2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课时训练： 08杨辉三角

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人教B版高中数学选修2-3创新设计练习1.3.2杨辉三角(含答案详析)

1.3.2 杨辉三角双基达标(限时20分钟)1．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于 ( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，∴n2＋1＝5.∴n ＝8. 答案 D2. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是 ( )． A ．第8项 B ．第9项C ．第8项或第9项D ．第11项或第12项解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式中的第8项为C 7n (x )n －7⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 7为常数，即n －212＝0，∴n ＝21.∴展开式中系数最大的项为第11项或第12项．答案 D3．设(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n＝ ( )． A ．256 B ．136 C ．120 D ．16 解析在展开式中令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝44.故选A. 答案 A4．在二项式(1－2x )6的展开式中，所有项的系数之和为________．解析令x ＝1，得(1－2x )6展开式中所有项的系数和为(1－2)6＝1. 答案 15. 如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．解析由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案 2n －16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，求n 的值．解令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2（2n －1）2－1＝254，∴2n ＝128，即n ＝7.综合提高（限时25分钟）7．若(x ＋3y )n 展开式的系数和等于(7a ＋b )10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为 ( )． A ．5 B ．8 C ．10 D ．15解析 (7a ＋b )10展开式的二项式系数之和为210，令x ＝1，y ＝1，则由题意知， 4n ＝210，解得n ＝5. 答案 A8．(2012·济宁高二检测)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )．A ．7B ．－7C ．21D ．－21 解析令x ＝1，则(3－1)n ＝128＝2n ，∴n ＝7即求⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27展开式中通项T r ＋1＝C r 7·(3x )7－r ·(x －23)r ·(－1)r ＝C r 737－r ·x 7 －5r 3·(－1)r.令7－5r 3＝－3，得r ＝6，即系数为C 67·3＝21. 答案 C9．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小项是________．解析在(a －b )10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝C510a5(－b)5＝－252a5b5.答案－252a5b510．若(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 012)＝________．(用数字作答)解析在(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 012)＝2 011a0＋a0＋a1＋a2＋a3…＋a2 012＝2 012.答案 2 01211．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求:(1)a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.解(1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.令x＝0得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②由①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝27－672.12．(创新拓展)(2012·长沙高二检测)对于二项式(1－x)10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(3)写出展开式中系数最大的项．解(1)由题意可知：r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T6＝C510(－x)5＝－252x5.(2)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.(3)∵中间项T6的系数为负，∴系数最大的项为T5和T7，T5＝C410x4＝210x4，T7＝C610x6＝210x6.。

