2010届高三数学：第十三编 算法初步、推理与证明、复数

第十三编 算法初步、推理与证明、复数§13.1 算法与流程图1.以下对算法的描述正确的有 个.①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果. 答案 42.任何一个算法都必须有的基本结构是 . 答案 顺序结构3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是 （填序号）. ①求点P （-1，3）到直线l :3x -2y +1=0的距离 ②由直角三角形的两条直角边求斜边 ③解不等式ax +b ＞0 (a ≠0) ④计算100个数的平均数 答案 ③4.下列4种框图结构中，是直到型循环结构的为 （填序号）.答案 ②5.（2008·广东理，9）阅读下面的流程图，若输入m =4，n =3，则输出a = ，i = .（注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“：=”）基础自测答案 12 3例1 已知点P （x 0，y 0）和直线l :Ax +By +C =0，求点P （x 0，y 0）到直线l 的距离d ，写出其算法并画出 流程图. 解 算法如下：第一步，输入x 0,y 0及直线方程的系数A ，B ，C . 流程图： 第二步，计算Z 1←Ax 0+By 0+C . 第三步，计算Z 2←A 2+B 2. 第四步，计算d ←21Z Z .第五步，输出d .例2 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算： f =⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤)100(85.0)100(6.0100)100(6.0ωωωω其中f (单位：元)为托运费,ω为托运物品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f 的算法，并画出流程图.解 算法如下： S1 输入ω;S2 如果ω≤100,那么f ←0.6ω;否则f ←100×0.6+(ω-100)×0.85; S3 输出f . 流程图为：例3 （14分）画出计算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程图.解 流程图如下图.14分1.写出求解一个任意二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的最值的算法. 解 算法设计如下： 第一步，计算m ←abac 442-;第二步，若a ＞0,输出最小值m ; 第三步，若a ＜0，输出最大值m .2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇款额为x 元时，银行收取手续费y 元的过程，画出流程图. 解 这是一个实际问题，故应先建立数学模型，y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤<00000010005.500005100,01.01000,1x x x x 由此看出，求手续费时，需先判断x 的范围，故应用选择结构描述.流程图如图所示：3.利用两种循环写出1+2+3+…+100的算法，并画出各自的流程图. 解 直到型循环算法： 第一步：S ←0；第二步：I←1；第三步：S←S+I；第四步：I←I+1；第五步：如果I不大于100，转第三步；否则，输出S.相应的流程图如图甲所示.当型循环算法如下：S1 令i←1,S←0S2 若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法S3 S←S+iS4 i←i+1，返回S2相应的流程图如图乙所示.一、填空题1.算法：S1 输入n；S2 判断n是否是2,若n=2,则n满足条件，若n＞2,则执行S3；S3 依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是 .答案质数2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构 . 答案选择结构和循环结构3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是 .答案75，21，324.如果执行下面的流程图，那么输出的S = .答案 2 5505.（2009·兴化市板桥高级中学12月月考）如下图的流程图输出的结果为 .答案 1326.如图所示，流程图所进行的求和运算是 .答案21+41+61+…+2017.（2008·山东理，13）执行下边的流程图，若p =0.8，则输出的n = .（注：框中的赋值符号“←”，也可以写成“=”或“:=”）答案 48.若框图所给的程序运行的结果为S =90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 .答案 k ≤8二、解答题 9.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<-)0(52)0(13x xx x ,写出该函数的函数值的算法并画出流程图.解 算法如下： 第一步，输入x .第二步，如果x ＜0,那么使f (x )←3x -1;否则f (x )←2-5x .第三步，输出函数值f (x ). 流程图如下：10.写出求过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线的斜率的算法，并画出流程图.解 由于当x 1=x 2时，过两点P 1、P 2的直线的斜率不存在，只有当x 1≠x 2时，根据斜率公式 k =1212x x y y --求出，故可设计如下的算法和流程图.算法如下：第一步：输入x 1,y 1,x 2,y 2;第二步：如果x 1=x 2,输出“斜率不存在”，否则，k ←1212x x y y --;第三步：输出k . 相应的流程图如图所示:11.画出求211⨯+321⨯+431⨯+…+100991⨯的值的流程图.解 流程图如图所示：12.某企业2007年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图. 解 算法设计如下：第一步，n ←0,a ←200,r ←0.05. 第二步，T ←ar (计算年增量). 第三步，a ←a +T （计算年产量）.第四步，如果a ≤300，那么n ←n +1，重复执行第二步. 如果a ＞300,则执行第五步. 第五步，N ←2 007+n . 第六步，输出N . 流程图如下： 方法一方法二§13.2 基本算法语句、算法案例1.下面是一个算法的操作说明： ①初始值为n ←0,x ←1,y ←1,z ←0; ②n ←n +1; ③x ←x +2; ④y ←2y ; ⑤z ←z +xy ;⑥如果z ＞7 000,则执行语句⑦；否则回到语句②继续执行； ⑦打印n ,z ; ⑧程序终止.由语句⑦打印出的数值为 、 . 