【数学】湖南省岳阳市平江县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试(理)

平江一中2015年高二期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、 在△ABC 中，a =3,b =5,sinA=,则sinB=（ ）
A
． B ． C D ．1
2、已知数列是等差数列，且，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．
3、已知命题则命题的否定形式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4、若，则“”是“”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5、已知数列是等比数列，且，，则数列的公比为（ ） A ．2 B ． C ．-2 D ．
6、若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ． 4 B ．1 C ．2 D ．8 7、若且
，则的最小值是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．16
8、椭圆
的焦点 ，P 为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ）
A ． 12
B ．10
C ．9
D ．8
9、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a （k m ），灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C
1
3
591
5
}{n a 48111032=+++a a a a 76a a +121824302
:(0,),1,p x x x ∀∈+∞≥-p 200
0:(0,),1p x x x ⌝∃∈+∞≥-2000:(,0),1p x x x ⌝∃∈-∞≥-200
0:(0,),1p x x x ⌝∃∈+∞<-2000:(,0),1p x x x ⌝∃∈-∞<-R a ∈2a =()()240a a -+=}{n a 8
1
1=
a 14-=a }{n a q 21-2
1
22
162
x y +
=0,0x y >>19
1x y
+=x y +19
252
2=+y x 1F 2F 21PF PF ⊥21PF F
南偏东60°，则A,B 之间相距（ ）
A ．a （k m ）
B ．a （k m ）
C ．a （k m ）
D ．2a （k m ） 10、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在轴上，焦距为，则它的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11、在中，是角A ，B ，C 的对边，若成等比数列，，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12、方程ab by ax =+22和),0(01b a ab by ax ≠≠=++，所表示的曲线可能是（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线．
13、已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于 ． 14、△的三个内角、、所对边的长分别为、、，已知,
则的值为 ．
15、已知、满足，则的最大值为 ．
16、若方程表示椭圆，则k 的取值范围为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、(本题10分)已知命题：<,和命题：,为真，为假，求实数c 的取值范围.
231
2
y x =±x 202212080y x -
=2212080x y -=2218020y x -=22
18020
x y -=ABC ∆c ,b ,a c ,b ,a 045=A =c
B
sin b 2123224
3{}n a 134,,a a a 1a ABC A B C a b c 3,,3
c C π
==2a b =b x y 2
22x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
2z x y =+1212
2=++-k
y k x p 2c c q 2x x 4cx 10R ∀∈++>，p ∨q p ∧q
18、(本题12分)已知函数， （1）当时，解不等式；（2）比较的大小； （3）解关于x 的不等式．
19、(本题12分)已知数列的前项和满足 （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）设；求数列的前项和
20、(本题12分)在锐角中，分别为角
（1）求角的大小；
（2）若
的值
21、(本题12分)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施 “放开二胎” 新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）； （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则
继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？(说明：)
1)1()(2++-=x a
a x x f 0>a 21
=
a 0)(≤x f a
a 1与0)(≤x f {}n a n n S 21n n S a =-{}n a {}n a 21221
(log )(log )
n n n b a a ++=⋅{}n b n n T ABC ∆,,a b c ,,A B C 2sin c A =C C =ABC ∆a b +0.5n n a 1010
0.99(10.01)0.9=-≈
22、（本题12分)已知椭圆C 的两焦点分别为F 1（﹣1，0）、F 2（1，0），短轴的两端点分别为B 1、B 2，
（1）若椭圆C 的离心率为，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为（，1），求直线l 的方程；
（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F F 11 ，求直线l 的方程．
平江一中2015年高二期中考试
(理科)数学 答案
1-5 ACCBC ； 6-10 ADCBD ； 11-12CB
13、；14
；15、6；16、21k -<< 且12k ≠-
17、由不等式<,得，
即命题：，所以命题：或，
又由，得，得命题： 所以命题：或，由题知：和必有一个为真一个为假.
当真假时：当真假时：
故c 的取值范围是： 或.
18、（1）当时，有不等式，
∴，∴不等式的解集为：；
（2）∵且
∴当时，有当时，有当时，；
（3）∵不等式
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19、【解析】（Ⅰ）由知
所以，即，从而 所以，数列是以2为公比的等比数列 又可得，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故，
8-2c c 01c <<p 01c <<p ⌝0c ≤1c ≥2
(4)40c -<1122c -
<<q 1122
c -<<q ⌝1
2
c ≤-12c ≥p q p q 102c -<≤112c ≤<q p 1
02c -<≤1
12
c ≤<21=a 012
3
)(2≤+-=x x x f 0)2)(21
(≤--x x }22
1|{≤≤x x a
a a a a )
1)(1(1-+=-0>a 10<<a a a >11>a a a <1
1=a a
a 1=0))(1
()(≤--=a x a
x x f 10<<a a a >1}1
|{a x a x ≤≤1>a a a <1}1
|{a x a
x ≤≤1=a }1{∈x 21n n S a =-1121n n S a ++=-1122n n n n S S a a ++-=-1122n n n a a a ++=-12n n a a +={}n a 1121a a =-11a =12n n a -=12n n a -=12n n a +=122n n a ++=
所以，，故而
所以 20
∴ ∵ 又
∴c 2=a 2+b 2-2ab cos60° 7=a 2+b 2-2ab · 7=(a +b )2-2ab -ab ∴(a +b )2=7+3ab =25 ∴a +b =5 21、
（Ⅰ）当时，数列是首项为，
公差为的等差数列，
当时，数列是以公比为的等比数列，又
因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万元）的表达式为
(Ⅱ)设为数列的前项和，则从2016年到2035年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得：
万
(说明：)
新政策实施到2035年年人口均值为
万 由
，故到2035年不需要调整政策． 22、（1）设直线l 的方程为y =kx +b ； 由条件知
，∴a =2，b 2=4﹣1=3；∴椭圆C 的方程为
；
21log n a n +=22log 1n a n +=+111
(1)1
n b n n n n ==-++11111111223
111
n n
T n n n n =-+-++
-=-=
+++sin A =sin A =sin 60C C =⇒=︒1sin 6062S ab ab =
︒=⇒=10≤n {}n a 5.455.0n n a n 5.045)1(5.05.45+=-⨯+=∴11≥n {}n a 99.05010=a 1099.050-⨯=∴n n a n n a 10
450.5,110500.99
,1120n n n n a n -+≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩n S {}n a n 202010111220()S S a a a =+++
+10477.54950(10.99)972.5=+⨯-≈1010
0.99(10.01)0.9=-≈∴20
48.6220
S ≈20
4920
S <
将直线l的方程带入椭圆C的方程并整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0；
若设A（x1，y1），B（x2，y2）则：，；根据AB的中点坐标，所以：
；解得；∴直线l的方程为；
（2）由条件知b=1，a2=2，椭圆方程为；
直线l过F2（1，0），方程可设为：y=k（x﹣1）；
∴带入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0；
若设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：
，，=；
由条件得=（x1+1，y1） （x2+1，y2）=x1x2+x1+x2+1+y1y2=；
∴解得k=；∴直线l的方程为y=7
（x﹣1）或y=-7（x﹣1）。