【河南省】2017届百校联盟4月高考模拟数学年(理科)试题

【解答】解：双曲线 C： ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x，
由|OM|=a， 即有 M（﹣acos∠MOF，asin∠MOF），
即为 tan∠MOF= ，sin2∠MOF+cos2∠MOF=1，
河南省 2017 年 4 月百校联盟高考模拟数学（理科）试卷
答案
1-5．BACCA
6-10．DCAAB
11~12．BC
13． 3sin( π x π) 36
14． 3 5
15． y 6 (x 2) 6
16．[1 , ) 2
17．解：（Ⅰ）∵
a2

8, Sn

an 1 2

n
1．
BP
DP DE

0 0
，∴
2(2 2(2

2) 2 0 2 2) 2(2 2)

2(2


)

0
，
0
解得


2 3
，即
DP

2 3
DE
．
∴ P 是线段 DE 上靠近 E 的三等分点．
20．解：（Ⅰ）由题意可知：离心率 e c 2 , a a2
），位于第一象限．
故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3．【考点】2J：命题的否定． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即命题的否定是：￢p：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命 题是解决本题的关键．比较基础．
∵ DE (2,2,2), DF (2,0,1) ，
又 BD (2,2,0), DP DE DF (2,2,2) (2,2,2 ) ，
∴ BP BD DP (2 2 2,2 2,2 ) ，
∵
BP
x1lnx1＜
2x0 x1 e2 x0 x1
，故
x1
2
x2 ＞x0 ．
22．解：（Ⅰ）直线
l
的参数方程为
x

1

2t
(t为参数) ，普通方程为 3x 2 3y 9 0 ，极坐标方程
y 3 3t
为 3 cos 2 3 sin 9 0 ，
∴n

2, an

Sn

Sn1

an 1 n 1 ( an
2
2
n)
，化为： an1
3an
2，
∴ an1 1 3(an 1) ，∴数列{an 1} 是等比数列，第二项为 9，公比为 3．
∴ an 1 9 3n2 3n ．
∴ an 3n 1．
（Ⅱ）
lnx

1
x2 e2x0 x
x0
1 lnx
1 e2x0 x

2x0 x e2x0 x
．
记 （t）
t et
，
（ t）
1 et
t
，当 t （0,1）时，（ t）＞0 ， t （1,）时，（ t）＜0 ．
故（t）的最大值 1 ． e
而 （t）＞0
，故
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∵ DF 5,CE 2 2, BC 2 ， ∴ D(2,0,0), E(0,2,2), F(0,0,1)C(2,2,0) ， DE (2,2,2), DF (2,0,1), DC (0,2,0) ，
设平面 DEF 的法向量 n (x, y, z) ，
0＜（t）
1 e
，而
2x0﹣x＞0
，从而

1 e

2x0 x e2 x0 x
＜0
，
因此，当
h（ x）
1

lnx

1
x2 e2x0 x
x0
1 lnx
1 e2x0 x

2x0 x e2x0 x
＞1﹣1 e
＞0
，即
（h x）单调递增．
从而，当1＜x＜x0 时， （ h x）＜（ h x0） 0 ，即
）上单调递减，
故可证 m（x2）＜m（2x0﹣x1），又由 m（x1） m（x2），即证 m（x1）＜m（2x0﹣x1），
即
x1lnx1＜
2x0 x1 e2 x0 x1
，
记 （h x） xlnx﹣2ex20x0x1x1 ，1＜x＜x0 ，其中 （h x0） 0 ，
h（ x）
1

设
g（x） lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
1 x
， g（ x）
1 x

1 x2

x 1 ， x2
由 g（ x）＞0 ，得 x＞1， g（x）在（1, ）上单调递增；
由 g（ x）＜0 ，得 0＜x＜1， g（x）在（0,1）上单调递减．
g（x）min g（1）1． a 1，则实数 a 的最大值为 1；
b2 a2 c2 c2 ，
将 (1,
2) 2
代入椭圆方程：
x2 2c2

y2 c2
1，
2c ，
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解得： c 1，
则 a 2,b 1， ∴椭圆的标准方程： x2 y2 1 ；
2 （Ⅱ）椭圆的右焦点 F(1,0) ，设直线 AM 的方程是 x my 1，与 x2 y2 1 联立，
解析
1．【考点】1J：Venn 图表达集合的关系及运算． 【分析】根据图所示的阴影部分所表示的集合的元素属于集合 A 但不属于集合 B，即求 A∩B，根据交集的 定义和补集的定义即可求得 【解答】解：阴影部分所表示的集合为 A∩B，
A={x|2x2﹣7x+3＜0}=（ ，3），
B={x∈Z|lgx＜1}={x∈Z|0＜x＜10}， A∩B={1，2}， 那么满足图中阴影部分的集合的元素的个数为 2， 故选 B 【点评】本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力和分析问题的能力，属于基 础题． 2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
∴估计该分店在此次抽奖活动结束时送出 1 140 200 2 140100 4 14010 8 800 元奖品．
7
7
7
19．解：（Ⅰ）∵底面四边形 ABCD 为正方形， AF AB, AF∥BE,平面ABEF 平面ABCD ，
∴ AF 底面ABCD ，
以 A 为原点， AD 为 x 轴， AB 为 y 轴， AF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
．
n
18．解：（Ⅰ） x 4, y 11,bˆ
xi yi nx y
i 1
n
xi2