答案 8 7 6822.按照下面的算法进行操作： S1 x ←2.35 S2 y ←Int （x ） S3 Print y最后输出的结果是 . 答案 23.读下面的伪代码： Read x If x ＞0 ThenPrint x ElsePrint -x End If这个伪代码表示的算法的功能是 . 答案 输入一个数，输出其绝对值4.下面是一个算法的伪代码.如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是 .答案150基础自测5.与下列伪代码对应的数学表达式是 . Read n e ←0 S ←1For I From 1 To n Step 1 S ←S ×I e ←e +1/S End for Print e 答案 S =1+!21+!31+…+!1n例1 设计算法，求用长度为l 的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入l 的值，输出 正方形和圆的面积. 解 伪代码如下： Read l S 1←(l ×l )/16 S 2←(l ×l )/(4×3.14) Print S 1 Print S 2 End例2 （14分）已知分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+-0,10,00,1x x x x x ，编写伪代码，输入自变量x 的值，输出其相应 的函数值，并画出流程图. 解 伪代码如下：流程图如图所示：Read x If x ＜0 Then y ←-x +1 ElseIf x =0 Theny ←0 Elsey ←x +1 End If End If Print y End7分例3 编写一组伪代码计算1+21+31+…+00011，并画出相应的流程图.解 伪代码如下： i ←1 S ←0While i ≤1 000 S ←S +1/i i ←i +1 End While Print S End流程图如图所示：1.下面的表述： ①6←p ; ②t ←3×5+2; ③b +3←5;④p ←((3x +2)-4)x +3; ⑤a ←a 3; ⑥x ,y ,z ←5; ⑦ab ←3; ⑧x ←y +2+x .其中正确表述的赋值语句有 . （注：要求把正确的表述的序号全填上） 答案 ②④⑤⑧2.某百货公司为了促销，采用打折的优惠办法： 每位顾客一次购物①在100元以上者（含100元，下同），按九五折优惠； ②在200元以上者，按九折优惠； ③在300元以上者，按八五折优惠； ④在500元以上者，按八折优惠.试写出算法、画出流程图、伪代码，以求优惠价. 解 设购物款为x 元，优惠价为y 元，则优惠付款公式为y =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<500,8.0500300,85.0300200,9.0200100,95.0100,x x x x x x x x x x算法分析： S1 输入x 的值；S2 如果x ＜100，输出y ←x ,否则转入S3; S3 如果x ＜200,输出y ←0.95x ,否则转入S4; S4 如果x ＜300，输出y ←0.9x ,否则转入S5; S5 如果x ＜500,输出y ←0.85x ,否则转入S6； S6 输出y ←0.8x .3.某玩具厂1996年的生产总值为200万元，如果年生产增长率5%，计算最早在哪一年生产总值超过300万元.试写出伪代码. 解 伪代码如下： n ←1 996 p ←1.05 a ←200 While a ≤300a←a×pn←n+1End WhilePrint nEnd一、填空题1.伪代码a←3b←5Print a+b的运行结果是 .答案82.为了在运行下面的伪代码后输出y=16，应输入的整数x的值是 . Read xIf x＜0 Theny←(x+1)2Elsey←1-x2End IfPrint y答案-53.写出下列伪代码的运行结果.图1 图2（1）图1的运行结果为；（2）图2的运行结果为 .答案（1）7 （2）64.以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是 .答案 求下列函数当自变量输入值为x 时的函数值f (x ),其中f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<3,13,23,22x x x x x5.下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为 .答案 2 5006.如图所示，该伪代码表示的作用是 .答案 求三个数中最大的数7.如图（1）是某循环流程图的一部分，若改为图（2），则运行过程中I 的值是.答案 18.图中算法执行的循环次数为 .答案 333 二、解答题9.用条件语句描述下面的算法流程图.解 Read x If x ＜0 Theny ←2×x +3 ElseIf x ＞0 Theny ←2×x -5 Elsey ←0 End If End If Print yEnd10.请设计一个问题，使得该问题的算法如已知的伪代码所示.解 已知圆O 内有一个边长为a 的圆的内接正方形，求圆的面积比正方形的面积大多少？11.有一个算法如下： S1 输入x ; S2 判断x ＞0是：z ←1；否：z ←-1; S3 z ←1+z ; S4 输出z .试写出上述算法的流程图及相应的伪代码. 解12.一个小朋友在一次玩皮球时，偶然发现一个现象：球从某高度落下后，每次都反弹回原高度的31，再落下，再反弹回上次高度的31，如此反复.假设球从100 cm 处落下，那么第10次下落的高度是多少？在第10次落地时共经过多少路程？试用伪代码表示其算法. 解 伪代码如图所示：13.3 合情推理与演绎推理1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 . 答案 白色2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 . 答案 a n =2n -13.已知a 1=3,a 2=6,且a n +2=a n +1-a n ,则a 33为 . 答案 34.下面使用类比推理恰当的是 .①“若a ·3=b ·3,则a =b ”类推出“若a ·0=b ·0，则a =b ” ②“(a +b )c =ac +bc ”类推出“cb a +=ca +cb ”③“(a +b ）c =ac +bc ”类推出“cb a +=ca +cb (c ≠0)”④“（ab ）n =a n b n ”类推出“(a +b )n =a n +b n ” 答案 ③5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .答案 一切奇数都不能被2整除， 大前提 2100+1是奇数，小前提 所以2100+1不能被2整除.