陕西师范大学附中中考四模--数学(解析版)
最新陕西省师大附中中考数学模拟试卷(四)
最新陕西省师大附中中考数学模拟试卷（四）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）去年“五一”期间我市共接待海内外游客24.1万人次，将24.1万用科学记数法可表示为（）A．2.41×106 B．2.41×107 C．2.41×104 D．2.41×1052．（3分）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）A．B．C．D．3．（3分）该试题已被管理员删除4．（3分）开元商场把进价为1875元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为（）A．2000元B．2500元C．2800元D．3000元5．（3分）如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜26．（3分）对于数据组3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．这组数据的平均数与众数分别为（）A．4，3 B．3，3 C．4.5，2 D．5，67．（3分）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）8．（3分）分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．39．（3分）在边长为的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE 所在直线翻折后得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是（）A．B．C．1 D．10．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2=．12．（3分）已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为，标准差为．13．（3分）“明天的太阳从西方升起”这个事件属于事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．14．（3分）高为2米的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距3米，上午的太阳和煦灿烂，樟树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，此时人的影子恰好是人身高的两倍，那么，请你计算这棵樟树的高约为米．15．（3分）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=的表达式为．16．（3分）在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，且⊙O可以将△ABC完全盖住（△ABC 的所有顶点都不在⊙O的外），则⊙O半径的最小值为．三、解答题（共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．18．（6分）在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．求证：△ABC≌△EAD．19．（7分）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是人和人；（2）该校参加航模比赛的总人数是人，空模所在扇形的圆心角的度数是°，并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？20．（8分）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知老王种植水果的成本是2 800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？21．（8分）如图，某人在山脚A处测得一座塔BD的塔尖点B的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点B的仰角为45°，已知坡面AP=40米，坡角∠PAC=30°，且D、A、C在同一条直线上，求塔BD的高度（测角仪的高度忽略不计，结果用根号表示）22．（8分）有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．23．（8分）如图．正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，延长BA到E，使AE=AB，连结ED．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．24．（10分）如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．（1）求A′点的坐标；（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角（相对的两个角）互补．下面我们来研究它外角的性质．（1）在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？（3）如图③，点D是圆上一点，弦AB=，DC是∠ADB的平分线，∠BAC=30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？最新陕西省师大附中中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）去年“五一”期间我市共接待海内外游客24.1万人次，将24.1万用科学记数法可表示为（）A．2.41×106 B．2.41×107 C．2.41×104 D．2.41×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：24.1万用科学记数法可表示为2.41×105，故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2013•鄂州）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．（3分）该试题已被管理员删除4．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）开元商场把进价为1875元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为（）A．2000元B．2500元C．2800元D．3000元【分析】设标价为x元，则售价为90%x，根据获利20%，可得出方程，解出即可．【解答】解：设该商品的标价为x元，则售价为0.9x元，根据题意得：0.9x﹣1875=1875×20%，解得：x=2500，即标价为2500元．故选：B．【点评】此题考查一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．5．（3分）（2010•烟台）如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2【分析】求使y1＜y2的x的取值范围，即求对于相同的x的取值，直线y1落在直线y2的下方时，对应的x的取值范围．直接观察图象，可得出结果．【解答】解：由图象可知，当x＜1时，直线y1落在直线y2的下方，故使y1＜y2的x的取值范围是：x＜1．故选C．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．6．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）对于数据组3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2．这组数据的平均数与众数分别为（）A．4，3 B．3，3 C．4.5，2 D．5，6【分析】根据平均数和众数的定义及计算公式分别进行解答，即可求出答案．【解答】解：数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2的平均数是（3+3+2+3+6+3+10+3+6+3+2）÷11=4，3出现了6次，出现的次数最多，则众数分别是3；故选A．【点评】此题考查了平均数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，难度不大．7．（3分）（2016•陕西校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，将点（2，﹣3）代入y=kx求得k值，求出函数解析式，然后再判断点是否在函数图象上．【解答】解：∵正比例函数y=kx经过点（2，﹣3），∴﹣3=2k，解得k=﹣；∴正比例函数的解析式是y=﹣x；A、∵当x=﹣3时，y≠2，∴点（﹣3，2）不在该函数图象上；故本选项错误；B、∵当x=时，y≠﹣1，∴点（，﹣1）不在该函数图象上；故本选项错误；C、∵当x=时，y=﹣1，∴点（，﹣1）在该函数图象上；故本选项正确；D、∵当x=时，y≠1，∴点（1，﹣2）不在该函数图象上；故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征．解答此题时，利用正比例函数y=kx中的k是定值来确定函数的图象一定的点．8．（3分）（2011•齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3【分析】根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．【解答】解：∵分式方程=有增根，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3，当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，当m=0时，分式方程无解，并没有产生增根，故选：D．【点评】本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．9．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）在边长为的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是（）A．B．C．1 D．【分析】由图可知：阴影部分面积=S△ABB′﹣S△COB′﹣S△ABE，由此求得各部分面积得出答案即可．【解答】解：在边长为的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，故AE=1，由折叠易得△ABG为等腰直角三角形，∴S△ABB′=BA•AB′=1，S△ABE=，∴CB′=B′E﹣EC=1﹣（﹣1）=2﹣，∵AB∥CD，∴∠OCB′=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B′=∠B=45°，∴CO=OB′=﹣1．∴S△COB′=（﹣1）（﹣1）=﹣，∴重叠部分的面积为1﹣﹣（﹣）=﹣1．故选：A．【点评】此题考查菱形的性质以及翻折变换，解决此类问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．10．（3分）（2007•福州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣＞﹣1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0．①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．故选D．【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11．（3分）（2011•齐齐哈尔）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣3（x﹣y）2．【分析】根据分解因式的方法，首负先提负，放进括号里的各项要变号，再提取公因式3，括号里的剩下3项，考虑完全平方公式分解．【解答】解：﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣（3x2﹣6xy+3y2）=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2，故答案为：﹣3（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，注意符号问题，分解时一定要分解彻底．12．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为2，标准差为．【分析】根据1，2，3，4，5的每个数都加10即可得出11，12，13，14，15，所以波动不会变，方差不变即可得出答案．【解答】解：∵数据1，2，3，4，5的方差为2，∴11，12，13，14，15的方差为2，标准差为．故答案为；2，．【点评】此题考查了方差，掌握每个数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变是本题的关键．13．（3分）（2012•崇左）“明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．【分析】必然事件是一定发生的事件；不可能事件就是一定不会发生的事件；不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．【解答】解：“明天的太阳从西方升起”这个事件是一定不可能发生的，因而是不可能事件．【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、不确定事件的概念．注意一定不会发生的事件是不可能事件．14．（3分）（2006•仙桃）高为2米的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距3米，上午的太阳和煦灿烂，樟树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，此时人的影子恰好是人身高的两倍，那么，请你计算这棵樟树的高约为4米．【分析】根据相似三角形对应线段成比例求解即可．【解答】解：利用投影知识解题，按此时人的影子恰好是人身高的两倍，即墙的影子当地为4米，而树影子爬过院墙，伸出院墙影子外1米，即树影子全长为（3+4+1）=8米而树高为树影子的一半，即4米．故填4．【点评】在某一时刻影子和实际高度之比为定值，这在相似形中是很重要的一个知识点，此题就主要考查了本知识．15．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=的表达式为y=．【分析】设A的坐标是（3，a），利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则C的坐标可求得，进而得到B的坐标，根据E是OB的中点，则E的坐标利用a可以表示出来，代入反比例函数解析式即可求解．【解答】解：设A的坐标是（3，a），则3a=k，即a=，设直线AC的解析式是y=mx+b，则，解得：，则直线AC的解析式是：y=x+6，令y=0，解得：x=，即OC=，则B的横坐标是：3+，则E的坐标是（+，），∵E在y=上，则（+）=k，又∵a=，∴（+）=k，解得：k=12，则反比例函数的解析式是：y=．故答案是：y=．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的性质，正确表示出E的坐标是关键．16．（3分）（2014•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，且⊙O可以将△ABC完全盖住（△ABC的所有顶点都不在⊙O的外），则⊙O半径的最小值为4．【分析】利用已知得出当BC为直径时，⊙O半径的最小，进而得出答案．【解答】解：如图所示：当BC为直径，连接AO，∵AB=AC=5，BC=8，∴BO=CO=4，AO⊥BC，∴AO==3，∵3＜4，∴A在⊙O内部，则⊙O半径的最小值为4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出以BC为直径的圆是解题关键．三、解答题（共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）（2011•重庆）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．【分析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2﹣x﹣1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．【解答】解：原式=×，=×=，∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，将x2=x+1代入化简后的式子得：==1．【点评】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．18．（6分）（2016•陕西校级模拟）在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．求证：△ABC≌△EAD．【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AB=AE，∴∠AEB=∠B．∴∠B=∠DAE．∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD（SAS）．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．19．（7分）（2010•义乌市）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人和6人；（2）该校参加航模比赛的总人数是24人，空模所在扇形的圆心角的度数是120°，并把条形统计图补充完整；（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖．今年我市中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？【分析】（1）由图知参加车模、建模比赛的人数；（2）参加建模的有6人，占总人数的25%，根据总人数=参见海模比赛的人数÷25%，算出空模比赛的人数，再算出所占的百分比×360°；（3）先求出随机抽取80人中获奖的百分比，再乘以我市中小学参加航模比赛的总人数．【解答】解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；（每空（1分），共2分）（2）6÷25%=24，（24﹣6﹣6﹣4）÷24×360°=120°（每空（1分），共2分），（3）32÷80=0.4（1分）0.4×2485=994答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人．（3分）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（8分）（2011•无锡）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知老王种植水果的成本是2 800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据函数图象得出分段函数解析式，注意x的取值范围；（2）利用函（1）中函数解析式表示出w，进而利用函数性质得出最值．【解答】解：（1）根据图象可知当0＜x≤20时，y=8000（0＜x≤20），当20＜x≤40时，将B（20，8000），C（40，4000），代入y=kx+b，得：，解得：，y=﹣200x+12000（20＜x≤40）；（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2 800元/吨，由题意得：当0＜x≤20时，W=（8000﹣2800）x=5200x，W随x的增大而增大，当x=20时，W最大=5200×20=104000元，当20＜x≤40时，W=（﹣200x+12000﹣2800）x=﹣200x2+9200x，∵a=﹣200，∴函数有最大值，当x=﹣=23时，W最大==105800元．故张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用图象分段求出解析式以及掌握利用二次函数解析式求最值是解决问题的关键．21．（8分）（2014•雁塔区校级模拟）如图，某人在山脚A处测得一座塔BD的塔尖点B的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点B的仰角为45°，已知坡面AP=40米，坡角∠PAC=30°，且D、A、C在同一条直线上，求塔BD的高度（测角仪的高度忽略不计，结果用根号表示）【分析】过P点作PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，设BD=x，则AD=，解方程求出x的值即可得到塔BD的高度．【解答】解：过P点作PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，在Rt△APE中，∵AP=40，∠PAC=30°，∴PE=40sin30°=20，AE=40cos30°=，设BD=x，则AD=，∵DE=PF=BF=BD﹣FD，DE=AD+AE，∴，解得，∴塔BD的高度为（）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22．（8分）（2015•青岛模拟）有两部不同型号的手机（分别记为A，B）和与之匹配的2个保护盖（分别记为a，b）（如图所示）散乱地放在桌子上．（1）若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率．（2）若从手机和保护盖中随机取两个，用树形图法或列表法，求恰好匹配的概率．【分析】（1）由题意可得有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及恰好匹配的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵从手机中随机抽取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa，Ab，Ba，Bb四种情况．恰好匹配的有Aa，Bb两种情况，∴P（恰好匹配）==；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好匹配的有4种情况，∴P（恰好匹配）==．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2014•雁塔区校级模拟）如图．正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，延长BA 到E，使AE=AB，连结ED．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．【分析】（1）首先根据题意得出∠EDA=45°，∠ODA=45°，进而得出∠ODE的度数，求出即可；（2）利用O为正方形的中心，则M为AB中点，求出==2，进而得出答案．【解答】证明：（1）连结DO，∵四边形ABCD为正方形，AE=AB，∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，∴直线ED是⊙O的切线；（2）作OM⊥AB于点M，∵O为正方形的中心，∴M为AB中点，∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴==2，∴EF=2FO．【点评】此题主要考查了切线的判定以及比例的性质，得出==2进而求出是解题关键．24．（10分）（2007•泰安）如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB 绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．（1）求A′点的坐标；（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，∠A′OA的度数和旋转角的度数相同，可过A′作x轴的垂线，在构建的直角三角形中可根据OA′的长和∠A′OA的度数求出A′的坐标；（2）已知了C，A′，A三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）本题要分三种情况进行讨论：①以O为直角顶点，OA=OP=4，而OC=4，那么此时C点和P点重合，因此P点的坐标即为C点的坐标．②以A为直角顶点，那么P点的坐标必为（4，4）或（4，﹣4）．可将这两个坐标代入抛物线的解析式中判定其是否在抛物线上即可．③以P为直角顶点，那么P点在OA的垂直平分线上，且P点的坐标为（2，2）或（2，﹣2）然后按②的方法进行求解即可．【解答】解：（1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB′A′D为矩形．在△A′DO中，A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2，OD=A′B′=AB=2，∴点A′的坐标为（2，2）；（2）∵C（0，4）在抛物线上，∴c=4，∴y=ax2+bx+4，∵A（4，0），A′（2，2），在抛物线y=ax2+bx+4上，∴，解之得，∴所求解析式为y=+（2﹣3）x+4；（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点P（0，4）为满足条件的点．②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，﹣4），代入抛物线解析式中知此两点不在抛物线上．③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，﹣2），代入抛物线解析式中知此两点不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、等腰直角三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．25．（12分）（2014•雁塔区校级模拟）数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角（相对的两个角）互补．下面我们来研究它外角的性质．（1）在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？（3）如图③，点D是圆上一点，弦AB=，DC是∠ADB的平分线，∠BAC=30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB有最大面积？最大面积是多少？【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补的性质即可得出结论；（2）先根据四边形ABCD是圆内接四边形得出∠2=∠ABC，再根据∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB得出∠1=∠ACB，由DE平分∠FDC可知∠1=∠2所以∠ABC=∠ACB，由此可得出结论；（3）根据DC平分∠ADB可知∠ADC=∠BDC，再由∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，得出∠ABC=∠BAC，进而AC=BC，由直角三角形的性质得出AC=BC=1，由于S四边形DACB=S +S△DAB△ABCS△ABC为定值，当S△DAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大，此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC=90°，根据∠ADC=∠BAC=30°可知DC=2AC=2，由此可得出结论．【解答】解：（1）画图如图，∠DCE=∠A．证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠BCD=180°∠DCE=∠A；（2）AB=AC，证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠2=∠ABC，∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，∴∠1=∠ACB，∵DE平分∠FDC，∴∠1=∠2，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，又∵∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC，∴AC=BC，∵AB=，∠BAC=30°，∴AC=BC=1，∵S四边形DACB=S△ABC+S△DABS△ABC为定值，当S△DAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求出面积最大的△DAB 即可在△DAB中，AB边不变，当点D是AB的中垂线与圆的交点时，四边形DACB面积最大此时△DAB为等边三角形，此时DC应为圆的直径，∠DAC=90°∵∠ADC=∠BAC=30°，∴DC=2AC=2，∴四边形DACB的最大面积=××2=．【点评】本题考查的是圆的综合题，熟知圆内接四边形的性质、直角三角形的性质等知识是解答此题的关键．。
2020年陕西师大附中中考数学四模试卷 (含答案解析)
