初中数学1实数的概念(学生)
实数初中数学知识点总结
实数初中数学知识点总结一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数两大类。
有理数可以表示为两个整数的比值，形式为a/b，其中a和b为整数，b不为零。
无理数则不能表示为有理数的形式，例如圆周率π和黄金比例φ。
1.1 有理数有理数包括整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零，分数则是整数的比值形式。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。
1.2 无理数无理数是无限不循环小数，常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e等。
无理数不能表示为分数形式。
二、实数的性质实数具有以下性质：- 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。
- 有序性：实数集是一个有序集，任何两个实数都可以比较大小。
- 完备性：实数集中的任何有界数列都有一个极限，这个极限也是实数集中的数。
三、实数的运算3.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
两个实数相加，和的符号由绝对值大的数决定，同号相加取原来的符号，异号相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.2 减法实数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
减法的顺序改变会改变结果的符号。
3.3 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。
3.4 除法实数的除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。
除以一个非零实数，相当于乘以它的倒数。
四、实数的比较实数的大小比较遵循以下规则：- 正实数都大于零。
- 零大于所有的负实数。
- 负实数都小于零。
- 两个负实数比较大小，其绝对值大的反而小。
五、实数的平方根与立方根5.1 平方根实数a的平方根是一个数b，使得b² = a。
正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；零的平方根是零；负数没有实数平方根。
5.2 立方根实数a的立方根是一个数b，使得b³ = a。
有关初中实数知识点总结
有关初中实数知识点总结实数是我们在日常生活中经常接触到的一种数，它可以用来表示物体的长度、重量和体积等实际量，并且可以进行加减乘除运算。
在初中数学中，实数是一个非常重要的概念，学好实数的知识对于理解后续的数学知识是非常有帮助的。
下面将对初中实数的相关知识点进行总结和归纳，以便同学们加深对实数的理解。
一、实数的定义实数是数学上的一个概念，它包括有理数和无理数两个部分。
有理数包括整数和分数，而无理数则是不能表示为有理数的数，如π和根号2等。
实数是实际存在的数，可以用来描述物理世界中的各种现象，如时间、距离、速度等。
实数可以用来进行加、减、乘、除等运算，并且可以比较大小。
二、实数的性质1. 实数的加法性质- 交换律：对任意的实数a和b，有a + b = b + a。
- 结合律：对任意的实数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)。
- 存在单位元素0：对任意的实数a，有a + 0 = a。
- 存在相反元素：对任意的实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
2. 实数的乘法性质- 交换律：对任意的实数a和b，有a × b = b × a。
- 结合律：对任意的实数a、b和c，有(a × b) × c = a × (b × c)。
- 存在单位元素1：对任意的实数a，有a × 1 = a。
- 存在倒数：对任意的非零实数a，存在一个实数1/a，使得a × (1/a) = 1。
3. 实数的大小比较性质- 对任意的实数a和b，有且只有下列三种情况：- a = b；- a > b；- a < b。
- 反对称性：对任意的实数a和b，如果a > b，则-b > -a。
- 传递性：对任意的实数a、b和c，如果a > b且b > c，则a > c。
4. 实数的数轴表示实数可以在数轴上用点表示，数轴上的原点表示0，右侧表示正数，左侧表示负数。
初二实数的概念及运算
初二实数的概念及运算实数是数学中最基本的数集之一，包括正数、负数和零。
初二数学课程中，学生开始接触实数的概念和运算。
本文将详细介绍初二实数的概念以及基本运算。
1. 实数的概念实数是一种用来表示具体数量的数。
它们可以是有理数或无理数的集合。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和可以有限或无限循环的小数。
无理数是无法表示为有理数的数，例如根号2和圆周率π等。
初二阶段，学生主要学习实数的基本概念，包括正数、负数和零。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是不大于也不小于零的唯一数。
