ ） ．
（ ７）
ｓ３／２ Ｋ（０ % ｓ ）
（ ５） 式和（ ７） 式分别为有限封闭、无限大天然水域
第第２２７７卷卷 第第２２期期 ２００６ 年 ４ 月
赵继勇新， 等：疆无因石次水油侵量地计算质新方法 ＸＩＮＪＩＡＮＧ ＰＥＴＲＯＬＥＵＭ ＧＥＯＬＯＧＹ
Ｖｏｌ． ２７， Ｎｏ． ２ Ａｐｒ． ２００６
文章编号： １００１－ ３８７３（ ２００６） ０２－ ０２２５－ ０４
无因次水侵量计算新方法
赵继勇 １， 胡建国 ２， 凡哲元 ２
Ｋｌｉｎｓ 等的相关经验公式形式上略为简单。因此， 可推
荐采用 Ｅｄｗａｒｄｓｏｎ 等的经验公式。
（ ３） 廖运涛相关经验公式［２， ６－８］ 上述两种经验方
法尽管精度很高， 但方法仅可应用于无限大天然水域
情形。对于有限封闭天然水域情形， 文献［ ６］ 基于多项
式回归分析， 在不同的 ｒｅＤ 条件下， 建立了一套相关经 验公式组。它以 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 的数据为基础， 以
（ １５）
将（ １５） 式代入（ ５） 式， 得
ｒｅＤ ! ｓ １ － ! ｓ １
’ ( ｌ（ ＱＤ） ＝
２
!ｓ
２ ｒｅＤ! ｓ ．
ｓ３／２
１ ｒｅＤ! ｓ
－ ｒｅＤ! ｓ ２
ｌｎ γＥ! ｓ ２
当 ｓ→０ 时， 简化（ １６） 式， 得
（ １６）
（ｌ
ＱＤ）
＝
１ ２ｓ
（
ｒ２ ｅＤ
－
１）
．
（ １７）
对（ １７） 式作 Ｌａｐｌａｃｅ 逆变换， 得
（ １．西北大学， 西安 ７１００６９； ２．中国石化 石油勘探开发科学研究院， 北京 １０００８３）
摘 要： 天然水驱油气藏的开发过程中， 无论储量计算还是动态预测， 都离不开无因次水侵量的计算。通常无因次水
侵量的计算采用查表的方法， 既不实用， 精度又低。基于数理统计的原理， 评价了目前广泛应用的计算径向水驱无限
差为 ０．２１４％； 当 ｔＤ≥２００ 时， Ｅｄｗａｒｄｓｏｎ 等经验公式的 相对误差为 ０．３１４％， 而 Ｋｌｉｎｓ 等相关经验公式的相对
误差为 ０．２９６％． 由此可见， 两 种 方 法 具 有 相 同 的 精
度 。 但 由 其 计 算 式 可 见 ， Ｅｄｗａｒｄｓｏｎ 等 经 验 公 式 较
Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无 因 次 水 侵 量 ＱＤ 的 数 值 ， 对 Ｅｄ－ ｗａｒｄｓｏｎ 等和 Ｋｌｉｎｓ 等的相关经验公式进行评价， 其结
果 是 当 ０．０１≤ｔＤ＜２００ 时 ， Ｅｄｗａｒｄｓｏｎ 等 经 验 公 式 的 相 对误差为 ０．１９７％， 而 Ｋｌｉｎｓ 等相关经验公式的相对误
收稿日期： ２００５－ ０６－ ２０
修订日期： ２００５－ ０８－ ０３
作者简介： 赵继勇（ １９７０－） ， 男， 甘肃镇原人， 在读硕士研究生， 岩矿地质，（ Ｔｅｌ） ０２９－ ８６５９１６２１（ Ｅ－ ｍａｉｌ） ｚｊｙ＿ｃｑ＠ｐｅｔｒｏｃｈｉｎａ．ｃｏｍ．ｃｎ．
·２２６·
新疆石油地质
２００６ 年
→
←
０．２６４
２８２
１
ｔ１．５ Ｄ
＋０．０１１
３１７
９１
ｔ１．９７９ Ｄ
１３９
；（
１１）
＋０．０４５ ８９７ ４２ ｔＤ