结论基础自测例1 在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=nn a a +22,n ∈N *,猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由.解 在{a n }中,a 1=1,a 2=1122a a +=32,a 3=2222a a +=21=42,a 4=3322a a +=52,…,所以猜想{a n }的通项公式a n =12+n .这个猜想是正确的. 证明如下:因为a 1=1,a n +1=n n a a +22,所以11+n a =nn a a 22+=n a 1+21,即11+n a -na 1=21,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以11a =1为首项,21为公差的等差数列,所以na 1=1+21(n -1)=21n +21,所以通项公式a n =12+n .例2 已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO 、BO 、CO 并延长交对边于A ′,B ′,C ′,则''AA OA +''BB OB +''CC OC =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.''AA OA +''BB OB +''CC OC =ABCOBC S S ∆∆+ABCOCA S S ∆∆+ABCOAB S S ∆∆=ABCABC S S ∆∆=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体V —BCD ，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明 在四面体V —BCD 中，任取一点O ，连结VO 、DO 、BO 、CO 并延长分别交四个面于E 、F 、G 、H 点. 则VEOE +DFOF +BGOG +CHOH =1.在四面体O —BCD 与V —BCD 中：VE OE=hh 1=hS h S BCD BCD ∙∙∆∆31311=BCDV BCD O V V --.同理有：DFOF =VBCD VBC O V V --；BGOG =VCDB VCD O V V --；CHOH =VBDC VBD O V V --，∴VEOE +DFOF +BGOG +CHOH=BCDV VBDO VCD O VBC O BCD O V V V V V -----+++=BCDV BCD V V V --=1.例3 （14分）已知函数f （x ）=-aaa x+（a ＞0且a ≠1），（1）证明：函数y =f (x )的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21对称；（2）求f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）的值. （1）证明 函数f （x ）的定义域为R ，任取一点（x ，y ），它关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称的点的坐标为（1-x ，-1-y ）. 2分 由已知得y =-aaax+,则-1-y =-1+aaax+=-aaa xx+，3分f （1-x ）=-aaa x+-1=-aaa a x+=-xx a a a aa ∙+∙=-aaaxx+，5分∴-1-y =f （1-x ）.即函数y =f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-21,21对称.7分（2）解 由（1）有-1-f （x ）=f （1-x ）， 即f （x ）+f （1-x ）=-1.∴f （-2）+f （3）=-1，f （-1）+f （2）=-1， f （0）+f （1）=-1，则f （-2）+f （-1）+f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=-3.14分1.已知f (x )=2)1(1++ax bx (x ≠-a1,a ＞0),且f (1)=log 162,f (-2)=1.（1）求函数f (x )的表达式；（2）已知数列{x n }的项满足x n =［1-f (1)］［1-f (2)］…［1-f (n )］，试求x 1,x 2,x 3,x 4; (3)猜想{x n }的通项. 解 （1）把f (1)=log 162=41,f (-2)=1,代入函数表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++1)21(1241)1(122a b a b ,整理得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-++=+14412124422a a b a a b ，解得⎩⎨⎧==01b a ,于是f (x )=2)1(1+x (x ≠-1).（2）x 1=1-f (1)=1-41=43, x 2=43×⎪⎭⎫ ⎝⎛-911=32,x 3=32×⎪⎭⎫ ⎝⎛-1611=85,x 4=85×⎪⎭⎫ ⎝⎛-2511=53.（3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为43，64，85，106，…，便可猜想x n =)1(22++n n .2.如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则2211N OMN OM S S ∆∆=21OMOM ·21ONON ；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR 上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.解 类似的结论为：222111R QP O R QP O V V --=21OP OP ·21OQ OQ ·21OR OR .这个结论是正确的，证明如下：如图，过R 2作R 2M 2⊥平面P 2OQ 2于M 2，连OM 2. 过R 1在平面OR 2M 2作R 1M 1∥R 2M 2交OM 2于M 1，则R 1M 1⊥平面P 2OQ 2. 由111R Q P O V -=3111OQ P S ∆·R 1M 1=31·21OP 1·OQ 1·sin ∠P 1OQ 1·R 1M 1=61OP 1·OQ 1·R 1M 1·sin ∠P 1OQ 1，同理，222R Q P O V -=61OP 2·OQ 2·R 2M 2·sin ∠P 2OQ 2.所以222111R QP O R QP O V V --=22221111MR OQ OP M R OQ OP ∙∙∙∙.由平面几何知识可得2211MR M R =21OR OR .所以222111R QP O R QP O V V --=222111OR OQ OP OR OQ OP ∙∙∙∙.所以结论正确.3.已知函数f （x ）=1212+-xx （x ∈R ），（1）判定函数f （x ）的奇偶性；（2）判定函数f （x ）在R 上的单调性，并证明. 