2018新人教B版高中数学选修2-3全册学案精编

目录✧ 1.1.1基本计数原理学案✧ 1.1.2基本计数原理的应用学案✧ 1.2.1.1排列及排列数公式学案✧ 1.2.1.2排列的综合应用学案✧ 1.2.2.1组合及组合数公式学案✧ 1.2.2.2组合的综合应用学案✧ 1.3.1二项式定理学案✧ 1.3.2杨辉三角学案✧第1章计数原理章末分层突破学案✧ 2.1.1离散型随机变量学案✧ 2.1.2离散型随机变量的分布列学案✧ 2.1.3超几何分布学案✧ 2.2.1条件概率学案✧ 2.2.2事件的独立性学案✧ 2.2.3独立重复试验与二项分布学案✧ 2.3.1离散型随机变量的数学期望学案✧ 2.3.2离散型随机变量的方差学案✧ 2.4正态分布学案✧第2章概率章末分层突破学案✧ 3.1独立性检验学案✧ 3.2回归分析学案✧统计案例章末分层突破学案基本计数原理1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 分类加法计数原理阅读教材P3中间部分，完成下列问题.做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班.若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种.( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种.( )【解析】(1)×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的.(2)√在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事.(3)√由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式.(4)√根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种).【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√教材整理2 分步乘法计数原理阅读教材P3后半部分内容，完成下列问题.做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个.( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种.( )【解析】(1)√因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同.(2)×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成.(3)√因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值.(4)×因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况.【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]分类加法计数原理的应用(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准.(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类.【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法.共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种.(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).1.应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏.(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路[再练一题]1.(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法.【导学号：62980000】【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种.故选C.(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种.【答案】(1)C (2)15分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理.【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码.1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.[再练一题]2.张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种.问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成.第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式.由分步乘法计数原理，得2×3＝6种.[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成.而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”.探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成.只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事.探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法.故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐.利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法.由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐.两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步”.【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.2.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成.[再练一题]3.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡.(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法.(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法.[构建·体系]1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )【导学号：62980001】A.7B.12C.64D.81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法.故选B.【答案】 B2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )A.1＋1＋1＝3B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24D.以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法.【答案】 B3.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数.【答案】20 104.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条.【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条.【答案】125.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息.(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法.(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图111所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )图111A.6条B.5条C.9条D.4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条.由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条.【答案】 B2.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A 不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A.96种B.24种C.120种D.12种【解析】先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种.【答案】 A3.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )【导学号：62980002】A.53种B.35种 C.8种 D.15种【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法.【答案】 B4.如果x ，y ∈N ，且1≤x ≤3，x ＋y <7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )A.15B.12C.5D.4 【解析】利用分类加法计数原理.当x ＝1时，y ＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x ＝2时，y ＝0,1,2,3,4，有5个；当x ＝3时，y ＝0,1,2,3，有4个.据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个.【答案】 A5.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax ＋By ＝0的系数A ，B 的值，则形成的不同直线有( )A.18条B.20条C.25条D.10条【解析】第一步，取A 的值，有5种取法；第二步，取B 的值，有4种取法，其中当A ＝1，B ＝2时与A ＝2，B ＝4时是相同的方程；当A ＝2，B ＝1时与A ＝4，B ＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条.【答案】 A二、填空题6.椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________.【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个.【答案】207.某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________.【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种).【答案】428.如图112，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________.图112【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】19三、解答题9.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种).(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种).10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理.有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3＝5 292种不同的选法.[能力提升]1.一植物园参观路径如图113所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )图113A.6种B.8种C.36种D.48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线.【答案】 D2.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )【导学号：62980003】A.180种B.360种C.720种D.960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种.【答案】 D3.直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B 的值，则可表示________条不同的直线.【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线.【答案】224.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种.由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点.(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P 可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点.(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点.基本计数原理的应用1.熟练应用两个计数原理.(重点)2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P4～P5，完成下列问题.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242.(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【导学号：62980004】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项.由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项).【答案】363.5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________.【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案.【答案】184.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个.【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3×3×2＝18个不同的四位数.【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A.16种B.18种C.37种D.48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________.【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解.(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种).故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种).【答案】(1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.[再练一题]1.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).组数问题用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》9

杨辉三角教案凌源中学---于海涛一、教学目标：1、知识目标：掌握杨辉三角形中蕴含的二项式系数基本性质；2、过程与方法：通过探求杨辉三角形的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力，让学生在探索过程体验数学发现成功的喜悦3、情感态度与价值观：了解有关杨辉三角形的简史，掌握杨辉三角形中蕴含的规律，体会我国古代数学成就，提高民族自豪感。

二、教学重点：从杨辉三角形中发现总结二项式系数基本性质；三、教学难点：二项式系数基本性质的应用。

四、教学过程：一）复习回顾：1、二项式定理的内容：1）项数：2）二项式系数3）指数规律：4通项公式：2、预习题：计算（学生通过提前预习，感知二项式系数排布规律为本节课打好基础。

）（ab0=（ab1=（ab2=（ab 3=（ab 4=（ab 5=（ab 6=二、探索新知1、二项式系数的性质：（学生互相讨论，采用观察、归纳、猜想的方法，从横看、斜看两个角度探究杨辉三角形中蕴含的二项式系数的性质。

）2对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即c c m n m n 1-=(3) 增减性与最大值当n 为偶数时，中间一项T n 12+ 的二项式系数最大。