2. 实数的运算实数具有四种基本的运算，分别是加法、减法、乘法和除法。
下面我们将逐一介绍这些运算。
2.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
给定实数a、b和c，a + b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 + 3 = 5，-5 + 7 = 2。
2.2 减法实数的减法也是一种加法运算，可以将减法转化为加法的形式。
给定实数a和b，a - b的结果可以表示为a + (-b)。
例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。
2.3 乘法实数的乘法也满足交换律和结合律。
对于给定的实数a、b和c，a × b的结果仍然是一个实数，记作c。
例如，2 × 3 = 6，-5 × 7 = -35。
2.4 除法实数的除法也可以转化为乘法的形式。
给定实数a和b，a ÷ b的结果可以表示为a × (1/b)。
需要注意的是，除数b不能为零，否则结果将无意义。
例如，6 ÷ 3 = 6 × (1/3) = 2，-15 ÷ (-5) = -15 × (1/(-5)) = 3。
3. 实数的性质实数具有许多重要的性质，下面我们简要介绍其中几个。
3.1 闭合性实数的加法和乘法都满足闭合性。
也就是说，对于任意的实数a和b，a + b和a × b仍然是实数。
实数知识点总结概括初中
实数知识点总结概括初中一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数的集合，记作R。
有理数包括整数和分数，而无理数是那些无法写成有理数形式的数，如π和√2等。
实数的概念是对数的一个总称，它是数学研究和运用的基础。
2. 实数的表示实数可以用小数表示，小数可以是有限的，也可以是无限的循环小数。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，而无理数通常用无限不循环小数表示。
3. 实数的分布实数可以用数轴表示，数轴上的点对应着实数。
实数在数轴上是连续的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种连续的性质是实数的重要特点之一。
二、实数的性质1. 实数的比较实数之间可以比较大小，可以用不等式表达实数的大小关系。
对于任意两个实数a和b，有a＜b、a＝b或a＞b三种可能的关系。
2. 实数的绝对值实数的绝对值是这个实数到原点的距离，记作|a|，其中a是实数。
绝对值有以下性质：（1）若a＞0，则|a|=a；（2）若a＜0，则|a|=-a；（3）|a|=0的充分必要条件是a=0。
3. 实数的有序性实数集合是有序的，即实数集合中的每个实数都可以和实数集合中的其他实数相比较大小。
这种有序性是实数与数学中其他集合的一个重要区别。
4. 实数的密度实数在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在着无穷多个实数。
这种性质体现了实数的密度，也是实数在数学中的重要性质之一。
三、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法和减法是最基本的运算，可以利用数轴对实数的加法和减法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法是对实数进行组合和分解的运算，可以用数轴对实数的乘法和除法进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
3. 实数的乘方和开方实数的乘方和开方是对实数进行多次相乘或多次开方的运算，可以用数轴对实数的乘方和开方进行图形化表示，以便更直观地理解实数的运算。
4. 实数的混合运算实数的混合运算是实数运算的综合应用，包括加减乘除、乘方开方等多种运算的组合和应用。
初一实数知识点
初一实数知识点实数是数学中重要的一种数集，其包括有理数和无理数两个部分。
在初中数学中，学生将接触到很多实数知识点。
本文将从实数的性质、大小关系、运算及应用等角度，详细介绍初一实数知识点。
一、实数的性质1. 有序性：对于任意两个实数a和b，存在以下三种关系中的一种：a<b，a=b或者a>b，且这种关系具有传递性，即如果a<b，b<c，则有a<c。
2. 密闭性：如果对于实数集合中的任意两个实数a和b，其和a+b和积ab也必然属于该集合，则称该实数集合是密闭的。
3. 稠密性：对于任意两个实数a和b(a<b)，存在一个实数c，使得a<c<b。
4. 无处不在：实数集合无限延展，其中的数无限多。
无论多小的实数，都存在。
二、实数的大小关系1. 基本不等式：对任意两个实数a和b，有不等式$$2ab≤a^2+b^2$$2. 绝对值：绝对值表示实数与0之间的距离，通常用竖线“| |”表示。
对于任意实数a，则其绝对值定义如下：当a≥0时，$|a|=a$；当a<0时，$|a|=-a$。
3. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，若a-b>0，则有a>b；若a-b=0，则有a=b；若a-b<0，则有a<b。
4. 实数的符号：实数a>0时，a为正数；a<0时，a为负数；a=0时，a为零。
三、实数的运算1. 四则运算：实数的四则运算与我们平时的计算方法一致。
