人教A版高中数学必修二4.1.1圆标准方程导学案.docx
4.1.1圆的标准方程
宝坻九中导学案
高二数学 必修2 4.1.1 主备人韩紫媛 审核人张雅建
4.1.1圆的标准方程
一、教学目标及重难点
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)
2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)
二、知识探究
问题1．在平面内，圆是如何定义的？
问题2.两点间的距离公式是什么？
问题3．在平面直角坐标系中以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x －1)2＋(y －2)2＝4来表示？
1.圆的标准方程
(1)以A (a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为__________________
(2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为___________________
问题4.点A (1,1)，B (3,0)，C (2，2)同圆x 2＋y 2＝4的关系如图所示，则|OA |，|OB |，|OC |同圆的半径r ＝2什么关系？
2.点与圆的位置关系
设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置关系对应如下：
例1求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为点A (－2,3)，半径为2；
(2)经过点A (5,1)，圆心为点C (8，－3)．
例2写出下列各圆的圆心和半径
(1)6122=+-y x ）（ (2)9)2()1(22=-++y x
班级： 姓名：
例3写出圆心为()3-2，A 半径长等于5的圆的方程，
判断()()1,5,7,51---M M 是否在这个圆上.
例4ABC ∆的三个顶点的坐标是()()()8,2,3,7,1,5--C B A ,求它的外接圆的方程.
新课标高中数学人教A版必修二教案-4.1.1圆的标准方程(学案)
新课标高中数学人教A版必修二教案
4. 1.1圆的标准方程
【教学目标】
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
【教学重难点】
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
（二）检查预习、交流展示
求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
4.1.1圆的标准方程
§4.1.1 圆的标准方程导学案
【学习目标】
1.掌握圆的标准方程并了解推导过程。
2.会根据已知条件求圆的标准方程。
3.能准确判断点与圆的位置关系。
【重难点】求圆的标准方程。
【预习案】
一．复习：1.回忆两点间距离公式： . 二．
练习：（1）写出下列圆的标准方程：①圆心为半径为 ②圆心为半径为
（2）求圆的圆心，坐标与半径：①()16)2(322=++-y x ②2)2()1(22=+++y x ③122=+y x
2.点与圆的位置关系
练习：圆的方程16)2(32=++-y x 判断下列各点位置(1))5,4(1-M ;(2))1,5(2M ;(3))6,3(3-M
☞我的疑惑：请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。
【探究案】
探究点一：圆的标准方程
例1.求满足下列条件的圆的标准方程
（1）经过点)1,5(P ，圆心在点)3,8(C （2）以)7,1(),5,1(-B A 为直径的圆的方程.
（3）已知圆过点)3,4(-P ，圆心在直线012=+-y x 上且半径长为5，求圆的方程
探究点二：点与圆的位置关系
例 2.求过)5,1(),9,1(),2,8(C B A --三点的圆的方程，并判断点)11,5(),1,1(),4,3(---M M P 与圆的位置关系.
探究点三：综合应用
例3.圆心为C 的圆经过点)2,2(),1,1(-B A 且圆心 C 在直线01:=+-y x l 上，求圆 C 的标准方程。
【巩固提升】
1.圆)()22
112x y -++=的周长是（ ）
.2B π C .4D π
2.点P(2m ,5)与圆2224x y +=的位置关系是( )
高一数学必修2人教A导学案4.1.1圆的标准方程
4. 1.1 圆的标准方程
【教学目标】
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
【教学重难点】
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
（二）检查预习、交流展示
求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
人教A版必修2 4.1.1 圆的标准方程 学案
4.1.1圆的标准方程
知识导图
学法指导
1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程．
2．利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程．
3．结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法．高考导航
圆的标准方程的求解、圆心坐标及半径长的确定、点与圆的位置关系问题是常考题型，有时也会考查与圆有关的最值问题和对称问题，多以选择题或填空题的形式出现，分值5分.
