利用定积分求曲线围成的面积
定积分求面积
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
利用定积分求曲线围成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。
解：先求出P点坐标。
y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。
2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。
f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。
解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。
定积分求面积
解决物理问题
微积分基本定理在物理学中有广 泛的应用，例如在计算变速直线 运动的位移、变力做功等问题中
都会用到。
微积分基本定理的证明
证明方法
微积分基本定理的证明通常采用极限 的思想，通过将积分区间分成若干小 区间，然后在每个小区间上应用微元 法，最后取极限得到定积分的值。
关键步骤
证明的关键步骤包括构造原函数、应 用牛顿-莱布尼兹公式和取极限等。
积分常数倍性质
定积分具有积分常数倍性质，即∫[a,b] cf(x) dx = c∫[a,b] f(x) dx。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形的面积。例如，∫ab (f(x)) dx 表示曲线y=f(x)， 直线x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积。
长度
定积分也可以用来计算曲线的长度。例如，对于参数方程x=φ(t), y=ψ(t) (a≤t≤b)所表示的曲线，其长度可以表示为∫ab [φ'(t)]^2 + [ψ'(t)]^2 dt。
总结词：量化分析
详细描述：在经济分析中，定积分求面积可 以用于量化各种经济指标。例如，在金融领 域中，可以通过定积分求面积的方法计算出 股票价格、期权价值等金融产品的变化范围 。此外，在市场营销中，也可以使用定积分 求面积的方法计算市场份额、销售量等指标
的变化趋势，从而更好地制定营销策略。
感谢观看
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则该函数在区间$[a, b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于 由$x=a$到$x=b$的区间内曲线$y=f(x)$与$x$轴、直线$x=a$和直线$x=b$所围成的平面图形的面 积。
定积分计算的总结论文
定积分计算的总结论文标题：定积分的计算方法总结摘要：定积分是微积分学中的重要内容，该文通过总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识，探讨了定积分在实际问题中的应用，总结了定积分的计算方法，为读者提供了一种关于定积分计算的综合信息。
关键词：定积分；计算方法；面积；体积；变量替换1.引言定积分是微积分学中的重要工具，用于求解一条曲线所围成的面积、计算一些曲面的体积等。
在物理、经济学和工程学等领域，定积分的应用广泛。
本文主要总结并归纳定积分的计算方法，以及定积分在实际问题中的应用。
2.定积分的基本计算方法2.1基本不定积分首先，我们需要了解基本不定积分的常用公式，如幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。
基本不定积分是求解定积分的基础，需要熟练掌握。
2.2基本定积分的计算基本定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行求解，即通过求解不定积分的差来得到定积分的值。
此外，还可以通过分部积分法等方法来简化计算。
3.利用定积分计算面积和体积3.1曲线围成的面积通过定积分的计算方法，可以求解一条曲线所围成的面积。
常见的曲线有直线、抛物线、三角函数曲线等。
通过将曲线用函数表达式表示，并确定积分上下限，可以通过定积分的计算求解面积值。
3.2曲面的体积利用定积分的计算方法，可以计算曲面围成的体积。
例如，通过确定边界曲线的函数表达式，设置积分上下限，可以通过定积分计算出曲面体积的值。
4.变量替换求解定积分变量替换是定积分计算中常用的方法之一，可以将复杂的定积分转化为简单的形式。
通过选择适当的变量替换，使被积函数形式简单化，从而更容易计算定积分。
5.定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用，如物体质量、质心的计算、平均值的求解、几何问题的解决等。
本文还介绍了一些实际问题，并利用定积分的计算方法得到解答。
6.结论本文总结了定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识。
利用定积分求曲线围成的面积
利用定积分求曲线围成的面积This manuscript was revised on November 28, 2020利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()bb ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰ 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。
解：先求出P 点坐标。
解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。
所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。
解：所求面积=例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
解：当()()=时图像的交点，f xg x即332=⇒-=⇒-=x x x x x x0(1)0例3 例4：求阴影部分的面积。
定积分的应用：平面图形面积
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 y e 2 4、 ； 5、 ； 6、 . e 2 3 7 2 a 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 ； 2 6 5 3 2 2 3 a 4、 ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
利用定积分求曲线围成的面积
12.9利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校