2020年陕西师大附中中考数学四模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算：(−32)−1+1=()A. −53B. 43C. 13D. 532.如图所示是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体A. 主视图改变，左视图改变B. 俯视图不变，左视图不变C. 俯视图改变，左视图改变D. 主视图改变，左视图不变3.已知：直线l1//l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°4.正比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点A到x轴的距离与到y轴的距离之比为2：3，且y随x的增大而减小，则k的值为()A. 23B. 32C. −23D. −325.下列计算正确的是()A. 2a2+3a2=5a4B. 3a−2a=1C. 2a2×a3=2a6D. (a2)3=a66.如图，等边三角形ABC边长为5，D，E分别是边AB，AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF=2，则BD的长是()A. 247B. 218C. 3D. 27.直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是()A. y=3x+3B. y=3x−2C. y=3x+2D. y=3x−18.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是()A. 8B. 9C. 10D. 119.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC⏜上任意一点，连结AD，GD．BC⏜=50°，则∠AGD=()A. 50°B. 55°C. 65°D. 75°10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a−b+c|+|2a+b|=()A. a+bB. a−2bC. a−bD. 3a二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.在实数1，−√5，0，√2中，最大的数______．12.正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是______．13.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx (x<0)的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=12，则BN的长为______．14.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=___________．三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）15.计算：3cos60°−2−1+(π−3)0−√(−2)2．16.解分式方程：x−2x −3x−2=1．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.利用直尺与圆规在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度(不写作法，保留作图痕迹)．18.如图，在四边形ABCD中，∠A=45°，CD=BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE．(1)求证：∠DEC=∠BEC；(2)若AB=8，BC=√10，求CE的长．19.在慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成下面的统计图(1)这50名同学捐款的众数为________ 元，中位数为________ 元；(2)求这50名同学捐款的平均数；(3)该校共有800名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．20.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走9米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为68°，点A、B、C三点在同一水平线上．(1)计算古树BH的高；(2)计算教学楼CG的高．(结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，√2≈1.41)．21.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回，设汽车从甲地出发x(小时)时，汽车与甲地的距离为y(千米)，y与x的函数关系如图所示，根据图象信息，解答下列问题；(1)这辆汽车的往返速度是否相同？请说明理由；(2)求返程中y与x之间的函数表达式；(3)求这辆汽车从甲地出发4(小时)时与甲地的距离．22.小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4.游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：(1)小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？(2)该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．23.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB=∠AEC，AE与BC交于F．(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；(2)当⊙O的半径是5，BF=2√11，EF=11时，求CE及BH的长．324.如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A(−2,−1)，B(0,7)两点．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y>0？(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．25.已知：如图1，四边形ABCD中，∠ABC=135°，连接AC、BD，交于点E，BD⊥BC，AD=AC(1)求证：∠DAC=90°；(2)如图2，过点B作BF⊥AB，交DC于点F，交AC于点G，若S△DBF=2S△CBF，求证：AG=CG；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB=3，求线段GF的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：原式=1−32+1=−23+1=13．故选：C．直接利用负指数幂的性质化简得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确化简负指数幂是解题关键．2.答案：D解析：本题主要考查三视图，掌握好三视图的有关知识是解题的关键.主视图是在物体正面从前后观察物体得到的图形；俯视图是在水平面内从上向下观察物体得到的图形；左视图是在几何体左侧面观察物体得到的图形；分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D．3.答案：B解析：本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．解：如图，，∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1//l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°−55°=35°，∴∠2=35°．故选B．4.答案：C解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用正比例函数的性质设出点A 的坐标是解题的关键，设点A的坐标为(3a,−2a)，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，此题得解．解：依题意，可设点A的坐标为(3a,−2a)，∵点A(3a,−2a)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴−2a=3ak，∴k=−2．3故选：C．5.答案：D解析：解：A、原式=5a2，故本选项错误．B、原式=a，故本选项错误．C、原式=2a5，故本选项错误．D、原式=a6，故本选项正确．根据合并同类项，单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方的计算法则解答．考查了合并同类项，单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题，熟记计算法则即可解题．6.答案：B解析：本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质及轴对称的性质.先根据折叠可得∠DFE=∠A=60°，AD=DF，AE=FE，由等边三角形的性质可得AB=BC=AC=5，∠B=∠C=∠A=60°，进而证明△BDF∽△CFE，得比例式DFFE =BDCF=BFCE，设AD=DF=x，AE=FE=y，则BD=5−x，CE=5−y，列方程组并解方程组即可求解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=∠A=60°，∵将△ADE沿DE折叠得△DEF，∴∠DFE=∠A=60°，AD=DF，AE=FE，∵∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF，∴∠EFC=∠BDF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴DFFE =BDCF=BFCE，设AD=DF=x，AE=FE=y，则BD=5−x，CE=5−y，∵BF=2，∴CF=3，∴xy =5−x3=25−y，解得x=198，即AD=198，∴BD=AB−AD=218．故选B．解析：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．直接利用一次函数平移规律进而得出答案．解：直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x+1−2=3x−1．故选：D．8.答案：C解析：本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO=√32+42=5，∴BD=2BO=10，故选C．9.答案：C解析：【试题解析】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接OC，BD，由BC⏜=50°，根据弧与圆心角的关系，可求得∠BOC的度数，又由弦CD⊥AB，由垂径定理可得BC⏜=BD⏜，则可求得∠BAD的度数，又由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠B的度数，然后由圆周角定理，求得答案．解：连接OC，BD，∵BC⏜=50°，∴∠BOC=50°，∵弦CD⊥AB，∴BC⏜=BD⏜，∠BOC=25°，∴∠BAD=12∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B=90°−∠BAD=65°，∴∠AGD=∠B=65°．故选：C．10.答案：D解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出|a−b+c|=a−b，|2a+b|=2a+b.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的图象找出系数间的关系是关键．观察函数图象找出“a>0，c=0，−2a<b<0”，由此即可得出|a−b+c|=a−b，|2a+b|= 2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．解：观察函数图象，发现函数图象过原点，故c=0；抛物线的开口向上，a>0；<1，−2a<b<0．根据抛物线的对称轴的位置得0<−b2a∴|a−b+c|=a−b，|2a+b|=2a+b，∴|a−b+c|+|2a+b|=a−b+2a+b=3a．故选：D．11.答案：√2解析：此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握实数比较大小的法则．根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．解：∵在实数1，−√5，0，√2中，√2>1>0>−√5，∴最大的数是√2．故答案为：√2．12.答案：互补解析：解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360°n ，正多边形的一个外角等于360°n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．故答案为：互补．根据正多边形的中心角的定义可得到正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，然后利用正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补得到正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．掌握正多边形的有关概念．13.答案：3解析：解：∵S矩形OABC=32，∴AB⋅BC=32，∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB=DE，OD=OA，在Rt△ODE中，tan∠DOE=DEOD =12，即OD=2DE，∴DE⋅2DE=32，解得DE=4，∴AB=4，OA=8，在Rt△OCM中，∵tan∠COM=MCOC =12，而OC=AB=4，∴MC=2，∴M(−2,4)，把M(−2,4)代入y=kx得k=−2×4=−8，∴反比例函数解析式为y=−8x，当x=−8时，y=−8−8=1，则N(−8,1)，∴BN=4−1=3．故答案为3．利用矩形的面积公式得到AB⋅BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到tan∠DOE=DEOD =12，所以DE⋅2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M(−2,4)，易得反比例函数解析式为y=−8x，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．14.答案：6013解析：本题主要考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积相等的有关知识，首先连接AD，由△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，又由DE⊥AB，利用三角形的面积相等即可求得DE的长．解：连接AD，∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=12BC=5，∴AD=√AB2−BD2=12，∵DE⊥AB，∴∠BED=∠BDA=90°，∴根据△ABD的面积相等得到12AB×DE=12AD×BD，即12×13×DE=12×12×5解得：DE=6013．故答案为6013．15.答案：解：原式=3×12−12+1−2=0．解析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简求出答案．此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．16.答案：解：方程x−2x −3x−2=1，去分母得：x2−4x+4−3x=x2−2x，解得：x=45，经检验x=45是分式方程的解．解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.答案：解：如图所示：点D即为所求．解析：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的做法，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．作∠BAC的角平分线，与BC的交点就是D位置．18.答案：(1)证明：∵DE是AB边的垂直平分线，∴DE⊥AB，AE=EB=4，∵∠A=45°，∴DE=AE=EB，又∵DC=CB，CE=CE，∴△EDC≌△EBC(SSS)．∴∠DEC=∠BEC=45°；(2)解：过点C作CH⊥AB于点H，∵∠BEC=45°，∴CH=EH，设EH=x，则BH=4−x，在Rt△CHB中，CH2+BH2=BC2，即x2+(4−x)2=10，解之，x1=3，x2=1(不合题意，舍)，即EH=3．∴CE=√2EH=3√2．解析：(1)根据线段垂直平分线的性质得到DE⊥AB，AE=EB=4，得到DE=AE=EB，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到CH=EH，设EH=x，则BH=4−x，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．19.答案：解：(1)15，15；(2)50名同学捐款的平均数=(5×8+10×14+15×20+20×6+25×2)÷50=13(元)；(3)估计这个中学的捐款总数=800×13=10400(元)．解析：此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了加权平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．(1)根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；(2)利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；(3)利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．解：(1)数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即(15+15)÷2=15(元)．故答案为15，15；(2)见答案；(3)见答案．20.答案：解：(1)由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=9米，AD=BE=1.5米，在Rt△DEH中，∵∠EDH=45°，∴HE=DE=9米．∴BH=EH+BE=10.5米．(2)作HJ⊥CG于G.则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．在Rt △EFG 中，tan68°=FG EF ，∴2.5=x+9x ，∴x =6，∴GF =6+9=15∴CG =CF +FG =1.5+15≈16.5米．解析：(1)利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；(2)作HJ ⊥CG 于G.则△HJG 是等腰三角形，四边形BCJH 是矩形，设HJ =GJ =BC =x.构建方程即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)不相同，理由：因为去时用了2小时，返回时用了2.5小时，所以辆汽车的往返速度不相同；(2)返回过程的函数图象经过点(2.5,120)和(5,0)，设返回过程中y 与x 之间的函数关系式为 y =kx +b ， {120=2.5k +b 0=5k +b， 解得，{k =−48b =240， ∴y =−48x +240(2.5≤x ≤5)；(3)当x =4时，y =−48×4+240=48，答：这辆汽车从甲地出发4(小时)时与甲地的距离是48千米．解析：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．(1)根据题意和函数图象可以解答本题；(2)根据函数图象中的数据可以求得与x之间的函数表达式；(3)将x=4代入(2)中的函数解析式即可解答本题．22.答案：解：(1)小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率=24=12；(2)该游戏公平.理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为4，所以小王胜的概率=416=14；两次的数字都是偶数的结果数为4，所以小张胜的概率=416=14，因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，所以该游戏公平．解析：本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.也考查了树状图法．(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次的数字都是奇数的结果数得到小王胜的概率；找出两次的数字都是偶数的结果数得到小张胜的概率，然后比较两概率的大小可判断该游戏是否公平．23.答案：解：(1)BD是⊙O的切线；理由如下：∵∠AEC与∠ABC都对AC⏜，∴∠AEC=∠ABC，∵∠ODB=∠AEC，∴∠ABC=∠ODB，在Rt△BDH中，∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；(2)∵∠A=∠C，∠ABF=∠CEF，∴△CEF∽△ABF，∴CEAB =EFBF=CFAF，即CE10=1132√11，解得：CE=53√11；连接BE，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE=√BF2−EF2=53√11，∴AE=√AB2−BE2=253，∴AF=AE−EF=253−113=143，∴CF143=1132√11，解得：CF=7√119，∴BC=BF+CF=25√119，∵OE⊥BC，∴BH=CH=12BC=25√1118．解析：(1)由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代换得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到∠OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线；(2)证明△CEF∽△ABF，得出对应边成比例求出CE，由勾股定理求出BE和AE，得出AF，求出CF，得出BC的长，由垂径定理得出BH的长．此题考查了切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．24.答案：解：(1)∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A(−2,−1)，B(0,7)两点．∴{−1=−4−2b+cc=7，解得：{b =2c =7． ∴y =−x 2+2x +7，=−(x 2−2x)+7，=−[(x 2−2x +1)−1]+7，=−(x −1)2+8，∴对称轴为：直线x =1．(2)当y =0，0=−(x −1)2+8，∴x −1=±2√2，x 1=1+2√2，x 2=1−2√2，∴抛物线与x 轴交点坐标为：(1−2√2,0)，(1+2√2,0)，∴当1−2√2<x <1+2√2时，y >0；(3)当矩形CDEF 为正方形时，假设C 点坐标为(x,−x 2+2x +7)，∴D 点坐标为(−x 2+2x +7+x,−x 2+2x +7)，即：(−x 2+3x +7,−x 2+2x +7)，∵对称轴为：直线x =1，D 到对称轴距离等于C 到对称轴距离相等，∴−x 2+3x +7−1=−x +1，解得：x 1=−1，x 2=5(不合题意舍去)，x =−1时，−x 2+2x +7=4，∴C 点坐标为：(−1,4)．解析：(1)根据待定系数法求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可；(2)求出二次函数与x 轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x 取值范围；(3)利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案．此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出C 、D 两点坐标之间的关系是解决问题的关键．25.答案：解：(1)如图，过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC∴四边形APBF是矩形∵∠ABC=135°，∠DBC=90°，∴∠ABP=45°，且∠APB=90°，∴AP=PB，∴四边形APBF是正方形∴AP=AF，且AD=AC，∴Rt△APD≌Rt△FAC(HL)∴∠DAP=∠FAC，∵∠FAC+∠PAC=90°∴∠DAP+∠PAC=90°∴∠DAC=90°(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH=BC，连接AH，∵∠ABC=135°，∠ABF=90°，∴∠CBF=45°，且∠DBC=90°，∴∠DBF=∠CBF，且FN⊥BD，FM⊥BC，∴FN=FM，∵S△DBF=2S△CBF，∴12×BD×FN=12×BC×FM×2，∴BD=2BC，∴BH=BD−DH=BD−BC=BC，∵∠AED=∠BEC，∠DAC=∠DBC=90°，∴∠ADH=∠ACB，且AD=AC，DH=BC，∴△ADH≌△ACB(SAS)，∴∠AHD=∠ABC=135°，AH=AB，∴∠AHB=∠ABD=45°，∴∠HAB=90°，∵BC=BH，∠HAB=∠BPC，∠AHB=∠FBC=45°，∴△AHB≌△PBC(AAS)，∴AB=PC，∵AB=PC，且∠ABP=∠BPC，∠AGB=∠CGP，∴△AGB≌△CGP(AAS)，∴AG=GC(3)∵AB=3=CP，∠PBC=45°，CP⊥BF，∴BP=3，∵△AGB≌△CGP，∴BG=GP=3 2在Rt△PGC中，CG=√PC2+GP2=3√52∴AG=GC=3√5 2∴AC=AD=3√5在Rt△ADC中，CD=√AD2+AC2=3√10，∵S△DBF=2S△CBF，∴DF=2FC∵DF+FC=DC∴CF=√10在Rt△PFC中，PF=√FC2−PC2=1∴FG=PG+PF=1+32=52解析：(1)过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，可证四边形APBF是正方形，可得AP=AF，根据“HL”可证Rt△APD≌Rt△FAC，可得∠DAP=∠FAC，即可得∠DAC=90°；(2)过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH=BC，连接AH，根据角平分线的性质可得FN=FM，根据S△DBF=2S△CBF，可得BD=2BC，即BH=DH= BC，通过全等三角形的判定和性质可得AG=GC；(3)由全等三角形的性质可得BG=PG=32，根据勾股定理可求GC，DC，PF的长，即可求GF的长．本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
2022学年陕西省西安市(师大附中)中考数学全真模拟试卷(含答案解析)
