24转动刚体的角速和角加速解析
转动惯量与角动量
转动惯量与角动量转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量，它们之间存在着密切的关系。
本文将介绍转动惯量和角动量的定义、计算公式以及它们之间的相互关系。
一、转动惯量的定义和计算公式转动惯量是描述刚体对转动的惯性大小的物理量。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量与质量的分布以及旋转轴的位置有关。
转动惯量的计算公式如下：I = ∫r²dm其中，I表示转动惯量，r表示质点到旋转轴的距离，dm表示质点的质量微元。
对于连续体，转动惯量可以通过对质量微元的积分来求得。
二、角动量的定义和计算公式角动量是描述刚体在旋转运动中旋转状态的物理量。
它的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角速度是描述刚体旋转角度改变的快慢程度的物理量。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间的关系可以由角动量定理来说明。
根据角动量定理，刚体所受合外力矩的变化率等于刚体的角动量。
τ = dL/dt其中，τ表示合外力矩，dL/dt表示角动量的变化率。
将角动量的定义代入上式得到：τ = d(Iω)/dt对上式进行求导，得到：τ = Iα其中，α表示角加速度。
由此可见，转动惯量与角动量之间存在线性关系，转动惯量越大，角动量的变化率越小。
四、应用举例1. 陀螺陀螺是一种利用转动惯量和角动量原理运动的玩具。
陀螺转动时，由于转动惯量的存在，它能够保持稳定的旋转状态，称为陀螺的进动。
进动现象是由于陀螺的角动量在地球重力的作用下发生变化。
2. 地球自转地球自转是地球沿着自身轴心旋转运动。
地球的自转轴决定了地球的转动惯量，也影响着地球的气候和地理现象。
地球的自转周期为大约24小时，使得地球上的一天分为白天和黑夜。
3. 运动员旋转在体育竞技中，某些项目需要运动员进行旋转动作。
运动员在旋转时，身体的转动惯量会影响旋转速度和稳定性。
通过调整身体的姿势和肌肉的协调运动，运动员可以实现更稳定和高效的旋转动作。
综上所述，转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量。
定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
刚体动力学中的角速度和角加速度
刚体动力学中的角速度和角加速度角速度和角加速度是描述刚体旋转运动的重要物理量。
在刚体动力学中，角速度表示刚体围绕旋转轴旋转的速度，而角加速度则表示刚体旋转速度的变化率。
本文将介绍角速度和角加速度的定义及计算方法，并探讨它们在刚体动力学中的应用。
一、角速度的定义和计算方法在刚体动力学中，角速度表示刚体绕某一旋转轴旋转的快慢程度。
我们可以将刚体的任意一点看作旋转轴，通过旋转轴指向的方向来定义角速度的正负。
角速度的计算公式如下：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示角度的改变量，Δt表示时间的改变量。
角速度的单位通常是弧度/秒(rad/s)。
二、角加速度的定义和计算方法角加速度表示角速度的变化率，即角速度的改变快慢程度。
我们可以通过角速度随时间的变化率来定义角加速度。
角加速度的计算公式如下：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示角速度的改变量，Δt表示时间的改变量。
角加速度的单位通常是弧度/秒²(rad/s²)。
三、角速度和角加速度的应用角速度和角加速度在刚体动力学中具有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景。
1. 轮胎的滚动问题：在车辆行驶过程中，轮胎的滚动是刚体的旋转运动。
通过计算轮胎滚动的角速度和角加速度，我们可以研究车辆的操控性能、轮胎磨损情况等。
2. 飞行器的操纵：在飞行器的操控过程中，熟练掌握角速度和角加速度对飞行器的稳定性至关重要。
通过计算飞行器的角速度和角加速度，我们可以预测和控制飞行器的姿态。
3. 自转天体的运动：恒星、行星等自转天体的运动也可以通过角速度和角加速度进行描述。
通过观测和计算恒星的角速度和角加速度，我们可以了解天体的运动规律、自转周期等重要信息。
4. 陀螺仪和陀螺仪导航系统：陀螺仪是基于刚体旋转原理工作的重要仪器，广泛应用于导航、惯性测量等领域。
通过测量陀螺仪的角速度和角加速度，可以获得可靠的导航信息。
通过对角速度和角加速度的研究，我们可以更好地理解刚体旋转运动的规律，并应用于各个领域中。