知识点一圆的标准方程
1．圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点→圆的圆心；定长→圆的半径．
2．圆的标准方程
1．由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆的圆心和半径即可直接写出圆的标准方程．这一点体现了圆的标准方程的直观性．
2．由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径．
若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？
知识点二点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系点在圆
外
点在圆
上
点在圆
内
d与r的大小关
系
d>r d＝r d<r
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.()
答案：(1)×(2)×
2．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()
A．(－1,5)，3B．(1，－5)， 3
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
人教A版必修二高中数学第四章 4.1.1同步课堂导学案【含详细解析】
4．1圆的方程
4．1.1圆的标准方程
[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系．
[知识链接]
1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．
2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．
3．平面上两点间的距离公式d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
[预习导引]
1．圆的定义及圆的标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
(2)圆的标准方程
2．点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较：
若|CM |＝r ，则点M 在圆上；
若|CM |>r ，则点M 在圆外；
若|CM |<r ，则点M 在圆内．
(2)代数法：可利用圆C 的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2来确定：
点M (m ，n )在圆C 上⇔(m －a )2＋(n －b )2＝r 2；
点M (m ，n )在圆C 外⇔(m －a )2＋(n －b )2>r 2；
点M (m ，n )在圆C 内⇔(m －a )2＋(n －b )2<r 2.
要点一
点与圆的位置关系例1
已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部，
∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，
高中数学《4.1.1圆的标准方程》导学案 新人教A版必修2
黑龙江省大庆外国语学校高中数学《4.1.1圆的标准方程》导学
案新人教A版必修2
一、学习目标
(1) 知识目标：在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出
圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
（2）能力目标：培养学生用坐标法研究几何问题的能力；使学生加深对数形结合的思想和待定系数法的理解；增强学生用数学的意识。
（3）情感目标：通过本节的学习，由问题情景入手，我们要学会分析问题的方法；通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”
的学习精神。
二、学习重点、难点：
重点：圆的标准方程的求法及其应用。
难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、学习过程
（1）、课前准备（预习教材 P118~ P120，找出疑惑之处）
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
（2）、新课导学
※学习探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
a b，半径为r的圆的方程
新知：圆心为A(,)
222
-+-=叫做圆的标准方程. 特殊的：若圆心为坐标原点，这时x a y b r
()()
0a b ==，则圆的方程就是222x y r += 探究：确定圆的标准方程的基本要素？
※ 典型例题
例1:写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点
12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.
人教版高中数学必修2第四章圆与方程-《4.1.1圆的标准方程》教案
4.1.1 圆的标准方程
整体设计
教学分析
在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
三维目标
1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.
3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修2 第四章圆与方程
第四章圆与方程
§4.1圆的方程
§4.1.1圆的标准方程(1)
【学习目标】
1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.
【学习重点】
求圆的标准方程.
【学习难点】
根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.
【学习过程】
一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)
1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.
2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？
3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.
4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一
点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?
5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a
b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.
6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .
思考：圆的标准方程222
()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.
二、合作探究
例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在
人教A版数学必修二4-1-1《圆的标准方程》学案
四川省岳池县第一中学高中数学必修二学案：4-1-1 圆的标准方程
学习目标 1、理解并掌握圆的标准方程，会根据不同的条件求得圆的标准方程；通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线方程的一般步骤解决实际问题的能力.
2、独立思考，合作探究，通过圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，进一步培养学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；学会借助实例分析、探究数学问题.
3、通过学生的激情投入、师生的合作交流，提高学生学习数学的热情和兴趣，激发起求知欲，培养探索精神.
重点: （1）圆的标准方程的推导；（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程. 难点：灵活应用所给条件求圆的标准方程及圆的标准方程的实际应用.
预习案
使用说明﹠学法指导
1.思考并回答“相关知识”中的2个问题，明确本课时所要探究的问题和方向；
2.通过“教材助读”中问题1的完成，初步认识圆的标准方程；通过问题2、3的解决，自学教材中例1，例2和例3的解题过程及其中所含知识点；
3.迅速完成预习自测；
4.预习案用时约20分钟，将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.