解 （1）对∀x ∈R 有-x ∈R ， 并且f （-x ）=1212+---xx =xx 2121+-=-1212+-xx =-f （x ），所以f （x ）是奇函数.（2）f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1,x 2∈R ，并且x 1＞x 2, f (x 1)-f (x 2)= 121211+-x x -121222+-x x=)12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-x x x x x x=)12)(12()22(22121++-x x x x .∵x 1＞x 2,∴12x ＞22x ＞0,∴12x -22x ＞0, 12x +1＞0, 22x +1＞0. ∴)12)(12()22(22121++-x x x x ＞0.∴f (x 1)＞f (x 2).∴f (x )在R 上为单调递增函数.一、填空题 1.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则ma mb ++与ab 之间的大小关系为 .答案ma mb ++＞ab2.已知a 1=1,a n +1＞a n ，且(a n +1-a n )2-2(a n +1+a n )+1=0，猜想a n 的表达式为 . 答案 a n =n 23.已知f (x )=x 2 008+ax 2 007-0092x b-8,f (-1)=10,则f (1)= .答案 -244.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn =nm ”类比得到“a ·b =b ·a ”；②“（m +n ）t =mt +nt ”类比得到“(a +b )·c =a ·c +b ·c ”；③“(m ·n )t =m (n ·t )”类比得到“（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）”；④“t ≠0,mt =xt ⇒m =x ”类比得到“p ≠0,a ·p =x ·p ⇒a =x ”;⑤“|m ·n |=|m |·|n |”类比得到“|a ·b |=|a |·|b |”；⑥“bcac =ba ”类比得到“cb c a ∙∙=ba ”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 . 答案 25.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222by ax +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 ② 6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 . 答案 (5,7)7.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比EBAE =BCAC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图所示），而DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 .答案EBAE =BCDACD S S ∆∆8.（2008·金陵中学模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .答案83a二、解答题9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质.解 如图所示，由平行四边形的性质可知AB =DC ，AD =BC ， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，S ABCD =S 1111D C B A ,S 11A ADD=S 11B BCC,S 11A ABB= 11C CDD,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.10.已知梯形ABCD 中，AB =DC =AD ，AC 和BD 是它的对角线.用三段论证明：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA . 证明 （1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提） ∠BCA 与∠CAD 是平行线AD ，BC 被AC 所截内错角（小前提） 所以，∠BCA =∠CAD （结论）（2）等腰三角形两底角相等（大前提）△CAD 是等腰三角形，DA =DC （小前提） 所以，∠DCA =∠CAD （结论）（3）等于同一个量的两个量相等（大前提） ∠BCA 与∠DCA 都等于∠CAD （小前提） 所以，∠BCA =∠DCA （结论） （4）同理，BD 平分∠CBA .11.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF ·EF ·cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面 角之间的关系式，并予以证明. 证明 （1）∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .（2）在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有 S 211A ABB=S 211B BCC+S 211A ACC-2S 11B BCCS 11A ACCcos α.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2=PN 2+MN 2-2PN ·MN cos ∠MNP∴PM 2·CC 21=PN 2·CC 21+MN 2·CC 21-2（PN ·CC 1）·（MN ·CC 1）cos ∠MNP ，由于S 11B BCC =PN ·CC 1，S 11A ACC =MN ·CC 1， S 11A ABB =PM ·BB 1=PM ·CC 1， ∴S 211A ABB=S 211B BCC+S 211A ACC-2S 11B BCC·S 11A ACC·cos α.12.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线2222by ax -=1写出具有类似特性的性质，并加以证明. 解 类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222by ax -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.设点M 、P 的坐标分别为（m ，n ），（x ，y ），则N （-m ，-n ）. 因为点M （m ,n ）在已知双曲线上， 所以n 2=22ab m 2-b 2.