当n 为奇数时，中间两项 T T n n 12121+++和项的二项式系数最大。

（4）各二项式系数的和n n n n n n 2C C C C 210=++++奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和=12-n 三）课堂实练：1递推性:两端都是1，即10==c c nn n 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和即c c c m n m n m n 11+-=+（通过练习使学生应用二项式系数的性质解题，巩固所学。

）1、在(2+x)n(n∈N)的二项展开式中,+若第7、8项二项式系数最大，则n等于()若只有x5的二项式系数最大,则n等于()(A)8.(B)9.(C)10.(D)13.2、已知(3x+x2)2n的二项式系数和为64，求(2x-1)2n展x开式中（1）二项式系数最大是第几项？（2）求常数项。

数学人教B版选修2-3课后导练 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质含解析精品

课后导练基础达标1.已知（1-3x ）9=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 9x 9,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|等于（） A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x 的奇数次方的系数都是负值， ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|=a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 9. ∴已知条件中只需赋值x=-1即可. 答案：B2.对于二项式（x1+x 3）n（n ∈N ）,四位同学作出了四种判断，下述判断中正确的是（） ①存在n ∈N ,展开式中有常数项；②对任意n ∈N ,展开式中没有常数项；③对任意n ∈N,展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项.A.①与③B.②与③C.②与④D.④与① 解析：二项式（x 1+x 3）n展开式的通项为T r+1=r nC （x1）n-r ·（x 3）r =r n C x r-n ·x 3r =r n C x 4r-n , 当展开式中有常数项时，有4r-n=0，即存在n 、r 使方程有解. 当展开式中有x 的一次项时，有4r-n=1,即存在n,r 使方程有解. 即分别存在n ，使展开式有常数项和一次项. 答案：D 3.若（2x x 1-）n 展开式中含21x项的系数与含41x 项的系数之比为-5，则n 等于（） A.4 B.6 C.8 D.10解析：∵T r+1=rn C （2x ）n-r （-x1）r, 令n-2r 1=-2,n-2r 2=-4,然后利用系数比为-5，得关于n 的方程. 即可解出n=6，故选B. 答案：B4.(2005全国高考卷Ⅱ)（x 2-y ）10的展开式中x 6y 4项的系数是（）A.840B.-840C.210D.-210解析：（x-2y ）10可以看作是由10个括号形成的连乘积，而x 6y 4是10项中取6个x 、4个y ，∴系数是610C x 6·44C ·（-2y ）4中的系数， ∴系数为610C ·22=840.答案：A5.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3,就等于二项展开式的第14项和第15项的系数比13n C ∶14n C =2∶3,即!13)!13(!∙-n n ∶!14)!14(!∙-n n =2∶3⇒1314-n =32,解之得n=34.答案：346.(2005广东高考)已知（xcosθ+1）5的展开式中x 2的系数与（x+45）4的展开式中x 3的系数相等，则cosθ=_______________.解析：（xcosθ+1）5=（1+xcosθ）5,展开式中x 2的系数为25C cos 2θ.（x+45）4=（45+x ）4，展开式中x 3的系数为4534C , 由题意可知25C cos 2θ=4534C ,∴cos 2θ=21,∴cosθ=±22. 答案：±22 7.(2005东北三校联考)若（x 2+21x）n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是_______________.解析：∵n=6,T r+1=r C 6（x 2）6-r ·（x -2）r =rC 6·x 12-4r ,令12-4r=0,r=3.∴36C =20.答案：208.求（1-x ）8的展开式中二项式系数最大的项. 解析：因为1-x 的幂指数8是偶数，由性质3，（1-x ）8的展开式中间一项（即第5项）的二项式系数最大，该项为128+T =T 5=48C （-x ）4=70x 4.9.已知n ∈N *,求证1+2+22+23+…+25n-1能被31整除. 证明：1+2+22+23+…+25n-1=21215---n =25n-1=32n -1=（31+1）n -1=31n +1n C 31n-1+2n C ·31n-2+…+1-n n C ·31+1-1=31（31n-1+1n C 31n-2+2n C 31n-3+…+1-n n C ）.而括号里的数必为正整数，故原式能被31整除.10.已知（x +31x）n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比（a+b ）2n 展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的中间项. 解：（a+b ）2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1,（x +31x）n展开式中偶数项的二项式系数的和为2n-1，依题意，有2n-1=22n-1-120,即（2n ）2-2n-240=0,解得2n =16或2n =-15（舍）.∴n=4.于是，第一个展开式中中间项为T x =24C （x ）2（31x）2=63x . 综合运用 11.计算：（1）1.0095;（2）0.9986（精确到0.001）.解：（1）1.0095=（1+0.009）5=1+5×0.009+25C ×（0.009）2+…+（0.009）5≈1+5×0.009+8.1×10 -4≈1.046. （2）（0.998）6=（1-0.002）6=1+6×（-0.002）+15×（-0.002）2+…+（-0.002）6≈1+6×（-0.002）=1-0.012=0.988.12.（1）证明：0n C +12n C +23n C +…+（n+1）nn C =（n+2）·2n-1.（2）设a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列，n ∈N *,求证：a n +c n >2b n .证明：（1）0n C +21n C +32nC +…+（n+1）n nC =0n C +1n C +2nC +…+nn C +（1n C +22n C +33n C +…+n n n C ）=2n +n （01-n C +11-n C +21-n C +…+11-+n n C ）=2n +n·2n-1=（n+2）·2n-1. （2）设公差为d,则a=b-d,c=b+d.a n +c n -2b n =（b-d ）n +（b+d ）n -2b n =［b n -1n C b n-1d+2n C b n-2d 2-…+（-1）n d n ］+［b n +1n C db n-1+2n C d 2b n-2-…+d n ］-2b n =2（2n C d 2b n-2+4n C d 4b n-4+…）>0,∴a n +c n >2b n . 拓展探究13.用二项式定理证明(32)n-1<12+n （n ∈N *且n ≥3）.证明：欲证（32）n-1<12+n 成立，只需证（32）n-1>21+n 成立，而（23）n-1=（1+21）n-1=01-n C +11-n C ·21+21-n C ·（21）2+…+11-+n n C ·（21）n-1=1+n-21+n n C 1-·（21）2+…+（21）n-1>n+21,所以原不等式成立.。