Ⅰ.相关知识
1.平面直角坐标系中两点间的距离公式是怎样的？
2.什么是圆？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么呢？
Ⅱ.教材助读
1.阅读课本例1之前的内容，思考并回答下列问题：
（1）确定一个圆最基本的要素是 和 .
（2）圆心为A ，半径长为r 的圆就是集合{}
.r MA M P ==
（3）圆心为()b a ,，半径长为r 的圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，把它叫做圆的标准方程.
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：
d min＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方
程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.
高中数学人教A版必修2《4.1.1圆的标准方程》教案3
必修二4.1.1 圆的标准方程
整体设计
教学分析
在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
三维目标
1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.
3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.
人教A版2019高中数学必修二学案：4.1圆的方程_含答案
4.1圆的方程
4．1.1圆的标准方程
预习课本P118～120，思考并完成以下问题
1．确定圆的几何要素有哪些？
2．圆的标准方程是什么？
3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？
[新知初探]
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x，y)，
0 0
则
位置关系
几何法判断方法
代数法
点在圆上点在圆内点在圆外│MA│＝r⇔点M在圆A上
│MA│<r⇔点M在圆A内
│MA│>r⇔点M在圆A外
点M(x，y)在圆上⇔(x－a)＋(y－b)＝r
0 0 0 0
点M(x，y)在圆内⇔(x－a)＋(y－b)＜r
0 0 0 0
点M(x，y)在圆外⇔(x－a)＋(y－b)＞r
0 0 0 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆()
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a()答案：(1)×(2)×
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()
A．在圆外C．在圆上B．在圆内D．不确定
【人教A版】：4.1.1圆的标准方程精品导学案
【⼈教A版】：4.1.1圆的标准⽅程精品导学案
第四章圆与⽅程
4.1 圆的⽅程
4.1.1 圆的标准⽅程
学习⽬标
1.会推导圆的标准⽅程.
2.能运⽤圆的标准⽅程正确地求出其圆⼼和半径.
3.掌握圆的标准⽅程的特点,能根据所给有关圆⼼、半径的具体条件准确地写出圆的标准⽅程.
4.体会数形结合思想,初步形成代数⽅法处理⼏何问题能⼒.能根据不同的条件,利⽤待定系数法求圆的标准⽅程.
学习过程
⼀、设计问题,创设情境
前⾯我们已经学习过直线⽅程,初中也学习过圆的⼀些知识,请同学们思考:
问题1:在平⾯直⾓坐标系中,两点能确定⼀条直线,⼀点和直线的倾斜⾓也能确定⼀条直线.那么在平⾯直⾓坐标系中确定⼀个圆的⼏何要素是什么呢?
问题2:根据前⾯我们所学的直线⽅程的知识,应该怎样确⽴圆的⽅程呢?
⼆、学⽣探索,尝试解决
若设圆的圆⼼坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的⽅程.
三、信息交流,揭⽰规律
1.在直⾓坐标系中,当与确定后,圆就唯⼀确定了,因此,确定圆的基本要素是.
2.在平⾯直⾓坐标系中,若⼀个圆的圆⼼A(a,b),半径长为r,则圆的标准⽅程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合⽅程,即;反之,若点M的坐标适合⽅程,这就说明与的距离为r,即点M在圆⼼为A的圆上.
3.圆⼼在坐标原点,半径为r的圆的⽅程为.
4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满⾜条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满⾜条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满⾜条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满⾜条件.
高中数学：4.1.1《圆的标准方程》教学案(新人教版A版必修2)
4.1.1圆的标准方程
【教学目标】
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
【教学重难点】
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
（二）检查预习、交流展示
求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
人教版高中数学必修二 导学案：第四章第一节圆的一般方程
第四章第一节圆的一般方程
三维目标
1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；
2. 会用待定系数法求圆的一般方程；
3. 会用坐标法求点的轨迹方程；
4．体会代入消元的思想。
___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1
问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么?
