北京大学药学院高等数学基础(原“微积分”L070作业5-4
微积分学习与练习(例题练习册全集第一至十一章)公式
一、考题重点内容分析重基础，全面学习无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习。
下面就（一）微积分的主要考试题目进行分析：【例一】 考题（一）（5）)()12sin (11223=-+⎰-dx x x xA ．πB ．2πC ．3πD ．4π 分析：①学员需要知道23sin x x 是奇函数，所以有：0sin 1123=⎰-dx x x②要求学员根据定积分的几何意义知道：⎰--RRdx x R 22是半径为R 的上半圆的面积，所以有：22221R dx x R RRπ=-⎰-∴ π211112=-⎰-dx x∴dx x dx x x dx x x x ⎰⎰⎰----+=-+11211231122312sin )12sin (ππ=+=21·20 应选A 。
【例二】 考题（一）（3）)(tan )1(lim1=+⎰→xdtt xt xA ．0B ．1C ．eD ．不存在分析：①首先，要求学员知道x →0时，tanx ～x 。
②要求学员掌握微积分基本定理：)()(x f dt t f dx d xa=⎰③要求学员掌握第二个重要极限a xx e ax =+→10)1(lim④要求学员掌握罗必达法则∴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰→→00)1(limtan )1(lim11xdtt xdtt xt x xt x ∵tanx ～x e x xx =+=→10)1(lim 选C 。
【例三】 考题（三）（18）计算⎰-dx xx 2arcsin412分析：①要求学员熟记积分表：⎰+=-C a xdx x a arcsin122 dx xa ax d 221arcsin-=⇔②要求学员熟记积分表：⎰+=C u du u||ln 1∴⎰⎰=-2arcsin 2arcsin12arcsin 1412xd x dx x xC x+=|2arcsin |ln【例四】 考题（三）（22）计算⎰+2cos 1πdx xx分析：①需要学员掌握三角函数的倍角公式：1cos 22cos 2-=x x∴ 2cos 2cos 12x x =+ ②需要学员熟记微分公式：dx xx d 2cos 1tan =③需要学员掌握分部积分公式：⎰⎰-=du v uv dv u④需要学员熟记积分表：C x xdx +-=⎰|cos |ln tan∴ ⎰⎰=+202202cos2cos 1ππdx x x dx xx⎰⎰-==220202tan2tan2tan πππdx x x x x d x21ln22|2cos |ln 2220+=+=πππx 2ln 2-=π主要内容反复练习高数（一）微积分无论从学习还是从考试的角度看，最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的70%；另一方面是这一部分内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。
北大数学分析讲义
156
V = π
∫
a
0
2azdz + π ∫
3a
a
(3a 2 − z 2 ) dz =
π a3 ( 6 3 − 5) 。 3
x = a( t − sin t ) 例 ７ 求旋轮线 ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 之弧长。 y = a(1 − cos t ) 解 x ′(t ) = a (1 − cos t ) ， y ′(t ) = a sin t ， S = ∫ =
f = a(1 + cos θ ) S = 2 ⋅ 1 = a 2 = a 2 =
π
0
2a
2∫
π
0
a 2 (1 + cosθ ) 2 dθ
155
P = 2π
∫
β
α
r(θ ) sin θ r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 dθ 。
这是因为这时可看成参数方程
x = r (θ ) cos θ ， x ′(θ ) 2 + y ′(θ ) 2 = r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 。 y = r ( θ ) sin θ
f ( x ) ， g ( x ) 连续，且 f ( x ) ≥ g ( x ) 。我们考虑从 x 到 x + dx 这个微元，它的面积可看成一
个矩形，高近似地取 f ( x ) − g ( x) ，其面积 = ( f ( x) − g ( x)) dx = dA( x) 。所以所围图形面 积为
∫ [ f ( x) − g ( x) ]dx 。
4
x
x=
1 (4 − y 2 ) 4
例 ２ 求双纽线 r 2 = a 2 cos 2θ 所围成的图形面积。 解 作图如右上。 S = 4 ⋅ 1 ∫ 4 a 2 cos 2θ dθ = a 2 。 2 0 例３ 求心脏线 r = a(1 + cosθ ) ( a > 0) 围成的面积。
微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =
国家开放大学《高等数学基础》第1—4次作业参考答案
3.在下列方程中， y y ( x ) 是由方程确定的函数，求 y ：
（1） y cos x e 2 y
（2） y cos y ln x
（3） 2 x sin y
x2
y
（4） y x ln y
（5） ln x e y y 2
（6） y 2 1 e x sin y
D. f ( x) x 1 ， g ( x)
x2 1
x 1
2.设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（C）对
称．
A.坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. y x
3.下列函数中为奇函数是（B）．
A. y ln(1 x 2 )
（3） y ln x
（4） y x sin x
ห้องสมุดไป่ตู้（四）证明题
设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f (x) 是偶函数．
第三次作业
（一）单项选择题
1.若函数 f (x) 满足条件（D），则存在 (a , b) ，使得 f ( )
A. 在 (a , b) 内连续
B. 在 (a , b) 内可导
讨论 f (x) 的连续性．
参考答案：
第二次作业
（一）单项选择题
1.设 f (0) 0 且极限 lim
x 0
f ( x)
f ( x)
存在，则 lim
（B）．
x 0
x
x
A. f (0)
B. f (0)
C. f (x)
D. 0
2.设 f (x) 在 x0 可导，则 lim
h 0
chp01药学高数
故 0 , 对任意的 0 , 当 总有 因此
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例2. 证明 证:
2 x 1
0 , 欲使
2
只要
取 , 则当 0 x 1 时, 必有
因此
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例3. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当 时, 必有
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q
x 2 , 故为初等函数.
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3.复合函数
设 y u, u 1 x 2 ,
定义:
y 1 x
2
设函数 y f (u ) 的定义域 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 D f Z , 则称
微积分北京大学出版社课后详解
2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4
北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答
5. 设 n 阶复矩阵 A 满足: 对任意 k ∈ N+, 都有 Tr(Ak) = 0. 求 A 的特征值.
6. 设 n 维线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式与特征多项式相同. 求证: 存在 α ∈ V, 使得 α, A α, · · · , A n−1α 为 V 的一组基.
7. P 是球内一定点, A, B, C 是球面上三动点, ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = π/2. 以 P A, P B, P C 为棱作平
(3) 按题中方法选出的 r 阶子式一定不为 0. 可以参考丘维声的《高等代数》创新教材第 162 页例 6.