2018版数学新导学同步人教A版选修2-3检测及作业：课时作业 8“杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析

＋1 k k 2 ≥Ck 2k＋1， C8· 8 · 则 k k －1 C8· 2 ≥Ck 2k－1， 8 ·
8－k≥k＋1，即 2 1 ≥ k 9－k.
Hale Waihona Puke 12 k≥5，整理得 k≤6.
于是 k＝5 或 6. 故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项． |能力提升|(20 分钟，40 分) 1 11．若2x3＋x2n(n∈N*)的展开式中存在常数项，则 n 的最小值
＋(－1)nan＝34＝81. 答案：A a x＋ n 5．已知关于 x 的二项式 3 展开式的二项式系数之和为 x 32，常数项为 80，则 a 的值为( ) A．2 B．± 1 C．1 D．± 2 解析：∵二项式系数和为 2n＝32， ∴n＝5， a r r 5 －r ∴通项公式为 Tr＋1＝C5· ( x) · 3 x ＝Cr ar· x 6 . 5· ∵常数项为 80. ∴r＝3 时，C3 a3＝80， 5· ∴a＝2，故选 A. 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．(1＋ x)n 展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32，则系数最大的项是________． 1 n 解析：因为 8<C0 n＋Cn＋„＋Cn<32，即 8<2n<32，且 n∈N*，所以 n＝4. 2 所以展开式共有 5 项，系数最大的项为 T3＝C2 4( x) ＝6x. 答案：6x 7．(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________. 解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32， ∴a＝3. 答案：3 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 23.