角加速介绍
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
11
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速 度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动 的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动 的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？
三、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
1.位移与角位移之间的关系
位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质
点的运动。
9
5.匀变速转动的计算公式
1.特点： 1.角加速度为一常量 β C
2.定轴转动。
3.初始条件： t 0时
2.匀变速转动公式
0 0
由
d
dt
有：d dt 两边积分
d
0
t
dt
0
0 t 0 t （1）
由 d
dt
有：d dt
刚体运动的描述
1
一、刚体运动的基本形式
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各 种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
刚体的平动是指刚体在运 动过程中其中任意两点的连 线始终保持原来的方向（或 者说，在运动的各个时刻始 终保持彼此平行）。
特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。
方向：满足右手定则，沿刚体 转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角速度的方向只有两个，在表示角 速度时只用角速度的正负数值就可表 示角速度的方向，不必用矢量表示。
ω
7
4.角加速度 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
t到t+Δt时刻，刚体角速度的增量为：
刚体转动的角速度和角加速度
刚体转动的角速度和角加速度
角速度和角加速度是指一个刚体围绕自身轴线旋转时的角速度和角加速度，它们是力
学上一个重要的基本概念，可用来理解刚体运动和受力问题，引出它们的定义也是物理学
课程中学习运动学的重要知识。
角速度指的是刚体每秒绕自身轴线转动的圈数，用弧度每秒的单位来表示，一般符号
表示为ω，因为一般情况下，刚体一秒之内运动角度和角速度之间可以直接表达，所以角速度和角度之间也可以直接表达，常用弧度制表示，把它和角度分别写两个大写字母表示。
角加速度是指刚体在单位时间内绕自身轴线旋转改变角速度所受到的力，一般用角单
位/秒的平方表示，符号表示为α，它和角加速度也可以看做是线性加速度的旋转形式，
表示的是每平方秒所旋转的弧度。
角速度和角加速度的关系可以用微分方程表达，即ω=α· t，其中，t是持续时间。
另外，角速度和角加速度还可以用矩阵形式定义，即ω转矩为α分子· I·ω，其中，
I为轴心的惯性矩，其意义与梯度表示的动量类似。
最后，可以运用力学原理求解角速度和角加速度，同时可以用梯度乘以惯性向量，以
及线性动量求解角速度和角加速度，作为包装应用到更多力学中，使得研究刚体动力学变
得更加简单。
1掌握描述刚体定轴转动的角位移角速角加速等物理量重点
M
r
F
I z dmiri2
当刚体质量连续分布 I r2dm
组合体的转动惯量 I I1 I2 I3 ... Ii
3 .刚体的定轴转动定律
4. 力矩的功 转动动能
d
M I I
dt
A
2 1
M
Z
d
EK
i
(
1 2
mi
vi2
)
1 I2 2
刚体定轴转动动能定理
A
2
1
M
Z
d
1 2
I22
1 2
I12
EK
机械能守恒定律:只有重力做功时
1 2
I2
m ghC
常量
5. 角动量和冲量矩
刚体的角动量 LZ I
恒力矩的冲量 MZ t
变力矩的冲量
t2 t1
M
Z
dt
6. 角动量定理和角动量守恒定律
A Fdx
EK
1 mv2 2
mv
角位移
角速度 d
角加速度
dt
d
dt
d 2
dt 2
转动惯量J miri2
功
A
2 1
M
Z
d
转动动能
EK
1 J 2
2
角动量
J
功率
P Fv
角功率 P M
课堂讨论题
1.当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上下列说法正确吗?
