广东省东莞市教育局教研室2019学年高二上学期教学质量自查试题(数学文A)

2019学年度第一学期期末教学质量检查
高二文科数学A 卷
考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为,,a b c ，0
075,60,8===C B a ,则=b
A. 64
B. 34
C. 24
D.332
2．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是
A ．若a =0或b =0,则ab =0
B ．若0≠ab ，则0≠a 或0≠b
C ．若0≠a 且0≠b ,则0≠ab
D ．若0≠a 或0≠b ，则0≠ab 3．设c b a >>,则下列不等式一定成立的是
A.c b c a >
B.ac ab >
C.
c b a 111<< D.c b c a ->- 4．已知
{}n a
是等比数列，141a a ==，3a =
A.2±
B.2
C.2-
D.4
5．抛物线2
3y x =的焦点坐标是
A ．3(,0)4
B ．3(0,)4
C ．1(,0)12
D ．1(0,)
12
6．已知等差数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，若
45
18a a =-，则
8
S 等于
A ．72
B ．54
C ．36
D ．18
7．在平面直角坐标系中，不等式组,040
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥+-≥+a
x y x y x （a 是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为
A ．223+
B ．－223+
C ．－5
D ．1
8．若函数
m mx mx x x f 3)(2
3++-=在)1,0(内有极大值，无极小值，则
A. 0<m
B. 3<m
C. 3>m
D. 30<<m 9．如图，椭圆与双曲线有公共焦点1F 、2F ，它们在第一象限
的交点为A ,且21AF AF ⊥，0
2130=∠F AF ，则椭圆与双曲
线的离心率的倒数和为
A ．23
B ．3
C ．2
D ．1
10．某商场对某种商品搞一次降价促销活动，现有四种降价方案.方案Ⅰ：先降价x %,后降
价y %；方案Ⅱ：先降价y %,后降价x %；方案Ⅲ：先降价2y x +%,后降价2y
x +%；方案
Ⅳ：一次性降价)(y x +%（其中50,0<<y x ）.在上述四种方案中，降价最少的是 A ．方案Ⅰ B ．方案Ⅱ C ．方案Ⅲ D ．方案Ⅳ
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）
11．如果方程22
112x y m m +=++表示双曲线，那么m 的取值范围是 。

12．用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数
n
a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以_____.
13．若直线10(0,0)ax by a b +-=>>始终平分圆
22220x y x y +--=的周长，则ab 的 最大值是_____________.
14．已知函数)
0(1223
31)(223<++-=a x a ax x x f ，则函数)(x f 的单调递减区间
为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分） 已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．
（1）求边长a 的值； （2）若
A
S ABC sin 3=∆，求角A 的余弦值．
16．（本小题满分13分）
已知
1
:2123x p --≤-
≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条
件，求实数m 的取值范围.
17. （本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S
，且满足4510
()15S S ≥⎧*⎨
≤⎩，
（1）试用d a ,1表示不等式组)(*，并在给定的坐标系中用阴影画出不等式组表示的平面区域； （2）求
4
a 的最大值，并指出此时数列
{}n a 的公差d
18．（本小题满分14分） 已知等差数列
{}n a 的公差d 大于
0,且
5
3,a a 是方程045142
=+-x x 的两根，数列{}n b 的
前n 项的和为
n
S ，且
*1()2n
n b S n N -=
∈．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）记
n n n b a c ⋅=,求证：
n
n c c ≤+1；
（第17题图）
（3）求数列
{}n c 的前n 项和．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆方程为162
2=+b y x （40<<b ），抛物线方程为
by x 42
=．过抛物线的焦点作y 轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为A ，抛物线在点A 的切线经过椭圆的右焦点F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设P 为椭圆上的动点，由P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，且直线PQ 上一点M 满足||||MQ PQ λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 20.（本小题满分14分）
已知函数2
2)(x x f =，x a x g ln )(=（0>a ）.
（1）当16=a 时，试求函数)()()(x g x f x F -=在]3,1[上的值域；
（2）若直线l 交)(x f 的图象C 于B A ,两点，与l 平行的另一直线/
l 与图象C 切于点M .
求证：B M A ,,三点的横坐标成等差数列；
2019学年度第一学期期末教学质量检查 高二文科数学（A 卷）参考答案
15．（本小题满分12分）
解：（1
）根据正弦定理，sin sin B C +=
可化为b c +=． …………3分
联立方程组1)
a b c b c ⎧++=+⎪⎨
+=⎪⎩，解得4a =． …………5分
所以，边长4a =． …………6分 （2）
3sin ABC S A
∆=，
∴1
sin 3sin 62bc A A bc ==，． …………9分
又由(1)
可知，b c +=
∴
22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===
． …………11分 因此，所求角A 的余弦值是31
． …………12分
16．（本小题满分13分）
解：由
1
:2123x p --≤-
≤得210x -≤≤； …………3分
∴p ⌝：2x <-或10x >； …………4分
由
22
:210(0)q x x m m -+-≤>得1m x m -≤-≤， 即11m x m -≤≤+ …………7分q ⌝：
1x m <-或1x m >+. …………8分
∵q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，
∴11012m m +≤⎧⎨
-≥-⎩
， …………11分 解得3m ≤. …………12分 经检验，实数m 的取值范围是(]0,3.
