26.2.2二次函数最值的应用(第5课时)同步练习(含答案解析)
2020-2021年九年级下册华东师大版数学习题课件 26.2.2 第5课时二次函数最值的应用
二次函数的最值在实际生活中的应用
5．(3分)一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)与飞行时间t(秒)满足 函数关系h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．1米 B．5米 C．6米 D．7米 6．(3分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形 ABCD的最大面积是( C ) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
解：(1)设 AD＝x 米，则 AB＝1002－x .依题意，得x（1002－x） ＝450， 解得 x1＝10，x2＝90.∵a＝20，且 x≤a，∴x＝90 舍去，∴利用旧墙 AD 的长为 10 米
(2)设 AD＝x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米，①如果按图① 方案围成矩形菜园，依题意，得 S＝x（1002－x） ＝－12 (x－50)2 ＋1 250，0<x≤a，∵0<a<50，∴x≤a<50 时，S 随 x 的增大而增 大，当 x＝a 时，S 最大＝50a－12 a2.
【素养提升】 14．(24分)(教材P20试一试变式)空地上有一段长为a米的旧墙MN，某 人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米． (1)已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且 围成的矩形菜园面积为450平方米．如图①，求所利用旧墙AD的长； (2)已知0<a<50，且空地足够大，如图②.请你合理利用旧墙及所给木栏 设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求出面积的 最大值．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)设计费能达到24 000元吗？为什么？ (3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
二次函数的图像(1)
第二十六章 二次函数26.2（1）二次函数的图像课时同步检测一、基础巩固一．选择题1. 二次函数y =﹣x 2+bx +c 的图象如图所示，点A (b ，c )在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴在y 轴右边可得a 、b 异号，所以b ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在负半轴可得c ＜0，由此可推出答案．【详解】∵对称轴在y 轴右边， ∴22(1)2b b b a -=-=⨯-＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0，∴点(,)b c 在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围是解题的关键．2. 抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，抛物线过点()1,0-，则下列结论：①0abc >；②20a b -=；③30a c +>；④2a b am bm +>+（m 为一切实数）；⑤24b ac >；正确的个数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点位置，确定,,a b c 的正负，即可①；抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=1，即可判断②；抛物线与x 轴的一个交点 (1-；0)，得到另一个交点，把b =−2a 代入即可判断③，根据抛物线的最大值判断④；由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2-4ac>0，即可判断⑤.【详解】①∵抛物线开口向下，∴a <0；∵对称轴是：1,x =∴a ；b 异号，∴b >0；∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c >0；∴abc <0；∴选项①不正确； ②抛物线对称轴是：12b x a=-=， b =−2a ；2a +b =0；选项②不正确;③抛物线与x 轴的一个交点 (1-；0)，则另一个交点为(3；0)； 930,a b c ∴++=把b =−2a 代入得：30,a c +=∴选项③不正确；④抛物线在1x =时取得最大值，2,a b c am bm c ∴++≥++即2,a b am bm ∴+≥+故选项④不正确；⑤ ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac>0即24b ac >，∴选项⑤正确；正确的有1个，故选A【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向，,a b 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了抛物线与y 轴的交点位置.是中考常考题型.3. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，①abc ＜0；②b-2a=0；③a+b+c ＜0；④4a+c ＜2b ；⑤am 2+bm+c≥a-b+c ，上述给出的五个结论中，正确的结论有（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【解析】 【分析】由抛物线开口方向判断a 的符号，然后由对称轴位置判断b 的符号，再根据抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，即可判断；；根据对称轴12b x a=-=-，可判断；；由图像可得当x=1时，y=a+b+c ＞0，可判断；；当x=-2时，y=4a-2b+c ，根据对称性可知x=-2与x=0时y 相等，可判断；；由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c 为最小值，据此可判断；.【详解】；抛物线开口向上，a ＞0，对称轴在y 轴左侧，根据“左同右异”可知b ＞0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以abc ＜0，故；正确；；由图像可知，12b x a=-=-，所以2b a =，即2=0-b a ，故；正确； ；由图像可得当x=1时，y=a+b+c ＞0，故；错误；；∵抛物线对称轴x=-1，当x=0时，y ＜0，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，所以4a+c ＜2b ，故；正确；；由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c 为最小值，当x=m 时，y= am 2+bm+c ，所以am 2+bm+c≥a-b+c ，故；正确；所以；；；；正确，故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像与系数之间的关系是解题的关键.4. 已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，分析下列四个结论，其中正确的结论有（ ）①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③b ﹣2a ＞0；④(a +c )2＜b 2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴在y 轴左侧以及与y 轴交于正半轴，即可确定a 、b 、c 的符号，进而可判断结论①；由二次函数图象与x 轴有两个交点，即可得出b 2﹣4ac ＞0，进而可判断结论②；由﹣2b a＞﹣1结合a ＜0即可判断结论③；当x=1时y ＜0和当x=﹣1时y ＞0，可得a+b+c ＜0，a ﹣b+c ＞0，两式相乘后变形即可判断结论④，从而可得答案．【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴， ∴a ＜0，﹣2b a ＜0，c ＞0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故结论①错误；②∵二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故结论②正确； ③∵﹣2b a＞﹣1，a ＜0， ∴b ＞2a ，∴b ﹣2a ＞0，故结论③正确；④∵当x=1时，y ＜0；当x=﹣1时，y ＞0，∴a+b+c ＜0，a ﹣b+c ＞0，∴(a+b+c)(a ﹣b+c)＜0，∴(a+c)2﹣b 2＜0，即(a+c)2＜b 2，故结论④正确．综上，正确的结论有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的图象与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．5. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：0abc >①；240b ac -<②；42a c b ③+>；22()a c b +>④；()x ax b a b +≤-⑤，其中正确结论的是( )A. ①③④B. ②③④C. ①③⑤D. ③④⑤【答案】C【解析】 【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x ＝﹣1＝2b a-， ∴b ＜0，∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故；正确，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故；错误，∵x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，∴4a +c ＞2b ，故；正确，∵x ＝﹣1时，y ＞0，x ＝1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＞0，a +b +c ＜0，∴(a ﹣b +c) (a +b +c)＜0∴22()0a c b +-＜，∴22()a c b +＜，故；错误，∵x ＝﹣1时，y 取得最大值a ﹣b +c ，∴ax 2+bx +c ≤a ﹣b +c ，∴x （ax +b ）≤a ﹣b ，故；正确．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. 已知函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc ＞0；②b 2＞4ac ； ③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0．其中正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点来确定，结合抛物线与x 轴交点的个数来分析解答． 【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：2b a -＞0， ∴ab ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②由图象可知：△＞0，∴b 2−4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故②正确；③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ），而x ＝0时，y ＝c ＞0，∴x ＝2时，y ＝c ＞0，∴y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，故③正确； ④∵12b a-=， ∴b ＝−2a ，∴2a ＋b ＝0，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中等题型．7. 已知二次函数 y；ax 2+bx+c；a≠0），过（1；y 1；；2；y 2；；①若 y 1；0 时，则 a+b+c；0②若 a；b 时，则 y 1；y 2③若 y 1；0；y 2；0，且 a+b；0，则 a；0④若 b；2a；1；c；a；3，且 y 1；0，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质以及图象与系数之间的关系判断即可.【详解】①若 y 1；0 时，当 x；1 时，y 1；a+b+c；0 此时，正确；②若 a；b 时；即函数的对称轴是 x；；12；；；；；；；；也确定不了 y 1；y 2 的大小，故 y 1；y 2，错误；③若 y 1；0；y 2；0，即：a+b+c；0；4a+2b+c；0；解得；；3a；b；0；而 a+b；0；即；；2a；0；∴a；0；正确；④若 b；2a；1；c；a；3，且 y 1；0；即：a+b+c；0；把 b；c 的值代入上式得；a；1； 则 b；1；c；；2； 顶点的 x 坐标＝﹣2b a ；0，顶点的 y 坐标＝﹣244ac b a ；；2；14a；0；故顶点一定在第三象限，正确；故选C；【点睛】考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．8. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ﹣a ＞c ；③4a +2b +c ＞0；④a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数），其中正确结论的有（ ）A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④【答案】C【解析】【分析】①由图象知，a、b异号，c＞0，∴abc＜0；②由图象知，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，b﹣a＞c；③由图象知，当x=2时，y=4a+2b+c＞0；④由图象知，x=1时，y=a+b+c为函数最大值，当x=m时，y=am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b）．【详解】解：①由图象知，a、b异号，c＞0，∴abc＜0，错误；②由图象知，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，b﹣a＞c，正确；③由图象对称性知，x=0和x=2的函数值相同，且当x=0时，y＞0故当x=2时，y=4a+2b+c＞0，正确；④由图象知，x=1时，y=a+b+c为函数最大值，当x=m时，y=am2+bm+c，∴a+b+c＞am2+bm+c∴a+b＞m（am+b），正确．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数图象及性质，掌握二次函数的图象及性质和各项系数的关系是解决此题的关键．9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. a＜0B. c＞0C. 2a=﹣bD. b＞a【答案】D【解析】【分析】本题分别根据抛物线开口方向、与y 轴交点位置、对称轴逐一判断可得答案．【详解】解：A 选项：由抛物线开口向上知a ＞0，此选项错误；B 选项：由抛物线与y 轴交于负半轴知c ＜0，此选项错误；C 选项：由抛物线的对称轴12b x a=-=-知2b a =，此选项错误； D 选项：由b =2a 且a ＞0知b ＞a ，此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．10. 如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法：①abc ＞0；②2a +b =0；③a +b +c ＞0；④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据函数的开口方向，对称轴以及与y 轴的交点确定a ，b ，c 的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据x =1时的纵坐标的位置判断③；根据二次函数图象落在x 轴上方的部分对应的自变量x 的取值，判断④．【详解】解：①图象开口向下，能得到a ＜0，与y 轴交于正半轴，则c ＞0，对称轴在y 轴右侧，故b ＞0，则abc ＜0，故①错误；②对称轴在y 轴右侧，x =132-+=1，则有﹣2b a=1，即2a +b =0，故②正确； ③当x =1时，y ＞0，则a +b +c ＞0，故③正确；④由图可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断出a ，b ，c 的符号以及对称轴的位置是解题的关键．11. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，点A （2，y 1），B （4，y 2），则y 1，y 2的大小关系是（ ）A. 12y y >B. 12y y =C. 12y y <D. 无法确定【答案】A【解析】 【分析】利用二次函数的性质即可解答．【详解】从题中给出的图像可以看出，对称轴为直线x=1；a；0；又点A；B 位于对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，则y 1；y 2；故选A；【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是利用图像性质进行解答．12. 若点(12-，y 1)，(14-，y 2)，(1，y 3)都在二次函数y =x 2﹣3的图象上，则有（ ）A. y 1＞y 2＞y 3B. y 2＞y 1＞y 3C. y 3＞y 1＞y 2D. y 1＞y 3＞y 2 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线x=0），图象的开口向上，根据二次函数的性质得出点（1，y 3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y 3），在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，再比较即可．【详解】∵二次函数y=x 2﹣3的图象的对称轴是y 轴（直线x=0），∴点（1，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y3），图象的开口向上，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∵111024---＜＜＜，∴y3＞y1＞y2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．13. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线经过抛物线的顶点（2；4），则下列说法：①当0；x；2时，y2；y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x；2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2=2，则或x=1；其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据图象得出函数解析式为y=a；x-2；2+4，再把c=0代入即可得出解析式，根据二次函数的性质得出答案．【详解】设抛物线解析式为y=a；x-2；2+4；∵抛物线与直线均过原点，∴a；0-2；2+4=0；∴a=-1；∴y=-；x-2；2+4；∴由图象得当0；x；2时，y2；y1，故①正确；y2随x的增大而增大的取值范围是x；2，故②正确；∵抛物线的顶点（2；4；；使得y2大于4的x值不存在，故③正确；把y=2代入y=-；x-2；2+4，得y2=2；则或其中正确的有3个，【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．14. 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，﹣1），则b+c的值是（）A. ﹣1B. 3C. ﹣4D. ﹣2【答案】D【解析】【分析】把点（1；2）直接代入函数解析式，变形即可．【详解】∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1；；1；；；；1=1+b+c；即b+c=；2；故选D；【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知点的坐标适合解析式是解题的关键；15. 若点P(1，a)、Q(﹣1，b)都在函数y=x2的图象上，则线段PQ的长是（）A. a+bB. a﹣bC. 4D. 2【答案】D【解析】【分析】把P（1，a）、Q（﹣1，b）分别代入y=x2得a和b的值，从而得到P、Q点的坐标，然后再计算两点之间的距离即可．【详解】把P（1，a）、Q（﹣1，b）分别代入y=x2得a=12=1，b=（﹣1）2=1，即P（1，1），Q（﹣1，1），∴PQ=1﹣（﹣1）=2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16. 已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A. y1＜y2＜y3B. y3＜y2＜y1C. y2＜y1＜y3D. y3＜y1＜y2【答案】C【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A；B；C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x；∴x=-1；而A；-5；y1；；B；2.5；y2；；C；12；y3；；∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2；y1；y3；故选:C；【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．17. y=3；x；1；2+2与y轴的交点坐标是（）A. ；0；2；B. ；0；5；C. ；2；0；D. ；5；0；【答案】B【解析】【分析】求抛物线与y轴的解得坐标，可令x=0；求得y值即可.【详解】∵当x=0时；y=3(x-1)2+2=3(0-1)2+2=5；；y=3；x；1；2+2与y轴的交点坐标是（0，5），故选B.【点睛】本题考查二次函数图像与y轴交点坐标的特点，掌握图像与y轴的交点的横坐标为0是解题关键.18. 已知点A；；2；a；；B；12；b；；C；52；c）都在二次函数y=；x2+2x+3的图象上，那么a；b；c的大小是（）A. a；b；cB. b；c；aC. a；c；bD. c；b；a【答案】C【解析】【分析】先计算对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，再根据A；B；C三点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】比较A；B；C 三点横坐标与坐标轴的距离，可知距离差分别为A ；3 B；0.5 C；1.5 ∴ b；c；a ，选C.【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像的性质.19. 设点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)是抛物线y =﹣2x 2+1上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A. y 3＞y 2＞y 1B. y 1＞y 3＞y 2C. y 3＞y 1＞y 2D. y 1＞y 2＞y 3【答案】D【解析】【分析】分别计算自变量为﹣1、2、3对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】当x=﹣1时，y 1=﹣2x 2+1=﹣2×（﹣1）2+1=﹣1，当x=2时，y 2=﹣2x 2+1=﹣2×22+1=﹣7，当x=3时，y 3=﹣2x 2+1=﹣2×32+1=﹣17，所以y 1＞y 2＞y 3．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．20. 