2018学年高中数学人教B版选修2-3学案：1.3.2 杨辉三角

1.3.2杨辉三角1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用.[基础·初探]教材整理1杨辉三角阅读教材P29，完成下列问题.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n＋1＝C m－1n ＋C m n.1.如图1-3-1是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________.13 356 571111791822189图1-3-1【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.【答案】2n－12.如图1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 112 11 3 3 1 1 4 6 4 1…… 图1-3-2【解析】设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！，解得n ＝34. 【答案】 34教材整理2 二项式系数的性质阅读教材P 29后半部分，完成下列问题.1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T n2＋1的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n .1.已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________. 【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n ＝8.【答案】 82.已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于________.【导学号：62980026】【解析】二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n＝32，所以n ＝5.【答案】 53.(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________. 【解析】因为(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.【答案】1－3102[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题如图1-3-3，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值.图1-3-3【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：[再练一题]1.(2016·南充高二检测)如图1-3-4所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.图1-3-4【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)2＋1＝n2－n＋22.【答案】46n2－n＋22求展开式的系数和设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值.【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解.【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 017＝(－1)2 017＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＝32 017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝－1－32 017，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ). ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.[再练一题]2.若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n ＝C n －m n ，也可以从f (r )＝C r n 的图象中得到.探究2 计算C k nC k 1n ，并说明你得到的结论.【提示】 C k nC k －1n＝n －k ＋1k .当k <n ＋12时，C k nC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小.探究3 二项式系数何时取得最大值？【提示】当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项Cn －12n ，Cn ＋12n相等，且同时取得最大值.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号.【自主解答】令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r ). 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得.[再练一题]3.已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值. 【导学号：62980027】【解】由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝±3.[构建·体系]1.(1＋x )2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3【解析】该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项.【答案】 C2.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )【导学号：62980028】A.64B.32C.63D.31【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.【答案】 B3.若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________.【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.【解析】 (a －x )5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5a5－r x r ，令r ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15.在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项.【解】 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r x 4－5r 2. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大.则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 所以T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6. (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x－11.(4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项【解析】第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件.【答案】 B2.(2016·吉林一中期末)已知⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A.5B.20C.10D.40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x10－3r，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3.设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A.2nB.3n －12C.2n ＋1D.3n ＋12【解析】令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12.故选D.【答案】 D4.(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值为( )A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r ，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A5.在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )【导学号：62980029】A.23 015B.－23 014C.23 014D.－23 008【解析】因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014. 【答案】 B二、填空题6.若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________. 【解析】令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 【答案】－17.若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________. 【解析】 7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n 9n (－1)0＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n －1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7. 【答案】 7或08.在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示.那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-3-5【解析】根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45. 化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62. 故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.【答案】 62三、解答题9.已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.①(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10.已知⎝⎛⎭⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数.【解】由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝⎛⎭⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝⎛⎭⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358. [能力提升]1.若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A.1B.－1C.2D.－2【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.【答案】 A2.把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图1-3-6所示的三角形数阵.记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )13 57 9 1113 15 17 19……图1-3-6A.91B.101C.106D.103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3.(2016·孝感高级中学期中)若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________.【解析】令x ＝2，得－5＝a 0，令x ＝3，得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.【答案】 54.已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和.【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·⎝⎛⎭⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N ＋，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3，设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.。

高中数学人教B版选修2-3配套课件： 1.3 第2课时杨辉三角

r r 11－r C 2 x r－10 · 2x≥1， 1 r－1＝ r C 2 x 10 ∴ r r＋1 C 2 x 10－r 10 · 2x≤1， r r ＝ C 2 x r ＋ 1 10
211－r≥r，解得 r＋1≥210－r.
19 22 ∴ 3 ≤r≤ 3 且0≤r≤8，r∈Z，∴r＝7.
7 7 7 故系数最大的项为T8＝C7 2 x ＝ 15 360 x . 10
(2)设展开式中的第r＋1项的值最大，则Tr＋1≥Tr＞0，Tr＋
1≥Tr＋2＞0，
Tr＋1 Tr＋2 ∴ T ≥1， ≤1， Tr＋1 r
(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[ 分析]
根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二
项式系数最大的项．
[ 解析]
5 6 6 ∵T6＝C5 (2 x ) ， T ＝ C (2 x ) ，依题意有 n 7 n
5 6 6 C5 2 ＝ C 2 ⇒n＝8. n n·
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C ＝1 120x4. 设第r＋1项系数最大，则有
－1 r r－1 2r≥Cr · 2 C8· 8 r r＋1 r＋1 C · 2 r ≥ C 2 8 8 ·
4 8
· (2x)4
⇒5≤r≤6.
∴r＝5，或r＝6(∵r∈{0,1,2，„，8})． ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
数的有关性质，然后给出了它的应用．
3．情感态度与价值观通过本节课的学习，可以体验“发现”的乐趣，培养学生学习数学的兴趣，激发同学们的爱国热情.
本节重点：二项式系数的性质．