…………13分
17．（本小题满分13分）
解：（1）由已知451015S S ≥⎧⎨≤⎩有11
434102
545152a d a d ⨯⎧
+≥⎪⎪⎨
⨯⎪+≤⎪⎩， …………2分
化简得11235
23
a d a d +≥⎧⎨
+≤⎩. …………3分
在平面直角坐标系1a od
中，根据不等式组画出可行域（阴影部分）.…………7分
（2）目标函数为
413a a d
=+
由1123523a d a d +=⎧⎨
+=⎩得交点(1,1)A .……9分
由图知当直线
413a a d
=+过点(1,1)A 时，
纵截距4
3a 最大， ……………11分
此时，数列{}n a 的公差1d =，4a 的最大值为4.
……………13分
18．（本小题满分14分）
解：（1）∵a3，a5是方程045142
=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d >0，
∴a3=5，a5=9，公差.2353
5=--=
a a d ……………2分
∴
.
12)5(5-=-+=n d n a a n ……………3分
又当n =1时，有
1
1112b b S -==
，
11
3b ∴=
. ……………4分
当
)(21
,211n n n n n b b S S b n -=-=≥--有时，
).2(3
1
1≥=∴
-n b b n n ……………5分
∴数列{
n
b }是首项
113b =
，公比1
3q =
等比数列，
∴
111.
3n n n b b q -==
……………6分 （2）由（1）知
11
2121
,,33n n n n n n n n c a b c ++-+==
= ……………8分
∴11121214(1)
0.333n n n n n n n n c c ++++---=-=≤
∴
.
1n n c c ≤+ ……………10分
（3）
21
3n n n n n c a b -==
，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，
12313521...3333n n n T -=
++++ （1）
13n T ∴= 2
3411352321...33333n n n n +--+++++ (2 ) ……………12分 (1)(2)-得：
2312122221...333333n n n n T +-=++++-=2311111212(...)33333n n n +-++++-
化简得：
1
13n n n T +=-
. ………………14分
19. （本小题满分14分）
解：（1）抛物线的焦点为),0(b ，过抛物线的焦点垂线于y 轴的直线为b y =.
由⎩⎨
⎧==b y by x 42得点A 的坐标为),2(b b . ………………2分
由
by x 42=得2
41x b y =
，
∴
x b y 21/=
，故1|2/
==b x y . ………………3分
∴抛物线在点A 的切线方程为b x b y 2-=-，即0=--b y x . …………4分 又由椭圆方程及40<<b 知，右焦点F 的坐标为)0,6(b -. …………5分
00b -=，解得2=b . ………………7分
∴椭圆方程为1262
2=+y x ，抛物线方程为
y x 82
=． ………………8分 （2）设点P 的坐标为
)
,(00y x ，点M 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为)0,(x ,且
x
x =0，
y
y λ±=0.由已知知0>λ. ………………10分
将其代入椭圆方程得
126
2
2
2=+λy x . ………………11分
当
33=
λ，即22
6λ=时，点M 的轨迹方程为62
2=+y x ，其轨迹是以原点为圆心，半
径为6的圆； ………………12分
当
330<
<λ，即2
2
6λ<时，点M 的轨迹方程为
126
2
2
2=+λy x ，其轨迹是焦点在y 轴上
的椭圆； ………………13分
当
33>
λ，即2
2
6λ>时，点M 的轨迹方程为
126
2
2
2=+λy x ，其轨迹是焦点在x 轴上的
椭圆. ………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）解：当16=a 时，函数
x x x F ln 162)(2
-=（0>x ）. 易知
x x x F 164)(/-
=，令0)(/
=x F ，即016
4=-x x ，解得2=x .………1分
在区间)2,1(上，0)(/<x F ，∴函数)(x F 在)2,1(上单调递减；
在区间)3,2(上，0)(/>x F ，∴函数)(x F 在)3,2(上单调递增；……………2分
∴
2=x 是函数
)(x F 的极小值点，也是最小值点，
2ln 168)2()(min -==F x F ； ……………3分
又2)1(=F ，3ln 1618)3(-=F ， 而0)3ln 1(16)1()3(<-=-F F ，故
2
)1()(max ==F x F ； ……………4分
∴函数)(x F 的值域为]2,2ln 168[-. ……………5分 （2）证明：设B M A ,,两点的横坐标分别为B M A x x x ,,;直线l 的方程为m kx y +=.
由⎩⎨⎧+==m kx y x y 2
2得022=--m kx x . ∴
2k x x B A =+……①. ……………7分 又x x f 4)(/
=，∴
M M x x f k 4)(/== …………② ……………8分 将②代入①中得M B A x x x 2=+.
∴B M A ,,三点的横坐标成等差数列. ……………9分 （3）解：依题意，0)(≥x F 恒成立.
x a x x g x f x F ln 2)()()(2-=-=（0>x ）
x a
x x a x x F -=-=2/
44)(.令0)(/
=x F ，解得
2a x =. ……………10分
在区间
)2,
0(a 上，0)(/
<x F ，
∴函数)(x F 在
)
2,
0(a 上单调递减；
在区间),2(
+∞a
上，0)(/
>x F ，
∴函数)(x F 在)
,2(
+∞a
上单调递增； ……………11分
∴
2a
x =
是函数)(x F 的极小值点，也是最小值点，
2ln 2)2(
)(min a a a a F x F -==. ……………12分
欲满足题意，只需0)(min
≥x F ，即0
2ln 2≥-a
a a ，注意到0>a ，
故0
2ln 21≥-a
，解之得e a 40≤<. ……………14分。