已知抛物线y=；x 2+2x+k 上三点（1；y 1；；；2；y 23），则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A. y 1；y 2；y 3B. y 2；y 1；y 3C. y 3；y 1；y 2D. y 3；y 2；y 1 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，抛物线y =-x 2+2x +k 的对称轴为直线x =1，则离对称轴越远的点对应的函数值越小，而点y 3）离对称轴最远，点（；1；y 1；离对称轴最近，于是有y 1；y 2；y 3；【详解】∵a =-1＜0，∴抛物线开口向下， ∵抛物线y =-x 2+2x +k 的对称轴为直线x =()22-1⨯=1，y 3）离对称轴最远，点（；1；y 1；离对称轴最近，；y 1；y 2；y 3；故选A；【点睛】本题是一道运用二次函数的性质比较函数值的大小的题目，需要掌握二次函数的性质. 对于二次函数y =ax 2+bx +c ；a ；b ；c 为常数，a ≠0；；当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.21. 已知函数y=x 2；2mx+2016；m 为常数）的图象上有三点：A；x 1；y 1；；B；x 2；y 2；；C；x 3；y 3），其中x 1+m；x 2=23+m；x 3=m；1，则y 1；y 2；y 3的大小关系是（ ）A. y 2；y 3；y 1B. y 3；y 1；y 2C. y 1；y 2；y 3D. y 1；y 3；y 2 【答案】A【解析】【分析】先求出二次函数y =x 2-2mx +2016的对称轴为x =m ，进而得到函数图象上的点到对称轴的距离越远，函数值就越大；接下来，通过比较A ；x 1；y 1；；B ；x 2；y 2；；C ；x 3；y 3）到对称轴x =m 的距离的大小关系，就能确定y 1；y 2；y 3的大小关系.【详解】在二次函数y =x 2-2mx +2016中，对称轴x =m ，；A ；x 1；y 1；；B ；x 2；y 2；；C ；x 3；y 3）是图象上的三个点，|23+m -m |；|m +m -m |；∴y 2＜y 3＜y 1.故选A.【点睛】本题是一道运用二次函数的性质比较函数值的大小的题目，需要掌握二次函数的性质. 对于二次函数y =ax 2+bx +c ；a ；b ；c 为常数，a ≠0；；当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.22. 函数y；2x 2；8x+m 的图象上有两点A；x 1；y 1；；B；x 2；y 2；，且|x 1；2|；|x 2；2|，则； ；A. y 1；y 2B. y 1；y 2C. y 1；y 2D. y 1；y 2的大小不确定【答案】C【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图象具有对称性，可以解答本题．【详解】解：∵函数y=2x2-8x+m=2；x-2；2-8+m；∴该函数图象开口向上，有最小值，对称轴为直线x=2；∵函数y=2x2-8x+m的图象上有两点A；x1；y1；；B；x2；y2），且|x1-2|；|x2-2|；∴y1；y1；故选C；【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23. 若A(；4；y1)；B(；1；y2)；C(0；y3)为二次函数y；；(x+2)2+3的图象上的三点，则y1；y2；y3的大小关系是()A. y1；y2；y3B. y3；y1；y2C. y3；y1；y2D. y1；y2；y3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征,将A；-4,y1；,B；-1,y2；,C；0,y3）分别代入二次函数的关系式,分别求得y1,y2,y3的值,最后比较它们的大小即可．【详解】解：∵A；-4,y1；,B；-1,y2；,C；0,y3）为二次函数y=-；x+2；2+3的图象上的三点,；y1=-4+3=-1,即y1=-1,y2=-1+3=2,即y2=2,y3=-4+3=-1,即y3=-1,；y3=y1；y2,故选B；【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质.24. 已知二次函数2(0)=-+>，当自变量x取m时，其相应的函数值小于y x x a a0，则下列结论正确的是（）m-时的函数值小于0A. x取1B. x取1m-时的函数值大于0C. x取1m-时的函数值等于0D. x取1m-时函数值与0的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=12，设抛物线与x轴交于点A；B；∴AB；1；∵x取m时，其相应的函数值小于0；∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y；0；故选B；【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．25. 抛物线y=2(x﹣2)2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为（）A. y=2(x﹣2)2+1B. y=﹣2(x﹣2)2+1C. y=﹣2(x﹣2)2﹣1D. y=﹣(x﹣2)2﹣1【答案】B【解析】【分析】先确定抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．26. 将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（）A. y=3；x；2；2；1B. y=3；x；2；2+5C. y=3；x+2；2；1D. y=3；x+2；2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可；【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为；y=3；x+2；2+2；再向下平移3个单位为；y=3；x+2；2+2；3；即y=3；x+2；2；1；故选C；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换；要求熟练掌握平移的规律；左加右减；上加下减；27. 将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后所得抛物线的解析式为（）A. y＝（x+4）2B. y＝x2C. y＝x2﹣10D. y＝（x+4）2﹣10【答案】A【解析】【分析】根据顶点式求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可．【详解】；y；；x+2；2；5；∴原抛物线顶点坐标为（﹣2；；5；；∵向左平移2个单位，再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线顶点坐标为（﹣4；0；；∴所得抛物线解析式为y ；；x +4；2；故选A ；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便．28. 将抛物线()21112y x =-+向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. ()21322y x =-- B. ()21122y x =+- C. ()21342y x =-+ D. ()21142y x =++ 【答案】B【解析】 【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论；【详解】将抛物线()21112y x =-+向左平移2个单位；再向下平移3个单位；得到的抛物线的函数表达式为；y =12；x ；1+2；2+1；3；即y =12；x +1；2；2； 故选B；【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换；熟知“上加下减；左加右减”的法则是解答此题的关键；29. 要得到抛物线y =213x ﹣4，可将抛物线y =213x （ ）单位． A. 向上平移4个B. 向下平移4个C. 向右平移4个D. 向左平移4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：要得到抛物线y=213x ﹣4，可将抛物线y=213x 向下平移4个单位，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．30. 将抛物线y =3x 2平移得到抛物线y =3(x +2)2，则这个平移过程正确的是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向上平移2个单位D. 向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】根据图象左移加，可得答案．【详解】∵将抛物线y=3x 2平移得到抛物线y=3（x+2）2，∴这个平移过程是向左平移了2个单位.故选：A ．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减． 二、拓展提升31. 如图，将函数21(3)12y x =++的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A；-4；m；；B；-1；n；,平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 ； ；A. 21(3)22y x =+-B. 21(3)72y x =++ C. 21325y x =+-() D. 21342y x =++() 【答案】D【解析】【详解】分析：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），AC=-1-(-4)=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．详解：过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，过A′作A′D∥x轴，交B′B的于点D，则C（-1，m），∴AC=-1-(-4)=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴矩形ACD A′的面积等于9；∴AC·AA′=3AA′=9，∴AA′=3，∴新函数的图是将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的，；新图象的函数表达式是y=12；x-2；2+1+3=12；x-2；2+4；故选D．点睛：此题主要考查了二次函数图象变换以及矩形的面积求法等知识，根据已知得出AA′的长度是解题关键．32. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线y1=a；x+1；；x；5）和y2=mx2+2mx+1，其中am；0，要使得两条抛物线构成轴对称图形，下列变换正确的是（ ）A. 将抛物线y 1向右平移3个单位B. 将抛物线y 1向左平移3个单位C. 将抛物线y 1向右平移1个单位D. 将抛物线y 1向左平移1个单位【答案】B【解析】【详解】【分析】根据开口方向相反的抛物线关于x 对称的抛物线的对称轴是同一条直线，图象的平移规律 左减右加，可得答案【详解】y 1=a；x+1；；x；5；=ax 2；4ax；5a ，对称轴是x=2；y 2=mx 2+2mx+1对称轴是x=；1；y 1=a；x+1；；x；5；=ax 2；4ax；5a 图象向左平移3个单位，得对称轴x=；1；两条抛物线关于x 轴对称，∴将抛物线y 1向左平移3个单位，两条抛物线构成轴对称图形，故选B；【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象的平移规律：左减右加是解题关键，还利用了开口方向相反的抛物线关于x 对称的抛物线的对称轴是同一条直线．33. 将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为； ；A. ()215y x =-+B. ()244y x =-+C. ()246y x =-+D. ()21y x =-【答案】B【解析】【详解】223y x x =-+=（x-1）2+2，向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x-1-3)2+2+2，即y=(x-4)2+4，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．34. 抛物线22y x =经过平移得到22(1)y x =+，则这个平移过程正确的是（ ）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，即可判定.【详解】由题意，得平移过程为向左平移1个单位，故选：A .【点睛】此题主要考查抛物线的平移，熟练掌握，即可解题.35. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（ ）A. y=（x ﹣2）2﹣4B. y=（x ﹣1）2﹣4C. y=（x ﹣2）2﹣3D. y=（x ﹣1）2﹣3【答案】B【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线()21y x =+顶点坐标为()10-，， 向右平移2个单位，再向下平移4个单位，∴平移后抛物线的顶点坐标为()1,4-，∴平移后抛物线的解析式为()214y x =--．故选B；36. 抛物线y =5x 2+6向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）A. y =5(x ﹣3)2+6B. y =5x 2C. y =5(x +3)2+6D. y =5x 2+9 【答案】A【解析】【分析】先确定抛物线y=5x 2+6的顶点坐标为（0，6），再利用点平移的坐标特征得到点（0，6）平移后对应点的坐标为（3，6），然后根据顶点式写出平移后的新抛物线的表达式．【详解】∵抛物线y=5x 2+6的顶点坐标为（0，6），∴点（0，6）向右平移3个单位长度后的对应点的坐标为（3，6），∴平移后的新抛物线的表达式为y=5（x﹣3）2+6．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．37. 已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A. 将抛物线c沿x轴向右平移52个单位得到抛物线c′ B. 将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C. 将抛物线c沿x轴向右平移72个单位得到抛物线c′ D. 将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′【答案】B【解析】【详解】∵抛物线C；y=x2+2x；3=；x+1；2；4；∴抛物线对称轴为x=；1；∴抛物线与y轴的交点为A；0；；3；；则与A点以对称轴对称的点是B；2；；3；；若将抛物线C平移到C′，并且C；C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4；；3；；因此将抛物线C向右平移4个单位．故选B；38. 抛物线y=12x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为（）A. y=12x2+2x+1 B. y=12x2+2x﹣2C. y=12x2﹣2x﹣1 D. y=12x2﹣2x+1【答案】A【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】根据“上加下减，左加右减”可知，二次函数y=12x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象表达式为y=12（x+2）2﹣1， 即y=12x 2+2x+1． 故选：A ．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．39. 将抛物线y =(x ﹣2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）A. y =x 2+3B. y =x 2﹣1C. y =x 2﹣3D. y =(x +2)2﹣3【答案】B【解析】【分析】根据平移的规律：上加下减，左加右减，可得2(22)23y x =-++-， 化简即可选择．【详解】将抛物线y =(x ﹣2)2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位后， 可得2(22)23y x =-++-，即21y x =-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移的规律：上加下减，左加右减是解题关键．40. 已知：如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB =OC ，则下列结论正确的个数是（ ）①b =2a ②a ﹣b +c ＞﹣1 ③0＜b 2﹣4ac ＜4 ④ac +1=b ．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】 【分析】①根据抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1，即﹣2b a=﹣1，整理后即可得到答案；②根据图象法即可得到答案； ③观察图象知函数图象与x 轴有两个交点，从而得到b 2﹣4ac ＞0；然后根据表示出a ，b ，c 的值，根据不等式的性质，即可求得；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．【详解】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 整理得b=2a ，故①正确；④由抛物线与y 轴相交于点C ，就可知道C 点的坐标为（0，c ），又因OC=OB ，所以B （﹣c ，0），把它代入y=ax 2+bx+c ，即ac 2﹣bc+c=0，两边同时除以c ，即得到ac ﹣b+1=0，所以ac+1=b ．故④正确；②∵抛物线过点B 、C ，且直线BC 与x 轴所夹锐角为45°，且抛物线只与直线BC 有两个交点B 、C ，设直线BC 与对称轴x=﹣1交于点D ，对称轴与x 轴交于点E ，易知DE ＜1， ∴D 的纵坐标大于﹣1，而抛物线是光滑曲线与直线BC 相交于B 、C 后不会再与直线BC 相交，。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析一、单选题(共12题；共24分)1．如图，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm。
点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（）A．0cm2B．8cm2C．16cm2D．24 cm2 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A．②④⑤⑥⑦B．①②③⑥⑦C．①③④⑤⑦D．①③④⑥⑦3．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．- 或4．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣25．二次函数y=−x2+6x−7，当x取值为t≤x≤t+2时有最大值t=2，则t的取值范围为（）A．t≤0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm27．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．x＞1时y随x的增大而减小C．顶点坐标是（1，2）D．函数有最大值28．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7 9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时函数的最小值是0；⑤当x＝1时函数的最大值是4A．4B．3C．2D．110．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√2 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=-1对称；③当x=-2时函数y的值等于0；④当x=-3或x=1时函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y=ax2+4ax+a2−1，当−4≤x≤1时y的最大值为5，则实数a的值为.14．函数y=2x2-8x+1的最小值是.15．当-2≤x≤1时二次函数若y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则m的值为．16．如图，在△ABC中△B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒四边形APQC的面积最小.17．一条抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点M，N的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为．18．二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是三、综合题(共6题；共66分)19．如图，在平面直角坐标系中点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣√3），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．20．X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104b（k，b为常数，k≠0）；②y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=（不写n的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）.21．在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A(1，−1)，与y轴交于点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）点P(m，n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润最大？最大为多少元？23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.（1）求销售量y件与销售单价x(x>10)元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，已知直线y=﹣12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y 轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】2−√10 或1 14．【答案】-7 15．【答案】2或- √3 16．【答案】3 17．【答案】-3 18．【答案】（-4，-4）19．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）由抛物线的对称性知B 点坐标为（3，0） 依题意得： {a −b +c =09a +3b +c =0c =−√3解得： {a =√33b =−2√33c =−√3∴所求二次函数的解析式为 y =√33x 2−2√33x −√3（2）解：∵P 点的横坐标为m∴P 点的纵坐标为 √33m 2−2√33m −√3设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 是常数） 依题意，得 {3k +b =0b =−√3∴{k=√33b=−√3故直线BC的解析式为y=√33x−√3∴点F的坐标为(m,√33m−√3)∴PF=−√33m2+√3n(0＜m＜3)（3）解：∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=12PF⋅BO=12×(−√33m2+√3m)×3=−√32(m−32)2+9√38∴当m=32时△PBC的最大面积为9√38把m=32代入y=√33x2−2√33x−√3得y=−5√34∴点P的坐标为(32,−5√3 4)20．【答案】（1）-2n+24（2）解：由题意得：Q=pmn=pn(−2n+24)=−2pn2+24pn ∵−2p<0∴Q有最大值∴当n=−24p2×(−2p)=6时Q有最大值此时答：一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时一天的设计运营人数最多. 21．【答案】（1）（0，2）（2）解：①依题意，当N=2时该抛物线的顶点为（0，2）.设抛物线的解析式为y=ax2+2.由抛物线过A（1，−1），得a+2=−1解得a=−3∴抛物线的表达式为y=−3x2+2．②2≤N<322．【答案】（1）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得(50-x)(20+2x)=1600 解得：x1=10，x2=30因要求每件盈利不少于25元，故x2=30应舍去……答：每件商品应减价10元，该商店每天销售利润为1600元.（2）解：设每件商品应降价x元，销售利润为W元。