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》31

杨辉三角教学设计数学组贾天雷一、教学目标知识与技能：掌握杨辉三角及二项式系数的性质，会利用二项式系数的性质及赋值法解决问题过程与方法：通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会由特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程情感、态度与价值观：通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高和发展学生的运算能力、观察能力、归纳总结的能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感．二、学情分析《杨辉三角》是选修2-3第1章第3节第2课时的内容。

知识上学生已经学习了两个计数原理、组合数的性质和二项式定理等，已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。

同时对于高二的学生也已经基本接触了大部分高中数学思想方法，为突破本节课的难点奠定了基础学生在数学学科的学习特点存在较大的差异，而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题。

学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够完成本节课的难点，即：二项式系数性质的发现与证明三、重点难点重点：杨辉三角及二项式系数的性质，二项式系数性质的应用．难点：由杨辉三角发现二项式系数的性质以及性质的证明四、教学过程复习引入：由学生集体回忆前面学过的相关知识：（1）二项式定理；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数【设计意图】通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。

探究一：计算ab n展开式的二项式系数并填入下表:回答：每一行的第一个数和最后一个均为1；每一行的数据都是对称的，即每一行与首末两端等距离的两项二项式系数相等教师引导学生将这些性质在组合数的体现上回答出来，即C n0=C n n=1；C n m=C n n−m这样的表格并不能很好的体现对称性，于是重新对称排列表格，引出“杨辉三角”【设计意图】学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：如何排表更方便观察呢？借此自然的引出“杨辉三角”探究二：杨辉三角将表格中的系数变换一种形式得到杨辉三角ab1………………………………………………………1 1ab2…………………………………………………1 2 1ab3 ……………………………………………1 3 3 1ab4 ……………………………………1 4 6 4 1ab5……………………………… 1 5 10 10 5 1ab6 …………………… 1 6 15 202115 6 1这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似的表。

数学新导学同步选修2-3课件：第8课时杨辉三角

点评 1.本题根据问题恒等式的特点采用 “特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式． 2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
2 新视点·名师博客类型一与杨辉三角有关的问题【例 1】 (1)如图所示，满足如下条件： ①第 n 行首尾两数均为 n. ②表中的递推关系类似杨辉三角．则第 10 行的第 2 个数是__________．第 n 行的第 2 个数是 __________．
1 22 343 4774 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当 n
是奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值.
知识点三二项式系数的和
1.C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. 2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1.
讲重点对二项式系数性质的三点说明 1．对称性：源于组合数的性质 Crn＝Cnn－r. 2．最大值：当 n 是偶数时，(a＋b)n 的展开式共 n＋1 项，n＋1 是奇数，这时展开式的形式是
变式训练 3 求(1＋2x)7 的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．
解析：在二项式系数 C70，C71，C72，…，C77中，最大的是 C37与 C47，故二项式系数最大项是第 4 项与第 5 项，即 T4＝C73(2x)3＝280x3 与 T5＝C74(2x)4＝560x4.
设第 r＋1 项的系数最大，则由TTrr＋＋11≥≥TTrr，＋2 ⇒