2022学年陕西省西安市（师大附中）中考数学全真模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 和CE 是高，∠ACE=45°，点F 是AC 的中点，AD 与FE ，CE 分别交于点G 、H ，∠BCE=∠CAD ，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE ≌△CBE ；③BC•AD=2AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．某种超薄气球表面的厚度约为0.00000025mm ，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．72.510-⨯B ．70.2510-⨯C ．62.510-⨯D ．52510-⨯3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则DE 的长是（ ）A ．5B ．32C ．74D ．1544．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．14- D ．745．下列运算中，计算结果正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 2+a 3=a 5C ．（a 2）3=a 6D ．a 12÷a 6=a 2 6．统计学校排球队员的年龄，发现有12、13、14、15等四种年龄，统计结果如下表：年龄（岁） 12 13 14 15 人数（个） 2 4 6 8根据表中信息可以判断该排球队员年龄的平均数、众数、中位数分别为（ ）A ．13、15、14B ．14、15、14C ．13.5、15、14D ．15、15、157．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ） A ． B ． C ．D ．8．下列各数中，最小的数是（ ）A ．﹣4B ．3C ．0D ．﹣29．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）A ．32，31B ．31，32C ．31，31D ．32，3510．对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B ．当x=2时，y 有最大值－3C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）D ．图像与x 轴有两个交点二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：244m m ++＝___________．12．计算：327=_____13．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ _______．14．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.15．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m．16．已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为_______．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：+=1．18．（8分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）．（1）求抛物线的表达式．（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;②当S取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由．（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，直线364y x =--与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点．（1）求出A ，B 两点的坐标；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在圆M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △PDE =110S △ABC 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）计算：﹣45﹣|4sin30°﹣5|+（﹣112）﹣1 21．（8分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得PA ，PB 与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,Q x y 与()22,P x y .若Q 、P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，当该直角三角形的两条直角边分别与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“直距”记做PQ D ，特别地，当PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”．例如下图中，点()1,1P ，点()3,2Q ，此时点Q 与点P 之间的“直距”3PQ D =. （1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则AO D =_________，BO D =_________；②点C 在直线3y x =-+上，求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F 是直线24y x =+上一动点.直接写出点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值．23．（12分） ( 19﹣4sin31°+（2115﹣π）1﹣（﹣3）2 （2）先化简，再求值：1﹣2222244x y x y x y x xy y--÷+++，其中x 、y 满足|x ﹣2|+（2x ﹣y ﹣3）2=1． 24．计算: 021( 3.14)()3|12|4cos30.2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【答案解析】①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；②根据ASA 证明即可，结论正确；③利用面积法证明即可，结论正确；④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确.【题目详解】∵CE ⊥AB ，∠ACE=45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∵AF=CF ，∴EF=AF=CF ，∴△AEF ，△EFC 都是等腰直角三角形，∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC ，∴∠EAH=∠BCE ，∵AE=EC ，∠AEH=∠CEB=90°，∴△AHE ≌△CBE ，故②正确，∵S △ABC =12BC•AD=12AB•CE ，AE ，AE=CE ，∴CE 2，故③正确，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ，∴S △ABC =2S △ADC ，∵AF=FC ，∴S △ADC =2S △ADF ，∴S △ABC =4S △ADF ．故选C ．【答案点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2、A【答案解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】70.00000025 2.510-=⨯，故选：A ．【答案点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3、C【答案解析】先利用勾股定理求出AC 的长，然后证明△AEO ∽△ACD ，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【题目详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=12AC=5， ∵EO ⊥AC ，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD ，∴△AEO ∽△ACD ， ∴AE AO AC AD=， 即 5108AE = ， 解得，AE=254， ∴DE=8﹣254=74， 故选：C ．【答案点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．4、D【答案解析】 先解方程组求出74x y -=，再将,,x a y b =⎧⎨=⎩代入式中，可得解. 【题目详解】解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩①② +①②，得447x y -=， 所以74x y -=， 因为,,x a y b =⎧⎨=⎩所以74x y a b -=-=. 故选D.【答案点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型． 5、C【答案解析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A 、a 2•a 3=a 2+3=a 5，故本选项错误；B 、a 2+a 3不能进行运算，故本选项错误；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项正确；D 、a 12÷a 6=a 12﹣6=a 6，故本选项错误．故选：C ．【答案点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．6、B【答案解析】根据加权平均数、众数、中位数的计算方法求解即可.【题目详解】 122134146158=142468x ⨯+⨯+⨯+⨯=+++， 15出现了8次，出现的次数最多，故众数是15，从小到大排列后，排在10、11两个位置的数是14，14，故中位数是14.故选B.【答案点睛】本题考查了平均数、众数与中位数的意义．数据x 1、x 2、……、x n 的加权平均数：112212............n n n w x w x w x x w w w +++=+++（其中w 1、w 2、……、w n 分别为x 1、x 2、……、x n 的权数）.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 7、C【答案解析】根据一次函数的位置确定a 、b 的大小，看是否符合ab<0，计算a-b 确定符号，确定双曲线的位置．【题目详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x- 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a b x-的图象过二、四象限， 所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a b x-的图象过一、三象限， 所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【答案点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小8、A【答案解析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可【题目详解】根据有理数比较大小的方法，可得﹣4＜﹣2＜0＜3∴各数中，最小的数是﹣4故选：A【答案点睛】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键要明确：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小9、C【答案解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C ．10、B【答案解析】 二次函数22114(2)344y x x x =-+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确；顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、()22m +【答案解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【题目详解】解：244m m ++=()22m +，故答案为()22m +.【答案点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．12、【答案解析】按照二次根式的运算法则进行运算即可.【题目详解】==【答案点睛】本题考查的知识点是二次根式的运算，解题关键是注意化简算式.13、1.5【答案解析】在Rt △ABC 中，5AC ，∵将△ABC 折叠得△AB′E ，∴AB′＝AB ，B′E ＝BE ，∴B′C ＝5－3＝1．设B′E ＝BE ＝x ，则CE ＝4－x ．在Rt △B′CE 中，CE 1＝B′E 1＋B′C 1，∴（4－x ）1＝x 1＋11．解之得32x =． 14、1:3:5【答案解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD =DF =FB ，∴AD :AF :AB =1:2:3， ∴ ::ADE AFG ABC S S S =1:4:9，∴S Ⅰ:S Ⅱ:S Ⅲ=1:3:5.故答案为1:3:5.点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．15m ． 【答案解析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【题目详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，∴扇形的半径为：2m ，∴扇形的弧长为：902180πm ，π÷2πm ． 【答案点睛】 本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．16、160︒．【答案解析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm ，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm ，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．【题目详解】根据弧长的公式l=180n r π得到： 80π=•90180n π， 解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度．故答案为160°．三、解答题（共8题，共72分）17、-3【答案解析】测试卷分析：解得x=－3经检验: x=－3是原方程的根.∴原方程的根是x=－3考点：解一元一次方程点评：在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握.18、（1）抛物线的解析式为：;（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;②存在.R点的坐标是（3,﹣）;（3）M的坐标为（1,﹣）．【答案解析】测试卷分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．测试卷解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,∵正方形的边长2,∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,解得a=,b=﹣,c=﹣2,∴抛物线的解析式为：,答：抛物线的解析式为：;（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2,=（2﹣2t）2+t2,即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,解得t=,t=（不合题意,舍去）,此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）,若R点存在,分情况讨论：（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,即R（3,﹣）,代入,左右两边相等,∴这时存在R（3,﹣）满足题意;（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,则R（1,﹣）代入,,左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意．答：存在,R点的坐标是（3,﹣）;（3）如图,M′B=M′A,∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,理由是：∵MA=MB,若M 不为L 与DB 的交点,则三点B 、M 、D 构成三角形,∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,即M 到D 、A 的距离之差为|DB|时,差值最大,设直线BD 的解析式是y=kx+b,把B 、D 的坐标代入得：,解得：k=,b=﹣,∴y=x ﹣, 抛物线的对称轴是x=1,把x=1代入得：y=﹣∴M 的坐标为（1,﹣）;答：M 的坐标为（1,﹣）．考点：二次函数综合题．19、（1）A （﹣8，0），B （0，﹣6）;（2）21462y x x =---；（3）存在．P 点坐标为（﹣6，-1）或（﹣46，-1）或（﹣2，1）或（﹣42，1）时，使得110PDE ABC S S ∆∆=． 【答案解析】分析：（1）令已知的直线的解析式中x=0，可求出B 点坐标，令y=0，可求出A 点坐标；（2）根据A 、B 的坐标易得到M 点坐标，若抛物线的顶点C 在⊙M 上，那么C 点必为抛物线对称轴与⊙O 的交点；根据A 、B 的坐标可求出AB 的长，进而可得到⊙M 的半径及C 点的坐标，再用待定系数法求解即可；（3）在（2）中已经求得了C 点坐标，即可得到AC 、BC 的长；由圆周角定理:∠ ACB=90°，所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P 点坐标．本题解析：（1）对于直线364y x =--，当0x =时，6y =-；当0y =时， 所以A （﹣8，0），B （0，﹣6）；（2）在Rt △AOB 中，2268+，∵∠AOB=90°，∴AB 为⊙M 的直径，∴点M 为AB 的中点，M （﹣4，﹣3），∵MC ∥y 轴，MC=5，∴C （﹣4，2），设抛物线的解析式为y=a(x+4)²+2， 把B （0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=12- ，∴抛物线的解析式为21(4)2y x =-+ ，即21462y x x =---； （3）存在．当y=0时，21(4)22y x =-++ ，解得x ，=﹣2，x ，=﹣6， ∴D （﹣6，0），E （﹣2，0）， 18202ABC ACM BCM S S S CM ∆∆∆=+=⨯⨯=， 设P （t ，2142t t ---6）， ∵110PDE ABC S S ∆∆= ∴211(26)4622t t -+---=110⨯20， 即|21462t t ---|=1，当21462t t ---=-1， 解得146t =-+，246t =-- ，此时P 点坐标为（﹣4+6，-1）或（﹣4﹣6，-1）；当214612t t ---=时 ，解得1t =﹣4+2，2t =﹣4﹣2； 此时P 点坐标为（﹣4+2，1）或（﹣4﹣2，1）．综上所述，P 点坐标为（﹣6，-1）或（﹣46，-1）或（﹣2，1）或（﹣42，1）时，使得110PDE ABC S S ∆∆=． 点睛：本题考查了二次函数的综合应用及顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程的解法，本题的综合性较强，注意分类讨论的思想应用.20、﹣51．先逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可.【题目详解】解：原式＝﹣2）﹣12＝﹣﹣12＝﹣1．【答案点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及负整数指数幂的意义是解答本题的关键.21、5.6千米【答案解析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=yx，即y=0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x，所以0.33x+5.6=1.33x，然后解方程求出x即可．【题目详解】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA=DA DP，即tan18°=yx，∴y=0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB=64 5.6g)56x⨯-（，即tan53°=5.6yx+，∴y+5.6=1.33x，∴0.33x+5.6=1.33x，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【答案点睛】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．22、（1）①3，1；②最小值为3；（1）22-（1）①根据点Q 与点P 之间的“直距”的定义计算即可；②如图3中，由题意，当D CO 为定值时，点C 的轨迹是以点O 为中心的正方形（如左边图），当D CO ＝3时，该正方形的一边与直线y ＝－x ＋3重合（如右边图），此时D CO 定值最小，最小值为3；（1）如图4中，平移直线y ＝1x ＋4，当平移后的直线与⊙O 在左边相切时，设切点为E ，作EF ∥x 轴交直线y ＝1x ＋4于F ，此时D EF 定值最小；【题目详解】解：（1）①如图1中，观察图象可知D AO ＝1＋1＝3，D BO ＝1，故答案为3，1．②（i ）当点C 在第一象限时（03x <<），根据题意可知，CO D 为定值，设点C 坐标为(),3x x -+，则()33CO D x x =+-+=，即此时CO D 为3；（ii ）当点C 在坐标轴上时（0x =，3x =），易得CO D 为3；（ⅲ）当点C 在第二象限时（0x <），可得()3233CO D x x x =-+-+=-+>；（ⅳ）当点C 在第四象限时（3x >），可得()3233CO D x x x ⎡⎤⎣⎦=+--+=->；综上所述，当03x 时，CO D 取得最小值为3；（1）如解图②，可知点F 有两种情形，即过点E 分别作y 轴、x 轴的垂线与直线24y x =+分别交于1F 、2F ；如解图③，平移直线24y x =+使平移后的直线与O 相切，平移后的直线与x 轴交于点G ，设直线24y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，观察图象，此时1EF 即为点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值.连接OE ，易证MON GEO ∽△△，∴MN ON GO OE =，在Rt MON △中由勾股定理得25MN =2541=，解得5GO =，∴1522EF D EF MG MO GO ===-=-.【答案点睛】本题考查一次函数的综合题，点Q 与点P 之间的“直距”的定义，圆的有关知识，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义，解决问题，属于中考压轴题．失分原因第（1）问 （1）不能根据定义找出AO 、BO 的“直距”分属哪种情形；（1）不能找出点C 在不同位置时， 的取值情况，并找到 的最小值第（1）问 （1）不能根据定义正确找出点E 与点F 之间“直距” 取最小值时点E 、F 的位置；（1）不能想到由相似求出GO 的值23、 (1)-7；(2)y x y -+ ，13-. 【答案解析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值.【题目详解】(1)原式=3−4×12+1−9=−7； (2)原式=1−2x y x y -+ ⋅()()()22x y x y x y ++-=1−2x y x y ++ =2x y x y x y +--+ =−y x y+； ∵|x−2|+(2x−y−3)2=1，∴2023x x y -=⎧⎨-=⎩，解得：x=2，y=1，当x=2,y=1时,原式=−1 3 .故答案为（1）-7；（2）−yx y+；−13.【答案点睛】本题考查了实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值的运用.24、10【答案解析】【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及绝对值的化简、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.【题目详解】原式=1+9-=10-=10.【答案点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.。
陕西省师范大附属中学2024届中考数学对点突破模拟试卷含解析
陕西省师范大附属中学2024学年中考数学对点突破模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( )A．B．C．D．3．下列四个命题中，真命题是（）A．相等的圆心角所对的两条弦相等B．圆既是中心对称图形也是轴对称图形C．平分弦的直径一定垂直于这条弦D．相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和4．对于二次函数,下列说法正确的是（）A．当x>0，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值－3C．图像的顶点坐标为（－2，－7）D．图像与x轴有两个交点5．在平面直角坐标系xOy中，函数31y x的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n27．下列各式计算正确的是（）A．a+3a=3a2B．(–a2)3=–a6C．a3·a4=a7D．(a+b)2=a2–2ab+b28．对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中适合抽样调查的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③9．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )A．8 B．6 C．4 D．210．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．310B．925C．920D．3511．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=45，反比例函数y=48x在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于( )A ．30B ．40C ．60D ．8012．下列所给函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ．y=﹣x ﹣1 B ．y=2x 2（x≥0） C ．2y x=D ．y=x+1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．如图，在梯形ABCD 中，//,2AD BC BC AD =，E 、F 分别是边AD BC 、的中点，设AD a,AB b ==，那么EF 等于__________（结果用a b 、的线性组合表示）．14．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学计数法表示，可记为____________． 15．化简：9=______．16．因式分解：4ax 2﹣4ay 2=_____．17．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OC ，OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是___________（写出一个即可）．18．分解因式：2363m m -+=__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当在点A 处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM 与影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.2m ，已知标杆直立时的高为1.8m ，求路灯的高CD 的长．20．（6分）某超市对今年“元旦”期间销售A 、B 、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A 品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；补全条形统计图；如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？21．（6分）如图所示，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，用尺规在边BC 上求作一点P ，使PA PB =；(不写作法，保留作图痕迹）连接AP 当B 为多少度时，AP 平分CAB ∠．22．（8分）计算：﹣22+2cos60°+（π﹣3.14）0+（﹣1）2018 23．（8分）某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y （件），与甲车间加工时间x （天），y 与x 之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z （件）与甲车间加工时间x （天）的关系如图（2）所示．（1）甲车间每天加工零件为_____件，图中d值为_____．（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？24．（10分）某学校要了解学生上学交通情况，选取七年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知七年级乘公交车上学的人数为50人．（1）七年级学生中，骑自行车和乘公交车上学的学生人数哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2400人，学校准备的600个自行车停车位是否足够？25．（10分）如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B 处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD 的高．（3=1.73，结果保留一位小数．）26．（12分）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD．∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系.图1 图2 图3(1)思路梳理将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F ，D ，G 三点共线. 易证△AFG ≅ ，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为 ； (2)类比引申如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC 的延长线上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明. (3)联想拓展如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，则DE 的长为 .27．（12分）（1）（﹣2）2+2sin 45°﹣11()182-⨯（2）解不等式组523(1)131322x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、A 【解题分析】解：①由函数图象，得a =120÷3=40，故①正确，②由题意，得5.5﹣3﹣120÷（40×2）， =2.5﹣1.5， =1．∴甲车维修的时间为1小时； 故②正确， ③如图：∵甲车维修的时间是1小时， ∴B （4，120）．∵乙在甲出发2小时后匀速前往B 地，比甲早30分钟到达． ∴E （5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3=80， ∴乙返回的时间为：240÷80=3， ∴F （8，0）．设BC 的解析式为y 1=k 1t +b 1，EF 的解析式为y 2=k 2t +b 2，由图象得，11111204240 5.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，2222240508k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得1180200k b =⎧⎨=-⎩，2280640k b =-⎧⎨=⎩，∴y 1=80t ﹣200，y 2=﹣80t +640， 当y 1=y 2时，80t ﹣200=﹣80t +640， t =5.2．∴两车在途中第二次相遇时t 的值为5.2小时， 故弄③正确，④当t =3时，甲车行的路程为：120km ，乙车行的路程为：80×（3﹣2）=80km ， ∴两车相距的路程为：120﹣80=40千米， 故④正确， 故选A ． 2、B 【解题分析】试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小． 考点：三视图． 3、B 【解题分析】试题解析：A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，故A 项错误； B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确；C. 平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故C 选项错误；D.