二次函数的最值精选题道参考答案
二次函数的最值精选题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．2．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．3．【分析】min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y＝﹣x2+1与正比例函数y＝﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1＝﹣x，即x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所述，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．4．【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．5．【分析】根据已知条件得到CP＝6﹣t，得到PQ＝＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．6．【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．解法二：画出函数图象，如图所示：y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴当x＝1时，y＝1；当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．【点评】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．8．【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．9．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更简便．10．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．11．【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．12．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，函数有最小值2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．13．【分析】根据二次函数的图象，可知函数y的最大值和最小值．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决最值问题．14．【分析】把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论．【解答】解：把（﹣1，﹣3）代入y＝x2+mx+n得﹣3＝1﹣m+n∴n＝m﹣4∴mn+1＝m（m﹣4）+1＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3所以mn+1有最小值﹣3，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键．二．填空题（共18小题）15．【分析】由a+b2＝2得出b2＝2﹣a，代入a2+5b2得出a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10，再利用配方法化成a2+5b2＝（a﹣）2+，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2＝2，∴b2＝2﹣a，a≤2，∴a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝（a﹣）2+，当a＝2时，a2+5b2可取得最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2＝（a﹣）2+是关键．16．【分析】设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．【点评】本题考查了函数的最值，熟练运用配方法是解题的关键．17．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，∴a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点评】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．19．【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．【点评】本题考查了二次函数的最值、顶点式的运用及顶点坐标的求法．20．【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．【解答】解：∵0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，∴﹣＜，解得a＜5．故答案为：a＜5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．21．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．22．【分析】根据二次函数的性质，可以得到在2≤x≤5范围内，该函数的最小值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．23．【分析】由当x＝﹣1时y取得最大值知﹣＝﹣1且m＜0，解关于m的方程可得答案．【解答】解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m＝3（舍），故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的性质得出关于m 的方程．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．24．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．25．【分析】根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．【解答】解：如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE面积的最小，∵A（2，0），C（﹣1，0），⊙C半径为1，∴AO＝2，AC＝2+1＝3，CD＝1，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，在△AOE与△ADC中，，∴△AOE∽△ADC，∴＝，即＝，解得EO＝，∵点B（0，2），∴OB＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2﹣，∴△ABE面积的最小值＝×BE×AO＝（2﹣）×2＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键．26．【分析】根据题意：二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值＝2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．37．【分析】根据题意求出当菱形EGFH的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出GH长度，即可求出面积．【解答】解：根据题意可得，由勾股定理可得EF＝；∵四边形EGFH为菱形，根据菱形面积公式，S EGFH＝，∴若要菱形EGFH的面积最大，只需GH值最大，∴根据题意可得G，H在图象上的位置为：过点E作EM⊥BC，垂足为M；过点G作GN⊥CD，垂足为N；又∵EF⊥GH，∴∠MEF＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠GNH，EM＝GN，∴△EMF≌△GNH（AAS），∴GH＝EF＝2，∴＝34．【点评】本题考查了求最大面积时所满足的条件以及菱形的面积公式，根据临界值即可求出答案，属于中档题．28．【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2﹣5的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定，掌握二次函数的性质是解题的关键．29．【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，∴可得二次函数的最小值为﹣5．故答案是：﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．三．解答题（共8小题）30．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y＝﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．31．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．32．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．33．【分析】（1）根据表中的数据得出对称轴是直线x＝2，根据对称点的特点得出即可；（2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可；（3）根据二次函数的性质得出即可．【解答】解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵m＜m+1，∴y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此题的关键．34．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AE＝x，利用平行四边的周长可表示出BC＝4﹣x，则0＜x＜4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到y（cm2）与x的函数关系式；（2）把（1）中的关系式配成顶点式得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到x取什么值时，y的值最大，并得到最大值．【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4﹣x，∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．【点评】本题考查了二次函数的最值问题：先把二次函数配成顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，当a＜0时，x＝h，y有最大值k；当a＞0，x＝h，y有最小值k．也考查了平行四边形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．35．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．【点评】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及待定系数法求解析式，数形结合思想等，利用数形结合思想结合图象求取值范围是常见方法．36．【分析】物线的顶点式解析式y＝a（x﹣h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，把点（0，1）代入得，1＝a（0﹣3）2+4，解得，a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．37．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S＝AC•BD，再利用配方法求出二次函数最值．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，则：S＝AC•BD＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+18，当x＝6时，S最大＝18；所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．。
苏科版九年级数学下册第五章：二次函数 二次函数最值 同步练习(含解析)
二次函数最值一、选择题1.对于二次函数y =−(x −1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x =1，最小值是2B. 对称轴是直线x =1，最大值是2C. 对称轴是直线x =−1，最小值是2D. 对称轴是直线x =−1，最大值是22.关于二次函数y =2x 2+4x −1，下列说法正确的是( )A. 图象与y 轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y 轴的右侧C. 当x <0时，y 的值随x 值的增大而减小D. y 的最小值为−33.若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y =ax 2−ax( )A. 有最大值a 4．B. 有最大值−a 4.C. 有最小值a 4．D. 有最小值−a 4． 4.二次函数y =−x 2−2x +c 在−3≤x ≤2的范围内有最小值−5，则c 的值是( )．A. −6B. −2C. 2D. 35.已知二次函数y =x 2−2mx(m 为常数)，当−1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为−2，则m 的值是( )A . 32 B. √2 C. 32或√2 D. −32或√2 6.在矩形ABCD 中，AB =6，AD =9，点E 为线段AD 上一点，且DE =2AE ，点G 是线段AB 上的动点，EF ⊥EG 交BC 所在直线于点F ，连接GF.则GF 的最小值是( )A. 3B. 6C. 6√2D. 3√57.已知关于x的二次函数y=x2−2x−1，当a≤x≤a+2时，函数有最大值2，则a 的值为()A. −1或1B. 1或−3C. −1或3D. 3或−38.如图，正三角形ABC的边长为3+√3，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为()A. √32B. 32C. 3D. 929.当a≤x≤a+1时，函数y=x2−2x+1的最小值为1，则a的值为()A. −1B. 2C. 0或2D. −1或210.如图，△ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，BC=4，点D是AB边上一个动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AD′，连接CD′，则CD′的最小值是()A. 1B. √3C. √3−1D. √32二、填空题11.如图，P是抛物线y=−x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______．12.如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是______．13.二次函数y=x2+2x−3的最小值是______．14.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是______．15.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO+BO=5，延长AO到C，使OC=3，延长BO到D，使OD=4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为______ ．16.若二次函数y=kx2+k2−3有最大值1，则k的值是______．17.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是______．第17题第18题第19题18.如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为____________．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于．20.若函数y=a(x−ℎ)2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=−2x2−2x+3相同，则此函数的表达式为________．三、解答题21.如图，抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)三点．在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．22.如图，已知抛物线经过两点A(−3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x=−1．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．23.在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；(2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．x2−x+4与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y 24.如图，已知抛物线y=−12轴交于C．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若点E是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为a，求a为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点E的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由抛物线的解析式：y =−(x −1)2+2，可知：对称轴x =1，开口方向向下，所以有最大值y =2，故选：B ．根据抛物线的图象与性质即可判断．本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y =2x 2+4x −1=2(x +1)2−3，∴当x =0时，y =−1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x =−1，故选项B 错误，当x <−1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x =−1时，y 取得最小值，此时y =−3，故选项D 正确．故选D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，得到−1<a <0，于是得到结论．【解答】解：∵一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，∴a +1>0且a <0，∴−1<a <0，∴二次函数y =ax 2−ax =a (x −12)2−a 4有最大值−a 4． 故选B ．4.【答案】D【解析】【分析】首先把二次函数y=−x2−2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在−3≤x≤2内有最小值，判断c的取值．本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．【解答】解：把二次函数y=−x2−2x+c转化成顶点坐标式为y=−(x+1)2+c+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x=−1，故当x=2时，二次函数有最小值为−5，故−9+c+1=−5，故c=3．故选D．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：y=x2−2mx=(x−m)2−m2，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，；解得：m=−32②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，<2(舍)；解得：m=32③若−1≤m≤2，当x=m时，y=−m2=−2，解得：m=√2或m=−√2<−1(舍)，∴m的值为−3或√2，2故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值等，解题关键是要善于运用函数思想求最值．过点F作FM⊥AD于M，证△AEG∽△MEF，设AG=x，利用相似的性质用含x的代数式表示EM的长度，在Rt△GBF中，利用勾股定理用含x的代数式表示出GF2，利用函数的性质求出其最小值，再求出GF的最小值即可．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠EMF=90°，MF=AB=6，∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠AEG+∠MEF=90°，∴∠AGE=∠MEF，∴△AEG∽△MFE，∴AGME =AEMF，设AG=x，∵AD=9，DE=2AE，∴AE=3，∴xME =36，∴ME=2x，∴BF=AM=3+2x，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2=(6−x)2+(3+2x)2=5x2+45，∵点G在线段AB上，∴0≤x≤6，由二次函数的性质可知，当x=0时，GF2有最小值45，∴GF的最小值为3√5，故选D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最大值2，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y=2时，有x2−2x−1=2，解得：x1=−1，x2=3．∵当a≤x≤a+2时，函数有最大值2，∴a=−1或a+2=3，∴a =−1或a =1．故选A ．8.【答案】D【解析】解：设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n ，它们的面积和为S ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠B =60°，AB =3+√3，在Rt △ADN 中，AD =√33DN =√33m ， 在Rt △BPF 中，BF =√33PF =√33n ， ∵AD +DE +EF +BF =AB ，∴√33m +m +n +√33n =3+√3，∴m +n =3，∴n =3−m ，∴S =m 2+n 2=m 2+(3−m)2=2(m −32)2+92，当点M 落在BC 上，则正方形DEMN 的边长最小，正方形EFPH 的边长最大，如图， 在Rt △ADN 中，AD =√33DN ，AN =2√33DN ， ∴DN +2√33DN =3+√3，解得DN =3√3−3，在Rt △BPF 中，BF =√33PF ， ∴√33(3√3−3)+3√3−3+EF +√33PF =3+√3，解得PF =6√3−9，∴6−3√3≤m ≤3√3−3，∴当m =32时，S 最小，S 的最小值为92．故选：D ．设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n ，它们的面积和为S ，根据等边三角形的性质得∠A =∠B =60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得AD =√33DN =√33m ，BF =√33PF =√33n ，则√33m +m +n +√33n =3+√3，所以所以n =3−m ，S =m 2+n 2=m 2+(3−m)2=2(m −32)2+92，接着确定m 的取值范围为6−3√3≤m ≤3√3−3，然后根据二次函数的性质求出S 的最小值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．9.【答案】D【解析】解：当y=1时，有x2−2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=−1，故选：D．