(1)这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零;
2-4-转动刚体的角速度和角加速度
v dx dt
a d vx dt
a=常数 v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
角坐标 (t)
d
dt
d
dt
=常数 0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
ds rd
ds r d
dt dt
y 1 gt 2 2
消去时间t,可得小球的轨迹方程
y
g 2v02
x2
（2）由速度的分量式得
dx vx dt v0
t时刻，小球的速率
v
dy vy dt gt vx2 vy2 v02 g 2t 2
t时刻，小球的切向加速度
at
dv dt
g 2t v02 g 2t 2
由总加速度得
ax 0
ay g
ag
ax2
a
2 y
at2 an2
所以，法向加速度
an g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
15
d d
dt
dt
a
an
r
at
e t v
v ret
at r an r 2
a ret r 2en
例2-5 一飞轮在时间t内转过角度
a bt2 ct3
求飞轮的角速度和角加速度。
解：由角速度定义得
d 2bt 3ct2
dt
角加速度定义得
d 2b 6ct
dt
例2-6 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形 转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时 其角速度 0 0 ，经过300s后，其转速达到 18000 r min1 .已知转子的角加速度 与时间
2 刚体的定轴转动角速度的概念
dϕ ⋅e ω= e =ϕ dt , 其方向沿固定轴与 角速度 ω 的大小 ω = ω = ϕ
刚体转动方向成右手螺旋关系. 定轴转动刚体的位置用 ϕ 描述 , 运动状态由
亦沿固定 ω 描述 , 运动状态的变化由 ω 描述 , ω 轴而与 ω 共线.
§2-2 刚体的定轴转动
角速的概念
一、刚体的定轴转动 刚体绕固定轴的转动为定轴转动. 刚体做定轴转动时 , 其上的任意一点均绕固 定轴做圆周运动. AB 为固定轴, 过固定轴 作定面和动面,刚体位置用由 定面到动面的角度 ϕ 来描述. 自由度 s = 1 . 二、角速度 定义沿固定轴的单位矢量 e , 其正方向与角度 ϕ 的正方向满足右手螺旋关系 . dt 时间内 , 刚体转 过 dϕ 角度. 定义无限小角位移矢量为 dϕ ⋅ e , 其大小为 dϕ ,其方向 沿固定轴且与 dϕ 的方向成右手 螺旋关系. 定义角速度矢量
由此可得到一个具有普遍意义的 结论:
若矢量 A 的长度不变 , 以 ω 转动 , 则矢量 A 的时间导数 A = ω × A . 结论对 A 的矢尾是否运动没有限制.
根据加速度的定义及 P 点加速度为 a = v = ω × r + ω × r = ω × r + ω × (ω × r )
= Rω = Rϕ ; R ω 前为圆轨道切向加速度, 大小为
后为圆轨道的法向加速度, 其大小为 Rω 2 .
例 求极坐标系的单位矢量导数 er 沿 r 以 ω = θk 转动,
der deθ e = × = − = × = ω θ ω e θ e e θ r θ , 同样 r. 故 dt dt
刚体的角速度和角加速度的矢量表示角速度矢教育课件
三、弧坐标表示法： 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图） 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（右图）
z
y
x
01-5-12
24
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
v lim t 0 t
l i m v j
t 0
t
j s
lim v
t 0
s t
j
s
v lim
lim
t 0 s
t 0 t
(5 18)
v ds r dt
v2 r
c o （ s v , i）
vx v
c o （ s v , j）
vy v
( 5
8)
c o （ s v , k )
vz
v
2、运动加速度： 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定