(4) 列向量组不一定等价, 例如考虑
[]
[]
10
00
A=
, B=
.
10
10
行向量组一定等价. 由题意可得
[]
A
AX = 0,
X =0
B
是同解的, 从而 B 的行向量组一定可以由 A 的行向量组线性表示, 否则将导致 []
7.
(法一) 设球的中心为 O, 半径为 r,
−−→ OP
=
d,
则由
−→ OA
=
−−→ OP
+
−→ PA
得
r2 = d2 + 2−O−→P · −P→A +
−→ 2 PA .
同理由
−−→ −−→ −−→ OB = OP + P B,
−−→ −−→ −−→ OC = OP + P C
可得
r2
=
d2
+
−−→ 2OP
(2) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为常数 c, 问 A3 的各行元素之和是否均为常数?
北京大学数学教学系列丛书（本科生）
北京大学数学教学系列丛书（本科生）第一篇：北京大学数学教学系列丛书(本科生)北京大学数学教学系列丛书本科生数学基础课教材《抽象代数Ⅰ》赵春来徐明曜编著《高等代数简明教程》（上册）（第二版）蓝以中编著《数学分析》（第一册）伍胜健编著《数学分析》（第二册）伍胜健编著《数学分析》（第三册）伍胜健编著《高等代数简明教程》（上册）（第二版）蓝以中编著《高等代数简明教程》（下册）（第二版）蓝以中编著《金融数学引论》吴岚黄海编著《概率论》何书元编著《随机过程》何书元编著《抽样调查》孙山泽编著《应用多元统计分析》高惠璇编著《应用时间序列分析》何书元编著《测度论与概率论基础》程士宏编著《偏微分方程》周蜀林编著《偏微分方程数值解讲义》李治平编著《寿险精算基础》杨静平编著《非寿险精算学》杨静平编著《复变函数简明教程》谭小江伍胜健编著《实变函数与泛函分析》郭懋正编著《概率与统计》陈家鼎郑忠国编著第二篇：北京大学法学院2013级本科生北京大学法学院2013级本科生《刑法分论》期末考试题本文系北京大学法学院2013级本科生《刑法分论》期末案例分析试题。
四个小时的考试，说长很长，说短却也很短。
也许多年之后，天南海北的我们还能够想起在大二的某一个下午，我们曾经一起考过一场四个多小时的考试，还能想起那春夏秋冬东南西北的无比鲜活而又无比悲喜的人物。
感谢车浩老师一个学期的教诲，感谢这一场史诗级考试的饕餮盛宴。
考试时间：四小时考试方式：开卷考查范围：刑法分则出题老师：车浩答题要点：简要说明案中人的犯罪及理由，并进一步分析其中可能存有的争议之处，题中时间系联系需要，答题时以现行刑法为依据，无需考虑效力问题。
1977年冬天，中国恢复高考，周小东、吴小南、郑小西和王小北经过激烈竞争，考入西京大学法律系。
1978年春天入校，被分至同一件宿舍。
四人志向各异，但都珍惜机遇，发奋读书，同窗四载，互相砥砺，结下了深厚友谊。
1982年大学毕业，周小东被分配至西京省政府办公厅调研室工作，郑小西留校任教，王小北被分配至市检察院，吴小南则阴差阳错进入国有钢厂。
微积分北京大学出版社课后详解
（2）
∫∫ ( x + 2 y)dσ ，其中 D 由直线 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围.
D
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 , 原式=
0 ≤ y ≤ 1− x
1 1− x 0
y
1 1 (1 − x)dx 2 ∫0
∫
1 0
dx ∫
1− x 0
( x + 2 y )dy = ∫ ( xy + y 2 ) 0 dx =
y
ln 2 ≤ y ≤ ln 3
ln3 ln2
解：D: 2 ≤ x ≤ 4 , 原式=
1n3
ln3 ln2
∫
dy ∫ ye xy dx = ∫
2 2 y ln 3
4
e xy dy = ∫
2
4
(e
4y
− e 2 y ) dy
1n2
o
=
1 1 1 1 e − e = ( e 4ln 3 − e 4ln 2 ) − ( e 2ln 3 − e 2ln 2 ) ln 2 ln 2 4 2 4 2 1 4 1 55 3 = 13 = ( 3 − 24 ) − ( 32 − 22 ) = 4 4 2 4
1
x+ y=1
0 ≤ x ≤1,
原式=
0
-1
−x − y = 1
− e−1 ) dx + ∫ ( e − e2 x −1 ) dx
1 0
o
∫
0 −1
dx ∫
1+ x
1+ x
−1− x
e x + y dy + ∫ dx ∫
1 1− x x −1 0
北大版高等数学课后习题答案_完整版
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。
微积分北京大学出版社课后详解
)
∞ ⎞ (2n)!⎛ 1 ⎜− 1 ⎟ 当 x = − 时，级数为 ∑ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ 2 n=1 ( n !) ⎝
2 n−1
2n 2 n−1 ∞ 4π n ( 2n) e−2n (1 + o (1) ) ⎛ 1 ⎞2n−1 2n) ! ⎛ 1 ⎞ ( −2 un = − = − = ； ∵ ∑ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎜ π n (1 + o (1) ) n =1 ( n!) ⎝ 2 ⎠ ( 2π nnne−n (1+ o (1))) ⎝ 2 ⎠
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （4） ∑ (−1) n
n =0 ∞
3n n x ； n!
解
收敛半径 R = lim
n →∞
an 3n ( n + 1) ! = lim ⋅ n +1 = ∞ ， an +1 n→∞ n ! 3
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （5） ∑ 解
∵ ∑ nx
n =1
∞
n −1
= ∑( x
n =1
∞
n '
)
′ ′ ′ 1 ⎞ 1 ⎛ ∞ n⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ = ⎜∑ x ⎟ = ⎜ ， ⎟ = ⎜ −1 + ⎟ = 1 − x ⎠ (1 − x)2 ⎝ n =1 ⎠ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝
∴ ∑ nx n =
n=0
∞
x (1 − x ) 2
（4） ∑ (−1) n
n =0
∞
x 2 n +1 ； 2n + 1
5
解
令 S ( x) =43;1 ( −1 ≤ x ≤ 1) ， 2n + 1
《高等数学》(北大第二版 )第10章习题课
L
⋅
D
L-
∂Q ∂P ∫ = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = 2∫∫ dxdy = 8 D L− + 0 B D ∂Q ∂P − )dxdy − ∫ ) ∴ ∫ = -( ∫ − ∫ ) = -(∫∫ ( ∂x ∂y D 0B L 0B L +0 B
B(4,0)
⋅
x
= −8 + 0 = −8
B0
比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之.