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理和利用二次函数求最小值．先根据勾股定理求出的解析式，再根据配方法求出最小值．【解答】解：过作于H点，设，∵△ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，BC=4，∴AC=2，，，∴AH=√3x，CH=2−√3x，=4x2−4√3x+4)2+1，=4(x−√32∴CD′的最小值是1，故选A．11.【答案】6【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．设P点坐标为(x,y)(0<x<2,y>0)，根据矩形的周长公式得到C=−2(x−1)2+6.根据二次函数的性质来求最值即可得到结果．【解答】解：∵y=−x2+x+2，∴当y=0时，−x2+x+2=0，即−(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1，故设P(x,y)(0<x<2,y>0)，∴四边形OAPB周长C=2(x+y)=2(x−x2+x+2)=−2(x−1)2+6．∴当x=1时，C最大值=6，即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是6．12.【答案】a>0【解析】解：∵抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，∴a>0，故答案为a>0．由于原点是抛物线y=ax2+5的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a 的范围．本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．13.【答案】−4【解析】解：∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴二次函数y=x2+2x−3的最小值是−4．故答案为：−4．把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．14.【答案】−1【解析】解：由题意得，4a⋅a−424a=3，整理得，a2−3a−4=0，解得a1=4，a2=−1，∵二次函数有最大值，∴a<0，∴a=−1．故答案为：−1．根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．15.【答案】18【解析】解：设AO=x，则BO=5−x，∵OC=3，OD=4，∴AC=x+3，BD=9−x，∴S四边形ABCD =12AC⋅BD=12(x+3)(9−x)=−12x2+3x+272=−12(x−3)2+18，∴当x=3时，四边形ABCD的面积有最大值为18，即四边形ABCD面积的最大值为18，故答案为：18．设AO=x，则BO=5−x，得到AC=x+3，BD=9−x，得到二次函数的解析式，于是得到结论．本题考查了二次函数的最值，四边形的面积的计算，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．16.【答案】−2【解析】解：∵二次函数y=kx2+k2−3有最大值1，∴k<0，k2−3=1，解得，k=−2，故答案为：−2．根据二次函数的性质得到k<0，k2−3=1，解方程即可．本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、二次函数的最值的确定方法是解题的关键．17.【答案】1【解析】解：如图所示：设BE=x，FC=y，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF(AA)，∴BECF =ABCE=ABBC−BE，即xy =44−x，y=x(4−x)4=−14(x−2)2+1,(0≤x≤4)故答案为1．因∠AEF=90°得∠AEB+∠FEC=90°，在Rt△ABE中∠BAE+∠CEF=90°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠FEC，可证明△ABE∽△ECF；由相似三角形的性质和二次函数可求点G到AD距离的最大值是1．本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质和二次函数求最值等相关知识；重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值．18.【答案】12【解析】解：设HG=x，(0<x<8)∵四边形EFGH是矩形，∴HG//BC，∴△AHG∽△ABC，∴HGBC =AKAD，即x8=6−KD6，解得，KD=6−34x，则矩形EFGH的面积=x(6−34x)=−34x2+6x=34(x−4)2+12，则矩形EFGH的面积最大值为12，故答案为：12．设HG=x，根据相似三角形的性质用x表示出KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19.【答案】√2【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，关键是得出二次函数的解析式．过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+(2−x)2=2(x−1)2+2，于是得到结论．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C=∠ADE=90°，∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°，∴∠DEF=∠ADC，在△EDF和△DAC中，∴△EDF≌△DAC(AAS)，∴DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，则BE2=x2+(2−x)2=2(x−1)2+2，∴BE2的最小值是2，∴BE的最小值是√2，故答案为√2．20.【答案】y=−2(x−2)2+8或y=−2(x+2)2+8【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及待定系数法求解析式．函数图象经过原点，可得等式aℎ2+k=0；已知最大值8，可得k=8；根据抛物线形状相同可知a=−2，从而可求h．【解答】解：∵函数y=a(x−ℎ)2+k的图象经过原点，把(0,0)代入解析式，得：aℎ2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a<0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=−2x2−2x+3相同，∴二次项系数a=−2，把a=−2，k=8代入aℎ2+k=0中，得ℎ=±2，∴函数解析式是：y=−2(x−2)2+8或y=−2(x+2)2+8，故答案为y =−2(x −2)2+8或y =−2(x +2)2+8．21.【答案】解：∵该抛物线过点C(0,−2)，设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx −2．将A(4,0)，B(1,0)代入，得{16a +4b −2=0a +b −2=0， 解得{a =−12b =52， ∴此抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2；如图，设D 点的横坐标为t(0<t <4)，则D 点的纵坐标为−12t 2+52t −2．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为y =12x −2．∴E 点的坐标为(t,12t −2)．∴DE =−12t 2+52t −2−(12t −2)=−12t 2+2t ．∴S △DAC =12×(−12t 2+2t)×4=−t 2+4t =−(t −2)2+4．∴当t =2时，△DAC 面积最大．∴D 点的坐标为(2,1)．【解析】已知抛物线经过C(0,−2)，则可设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx −2，再把A(4,0)，B(1,0)代入即可得出抛物线的解析式；过D 作y 轴的平行线交AC 于E ，将△DCA 分割成两个三角形△CDE ，△ADE ，它们的底相同，为DE ，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA 的面积，运用代数式的变形求最大值．本题综合考查了待定系数法求函数解析式，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，掌握待定系数法的方法与步骤，会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形． 22.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴是直线x =−1且经过点A(−3,0)由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)即：y =a(x −1)(x +3)把B(0,3)代入得：3=−3a∴a =−1∴抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3．(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∵A(−3,0)，B(0,3)，∴{−3k +b =0b =3， ∴直线AB 为y =x +3，作PQ ⊥x 轴于Q ，交直线AB 于M ，设P(x,−x 2−2x +3)，则M(x,x +3)，∴PM =−x 2−2x +3−(x +3)=−x 2−3x ，∴S =12(−x 2−3x)×3=−32(x +32)2+278． 当x =−32时，S 最大=278，y =−(−32)2−2×(−32)+3=154， ∴△PAB 的面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(−32,154)【解析】(1)因为对称轴是直线x =−1，所以得到点A(−3,0)的对称点是(1,0)，因此利用交点式y =a(x −x 1)(x −x 2)，求出解析式．(2)根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．23.【答案】解：(1)连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于点D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12AB ⋅CD =12AB ⋅PM +12AC ⋅PN ，∴PM +PN =CD ，即不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；(2)设BP =x ，则CP =2−x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠BCA =60°，∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴BM =12x ，PM =√32x ，CN =12(2−x)，PN =√32(2−x)， ∴四边形AMPN 的面积=12×(2−12x)⋅√32x +12×[2−12(2−x)]⋅√32(2−x)=−√34x 2+√32x +√32=−√34(x −1)2+3√34， ∴当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，最大值是3√34．【解析】(1)连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于D ，根据等边三角形的性质得到AB =AC ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(2)设BP =x ，则CP =2−x ，由△ABC 是等边三角形，得到∠B =∠C =60°，解直角三角形得到BM =12x ，PM =√32x ，CN =12(2−x)，PN =√32(2−x)，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)当y=0时，−12x2−x+4=0，解得x=−4，x=2，∴A(−4,0)，B(2,0)，当x=0时，y=4，∴C(0,4)；(2)∵E的横坐标是a，∴E(a,−12a2−a+4)，连接OE，S△EAC=S四边形OCEA −S△AOC=12×4×(−a)+12×4×(−12a2−a+4)−12×4×4=−(a+2)2+4，当a=−2时，△AEC有最大值，此时阴影部分的面积最小，∴E(−2,4)．【解析】(1)当x=0时求点C坐标，当y=0时求A、B的坐标；(2)连接OE，S△EAC=S四边形OCEA−S△AOC=−(a+2)2+4，当a=−2时，即可求解；本题考查二次函数图象上点的特征，三角形面积．熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法，将面积转换为二次函数求最值是解题的关键．。
人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》说课稿3
人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》说课稿3一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》是本册教材中的一个重要内容。
这部分内容主要是对九年级上学期的二次函数知识进行系统的复习和总结，为后续的学习打下坚实的基础。
本节课的主要内容包括：二次函数的定义、图象与性质、二次函数的应用等。
通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握二次函数的基本知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定程度的数学知识，对二次函数有一定的了解。
但是，部分学生对二次函数的性质和图象的理解还不够深入，应用二次函数解决实际问题的能力还有待提高。
因此，在教学过程中，要针对学生的实际情况，有针对性地进行教学，引导学生深入理解二次函数的知识，提高解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过复习，使学生熟练掌握二次函数的定义、图象与性质，提高解决问题的能力。
2.过程与方法：通过复习，使学生能够运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义、图象与性质。
2.教学难点：二次函数的应用，特别是解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习导入，引导学生回顾已学的二次函数知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：详细讲解二次函数的定义、图象与性质，通过实例使学生深入理解二次函数的应用。
3.练习：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。
4.应用：利用二次函数的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识。
6.作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二次函数的重点知识。
人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》教学设计2
人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册26.2.2《二次函数复习》是对九年级学生学习二次函数知识的总结和提升。
本节内容主要包括二次函数的图像和性质，以及二次函数的应用。
通过复习，使学生掌握二次函数的基本知识，能够熟练运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解，但部分学生对二次函数的应用还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，有针对性地进行教学，提高学生的学习效果。
三. 教学目标1.了解二次函数的图像和性质，掌握二次函数的基本知识。
2.能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.二次函数的图像和性质2.二次函数的应用五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的图像和性质。
2.利用案例教学，让学生通过实际问题，掌握二次函数的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于讲解二次函数的应用。
2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图像。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，回顾二次函数的基本知识，引导学生进入复习状态。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示二次函数的图像，让学生观察和分析二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器，绘制二次函数的图像，加深对二次函数性质的理解。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些与二次函数有关的实际问题，巩固二次函数的应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，进行知识拓展。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次函数的图像和性质，以及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次函数的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容，方便学生复习。
26.2.2二次函数最值的应用(第5课时)同步练习(含答案解析) (1)
第4课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a (x －h )2＋k 的关系 1．2018·山西用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式为( ) A ．y ＝(x －4)2＋7 B ．y ＝(x －4)2－25 C ．y ＝(x ＋4)2＋7 D ．y ＝(x ＋4)2－252．试通过配方法求出抛物线y ＝－x 2＋4x －8的顶点坐标和对称轴，并指出当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小．知识点 2 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的平移3．在同一平面直角坐标系内，将函数y ＝x 2＋4x －1的图象先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的图象的顶点坐标是( )A ．(－2，－5)B ．(1，－4)C ．(1，－6)D ．(－2，－2)4．2018·广西将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式为( )A ．y ＝12(x －8)2＋5B ．y ＝12(x －4)2＋5C ．y ＝12(x －8)2＋3D ．y ＝12(x －4)2＋35．已知二次函数y ＝x 2的图象上有一点P(1，1)，若将该图象平移后得到的图象的函数表达式为y ＝x 2－2x －1，则点P 经过该次平移后对应点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(2，－1)C ．(1，－2)D ．(0，5)知识点 3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质6．把二次函数y ＝x 2－4x ＋1配方得____________，故其函数图象的开口________，对称轴为________________________________________________________________________，顶点坐标为________，当x >2时，y 随x 的增大而________，当x <2时，y 随x 的增大而________________________________________________________________________，当x ＝________时，y 有最________值是________． 7．2017·长春期末抛物线y ＝2x 2－4x ＋1的对称轴是直线( ) A ．x ＝2 B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝－18．2017·大冶市月考已知二次函数y ＝－3(x －h )2＋5，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，则有( )A ．h ≥－2B ．h ≤－2C ．h ＞－2D ．h ＜－29．二次函数y ＝x 2＋2x －3的图象的开口方向、顶点坐标分别是( ) A ．开口向上，顶点坐标为(－1，－4) B ．开口向下，顶点坐标为(1，4) C ．开口向上，顶点坐标为(1，4)D ．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)10．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图26－2－24所示，若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数的图象上，且x 1＜x 2＜1，图26－2－24则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1≤y 2 B ．y 1＜y 2 C ．y 1≥y 2 D ．y 1＞y 211．已知二次函数y ＝－12x 2－x ＋32.(1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并指出其对称轴和顶点坐标；(2)当－2≤x ≤2时，它的最大值和最小值分别是多少？(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后的图象所对应的函数关系式．图26－2－2512．2018·黄冈当a ≤x ≤a ＋1时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．2C ．0或2D ．－1或2 13．已知当b ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象是如图26－2－26所示的四个图象中的一个．根据图象分析a 的值等于( )图26－2－26A ．－2B ．－1C ．1D ．214．2018·恩施州抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图26－2－27所示，下列说法中：图26－2－27①abc＞0；②b2－4ac＞0；③9a－3b＋c＝0；④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a－2b＋c＜0.其中正确的个数为()A．2 B．3 C．4 D．515．若A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在二次函数y＝x2－4x－m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．16．已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数图象的顶点在x轴上，求这个二次函数图象的顶点坐标．17．如图26－2－28，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后的抛物线所对应的函数关系式．图26－2－2818．二次函数y ＝a (x －4)2－4的图象在2<x <3这一段位于x 轴的下方，在6<x <7这一段位于x 轴的上方，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－219．如图26－2－29，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)，C (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的关系式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点D ，连结AC ，CD ，求△ACD 的面积；(3)点P 在此抛物线上，且使S △ABP S △ACD ＝23，写出点P 的坐标．