同理y 2=22ab x 2-b 2.则k PM ·k PN =mx n y --·mx n y ++=2222mxn y --=22ab ·2222mxm x --=22ab (定值).§13.4 直接证明与间接证明1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件. 答案 充分2.若a ＞b ＞0,则a +b1 b +a1.(用“＞”,“＜”,“=”填空)答案 ＞3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）. ①反证法②分析法③综合法答案 ②4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 . ①假设a 、b 、c 都是偶数 ②假设a 、b 、c 都不是偶数 ③假设a 、b 、c 至多有一个偶数 ④假设a 、b 、c 至多有两个偶数 答案 ②5.设a 、b 、c ∈（0，+∞），P =a +b -c ，Q =b +c -a ，R =c +a -b ，则“PQR ＞0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的 条基础自测件.答案 充要例1 设a ,b ,c ＞0,证明：accbba222++≥a +b +c .证明 ∵a ,b ,c ＞0，根据基本不等式， 有ba2+b ≥2a ,cb2+c ≥2b ,ac2+a ≥2c .三式相加：ba2+cb2+ac2+a +b +c ≥2(a +b +c ).即ba2+cb2+ac2≥a +b +c .例2 （14分）已知a ＞0,求证： 221aa +-2≥a +a1-2.证明 要证221aa +-2≥a +a1-2,只要证221aa ++2≥a +a1+2.2分∵a ＞0,故只要证22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛++aa≥（a +a 1+2）2,6分即a 2+21a+4221aa ++4≥a 2+2+21a+22⎪⎭⎫⎝⎛+a a 1+2, 8分从而只要证2221aa +≥2⎪⎭⎫⎝⎛+a a 1, 10分只要证4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221a a ≥2（a 2+2+21a ）,即a 2+21a≥2,而该不等式显然成立， 故原不等式成立. 14分例3 若x ,y 都是正实数，且x +y ＞2, 求证：yx +1＜2与xy +1＜2中至少有一个成立.证明 假设yx +1＜2和xy +1＜2都不成立，则有yx +1≥2和xy +1≥2同时成立，因为x ＞0且y ＞0,所以1+x ≥2y ，且1+y ≥2x ，两式相加，得2+x +y ≥2x +2y ，所以x +y ≤2，这与已知条件x +y ＞2相矛盾， 因此yx +1＜2与xy +1＜2中至少有一个成立.1.已知a ,b ,c 为互不相等的非负数. 求证：a 2+b 2+c 2＞abc (a +b +c ). 证明 ∵a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,a 2+c 2≥2ac . 又∵a ,b ,c 为互不相等的非负数， ∴上面三个式子中都不能取“=”， ∴a 2+b 2+c 2＞ab +bc +ac ,∵ab +bc ≥2c ab 2,bc +ac ≥22abc , ab +ac ≥2bc a 2,又a ,b ,c 为互不相等的非负数， ∴ab +bc +ac ＞abc (a +b +c ), ∴a 2+b 2+c 2＞abc (a +b +c ).2.已知a ＞0,b ＞0,且a +b =1,试用分析法证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425.证明 要证⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425,只需证ab +abb a122++≥425，只需证4(ab )2+4(a 2+b 2)-25ab +4≥0, 只需证4(ab )2+8ab -25ab +4≥0, 只需证4(ab )2-17ab +4≥0, 即证ab ≥4或ab ≤41,只需证ab ≤41，而由1=a +b ≥2ab ,∴ab ≤41显然成立，所以原不等式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 11≥425成立.3.已知a 、b 、c ∈（0，1），求证：(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能同时大于41.证明 方法一 假设三式同时大于41，即(1-a )b ＞41,(1-b )c ＞41,(1-c )a ＞41,∵a 、b 、c ∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a )b (1-b )c (1-c )a ＞641.又(1-a )a ≤221⎪⎭⎫⎝⎛+-a a =41,同理（1-b ）b ≤41,(1-c )c ≤41,∴(1-a )a (1-b )b (1-c )c ≤641,这与假设矛盾，故原命题正确. 方法二 假设三式同时大于41，∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0,2)1(ba +-≥b a )1(-＞41=21,同理2)1(cb +-＞21,2)1(ac +-＞21,三式相加得23＞23,这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确.一、填空题1.（2008·南通模拟）用反证法证明“如果a ＞b ,那么3a ＞3b ”假设内容应是 . 答案 3a =3b 或3a ＜3b2.已知a ＞b ＞0，且ab =1,若0＜c ＜1,p =log c222b a+,q =log c 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，则p ,q 的大小关系是 . 答案 p ＜q3.设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a ,b ∈S ，对于有序元素对(a ,b ),在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应）.若对任意的a ,b ∈S ,有a *(b *a )=b ,则对任意的a ,b ∈S ，下列恒成立的等式的序号是 . ①（a *b ）*a =a ②［a *(b *a )］*(a *b )=a ③b *(b *b )=b④(a *b )*［b *(a *b )］=b答案 ②③④4.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1是 三角形，△A 2B 2C 2是 三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）答案 锐角 钝角5.