汪家硕
•复习回顾:
b 1.定积分的几何意义：当f(x)_O 时，积分 f(x)dx 在几何上表示由y = f(x)、x = a 、x =b _a 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x)空0时，由y 二f(x)、x 二a 、x 二b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿一莱布尼茨公式
定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a, b ］上的连续函数，并且F (x)= f (x)，则 二•曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间［a,b ］上的连续函数且对任意的［a,b ］有f(x) —g(x)，则直线x = a 和直
线x =b 以及曲线间围成的面积可以表示为：
b b b
J f(x)dx —a g(x)dx=J f(x)—g(x)dx a a a 例1求抛物线y =x 2和直线y =2x 所围成的区域面积。
例2.计算曲线y =X 2 • 1和y =4 -X 2，以及直线x =1和x - -
1所围成的区域面积
解：所求面积=
例2
解：先求出P 点坐标 解方程组 P 点的坐标是(2,4) 所求的面积=
2x -x 2dx 二 x 2 0 - A
0 a b
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,
它们交叉会是什么结果？
考虑区间［a’CiHcitLGqHob］，阴影部分面积可以表示为: 例3:求f(x) =x3和g(x)二x所围成的圭寸闭区域面积
解：当f(x)=g(x)时图像的交点，
即x3 = x 二f - x 0 : (x 2x 1) £
例4:求阴影部分的面积
练习：
1.求阴影部分面积例3例4。
定积分求面积
y [2, 4]
2 y A y 4 dy 18. 2 2
练习题
一、填空题： y 轴所围成平面区域的面积 1 、由曲线 y e x , y e 及 是______________ . 2 、由曲线 y 3 x 2 及直线 y 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ . 3 、由曲线 y x 1 x 2 , y 1 , x 1 , x 1 所围成 平面区域的面积是_______ . 4 、计算 y 2 2 x 与 y x 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5 、由曲线 y e x , y e x 与直线x 1 所围成平面区 域的面积是_________ .
一、直角坐标系情形
y
y ( x) y f1 ( x )
o
a x x x b x 曲边梯形的面积
o
x x b x a 曲边梯形的面积
b
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
A f 2 ( x ) f1 ( x ) dx
3
1
3 2 y x 6 x y x 例 2 计算由曲线 和 所围成
的图形的面积. y x3 6x 解 两曲线的交点 2
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
y x
y x2
y x3 6x
选 x 为积分变量 x [2, 3]
于是所求面积
A A1 A2 253 0 3 3 2 2 3 . A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
a
b
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
利用积分求面积问题
利用积分求面积问题在数学中，积分是一种重要的数学工具，可以用来求解各种问题，包括求面积问题。
利用积分求面积问题是一种常见的应用，它可以帮助我们计算曲线与坐标轴之间的面积。
本文将介绍如何利用积分来解决这类问题。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一条曲线y=f(x)，我们想要求解该曲线与x轴之间的面积。
为了方便计算，我们将曲线分成无数个小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为f(x)。
那么每个小矩形的面积可以表示为ΔA=f(x)Δx。
为了求解整个曲线与x轴之间的面积，我们需要将所有小矩形的面积相加。
由于曲线是连续的，我们可以将Δx无限地趋近于0，这样就可以得到一个无穷小的矩形。
我们可以用积分来表示这个过程，即∫f(x)dx。
利用积分的性质，我们可以将上述积分转化为一个定积分，即∫a^b f(x)dx，其中a和b分别表示曲线与x轴的交点。
这样，我们就可以通过求解定积分来得到曲线与x轴之间的面积。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设有一条曲线y=x^2，我们想要求解该曲线与x轴之间的面积。
首先，我们需要找到曲线与x轴的交点。
当y=0时，即x^2=0，解得x=0。
因此，曲线与x轴的交点为(0,0)。
然后，我们可以利用定积分来求解面积。
根据上述公式，我们有∫0^1 x^2dx。
通过求解这个定积分，我们可以得到曲线与x轴之间的面积。
利用积分的性质，我们可以将上述定积分转化为一个不定积分，即∫x^2dx。
通过求解这个不定积分，我们可以得到曲线与x轴之间的面积。
对于这个不定积分，我们可以使用积分的基本公式来求解。
根据积分的基本公式，我们有∫x^2dx=(1/3)x^3+C，其中C为常数。
将上述结果代入定积分的公式，我们有∫0^1 x^2dx=(1/3)(1^3-0^3)=1/3。
因此，曲线y=x^2与x轴之间的面积为1/3。
通过这个例子，我们可以看到利用积分求解面积问题的基本思路。
首先，我们需要找到曲线与x轴的交点。
定积分求面积
定积分求面积平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
定积分在几何上的意义是曲线围成的面积，那么它只能求面积吗?它的应用可广泛了，可以这样说，我们都有一门课叫大学物理，其实大学物理跟高中物理相比在知识点上并没有增加多少，只是用微积分的方法解决了一些连续性变化的物理问题而已。
很多同学觉得大学物理难学，那一定是你没有领会微积分的真谛，也就是不会使用微积分解决实际问题。
用定积分求平面图形面积的关键是根据题意准确确定平面图形的边界，并根据边界将面积正确的写成积分形式。
用定积分求弧长问题难点在于曲线方程的直角坐标系形式与极坐标系形式之间的转换，以及对这些变换的理解，然后就是对三角函数类定积分的熟练计算，很多时候不能“蛮算”要“巧算”。