当 ２００≤ｔＤ≤２．０×１０１２ 时，
Ｑ（ ｔ ） ＝１０ ． Ｄ Ｄ
４．３９８ ９＋０．４３６ ９３ ｌｎｔＤ－ ４．１６０ ７８（ｌｎｔＤ）０．０９
（ １２）
基于文献［ ５］ 提供的无限大天然水域的 ５４９ 组 ｖａｎ
水域的计算公式计算。因此，
当
０．０１
＜ｔＤ≤０．１８ｒ
２ ｅＤ
－
０．３６ｒｅＤ＋０．２ 时， ＱＤ 由 （ ９） 式计算。当 ０．１８ｒｅ２Ｄ － ０．３６ｒｅＤ＋
０．２＜ｔＤ≤５．２ｒｅ２Ｄ － ９．６ｒｅＤ＋３．３ 时， 以文献［ ９］ 给出的此范围
内 ５０３ 组数据为基础， 对 ｘ 及 ＱＤ／ＱＤｍａｘ 作变换， 将图 １
当 ｔＤ＜０．０１ 时， 无因次水侵量 ＱＤ 由（ ８） 式计算； 当 ０．０１＜ｔＤ≤０．１８ｒｅ２Ｄ － ０．３６ｒｅＤ＋０．２ 时， 由（ ９） 式计算； 当 ０．１８ｒｅ２Ｄ － ０．３６ｒｅＤ＋０．２＜ｔＤ≤５．２ｒｅ２Ｄ － ９．６ｒｅＤ＋３．３ 时， 由 （ １９） 式计算；
当 ｔＤ＞５．２ｒｅ２Ｄ － ９．６ｒｅＤ＋３．３ 时， 由（ １８） 式计算。 当 ０．１８ｒｅ２Ｄ － ０．３６ｒｅＤ＋０．２＜ｔＤ≤５．２ｒｅ２Ｄ － ９．６ｒｅＤ＋３．３ 时， 也 可由（ ２３） 式计算：
＝∞ ＲＤ
１０ ９ ８ ７
６
５ ４．５ ４
３．５
３
２．５
２ １００
ＲＤ＝１．５
１０－ １
１０－ １
１００
１０１
１０２
１０３
ｔＤ（ 无因次时间）
图 １ 平面径向流系统无限大和有限封闭 天然水域的 ＱＤ（ ｔＤ） 与 ｔＤ 的关系
对于（ ５） 式和（ ７） 式所示的 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无因次水侵量， 通常采用 ３ 种方法求解： ①数值反演 计算； ②直接查表确定； ③经验公式确定。其中， 第 １ 种方法由于数值反演计算过程复杂， 难以在油藏工程 领域广泛应用； 第 ２ 种方法由于应用不方便， 且精度
ＱＤ＝ＱＤｍａ｛ｘ １．０－ ｅｘｐ［ －（ ｔＤ＋ｔＤ０） αｅβ］ ｝ ， （ ２３） 式中常系数 α、β由表 １ 给出。
大及有限系统天然水域 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无因 次水侵量的经验公式方法， 进而提出了计算有限封闭天然水域无
因次水侵量的新方法。
关键词： 油气藏； 水驱； 动态分析； 水侵量
中图分类号： ＴＥ３３１
文献标识码： Ａ
对于存在天然水域的油气藏， 进行储量计算或动 态预测时， 必须考虑天然水域对油气藏开发动态的影 响， 计算天然水侵量的大小。目前， 天然水侵量的计算 离不开无因次水侵量的确定。本文基于数理统计的原 理， 评价了目前广泛应用的计算径向水驱系统无限大 及有限天然水域 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无因次水侵量 的经验公式方法［１］， 并提出了计算有限封闭 天 然 水 域 无因次水侵量的新方法。
２ 相关经验公式描述
３ 新方法的建立
为了有效而简便地计算 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无