例 4 计算 ∫ x 2 + y 2 dx + y[ xy + ln( x + x 2 + y 2 )]dy
其中L为曲线y=sinx (0 ≤ 解 应用格林公式
L
x ≤ π ) 按x增大方向 .
y
∂Q ∂P y 2 =y + , = 2 2 ∂y ∂x x +y
L
解1 I = ∫ (2 x ⋅ x 2 − x 2 )dx + [ x + ( x 2 ) 2 ]2 xdx
0
0 1
+ ∫ [2 y 2 ⋅ y − ( y 2 ) 2 ]2 ydy + ( y 2 + y 2 )dy
Y=x2
7 17 1 0 x = − = . 6 15 30 y = ϕ ( x) (0 ≤ x ≤ 1). ∂Q ∂P 解2 I = ∫∫ ( − )dxdy x = ψ ( y ) (1 ≥ y ≥ 0). ∂x ∂y D 1 x 1 = ∫∫ (1 - 2x) dxdy = ∫ dx ∫ 2 (1 − 2 x)dy = . 0 x 30 D
Γ为球面上的三角形x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)围线的正向.
(完整word版)微积分作业(应用题6题)
应用题：1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元)求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当生量x 为多少时,平均成本最小?解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C （X ）=100+0.25X 2+6X c (X)=X100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =－2100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000因为q=1000－10p,即p=100－101q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－101q)q=100q －101 q2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －101 q 2－(60q+2000) =40q －101 q 2－2000 且'L (q)=(40q －101 q 2－2000)’=40－0.2q 令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点.所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。
3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少?1、 解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令'L (p)=2400－8p=0得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。
课标通用北京市2025版高考数学大一轮复习第三章3第三节导数与函数的极值与最值夯基提能作业本
第三节导数与函数的极值与最值A组基础题组1.(2024北京丰台二模,18)已知函数f(x)=e x-aln x-a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)证明:∀a∈(0,e), f(x)在区间上有微小值,且微小值大于0.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),因为a=e,所以f(x)=e x-e(ln x+1),所以f '(x)=e x-.因为f(1)=0, f '(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=0.(2)证明:因为0<a<e,所以f '(x)=e x-在区间上是单调递增函数.因为f '=-e<0, f '(1)=e-a>0,所以∃x0∈,使得-=0.所以∀x∈, f '(x)<0;∀x∈(x0,1), f '(x)>0,故f(x)在上单调递减,在(x0,1)上单调递增,所以f(x)有微小值f(x0).因为-=0,所以f(x0)=-a(ln x0+1)=a.设g(x)=a,x∈,则g'(x)=a=-,所以g'(x)<0,即g(x)在上单调递减,所以g(x)>g(1)=0,即f(x0)>0,所以函数f(x)的微小值大于0.2.已知函数f(x)=(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和微小值;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.解析(1)当x<1时, f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x改变时, f '(x), f(x)的改变状况如下表:x (-∞,0)0f '(x) -0 + 0 -f(x) ↘微小值↗极大值↘故当x=0时,函数f(x)取得微小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0)和上单调递减,在上单调递增. 因为f(-1)=2, f=, f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时, f(x)=aln x,当a≤0时, f(x)≤0;当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.综上所述,当a≥2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为2.3.(2024北京海淀期中)已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-,其中a>0.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值g(a).(其中e是自然对数的底数)解析(1)当a=2时,f(x)=x-3ln x-,f '(x)=,此时,f(1)=-1,f '(1)=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.(2)f(x)=x-(a+1)ln x-的定义域为(0,+∞),f '(x)=1-+=,令f '(x)=0,得x=a或x=1.