外切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和，故选项D 错误. 故选B. 4、B 【解题分析】 二次函数22114(2)344y x x x =-+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确； 顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误， 故答案选B.考点：二次函数的性质. 5、A 【解题分析】【分析】一次函数y=kx+b 的图象经过第几象限，取决于k 和b ．当k ＞0，b ＞O 时，图象过一、二、三象限，据此作答即可．【题目详解】∵一次函数y=3x+1的k=3＞0，b=1＞0， ∴图象过第一、二、三象限，故选A．【题目点拨】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项.6、C【解题分析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．7、C【解题分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项计算即可.【题目详解】A. a+3a=4a，故不正确；B. (–a2)3=（-a）6，故不正确；C. a3·a4=a7，故正确；D. (a+b)2=a2+2ab+b2，故不正确；故选C.【题目点拨】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.8、B【解题分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【题目详解】①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；②审查某教科书稿适合全面调查；③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.故选B.【题目点拨】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9、A【解题分析】试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．故选A．考点：反比例函数系数k的几何意义．10、A【解题分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【题目详解】列表如下：∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，∴63P2010==两次红，故选A.11、B【解题分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=12S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．【题目详解】过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=45，∴AM=OA•sin∠AOB=45a，22OA AM35a，∴点A的坐标为（35a，45a）．∵点A在反比例函数y=48x的图象上，∴35a•45a=1225a2=48，解得：a=1，或a=-1（舍去）．∴AM=8，OM=6，OB=OA=1．∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，∴S△AOF=12S菱形OBCA=12OB•AM=2．故选B．【题目点拨】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=12S菱形OBCA．12、A【解题分析】根据二次函数的性质、一次函数的性质及反比例函数的性质判断出函数符合y随x的增大而减小的选项．【题目详解】解：A．此函数为一次函数，y随x的增大而减小，正确；B．此函数为二次函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，错误；C．此函数为反比例函数，在每个象限，y随x的增大而减小，错误；D．此函数为一次函数，y随x的增大而增大，错误．故选A．【题目点拨】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握函数的增减性是解决问题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1b a2 +．【解题分析】作AH∥EF交BC于H，首先证明四边形EFHA是平行四边形，再利用三角形法则计算即可．【题目详解】作AH∥EF交BC于H．∵AE∥FH，∴四边形EFHA是平行四边形，∴AE=HF，AH=EF．∵AE=ED=HF，∴12HF a=．∵BC=2AD，∴BC=2a．∵BF=FC，∴BF a=，∴12BH a=．∵12EF AH AB BH b a ==+=+．故答案为：12b a +．【题目点拨】本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．14、3.86×108【解题分析】根据科学记数法的表示（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数）形式可得：3.86亿=386000000=3.86×108.故答案是：3.86×108.15、3【解题分析】分析：根据算术平方根的概念求解即可.详解：因为32=9故答案为3.点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.16、4a（x﹣y）（x+y）【解题分析】首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．【题目详解】4ax2-4ay2=4a（x2-y2）=4a（x-y）（x+y）．故答案为4a（x-y）（x+y）．【题目点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．17、AB=AD（答案不唯一）.【解题分析】已知OA=OC，OB=OD，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．所以添加条件AB=AD或BC=CD或AC⊥BD，本题答案不唯一，符合条件即可.18、3（m-1）2【解题分析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3m2-6m+3=3（m2-2m+1）=3（m-1）2.故答案为：3（m-1）2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、路灯高CD 为5.1米．【解题分析】根据AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA 得到MA ∥CD ∥BN ，从而得到△ABN ∽△ACD ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【题目详解】设CD 长为x 米，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ∥BN ，∴EC ＝CD ＝x 米，∴△ABN ∽△ACD ， ∴BN CD ＝AB AC ，即1.8 1.21.8x x =-， 解得：x ＝5.1．经检验，x ＝5.1是原方程的解，∴路灯高CD 为5.1米．【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．20、（1）2400，60；（2）见解析；（3）500【解题分析】整体分析：（1）由C 品牌1200个占总数的50%可得鸡蛋的数量，用A 品牌占总数的百分比乘以360°即可；（2）计算出B 品牌的数量；（3）用B 品牌与总数的比乘以1500.解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个， A 品牌所占的圆心角：4002400×360°=60°； 故答案为2400，60；（2）B 品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个，补全统计图如图：（3）分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋为：8002400×1500=500个． 21、（1）详见解析；（2）30°．【解题分析】 （1）根据线段垂直平分线的作法作出AB 的垂直平分线即可；（2）连接PA ，根据等腰三角形的性质可得PAB B ∠=∠，由角平分线的定义可得PAB PAC ∠=∠，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得∠B 的度数，可得答案．【题目详解】（1）如图所示：分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E 、F ，作直线EF ，交BC 于点P ， ∵EF 为AB 的垂直平分线，∴PA=PB ，∴点P 即为所求．（2）如图，连接AP ，∵PA PB =，∴PAB B ∠=∠，∵AP 是角平分线，∴PAB PAC ∠=∠，∴PAB PAC B ∠=∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴∠PAC+∠PAB+∠B=90°，∴3∠B=90°，解得：∠B=30°，∴当30B∠=︒时，AP平分CAB∠．【题目点拨】本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．22、-1【解题分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值．【题目详解】解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1．【题目点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23、80 770【解题分析】（1）由图象的信息解答即可；（2）利用待定系数法确定解析式即可；（3）根据题意列出方程解答即可．【题目详解】（1）由图象甲车间每小时加工零件个数为720÷9=80个，d=770，故答案为：80，770（2）b=80×2﹣40=120，a=（200﹣40）÷80+2=4，∴B（4，120），C（9，770）设y BC=kx+b，过B、C，∴12047709k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得130400kb=⎧⎨=-⎩，∴y=130x﹣400（4≤x≤9）（3）由题意得：80x+130x ﹣400=1000，解得：x=203答：甲车间加工203天时，两车间加工零件总数为1000件 【题目点拨】一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和根据图象确定一次函数关系式解答．24、（1）骑自行车的人数多，多50人；（2）学校准备的600个自行车停车位不足够，理由见解析【解题分析】分析: （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案.详解:（1）乘公交车所占的百分比60360=16， 调查的样本容量50÷16=300人，骑自行车的人数300×120360=100人， 骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；（2）全校骑自行车的人数2400×120360=800人， 800＞600，故学校准备的600个自行车停车位不足够．点睛: 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.25、塔CD 的高度为37.9米【解题分析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt △BED 和Rt △DAC ，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC 的方程，从而求出DC ．试题解析：作BE ⊥CD 于E ．可得Rt △BED 和矩形ACEB ．则有CE=AB=16，AC=BE ．在Rt △BED 中，∠DBE=45°，DE=BE=AC ．在Rt △DAC 中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=3AC ． ∵16+DE=DC ，∴16+AC=3AC ，解得：AC=83+8=DE ．所以塔CD 的高度为（83+24）米≈37.9米，答：塔CD 的高度为37.9米．26、（1）△AFE. EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE ，理由见解析；（35【解题分析】试题分析：（1）先根据旋转得：90ADG A ∠=∠=，计算180FDG ∠=︒，即点F D G 、、共线，再根据SAS 证明△AFE ≌△AFG ，得EF =FG ，可得结论EF =DF +DG =DF +AE ；（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE 绕点A 逆时针旋转90至△ADG ，证明△EAF ≌△GAF ，得EF =FG ，所以EF =DF −DG =DF −BE ;（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD 绕点A 逆时针旋转90至△ACG ，证明△AED ≌△AEG ，得DE EG =，先由勾股定理求EG 的长，从而得结论．试题解析：(1)思路梳理：如图1,把△ABE 绕点A 逆时针旋转90至△ADG ，可使AB 与AD 重合，即AB =AD ，由旋转得：∠ADG =∠A =90，BE =DG ，∠DAG =∠BAE ，AE =AG ，∴∠FDG =∠ADF +∠ADG =90+90=180，即点F . D. G 共线，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD =90，∵∠EAF=45，∴904545 BAE FAD∠+∠=-=，∴45 FAD DAG FAG∠+∠=∠=，∴45EAF FAG∠=∠=，在△AFE和△AFG中，∵AE AGEAF FAG AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF=FG，∴EF=DF+DG=DF+AE；故答案为：△AFE，EF=DF+AE；(2)类比引申：如图2，EF=DF−BE，理由是：把△ABE绕点A逆时针旋转90至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，∵∠BAD=90，∴∠BAE+∠BAG=90，∵∠EAF=45，∴∠FAG=90−45=45，∴∠EAF=∠FAG=45，在△EAF和△GAF中，∵AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=FG，∴EF=DF−DG=DF−BE;(3)联想拓展：如图3,把△ABD绕点A逆时针旋转90至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，∵∠BAC=90，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45，∴∠ACG=∠B=45，∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45+45=90，∵EC=2，CG=BD=1，由勾股定理得：22125EG=+=，∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=90，∴∠DAG=90，∵∠BAD+∠EAC=45，∴∠CAG+∠EAC=45=∠EAG，∴∠DAE=45，∴∠DAE=∠EAG=45，∵AE=AE，∴△AED≌△AEG，∴ 5.DE EG==27、（1）4﹣52；﹣52＜x≤2，在数轴上表示见解析【解题分析】（1）此题涉及乘方、特殊角的三角函数、负整数指数幂和二次根式的化简，首先针对各知识点进行计算，再计算实数的加减即可；（2）首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【题目详解】解：（1）原式=4+2×22﹣2×32=4+2﹣62=4﹣52；（2）() 5231131322x xx x⎧+>-⎪⎨-≤-⎪⎩①②，解①得：x＞﹣52，解②得：x≤2，不等式组的解集为：﹣52＜x≤2，在数轴上表示为：．【题目点拨】此题主要考查了解一元一次不等式组，以实数的运算，关键是正确确定两个不等式的解集，掌握特殊角的三角函数值．。
2024年陕西师范大学附属中学中考四模数学试题
2024年陕西师范大学附属中学中考四模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．−13的倒数是（）A．3 B．−3C．13D．−132．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．3．如图，将含30°角的直角三角板ABC放在平行线α和b上，∠C＝90°，∠A＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．在平面直角坐标系中，将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（）A．34B．94C．32D．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB:BD=2:3，则cos∠BAC的值为（）A．34B．35C．74D．756．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E．若∠E=40°，则∠ABC的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°7．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线y=kx+m经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是直线x=1；②a−b+c=0；③−1<x<3时，ax2+bx+c>0；④若a=−1，则k=−1．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题8．比较大小：420（填“＞”“＜”或“＝”）．9．计算：−2x⋅x=．10．如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若AB=5，则圆弧三角形的周长为．11．如图，点A在双曲线y=4x 上，点B在双曲线y=kx（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为．12．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC至E，使CE=2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为．三、解答题13．计算：12+1−3−2tan60°．14．解关于x的不等式组3x>x−4 4+x3>x+215．先化简．再求值：a−1a−2⋅a2−4a2−2a+1−2a−1，其中a=13．16．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点D，使得△BCD 的周长等于AB+BC．（保留作图痕迹，不写作法）17．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，CE=CF，∠BAF=∠DAE，∠B=∠D．求证：AE=AF．18．如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A1,2、B3,1、C2,3．(1)将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；(3)连接A1A2，A1B2，A2B2，求△A1A2B2的面积．19．不透明的袋子里装有2个标有数字−1的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字．2的小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字−1的概率为25(1)袋子里标有数字2的小球有个；(2)丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标、再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率．20．某“综合与实践”小组开展测量某建筑物AB高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下．建筑物AB正前方有一根高度是17米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是9米，梯坎坡度i=2:5．请根据以上测量结果，求建筑物AB 的高度．21．某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．(1)求每张游板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；(2)在营销过程中，已知出售一张边长为40cm 的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价． 22．某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：A 58≤t ≤60 ，B 54≤t <58 ，C 50≤t <54 ，D t ≤50 ，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次抽样的样本容量为 ；(2)补全条形统计图；(3)扇形统计图中a 的值为，圆心角β的度数为 ；(4)若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 为AD 上一点，连接CF ，交AB 于点P ，连接AC,AF，若PE=BE．(1)求证：∠BAF=2∠BAC；(2)延长CD交AF延长线于点G，若AB=6，CD=42，求GF的长．24．已知抛物线L1:y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,−3，对称轴为直线x=1．(1)求此二次函数表达式和点A、点B的坐标；(2)点P为第四象限内抛物线L1上一动点，将抛物线L1平移得到抛物线L2，使得抛物线L2的顶点为点P，抛物线L2与y轴交于点E，过点P作y轴的垂线交y轴于点D．是否存在这样的点P，使得以点P、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，请你写出平移过程，并说明理由．25．（1）如图1，已知⊙O半径是4，A是⊙O上一动点，OP=9，则PA的最大值是．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC上一动点，连接DB，过点A作AF⊥BD于点F，连接CF，求CF的最小值．（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC=60米，∠ABC=90°，∠ACB=60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上区确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．。
陕西省师大附中高三数学第四次模拟考试试题 理(含解析)
数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1-，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B 为（ ）A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{1-，2，4}D ．{1-，2，3，4} 【答案】C【解析】因为集合A ＝{1，2，3}，所以∁U A ={-1,4}，所以(∁U A )∪B={1-，2，4}。
2．如果复数z ＝2－1＋i，则（ ）A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i 【答案】C【解析】z ＝2－1＋i ()()()21111i i i i --=---+--，所以z =z 的实部为-1，z 的虚部为－1，z 的共轭复数为-1＋i ，因此选C 。
3．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等( )A ．224515x y -= B ．22154x y -=C ．22154y x -= D ．225514x y -= 【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，所以c=1，又所以c a =所以a= 5所以22245b c a =-=，所以该双曲线的方程为225514x y -=。
4．已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ）A ．5B ．40C ．20D ．10【答案】D【解析】令x=1，得232n=，所以5n =，()52103551rrrr rCx C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由1034,2r r -==得，所以展开式中4x 的系数为2510C =。
5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为A ．7B ． 9C ． 10D ．15 【答案】A【解析】设n 抽到的号码为n a ，则()93013021n a n n =+-=-，由7503021960,n <-≤得：25.732.7n <<，所以n 的取值为26、27、28、29、30、31、32，共七个，因此做问卷C 的人数为7.6．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是【答案】A【解析】22cos =cos 21y x x =+，把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数cos 1y x =+的图像；然后向左平移1个单位长度，得到函数()cos 11y x =++；再向下平移 1个单位长度，得到函数()cos 1y x =+的图象，因此选A 。
2024届陕西省西安市中考四模数学试题含解析