很多同学觉得这是很简单的事情，而不以为然，认为这种题目很简单没有必要浪费时间去做，可是到了考试时候真正出现这种题目，又有几个人能用很短的时间把题目做正确？确定边界问题咋一看很简单——不就是初中数学的内容吗？但是解题需要的是熟练，而熟练必然建立在多练习多总结的基础上。
此外用定积分求面积问题积累的经验在后面多重积分的应用问题中也非常有用，求曲线弧长积累的经验在后面曲线曲面积分计算中也很有用。
很多同学之所以觉得曲线曲面积分、多重积分很难是因为定积分学的不够扎实。
如果我们在一维的数学思维训练够了，那么学习更高维的数学就不再是难事。
见到题目都觉得简单，都不想去动手做，最终必然是什么都不会。
所以希望同学们从基础题目做起，千万不要眼高手低——天下难事必作于易。
定积分求面积
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2
(1 2cos cos2 )d
练习题答案
一、1、1；
2、32 ； 3
4、 y ；
5、e 1 2 ； e
二、1、3 ln 2； 2
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
3、a2 ；
6、3 a 2 . 2
五、8 a 2 . 3
三、 求 抛 物 线 y x 2 4x 3 及 其 在 点 ( 0 ,3 ) 和 ( 3 , 0 )处的切线所围成的图形的面积 .
四、 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线的 左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 .
五、 求由抛物线 y 2 4ax 与过焦点的弦所围成的图形 面积的最小值 .
的图形的面积. y x3 6x
解
两曲线的交点
y
x2
y x2
(0,0), (2,4), (3,9).
y x3 6x
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0],dA1 ( x3 6x x2 )dx
(2) x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
0
a
2
3 2
定积分和面积的关系
定积分和面积的关系
嘿，你知道吗，定积分和面积那可是有着超级紧密的关系啊！咱就说那曲线下的面积，定积分就能把它给算出来呢！比如说吧，就像你要知道一个操场的面积，那定积分就像个厉害的工具，能帮你精确地找到这个面积呀！这多神奇呀！
定积分呢，就像是一把神奇的钥匙，能打开面积这个神秘之门。
好比你有一个形状古怪的图形，看着头都大了，不知道它面积咋算，这时候定积分就闪亮登场啦，嘿，能轻松搞定它的面积！比如说一个弯弯绕绕的曲线围成的区域，定积分就能给你算得明明白白！这不是很牛吗？
你想想啊，要是没有定积分，咱要算那些奇奇怪怪图形的面积得多费劲啊！所以说定积分和面积的关系，那真的是太重要啦，就如同好朋友一样，相互成就啊！你这下能明白它们的关系有多铁了吧！。
定积分求面积
定积分可以用来求面积，但定积分不等于面积，因为定积分可以是负数但面积是正的，因此，当所求积分的曲线跨越x轴时，需分段，分大于零和小于零分别计算，然后正的积分加上负的积分的绝对值，就等于面积。
面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。
表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。
面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分就是求函数f(X)在区间[a，b]中的图像包围的面积。
即由y=0，x=a，x =b，y=f(X)所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分是把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
用定积分求面积的技巧
用定积分求面积的技巧例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，．方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即332828822022024222(24)224183032S x d x x x d x x x x =+-+=++=⎰⎰|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即2423422114418226y S y y d y y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142x y x y ==+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.例2 求由三条曲线2241y x y x y ===，，所围图形的面积.解析：如图2，因为224y x y x ==，是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，得交点坐标(11)(11)(21)(21)--，，，，，，，．方法一：选择x 为积分变量，则221223123201101114212444123x xSxd x d x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰|||．。
曲线围成的面积公式
我们要找出曲线围成的面积的公式。
首先，我们需要了解曲线围成的面积的基本概念和计算方法。
曲线围成的面积可以通过定积分来计算。
定积分的基本思想是：对一个函数在某个区间上进行积分，这个积分的值就是该函数曲线与x轴、y轴以及区间边界围成的区域的面积。
假设我们有一个函数f(x)，并且我们想要计算它在区间[a, b] 上的曲线围成的面积。
那么，这个面积可以通过以下公式计算：
面积= ∫(f(x)) dx (从a 到b)
这个公式就是用来计算曲线围成的面积的。
计算结果为：面积= 0
所以，曲线f(x) = sin(x) 在区间[0, 2π] 上的曲线围成的面积是0。
数学复习用定积分求面积的两个重要公式