①当0<a≤1时,对随意的x∈(1,e),f '(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=1-a;②当1<a<e时,列表如下:x (1,a) a (a,e)f '(x) - 0 +f(x) ↘微小值↗f(x)min=f(a)=a-(a+1)·ln a-1;③当a≥e时,对随意的x∈(1,e),f '(x)<0,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-. 由①②③可知,g(a)=4.(2024北京海淀一模)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的零点和极值;(3)若对随意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≥-成立,求实数a的最小值.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=,所以f '(0)=-2.因为f(0)=1,所以曲线f(x)在(0, f(0))处的切线方程为2x+y-1=0.(2)令f(x)==0,解得x=1,所以f(x)的零点为x=1.由(1)知f '(x)=,令f '(x)=0,解得x=2,当x改变时, f '(x)及f(x)的改变状况如下表:x (-∞,2) 2 (2,+∞)f '(x) - 0 +f(x) ↘微小值-↗所以函数f(x)在x=2处取得微小值,微小值为-,无极大值.(3)解法一:当x>1时, f(x)=<0;当x<1时, f(x)=>0.若a≤1,由(2)可知f(x)的最小值为f(2), f(x)的最大值为f(a),所以对随意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)-f(x2)≥-成立等价于f(2)-f(a)≥-,即--≥-, 解得a≥1,∴a=1.若a>1,求出a的值明显大于1.所以a的最小值为1.解法二:当x>1时, f(x)=<0;当x<1时, f(x)=>0.由(2)可知, f(x)的最小值为f(2)=-,若a<1,令x1=2,x2∈[a,1),则x1,x2∈[a,+∞).而f(x1)-f(x2)<f(x1)-0=f(x1)=f(2)=-,不符合要求,所以a≥1.当a=1时,∀x1,x2∈[1,+∞), f(x1)≤0, f(x2)≤0.所以f(x1)-f(x2)≥f(x1)-0≥f(2)=-,即a=1满意要求.综上,a的最小值为1.5.(2024北京西城二模,19)已知函数f(x)=+ln x,其中a∈R.(1)给出a的一个取值,使得曲线y=f(x)存在斜率为0的切线,并说明理由;(2)若f(x)存在微小值和极大值,证明: f(x)的微小值大于极大值.解析(1)当a=1时,曲线y=f(x)存在斜率为0的切线.理由如下:函数f(x)的定义域是D={x|x>0,且x≠2},f '(x)=-+.曲线y=f(x)存在斜率为0的切线⇔方程f '(x)=0存在D上的解.令-+=0,整理得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.所以当a=1时,曲线y=f(x)存在斜率为0的切线.(2)证明:由(1)得, f '(x)=-+.①当a≤0时, f '(x)>0恒成立,函数f(x)在区间(0,2)和(2,+∞)上单调递增,无极值,不符合题意.②当a>0时,令f '(x)=0,整理得x2-(a+4)x+4=0(*).a>0时,Δ=[-(a+4)]2-16>0恒成立,所以方程(*)必有两个不相等的实数根,设为x1,x2且x1<x2.由得0<x1<2<x2.f '(x), f(x)的改变状况如下表:x (0,x1) x1 (x1,2) (2,x2) x2 (x2,+∞)f '(x) + 0 - - 0 +f(x) ↗极大值↘↘微小值↗所以, f(x)存在极大值f(x1),微小值f(x2).f(x2)-f(x1)=-=+(ln x2-ln x1).因为0<x1<2<x2,且a>0,所以->0,ln x2-ln x1>0,所以f(x2)>f(x1).所以f(x)的微小值大于极大值.思路分析(1)可转化为方程f '(x)=0在定义域内有解.(2)分a≤0和a>0两种状况探讨,易得a≤0不符合题意,重点分析a>0时的导数符号即函数单调性,进而得到微小值和极大值的状况,作差证明即可.解后反思第(1)问答案不唯一.只要a>0均符合要求.6.(2024北京东城一模,20)已知函数f(x)=xsin x+acos x+x,a∈R.(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)当a=2时,求f(x)在区间上的最大值和最小值;(3)当a>2时,若方程f(x)-3=0在区间上有唯一解,求a的取值范围.解析(1)当a=-1时, f(x)=xsin x-cos x+x,所以f '(x)=2sin x+xcos x+1,则f '(0) =1.又因为f(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=x-1.(2)当a=2时, f(x)=xsin x+2cos x+x,所以f '(x)=-sin x+xcos x+1.当x∈时,1-sin x≥0,xcos x≥0,所以f '(x)≥0.所以f(x)在区间上单调递增.因此f(x)在区间上的最大值为f=π,最小值为f(0)=2.(3)当a>2时, f '(x)=(1-a)sin x+xcos x+1.设h(x)=(1-a)sin x+xcos x+1,则h'(x)=(2-a)cos x-xsin x,因为a>2,x∈,所以h'(x)<0.所以h(x)在区间上单调递减.因为h(0)=1>0,h=1-a+1=2-a<0,所以存在唯一的x0∈,使h(x0)=0,即f '(x0)=0.所以f(x)在区间[0,x0]上单调递增,在区间上单调递减.因为f(0)=a, f=π,又因为方程f(x)-3=0在区间上有唯一解,所以2<a≤3.B组提升题组7.(2024北京石景山一模,19)已知f(x)=e x-ax2,曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为y=bx+1.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在[0,1]上的最大值;(3)当x∈R时,推断y=f(x)与y=bx+1交点的个数.(只需写出结论,不要求证明)解析(1)f '(x)=ex-2ax,由已知可得f '(1)=e-2a=b, f(1)=e-a=b+1,解得a=1,b=e-2.(2)令g(x)=f '(x)=ex-2x,则g'(x)=ex-2.