图26－2－29详解详析1．B [解析] y ＝x 2－8x －9＝x 2－8x ＋16－25＝(x －4)2－25.故选B. 2．解：把y ＝－x 2＋4x －8化为顶点式为y ＝－(x 2－4x )－8＝－(x 2－4x ＋4－4)－8＝－(x 2－4x ＋4)＋4－8＝－(x －2)2－4，故该抛物线的顶点坐标为(2，－4)，对称轴为直线x ＝2.当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．3．C4．D [解析] y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x 2－12x )＋21＝12[(x －6)2－36]＋21＝12(x －6)2＋3，故y ＝12(x －6)2＋3向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式为y ＝12(x －4)2＋3.故选D.5．B [解析] ∵抛物线y ＝x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2的顶点坐标是(1，－2)，∴二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位即可得到函数y ＝x 2－2x －1的图象，∴点P (1，1)向右平移1个单位，向下平移2个单位后对应点的坐标是(2，－1)．故选B.6．y ＝(x －2)2－3 向上 直线x ＝2 (2，－3) 增大 减小 2 小 －37．B [解析] ∵y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x 2－2x ＋1)－2＋1＝2(x －1)2－1，∴抛物线y ＝2x 2－4x ＋1的对称轴是直线x ＝1.故选B.8．B [解析] ∵a ＝－3，∴二次函数开口向下，∴在二次函数图象对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，∴h ≤－2.故选B.9．A [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋2x －3的二次项系数a ＝1＞0，∴函数图象开口向上． ∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴图象的顶点坐标为(－1，－4)．故选A.10．B [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，开口向下， 故当x ＜1时，y 随x 的增大而增大． ∵x 1＜x 2＜1， ∴y 1＜y 2.故选B.11．解：(1)画图如下．因为y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，所以这个函数图象的对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，2)．(2)因为－2≤x ≤2，由图象可知，当x ＝－1时，函数有最大值2；当x ＝2时，函数有最小值－52.(3)平移后的图象所对应的函数关系式为y ＝－12(x －2)2＋2(或写成y ＝－12x 2＋2x )．12．D [解析] 当y ＝1时，有x 2－2x ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∵当a ≤x ≤a ＋1时，函数有最小值1， ∴a ＝2或a ＋1＝0， ∴a ＝2或a ＝－1. 故选D.13．C [解析] 由图可知第1，2两个图象的对称轴为y 轴，所以x ＝－b2a ＝0，所以b＝0，这与b ＜0相矛盾．因为第3个图象开口向上，所以a ＞0.因为抛物线经过坐标原点，所以a 2－1＝0，解得a 1＝1，a 2＝－1(舍去)，所以对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－b2×1＞0，所以b ＜0，符合题意，所以a ＝1.因为第4个图象开口向下，所以a ＜0.因为抛物线经过坐标原点，所以a 2－1＝0，解得a 1＝1(舍去)，a 2＝－1，所以对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－b2×（－1）＞0，所以b ＞0，不符合题意．综上所述，可知a ＝1.14．B [解析] ∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点(1，0)，∴－b2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝2a ，c ＝－3a . ∵a ＞0，∴b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误． ∵抛物线与x 轴有交点， ∴b 2－4ac ＞0，故②正确．∵抛物线与x 轴交于点(－3，0)， ∴9a －3b ＋c ＝0，故③正确．∵点(－0.5，y 1)，(－2，y 2)均在抛物线上， ∴点(－1.5，y 1)也在抛物线上． 又－1＞－1.5＞－2， ∴y 1＜y 2，故④错误．∵5a －2b ＋c ＝5a －4a －3a ＝－2a ＜0，故⑤正确． 故选B.15．y 2＞y 3＞y 1[解析] ∵二次函数y ＝x 2－4x －m 中a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝－b2a ＝2，点A (2，y 1)是抛物线的顶点，∴y 1是y ＝x 2－4x －m 的最小值．又∵B (－3，y 2)，C (－1，y 3)两点都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，故y 2＞y 3.∴y 2＞y 3＞y 1.16．解：(1)因为点A (1，1)在二次函数y ＝x 2－2ax ＋b 的图象上，所以1＝1－2a ＋b ，可得b ＝2a .(2)根据题意，得该函数图象顶点的纵坐标为0，即4b －（－2a ）24＝0，由(1)知b ＝2a ，所以化方程为4a 2－8a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)；当a ＝2时，y ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，这个二次函数图象的顶点坐标为(2，0)．综上所述，这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．17．解：(1)把点C (5，4)的坐标代入y ＝ax 2－5ax ＋4a ，得25a －25a ＋4a ＝4， 解得a ＝1，∴该二次函数的关系式为y ＝x 2－5x ＋4. ∵y ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522－94， ∴顶点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－94. (2)答案不唯一．例如先把抛物线y ＝⎝⎛⎭⎫x －522－94向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到平移后抛物线对应的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫x －52＋32－94＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74，即y ＝x 2＋x ＋2.18．A19．解：(1)把点A (2，0)，C (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6，∴这个二次函数的关系式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×⎝⎛⎭⎫－12＝4，∴点D 的坐标为(4，0)，∴AD ＝OD －OA ＝4－2＝2，∴S △ACD ＝12AD ·OC ＝12×2×6＝6.(3)由S △ABP S △ACD ＝23，得S △ABP 6＝23，即S △ABP ＝4.由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(6，0)，所以AB ＝4，即12×4×|y P |＝4，即|y P |＝2.当y P ＝2时，有－12x 2＋4x－6＝2，解得x 1＝x 2＝4，此时点P 的坐标为(4，2)；当y P ＝－2时，有－12x 2＋4x －6＝－2，解得x ＝4±2 2，所以点P 的坐标为(4＋2 2，－2)或(4－2 2，－2)．综上，点P 的坐标为(4，2)或(4＋2 2，－2)或(4－2 2，－2)．。
二次函数与最值问题练习题(含答案)
二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+ n的值为（）A．52B．2C．12D．322．已知二次函数y=（x-1）2-3，则此二次函数（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值-3D．有最小值-33．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512⑴二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；⑴当−12<x<2时，y＜0；⑴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．04．对于代数式x2－10x＋24，下列说法：①它是二次三项式；②该代数式的值可能等于2017；③分解因式的结果是(x－4)(x－6)；④该代数式的值可能小于－1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3 个D．4个5．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④a+b+cb−a的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m ﹣n的值是（）A．16B．15C．9D．77．由二次函数y=（x﹣1）2﹣3可知（）A．图象开口向下B．对称轴是直线x=﹣1C．函数最小值是3D．顶点是（1，﹣3）8．抛物线y=x2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤9B．0≤y≤9C．1≤y≤9D．﹣1≤y≤39．已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如图所示。
《26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质》同步练习(含答案解析)
26.2.1 二次函数y ＝ax 2的图象与性质知识点 1 二次函数y ＝ax 2的图象1．二次函数y ＝－5x 2的图象开口________，对称轴为________，顶点坐标为________． 2．抛物线y ＝ax 2(a <0)经过( )A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限3．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝1100v 2，则下列表示s 与v 之间函数关系的图象为( )图26－2－14．2020·启东市校级月考已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象可能是( )26－2A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． (1)y ＝－3x 2； (2)y ＝14x 2.知识点 2 二次函数y ＝ax 2的性质6．在二次函数y ＝－14x 2中，当x >0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2; 当x <0时，若x 1>x 2，则y 1________y 2.(填“>”或“<”)7．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．关于二次函数y ＝12x 2，有下列说法：(1)其图象是轴对称图形；(2)当x <0时，y 随x的增大而减小；(3)当x >0时，y 随x 的增大而增大；(4)当x ＝0时，y 有最小值．其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．2020·连云港已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)经过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>010．已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)． (1)求a 的值；(2)当x ＝3时，求出y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．11．如图26－2－3，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝12x 2和函数y ＝－12x 2的图象，已知坐标原点O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别与x 轴、y 轴平行，如果点D 的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )图26－2－3A ．4B ．8C ．12D ．1612．函数y ＝k (x －k )，y ＝kx 2与y ＝kx (k ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象正确的是( )图26－2－413．定义运算“※”为：a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab 2（b >0），－ab 2（b ≤0），如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y ＝2※x 的图象大致是( )图26－2－5 14．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的值为________．15．根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；(2)二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值．16．教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－12x 2；④y ＝－2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响．17．如图26－2－6①所示，P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，点A 的坐标为(4，0)．(1)设点P 的坐标为(x ，y )，试求出△AOP (O 为坐标原点)的面积S 关于点P 的横坐标x 之间的函数关系式；(2)试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S 关于x 的函数图象．图26－2－618.如图26－2－7，平行于x 轴的直线AC 与抛物线y 1＝x 2(x ≥0)和y 2＝x 23(x ≥0)分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝________．图26－2－7详解详析1．向下 y 轴(或直线x ＝0) (0，0)2．B [解析] ∵a <0，∴抛物线的开口向下． 又∵抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为(0，0)， ∴该抛物线经过第三、四象限．故选B.3．C [解析] 因为1100>0，所以函数s ＝1100v 2的图象开口向上．由于自变量v >0，故选C.4．B [解析] 当a ＞0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y ＝ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当a ＜0时，则函数y ＝ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y ＝ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确．∴两函数的图象可能是②③，故选B.5．略 6．< >7．B [解析] 抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2的开口向上，y ＝－x 2的开口向下，故①错误；抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴，②③正确；④错误．故选B. 8．D 9．C [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)，∴A (－2，y 1)关于y 轴的对称点的坐标为(2，y 1)．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 1>y 2>0.故选C.10．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)， ∴a ×1＝3， ∴a ＝3.(2)把x ＝3代入y ＝3x 2中，得y ＝3×32＝27. (3)抛物线的开口向上；坐标原点是该抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可)．11．B [解析] 由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即12×4×4＝8.故选B.12．C [解析] 一次函数y ＝k (x －k )＝kx －k 2， ∵k ≠0，∴－k 2＜0，∴一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上．A 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，A 不正确；B 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，B 不正确；C 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴上，C 正确；D 项，一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，D 不正确．13．C [解析] y ＝2※x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2（x >0），－2x 2（x ≤0）.当x ＞0时，图象是抛物线y ＝2x 2对称轴右侧的部分；当x ≤0时，图象是抛物线y ＝－2x 2对称轴左侧的部分．故选C.14．2 [解析] 因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系数大于0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －4＝2，k ＋2＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3或k ＝2，k >－2，∴k ＝2.15．解：(1)∵二次函数y ＝(m ＋3)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＋3＜0，解得m ＜－3.(2)∵二次函数y ＝(2m －1)x 2有最小值，∴2m －1＞0，解得m ＞12.16．解：(1)列表如下：连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a |相同，两条抛物线的形状就相同；|a |越大，抛物线的开口就越小． 17．解：(1)由于P 为抛物线y ＝x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ，y )，所以点P 到x 轴的距离为y ＝x 2，所以S ＝12×4×x 2＝2x 2(x ＞0)．(2)由于x >0，所以画出的图象为抛物线S ＝2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图．18．3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，a )，令x 2＝a ，解得x ＝a (负值已舍去)，∴点B (a ，a )．令x 23＝a ，则x ＝3a (负值已舍去)，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ，∴点D 的纵坐标为(3a )2＝3a ， ∴点D 的坐标为(3a ，3a )．∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a . 令x 23＝3a ，∴x ＝3 a (负值已舍去)，∴点E 的坐标为(3 a ，3a )， ∴DE ＝3 a －3a . 故DE AB ＝3 a －3a a＝3－ 3.。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
2020—2021年最新华东师大版九年级数学下册二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(含答案).doc
（新课标）华东师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴 C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞06．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或27．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．38．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________ ．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________ （填“上升”或“下降”）．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________ ．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________ ．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________ ．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= _________ ．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________ 个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：二次函数的性质．分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，∴其顶点坐标在第一或四象限，∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质．分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．解答：解：∵y=2x2，y=x2开口向上，∴A不正确，∵y=﹣2x2，开口向下，∴有最高点，∴C不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，∴B正确，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．解答：解：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x 轴有两个交点考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 1 ．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．解答：解：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3 ．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= 8 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．解答：解：由题意得，﹣=2，解得m=8．故答案为：8．点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．考点：二次函数的图象．分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：﹣2 ﹣1 0 1 2y=2x28 2 0 2 8y=2x2+1 9 3 1 3 9点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+===3，当m=时，m2+=（）2===3，m2+=3．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．解答：解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），∴，∴；（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，∴m2﹣m﹣6=m，即m2﹣2m﹣6=0，解得，．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）无数；（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．解得：x1=﹣1，x2=﹣2．∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）．（3分）②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得 a=﹣1．∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．根据“伴侣二次函数”定义可得∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．当﹣h≠m时，a1=﹣a2当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．解答：解：（1）；（2）图象（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点所以直线x=1为所求直线当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，令﹣x2+2x+3=kx+b整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0即：k2﹣4k+16﹣4b=0又因为y=kx+b，过点p（1，5）所以5=k+b所以k2﹣4=0解得k=±2，当k=2时，b=3；当k=﹣2时，b=7所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．。