c o （ s a , i）
ax a
c o （ s a , j）
ay a
( 5
12)
c o （ s a , k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐 标对时间的一阶导数。
t0 t
d dv t d dt22 r
刚体的角动量和角加速度
刚体的角动量和角加速度角动量（Angular Momentum）是刚体运动中的一个重要物理量，它描述了物体绕某一轴旋转的难以改变的特性。
角加速度（Angular Acceleration）则是描述刚体旋转运动加速度的物理量。
在本文中，我们将探讨刚体的角动量和角加速度的定义、计算公式以及其在物理学中的应用。
一、角动量的定义和计算公式刚体的角动量定义为物体质点的动量乘以其到轴的距离，即：L = r × p其中，L表示角动量，r表示质点到轴的距离，p表示质点的动量。
对于非刚体的情况，角动量的定义可以看作是所有质点的角动量之和：L = Σ(r_i × p_i)在力矩作用下，刚体的角动量会发生改变，其改变量与力矩的乘积正比。
对于绕固定轴旋转的刚体，角动量的改变量可以表示为：ΔL = IαΔt其中，ΔL表示角动量的改变量，I表示刚体的转动惯量，α表示角加速度，Δt表示时间间隔。
二、角加速度的定义和计算公式角加速度描述了刚体旋转运动的变化率，它定义为角速度的改变量与时间的比值，即：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示角速度的改变量，Δt表示时间间隔。
对于匀加速旋转的情况，角加速度可以表示为：α = (ω_f - ω_i) / t其中，α表示角加速度，ω_f表示最终角速度，ω_i表示初始角速度，t表示时间。
三、刚体角动量和角加速度的应用刚体的角动量和角加速度在物理学中有着广泛的应用，下面介绍两个应用领域：1. 转动力学刚体的角动量和角加速度是转动力学中的基本概念。
利用角动量守恒定律，可以解释自然界中许多现象，如陀螺的稳定、天体的运动等。
角加速度的概念则能够帮助我们计算物体旋转的加速度，从而更深入地理解物体的运动轨迹。
2. 工程应用刚体的角动量和角加速度在工程学中也有重要应用。
例如，在机械控制系统中，通过控制角加速度可以实现对机械臂、舵机等设备的精确控制。
另外，角动量和角加速度的概念也被应用在动力学分析、运动稳定性研究以及传感器设计等领域。
角加速度表征刚体角速度变化的快慢
旋转运动中的角加速度
在旋转运动中，角加速度是描述旋转运动状态变化的重要物 理量。在匀速旋转运动中，角速度的大小和方向保持不变； 而在变速旋转运动中，角速度的大小和方向会发生变化，此 时就需要用到角加速度来描述这种变化。
角加速度的大小和方向决定了旋转运动状态变化的快慢和方 向。在圆周运动中，角加速度的方向与圆周切线方向一致， 指向圆心；在旋转抛物面运动中，角加速度的方向与旋转轴 线一致，指向旋转轴线。
角加速度在日常生活中的应用
角加速度在日常生活中的应用非常广 泛，例如汽车转向、陀螺仪、洗衣机 等。
VS
在汽车转向过程中，驾驶员施加在方 向盘上的力矩会使车轮产生角加速度， 使汽车发生转向动作。陀螺仪则利用 角动量守恒原理，通过测量和计算角 速度和角加速度来指示方向和保持平 衡。洗衣机则利用角加速度使衣物产 生离心力，从而将衣物甩干。
角加速度的方向变化与外力矩的方向有关，当外力矩作用 在刚体的转动轴上时，角加速度方向不变；当外力矩作用 在刚体的非转动轴上时，角加速度方向会发生改变。
角加速度与线加速度的关联
在刚体的平面运动中，角加速度与线 加速度存在一定的关系。
当刚体做定轴转动时，线加速度为零 ；当刚体做平面运动时，线加速度等 于角加速度乘以半径。
04
角加速度的特性
角加速度的方向性
01
角加速度的方向始终与刚体的转 动轴线一致，表示刚体角速度变 化的方向。
02
当刚体做定轴转动时，角加速度 方向与转动轴线重合；当刚体做 平面运动时，角加速度方向垂直 于运动平面。
角加速公式
角加速公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角加速公式是描述物体在旋转运动过程中角速度随时间变化的数学表达式。
在物理学中，角速度是描述物体旋转速度的量，而角加速度则是描述角速度随时间变化的速率。
通过角加速度公式，我们可以计算出物体在旋转运动中的加速度，从而进一步了解其运动规律及性质。
在力学中，角加速度表示单位时间内角速度的改变量。
当一个物体在旋转运动中，其角速度不断发生变化，这种变化的速率就是角加速度。