2024届陕西省西安市中考四模数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，将△ABE 向右平移2cm 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是16cm ，那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．21cm2．下列计算正确的是( )A ．2223x x x +=B ．623x x x ÷=C ．235(2)2x x x =D ．222(3)6x x =3．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2+9=（x+3）2B ．a 2+2a+4=（a+2）2C ．a 3-4a 2=a 2（a-4）D ．1-4x 2=（1+4x ）（1-4x ）4．如图，已知AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°5．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）．为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为（ ）A ．800sinα米B ．800tanα米C ．800sin α米D ．800tan α米 6．如图，在下列条件中，不能判定直线a 与b 平行的是（ ）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°7．一、单选题如图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D8．已知一个正n边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（）A．5条B．6条C．8条D．9条9．4的平方根是( )A．2 B．2C．±2 D．±210．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．在Rt△ABC内有边长分别为2，x，3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x的值为_____．12．已知反比例函数21kyx+=的图像经过点(2,1)-，那么k的值是__．13．如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设DA=a，DC=b，那么向量DF用向量a、b表示为_____．14．如图，在△ABC中，BA＝BC＝4，∠A＝30°，D是AC上一动点，AC的长＝_____；BD+12DC的最小值是_____．15．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD 的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为__________步．17．已知36,则x2y+xy2的值为____.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，EB=6，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）20．（8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？21．（10分）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与费用y(元)之间的函数关系如图所示．有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元；分别求出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式；请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．22．（1018（2166÷31323．（12分）如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD 于点P．（1）把△ABC 绕点A 旋转到图1，BD ，CE 的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由； （2）若AB=3，AD=5，把△ABC 绕点A 旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD= ，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD 的最小值为 ，最大值为 ．24．（14分）春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在年春节共收到红包元，年春节共收到红包元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】试题分析：已知，△ABE 向右平移2cm 得到△DCF ，根据平移的性质得到EF=AD=2cm ，AE=DF ，又因△ABE 的周长为16cm ，所以AB+BC+AC=16cm ，则四边形ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm ．故答案选C ．考点：平移的性质.2、C【解题分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法、单项式乘单项式法则和积的乘方逐一判断即可．【题目详解】A 、2x 与2x 不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、66422x x x x -÷==，此选项错误；C 、235(2)2x x x =，此选项正确；D 、224(3)9x x =，此选项错误．故选：C ．【题目点拨】此题考查的是整式的运算，掌握同类项的定义、同底数幂的除法、单项式乘单项式法则和积的乘方是解决此题的关键．3、C【解题分析】试题分析：A 、B 无法进行因式分解；C 正确；D 、原式=（1+2x ）（1－2x ）故选C ，考点：因式分解【题目详解】请在此输入详解！4、C【解题分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD ＝70°，由平行线的性质可求解．【题目详解】∵AD ＝CD ，∠1＝40°，∴∠ACD ＝70°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠ACD ＝70°，故选：C ．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．5、D【解题分析】【分析】在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=AC AB，即可解决问题. 【题目详解】在Rt △ABC 中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=AC AB， ∴AB=800tan tan AC αα=， 故选D ．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 6、C【解题分析】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C．【题目点拨】本题考查平行线的判定，难度不大．7、D【解题分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．【题目详解】解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．【题目点拨】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．8、D【解题分析】多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n﹣3，即可求得对角线的条数．【题目详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴每个外角是60度，则多边形的边数为360°÷60°＝6，则该多边形有6个顶点，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3＝3条．∴这个多边形的对角线有12（6×3）＝9条，故选：D．【题目点拨】本题主要考查多边形内角和与外角和及多边形对角线，掌握求多边形边数的方法是解本题的关键．9、D【解题分析】先化简4，然后再根据平方根的定义求解即可．【题目详解】∵4=2，2的平方根是±2，∴4的平方根是±2．故选D．【题目点拨】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把4正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．10、C【解题分析】由一元二次方程有实数根可知△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【题目详解】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k+2=0有实数根，∴△=(−2)2−4(k+2)⩾0，解得：k⩽−1，在数轴上表示为：故选C.【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解题分析】解：如图．∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别2，3，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF．∵EF=x，MO=2，PN=3，∴OE=x﹣2，PF=x﹣3，∴（x﹣2）：3=2：（x﹣3），∴x=0（不符合题意，舍去），x=1．故答案为1．点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边是解题的关键．12、32 k=-【解题分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．【题目详解】∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝−32；故答案为k＝−32．【题目点拨】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答13、a+2b【解题分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．【题目详解】如图，连接BD，FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∴△DCE∽△FBE．又E是边BC的中点，∴11 DE ECEF EB==，∴EC=BE，即点E是DF的中点，∴四边形DBFC是平行四边形，∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，∴DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b．故答案是：a+2b．【题目点拨】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．14、（Ⅰ）AC＝3（Ⅱ）3，3【解题分析】（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论；（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，则BD＝CD，此时BD+12DC的值最小，解直角三角形即可得到结论．【题目详解】解：（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，∵BA＝BC＝4，∴AE＝CE，∵∠A＝30°，∴AE＝32AB＝3∴AC＝2AE＝3（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，则BD＝CD，此时BD+12DC的值最小，∵BF＝CF＝2，∴BD＝CD＝230COS＝433，∴BD+12DC的最小值＝23，故答案为：43，23．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．15、y＝x2+2x（答案不唯一）．【解题分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【题目详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．【题目点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．16、2000 3【解题分析】分析：由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论．详解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，解得：CK=20003．故答案为：20003．点睛：本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA．17、【解题分析】分析：因式分解，把已知整体代入求解.详解：x2y+xy2＝xy(x+y)==.点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16﹣【解题分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【题目详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+83或16﹣83．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB2=AD'，∴D'E=12AD2，AE6，∴BE26，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=2）2+（26）23②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=22=AD'，∴BF=12AB=2，AF=6，∴D'F=22﹣6，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（2）2+（22-6）2=16﹣83综上所述，BD′平方的长度为16+83或16﹣83．【题目点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．19、（1）证明见解析；（2）9﹣3π【解题分析】试题分析：(1)、连接OD，根据平行四边形的性质得出∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，结合OB=OD得出∠DOC=∠AOC，从而证明出△COD和△COA全等，从而的得出答案；(2)、首先根据题意得出△OBD为等边三角形，根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB，根据Rt△AOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积等于两个△AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.试题解析：（1）如图连接OD．∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠DOC=∠AOC，在△COD和△COA中，，∴△COD≌△COA，∴∠CDO=∠CAO=90°，∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切线．（2）∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠4=60°，∵∠4=∠F+∠1，∴∠1=∠2=30°，∵EC∥OB，∴∠E=180°﹣∠4=120°，∴∠3=180°﹣∠E﹣∠2=30°，∴EC=ED=BO=DB，∵EB=6，∴OB=OD═OA=3，在Rt△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=3，∠AOC=60°，∴AC=OA•tan60°=3，∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××3×3﹣=9﹣3π．20、（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.【解题分析】（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可. （2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.【题目详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：()2⨯-=，100001x12100解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）.答：捐款增长率为10%.（2）12100×（1+10%）=13310元.答：第四天该单位能收到13310元捐款.21、(1)①30；（2）y1＝0.1x＋30，y2＝0.2x；（3）当通话时间少于300分钟时，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间为300分钟时，选择通话方式①，②花费一样．【解题分析】试题分析：（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可．解：（1）①；30；（2）设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可：500k1+30=80，∴k1=0.1，500k2=100，∴k2=0.2故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；（3）当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；当x=300时，y=1．故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．22、【解题分析】分析：先化简各二次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得．详解：原式×（+3点睛：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键.23、（1）BD，CE的关系是相等；（2（3）1，1【解题分析】分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到PDAE=CDCE，进而得到；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到PB BEAB BD，进而得出，（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A 相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．详解：（1）BD，CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；故答案为相等．（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：∵∠EAC=90°，∴CE=2234AC AE+=，∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴PD CD AE CE=，∴PD=534 17；若点B在AE上，如图2所示：∵∠BAD=90°，∴Rt△ABD中，2234AD AB+=BE=AE﹣AB=2，∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，∴△BAD∽△BPE，∴PB BEAB BD=，即2334PB=，解得PB=634 34，∴PD=BD+PB=34+63434=203417，故答案为53417或203417；（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A 右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，P D=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，在Rt△ACE中，2253-，在Rt△DAE中，225552+=∵四边形ACPB是正方形，∴PC=AB=3，∴PE=3+4=1，在Rt△PDE中，2250491DE PE-=-=，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=1，即旋转过程中线段PD的最大值为1．故答案为1，1．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．24、小王在这两年春节收到的年平均增长率是【解题分析】增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2018年收到微信红包金额400（1+x）元，在2018年的基础上再增长x，就是2019年收到微信红包金额400（1+x）（1+x）元，由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．【题目详解】解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是.依题意得：解得（舍去）.答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．。
2024年陕西师范大学附属中学中考四模数学试题(解析版)
陕西师大附中2023-2024学年度初三年级第四次适应性训练数学试题一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.的倒数是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是一个数的倒数，根据两个数乘积为1，则这两个数互为倒数即可得到答案．【详解】解：的倒数是，故选：B ．2. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正方13-3-1313-13-3-形，故选：A ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．3. 如图，将含30°角的直角三角板ABC 放在平行线α和b 上，∠C ＝90°，∠A ＝30°，若∠1＝20°，则∠2的度数等于（ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°【答案】B【解析】【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等可得∠4，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论．【详解】解：∵∠A ＝30°，∠1＝20°，∴∠ 1= ∠ 3，∠4 = ∠3 + ∠A =20°+30°=50°，∵a ∥b ，∴∠2 =∠ 4=50° ．故选 B ．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质．能正确识图是解题关键．4. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（）21y x =+A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x 、y 轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：将直线的图象向上平移2个单位，得到，令，得，令，得，∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是，故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出平移后直线的解析式及与两坐标轴的交点．5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O ，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；先由菱形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案．熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵四边形是菱形，且，设，，∴，，34943221y x =+23y x =+0x =3y =0y =32x =-1393224⨯⨯=ABCD AC BD :2:3AB BD =cos BAC ∠34351322OB BD x ==AC BD ⊥OA =ABCD :2:3AB BD =2AB x =3BD x =1322OB BD x ==AC BD ⊥∴，∴，故选：C ．6. 如图，内接于，是的直径，过点C 作的切线交的延长线于点E ．若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接、，则，根据切线的性质可得，进而得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可求解．【详解】解：连接、，则，∵与相切于点C ，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B ．．【点睛】本题主要考查了切线的定义，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的切线经过半径外端且垂直于半径，圆的内接四边形对角互补，等腰三角形等边对等角．OA x ===cos OA BAC AB ∠==ABC O AD O O AD 40E ∠=︒ABC ∠110︒115︒120︒125︒OC DC OC OD =90OCE ∠=︒9050COE E ∠=︒-∠=︒65ADC OCD ∠=∠=︒OC DC OC OD =CE O CE OC ⊥90OCE ∠=︒40E ∠=︒90904050COE E ∠=︒-∠=︒-︒=︒()118050652ADC OCD ∠=∠=⨯︒-︒=︒180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒7. 抛物线与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），交y 轴于点C ，直线经过点C ，点B （3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：①抛物线对称轴是直线；②；③时，；④若，则．其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据题意易得点A 、B 关于对称轴对称，则有抛物线的对称轴为直线，把点A 代入抛物线解析式可判断②，然后由函数图形可判断③，进而把，点A （－1，0），点B （3，0）代入可求抛物线解析式，然后可得点C 的坐标，最后可判断④．【详解】解：由题意得：点A 、B 关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线，故①正确；把点A （－1，0）代入解析式得：，故②正确；由图象可知当时，，故③正确；由，点A （－1，0），点B （3，0）可设二次函数解析式为，∴，∴当x =0时，则，∴点，把点B 、C 的坐标代入一次函数解析式得：，2y ax bx c =++y kx m =+1x =0a b c -+=13x -<<20ax bx c ++>1a =-1k =-1x =1a =-1312x -+==0a b c -+=13x -<<20ax bx c ++>1a =-()()13y x x =-+-223y x x =-++3y =()0,3C 303k m m +=⎧⎨=⎩解得：，故④正确；综上所述：正确的个数有4个，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质及一次函数是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8. 比较大小：（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】【解析】【分析】先求出【详解】解：∵16＜20，∴．故答案为：＜．【点睛】本题考查实数大小比较，解题的关键是掌握比较有理数和根号形式无理数的大小的方法．9. 计算：______．【答案】【解析】【分析】本题考查单项式乘以单项式，直接利用相关法则计算即可．【详解】解：；故答案为：．10. 如图，分别以等边三角形的顶点A ，B ，C 为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若，则圆弧三角形的周长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，根据弧长公式计算出每段弧的长度，即可求出圆弧三的13k m =-⎧⎨=⎩<4=4=4<()2x x -⋅=22x -()222x x x -⋅=-22x -AB 5AB =5π角形的周长．理解题意求出一段弧的长度是解题的关键．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵半径都为的长，∴这三段弧的长度相等，∴每段弧的长度为：，∴圆弧三角形的周长为，故答案为：．11. 如图，点A 在双曲线y=上，点B 在双曲线y=（k≠0）上，AB ∥x 轴，过点A 作AD ⊥x 轴 于D ．连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC=2CD ，则k 的值为____．【答案】12【解析】【详解】解：设点A 的坐标为（a ，），则点B 的坐标为（，），∵AB ∥x 轴，AC=2CD ，∴∠BAC=∠ODC ，∵∠ACB=∠DCO ，∴△ACB ∽△DCO ，∴，∵OD=a ，则AB=2a ，∴点B 的横坐标是3a ，∴3a=，解得：k=12.故答案为12.ABC 60∠=∠=∠=︒A B C AB 60551803ππ⨯=5353ππ⨯=5π4xk x 4a ak 44a AB AC 2DA CD 1==ak 412. 如图，在正方形中，，延长至E ，使，连接平分交于F ，连接，则长为_______．【解析】【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是过点作于，作于点N ，首先证明为正方形，再设,则，然后证明，由相似三角形的性质求出a ，进而在中由勾股定理即可求出．【详解】如图，过点 作于，作于点N ．∵四边形为正方形，，，∴四边形为矩形，又∵平分，，∴四边形为正方形，，设,则，，，，的ABCD 3AB =BC 2CE =AE CF ，DCE ∠AE DF DF F FM CE ⊥M FN CD ⊥CMFN CM a =FM FN CN a ===EFM EAB ∽Rt DFN DF F FM CE ⊥M FN CD ⊥ABCD 3AB =，90,3B DCB BC AB CD ∴∠=∠=︒===,,18090FM CE FN CD DCE DCB ⊥⊥∠=︒-∠=︒ CMFN CF DCE ∠FM FN ∴=CMFN FM FN CM CN ∴===CM a =FM FN CN a ===2CE = 5,BE BC CE EM CE ∴=+==-2CM a =-90,B FM CE ∠=︒⊥，，，即，解得 ， ，，在中, ，由勾股定理得，三、解答题（共13小题，计84分．解答应写出过程）13.．【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值．代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算的法则计算即可求解．．14. 解关于x 的不等式组【答案】-2<x <-1【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解．FM AB ∴EFM EAB ∴∽FM MEAB BE ∴=235a a -=34a =FN CN ∴==3439344DN CD CN ∴=-=-=Rt DFN 9,4DN =34FN =DF ==tan 60︒1-tan 60︒1=+--1=-34423x x x x >-⎧⎪+⎨>+⎪⎩【详解】解：，解①得：x >-2，解②得：x <-1，∴-2<x <-1．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键．15. 先化简．再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．【详解】解： ；当时，原式．16. 如图，已知在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D ，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）34423x x x x >-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②221422211a a a a a a --⋅---+-13a =1a a -12-221422211a a a a a a --⋅---+-()()()22212211a a a a a a +--=⋅----2211a a a +=---1a a =-13a =13113=-12=-ABC 90ACB ∠=︒AB BCD △AB BC +【答案】见解析【解析】【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，∴的周长为，则点即为所求．17. 如图，在四边形中，，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据线段之间和差关系，角度之间和差关系证得，，利用即可证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【详解】证明：∵，，则，AC AB D CD D AC AB D CD CD AD =BCD △BC BD CD BC BD AD BC AB ++=++=+D ABCD BC CD =CE CF =BAF DAE ∠=∠B D ∠=∠AE AF =BE DF =BAE DAF ∠=∠AAS BC CD =CE CF =BC CE CD CF -=-∴，∵，则，∴，在和中，，∴，∴．