(1)222210x y x y +-++=； (2) 05422
2=++-+y x y x ；
(3) 064222=+-++y x y x
问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是
多少？
【试试】1. 圆的一般方程： （ ）
圆心坐标（ ， ），半径为 .
【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ）
A.k>1
B.k<1
C.1≥k
D.k 1≤
【学做思2】
*1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=．
（1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程．
【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤
2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(2
2=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
（学生小组讨论展示解题思路）
【小结】求轨迹方程的一般步骤
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4.1.1圆的标准方程
学习目标：
知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会判断点和圆的位置关系。
过程与方法：进一步培养学生能用坐标法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问
题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情
和兴趣。
重点难点：
学习重点：圆的标准方程
学习难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
学习过程：
复习问题 1：二元一次方程与直线的关系？
复习问题 2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？
【A 级】探究问题1：：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
结论 1 ：确定一个圆最基本的要素是：
【B 级】探究问题 2 ：如何用坐标法探求圆的方程（即圆上任意一点横、纵坐标间的关系）？
在直角坐标系中，圆心（点） A 的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点 M ( x, y) 与圆心 A(a,b) 的距离，圆心为A的圆就是集合
P M MA r 。
由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为
( x a) 2( y b) 2r
①
①式两边平方，得
( x a) 2( y b) 2r 2
结论 2 ：圆的标准方程
( x a) 2( y b) 2r 2
圆心为A(a,b)，半径为r。
思考：1：方程( x a) 2( y b) 2r 2与圆的关系是什么？
2：回顾推导过程，怎样推导出圆的标准方程？
3：当圆心为原点时，方程形式是什么？
4：由圆的标准方程，能否直接求出其圆心坐标和半径？
5：确定圆的标准方程需要什么条件？
四、【合作探究】
【B 级】探究问题3：点M0(x0 , y0 ) 在圆x2y 2r 2内的条件是什么？在圆x2y 2r 2外的条件是什么？若方程为(x a)2( y b) 2r 2呢？
例 1：写出圆心为A(2, 3) ，半径长等于 5 的圆的方程，并判断点M 1(5, 7) ，M 2 (5, 1) 是否在这个圆上。
结论 3 ：设点到圆心的距离为 d ，圆的半径为r ，则点在圆外 d r ;点在圆上
d r ；点在圆内d r
P(x0 , y0 ) 和圆 ( x a) 2( y b) 2r 2有：
(x0a) 2( y0b)2r 2
(x0a) 2( y0b)2r 2
(x 0a) 2( y0b)2r 2
【 B 级】探究问题4：求圆的标准方程的步骤。
例 2：ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1) ， B(7,3) ，C(2,8) ，求它的外接圆的
方程。
结论 4 ：用待定系数法求圆的标准方程的步骤：
例 3：已知圆心为 C 的圆经过点A(1,1) 和 B(2, 2) ，且圆心C在直线 l : x y 10 上，求圆心为 C 的圆的标准方程。
反馈练习：
1．圆( x2)2( y 3)2 2 的圆心和半径分别是（）
A．( 2,3)，1B．
(2,3)，3． (2,3)，
2
D．
(2,3)
，
2 C
2．过点A(1,1) 、 B( 1,1)且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是（）
A. ( x 3)2( y 1)24
B. ( x 3)2( y 1)24
C. ( x 1)2( y 1)24
D. ( x 1)2( y 1)24
3. 点M (a, a)与圆 ( x a2)( y2a)的2a 位置关系是
点M 在
圆.
4．写出下列圆的标准方程
（ 1）圆心在C ( 3,4)，半径长为 5 的圆的标准方程.
（ 2）圆心在C (8,3)，且过点 M (5,1) 的圆的标准方程.
（ 3）求以点A(1,2)为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；
（ 4）已知两点P(4,9)，Q (6,3)，求以线段PQ为直径的圆的方程．
5 ．圆C：(x 5)2( y 4) 2
6 关于直线 x y 0对称的圆的方程.
6．求过两点A(0, 4)，B(4,6)，且圆心在直线x 2 y20 上的圆的标准方程．