二次函数练习题及答案解析
二次函数练习题及答案解析二次函数练习题及答案解析（初三数学）学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学，下面是我为大家整理的二次函数练习题及答案解析，希望对您有所帮助!二次函数练习题及答案解析一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab0，c0B ab0，c0C ab0，c0D ab0，c06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P 3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛 B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大答案与解析：一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C 6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx 的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元九年级数学二次函数练习题一、填空题：(每空2分，共40分)1、一般地，如果，那么y叫做x的二次函数，它的图象是一条。
26.2.2二次函数的图像和性质
附件：1深圳市福田区区属公办中小学2020年6月面向毕业生公开招聘教师岗位表2广东省2019年考试录用公务员专业参考目录3深圳市福田区区属公办中小学2020年6月面向毕业生公开招聘教师未取得 教师资格报考人员承诺书4深圳市福田区区属公办中小学2020年6月面向毕业生公开招聘教师考试择业期内报考人员承诺书中共深圳市福田区委组织部 深圳市福田区教育局2020年6月9日课堂上,正播放 着一段视频,学生们聚精会神地观看,时而凝思,时而频频点头,时而从角落传来轻轻地啜泣声，2019年11月9日，由北京教育科学研究院与清华大学生态文明研究中心合作举办的第六届北京教育论坛在北京 召开，学员不仅可以在6月15日至17日期间抢购618元自考定金，免费获得价值99元《E办公技巧课程》及199元《地道英语口语课程》，而且在6月18日至19日活动期间，更有全年最低优惠报读政策， 多个精品班型限时优惠，消防风机 /，一束光公益项目在西昌市西溪乡中心小学西昌市学生资助中心主任 李建祥(右三)西溪中心小学副校长邓绍勇(右二)西昌企业家志愿者 张郁(左三)西溪小学大队辅导员田楚钰(右一)西昌市教育局招办副主任段瑜、礼州片区主任黎帮雨、西昌市民胜小学副校长鲁正华 、西昌市西溪中心小学副校长邓绍勇、南宁教办主任罗合义、西溪小学 大队辅导员田楚钰、西昌市企业家张郁、JC集团董事长陈明俊、一束光公益项目工作人员、民胜小学全体学生、西溪小学全体学生及社会各界爱心人士共同参与此次活动，据介绍，该活动是以实现带 动三亿人参与冰雪运动目标为指引，烟台市委书记张术平致辞
苏科版九年级数学下册第五章：二次函数 二次函数最值 同步练习(含解析)
二次函数最值一、选择题1.对于二次函数y =−(x −1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x =1，最小值是2B. 对称轴是直线x =1，最大值是2C. 对称轴是直线x =−1，最小值是2D. 对称轴是直线x =−1，最大值是22.关于二次函数y =2x 2+4x −1，下列说法正确的是( )A. 图象与y 轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y 轴的右侧C. 当x <0时，y 的值随x 值的增大而减小D. y 的最小值为−33.若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y =ax 2−ax( )A. 有最大值a 4．B. 有最大值−a 4.C. 有最小值a 4．D. 有最小值−a 4． 4.二次函数y =−x 2−2x +c 在−3≤x ≤2的范围内有最小值−5，则c 的值是( )．A. −6B. −2C. 2D. 35.已知二次函数y =x 2−2mx(m 为常数)，当−1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为−2，则m 的值是( )A . 32 B. √2 C. 32或√2 D. −32或√2 6.在矩形ABCD 中，AB =6，AD =9，点E 为线段AD 上一点，且DE =2AE ，点G 是线段AB 上的动点，EF ⊥EG 交BC 所在直线于点F ，连接GF.则GF 的最小值是( )A. 3B. 6C. 6√2D. 3√57.已知关于x的二次函数y=x2−2x−1，当a≤x≤a+2时，函数有最大值2，则a 的值为()A. −1或1B. 1或−3C. −1或3D. 3或−38.如图，正三角形ABC的边长为3+√3，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为()A. √32B. 32C. 3D. 929.当a≤x≤a+1时，函数y=x2−2x+1的最小值为1，则a的值为()A. −1B. 2C. 0或2D. −1或210.如图，△ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，BC=4，点D是AB边上一个动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AD′，连接CD′，则CD′的最小值是()A. 1B. √3C. √3−1D. √32二、填空题11.如图，P是抛物线y=−x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______．12.如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是______．13.二次函数y=x2+2x−3的最小值是______．14.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是______．15.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO+BO=5，延长AO到C，使OC=3，延长BO到D，使OD=4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为______ ．16.若二次函数y=kx2+k2−3有最大值1，则k的值是______．17.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是______．第17题第18题第19题18.如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为____________．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于．20.若函数y=a(x−ℎ)2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=−2x2−2x+3相同，则此函数的表达式为________．三、解答题21.如图，抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)三点．在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．22.如图，已知抛物线经过两点A(−3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x=−1．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．23.在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；(2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．x2−x+4与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y 24.如图，已知抛物线y=−12轴交于C．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若点E是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为a，求a为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点E的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由抛物线的解析式：y =−(x −1)2+2，可知：对称轴x =1，开口方向向下，所以有最大值y =2，故选：B ．根据抛物线的图象与性质即可判断．本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y =2x 2+4x −1=2(x +1)2−3，∴当x =0时，y =−1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x =−1，故选项B 错误，当x <−1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x =−1时，y 取得最小值，此时y =−3，故选项D 正确．故选D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，得到−1<a <0，于是得到结论．【解答】解：∵一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，∴a +1>0且a <0，∴−1<a <0，∴二次函数y =ax 2−ax =a (x −12)2−a 4有最大值−a 4． 故选B ．4.【答案】D【解析】【分析】首先把二次函数y=−x2−2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在−3≤x≤2内有最小值，判断c的取值．本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．【解答】解：把二次函数y=−x2−2x+c转化成顶点坐标式为y=−(x+1)2+c+1，又知二次函数的开口向下，对称轴为x=−1，故当x=2时，二次函数有最小值为−5，故−9+c+1=−5，故c=3．故选D．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：y=x2−2mx=(x−m)2−m2，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，；解得：m=−32②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，<2(舍)；解得：m=32③若−1≤m≤2，当x=m时，y=−m2=−2，解得：m=√2或m=−√2<−1(舍)，∴m的值为−3或√2，2故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值等，解题关键是要善于运用函数思想求最值．过点F作FM⊥AD于M，证△AEG∽△MEF，设AG=x，利用相似的性质用含x的代数式表示EM的长度，在Rt△GBF中，利用勾股定理用含x的代数式表示出GF2，利用函数的性质求出其最小值，再求出GF的最小值即可．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠EMF=90°，MF=AB=6，∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠AEG+∠MEF=90°，∴∠AGE=∠MEF，∴△AEG∽△MFE，∴AGME =AEMF，设AG=x，∵AD=9，DE=2AE，∴AE=3，∴xME =36，∴ME=2x，∴BF=AM=3+2x，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2=(6−x)2+(3+2x)2=5x2+45，∵点G在线段AB上，∴0≤x≤6，由二次函数的性质可知，当x=0时，GF2有最小值45，∴GF的最小值为3√5，故选D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=2时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最大值2，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y=2时，有x2−2x−1=2，解得：x1=−1，x2=3．∵当a≤x≤a+2时，函数有最大值2，∴a=−1或a+2=3，∴a =−1或a =1．故选A ．8.【答案】D【解析】解：设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n ，它们的面积和为S ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠B =60°，AB =3+√3，在Rt △ADN 中，AD =√33DN =√33m ， 在Rt △BPF 中，BF =√33PF =√33n ， ∵AD +DE +EF +BF =AB ，∴√33m +m +n +√33n =3+√3，∴m +n =3，∴n =3−m ，∴S =m 2+n 2=m 2+(3−m)2=2(m −32)2+92，当点M 落在BC 上，则正方形DEMN 的边长最小，正方形EFPH 的边长最大，如图， 在Rt △ADN 中，AD =√33DN ，AN =2√33DN ， ∴DN +2√33DN =3+√3，解得DN =3√3−3，在Rt △BPF 中，BF =√33PF ， ∴√33(3√3−3)+3√3−3+EF +√33PF =3+√3，解得PF =6√3−9，∴6−3√3≤m ≤3√3−3，∴当m =32时，S 最小，S 的最小值为92．故选：D ．设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n ，它们的面积和为S ，根据等边三角形的性质得∠A =∠B =60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得AD =√33DN =√33m ，BF =√33PF =√33n ，则√33m +m +n +√33n =3+√3，所以所以n =3−m ，S =m 2+n 2=m 2+(3−m)2=2(m −32)2+92，接着确定m 的取值范围为6−3√3≤m ≤3√3−3，然后根据二次函数的性质求出S 的最小值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质．9.【答案】D【解析】解：当y=1时，有x2−2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=−1，故选：D．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理和利用二次函数求最小值．先根据勾股定理求出的解析式，再根据配方法求出最小值．【解答】解：过作于H点，设，∵△ABC中，∠CAB=90°，∠B=30°，BC=4，∴AC=2，，，∴AH=√3x，CH=2−√3x，=4x2−4√3x+4)2+1，=4(x−√32∴CD′的最小值是1，故选A．11.【答案】6【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．设P点坐标为(x,y)(0<x<2,y>0)，根据矩形的周长公式得到C=−2(x−1)2+6.根据二次函数的性质来求最值即可得到结果．【解答】解：∵y=−x2+x+2，∴当y=0时，−x2+x+2=0，即−(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1，故设P(x,y)(0<x<2,y>0)，∴四边形OAPB周长C=2(x+y)=2(x−x2+x+2)=−2(x−1)2+6．∴当x=1时，C最大值=6，即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是6．12.【答案】a>0【解析】解：∵抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，∴a>0，故答案为a>0．由于原点是抛物线y=ax2+5的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a 的范围．本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．13.【答案】−4【解析】解：∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴二次函数y=x2+2x−3的最小值是−4．故答案为：−4．把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．14.【答案】−1【解析】解：由题意得，4a⋅a−424a=3，整理得，a2−3a−4=0，解得a1=4，a2=−1，∵二次函数有最大值，∴a<0，∴a=−1．故答案为：−1．根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．15.【答案】18【解析】解：设AO=x，则BO=5−x，∵OC=3，OD=4，∴AC=x+3，BD=9−x，∴S四边形ABCD =12AC⋅BD=12(x+3)(9−x)=−12x2+3x+272=−12(x−3)2+18，∴当x=3时，四边形ABCD的面积有最大值为18，即四边形ABCD面积的最大值为18，故答案为：18．设AO=x，则BO=5−x，得到AC=x+3，BD=9−x，得到二次函数的解析式，于是得到结论．本题考查了二次函数的最值，四边形的面积的计算，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．16.【答案】−2【解析】解：∵二次函数y=kx2+k2−3有最大值1，∴k<0，k2−3=1，解得，k=−2，故答案为：−2．根据二次函数的性质得到k<0，k2−3=1，解方程即可．本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、二次函数的最值的确定方法是解题的关键．17.【答案】1【解析】解：如图所示：设BE=x，FC=y，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF(AA)，∴BECF =ABCE=ABBC−BE，即xy =44−x，y=x(4−x)4=−14(x−2)2+1,(0≤x≤4)故答案为1．因∠AEF=90°得∠AEB+∠FEC=90°，在Rt△ABE中∠BAE+∠CEF=90°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠FEC，可证明△ABE∽△ECF；由相似三角形的性质和二次函数可求点G到AD距离的最大值是1．本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质和二次函数求最值等相关知识；重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值．18.【答案】12【解析】解：设HG=x，(0<x<8)∵四边形EFGH是矩形，∴HG//BC，∴△AHG∽△ABC，∴HGBC =AKAD，即x8=6−KD6，解得，KD=6−34x，则矩形EFGH的面积=x(6−34x)=−34x2+6x=34(x−4)2+12，则矩形EFGH的面积最大值为12，故答案为：12．设HG=x，根据相似三角形的性质用x表示出KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19.【答案】√2【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，关键是得出二次函数的解析式．过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+(2−x)2=2(x−1)2+2，于是得到结论．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C=∠ADE=90°，∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°，∴∠DEF=∠ADC，在△EDF和△DAC中，∴△EDF≌△DAC(AAS)，∴DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，则BE2=x2+(2−x)2=2(x−1)2+2，∴BE2的最小值是2，∴BE的最小值是√2，故答案为√2．20.【答案】y=−2(x−2)2+8或y=−2(x+2)2+8【解析】【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及待定系数法求解析式．函数图象经过原点，可得等式aℎ2+k=0；已知最大值8，可得k=8；根据抛物线形状相同可知a=−2，从而可求h．【解答】解：∵函数y=a(x−ℎ)2+k的图象经过原点，把(0,0)代入解析式，得：aℎ2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a<0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=−2x2−2x+3相同，∴二次项系数a=−2，把a=−2，k=8代入aℎ2+k=0中，得ℎ=±2，∴函数解析式是：y=−2(x−2)2+8或y=−2(x+2)2+8，故答案为y =−2(x −2)2+8或y =−2(x +2)2+8．21.【答案】解：∵该抛物线过点C(0,−2)，设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx −2．