已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中正确命题的序号是 .答案 ①6.对于任意实数a ,b 定义运算a *b =（a +1）(b +1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a ,b ,c ，有a *(b +c )=(a *b )+(a *c ); ②对于任意实数a ,b ,c ，有a *(b *c )=(a *b )*c ;③对于任意实数a ,有a *0=a ,则以上结论正确的是 .（写出你认为正确的结论的所有序号）答案 ②③ 二、解答题7.已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1=4a n +2（n =1，2，…），a 1=1. （1）设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…)，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设c n =nn a 2(n =1,2,…),求证：数列{c n }是等差数列；（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式. （1）证明 ∵S n +1=4a n +2， ∴S n +2=4a n +1+2，两式相减，得 S n +2-S n +1=4a n +1-4a n (n =1,2,…), 即a n +2=4a n +1-4a n ,变形得a n +2-2a n +1=2(a n +1-2a n ) ∵b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),∴b n +1=2b n .由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列. （2）证明 由S 2=a 1+a 2=4a 1+2，a 1=1. 得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3.故b n =3·2n -1. ∵c n =nn a 2(n =1,2,…),∴c n +1-c n =112++n n a -nn a 2=1122++-n nn a a =12+n n b .将b n =3·2n -1代入得 c n +1-c n =43(n =1,2,…),由此可知，数列{c n }是公差为43的等差数列，它的首项c 1=21a =21，故c n =43n -41(n =1,2,…).（3）解 ∵c n =43n -41=41(3n -1).∴a n =2n ·c n =(3n -1)·2n -2 (n =1,2,…) 当n ≥2时，S n =4a n -1+2=(3n -4)·2n -1+2. 由于S 1=a 1=1也适合于此公式，所以{a n }的前n 项和公式为S n =（3n -4）·2n -1+2.8.设a ,b ,c 为任意三角形三边长，I =a +b +c ,S =ab +bc +ca ,试证：I 2＜4S . 证明 由I 2=（a +b +c ）2 =a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca ) =a 2+b 2+c 2+2S ,∵a ,b ,c 为任意三角形三边长， ∴a ＜b +c ,b ＜c +a ,c ＜a +b ,∴a 2＜a (b +c ),b 2＜b (c +a ),c 2＜c (a +b ) 即(a 2-ab -ac )+(b 2-bc -ba )+(c 2-ca -cb )＜0 ∴a 2+b 2+c 2-2(ab +bc +ca )＜0 ∴a 2+b 2+c 2＜2S ∴a 2+b 2+c 2+2S ＜4S . ∴I 2＜4S .9.已知a ,b ,c 为正实数,a +b +c =1. 求证：（1）a 2+b 2+c 2≥31;(2)23+a + 23+b +23+c ≤6. 证明 （1）方法一 a 2+b 2+c 2-31=31 (3a 2+3b 2+3c 2-1) =31［3a 2+3b 2+3c 2-(a +b +c )2］=31(3a 2+3b 2+3c 2-a 2-b 2-c 2-2ab -2ac -2bc ) =31［(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2］≥0∴a 2+b 2+c 2≥31.方法二 ∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31.方法三 设a =31+α,b =31+β,c =31+γ.∵a +b +c =1,∴α+β+γ=0 ∴a 2+b 2+c 2=（31+α）2+（31+β）2+（31+γ）2=31+32(α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31∴a 2+b 2+c 2≥31.(2)∵23+a =1)23(⨯+a ≤2123++a =233+a ,同理23+b ≤233+b ,23+c ≤233+c∴23+a +23+b +23+c ≤29)(3+++c b a =6∴原不等式成立. 10.已知函数y =a x +12+-x x (a ＞1).（1）证明：函数f (x )在（-1,+∞)上为增函数； （2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根. 证明 （1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,由于a ＞1, ∴a 12x x -＞1且a 1x ＞0, ∴a 2x -a 1x =a 1x (a 12x x --1)＞0. 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴1222+-x x -1211+-x x =)1)(1()1)(2()1)(2(212112+++--+-x x x x x x=)1)(1()(32112++-x x x x ＞0,于是f (x 2)-f (x 1)=a 2x -a 1x +1222+-x x -1211+-x x ＞0,故函数f (x )在(-1,+∞）上为增函数.（2）方法一 假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f (x 0)=0, 则a 0x =-1200+-x x .∵a ＞1,∴0＜a 0x ＜1, ∴0＜-1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 方法二 假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f (x 0)=0, ①若-1＜x 0＜0，则1200+-x x ＜-2,ax ＜1,∴f (x 0)＜-1,与f (x 0)=0矛盾.