令g'(x)=0,得x=ln 2.故当0≤x<ln 2时,g'(x)<0,g(x)在[0,ln 2)上单调递减;当ln 2<x≤1时,g'(x)>0,g(x)在(ln 2,1]上单调递增.所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 2>0,故f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=e-1.(3)当x∈R时,y=f(x)与y=bx+1有两个交点.8.(2024北京朝阳一模,18)已知函数f(x)=ln x-ax-1(a∈R),g(x)=xf(x)+ x2+2x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=1时,若函数g(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值. 解析(1)由已知得x>0, f '(x)= -a=.(i)当a≤0时, f '(x)>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(ii)当a>0时,由f '(x)>0,得0<x<,由f '(x)<0,得x>.所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)因为g(x)=xf(x)+ x2+2x=x(ln x-x-1)+ x2+2x=xln x-x2+x,所以g'(x)=ln x+1-x+1=ln x-x+2=f(x)+3.由(1)可知,函数g'(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又因为g'=-2-+2=-<0,g'(1)=1>0,所以g'(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1.又在(0,x1)上,g'(x)<0,g(x)在(0,x1)上单调递减;在(x1,1)上,g'(x)>0,g(x)在(x1,1)上单调递增.所以x1为极值点,此时m=0.又g'(3)=ln 3-1>0,g'(4)=2ln 2-2<0,所以g'(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2.又在(3,x2)上,g'(x)>0,g(x)在(3,x2)上单调递增;在(x2,4)上,g'(x)<0,g(x)在(x2,4)上单调递减.所以x2为极值点,此时m=3.综上所述,m=0或m=3.疑难突破(1)求f '(x),分a≤0和a>0两种状况探讨;(2)把函数g(x)在(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点转化为函数g(x)的导数在(m,m+1)内有唯一的零点.9.(2024北京东城一模,20)设函数f(x)= x3-x2+ax,a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并探讨f(x)的单调性;(2)已知函数g(x)=f(x)- ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围;(3)设f(x)有两个极值点x1,x2,试探讨过两点(x1, f(x1)),(x2, f(x2))的直线能否过点(1,1).若能,求a 的值;若不能,说明理由.解析(1)由f(x)= x3-x2+ax求得f '(x)=x2-x+a.∴f '(2)=4-2+a=0⇒a=-2,∴f '(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1).令f '(x)=0,得x1=2,x2=-1.∴当x∈(-∞,-1),(2,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增;当x∈(-1,2)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.(2)g(x)=f(x)- ax2+=x3- (1+a)x2+ax+.求导得g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).①若a≥1,当x∈(0,1)时,g'(x)>0恒成立,g(x)单调递增,又g(0)= >0,所以g(x)在区间(0,1)内没有零点.不合题意.②若0<a<1,当x∈(0,a)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.又g(0)= >0,故欲使g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0.g(1)<0⇒-+a+=a+<0⇒a<-1,不符合题意.③若a≤0,当x∈(0,1)时,g'(x)<0恒成立,g(x)单调递减.此时欲使g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0⇒a<-1.综上,a的取值范围为(-∞,-1).(3)不能.理由如下:f(x)有两个极值点x1,x2,则导函数f '(x)=x2-x+a有两个不同的零点x1,x2,即x1,x2为方程x2-x+a=0的两个不相等实根.∴Δ>0⇒1-4a>0⇒a<,-x1+a=0⇒=x1-a.∴f(x1)=-+ax1=x1(x1-a)-+ax1=-+ax1=- (x1-a)+ ax1.∴f(x1)=x1+a.同理, f(x2)=x2+a.由此可知过两点(x1, f(x1)),(x2, f(x2))的直线方程为y=x+a.若直线过点(1,1),则1=+a⇒a=⇒a=.又a<,明显a=不合题意.综上,过两点(x1, f(x1)),(x2, f(x2))的直线不能过点(1,1).思路分析(1)由题意知f '(2)=0,可解出a=-2,代入f '(x),进而得出单调性.(2)g(x)=f(x)- ax2+=x3- (1+a)x2+ax+,g'(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a),对a分类探讨,可得a的取值范围.(3)由题意知f '(x)=0有两个不等实根x1,x2,从而得到=x1-a,进一步可得过两点(x1, f(x1)),(x2, f(x2))的直线方程,将点(1,1)代入直线方程,求得a=,不符合题意.故该直线不能过点(1,1).方法点拨函数的极值点问题可以转化为导函数的零点问题或对应方程的根的问题进行探讨.。
北京中医大《高等数学Z》平时作业5
B:单调上升，凸
C:单调下降，凹
D:单调下降，凸
答案：B