用定积分求面积的两个常用公式浙江 曾经求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y ＝f (x ),直线x ＝a ，x ＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为A ＝|()|b af x dx ⎰．特别地,⑴当f (x )≥0时(如图1)，A ＝()baf x dx ⎰;⑵当f (x ）≤0时（如图2),A ＝－()b af x dx ⎰；⑶当f (x )有正有负时(如图3），A ＝()c af x dx ⎰－()b cf x dx ⎰．公式二：由连续曲线y ＝f （x )，y ＝g (x ），f (x )≥g (x ）及直线x ＝a ,x ＝b 所围成的图形（如图4)的面积A 为A ＝[()()]b af xg x dx -⎰．二、应用举例例1 由y ＝x 3，x ＝0,x ＝2，y ＝0围成的图形面积．分析:先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．1图2图解：⑴如图1，由公式1，得S ＝230x dx⎰＝42440111|204444x =⨯-⨯=． 评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限,可为正,也可为负或零,而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积,然后将它们加在一起．例2 ⑴由曲线y ＝x 2，y 2＝x 所围成图形的面积．⑵由y ＝14x 2－1，y ＝12x ，y ＝34x 在第一象限所围成图形的面积．分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．解：⑴ 如图2，所求面积为阴影部分．解方程组22y xy x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点(0，0)，(1，1）,由公式2，得S＝120)x dx ⎰＝331202211()|33333x x -=-=． ⑵如图3，解方程组211412y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和211434y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x ＝0，x ＝1负的舍去),x ＝4．由公式2，得图形面积S＝1031()42x dx -⎰＋42111[(1)]42x x dx --⎰3图216-=．。
曲线面积 极限
曲线面积极限曲线面积是指一个曲线所围成的面积，是微积分学中的一个重要概念。
在微积分学中，曲线面积的计算利用了极限的概念。
这篇文章将对曲线面积和极限的关系进行具体探讨。
曲线面积的计算源自于欧几里得几何学中的面积概念。
在欧几里得几何学中，面积是由平面上的两个相交的直线围成的四边形的面积开始定义的。
随着时间的推移，欧几里得几何学中的面积定义不断被完善和推广。
在微积分学中，面积概念就被推广到曲线面积的计算上。
在微积分学中，曲线面积通常可以通过求解定积分来计算。
如果已经知道曲线的解析式，那么可以通过求解定积分来计算曲线所围成的面积。
但是，对于一些比较复杂的曲线，例如抛物线和椭圆等，定积分的求解是非常困难的。
为了解决这个问题，我们可以利用微积分学中的极限概念来计算曲线面积。
极限是微积分学中一个重要的概念，用于描述某个变化过程中的趋势和极限状态。
在曲线面积的计算中，我们可以将曲线分成多条直线段，然后估算每一条直线段所围成的矩形面积，最后通过将估算出来的矩形面积累加起来来估算整个曲线所围成的面积。
具体来说，我们将曲线分成n个小段，每个小段的长度为Δx。
然后，我们在每一小段的端点处取一个点，将曲线段近似为一条直线段。
这样，每个小段所围成的矩形面积就可以近似为Δx乘以曲线上对应点的函数值。
将所有小段所围成的矩形面积累加起来，就可以得到整个曲线所围成的面积的估计值。
如果我们让n趋近于无穷大，即使得小段长度Δx越来越小，那么通过这种方法得到的估算值就会越来越精确。
最后，我们可以将这个极限值作为曲线实际所围成的面积的近似值，即：S = lim(n→∞)ΣΔx·f(xi)这里，S表示曲线所围成的面积，f(x)是曲线上对应点的函数值，xi表示每个小段的端点。
需要注意的是，这种方法只能用于估算比较简单的曲线面积，例如直线段、抛物线等。
对于复杂的曲线，使用这种方法将会比较困难。
此外，在计算曲线面积时，还需要对小段长度Δx的选取进行一定的考虑，以保证估算出来的面积能够趋近于实际的面积。
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武汉外国语学校 汪家硕
一．复习回顾：
1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()b
a f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、
x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'
()()F x f x =，则 ()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰
二．曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a
=和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：
()()()()b b b
a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰
⎰⎰
例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。
解：先求出P 点坐标。
解方程组22y x y x
⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。
所求的面积= 2
23220
08424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1
例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。
解：所求面积=
1
11322211
12144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
例2
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结
果？
考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：
1
23123
()()()()()()()()c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰ 例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。
解：当()()f x g x =时图像的交点，
即 332
0(1)0x x x x x x =⇒-=⇒-= 01x ∴=±或
例3
例4：求阴影部分的面积。
例4 练习：
1.求阴影部分面积。