18. 如图，正方形网格中，在平面直角坐标系中，的三个顶点为、、．（1）将向下平移5个单位长度得到，请画出；（2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）连接，，，求的面积．【答案】（1）图见解析（2）图见解析，点的坐标为 （3）2【解析】【分析】本题考查平移作图、旋转作图、利用网格求三角形面积：（1）将三个顶点分别下平移5个单位长度，得到对应点，顺次连接即可；（2）将和分别绕点逆时针旋转，得到对应点，顺次连接即可；（3）利用三角形面积公式求解．BE DF =BAF DAE ∠=∠BAF EAF DAE EAF ∠∠∠∠-=-BAE DAF ∠=∠ABE ADF △BAE DAF B D BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABE ADF ≌△△AE AF =ABC ()1,2A ()3,1B ()2,3C ABC 111A B C △111A B C △111A B C △1C 90︒221A B C △2A 12A A 12A B 22A B 122A A B 2A ()33-，ABC 1A 1B 1C 90︒【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求，点的坐标为；【小问3详解】解：如图，，即的面积为2．19. 不透明的袋子里装有2个标有数字的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的小球，这111A B C △221A B C △2A ()33-，12212222A AB S =⨯⨯= 122A A B 1-些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字的概率为．（1）袋子里标有数字2的小球有 个；（2）丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的横坐标、再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M 落在坐标轴上的概率．【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】本题考查已知概率求数量，列表或画树状图法求概率：（1）根据标有数字的小球的个数及概率求出总数，即可求解；（2）通过列表列出所有等可能的情况，从中找出满足条件的情况，再利用概率公式求解．【小问1详解】解：袋子里小球的总数为：（个），袋子里标有数字2的小球有：（个），故答案为：2；小问2详解】解：由题意列表如下： 丽丽静静02222由表可知，共有25种等可能的情况，其中，，，，在坐标轴上，共有9种情况，【1-259251-2255÷=5212--=1-1-1-()1，1--()1，1--()01-，()21-，()21-，1-()1，1--()1，1--()01-，()21-，()21-，()10-，()10-，()00，()20，()20，()12-，()12-，()02，()22，()22，()12-，()12-，()02，()22，()22，()10-，()00，()20，()01-，()02，因此出点M 落在坐标轴上的概率为．20. 某“综合与实践”小组开展测量某建筑物高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下．建筑物正前方有一根高度是17米的旗杆，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角为，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是9米，梯坎坡度．请根据以上测量结果，求建筑物的高度．【答案】建筑物的高度约为37.7米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，如图，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．根据题目的已知925AB AB ED 45︒DC BC 25i =:AB AB E EG AB ⊥G AB DC H AH DH ⊥EG DH =17ED GH ==45FAE ∠=︒AF EG ∥45FAE AEG ∠=∠=︒2BH x =CH =Rt BCH △BH CH DH Rt AEG △AG条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，，，∴，∵梯坎坡度∴∴设米，则米，在中，（米），∵米，∴，解得：，∴米，米，∵米，∴米，在中，米，∴（米），∴建筑物的高度约为37.7米．21. 某工厂生产一种正方形的合金薄板（其厚度忽略不计），每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据．E EGAB ⊥G AB DC H AH DH ⊥EG DH =17ED GH ==45FAE ∠=︒AF EG ∥45FAE AEG ∠=∠=︒BC 2i=BH CH =2BH x =CH =RtBCH △3BC x ===9BC =39x =3x =6BH =CH =20DC =(20EG DH CH DC ==+=+Rt AEG △(tan 4520AG EG =⋅︒=+2017637.7AB AG GH BH =+-=++-≈AB薄板的边长x （）2030出厂价y （元/张）4565（1）求每张游板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；（2）在营销过程中，已知出售一张边长为的薄板工厂可获得利润26元，求这张薄板的成本价．【答案】（1） （2）59元【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．（1）根据题意和表格中的数据，可以求出每张薄板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；（2）将代入（1）中的函数关系式，求出出厂价，然后用出厂价减利润，即可得到成本价．【小问1详解】解：每张游板的边长为，基础价为元，浮动价为元，则出厂价，由表格可得，，解得，即每张游板的出厂价y 与边长x 之间满足的函数关系式；【小问2详解】当时，，（元），答：这张薄板得成本价是59元．22. 某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．cm 40cm 25y x =+40x =x b kx y kx b =+20453065k b k b +=⎧⎨+=⎩25k b =⎧⎨=⎩25y x =+40x =240585y =⨯+=852659-=()5860A t ≤≤()5458B t ≤<()5054C t ≤<()50D t ≤根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中a 的值为 ，圆心角的度数为 ；（4）若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？【答案】（1）60 （2）图见解析（3）20， （4）306名【解析】【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，能看懂统计图是解题的关键．（1）根据D 组的人数和百分比即可求出样本容量；（2）根据C 组所占的百分比即可求出C 组的人数；（3）根据A 组的人数即可求出A 组所占的百分比，根据C 组所占的百分比即可求出对应的圆心角；（4）算出成绩少于54分的学生的比例，利用样本估计总体．【小问1详解】解：D 组的人数为6，占比，故本次抽样的样本容量为：，故答案为：60；【小问2详解】解：C 组的人数为：，补全后的条形统计图如下所示：β72︒10%610%60÷=6040%24⨯=【小问3详解】解：扇形统计图中a 的值为：，圆心角的度数为：，故答案为：20，；【小问4详解】解：（名）答：估计测试成绩少于54分的学生有306名．23. 如图，是的直径，弦于点E ，点F 为上一点，连接，交于点P ，连接，若．（1）求证：；（2）延长交延长线于点G ，若，，求的长．【答案】（1）见解析 （2）10【解析】【分析】（1）连接，易得，进而得到，垂径定理得到，圆周角定理，得到，，即可得出结论；126010020÷⨯=β20%36072⨯︒=︒72︒24661230660+⨯=AB O CD AB ⊥AD CF AB ,AC AF PE BE =2BAF BAC ∠=∠CD AF 6AB=CD =GF BC BC CP =BCD FCD ∠=∠ BCBD =BAC DCB ∠=∠FAB FCB ∠=∠（2）连接，等弧对等弦，得到，圆周角定理结合勾股定理求出的长，垂径定理，求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长，根据，求出的长，再用求出的长即可．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∴，∵为直径，，∴，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】连接，BF BF CD =AF CE AEC CEB ∽BE AE cos AE AFFAB AG AB∠==AG AG AF -FG BC ,CE BP PE BE ⊥=BC CP =12FCD DCB FCB ∠=∠=∠AB AB CD ⊥ BCBD =BAC DCB ∠=∠22FCB DCB BAC ∠=∠=∠FAB FCB ∠=∠2FAB BAC ∠=∠BF由（1）可知：，∴，∴，∵为直径，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，解得：或（不合题意，舍去）；∴，∴，∵，∴，∴，∴．BCBD DF ==»»CDBF =BF CD ==AB AB CD ⊥90AFB ACB ∠=∠=︒12CE CD ==90CEA CEB ∠=∠=︒2AF ==90CAB BCE ACE ∠=∠=︒-∠AEC CEB ∽AE CE CE BE=()26CE AE BE BE BE =⋅=-⋅2BE =4BE =2BE =4AE =cos AE AF FAB AG AB∠==426AG =12AG =10GF AG AF =-=【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧，弦，角之间的关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．24. 已知抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点，对称轴为直线．（1）求此二次函数表达式和点A 、点B 的坐标；（2）点P 为第四象限内抛物线上一动点，将抛物线平移得到抛物线，使得抛物线的顶点为点P ，抛物线与y 轴交于点E ，过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D ．是否存在这样的点P ，使得以点P 、D 、E 为顶点的三角形与相似，请你写出平移过程，并说明理由．【答案】（1），（2）存在，先向左平移个单位，再向上平移个单位【解析】【分析】（1）根据对称轴公式求出的值，将代入求出的值，进而求出抛物线的解析式，令，求出的坐标即可；（2）设，顶点式写出的解析式，进而求出点坐标，分，两种情况，进行求解即可．【小问1详解】∵抛物线的对称轴为直线，∴，把代入解析式，得：，∴抛物线的解析式为：，令，解得：，∴；【小问2详解】存在，设， ∵平移，抛物线的开口方向和大小不发生改变，∴，21:L y x bx c =++()0,3C -1x =1L 1L 2L 2L 2L AOC 2=23y x x --()()1,0,3,0A B -2349b ()0,3C-c 0y =,A B ()()2,2303P m m m m --<<2L ,D E PDE AOC △∽△EDP AOC ∽12b x =-=2b =-()0,3C -3c =-2=23y x x --2230y x x =--=123,1x x ==-()()1,0,3,0A B -()()2,2303P m m m m --<<()222:23L y x m m m =-+--∴当时，，∴，∵过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，∴，，∴，，∵，∴，当点P 、D 、E 为顶点的三角形与相似时，分两种情况，①当时，则：，即：，解得：（舍去）或（舍去）；②当时，则：，即：，解得：（舍去）或；∴，∵，∴顶点坐标为，∴平移方向为：先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移，综合性强，难度较大，掌握相关知识点，利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解是解题的关键．25. （1）如图1，已知半径是4，A 是上一动点，，则的最大值是 ．（2）如图2，在中，，，，点D 是边上一动点，连接DB ，过点A 作于点F ，连接，求最小值．（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要的0x =2223y m m =--()20,223E m m --()20,23D m m --90PDE AOC ∠=︒=∠22222323DE m m m m m =---++=PD m =()(),1,00,3A C -1,3OA OC ==AOC PDE AOC △∽△PD DE OA OC =213m m =0m =3m =EDP AOC ∽PD DE OC OA =231m m =0m =13m =132,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭()221:2314L y x x x =--=--()1,4-12133-=324499-=O O 9OP =PA ABC 90ABC ∠=︒6AB =8BC =AC AF BD ⊥CF CF ABC BC 60BC =90ABC ∠=︒60ACB ∠=︒求，在半圆上区确定一点E ，沿修建小路，并在中点F 处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用．【答案】（1）13；（2；（3）元【解析】【分析】（1）点A 位于直线与的左侧交点时，取最大值；（2）根据可得点F 在以为直径的半圆上，设的中点为E ，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值；（3）连接，，取中点为M ，中点为N ，连接，，，证明，推出点F 在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．【详解】解：（1）如图，当点A 位于直线与的左侧交点时，取最大值，最大值为：，故答案为：13；（2），，点F 在以为直径的半圆上，如图，设的中点为E ，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．AE AE CF CF 3-()16500-OP O PA AF BD ⊥AB AB CE F 'CF 'CF EC EB AC AB MN MF FN 90MFN CEB ︒∠=∠=MN CO F 'CF 'CF OP O PA 4913OA OP +=+= AF BD ⊥∴90AFB ∠=︒∴AB AB CE F 'CF 'CF，中点为E ，，又，，，，即．（3），，，，，．如图，连接，，取中点为M ，中点为N ，连接，，，点E 在以为直径的半圆上，，中点为M ，中点为F ，中点为N ，为的中位线，为的中位线，为的中位线，，，，，，， 6AB =∴132EB AB == 90ABC ∠=︒8BC =∴CE ===∴3CF CE EF ''=-=-CF 3- 60BC =90ABC ∠=︒60ACB ∠=︒∴30CAB ∠=︒∴2120AC BC ==∴AB ===EC EB AC AB MN MF FN BC ∴90CEB ∠=︒ AC AE AB ∴MF ACE △FN ABE MN ABC ∴MF EC ∥NF EB ∥MN BC ∥1302MN BC ==∴MFA CEA ∠=∠NFA BEA ∠=∠，，点F 在以为直径的左侧半圆上，取中点为O ，作于点K ，得矩形，连接，与点F 的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值．，中点O ，中点为N ，，，，，在中，，，又，，的最小值为．仿古长廊造价高达1100元/米，（元），建造仿古长廊的最低费用为元．【点睛】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线判断出点F 的运动轨迹是解题的关键．为∴MFA NFA CEA BEA ∠+∠=∠+∠∴90MFN CEB ︒∠=∠=∴MN MN OKBC ⊥ONBK CO F 'CF 'CF 1302MN BC ==MN AB =AB ∴1152ON MN ==12BN AB ==∴15KB ON ==OK BN==∴601545CK BC KB =-=-=Rt CKO222CK OK OC +=∴OC === 15OF ON '==∴15CF OC OF ''=-=∴CF 15 ()151********⨯=-∴()16500。
陕西师范大学附中中考四模--数学(解析版)
陕西师范大学附中中考数学四模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．54．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定7．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6m2 B．增加9m2C．减少9m2D．保持不变8．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．请给出一元二次方程x2﹣8x+ =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．12．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为米．13．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．三、解答题（共11小题，计78分）第17题图aAB15．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．16．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．17．如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）18．为了推动课堂教学改革，打造“贵生课堂”，我县某中学对该校八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的八年级部分学生共有名；请补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有540人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？19．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB=PC．20．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．21．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．22．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE 的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．24．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．25．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作▱PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．2016年陕西师范大学附中中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．【考点】实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，首先求出|﹣2|，20，2﹣1的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即可．【解答】解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5，∵，∴，∴在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是|﹣2|．故选：A．2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，故选：B．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．5【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D．4．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），因为正比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，2），所以2=﹣k，解得：k=﹣2，所以y=﹣2x，把这四个选项中的点的坐标分别代入y=﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y=﹣2x的图象上，所以这个图象必经过点（1，﹣2）．故选D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．6．在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答．【解答】解：y=x+1的图象过一、二、三象限；函数的中，k＞0时，过一、三象限．故有两个交点．故选：C．7．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6m2 B．增加9m2C．减少9m2D．保持不变【考点】平方差公式．【分析】根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论．【解答】解：设正方形草坪的原边长为a，则面积=a2；将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a﹣3，面积为a2﹣9．故减少9m2．故选C．8．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理，即可求得AD，BD的长，然后由勾股定理，可求得OD 的长，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，∵弦AB=2，∴AD=BD=AB=，AC=AB=，∴CD=AD﹣AC=，∵⊙O的半径为2，即OB=2，∴在Rt△OBD中，OD==1，在Rt△OCD中，OC==．故选D．9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC=a，则CN=2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x，由勾股定理得出x2+x2=（2a）2，求出x=a，得出CD=a，代入求出即可．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，设OC=a，则CN=2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，x=a，即CD=CM=a，∴==，故选C．10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可．③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可．④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∵b2﹣4ac=8a，∴4a2﹣4ac=8a，∴a=c+2，∵c＞0，∴a＞2，∴结论③正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c+2＞2，∴4a﹣2b+c＞0．∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是2个：③④．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．请给出一元二次方程x2﹣8x+ 12（答案不唯一）=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于c的不等式，求出c的取值范围．【解答】解：由题意知，△=64﹣4c＞0，∴c＜16，即当c取小于16时就能满足题意．比如c=12满足方程有两个不相等的实数根．12．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为0.5米．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OD即可．【解答】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD==2（米），∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；故答案为0.5．13．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．【解答】解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=，故答案为：．三、解答题（共11小题，计78分）第17题图aAB15．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣1+2﹣+4×=5+．16．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．【解答】解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．17．如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】作图—复杂作图．【分析】先画线段AB=a，再作AB的垂直平分线得到其中点D，接着过B点作l⊥AB，然后再l上截取BC=BD，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．18．为了推动课堂教学改革，打造“贵生课堂”，我县某中学对该校八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的八年级部分学生共有54名；请补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有540人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据喜欢的人数是18人，根据对应的圆心角即可求得所占的比例，利用18除以所占的比例即可求得总人数，进而求得非常喜欢的人数，从而补全条形统计图；（2）利用总人数540乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）本次调查的八年级部分学生共有18÷=54（人），“非常喜欢”的人数为：54﹣18﹣6=30（人），补全条形统计图如图：（2）×540=480（人），答：估计该校八年级有480名学生支持“分组合作学习”方式．故答案为：（1）54．19．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB=PC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据AE=AF，AB=AC，∠A=∠A即可证明三角形全等；（2）根据（1）结论可证∠ABF=∠ACE，即可证明∠PBF=∠PCE，即可解题．【解答】证明：（1）在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS）；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF=∠ACE，∴∠PBF=∠PCE，∴BP=CP．20．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE﹣AE求出AC的长度即可．【解答】解：在Rt△BAE中，∵BE=162米，∠BAE=68°，∴AE===64.8（米），在Rt△DCE中，∵DE=176.6米，∠DCE=60°，∴CE===≈102.1（米），则AC=CE﹣AE=102.1﹣64.8=37.3（米）．答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．21．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）利用列表法展示所有有12种等可能的选派方案；（2）找出恰有一男一女参赛的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）列表如下：甲乙丙丁甲乙甲丙甲丁甲乙乙甲乙丙乙丁丙丙甲丙乙丙丁丁丁甲丁乙丁丙共有12种等可能的选派方案；（2）恰有一男一女参赛共有8种可能，所以P（一男一女）==．22．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B（15，300），当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），当y=10x+150=600，解得：x=45，则y=600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更划算．