通常来说，我们用符号α来表示角加速度，单位是弧度每秒的平方，即rad/s²。
角加速度公式的数学表达式如下：α = Δω / Δtα表示角加速度，Δω表示单位时间内角速度的改变量，Δt表示时间间隔。
一般来说，角速度是随时间变化的，因此角加速度也可以表示为角速度对时间的导数。
在物体旋转运动中，角加速度的方向与角速度的变化方向一致，即如果角速度增加，则角加速度的方向与角速度方向相同，如果角速度减小，则角加速度的方向与角速度方向相反。
在现实生活中，角加速度的概念与角速度的变化息息相关。
当我们开车时，车辆经常会进行转弯。
在转弯的过程中，车辆的角速度会不断发生变化，这个变化的速率就是角加速度。
通过计算车辆的角加速度，我们可以了解车辆在转弯时的运动规律，从而更好地驾驶车辆。
除了车辆转弯这样的日常生活中的应用外，角加速度公式还在工程、航天、物理等领域得到广泛应用。
在航天器发射过程中，需要考虑航天器在升空过程中的加速度情况，确保发射过程平稳、安全。
而在物理学实验中，通过角加速度公式还可以研究物体在不同条件下的运动规律，更深入地了解物体的运动特性。
第二篇示例：角加速度公式是描述物体在转动运动过程中角速度随时间变化规律的数学表达式。
角速度是描述物体围绕某一轴心旋转的速度，而角加速度则是描述角速度随时间变化的快慢程度。
角加速度公式可以帮助我们深入理解物体在转动运动中的动力学特性，同时也为工程设计和科学研究提供了重要的理论支持。
旋转速度越转越快的原理
旋转速度越转越快的原理
旋转速度越转越快的原理主要涉及到动力学和力学的相关知识。
在没有外力作用的情况下，一个物体的旋转速度可以通过角加速度来描述。
角加速度是指单位时间内旋转速度的增加量，它与物体的转动惯量和所受到的外力矩有关。
当一个物体受到一个外力矩时，它会产生一个角加速度，这个角加速度会使物体的旋转速度逐渐增加。
如果外力矩的大小保持不变，物体的角加速度会保持一定的值，从而使旋转速度以一定的加速度增加。
旋转速度越转越快的原理还与物体的转动惯量有关。
转动惯量是一个物体对于旋转运动的惯性大小的度量，它与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。
当物体的转动惯量较小时，同样大小的外力矩会产生较大的角加速度，从而使旋转速度增加得更快。
总结起来，旋转速度越转越快的原理可以归结为：物体受到外力矩的作用，产生角加速度，使得旋转速度逐渐增加。
外力矩的大小和方向以及物体的转动惯量都会影响旋转速度的增加。
物体的转动与角速度
物体的转动与角速度转动是物体相对于某个轴或点进行旋转的运动。
当物体发生转动时，我们关注的一个重要概念是角速度。
角速度是描述物体旋转快慢的物理量，它与时间单位内物体旋转的角度有关。
在学习物体的转动和角速度之前，先来了解一下旋转轴和转动惯量。
旋转轴是物体绕其旋转的轴线。
在质点转动时，旋转轴可以是任意的，而在刚体的转动中，旋转轴通常是物体具有对称性的轴线。
转动惯量是物体抵抗转动的一种性质，也可看作是物体围绕旋转轴转动时的惯性大小。
当一个刚体围绕旋转轴运动时，我们通常将旋转轴出发方向为正方向，刚体绕旋转轴旋转的方向为正方向。
此时，刚体上某一点的速度分解为与旋转轴平行的分量v1和垂直于旋转轴的分量v2。
根据刚体的自转速度v1和绕旋转轴运动时的半径r之间的关系，我们可以推导出刚体上各点的速度之间的关系：v1=rω，其中，ω表示角速度。
角速度的单位是弧度/秒(rad/s)，它表示每秒钟物体旋转的弧度数。
当物体以角速度ω绕旋转轴运动时，旋转轴上任一点的线速度大小都是v1=rω，而线速度的方向则与半径向量r的方向相同。
对于刚体的转动而言，角速度是它的一种重要运动状态。
刚体的转动可以分为匀速转动和变速转动。
当刚体绕旋转轴的角速度大小恒定时，称为匀速转动。
反之，当刚体绕旋转轴的角速度大小随时间变化时，称为变速转动。
对于恒定角速度的匀速转动，它的角速度大小始终不变；而对于变速转动，角速度大小会随时间变化。
在具体计算刚体的角速度时，需要注意旋转轴和转动惯量的方向。
对于旋转轴的方向，我们通常将它定义为正方向；而对于转动惯量的方向，通常将与旋转轴方向相反的方向定义为正方向。
总之，物体的转动与角速度是物理学中的重要概念。
角速度描述了物体旋转的快慢，它与转动惯量和旋转轴之间有着密切的关系。
对于一个刚体的转动而言，角速度可以是恒定的也可以是变化的。
了解和掌握角速度的概念和计算方法对于研究物体的旋转运动以及相关问题具有重要意义。
24转动刚体的角速和角加速解析
d
dt
=常数 0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