②若x 0＜-1,则1200+-x x ＞0,a 0x ＞0,∴f (x 0)＞0,与f (x 0)=0矛盾， 故方程f (x )=0没有负数根.§13.5 数学归纳法1.用数学归纳法证明：“1+a +a 2+…+a n +1=aan --+112(a ≠1)”在验证n =1时，左端计算所得的项为 .答案1+a +a 22.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是 （填序号）.①P （n ）对n ∈N *成立 ②P (n )对n ＞4且n ∈N *成立 ③P （n ）对n ＜4且n ∈N *成立 ④P （n ）对n ≤4且n ∈N *不成立 答案 ④3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=224n n+，则当n =k +1时左端应在n =k 的基础上加上 .答案 （k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k +1）2 4.已知f (n )=n1+11+n +21+n +…+21n，则下列说法有误的是 .①f (n )中共有n 项，当n =2时，f (2)=21+31 ②f (n )中共有n +1项，当n =2时，f (2)= 21+31+41③f (n )中共有n 2-n 项，当n =2时，f (2)=21+31④f (n )中共有n 2-n +1项，当n =2时，f (2)= 21+31+41答案 ①②③5.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n +y n 能被x +y 整除”，在第二步时， .答案 假设n =k (k 是正奇数)，证明n =k +2命题成立例2 用数学归纳法证明:基础自测n ∈N *时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-n n =12+n n .证明 （1）当n =1时,左边=311⨯=31,右边=1121+⨯=31,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当n =k (k ∈N *)时等式成立,即有311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k =12+k k ,则当n =k +1时,311⨯+531⨯+…+)12)(12(1+-k k +)32)(12(1++k k=12+k k +)32)(12(1++k k =)32)(12(13)2(++++k k k k=)32)(12(1322++++k k k k=321++k k =1）1(21+++k k ,所以当n =k +1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n ∈N *等式都成立. 例2 试证：当n 为正整数时，f (n )=32n +2-8n -9能被64整除.证明 方法一 （1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64, 命题显然成立.（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时， f (k )=32k +2-8k -9能被64整除.由于32(k +1)+2-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+9·8k +9·9-8(k +1)-9=9(32k +2-8k -9)+64(k +1) 即f (k +1)=9f (k )+64(k +1) ∴n =k +1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *，命题都成立. 方法二 （1）当n =1时，f (1)=34-8-9=64，命题显然成立. （2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时，f (k )=32k +2-8k -9能被64整除. 由归纳假设，设32k +2-8k -9=64m (m 为大于1的自然数)，将32k +2=64m +8k +9代入到f (k +1)中得f (k +1)=9(64m +8k +9)-8(k +1)-9=64(9m +k +1), ∴n =k +1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的n ∈N *,命题都成立.例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+31）（1+51） (1)121-n ）＞212+n 均成立.证明 （1）当n =2时，左边=1+31=34；右边=25.∵左边＞右边，∴不等式成立.（2）假设n =k (k ≥2,且k ∈N *)时不等式成立， 即（1+31）（1+51） (1)121-k ）＞212+k .则当n =k +1时，（1+31）（1+51）…（1+121-k ）＞]1)1(211[-++k＞212+k ·1222++k k =12222++k k =1224842+++k k k＞1223842+++k k k=1221232+++k k k =21)1(2++k .∴当n =k +1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n ,不等式都成立.例4 （16分）已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2,a 5是方程x 2-12x +27=0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n =1-nb 21.（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较nb 1与S n +1的大小，并说明理由.解 （1）由已知得⎩⎨⎧==+27125252a a a a ,又∵{a n }的公差大于0，∴a 5＞a 2,∴a 2=3,a 5=9. ∴d =325a a - =339-=2，a 1=1.∴a n =2n -1. 2分∵T n =1-21b n ，∴b 1=32， 当n ≥2时，T n -1=1-21b n -1,∴b n =T n -T n -1=1-21b n -(1-21b n-1),化简，得b n =31b n -1,∴{b n }是首项为32,公比为31的等比数列，即b n =32·131-⎪⎭⎫ ⎝⎛n =n32, 4分 ∴a n =2n -1，b n =n32.5分(2)∵S n =2)]12(1[-+n n =n 2,∴S n +1=（n +1）2，nb 1=23n. 6分以下比较nb 1与S n +1的大小：当n =1时，11b =23，S 2=4，∴11b ＜S 2,当n =2时，21b =29,S 3=9,∴21b ＜S 3,当n =3时，31b =227,S 4=16,∴31b ＜S 4, 当n =4时，41b =281,S 5=25,∴41b ＞S 5. 