23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE 的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OC，只要证明OC∥BD即可．（2）在Rt△ABF中，根据BH=计算即可．【解答】证明（1）连接OC．∵C是中点，AB是○O的直径∴OC⊥AB，∵BD是○O切线，∴BD⊥AB．∴OC∥BD．∵AO=BO，∴AC=CD（2）∵E是OB中点，∴OE=BE在△COE与△FBE中，∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE△COE≌△FBE（ASA）∴BF=CO∵OB=2，∴BF=2∴AF===2，∵AB是直径∴BH⊥AF∴AB•BF=AF•BH∴BH===．24．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）求出A、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先证明△FHG是等腰直角三角形，构建二次函数利用函数性质解决问题即可．（3）分两种情形①如图2中，若AP为对角线，利用相似三角形性质求出点T坐标．②如图3中，若AQ为对角线，利用相似三角形性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），点C坐标（0，3），∵抛物线对称轴x=1，D、C关于对称轴对称，∴点D坐标（2，3），设直线AD为y=kx+b．则解得；∴直线AD解析式为：y=x+1．（2）如图1中，∵OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为．（3）①如图2中，若AP为对角线作PS⊥对称轴于于S，对称轴与x轴的交点为R，∵∠PMS+∠MPS=90°，∠PMS+∠AMR=90°，∴∠MPS=∠AMR，∵∠PSM=∠MRA，∴△PMS∽△MAR可得=，∴=，∴SM=，∴点P坐标（0，）由点的平移可知Q（﹣2，）故Q点关于直线AM的对称点T为（0，﹣）．②如图3中，若AQ为对角线，作AR∥y轴，MR∥x轴，AS∥y轴，PS∥AB，同理可证△ARM∽△PSA，∴=，∴AS=∴点P坐标（0，﹣），由点的平移可知Q（2，），故Q点关于直线AM的对称点T为（0，）．25．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作▱PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，得出∠DPC=90°，由勾股定理得出DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，由勾股定理得出方程，方程无解，得出对角线PQ与DC不可能相等．（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，由AAS证明△ADP≌△HCQ，得出AD=HC求出BH=4，当PQ ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（3）设PQ与DC相交于点G，由平行线得出=，得出G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，证明Rt△ADP∽Rt△HCQ，得出=，求出CH=2得出BH=BG+CH=5，当PQ⊥AB时，PQ 的长最小，即为5．（4）设PQ与AB相交于点G，由平行线得出=，作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK ⊥CD，交QH的延长线于K，证明△ADP∽△BHQ，得出=，求出BH=n+1，得出CH=BH+BC=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，得出BM=AD=1，DM=AB=2，证出∠KCH=45°，由三角函数得出CK=CH•cos45°=（n+4），即可得出结果．【解答】解：（1）对角线PQ与DC不可能相等，理由如下：∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，∴∠DPC=90°，∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2﹣x）2+12=（2）2，整理得：x2﹣2x+3=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．（2）存在，理由如下：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AD⊥AB，∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS），∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（3）存在，理由如下：如图3，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴=，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同（2）得：∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，∴=，∴CH=2，∴BH=BG+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．（4）存在，理由如下：如图4，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴=，作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ADP=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∴=，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．。
陕西师大附中数学四模试题
陕西师大附中九年级第四次模拟考试数学试题（满分120分，时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.的相反数的倒数为（）A.B.C.D.2. 有一实物如图,那么它的主视图（）3．下列计算正确的是（）A．B．C．D．4.若正比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值可以是（）A.-2B.-1 C.0 D.15．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是（）A.k>B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠16.如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC=50°，则∠D的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．607.如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C 作CF⊥AD于F,连接EF，则线段EF的长为（）B．1 C．D．78.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点处，已知OA=，AB=1，则点的坐标是（）A．（，） B．（，3） C．（，） D．（，）第6题图9.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图像上，第二象限的点B 在反比例函数的图像上，且OA⊥OB，，则k的值为（）A. －3 B．－6 C．－4 D．10.如图所示，二次函数的图象经过点（-1,2），且与轴交点的横坐标分别为其中下列结论：其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11.分解因式：3y2—27=__________．12.如图，在平行四边形中,在上,若，则= .13.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分.A.如图,在平行四边形中，垂足为,且若则的长为________________.B.在一次数学课外实践活动中，小明想测树的高.若小明在C点测得树的顶端的仰角为24°，则树高约为_________m（用科学计算器计算，使其结果精确到0.1m）.第12题图14．如图所示，MN是⊙O中一条固定的弦，劣弧MN所对圆心角的度数为1200，点C是⊙O上一个动点（不与M、N重合）.连接MC、NC，D、E分别是NC和MC的中点，直线DE交⊙O于点A、B.已知⊙O的半径为，那么在点C的运动过程中AE+BD的最小值为 .三、解答题（共11小题，计78分）15. （本题满分5分）计算：16. （本题满分5分）解不等式组：，并把不等式组解集在数轴上表示出来.17.（本题满分5分）如图，已知，用尺规作出,使≌.(保留作图痕迹，不写作法）.18.（本题满分5分）东营市“创建文明城市”活动如火如荼的展开.某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本校学生对东营“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60—69分；C：70—79分；D：80—89分；E：90—100分）.请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该校共有_____________名学生；将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，计算出“60—69分”部分所对应的圆心角的度数；（3)请写出该校所抽取的样本中，成绩的中位数在哪个分数段，成绩的众数在哪个分数段？19.（本题满分7分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点分别在边上，且,连接.求证：.20.（本题满分7分）如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正东方向，（单位：千米）．有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西60°的方向，从测得小船在北偏东45°的方向．（1）求、两观测站之间的距离；（2）小船从点处沿射线的方向以千米/时的速度进行沿途考查，航行一段时间后到达点处．此时，从测得小船在北偏西15°的方向．求小船沿途考察的时间．（结果有根号的保留根号）21. （本题满分7分）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量（单位：千克）与上市时间（单位：天，为整数）的函数关系如图1所示，樱桃价格（单位：元/千克）与上市时间（单位：天，为整数）的函数关系如图2所示．（1）求小明家樱桃的日销售量与上市时间的函数解析式；（2）上市后的前15天中，销售金额最多的是哪一天？为什么？22. （本题满分7分）把四张正面分别标有数字2,1,-3,-4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从四张中随机摸一张不放回，将该卡片上的数字记为，再随机摸一张，记为.(1)请画树状图或列表格法表示所有可能的结果；（2）求出所选的能使一次函数的图像经过二、三、四象限的概率.23. （本题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且（1）求证：CD是⊙O的切线；（ 2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．24. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．（3）如图，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．25. （本题满分12分）在矩形中，P为AB边上一点，且在边上有两点、.(1)如图（1),求证：的面积与的面积相等；(2)如图（2），延长AB到点S，使得BS=，以BS为边在直线AB上方作正方形BSRQ,连接AR、AQ、AC、CR,若的面积等于矩形面积的，试确定、的关系；(3)如图（3），有一片矩形绿地，已知现要修建一条高速公路，该公路要占用绿地按照施工要求，高速公路的边缘AE不能超过BC的中点，为补偿占用的绿地，试在AE的延长线上找出一点F,使四边形的面积与原矩形的面积相等.设BE=，试利用图（3）画出图形并说明理由.图（1）图（3）图（2）。
2023年陕西师大附中中考数学第四次适应性试卷及答案解析
2023年陕西师大附中中考数学第四次适应性试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，每题3分，共8题）1．（3分）2023的倒数是（）A．2023B．﹣2023C．D．2．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则a的值为（）A．﹣2B．5C．1D．﹣13．（3分）下列计算正确的是（）A．b5•b5＝2b5B．（a x﹣1）3＝a3x﹣3C．a+2a2＝3a3D．（a﹣b）5•（b﹣a）4＝（a﹣b）3 4．（3分）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常通行，电力部门在公路的另一边直立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．测得∠BCD＝60°，∠CDE＝155°，则∠AED的大小为（）A．65°B．55°C．45°D．30°5．（3分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），直线y＝kx﹣3交x 轴于点B，交y轴于点C，若△ABC的面积6，则k＝（）A．±1B．±C．1或﹣D．﹣1或6．（3分）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（）A．7B．C．12D．147．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D是上一点，连接OA，AD，BD，若∠OAC＝40°，则∠D的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°8．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（）A．±B．﹣或C．﹣或D．或2二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）比较大小：4（填“＞”、“＜”或“＝”号）．10．（3分）如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED 交于点F，则∠AFD＝．11．（3分）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB 的长为18米，主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．12．（3分）如图，等腰Rt△ABC的直角顶点B在y轴上，边AB交x轴于点D（，0），点C的坐标为（﹣4，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A，则k＝．13．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是．三、解答题（共13小题，共81分）14．（5分）计算：．15．（5分）先化简，再求值：，其中a＝1．16．（5分）解不等式组：17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB都相切．（不写作法，保留作图痕迹）18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD，连接AC，点M为线段AC上一点，连接BM，若AC＝BC，AB＝BM．求证：△ADC≌△CMB．19．（5分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．20．（5分）春节期间，小颖同学计划跟随父母来西安旅游，决定采用抽签的方式从“1﹣大唐不夜城现代唐人街”，“2﹣大唐芙蓉园”，“3﹣大明宫”，“4﹣西安明城墙景区”，“5﹣大唐西市”中选择两个地方去游览，抽签规则如下：把五个地点分别写在五张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．（1）小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率．21．（6分）如图，小丽家门前有一条河，小丽想用所学的数学知识测量自己家门前小河的宽AB．他站在自家的阳台上（图中的点E），面朝垂直于河岸的方向站立，并确定了两岸的两个可观测点A、B，测得点A的俯角α＝30°，点B的俯角β＝45°，小丽家在三楼，阳台与观测点A、B所在的地平面的距离CE为6米，小明眼睛到阳台地面的距离DE约为1.6米，请根据相关测量信息，求河宽AB（≈1.7，结果保留1位小数）．22．（7分）西安是一个历史悠久风景美丽的城市．已经结束的2022年西安国际马拉松比赛，从赛道两旁的美景到热情的古城人民都给大家留下了美好的回忆．为了积极准备2023年西安国际马拉松比赛，小明和小亮相约周末去曲江池锻炼．他们计划沿着曲江池跑两圈，已知曲江池一圈路程为4.2km，他们从同一地点出发，小亮先跑，他们的锻炼过程如图所示，横轴表示跑步时间，纵轴表示路程，请根据图中信息回答下列问题．（1）小亮的速度为米/分钟，小明跑第一圈的速度为米/分钟．（2）小明出发几分钟时第一次追上小亮？（3）在跑第二圈时小明将速度调整为180米/分，请通过计算判断小明和小亮谁先跑完两圈到达终点？23．（7分）为了解落实《陕西省大中小学劳动教育实践基地建设指导意见》的实施情况，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为五组：A组“t＜3”，B组“3≤t＜5”，C组“5≤t＜7”，D组“7≤t＜9”，E 组“t≥9”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是，B组所在扇形的圆心角的大小是，将条形统计图补充完整；（2）这次抽样调查中平均每周劳动时间的中位数落在组；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校学生平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．24．（8分）如图，四边形ABCD为菱形，⊙O经过A、C两点，且与AD相切于点A，BC 与⊙O相交于点E．（1）证明：CD与⊙O相切；（2）若菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，求CE的长．25．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在B点的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）点P为抛物线L的对称轴l上一点，抛物线L关于x轴对称的抛物线为L1，在抛物线L1上是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）问题情境如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，∠BDC＝45°，AB＝2，点E为AD的中点，连接CE．以点D为中心，顺时针旋转△DEC，得到△DGF，点E，C的对应点分别为点G，F．问题探究（1）如图①，则CE的长为；（2）如图②，在△DFG旋转过程中，当B，F，G三点共线时，求△ABF的面积；（3）如图③，在△DFG旋转过程中，连接AF，AG，直接写出△AFG面积的最大值．2023年陕西师大附中中考数学第四次适应性试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确答案，每题3分，共8题）1．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒数是．故选：D．【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．2．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．【解答】解：由题意得：a与﹣1是相对面，∴a的值为1，故选：C．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．3．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、b5•b5＝b10，故A不符合题意；B、（a x﹣1）3＝a3x﹣3，故B符合题意；C、a与2a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；D、（a﹣b）5•（b﹣a）4＝（a﹣b）5•（a﹣b）4＝（a﹣b）9，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．【分析】根据直角三角形的两锐角互余及平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠BCD+∠BDC＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠BDC＝30°，∵∠CDE＝155°，∴∠EDB＝∠EDC﹣∠BDC＝125°，∵AE⊥AC，BD⊥AC，∴AE∥BD，∴∠AED+∠EDB＝180°，∴∠AED＝55°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．5．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，C的坐标，进而可得出OC，AB 的长，利用三角形的面积公式结合△ABC的面积为6，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．【解答】解：当x＝0时，y＝k×0﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3；当y＝0时，kx﹣3＝0，解得：x＝，∴点B的坐标为（，0），AB＝|﹣1|．＝AB•OC＝6，即×3|﹣1|＝6，∵S△ABC解得：k＝﹣1或k＝．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征结合△ABC的面积为6，找出关于k的方程是解题的关键．6．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据正切函数的定义和勾股定理求出AD＝4，CD＝2，根据正切函数值求出BD＝3，得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△ACD中，∵，∴，∴设CD＝x，则AD＝2x，∵AD2+CD2＝AC2，∴，解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AD＝4，CD＝2，在Rt△BCD中，∵，∴BD＝3，∴AB＝AD+BD＝7，∴，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的应用，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求出AB＝7．7．【分析】延长AO交BC于E，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：延长AO交BC于E，∵AB＝AC，∴＝，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠OAC＝40°，∴∠C＝50°，∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．8．【分析】由二次函数y＝mx2﹣4mx可得对称轴为x＝2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝，当m＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x ≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得m＝﹣，即可求解．【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，∴对称轴为x＝＝＝2，①当m＞0时，∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝，②当m＜0时，∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，解得：m＝﹣，综上，m的值为或﹣，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是分情况讨论，掌握二次函数对称轴的求法．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．【分析】先把4变形为，再与进行比较，即可得出答案．【解答】解：∵4＝，，∴＜4．故答案为：＜．【点评】此题考查了实数的大小比较，要掌握实数大小比较的方法，关键是把有理数变形为带根号的数．10．【分析】延长AB交DF于H，根据正多边形的外角为，结合三角形的外角性质可求得∠AHF＝72°，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可．【解答】解：如图，延长AB交DF于H，则∠HBD＝∠HDB＝＝36°，∴∠AHF＝∠HBD+∠HDB＝72°，∵∠BAC＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠AHF＝18°，故答案为：18°．【点评】本题考查正多边形的外角、三角形的外角性质、直角三角形两锐角互余，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．11．【分析】由黄金分割点的定义得AC＝AB，再代入AB的长计算即可．【解答】解：由题意可知，点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝18米，AC ＞BC，∴AC＝AB＝×18＝（9﹣9）（米），即此时主持人与点A的距离为（9﹣9）米，故答案为：（9﹣9）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．12．【分析】过点A作AE⊥y轴于E，根据ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∴∠OCB ＝∠ABO，然后通过证得△BOD∽△COB，求得OB＝3，利用“角角边”证明△ABE≌△CBO，根据全等三角形对应边相等可得BE＝OC＝4，AE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，∵点C的坐标为（﹣4，0），点D（，0），∴OC＝4，OD＝，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝90°，∵∠OCB+∠CBO＝90°，∴∠OCB＝∠ABO，∵∠COB＝∠BOD＝90°，∴△BOD∽△COB，∴＝，∴OB2＝OC•OD＝4×＝9，∴OB＝3，在△ABE和△CBO中，，∴△ABE≌△CBO（AAS），∴BE＝OC＝4，AE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点A的坐标为（3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A，∴k＝xy＝3×1＝3．故答案为3．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点A的坐标是解题的关键．13．【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM，MT．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA+QM＝QM+QT≥MT，可得结论．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM，MT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝2，∴RT＝＝＝，∵A，A′关于DP对称，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵MT≥RT﹣RM，∴MT≥2，∴MT的最小值为2，∵QA+QM＝QT+QM≥MT，∴QA+QM≥2，∴QA+QM的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．三、解答题（共13小题，共81分）14．【分析】利用二次根式的性质，有理数的乘方法则，零指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．【解答】解：原式＝3﹣﹣1+2﹣＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，有理数的乘方法则，零指数幂的意义和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．15．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝•＝，当a＝1时，原式＝＝﹣2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．16．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式+1＜2（x﹣1），得：x＞2，解不等式﹣＞1，得：x＞6，则不等式组的解集为x＞6．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．【分析】作∠BAC的角平分线AP交BC于点P，以P为圆心，BP为半径作⊙P即可．【解答】解：如图，⊙P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．【分析】先根据平行线的性质得到∠DAC＝∠MCB，∠D+∠BCD＝180°，再利用等腰三角形的性质和等量代换得到∠BMA＝∠BCD，则根据等角的补角相等得到∠D＝∠BMC，然后利用“AAS”可证明△ADC≌△CMB．