ds rd
ds r d
dt dt
d d
dt
dt
a
an r
v ret
et
at v
60
60
由上式得
k
2
t2
2 600
3002
rad gs3
75
(rad gs 3 )
于是，转子的角速度为
t2
150
由角速度定义得 d t2
dt 150
分离变量，代入上下限
d
t
t2dt
0
0 150
积分得
t3
450
在300s内，转子转过的转数为
N (300)3 3104 (圈） 2 2 450
习题2-13 质点作圆周运动，轨道半径r=0.2m,以 角量表示的运动方程为
10 t 1 t 2
2
试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；
（2）第3s末的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）由角速度和角加速度得
角速度
lim d
t t0 dt
转动平面
o r·p
角加速度 d
dt
角加速度的方向：
2
1
定轴转动的特点
1
2
三 刚体的匀变角速转动
当刚体绕定轴转动的角加速度 为恒量时，刚
角速度和转动惯量的关系
角速度和转动惯量的关系
角速度和转动惯量是描述刚体旋转运动的重要物理量之一，它们之间存在一定的关系。
首先，角速度是一个描述物体旋转状态的物理量，它表示物体转动角度在单位时间内的变化率。
它的单位是弧度/秒，通常用符号ω表示。
其次，转动惯量是一个描述物体旋转惯性的物理量，它表示物体在转动运动中对于转动轴的惯性大小。
它的单位是千克·米²，通常用符号I表示。
根据定义可得，角速度与转动惯量之间存在一定的关系。
具体来说，当给定一个物体的转动惯量时，它所需的力矩大小与角速度呈反比关系。
也就是说，转动惯量越大，物体所需的力矩就越大，角速度就越小；转动惯量越小，物体所需的力矩就越小，角速度就越大。
这一关系可以用以下公式表示：
τ= Iα
其中，τ表示物体所需的力矩大小，α表示物体的角加速度大小，I表示物体的转动惯量大小。
这个公式说明了，当物体的转动惯量越大时，所需的力矩也越大，
角速度变化的速率就越慢；反之，当转动惯量越小时，所需的力矩也越小，角速度变化的速率就越快。
总之，转动惯量是影响物体旋转运动的重要物理量之一，它与角速度之间存在一定的关系，通过力矩大小来调节物体的转动惯量大小，从而影响物体的角速度变化率。
角加速度公式
角加速度公式角加速度的公式：α=Δω/Δt=dω/dt。
如果是匀加速运动，就有α=w/t。
角加速度计算公式α=Δω/Δt单位：弧度/秒²；（rad/s²;）平均角加速度转动刚体从瞬时t开始的角速度变化Δω与相应时间间隔Δt的比值称为平均角加速度，即α=Δω/Δt。
瞬时角加速度若Δt→0，则这一比值就称为在瞬时t刚体转动的角加速度，又称瞬时角加速度，记为ε，即ε=limεm)(Δt→0=Δω/Δt=dω/dt)。
是角速度w对时间的微商dw/dt，不是微分dw。
w均匀变化时，角加速度等于角速度的攺变量除以发生攺変所用的时间。
角加速度与线加速度的关系：a=rα，是成正比例关系。
角加速度描述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，线加速度是描述刚体线速度的大小和方向对时间变化率的物理量。
二者关系介绍1、v=rω。
2、dv/dt=ωdr/dt+rdω/dt=rdω/dt(旋转运动r是不变的常量，求导后为0）。
3、线加速度a=dv/dt，角加速度α=dω/dt。
所以他们的关系是a=rα，是成正比例关系。
角加速度与线加速度角加速度：角加速度描述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，在国际单位制中，单位是“弧度/秒平方”，通常是用希腊字母α来表示。
线加速度:线加速度是描述刚体线速度随时间变化的大小和方向的物理量，单位为米/平方秒。
线速度相关公式在匀速圆周运动中，线速度的大小等于运动质点通过的弧长（S）和通过这段弧长所用的时间（△t）的值。
即v=S/△t，也是v=2πr/T，在匀速圆周运动中，线速度的大小虽不改变，但它的方向时刻在改变。
它和角速度的关系是v=ω*rv=ωr=2πrf=2πnr=2πr/T当运动质点做圆周运动的同时也做另一种平动时，例如汽车车轮上的某一定点，此时该质点的线速度为做圆周运动的线速度(w*r)与平动运动的速度(v')的矢量之和：v=w*r+v'v=Δl/Δt角速度公式公式为：ω=Ч/t(Ч为所走过弧度，t为时间）ω的单位为：弧度每秒。