猜想：n ≥4时，nb 1＞S n +1.8分下面用数学归纳法证明： ①当n =4时，已证.②假设当n =k (k ∈N *,k ≥4)时，kb 1＞S k +1,即23k＞(k +1)2.那么n =k +1时，11+k b =231+k =3·23k＞3(k +1)2=3k 2+6k +3=(k 2+4k +4)+2k 2+2k -1＞［(k +1)+1］2 =S (k +1)+1, ∴n =k +1时，nb 1＞S n +1也成立.11分 由①②可知n ∈N *,n ≥4时，n b 1＞S n +1都成立.14分综上所述，当n =1,2,3时，nb 1＜S n +1,当n ≥4时，nb 1＞S n +1.16分1.用数学归纳法证明： 对任意的n ∈N *,1-21+31-41+…+121-n -n 21=11+n +21+n +…+n21.证明 （1）当n =1时，左边=1-21=21=111+=右边，∴等式成立.（2）假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时，等式成立，即 1-21+31-41+…+121-k -k21=11+k +21+k +…+k21.则当n =k +1时, 1-21+31-41+…+121-k -k 21+121+k -221+k=11+k +21+k +…+k21+121+k -221+k=111++k +211++k +…+k21+121+k +(11+k -221+k )=111++k +211++k +…+k21+121+k +)12(1+k ,即当n =k +1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的n ∈N *等式成立. 2.求证：二项式x 2n -y 2n (n ∈N *)能被x +y 整除. 证明 （1）当n =1时，x 2-y 2=(x +y )(x -y ), 能被x +y 整除，命题成立.（2）假设当n =k （k ≥1,k ∈N *）时，x 2k -y 2k 能被x +y 整除， 那么当n =k +1时， x 2k +2-y 2k +2=x 2·x 2k -y 2·y 2k =x 2x 2k-x 2y 2k+x 2y 2k-y 2y 2k=x 2(x 2k -y 2k )+y 2k (x 2-y 2), 显然x2k +2-y 2k +2能被x +y 整除，即当n =k +1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n 命题均成立. 3.已知m ,n 为正整数.用数学归纳法证明：当x ＞-1时，(1+x )m≥1+mx . 证明 （1）当m =1时，原不等式成立； 当m =2时，左边=1+2x +x 2,右边=1+2x , 因为x 2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立； （2）假设当m =k (k ≥1,k ∈N *)时，不等式成立， 即（1+x ）k≥1+kx ,则当m =k +1时， ∵x ＞-1,∴1+x ＞0.于是在不等式(1+x )k ≥1+kx 两边同时乘以1+x 得 (1+x )k ·（1+x ）≥(1+kx )(1+x )=1+(k +1)x +kx 2 ≥1+(k +1)x .所以(1+x )k +1≥1+(k +1)x , 即当m =k +1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m ,不等式都成立. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）. （1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； （2）证明你的猜想，并求出a n 的表达式. （1）解 ∵a n =S n -S n -1（n ≥2） ∴S n =n 2（S n -S n -1），∴S n =122-nnS n -1（n ≥2）∵a 1=1，∴S 1=a 1=1. ∴S 2=34，S 3=23=46，S 4=58，猜想S n =12+n n （n ∈N *）.（2）证明 ①当n =1时，S 1=1成立.②假设n =k （k ≥1,k ∈N *）时，等式成立，即S k =12+k k ，当n =k +1时，S k +1=（k +1）2·a k +1=a k +1+S k =a k +1+12+k k ，∴a k +1=()()122++k k ，∴S k +1=（k +1）2·a k +1=()212++k k =()1112+++k k ，∴n =k +1时等式也成立，得证.∴根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立. 又∵a k +1=)1)(2(2++k k ，∴a n =)1(2+n n .一、填空题1.用数学归纳法证明：“11+n +21+n +…+131+n ≥1(n ∈N *)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“ ”. 答案21+31+412.如果命题P （n ）对于n =k (k ∈N *)时成立，则它对n =k +2也成立，又若P （n ）对于n =2时成立，P （n ）对所有 n 成立. ①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④所有大于1的正整数答案 ②3.利用数学归纳法证明不等式1+21+31+…+121-n＜n (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n =k 变到n =k +1时，左边增加了 项. 答案 2k4.用数学归纳法证明“2n ＞n 2+1对于n ＞n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取 . 答案 55.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n +1边形的对角线条数f （n +1）= . 答案 f (n )+n -16.证明22+n ＜1+21+31+41+…+n21＜n +1(n ＞1)，当n =2时，中间式子等于 .答案 1+21+31+417.用数学归纳法证明不等式11+n +21+n +…+nn +1＜2413的过程，由n =k 推导n =k +1时，不等式的左边增加的式子是 . 答案121+k +221+k -11+k8.用数学归纳法证明1+21+31+…+121-n＜2 (n ∈N ,且n ＞1)，第一步要证的不等式是 .答案 1+21+31＜2。