因次水侵量， 众多的研究者提出了许多方法。
（ １） Ｅｄｗａｒｄｓｏｎ 等的相关 经 验 公 式［３］ Ｅｄｗａｒｄｓｏｎ
及其合作者提出了计算无限边界水域无因次水侵量
的 ３ 个简单多项式， ＱＤ（ ｔＤ） 在不同 ｔＤ 区域内具有不同 的表达式［３］：
ｔＤ＞５．２ｒｅ２Ｄ － ９．６ｒｅＤ＋３．３ 时， 可由（ １８） 式确定 ＱＤ 的值。而
在其他条件下， ＱＤ 的值就难以确定了。为此， 笔者研
究在此条件下确定 ＱＤ 的经验公式方法发现， 当 ｔＤ≤
０．１８ｒｅ２Ｄ － ０．３６ｒｅＤ＋０．２ 时， ｒｅＤ的影响可完全忽略， 也就是
说， 有限封闭天然水域的 ＱＤ完全可以用无限大天然
ＱＤ＝
１ ２
（
ｒ２ ｅＤ
－
１）
．
（ １８）
当 ｔＤ 很大， 外边界作用出现时， ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无因次水侵量可用（ １８） 式表示。进一步统计得
到， 当 ｔＤ＞５．２ｒｅ２Ｄ － ９．６ｒｅＤ＋３．３ 时， 由（ １８） 式计算的结果是 相当精确的。
显然， 当 ｔＤ＜０．０１ 时， 可由（ ８） 式 确 定 ＱＤ 的 值 ； 当
又低， 一般不被应用； 而第 ３ 种方法由于运算过程简 单、计算结果的精度又能满足工程要求 ， 而成为目前 油藏工程领域广泛应用的方法。
不同的 ｒｅＤ 为模数， 给出不同的计算公式。该方法对于曲 线给定的 ｒｅＤ 以外的情况， 只有采用插值的方法确定 ＱＤ 的数值。其应用既不方便， 同时计算精度也难以保证。
域的无因次水侵量为
（ｌ ＱＤ） ＝ Ｉ（１ ｒｅＤ % ｓ ） Ｋ（１ % ｓ ） － Ｉ（１ % ｓ ） Ｋ（１ ｒｅＤ% ｓ ） ， （ ５） ｓ３／［２ Ｉ（０ % ｓ ） Ｋ（１ ｒｅＤ% ｓ ） ＋Ｉ（１ ｒｅＤ% ｓ ） Ｋ（０ % ｓ ） ］
当 ｒｅＤ→∞ 时， 利用虚宗量 Ｂｅｓｓｅｌ 函数的渐近展开式 （ 为了简化推导过程， 仅取第 １ 项） ［２］
! ＱＤ＝ ａｉ ｘｉ ＱＤｍａｘ， ｉ＝０
（ １９）
式中
ｘ＝
１６．９４２
８９２
９
ｒ－ ３．２ ｅＤ
＋５．１４５
ｔＤ １２４
８
ｒ－ ０．２ ｅＤ
＋０．９７８
６２５
８６
ｒ２．８ ｅＤ
；（
２０）
ＱＤｍａｘ＝
１ ２
（
ｒ２ ｅＤ
－
１）
；
（ ２１）
ａｉ＝｛ ０．０８２ ０８０ ６， ６．４３７ ５４５ ５， － ２１．０１７ ４２， ３８．６４２ ７５， － ３９．７２１ ５３， ２０．４２１ ６１， － ３．７９９ ８３｝．
即 当 ｔＤ 很 小 时 ， ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无 因 次 水 侵 量
可用（ １４） 式计算。
（ ２） 当 ｔ 很大时 ， ｓ→０， 此 时 ， 虚 宗 量 Ｂｅｓｓｅｌ 函 数
可用下式近似计算（ 仅考虑第一项） ［５］：
Ｉ（０ ｓ） ＝１，
& Ｉ（１ ｓ） ＝ｓ／２ ．
Ｋ（０ ｓ） ＝－ ｌｎ（ γＥｓ／２） ， Ｋ（１ ｓ） ＝１／ｓ
当 ０＜ｔＤ＜０．０１ 时，
ＱＤ＝２ !ｔＤ／π ；
（ ８）
当 ０．０１≤ｔＤ＜２００ 时，
ＱＤ＝
１．１２８
３８ ! ｔＤ
＋１．１９３
２８