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解：由题意可知，转子的角加速度与时间成正比。
由角加速度得
d kt
dt
分离变量，代入上下限
t
0 d 0 ktdt
积分得
1 kt 2
2
确定比例系数 k, t 300s 时，
2 n 2 18000 radgs1 600 (radgs1)
d 10 t
dt
d
dt
（2）由切向加速度和法向加速度得
at r 0.2 (mgs2 ) an r2 33.8 2 (mgs2 )
习 若题山顶2-为19坐标由原山点顶，上沿以初vr0速方度向vr为0 水x轴平正抛方出向一，小竖球， 直向下为y轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试 求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t时刻，小球的 切向加速度和法向加速度。
2－4 转动刚体的角速度和角加速度
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体 .
一 刚体的平动和转动 ➢ 刚体的平动
➢ 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆 周运动. ➢ 刚体的平面平行运动 .
二 转动刚体的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角位移
(t t) (t)
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
质点直线运动
刚体绕定轴转动
坐标 x = x ( t )
v dx dt
a d vx dt
a=常数 v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
角坐标 (t)
d
角速度
lim d
t t0 dt
转动平面
o r·p
角加速度 d
dt
角加速度的方向：
2
1
定轴转动的特点
1
2
三 刚体的匀变角速转动
当刚体绕定轴转动的角加速度 为恒量时，刚
体做匀角变速转动 .
0 t
N (300)3 3104 (圈） 2 2 450
习题2-13 质点作圆周运动，轨道半径r=0.2m,以 角量表示的运动方程为
10 t 1 t 2
2
试求：（1）第3s末的角速度和角加速度；
（2）第3s末的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）由角速度和角加速度得
解：（1）小球在x轴作匀速直线运动，y轴上作自由
落体运动，即
x v0t
y 1 gt 2 2
消去时间t,可得小球的轨迹方程
y
g 2v02
x2
（2）由速度的分量式得
dx vx dt v0
t时刻，小球的速率
v
dy vy dt gt vx2 vy2 v02 g 2t 2
dt
d
dt
=常数 0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
ds rd
ds r d
dt dt
d d
dt
dt
a
an r
v ret
et
at v
60
60
由上式得
k
2
t2
2 600
300
(rad gs 3 )
于是，转子的角速度为
t2
150
由角速度定义得 d t2
dt 150
分离变量，代入上下限
d
t
t2dt
0
0 150
积分得
t3
450
在300s内，转子转过的转数为
at r an r 2
a ret r 2en
例2-5 一飞轮在时间t内转过角度
a bt2 ct3
求飞轮的角速度和角加速度。
解：由角速度定义得
d 2bt 3ct2
dt
角加速度定义得
d 2b 6ct
dt
例2-6 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形 转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时 其角速度 0 0 ，经过300s后，其转速达到 18000 rgmin1 .已知转子的角加速度 与时间
t时刻，小球的切向加速度
at
dv dt
g 2t v02 g 2t 2
由总加速度得
ax 0
ay g
ag
ax2
a
2 y
at2 an2
所以，法向加速度
an g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2