2
nx

364 7 4 11 2, aˆ 140 7 42
y bx 11 4 2 3 ，
i 1
∴ yˆ 2x 3；
（Ⅱ）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续 10 天，参加抽奖活动的人数为 77 19 21 23 140
曲线 C 的极坐标方程是 sin2 3cos 0 ，即 sin2 3cos ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2 3x ；
（Ⅱ）两极坐标方程联立，可得 2 sin2 2 3 sin 9 0 ，∴ sin 3 3或 3 ，即 y 3 3 或 3 ，
1 ．
m2 1
2 于是 △AMN 的面积 S 2SOAM | MN | d
2(m2 1) 2
m2 2
2
m2
1
1 m2 1

2
．
∵
m2
1
1 ≥2 m2 1
，∴ △AMN
的面积
S≤2
2 22
2 ．当且仅当即 m 0 时取到最大值
2．
21．（Ⅰ）解：由 x（ f x） ax﹣1，得 a lnx 1 ， x
2 3n an an 1

(3n
2 3n 1)(3n1
1)

1 3n 1

1 3n1 1
．
2 3n ∴数列{ }的前
an an 1
n
项和 Tn

(1 3 1

1
32
) 1

1 (32 1

1
33
) 1
...
1 (3n 1

1
3n1
) 1

1 2

1 3n1 1
2 可得 (m2 2) y2 2my 1 0 ，
设 A(x1, y1), M (x2, y2 ) ，则 x1 my1 1, x2 my2 1 ，
于是 | AM |
1 m2 | y1 y2 | 2
2(m2 1) ，点 O(0,0) 到直线 MN 的距离 d m2 2
则
n
DE 2x 2y 2z 0 ，取 x 1 ，得 n (1, 1,2) ，
n DF 2x z 0
设平面 DEC 的法向量 n (a,b,c) ，
则
m
DE 2a 2b 2c 0 ，取 a 1，得 n (1,0,1) ，
∴ x 9或1，∴交点坐标为 (9,3 3)或(2, 3)
∴直线 l 与曲线 C 交点的极坐标为 (6 3, π)或(2, 5π) ．
6
3
23．（Ⅰ）解：因为| x 3| | x 1|≥(x 3) (x 1) 4
当且仅当 3≤x≤1时，等号成立， 所以 f (x) 的最小值等于 4，即 m 4 ，
令 r=3，得 x3 项的系数为 •23•（﹣1）=﹣160；
令 r=4，得 x2 项的系数为 •22•1=60；
∴（3﹣2x﹣x4）（2x﹣1）6 的展开式中，含 x3 项的系数是 3×（﹣160）﹣2×60=﹣600. 故选：C． 【点评】本题考查了二项式的性质和应用问题，也考查了二项式定理的灵活应用问题． 5．【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用同角的三角函数关系式，求得 M 的坐标，再由直线的斜率公式， 化简可得 a，b 的关系，即可得到所求渐近线方程．
m DC 2b 0
设二面角 F DE C 的大小为 ，由图形知 为钝角，
则 cos | m n | 3 3 ， |m| |n| 6 2 2
∴ 5π ， 6
∴二面角 F DE C 的大小为 5π ． 6
（Ⅱ）设 DP DE DF ，
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4．【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】根据题意知（3﹣2x﹣x4）（2x﹣1）6 的展开式中， 含 x3 项的系数是（2x﹣1）6 的展开式 x3 项系数的 3 倍， 减去（2x﹣1）6 的展开式 x2 项系数的 2 倍； 利用二项展开式的通项公式计算即可． 【解答】解：（3﹣2x﹣x4）（2x﹣1）6 的展开式中， 含 x3 项的系数是（2x﹣1）6 的展开式 x3 项系数的 3 倍， 减去（2x﹣1）6 的展开式 x2 项系数的 2 倍； 又（2x﹣1）6 展开式的通项公式为 Tr+1= •（2x）6﹣r•（﹣1）r，
f (a) m ，则实数 a 的取值集合为{a | 3≤a≤1} ；
（Ⅱ）证明： p2 2q2 r2 4≥2 pq 2qr ，
∴ pq qr≤2 ，即 q( p r)≤2 ，当且仅当 p q r 时取等号．
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河南省百校联盟 2017 年 4 月高考模拟数学（理科）试卷
（Ⅱ）证明：设（x, y）为 F（x）的图象上任意一点，
则点（y, x）为函数
（f x）图象上的点，F（x） ex ，则 lnx0

1 x0
，
当1＜x＜x0 时， m（x） xlnx ， m（ x）1 lnx＞0 ，因而 m（x）在（1，x0）上单调递增；
当 x＞x0 时， m（x）
x ex
【分析】设 z=a+bi（a，b∈R），代入（ + ）（1﹣2 i）=5﹣ i，利用复数代数形式的乘除运算化
简后利用复数相等的条件列式求得 a，b 的值得答案． 【解答】解：设 z=a+bi（a，b∈R），
则由（ + ）（1﹣2 i）=5﹣ i，得
，
即
，
得
，解得 a= ，b= ．
∴在复平面内，复数 z 所对应的点的坐标为（
，
m（ x）
1 ex
x
＜0
，因而
m（x）在（x0
,
）上单调递减．
又 m（x1） m（x2）（x1＜x2），则 x1 （1，x0），x2 （x0， ）
显然，当
x2


时，
x1
2
x2
＞x0
．
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要证
x1
2
x2
＞x0
，即证
x2＞2x0﹣x1＞x0
，而
m（x）在（x0，