将A(4,0)，B(1,0)代入，得{16a +4b −2=0a +b −2=0， 解得{a =−12b =52， ∴此抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2；如图，设D 点的横坐标为t(0<t <4)，则D 点的纵坐标为−12t 2+52t −2．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为y =12x −2．∴E 点的坐标为(t,12t −2)．∴DE =−12t 2+52t −2−(12t −2)=−12t 2+2t ．∴S △DAC =12×(−12t 2+2t)×4=−t 2+4t =−(t −2)2+4．∴当t =2时，△DAC 面积最大．∴D 点的坐标为(2,1)．【解析】已知抛物线经过C(0,−2)，则可设该抛物线的解析式为y =ax 2+bx −2，再把A(4,0)，B(1,0)代入即可得出抛物线的解析式；过D 作y 轴的平行线交AC 于E ，将△DCA 分割成两个三角形△CDE ，△ADE ，它们的底相同，为DE ，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA 的面积，运用代数式的变形求最大值．本题综合考查了待定系数法求函数解析式，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，掌握待定系数法的方法与步骤，会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形． 22.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴是直线x =−1且经过点A(−3,0)由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)即：y =a(x −1)(x +3)把B(0,3)代入得：3=−3a∴a =−1∴抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3．(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∵A(−3,0)，B(0,3)，∴{−3k +b =0b =3， ∴直线AB 为y =x +3，作PQ ⊥x 轴于Q ，交直线AB 于M ，设P(x,−x 2−2x +3)，则M(x,x +3)，∴PM =−x 2−2x +3−(x +3)=−x 2−3x ，∴S =12(−x 2−3x)×3=−32(x +32)2+278． 当x =−32时，S 最大=278，y =−(−32)2−2×(−32)+3=154， ∴△PAB 的面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(−32,154)【解析】(1)因为对称轴是直线x =−1，所以得到点A(−3,0)的对称点是(1,0)，因此利用交点式y =a(x −x 1)(x −x 2)，求出解析式．(2)根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．23.【答案】解：(1)连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于点D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12AB ⋅CD =12AB ⋅PM +12AC ⋅PN ，∴PM +PN =CD ，即不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；(2)设BP =x ，则CP =2−x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠BCA =60°，∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴BM =12x ，PM =√32x ，CN =12(2−x)，PN =√32(2−x)， ∴四边形AMPN 的面积=12×(2−12x)⋅√32x +12×[2−12(2−x)]⋅√32(2−x)=−√34x 2+√32x +√32=−√34(x −1)2+3√34， ∴当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，最大值是3√34．【解析】(1)连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于D ，根据等边三角形的性质得到AB =AC ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(2)设BP =x ，则CP =2−x ，由△ABC 是等边三角形，得到∠B =∠C =60°，解直角三角形得到BM =12x ，PM =√32x ，CN =12(2−x)，PN =√32(2−x)，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)当y=0时，−12x2−x+4=0，解得x=−4，x=2，∴A(−4,0)，B(2,0)，当x=0时，y=4，∴C(0,4)；(2)∵E的横坐标是a，∴E(a,−12a2−a+4)，连接OE，S△EAC=S四边形OCEA −S△AOC=12×4×(−a)+12×4×(−12a2−a+4)−12×4×4=−(a+2)2+4，当a=−2时，△AEC有最大值，此时阴影部分的面积最小，∴E(−2,4)．【解析】(1)当x=0时求点C坐标，当y=0时求A、B的坐标；(2)连接OE，S△EAC=S四边形OCEA−S△AOC=−(a+2)2+4，当a=−2时，即可求解；本题考查二次函数图象上点的特征，三角形面积．熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法，将面积转换为二次函数求最值是解题的关键．。
26.2.2二次函数最值的应用(第5课时)同步练习(含答案解析)
第5课时二次函数最值的应用知识点1二次函数最值的一般应用1．二次函数y＝x2－2x＋6有最________值(填“大”或“小”)，把函数关系式配方得____________，其图象的顶点坐标为________，故其最值为________．2．某二次函数的图象如图26－2－30所示，根据图象可知，当x＝________时，该函数有最______值，这个值是________．图26－2－303．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数y＝ax2＋bx ＋c有()A．最小值－3 B．最大值－3C．最小值2 D．最大值24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图26－2－31所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是()图26－2－31A．函数有最小值－5，最大值0B．函数有最小值－3，最大值6C．函数有最小值0，最大值6D．函数有最小值2，最大值65．若二次函数y＝ax2＋bx＋1同时满足下列条件：①图象的对称轴是直线x＝1；②最值是15.则a的值为()A．14 B．－14 C．28 D．－28知识点2二次函数的最值在实际生活中的应用6．一小球被抛出后，它距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米7．某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图26－2－32)．若喷水时水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋1.25，则在喷水过程中水流的最大高度为()图26－2－32A ．1.25 mB ．2.25 mC ．2.5 mD ．3 m8．如图26－2－33，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )图26－2－33A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2 9．2020·天门飞机着陆后滑行的距离s (单位：米)关于滑行的时间t (单位：秒)的函数关系式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (cm 2)随其中一条对角线的长x (cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 的值是多少时，菱形风筝的面积S 最大？最大面积是多少？11．用长8 m 的铝合金条制成矩形窗框(如图26－2－34)，使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )图26－2－34A.6425 m 2B.43 m 2C.83m 2 D ．4 m 2 12．如图26－2－35，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，当三角尺MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设三角尺的另一直角边PN 与边CD 相交于点Q ，则CQ 的最大值为( )图26－2－35A ．4 B.94 C.92 D.17413．已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x 上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M 的坐标为(a ，b )，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x ( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－9214．2020·新疆如图26－2－36，在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别从点A ，B ，C ，D 同时出发，均以1 cm/s 的速度向点B ，C ，D ，A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小面积是________cm 2.图26－2－3615．教材练习第2题变式如图26－2－37，矩形ABCD 的周长为20，求： (1)矩形ABCD 的面积的最大值； (2)矩形ABCD 的对角线的最小值．图26－2－3716．如图26－2－38，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝12x 2＋x －4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．图26－2－3817．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润y 1(元)与国内的销售数量x (千件)之间的关系为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2＜x ＜6）.若在国外市场销售，则平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t (千件)之间的关系为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2＜t ＜6）.(1)用含x 的代数式表示t 为t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w (千元)与国内的销售数量x (千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？详解详析1．小 y ＝(x －1)2＋5 (1，5) 5 2．2 小 －13．B [解析] 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，所以顶点(2，－3)是抛物线的最高点，所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值－3.4．B [解析] 根据图象，当－5≤x ≤0时，图象的最高点的坐标是(－2，6)，最低点的坐标是(－5，－3)，所以当x ＝－2时，y 有最大值6；当x ＝－5时，y 有最小值－3.5．B [解析] 根据题意，得⎩⎨⎧－b2a＝1，4a －b24a ＝15，解得a ＝－14.6．C [解析] ∵高度h (米)和飞行时间t (秒)满足函数关系式h ＝－5(t －1)2＋6， ∴当t ＝1时，小球距离地面的高度最大， 此时h ＝－5×(1－1)2＋6＝6(米)．故选C.7．B [解析] ∵y ＝－x 2＋2x ＋1.25＝－(x －1)2＋2.25，∴在喷水过程中水流的最大高度为2.25 m ．故选B.8．C [解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝(16－x )m ，于是矩形ABCD 的面积S ＝AB ·BC ＝x (16－x )＝16x －x 2＝－(x 2－16x )＝－(x 2－16x ＋64－64)＝－[(x －8)2－64]＝64－(x －8)2.因为(x －8)2≥0，则－(x －8)2≤0，所以S 最大值＝64.故选C.9．20 [解析] 飞机停下时，也就是滑行最远时，故本题中需求出s 最大时对应的t 值．10．解：(1)S ＝12x (60－x )＝－12x 2＋30x .(2)在S ＝－12x 2＋30x 中，a ＝－12<0，∴S 有最大值． 当x ＝－b2a＝－302×⎝⎛⎭⎫－12＝30时， S 取得最大值，最大值为 4ac －b 24a＝4×⎝⎛⎭⎫－12×0－3024×⎝⎛⎭⎫－12＝450.∴当x 的值为30时，菱形风筝的面积S 最大，最大面积是450 cm 2.11．C [解析] 设矩形窗户水平方向的边长为x m ，则竖直方向的边长为⎝⎛⎭⎫4－32x m ，故这个窗户的透光面积S ＝x ⎝⎛⎭⎫4－32x ＝－32x 2＋4x ＝－32⎝⎛⎭⎫x －432＋83，所以这个窗户的最大透光面积是83m 2.12．B [解析] 设BP ＝x ，CQ ＝y ，则AP 2＝42＋x 2，PQ 2＝(6－x )2＋y 2，AQ 2＝(4－y )2＋62.∵△APQ 为直角三角形，∴AP 2＋PQ 2＝AQ 2，即42＋x 2＋(6－x )2＋y 2＝(4－y )2＋62， 化简，得y ＝－14x 2＋32x ，整理，得y ＝－14(x －3)2＋94，∴CQ 的最大值为94.故选B.13．B [解析] ∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b )，∴点N 的坐标为(－a ，b )．∵点M 在反比例函数y ＝12x 的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴b ＝12a ，b ＝－a ＋3，整理得ab ＝12，a ＋b ＝3，故二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x 可转化为y ＝－12x 2＋3x ，该函数的二次项系数为－12＜0，故此函数有最大值，最大值为92.故选B.14．3 18 [解析] 设运动时间为t s(0≤t ≤6)，则AE ＝t cm ，AH ＝(6－t )cm.根据题意，得S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4S △AEH ＝6×6－4×12t (6－t )＝2t 2－12t ＋36＝2(t －3)2＋18，∴当t＝3时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3，18.15．解：(1)∵设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ，∴矩形ABCD 的面积S ＝x (10－x )＝－x 2＋10x ＝－(x －5)2＋25， ∴当x ＝5时，S 最大＝25.即矩形ABCD 的面积的最大值为25.(2)设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ，对角线长为y ， ∴y 2＝x 2＋(10－x )2＝2x 2－20x ＋100＝2(x －5)2＋50， ∴当x ＝5时，y 最小2＝50，∴矩形ABCD 的对角线的最小值为5 2.16．解：(1)当x ＝0时，y ＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)．当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(2，0)．(2)过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n )，则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4， ∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMCO －S △ACO＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12×4×4＝－2n －2m －8 ＝－2⎝⎛⎭⎫12m 2＋m －4－2m －8 ＝－m 2－4m (－4<m <0)．∵S ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∴当m ＝－2时，S 最大值＝4.17．解：(1)6－x 5x ＋80 6(2)当0＜x ≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝10x 2＋40x ＋480； 当2＜x ≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝－10x 2＋80x ＋480； 当4＜x ＜6时，w ＝(－5x ＋130)x ＋100(6－x )＝－5x 2＋30x ＋600. 所以w ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋40x ＋480（0＜x ≤2），－10x 2＋80x ＋480（2＜x ≤4），－5x 2＋30x ＋600（4＜x ＜6）.(3)当0＜x ≤2时，w ＝10x 2＋40x ＋480＝10(x ＋2)2＋440，此时，当x ＝2时，w 最大值＝600；当2＜x ≤4时，w ＝－10x 2＋80x ＋480＝－10(x －4)2＋640，此时当x ＝4时，w 最大值＝640； 当4＜x ＜6时，w ＝－5x 2＋30x ＋600＝－5(x －3)2＋645，此时当4＜x ＜6时，w ＜640. 所以当x ＝4时，w 最大值＝640.所以该公司每年国内销售4千件、国外销售2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为64万元(或640千元)．。
【文库精品】九年级数学下册 第26章 26.2.2.5 最值的应用同步练习 (新版)华东师大版
26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质第5课时二次函数最值的应用知|识|目|标1．经过阅读、探究、讨论交流，能列出几何图形中两个变量之间的二次函数关系，并求出其最大值或最小值．2．在理解二次函数性质的基础上，通过对具体问题的分析、操作，能用二次函数知识求出实际问题中的最值．3．通过对实际问题中二次函数图象的绘制、观察与分析，能求出自变量取值受限制的二次函数的最值．目标一能用二次函数模型解决几何图形中的最值例1 教材补充例题如图26－2－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得到四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.(1)用含y的代数式表示AE；(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．图26－2－4【归纳总结】用二次函数模型解决几何最值问题的“三部曲”：(1)认真审题，联想几何图形的性质(包括图形面积、体积、周长，以及等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的性质等)；(2)用已知条件和图形的性质列出问题中两个变量之间的二次函数关系式；(3)根据二次函数的性质求出所列关系式的最值，从而解决原问题．目标二能用二次函数模型解决实际问题中的最值例2 高频考题某杂技团用68米长的幕布围成一个矩形临时场地，并留出2米作为出入口，设矩形的长为x米，面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)由于表演需要，矩形的长不小于18 米，求能围成的矩形的最大面积．【归纳总结】用二次函数求实际问题中的最值：(1)在实际问题中，列出函数关系式后，一般要考虑自变量的取值范围； (2)先确定二次函数图象的顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，再应用二次函数的性质确定最值．目标三 能求自变量的取值受限制的二次函数的最值例3 教材补充例题 (1)已知0≤x ≤1，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是( ) A ．－6 B ．0 C ．2 D ．4(2)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是( ) A ．4和－3 B ．－3和－4 C ．5和－4 D ．－1和－4【归纳总结】确定自变量的取值受限制的二次函数的最值： (1)根据函数关系式求最值：当自变量在某个范围内取值时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，并结合自变量的取值范围，从而得出最值．(2)根据图象求最值：可以画出此函数完整的图象(虚线)，将在自变量的取值范围内的部分画成实线，函数在实线的最高点处取得最大值，在最低点处取得最小值．知识点 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值有两种求法：①配方法：将y ＝ax 2＋bx ＋c 配方后整理为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，可知当x ＝________时，函数取得最值，y 最值＝________；②公式法：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝－b 2a 时取得最值，y 最值＝________．(2)如果自变量的取值范围受限制，即x 1≤x ≤x 2，那么首先要看－b2a 是否在自变量的取值范围内，若在此范围内，则当x ＝－b 2a 时，y 有最大值或最小值为________；若－b2a 不在自变量的取值范围内，则需考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内函数值的变化情况，如果y 随x 的增大而增大，则当x ＝________时，y 取得最大值，当x ＝________时，y 取得最小值．而这种最大值、最小值的计算只需把自变量的取值代入关系式中就可以求得．某水果超市销售进价为40元/箱的苹果，按照物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，经市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．求销售该苹果每天能获得的最大利润是多少．解：设销售该苹果每天获得的利润为y元，每箱苹果的售价为x元，则y＝(x－40)[90－3(x －50)]＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200.∵a＝－3＜0，∴抛物线开口向下，y有最大值，最大值为1200，∴销售该苹果每天能获得的最大利润是1200元．上面的解答过程正确吗？如果不正确，错在哪里？请你写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1)由题意可知，四边形DECF 为矩形， 因此AE ＝AC －EC ＝AC －DF ＝8－y.(2)由DE ⊥AC ，∠C ＝90°得DE ∥BC ，所以DE BC ＝AE AC ，即x 4＝8－y8，所以y ＝8－2x ，x 的取值范围是0＜x ＜4.(3)S ＝xy ＝x(8－2x)＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8，当x ＝2时，S 有最大值8. 例2 [解析] 先列出函数关系式，再用配方法求最值．解：(1)由矩形的长为x 米，可知矩形的宽为12×(68＋2)－x ＝(35－x)米，∴y ＝(35－x)x ＝－x 2＋35x.(2)由于矩形的长不小于18米，故18≤x ＜35.∵y ＝－x 2＋35x ＝－(x －17.5)2＋306.25，当x>17.5时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝18时，y 有最大值，为－182＋35×18＝306，∴能围成的矩形的最大面积为306平方米． 例3 [解析] (1)B (2)C(1)∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2.∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，且当x ＜2时，y 随x 的增大而增大． 又∵0≤x ≤1，∴当x ＝1时，y 取得最大值，y 最大值＝－2×(1－2)2＋2＝0. (2)先将一般式化为顶点式就可以求出最小值，再根据函数的增减性及自变量的取值范围就可以求出最大值．∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4(－2≤x ≤2)， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴当x ＝－1时，y 有最小值－4.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值5.∴当－2≤x ≤2时，函数的最大值为5，最小值为－4. 【总结反思】[小结] 知识点 (1)－b 2a 4ac －b 24a 4ac －b 24a (2)4ac －b24ax 2 x 1[反思] 不正确，忽略了自变量的取值范围．正解：设销售该苹果每天获得的利润为y 元，每箱苹果的售价为x 元，则y ＝(x －40)[90－3(x －50)]＝－3x 2＋360x －9600＝－3(x －60)2＋1200.∵a ＝－3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜60时，y 随x 的增大而增大．∵物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，∴当x ＝55时，y 取得最大值，最大值为1125，∴销售该苹果每天能获得的最大利润是1125元．。