2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课时训练： 08杨辉三角 Word版含解析

课时训练 08 杨辉三角
(限时：10 分钟) 1．在(a＋b) 的展开式中，第 2 项与第 6 项的二项式系数相等，则 n＝( ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A 2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( ) A．11 B．10 C．9 D．8 答案：D 1 3．若x＋xn 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为( ) A．10 B．20 C．30 D．120 答案：B 1 4．设5x－ n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和 x M 为 N，若 N ＝32，则展开式中 x2 的系数为__________．答案：1 250 5．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a5. (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|. (3)求 a1＋a3＋a5. 解析：(1)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令 x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 因为偶数项的系数为负，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由 a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得 2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
答案：10 7．(1－2x)7 展开式中系数最大的项为________．解析：展开式共有 8 项，系数最大的项必为正项，即在第 1,3,5,7 这四项中取得．又因(1－2x)7 括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较 T5 和 T7 两项系数大小即可． 4 3 T5的系数 C7 －24 C7 ＝ 6 ＝ 1 ＞1， T7的系数 C7 －26 C7 ×4 所以系数最大的项是第 5 项， 4 即 T5＝C7 (－2x)4＝560x4. 答案：560x4 1 2 m * 8．计算 C0 n＋3Cn＋5Cn＋…＋(2n＋1)Cn ＝________(n∈N )． 0 2 n 解析：设 Sn＝Cn ＋3C1 n＋5Cn＋…＋(2n＋1)Cn，则－1 0 1 n Sn＝(2n＋1)Cn ＋(2n－1)Cn ＋…＋3Cn n ＋Cn， 1 n 所以 2Sn＝2(n＋1)(C0 2n， n＋Cn＋…＋Cn)＝2(n＋1)· 所以 Sn＝(n＋1)· 2 n. 答案：(n＋1)· 2n 三、解答题 1 9．已知4＋2xn 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，求展开式中二项式系数最大的项的系数． 1 1 2 解析：由 C0 n＋Cn＋Cn＝37，得 1＋n＋ n(n－1)＝37，得 n＝8. 2 1 ＋2x8 的展开式共有 9 项． 4 14 35 4 35 4 其中 T5＝C4 x ，该项的二项式系数最大，系数为 84 (2x) ＝ 8 8. 10．设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0. (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100. (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99. (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解析：(1)令 x＝0，则展开式为 a0＝2100. (2)令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100，(*) 所以 a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100.＝ 2 ＝－121.

2018年数学同步优化指导选修2-3课件：1-3-2 “杨辉三

1 2 1 2 1 2 1 ＝(C2 2＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C9＋C9) 2 2 2 ＝(C2 ＋ C ＋ C ＋…＋ C 2 3 4 9)＋(2＋3＋…＋9)
8×2＋9 3 ＝C10＋＝164. 2
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路： (1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．
杨辉三角与二项式系数的性质
1.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项 (1) 通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．
n－m m m m－1 (2)注意二项式系数性质 Cm ＝ C ， C ＝ C ＋ C 的应＋ n n n 1 n n
m m 提示：对称性，因为 Cn ＝Cn n .
－
Ck n (2)计算 k－1，并说明你得到的结论． Cn
n－k＋1 n＋1 Ck Ck n n 提示： k－1＝ k .当 k< 2 时， k－1>1，说明二项式系 Cn Cn n＋1 数逐渐增大；同理 k> 2 ，二项式系数逐渐减小．
与杨辉三角有关的问题
3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．解析：(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．答案：n＋1
2 1n 4 ．若 x ＋x3
展开式的各项系数之和为 32 ，则 n ＝
1．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 ________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》3

杨辉三角教学设计
安丘市第一中学崔振富
教学目标：
【知识与技能】：
（1）了解杨辉及杨辉三角形；
（2）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；
（3）初步认识杨辉三角中行列数字的特点及规律，能根据杨辉三角形对二项式进行展开。

【过程与方法】：
（1）通过复习多项式乘以多项式法则以及完全平方公式，使学生利用已有知识探究新知识；
（2）通过定理的发现推导提高学生的观察、比较、分析、概括的能力。

【情感与态度】：
（1）培养学生善于探究和交流的团队合作意识；
（2）鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。