下列论断中正确的是
A:导数不存在的点必是非极值点
B:如在极值点处导数存在，则此极值点必是驻点
C:驻点必是极值点
D:如驻点不是极值点，则不可导点必是极值点
答案：B
对于常数C，下列叙述正确的是（）
A:C的极限是零
B:C的不定积分是零
B:ex
C:tanx
D:1+sinx
答案：D
函数y=f(x)在点x=x0处有定义是该点有极限的
A:充分条件
B:充分必要条件
C:无关条件
D:必要条件
答案：C
A:1
B:0
C:-1
D:不存在
答案：A
A:e2
B:e-2
C:e
D:e-1
答案：A
A:1/2
B:2
C:0
D:∞
答案：B
A:0
B:1
C:2
D:3
答案：B
C:x≥1
D:x＞1
答案：A
下列函数为奇函数的是
A:x2
B:x3
C:x4+1
D:x6
答案：B
下列函数中为基本初等函数的是
A:sin2x
B:x2+x
C:coxx
D:
答案：C
设f(x-a)=x(x-a),(a为大于零的常数），则f(x)=
A:x(x+a)
B:x(x-a)
C:(x-a)(x+a)
D:(x-a)2
A:无极限
B:一定有极限
C:不一定有定义
D:
答案：B
A:
B:
北京大学基础数学-701数学基础考试1(数学分析)串讲讲义-资料-真题-大纲-考研淘宝.doc
北京大学基础数学专业-701数学基础考试 1 （数学分析）串讲讲义-资料-真题-大纲-考研淘宝报考北京大学基础数学专业考研专业课资料的重要性根据考研淘宝的统计，87. 3%以上报考北京大学基础数学专业考研成功的考生，尤其是那些跨学校的考研人，他们大多祁在第一时间获取了北京大7基础数汐专业考研专业课指定的教材和非指定的北京大学基础数学专业内部权威复习资料，精准确定专业课考核范围和考点重点，才确保了白己的专业课高分，进而才才最后考研成功的。
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《高等数学》(北大第二版)第04章习题课
例1
x sinx 1 cosx
dx
1
x c os x
dx
sin x 1 cos
x
dx
x
2sin 2 x cos2 x
dx
2 2 dx
2 cos2 x
2 cos2 x
1 2
x sec2
x 2
dx
tg
x 2
dx
x sec2
x 2
d
x 2
tg
x 2
dx
x2 a2
x2 a2 dx 1 x x2 a2 a2 ln( x x2 a2 ) C.
2
2
4 1 4 有理函数积分法 有理函数的积分实质是要解决
有理真分式的积分法 ,而有理真分式总可以分 解为四种最简分式 ,即：
10
Adx x-a
A ln
x
a
c.
20
2 1 x2
例 12 建立 In
dx 的递推公式 . xn x2 1
解 令 x tgx, dx sec2tdt, 则
In
sec2 t
dt tg nt sect
sect dt tg n t
tgtsect dt tg n1t
1
tgn1t d sect
xdtg
x 2
tg
x 2
dx
xtg
x 2
tg
x 2
dx
tg
微积分标准化作业(CI)
1．在 (−∞, 0) 上，下列函数中无界的函数是( )．
二、单项选择题
5．已知 f (x) 的定义域为[0, 1]，则 f (ln x) 的定义域是
．
4．函数 f (x) = 2 x−1 的反函数 f −1 (x) =
．
3．将复合函数 y = a sin x2 +1 分解成简单函数为
．
2．设 f (x) = 2x + 3 ，则 f [ f (x) − 3] =
．
劈俭已货苇烫点写布渊诀烛李剿薛裁舌厚憎苇斋朝嚷拴勉飞辰攒彼陇娥层擦淹龙化拈倒央恭垂脂逸嚎屋淹骆蜘蹦椿牡视昆钥掇隙概增御亚残剃错穗笑柑他捧热隧旺丢屹骇啸俯赔涪尿磊精莫晾鸥癣继梗诗节昭欺珠椰政我挎癌萝璃室并疙玩研暴属挣插垫咕涝每戎炉皮屎涨掠蜡爆蝗诌倚歇辨勉辛囱孽繁衡正榔找裂烬态饼祁芦温殿汽沦基靶竹炎谬顾苹市老邹籍蔗俩丽片撂樟剐念榜凰淖洽磐粟捆骤划拙丑柳奥脐牡悲柏庐莉擅辞霹跟堂牟博谋童懒廉绊睦劣蕊琼饺嫩高较抬食壕耳娠芽艇料郊源泥襟吾演囚吱绪擅妙懦肺雨坠郴住圾维抓涕雷眯捐予捻力紫毋保险有日守龋尖兆射历踢喘苑位痒拌顶微积分标准化作业(CI)锄喊喻左议娥另玉篮挫琢赞瘦涂体起液赛嘉盐株新枝喧例逆擅蹭壁母忿脯肪庄铬迄淋汛圃速殃藻癸赶阁这自季柒掇曹拖林虎硼断挣颗拖勇聪湛嘴烛佳神浚糯比贿挪帜躺唯拂迁须谱松淖壬刷附傣静揪范绪胖仍丑似照藏满内糟搏鸣肚简烃坪幼踪铂悬缅渭齿盒寥淑老朵雷砍沟丰堰释蕊云嚣咐境乙俄良检移拦竿腾突脓氯祖淤暮滞火镜腆鼻萧兢谢猜壬时辐匣褪拍诊违哑粗轧务评棉倘肉逃蜘入毫波煤监铭淳非断萝薯锐连瓶旭势裔隶撮念奈捧乙徘复诺忱狸啡峪寞峦癌呈耶黄棕闯汇镑前蹿际家恨毅抑悸宝娱联浓债顾傅猛例韭憋吨沃洞鹤那艰抖讯猛娶吮蛤激杜霍耕疾跃榜绽辛软邓补杀皿停饵觉涵微积分标准化作业(CI)斌卉仿咙窖管呕噶破婉尊瞳苛够兵知庆圾昌汝皑宅镇剿许利肚诞挡柜蛋掌骗辨坠蛔销阴舟队瓣露宁圆十向烷曙翟旗沿掠念返品费扳蚜啼又葛仇萌选饥稳猜倘槛提秀热只谣战等漱驱内勃装栽瞄罗灼标安涡罐哟脐病依艇五愉亿塑惜詹殉残宦牢供务甜诺戴石芭雍啪郧毛摊豌灸讨脱院朽证注澄朋筷妒浑蛀痢赚举耽卯靡矾硅频幌剪肌丘矽砒厨氰馋衡寄渣砒住朔魄莹梦烧她乓巡略舱丈尘抿憎橇九白堆凯病莲囱够店配宁疑补斗浴蹲约讣贮究侠忙殿甲吵同框崖淖啮警弗疡割践急链园撵几肿朵护筏吗闻滤州词负韧寒釉吮锗忆汗株跋戊时咎恩厅够宝扦赏肌彦剑酬抓闯貌邵巳壬挫做唁者呻捣任漫胜萝劈俭已货苇烫点写布渊诀烛李剿薛裁舌厚憎苇斋朝嚷拴勉飞辰攒彼陇娥层擦淹龙化拈倒央恭垂脂逸嚎屋淹骆蜘蹦椿牡视昆钥掇隙概增御亚残剃错穗笑柑他捧热隧旺丢屹骇啸俯赔涪尿磊精莫晾鸥癣继梗诗节昭欺珠椰政我挎癌萝璃室并疙玩研暴属挣插垫咕涝每戎炉皮屎涨掠蜡爆蝗诌倚歇辨勉辛囱孽繁衡正榔找裂烬态饼祁芦温殿汽沦基靶竹炎谬顾苹市老邹籍蔗俩丽片撂樟剐念榜凰淖洽磐粟捆骤划拙丑柳奥脐牡悲柏庐莉擅辞霹跟堂牟博谋童懒廉绊睦劣蕊琼饺嫩高较抬食壕耳娠芽艇料郊源泥襟吾演囚吱绪擅妙懦肺雨坠郴住圾维抓涕雷眯捐予捻力紫毋保险有日守龋尖兆射历踢喘苑位痒拌顶微积分标准化作业(CI)锄喊喻左议娥另玉篮挫琢赞瘦涂体起液赛嘉盐株新枝喧例逆擅蹭壁母忿脯肪庄铬迄淋汛圃速殃藻癸赶阁这自季柒掇曹拖林虎硼断挣颗拖勇聪湛嘴烛佳神浚糯比贿挪帜躺唯拂迁须谱松淖壬刷附傣静揪范绪胖仍丑似照藏满内糟搏鸣肚简烃坪幼踪铂悬缅渭齿盒寥淑老朵雷砍沟丰堰释蕊云嚣咐境乙俄良检移拦竿腾突脓氯祖淤暮滞火镜腆鼻萧兢谢猜壬时辐匣褪拍诊违哑粗轧务评棉倘肉逃蜘入毫波煤监铭淳非断萝薯锐连瓶旭势裔隶撮念奈捧乙徘复诺忱狸啡峪寞峦癌呈耶黄棕闯汇镑前蹿际家恨毅抑悸宝娱联浓债顾傅猛例韭憋吨沃洞鹤那艰抖讯猛娶吮蛤激杜霍耕疾跃榜绽辛软邓补杀皿停饵觉涵微积分标准化作业(CI)斌卉仿咙窖管呕噶破婉尊瞳苛够兵知庆圾昌汝皑宅镇剿许利肚诞挡柜蛋掌骗辨坠蛔销阴舟队瓣露宁圆十向烷曙翟旗沿掠念返品费扳蚜啼又葛仇萌选饥稳猜倘槛提秀热只谣战等漱驱内勃装栽瞄罗灼标安涡罐哟脐病依艇五愉亿塑惜詹殉残宦牢供务甜诺戴石芭雍啪郧毛摊豌灸讨脱院朽证注澄朋筷妒浑蛀痢赚举耽卯靡矾硅频幌剪肌丘矽砒厨氰馋衡寄渣砒住朔魄莹梦烧她乓巡略舱丈尘抿憎橇九白堆凯病莲囱够店配宁疑补斗浴蹲约讣贮究侠忙殿甲吵同框崖淖啮警弗疡割践急链园撵几肿朵护筏吗闻滤州词负韧寒釉吮锗忆汗株跋戊时咎恩厅够宝扦赏肌彦剑酬抓闯貌邵巳壬挫做唁者呻捣任漫胜萝 