华东师大版九年级数学下册课时训练：26.2.2 二次函数最值的应用
二次函数最值的应用一、选择题1.二次函数y=(x+1)2-2的最小值是()A.-2B.-1C.1D.22.已知二次函数y=a(x-1)2+b(a≠0)有最大值2,则a,b的大小关系为()A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定3.向空中发射一枚炮弹,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒4.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为()A.m≥2B.0≤m≤2C.2≤m≤4D.m≤45.如图1,在△ABC中,∠B=90°,tan C=,AB=6 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ 的最大面积是()A.18 cm2B.12 cm2C.9 cm2D.3 cm26.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(-1,-3),则代数式mn+1有()A.最小值-3B.最小值3C.最大值-3D.最大值3图1 图27.如图2,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=12,AD=8,矩形EFGH的边EF在BC上,点G,H 分别在AC,AB上运动,当矩形EFGH的面积最大时,EF的长是()A.5B.6C.7D.8二、填空题8.已知二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,2),则函数y的最小值是.9.直角三角形的一条直角边长为x cm,两条直角边长的和为14 cm,则此三角形的面积y与x 之间的函数关系式为(不用体现自变量的取值范围);当x=cm时,直角三角形有最大面积,最大面积为cm2.10.王大伯决定销售一批风筝,经市场调研发现,蝙蝠型风筝进价为每个10元,当售价为每个12元时,每日销售量为180个,若售价每个每提高1元,每日销售量就会减少10个,当销售单价是元/个时,王大伯获得的利润最大.11.如图3,在正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与点B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.图3三、解答题12.某商场以每件50元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=-x+100.(1)求商场销售这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到700元?如果能,求出此时的销售价格;如果不能,请说明理由.13.某广告公司要设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)设计费能达到30000元吗?为什么?(3)当x是多少时,设计费最多?最多是多少元?14.如图4,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;(2)若M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMC的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.图415.某企业生产并销售某种产品.假设销售量与产量相等,如图5中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式;(3)当该产品的产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?图5答案1. A2. B3. C4. C5. C6. A7. B.8.-29.y=-x2+7x710. 2011. 412.解:(1)y=(x-50)(-x+100)=-x2+150x-5000.(2)不能.理由:∵y=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625,∴当x=75时,获得的利润最大,最大利润为625元.∵700>625,∴销售利润不能达到700元.13.解:(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米,∴另一边长为(8-x)米, ∴S=x(8-x)=-x2+8x(0<x<8).(2)能.理由:∵设计费为每平方米2000元,∴当设计费为30000元时,矩形面积为30000÷2000=15(米2),即-x2+8x=15,解得x1=3,x2=5,∴设计费能达到30000元.(3)∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,S取得最大值,为16,∴16×2000=32000.故当x=4时,设计费最多,最多是32000元.14.解:(1)A(-4,0),B(2,0),C(0,-4).(2)过点M作MN⊥x轴于点N,由题知M m,m2+m-4,∴MN=-m2-m+4,ON=-m,AN=4+m,∴S=S△AMN+S梯形MNOC-S△AOC=(4+m)×-m2-m+4+-m2-m+4+4×(-m)-×4×4=-m2-4m=-(m+2)2+4(-4<m<0),∴当m=-2时,S最大值=4.15.解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时,该产品每千克的生产成本与销售价相等,都为42元.(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1.∵y1=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),∴解得∴线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=-0.2x+60(0≤x≤90).(3)设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+b2.∵该直线经过点(0,120)与(130,42),∴解得∴这个一次函数的关系式为y2=-0.6x+120(0≤x≤130).设产量为x kg时,获得的利润为W元.①当0≤x<90时,W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250,∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;②当90≤x≤130时,W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535.由-0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,∴当x=90时,W有最大值,W最大值=-0.6×(90-65)2+2535=2160.∵2160<2250,∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250.因此,当该产品的产量为75 kg时,获得的利润最大,最大利润是2250元.。
九年级数学下册2第5课时利用二次函数求最值习题课件新版华东师大版
(1)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围．
解：动点 D 运动 x s 后，BD＝2x cm. ∵AB＝8 cm，∴AD＝(8－2x) cm. ∵DE∥BC，∴AADB＝AAEC， ∴AE＝6（8－8 2x）＝6－32x (cm)， ∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝－32x＋6(0＜x＜4)．
【答案】150
13.【中考·沈阳】某商场购进一批单价为 20 元的日用商品，如果 以单价 30 元销售，那么半月内可销售出 400 件，根据销售经 验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件，当销售单价是பைடு நூலகம்_________元时， 才能在半月内获得最大利润．
4．【教材改编题】一个矩形的周长等于 20，则此矩形面积的最 大值是__2_5_____．
【点拨】设矩形的宽为 x，则长为(10－x)，S＝x(10－x)＝－x2 ＋10x＝－(x－5)2＋25， 当 x＝5 时，S 取最大值，为 25.
5．【中考·大庆】如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°.AB＝8 cm， AC＝6 cm，若动点 D 从 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为 止(不考虑 D 与 B，A 重合的情况)，运动速度为 2 cm/s，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E，连结 BE，设动点 D 运动的时 间为 x s，AE 的长为 y cm.
令 x＝0，则 y＝4，∴A(0，4)，∴OA＝4，
∴S△ABN＝12BN·OA＝12(n＋2)×4＝2(n＋2)， ∵MN∥AC，∴AAMB ＝NBCC＝8－10n，∴SS△△AAMBNN＝AAMB ＝8－10n， ∴S△AMN＝8－10nS△ABN＝15(8－n)(n＋2)＝－15(n－3)2＋5. ∵－15＜0，∴当 n＝3，即 N(3，0)时，△AMN 的面积最大．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5课时二次函数最值的应用知识点1二次函数最值的一般应用1．二次函数y＝x2－2x＋6有最________值(填“大”或“小”)，把函数关系式配方得____________，其图象的顶点坐标为________，故其最值为________．2．某二次函数的图象如图26－2－30所示，根据图象可知，当x＝________时，该函数有最______值，这个值是________．图26－2－303．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数y＝ax2＋bx ＋c有()A．最小值－3 B．最大值－3C．最小值2 D．最大值24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图26－2－31所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是()图26－2－31A．函数有最小值－5，最大值0B．函数有最小值－3，最大值6C．函数有最小值0，最大值6D．函数有最小值2，最大值65．若二次函数y＝ax2＋bx＋1同时满足下列条件：①图象的对称轴是直线x＝1；②最值是15.则a的值为()A．14 B．－14 C．28 D．－28知识点2二次函数的最值在实际生活中的应用6．一小球被抛出后，它距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米7．某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图26－2－32)．若喷水时水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋1.25，则在喷水过程中水流的最大高度为()图26－2－32A ．1.25 mB ．2.25 mC ．2.5 mD ．3 m8．如图26－2－33，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )图26－2－33A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2 9．2017·天门飞机着陆后滑行的距离s (单位：米)关于滑行的时间t (单位：秒)的函数关系式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (cm 2)随其中一条对角线的长x (cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 的值是多少时，菱形风筝的面积S 最大？最大面积是多少？11．用长8 m 的铝合金条制成矩形窗框(如图26－2－34)，使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )图26－2－34A.6425 m 2B.43 m 2C.83m 2 D ．4 m 2 12．如图26－2－35，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，当三角尺MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设三角尺的另一直角边PN 与边CD 相交于点Q ，则CQ 的最大值为( )图26－2－35A ．4 B.94 C.92 D.17413．已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x 上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M 的坐标为(a ，b )，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x ( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－9214．2017·新疆如图26－2－36，在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别从点A ，B ，C ，D 同时出发，均以1 cm/s 的速度向点B ，C ，D ，A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小面积是________cm 2.图26－2－3615．教材练习第2题变式如图26－2－37，矩形ABCD 的周长为20，求： (1)矩形ABCD 的面积的最大值； (2)矩形ABCD 的对角线的最小值．图26－2－3716．如图26－2－38，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝12x 2＋x －4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)若M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．图26－2－3817．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润y 1(元)与国内的销售数量x (千件)之间的关系为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋90（0＜x ≤2），－5x ＋130（2＜x ＜6）.若在国外市场销售，则平均每件产品的利润y 2(元)与国外的销售数量t (千件)之间的关系为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧100（0＜t ≤2），－5t ＋110（2＜t ＜6）.(1)用含x 的代数式表示t 为t ＝________；当0＜x ≤4时，y 2与x 的函数关系式为y 2＝________；当4≤x ＜________时，y 2＝100；(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w (千元)与国内的销售数量x (千件)的函数关系式，并指出x 的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？详解详析1．小 y ＝(x －1)2＋5 (1，5) 5 2．2 小 －13．B [解析] 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，所以顶点(2，－3)是抛物线的最高点，所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值－3.4．B [解析] 根据图象，当－5≤x ≤0时，图象的最高点的坐标是(－2，6)，最低点的坐标是(－5，－3)，所以当x ＝－2时，y 有最大值6；当x ＝－5时，y 有最小值－3.5．B [解析] 根据题意，得⎩⎨⎧－b2a＝1，4a －b24a ＝15，解得a ＝－14.6．C [解析] ∵高度h (米)和飞行时间t (秒)满足函数关系式h ＝－5(t －1)2＋6， ∴当t ＝1时，小球距离地面的高度最大， 此时h ＝－5×(1－1)2＋6＝6(米)．故选C.7．B [解析] ∵y ＝－x 2＋2x ＋1.25＝－(x －1)2＋2.25，∴在喷水过程中水流的最大高度为2.25 m ．故选B.8．C [解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝(16－x )m ，于是矩形ABCD 的面积S ＝AB ·BC ＝x (16－x )＝16x －x 2＝－(x 2－16x )＝－(x 2－16x ＋64－64)＝－[(x －8)2－64]＝64－(x －8)2.因为(x －8)2≥0，则－(x －8)2≤0，所以S 最大值＝64.故选C.9．20 [解析] 飞机停下时，也就是滑行最远时，故本题中需求出s 最大时对应的t 值．10．解：(1)S ＝12x (60－x )＝－12x 2＋30x .(2)在S ＝－12x 2＋30x 中，a ＝－12<0，∴S 有最大值． 当x ＝－b2a＝－302×⎝⎛⎭⎫－12＝30时， S 取得最大值，最大值为 4ac －b24a＝4×⎝⎛⎭⎫－12×0－3024×⎝⎛⎭⎫－12＝450.∴当x 的值为30时，菱形风筝的面积S 最大，最大面积是450 cm 2.11．C [解析] 设矩形窗户水平方向的边长为x m ，则竖直方向的边长为⎝⎛⎭⎫4－32x m ，故这个窗户的透光面积S ＝x ⎝⎛⎭⎫4－32x ＝－32x 2＋4x ＝－32⎝⎛⎭⎫x －432＋83，所以这个窗户的最大透光面积是83m 2.12．B [解析] 设BP ＝x ，CQ ＝y ，则AP 2＝42＋x 2，PQ 2＝(6－x )2＋y 2，AQ 2＝(4－y )2＋62.∵△APQ 为直角三角形，∴AP 2＋PQ 2＝AQ 2，即42＋x 2＋(6－x )2＋y 2＝(4－y )2＋62， 化简，得y ＝－14x 2＋32x ，整理，得y ＝－14(x －3)2＋94，∴CQ 的最大值为94.故选B.13．B [解析] ∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b )，∴点N 的坐标为(－a ，b )．∵点M 在反比例函数y ＝12x 的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴b ＝12a ，b ＝－a ＋3，整理得ab ＝12，a ＋b ＝3，故二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b )x 可转化为y ＝－12x 2＋3x ，该函数的二次项系数为－12＜0，故此函数有最大值，最大值为92.故选B.14．3 18 [解析] 设运动时间为t s(0≤t ≤6)，则AE ＝t cm ，AH ＝(6－t )cm.根据题意，得S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4S △AEH ＝6×6－4×12t (6－t )＝2t 2－12t ＋36＝2(t －3)2＋18，∴当t＝3时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3，18.15．解：(1)∵设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ，∴矩形ABCD 的面积S ＝x (10－x )＝－x 2＋10x ＝－(x －5)2＋25， ∴当x ＝5时，S 最大＝25.即矩形ABCD 的面积的最大值为25.(2)设矩形的一边长为x ，则其邻边长为10－x ，对角线长为y ， ∴y 2＝x 2＋(10－x )2＝2x 2－20x ＋100＝2(x －5)2＋50， ∴当x ＝5时，y 最小2＝50，∴矩形ABCD 的对角线的最小值为5 2.16．解：(1)当x ＝0时，y ＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)．当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(2，0)．(2)过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n )，则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4， ∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMCO －S △ACO＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12×4×4＝－2n －2m －8 ＝－2⎝⎛⎭⎫12m 2＋m －4－2m －8 ＝－m 2－4m (－4<m <0)．∵S ＝－m 2－4m ＝－(m ＋2)2＋4， ∴当m ＝－2时，S 最大值＝4.17．解：(1)6－x 5x ＋80 6(2)当0＜x ≤2时，w ＝(15x ＋90)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝10x 2＋40x ＋480； 当2＜x ≤4时，w ＝(－5x ＋130)x ＋(5x ＋80)(6－x )＝－10x 2＋80x ＋480； 当4＜x ＜6时，w ＝(－5x ＋130)x ＋100(6－x )＝－5x 2＋30x ＋600. 所以w ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋40x ＋480（0＜x ≤2），－10x 2＋80x ＋480（2＜x ≤4），－5x 2＋30x ＋600（4＜x ＜6）.(3)当0＜x ≤2时，w ＝10x 2＋40x ＋480＝10(x ＋2)2＋440，此时，当x ＝2时，w 最大值＝600；当2＜x ≤4时，w ＝－10x 2＋80x ＋480＝－10(x －4)2＋640，此时当x ＝4时，w 最大值＝640；当4＜x ＜6时，w ＝－5x 2＋30x ＋600＝－5(x －3)2＋645，此时当4＜x ＜6时，w ＜640. 所以当x ＝4时，w 最大值＝640.所以该公司每年国内销售4千件、国外销售2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为64万元(或640千元)．。