同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。

教学重点：
理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。

教学难点：
杨辉三角规律的探究与二项式系数性质的应用。

教学过程：。

人教B版高中数学高二选修2-3预习导航 1.3.2杨辉三角

预习导航
杨辉三角与二项式系数的性质
(a ＋b )n 展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以单独列成下表的形式：
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，在欧洲称为“帕斯卡三角”．从杨辉三角表，可以看出二项式系数具有下面的性质：
(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．事实上，设表中任
一不为1的数为C r n ＋1，那么它“肩上”的两个数分别为C r －1n 和C r n ，由组合数的性质，有C 0n ＝1，C n n ＝1，C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等．
(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项+1
2n T 的二项式系数最大；如
果n 是奇数，那么其展开式中间两项12n T +与11
2n T ++的二项式系数相等且最大．
(4)二项展开式的二项式系数的和等于2n .
在(1＋x )n ＝C 0n x n ＋C 1n x n －1＋C 2n x n －
2＋…＋C n n x 0中，令x ＝1，则C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . 思考1杨辉三角的第n 行数字规律与二项展开式有何联系？
提示：杨辉三角的第n 行数字规律是二项式(a ＋b )n 展开式的二项式系数．
思考2如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和？
提示：通常利用赋值法．。

高中数学课时分层作业8杨辉三角人教B版选修2_3

课时分层作业(八) 杨辉三角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项【解析】第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．【答案】 B2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n－12C ．2n ＋1D ．3n＋12【解析】令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D ．【答案】 D4．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值为( ) A.1285 B ．2567C.5125D ．1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A 5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.【答案】－17．若n 是正整数，则7n＋7n －1C 1n＋7n －2C 2n＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n－C nn ＝8n－1＝(9－1)n－1＝C 0n 9n(－1)＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.【解析】根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358.[能力提升练]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19……A ．91B ．101C ．106D ．103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】 54．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．【解】(1)由已知C1m＋2C1n＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C2m＋22C2n＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)·⎝⎛⎭⎪⎫11－m2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫m－2142＋35116.因为m∈N＋，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》7

课题研究教学案例学科数学课节杨辉三角姓名吴瑞丽教学内容课前预习，温故知新教学目标自主复习二项式定理核心问题复习二项式定理问题解决问题情境设计意图预习案1二项式定理()na b+= ______二项展开式的通项______二项式系数______2(1)n x+=_______3完成()na b+展开式()6,5,4,3,2,10，=n的二项式系数，并抽象出二项式系数表，当n取正整数时可以单独列成下表的形式（请补全下表）思考：思考：1()na b+展开式的二项式系数与“杨辉三角”的第n行有什么关系？3.分别作出时和65==nn，第n行的第r个数记为()r f，请画出函数()r n Crf=的图象从学生已有二项式定理的知识及二项式系数的运算出发让学生通过填表发现二项式系数具有一定的规律。

同时也让学生发现，这样的表格不利于发现二项式系数的其它性质，由此引发思考通过对学生已有的相关知识的调动，对本节课的学习起到承上启下的作用。

让学生自己发现规律，培养创新意识和发散思维如何对表格进一步整理，得到更方便观察二项式系数的数字规律的表格，由此自然引出“杨辉三角”。

教学过程——环节（2）教学内容新课引入与探究一教学目标了解中国古代数学成就，探究并归纳杨辉三角的性质核心问题归纳杨辉三角的性质问题解决问题情境设计意图介绍中国古代数学成就根据动画演示，总结杨辉三角的性质，并用字母表示介绍中国古代最早的数阵，杨辉三角的发现与提出，明确首位提出杨辉三角的是北宋数学家贾宪，比法国数学家帕斯卡早了将近500年。

由分别作出时和65==nn，第n行的第r个数记为()r n Crf=，请画出函数()r f的图象，得出杨辉三角的对称性，单调性，最值。

介绍中国古代数阵研究的开始及发展，介绍杨辉三角，激发学生的爱国情怀。

数学思想：1.函数与方程2.从特殊到一般3.分类讨论但是这未必符合一般规律，所以教师用动画演示，根据完全归纳法得出杨辉三角的数字关系。