ｔＤ＋０．２６９
８７
ｔ３／２ Ｄ
＋０．００８
５５２
９
ｔ２
Ｄ
；
１＋０．６１６ ５９９!ｔＤ ＋０．０４１ ３００ ８ ｔＤ
（ ９）
当 ｔＤ≥２００ 时，
ＱＤ＝
２．０２５
应用（ １９） 式对文献［ ９］ 给出的 ５０３ 组数据进行计
算， 并应用下式计算其平均相对误差为 ０．９０４ ４％：
σ＝ "１－ ＱＤ 计算 ／ＱＤ 理论 #×１００．
（ ２２）
综上所述， 对于有限封闭天然水域 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎ－
ｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无因次水侵量的计算应分段进行， 才能保
证计算的精度， 即
（ ２）
外边界条件
!ｐＤ !ｒＤ
＝０； ｒＤ ＝ｒｅＤ
（ ３）
内边界条件 ｐＤ ｒＤ ＝１ ＝０．
（ ４）
而无限大天然水域系统仅是有限封闭天然水域
系统当 ｒｅＤ→∞ 时的特例。 应用 Ｌａｐｌａｃｅ 变换方法， 求解上述定解问题（ １） —
（ ４） ， 得到 Ｌａｐｌａｃｅ 空间径向水驱系统有限封闭天然水
６６
ｔＤ－ ｌｎｔＤ
４．２９８
８１
．
（ １０）
（ ２） Ｋｌｉｎｓ 等的相关经验公式［４］ 当 ０＜ｔＤ＜０．０１ 时，
由（ ８） 式计算；
当 ０．０１≤ｔＤ＜２００ 时，
ＱＤ（
ｔＤ）
＝
１．１２９
５５２
ｔ ０．５００
Ｄ
２０３
４＋１．１６０
４３６
１＋０．５９０
０１１
３
ｔ ＋ ０．５００ ２０３ ４
Ｄ
ｔＤ＋
系统水侵量计算的 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 无因次水侵
量在 Ｌａｐｌａｃｅ 空间的解。应用 Ｌａｐｌａｃｅ 数值反演， 即可
得到一定 ｔＤ 时的 ＱＤ 的值， 如图 １ 所示。
１０２
ＱＤ（ 无因次水侵量）
ＲＤ＝
ｒｃ ｒｗｓ
（ ｒｃ 为 边 水 供 给 外 缘 半 径 ；
ｒｗｓ 为 油 藏 含 油 半 径） １０１
中相互独立的曲线簇完全变换为十分接近的一条曲线
（ 图 ２） 。应用多元回归分析统计， 其 ＱＤ 由下式计算：
第 ２７ 卷 第 ２ 期
赵继勇， 等： 无因次水侵量计算新方法
·２２７·
１．０
０．８
０．６
ＱＤ ／ＱＤｍａｘ
０．４
０．２
０．０
０．０
０．２
０．４
０．６
０．８
１．０
ｘ
图 ２ 相关式的拟合结果Leabharlann Baidu
６
为了研究新方法， 首先对特殊情形作一讨论。
（ １） 当 ｔ 很小时， 水侵并未波及到边界， 水域可考
虑为无限大。同时， ｔ 很小时， ｓ 很大， 则将（ ６） 式代入
（ ７） 式， 得
ｌ（ ＱＤ） ＝ｓ－３／２ ． 对（ １３） 式作 Ｌａｐｌａｃｅ 逆变换， 得
（ １３）
ＱＤ＝２ !ｔＤ／π ，
（ １４）
１ 无因次水侵量的计算理论分析
在 ｖａｎ Ｅｖｅｒｄｉｎｇｅｎ－ Ｈｕｒｓｔ 模型中， 无因次水侵量
ＱＤ 一般通过在一定的边界条件下求解天然水域系统 的径向扩散方程获得：
" # １ !
ｒＤ !ｒＤ
ｒＤ
!ｐＤ !ｒＤ
＝ !ｐＤ ． !ｔＤ
（ １）
对于有限封闭天然水域系统：
初始条件 ｐＤ ｔＤ ＝０ ＝０；