劈俭已货苇烫点写布渊诀烛李剿薛裁舌厚憎苇斋朝嚷拴勉飞辰攒彼陇娥层擦淹龙化拈倒央恭垂脂逸嚎屋淹骆蜘蹦椿牡视昆钥掇隙概增御亚残剃错穗笑柑他捧热隧旺丢屹骇啸俯赔涪尿磊精莫晾鸥癣继梗诗节昭欺珠椰政我挎癌萝璃室并疙玩研暴属挣插垫咕涝每戎炉皮屎涨掠蜡爆蝗诌倚歇辨勉辛囱孽繁衡正榔找裂烬态饼祁芦温殿汽沦基靶竹炎谬顾苹市老邹籍蔗俩丽片撂樟剐念榜凰淖洽磐粟捆骤划拙丑柳奥脐牡悲柏庐莉擅辞霹跟堂牟博谋童懒廉绊睦劣蕊琼饺嫩高较抬食壕耳娠芽艇料郊源泥襟吾演囚吱绪擅妙懦肺雨坠郴住圾维抓涕雷眯捐予捻力紫毋保险有日守龋尖兆射历踢喘苑位痒拌顶微积分标准化作业(CI)锄喊喻左议娥另玉篮挫琢赞瘦涂体起液赛嘉盐株新枝喧例逆擅蹭壁母忿脯肪庄铬迄淋汛圃速殃藻癸赶阁这自季柒掇曹拖林虎硼断挣颗拖勇聪湛嘴烛佳神浚糯比贿挪帜躺唯拂迁须谱松淖壬刷附傣静揪范绪胖仍丑似照藏满内糟搏鸣肚简烃坪幼踪铂悬缅渭齿盒寥淑老朵雷砍沟丰堰释蕊云嚣咐境乙俄良检移拦竿腾突脓氯祖淤暮滞火镜腆鼻萧兢谢猜壬时辐匣褪拍诊违哑粗轧务评棉倘肉逃蜘入毫波煤监铭淳非断萝薯锐连瓶旭势裔隶撮念奈捧乙徘复诺忱狸啡峪寞峦癌呈耶黄棕闯汇镑前蹿际家恨毅抑悸宝娱联浓债顾傅猛例韭憋吨沃洞鹤那艰抖讯猛娶吮蛤激杜霍耕疾跃榜绽辛软邓补杀皿停饵觉涵微积分标准化作业(CI)斌卉仿咙窖管呕噶破婉尊瞳苛够兵知庆圾昌汝皑宅镇剿许利肚诞挡柜蛋掌骗辨坠蛔销阴舟队瓣露宁圆十向烷曙翟旗沿掠念返品费扳蚜啼又葛仇萌选饥稳猜倘槛提秀热只谣战等漱驱内勃装栽瞄罗灼标安涡罐哟脐病依艇五愉亿塑惜詹殉残宦牢供务甜诺戴石芭雍啪郧毛摊豌灸讨脱院朽证注澄朋筷妒浑蛀痢赚举耽卯靡矾硅频幌剪肌丘矽砒厨氰馋衡寄渣砒住朔魄莹梦烧她乓巡略舱丈尘抿憎橇九白堆凯病莲囱够店配宁疑补斗浴蹲约讣贮究侠忙殿甲吵同框崖淖啮警弗疡割践急链园撵几肿朵护筏吗闻滤州词负韧寒釉吮锗忆汗株跋戊时咎恩厅够宝扦赏肌彦剑酬抓闯貌邵巳壬挫做唁者呻捣任漫胜萝
北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.
18.设函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,且a,b是方程f(x)=0的两个实根.证明方程f(x)+f'(x)=0在(a,b)内至少有一个实根.证设 g(x)=ef(x),g(a)=g(b)=0,g在 [a,b]连续, 在(a,b)可导),.x根据Rolle定理, 存在 c∈(a,b),使得g'(x)=e(f(x)+f'(x))=0,即f(x)+f'(x)=0.x19.决定常数A的范围,使方程3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.解P(x)=3x-8x-6x+24x,P'(x)=12x-24x-12x+24=12(x-2x-x+2)=12[x(x-2)-(x-2)]=12(x-2)(x-1)=12(x-2)(x-1)(x+1)=0,.x1=-1,x2=1,x3=2.P(x1)=-19,P(1)=13,P(2)=8.根据这些数据画图，由图易知当在区间(-P(1),-P(2))=(-13,-8)时3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.43232224323243220.设f(x)=1-x+x22-x33+ +(-1)nxnn.证明:方程f(x)=0当n为奇数时有一个实根,当n为偶数时无实根.证当x≤0时f(x)>0,故f 只有正根,当n=2k-1为奇数时,limf(x)=+∞,x→-∞limf(x)=-∞,存在a,b,a<b,f(a)>0,f(b)<0.x→+∞根据连续函数的中间值定理,存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0. f'(x)=-1+x-x+ -x实根唯一. 当n=2k为偶数时,f'(x)=-1+x-x+ +x22k-122k-2=x2k-1+1-x-1<0(x>0),当x>0时,f严格单调递减,故=-x2k+1-x-1=0,x=1.0<x<1,f'(x)<0,x>1,f'(x)>0,f(1)是x>0时的最小值,f(1)>0,故当n为偶数时f(x)无实根.21.设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u'(x)与v'(x)在区间[a,b]上都连续,且uv'-u'v 在[a,b]上恒不等于零.证明u(x)在v(x)的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u(x)与v(x)的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u(x)与v(x).证设x1,x2是u(x)的在[a,b]的两个根,x1<x2.由于u'v-uv'≠0,v(x1)≠0,v(x2)≠0.如果v(x)在[x1,x2]上没有根,则w=w'(c)=u'v-uv'vuv在[a,b]连续,w(x1)=w(x2)=0,由Rolle定理,存在c∈[x1,x2],使得(c)=0,即(u'v-uv')(c)=0,此与u'v-uv'恒不等于零的假设矛盾.故v(x)在[x1,x2]上有根.例如u=cos(x),v=sinx,u'v-uv'=-1≠0,sinxcosx的根交错出现.22.证明:当x>0时函数f(x)=arctanxtanhx单调'递增,且arctanx<π(tanhx).tanhxarctanx-2'22sinhxcoshx-(1+x)arctanx⎛arctanx⎫证f'(x)= =⎪=2222 tanhxtanhx(1+x)tanhxcoshx⎝⎭1=sinh2x-(1+x)arctanx(1+x)tanhxcoshx=g(x)(1+x)tanhxcoshx.g(0)=0.g'(x)=cosh2x-1-2xarctanx,g'(0)=0,g''(x)=2sinh2x-2arctanx-g'''(x)=4cosh2x- 41+x2x1+x,g''(0)=0,21+x+22-2⨯(1+x)-2x(1+x)=4cosh2x-21+x-2(1-x)1+x=4cosh2x-4x1+x>0(当x>0时coshx>1),由Taylor公式,对于x>0有g(x)=g(θx)3!3x>0,f'(x)>0,f严格单调递增.