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∠D+∠BCD＝180°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠BMA＝∠BCD，∵∠BMA+∠BMC＝180°，∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝∠BMC，在△ADC和△CMB中，，∴△ADC≌△CMB（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．19．【分析】（1）根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可．（2）根据正方形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，无理数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，小颖随机抽取一张卡片，抽取到的地点是“大唐不夜城现代唐人街”的概率为．故答案为：．（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中小颖选择去“1﹣大唐不夜城现代唐人街”和“2﹣大唐芙蓉园”这两个地方的结果有2种，∴小颖选择去大唐不夜城现代唐人街和大唐芙蓉园这两个地方的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】由题意得：∠C＝90°，CD＝DE+CE＝1.6+6＝7.6（米），∠A＝α＝30°，∠BDC＝45°，得出AC＝CD＝7.6，△BCD是等腰直角三角形，得出BC＝CD＝7.6，求出AB＝AC﹣BC，即可得出结果．【解答】解：∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，由题意得：CD＝DE+CE＝1.6+6＝7.6（米），∠A＝α＝30°，∠BDC＝β＝45°，∴AC＝CD＝7.6，△BCD是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝7.6，∴AB＝AC﹣BC＝7.6﹣7.6≈5.3（米）；答：河宽AB约为5.3米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，理解题意，求出AC、BC 是解题的关键．22．【分析】（1）根据图形用路程÷时间＝速度，求出小明和小亮的速度即可；（2）根据路程相等列出方程，解方程即可；（3）求出小明和小亮跑完第二圈所用时间，在求出跑完全程所用时间，进行比较即可．【解答】解：（1）小亮的速度为（4200﹣600）÷22.5＝160（m/min），小明跑第一圈的速度为4200÷21＝200（m/min），故答案为：160，200；（2）设经过t分钟小明第一次追上小亮，根据题意得：200t＝600+160t，解得t＝15，答：小明出发15分钟时第一次追上小亮；（3）小亮第二圈用时4200÷160＝（min），小明第二圈用时4200÷180＝（min），∴小亮跑完全程用时+22.5+＝52.5（min），小明跑完全程用时26+＝（min），∵52.5＞，∴小明先跑完两圈到达终点．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息，正确求出小明、小亮的速度．23．【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，用D组的人数除以其所占的百分比可得这次抽样调查的样本容量；用360°乘以B组所占的百分比，即可求出B组所在扇形的圆心角的大小；用本次抽样调查的样本容量分别减去A，B，D，E组的人数，可求出C组的人数，补全条形统计图即可．（2）根据中位数的定义可得答案．（3）根据用样本估计总体，用2000乘以本次抽样调查中平均每周劳动时间不少于7h的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100．B组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝108°．故答案为：100；108°．C组的人数为100﹣25﹣30﹣10﹣5＝30（人），补全条形统计图如图．（2）将这次抽样调查中平均每周劳动时间按照从小到大排列，排在第50和51个的位于B组，∴这次抽样调查中平均每周劳动时间的中位数落在B组．故答案为：B．（3）2000×＝300（人）．∴该校学生平均每周劳动时间不少于7h的学生人数约为300人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握用样本估计总体以及中位数的定义是解答本题的关键．24．【分析】（1）连接OC，OD，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠OAD＝∠OCD，利用切线的性质定理得到∠OAD＝90°，则OC⊥CD，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；（2）连接OC，OE，连接DO并延长，利用菱形的性质得到B，O，D在一条直线上，利用切线的性质定理和菱形的性质得到AF⊥BC，利用垂径定理得到EF＝FC＝EC；利用相似三角形的判定与性质得到＝2，设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OC，OD，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD．在△AOD和△COD中，，∴△AOD≌△COD（SSS），∴∠OAD＝∠OCD．∵⊙O与AD相切于点A，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切；（2）解：连接OC，OE，连接DO并延长，如图，由（1）知：△AOD≌△COD，∴∠ADO＝∠CDO，∵四边形ABCD为菱形，∴BA＝BC，BD平分∠ADC，∴DO的延长线经过点B，即B，O，D在一条直线上，在△AOB和△COB中，，∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠BAO＝∠BCO．设AO的延长线交BC于点F，∵OA⊥AD，BC∥AD，∴AF⊥BC，∴EF＝FC＝EC．∵∠AFB＝∠OFC＝90°，∴△ABF∽△COF，∴，∵菱形ABCD的边长为4，⊙O的半径为2，∴＝2．∴AF＝2CF．设CF＝x，则AF＝2x，BF＝BC﹣CF＝4﹣x．∵AF2+BF2＝AB2，∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝，∴CF＝．∴EC＝2CF＝．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，垂径定理，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．25．【分析】（1）令＝0，即可求解；（2）分AB、AP、AQ是菱形的对角线三种情况，由中点坐标公式，列出等式即可求解．【解答】解：（1）令＝0，解得：x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，理由：抛物线L关于x轴对称的抛物线为L1，则L1的表达式为：y＝﹣x2+x+，由抛物线L的表达式知，其对称轴为x＝1，故设点P（1，t），点Q（m，n），n＝﹣m2+m+，当AB是菱形的对角线时，由中点坐标公式得：﹣1+3＝m+1，解得：m＝1，即点Q（1，），此时，AQ＝BQ＝，符合题设条件；当AP是菱形的对角线时，由中点坐标公式得：﹣1+1＝m+3，解得：m＝﹣3，则点Q（﹣3，﹣2），此时，AB≠AQ，不符合题设条件，舍去；当AQ是菱形的对角线时，由中点坐标公式得：3+1＝m﹣1，解得：m＝5，则点Q（5，﹣2），此时，AB＝BQ＝4，符合题设条件；综上，点Q的坐标为：（1，）或（5，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数及其图象性质，菱形的性质，图象的对称等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算．26．【分析】（1）如图①中，连接BE，设EC交BD于点T．分别求出CT．ET，可得结论；（2）分两种情形：如图2﹣1中，当B，F，G三点共线时，过点D作DR⊥BG于点R．求出BF，AH，可得结论．如图2﹣2中，当B，F，G三点共线时，同法可得；（3）如图③中，过点D作DR⊥FG于点R，过点A作AW⊥FG于点W．由AD＝4，DR＝，推出AW≤AD+DR，推出当A，D，R共线时，AW的值最大，最大值＝4+，【解答】解：（1）如图①中，连接BE，设EC交BD于点T．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝2，∴AD＝2AB＝4，BD＝2，∵AE＝ED，∴BE＝AE＝DE＝2，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，∴CB＝CD，∴EC垂直平分线段DB，∴BT＝DT＝，∴CT＝BT＝DT＝，∴CD＝CT＝，∵AE＝ED，BT＝DT，∴ET＝AB＝1，∴EC＝ET+CT＝1+．故答案为：1+；（2）如图②﹣1中，当B，F，G三点共线时，过点D作DR⊥BG于点R．在Rt△DGR中，∠DRG＝90°，∠DGR＝60°，DG＝DE＝2，∴DR＝DG•sin60°，∵BD＝2，∴BD＝2DR，∴∠DBG＝30°，∴∠BDG＝90°，∴∠ABD+∠BDG＝180°，∴AB∥DG，∵AB＝DG，∴四边形ABDG是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴四边形ABDC是矩形，∴BG与AD交于点E．过点A作AH⊥BG于点H，则AH＝AB•sin60°＝，∴△ABF的面积＝•BF•AH＝×（4﹣1﹣）×＝﹣；如图②﹣2中，当B，F，G三点共线时，同法可得△ABF的面积＝×（3+）×＝+．综上所述，△ABF的面积为﹣或+3；（3）如图③中，过点D作DR⊥FG于点R，过点A作AW⊥FG于点W．∵AD＝4，DR＝，∴AW≤AD+DR，∴当A，D，R共线时，AW的值最大，最大值＝4+，∴△AFG的面积的最大值＝×（1+）×（4+）＝．【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题。
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陕西师范大学附中中考数学四模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．54．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定7．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6m2 B．增加9m2C．减少9m2D．保持不变8．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．请给出一元二次方程x2﹣8x+ =0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．12．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为米．13．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．三、解答题（共11小题，计78分）第17题图aAB15．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．16．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．17．如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）18．为了推动课堂教学改革，打造“贵生课堂”，我县某中学对该校八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的八年级部分学生共有名；请补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有540人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？19．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB=PC．20．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．21．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．22．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE 的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．24．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．25．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作▱PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．2016年陕西师范大学附中中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．【考点】实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，首先求出|﹣2|，20，2﹣1的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即可．【解答】解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5，∵，∴，∴在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是|﹣2|．故选：A．2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看外面是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，故选：B．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．5【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D．4．若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），因为正比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，2），所以2=﹣k，解得：k=﹣2，所以y=﹣2x，把这四个选项中的点的坐标分别代入y=﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y=﹣2x的图象上，所以这个图象必经过点（1，﹣2）．故选D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．6．在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答．【解答】解：y=x+1的图象过一、二、三象限；函数的中，k＞0时，过一、三象限．故有两个交点．故选：C．7．为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6m2 B．增加9m2C．减少9m2D．保持不变【考点】平方差公式．【分析】根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，比较即得结论．【解答】解：设正方形草坪的原边长为a，则面积=a2；将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a﹣3，面积为a2﹣9．故减少9m2．故选C．8．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理，即可求得AD，BD的长，然后由勾股定理，可求得OD 的长，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，∵弦AB=2，∴AD=BD=AB=，AC=AB=，∴CD=AD﹣AC=，∵⊙O的半径为2，即OB=2，∴在Rt△OBD中，OD==1，在Rt△OCD中，OC==．故选D．9．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC=a，则CN=2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x，由勾股定理得出x2+x2=（2a）2，求出x=a，得出CD=a，代入求出即可．【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°﹣75°﹣45°=60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，设OC=a，则CN=2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM=MN=x，则由勾股定理得：x2+x2=（2a）2，x=a，即CD=CM=a，∴==，故选C．10．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a ＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可．③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可．④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴左边，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，∴△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∵b2﹣4ac=8a，∴4a2﹣4ac=8a，∴a=c+2，∵c＞0，∴a＞2，∴结论③正确；∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c+2＞2，∴4a﹣2b+c＞0．∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是2个：③④．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．请给出一元二次方程x2﹣8x+ 12（答案不唯一）=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于c的不等式，求出c的取值范围．【解答】解：由题意知，△=64﹣4c＞0，∴c＜16，即当c取小于16时就能满足题意．比如c=12满足方程有两个不相等的实数根．12．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为0.5米．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OD即可．【解答】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD==2（米），∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；故答案为0.5．13．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．【解答】解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=，故答案为：．三、解答题（共11小题，计78分）第17题图aAB15．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣1+2﹣+4×=5+．16．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．【解答】解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．17．如图，已知线段a．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC=a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】作图—复杂作图．【分析】先画线段AB=a，再作AB的垂直平分线得到其中点D，接着过B点作l⊥AB，然后再l上截取BC=BD，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．18．为了推动课堂教学改革，打造“贵生课堂”，我县某中学对该校八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的八年级部分学生共有54名；请补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有540人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据喜欢的人数是18人，根据对应的圆心角即可求得所占的比例，利用18除以所占的比例即可求得总人数，进而求得非常喜欢的人数，从而补全条形统计图；（2）利用总人数540乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）本次调查的八年级部分学生共有18÷=54（人），“非常喜欢”的人数为：54﹣18﹣6=30（人），补全条形统计图如图：（2）×540=480（人），答：估计该校八年级有480名学生支持“分组合作学习”方式．故答案为：（1）54．19．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，（1）求证：△ABF≌△ACE；（2）求证：PB=PC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据AE=AF，AB=AC，∠A=∠A即可证明三角形全等；（2）根据（1）结论可证∠ABF=∠ACE，即可证明∠PBF=∠PCE，即可解题．【解答】证明：（1）在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS）；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF=∠ACE，∴∠PBF=∠PCE，∴BP=CP．20．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE﹣AE求出AC的长度即可．【解答】解：在Rt△BAE中，∵BE=162米，∠BAE=68°，∴AE===64.8（米），在Rt△DCE中，∵DE=176.6米，∠DCE=60°，∴CE===≈102.1（米），则AC=CE﹣AE=102.1﹣64.8=37.3（米）．答：工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．21．附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）利用列表法展示所有有12种等可能的选派方案；（2）找出恰有一男一女参赛的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）列表如下：甲乙丙丁甲乙甲丙甲丁甲乙乙甲乙丙乙丁丙丙甲丙乙丙丁丁丁甲丁乙丁丙共有12种等可能的选派方案；（2）恰有一男一女参赛共有8种可能，所以P（一男一女）==．22．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；（2）由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B（15，300），当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），当y=10x+150=600，解得：x=45，则y=600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更划算．23．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE 的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OC，只要证明OC∥BD即可．（2）在Rt△ABF中，根据BH=计算即可．【解答】证明（1）连接OC．∵C是中点，AB是○O的直径∴OC⊥AB，∵BD是○O切线，∴BD⊥AB．∴OC∥BD．∵AO=BO，∴AC=CD（2）∵E是OB中点，∴OE=BE在△COE与△FBE中，∠CEO=∠FEBOE=BE∠COE=∠FBE△COE≌△FBE（ASA）∴BF=CO∵OB=2，∴BF=2∴AF===2，∵AB是直径∴BH⊥AF∴AB•BF=AF•BH∴BH===．24．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）求出A、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先证明△FHG是等腰直角三角形，构建二次函数利用函数性质解决问题即可．（3）分两种情形①如图2中，若AP为对角线，利用相似三角形性质求出点T坐标．②如图3中，若AQ为对角线，利用相似三角形性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），点C坐标（0，3），∵抛物线对称轴x=1，D、C关于对称轴对称，∴点D坐标（2，3），设直线AD为y=kx+b．则解得；∴直线AD解析式为：y=x+1．（2）如图1中，∵OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为．（3）①如图2中，若AP为对角线作PS⊥对称轴于于S，对称轴与x轴的交点为R，∵∠PMS+∠MPS=90°，∠PMS+∠AMR=90°，∴∠MPS=∠AMR，∵∠PSM=∠MRA，∴△PMS∽△MAR可得=，∴=，∴SM=，∴点P坐标（0，）由点的平移可知Q（﹣2，）故Q点关于直线AM的对称点T为（0，﹣）．②如图3中，若AQ为对角线，作AR∥y轴，MR∥x轴，AS∥y轴，PS∥AB，同理可证△ARM∽△PSA，∴=，∴AS=∴点P坐标（0，﹣），由点的平移可知Q（2，），故Q点关于直线AM的对称点T为（0，）．25．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作▱PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，得出∠DPC=90°，由勾股定理得出DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，由勾股定理得出方程，方程无解，得出对角线PQ与DC不可能相等．（2）过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，由AAS证明△ADP≌△HCQ，得出AD=HC求出BH=4，当PQ ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（3）设PQ与DC相交于点G，由平行线得出=，得出G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，证明Rt△ADP∽Rt△HCQ，得出=，求出CH=2得出BH=BG+CH=5，当PQ⊥AB时，PQ 的长最小，即为5．（4）设PQ与AB相交于点G，由平行线得出=，作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK ⊥CD，交QH的延长线于K，证明△ADP∽△BHQ，得出=，求出BH=n+1，得出CH=BH+BC=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，得出BM=AD=1，DM=AB=2，证出∠KCH=45°，由三角函数得出CK=CH•cos45°=（n+4），即可得出结果．【解答】解：（1）对角线PQ与DC不可能相等，理由如下：∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，∴∠DPC=90°，∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2﹣x）2+12=（2）2，整理得：x2﹣2x+3=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．（2）存在，理由如下：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AD⊥AB，∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS），∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．（3）存在，理由如下：如图3，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴=，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同（2）得：∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，∴=，∴CH=2，∴BH=BG+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．（4）存在，理由如下：如图4，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴=，作QH∥PD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ADP=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∴=，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．。