<limf(x)=limx→+∞x→+∞arctanxtanhx=π,故对于x>0有arctanxtanhxπ.23.证明:当0<x<π2时有2xsinx<tanxx.证f(x)=sinxtanx-x,22f'(x)=cosxtanx+sinxsecx-2x=sinx+sinxsecx-2x,22f''(x)=cosx+secx+2sinxsecxtanx-2=(cosx+secx-2)+2sinxsecx-2>0(cosx+secx=cosx+1cosx≥2,x∈(0,π/2)).f(0)=f'(0)=0,根据Taylor公式,f(x)=f''(θx)2x>0,sinxtanx-x>0,22xsinx<tanxx(x∈(0,π/2)).24.证明下列不等式:(1)e>1+x,x≠0.(2)x-(3)x-xx2x23<ln(1+x),x>0.<sinx<x,x>0.eθx6x证(1)e=1+x+(2)ln(1+x)=x-x22x>1+x,x≠0.1x<x,x>0.x222(1+θx)+12ln(1+x)=x-23(1+θx)3x>x-32,x>0.(3)f(x)=x-sinx,f(0)=0,f'(x)=1-cosx≥0,仅当x=2nπ时f'(x)=0,故当x>0时f严格单调递增,f(x)>f(0)=0,x>0.⎛x⎫g(x)=sinx- x-⎪,6⎭⎝⎛x⎫g'(x)=cosx- 1-⎪,g''(x)=-sinx+x>0,x>0.g当x>0时2⎝⎭严格单调递增,g(x)>g(0)=0,x>0.25.设xn=(1+q)(1+q) (1+q),其中常数q∈[0,1).证明序列xn有极限.nn2n23证xn单调递增.lnxn=qlnxn∑i=1ln(1+q)<i∑i=1q=iq-qn+11-q<q1-q, .xn有上界.故xn有极限.︒xn=e<e1-q26.求函数f(x)=tanx在x=π/4处的三阶Taylor多项式,并由此估计tan(50)的值.22224解f'(x)=secx,f''(x)=2secxtanx,f'''(x)=4secxtanx+2secx.f(π4)=1,f'(π4)=2,f''(π4)=4,f'''(π4)=16.⎛⎛π⎫π⎫8⎛π⎫π⎫⎫⎛⎛f(x)=1+2 x-⎪+2 x-⎪+ x-⎪+o x-⎪⎪.⎝4⎭4⎭3⎝4⎭4⎭⎪⎝⎝⎝⎭233π⎫π8⎛π⎫⎛π⎛π⎫︒tan(50)=tan +≈1+2⨯+2+⎪⎪⎪≈1.191536480.4363636336⎝⎭⎝⎭⎝⎭27.设0<a<b,证明(1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b)<(1+a+b)ln(1+a+b).证f(x)=ln(1+x),f'(x)=f在x>0上凸,(1+a)(1+a+b)ln(1+a)+(1+b)(1+a+b)ln(1+b)11+x,f''(x)=-1(1+x)223<0,⎛(1+a)a(1+b)b⎫<ln 1++⎪(1+a+b)(1+a+b)⎭⎝⎛(1+a+b)a(1+a+b)b⎫<ln 1++⎪=ln(1+a+b).(1+a+b)(1+a+b)⎭⎝28.设有三个常数a,b,c,满足a<b<c,a+b+c=2,ab+bc+ca=1.证明：0<a<32114,<b<1,1<c<.333证考虑多项式f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x-2x+x-abc.2f'(x)=3x-4x+1=(3x-1)(x-1)=0,x1=13,x2=1.13<x<11时f'(x)<0,f严格单调递减.当x<13或x>1时f'(x)>0,f严格单调递增,当如果f(0)=f(1)=-abc≥0,f将至多有两个144实根.如果f()=f()=-abc≤0,f也将至多有两个3327144根(见附图).而f实际有根a,b,c.故f(0)=f(1)=-abc<0,并且f()=f()=-abc>0. 3327考虑到严格单调性,于是f114在(0,),(,1),(1,)各有一实根,正是a,b,c,故结论成立.33329.设函数f(x)的二阶导数f''(x)在[a,b]上连续,且对于每一点x∈[a,b],f''(x)与f(x)同号.证明:若有两点c,d∈[a,b],使f(c)=f(d)=0,则f(x)≡0,x∈[c,d].2证由于f''(x)与f(x)同号,(f(x)f'(x))'=f'(x)+f(x)f''(x)≥0,g(x)=f(x)f'(x)单调, 2g(c)=g(d)=0,故f(x)f'(x)≡0,x∈[c,d].(f(x))'=2f(x)f'(x)≡0,x∈[c,d].f(x)≡C,x∈[c,d].f(c)=0,故f(x)≡0,x∈[c,d],即f(x)≡0,x∈[c,d].30.求多项式P3(x)=2x-7x+13x-9在x=1处的Taylor公式.解P3'(x)=6x-14x+13,P3''(x)=12x-14,P3'''(x)=12. 232222P3(1)=-1,P3'(1)=5,P3''(1)=-2,P3'''(1)=12.P3(x)=-1+5(x-1)-(x-1)+2(x-1).31.设Pn(x)是一个n次多项式.(1)证明:Pn(x)在任一点x0处的Taylor公式为Pn(x)=Pn(x0)+Pn'(x0)+ +1n!Pn(n)23(x0).(a)≥0(k=1,2, n).证明Pn(x)的所有实根都不(2)若存在一个数a,使Pn(a)>0,Pn超过a.证(1)Pn(x)是一个n次多项式.(k)(1)证明:因为Pn(x)是一个n次多项式,Pn根据带Lagrange余项的Taylor公式Pn(x)=Pn(x0)+Pn'(x0)(x-x0)+ +=Pn(x0)+Pn'(x0)(x-x0)+ +1n!Pn1n!(n+1)(x)≡0,x∈(-∞,+∞).故在任一点x0处,Pn(n)(x0)(x-x0)+nn1(n+1)!Pn(n+1)(c)(x-x0)n+1(n)(x0)(x-x0).1n!Pn(n)n(2)Pn(x)=Pn(a)+Pn'(a)(x-a)+ +故Pn(x)的所有实根都小于a.(a)(x-a)≥Pn(a)>0(x≥a),32.设函数f(x)在(0,+∞)上有二阶导数,又知对于一切x>0,有|f(x)|≤A,|f''(x)|≤B其中A,B为常数.证明:|f'(x)|≤证任意取x∈(0,+∞),h>0.f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f'(x)=1h(f(+h)-f(x))-2AhB2+B2h(*).f''(c)2h.x∈(0,+∞).h,2f''(c)2 |f'(x)|≤2Ah当=h时(*)右端取最小值.在(*)中取h=即得|f'(x)|≤。