其中，加法运算即为两个实数的和；减法运算即为两个实数的差；乘法运算即为两个实数的积；除法运算即为两个实数的商。
2. 平方运算：对于任意实数a，其平方表示为a^2。
3. 立方运算：对于任意实数a，其立方表示为a^3。
4. 乘方运算：对于任意实数a和正整数n，其乘方表示为a^n。
5. 乘方根运算：对于任意正整数n和正实数a，其乘方根表示为$a^{1/n}$，记为$\sqrt[n]{a}$。
初中数学实数知识点总结
初中数学实数知识点总结一、实数的分类实数是由整数、分数、无理数和有理数四种数构成的。
整数是不含小数部分的正整数、负整数和0。
例如，-3、-2、-1、0、1、2、3等都是整数。
分数是由整数和非零整数构成的比值。
例如，1/2、3/4、-2/3等都是分数。
无理数是指不能表示为有理数的数，通常是无限不循环小数。
如π、根号2、根号3等都是无理数。
有理数是整数和分数的集合，是可以表示为整数比整数的分数的数。
有理数包括整数和分数，例如-3、-2、-1、0、1、2、3、1/2、3/4等都是有理数。
二、实数的加法和减法实数的加法和减法是我们在日常生活中经常用到的运算方式。
对于整数和分数的加法和减法，我们可以按照它们的正负号和大小进行相应的运算。
例如，对于同号的整数，其加法就是两个数的绝对值相加，并且结果的符号与原来的符号相同；对于异号的整数，其加法就是两个数的绝对值相减，并且结果的符号取绝对值大的数的符号。
对于分数的加法和减法，我们可以先找到它们的公共分母，然后按照相同的公共分母进行运算。
三、实数的乘法和除法实数的乘法和除法也是我们在日常生活中经常用到的运算方式。
对于整数和分数的乘法和除法，我们可以按照相应的规则进行运算。
例如，对于整数的乘法和除法，我们可以按照同号和异号的规则进行运算。
对于分数的乘法和除法，我们可以把乘法转化为乘以倒数的形式进行运算。
四、实数的比较大小在日常生活中，我们经常需要比较不同的数的大小。
对于实数的比较大小，我们可以按照它们的绝对值和符号进行比较。
例如，比较两个正数的大小时，我们可以直接比较它们的绝对值大小；比较一个正数和一个负数的大小时，我们可以直接判断正数的大小。
对于分数的比较大小，我们可以将它们转化为相同的分母后再进行比较。
五、实数的混合运算在实际应用中，我们经常需要对不同类型的实数进行混合运算。
例如，我们需要计算一个整数与一个分数的乘积，或者一个整数与一个无理数的和。
对于这种情况，我们可以根据它们的类型进行相应的转化，然后再进行运算。
实数的概念(总复习)
初中数学总复习1.1实数的概念一：【知识梳理】1.实数概念(1)有理数:整数和分数统称为有理数。
（ ） (2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩； 有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）无理数： 小数叫做无理数。
（4）实数： 和 统称为实数。
（5）实数和 的点一一对应。
2.实数的分类: 实数【典型考题】把下列各数填入相应的集合内：1、51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73π-有理数集{ }，无理数集{ }， 正实数集{ }2、在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有_______个无理数3、在4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是_______4、写出一个无理数________，使它与2的积是有理数()()()()()()()()()()()()⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩零3.实数的相关概念（1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，<=====> 。
（2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为<=====>1a。
（4）绝对值：【典型考题】1、___________的倒数是211-；0.28的相反数是_________。
2、0|2|)1(2=++-n m ,则n m +的值为________3、已知21||,4||==y x ，且0<xy ，则yx的值等于________ 4、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A.1个B.2个C.3个D.4个5、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是____数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______。
初一数学实数知识点总结
初一数学实数知识点总结实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。
在初中数学中，实数是一个非常重要的概念，它涉及到我们日常生活中的很多问题，比如长度、质量、时间等。
因此，对于初一学生来说，掌握实数的相关知识点是非常重要的。
接下来，我们将对初一数学实数知识点进行总结。
首先，我们来看有理数的概念。
有理数是可以用两个整数的比来表示的数，包括正整数、负整数、分数和零。
有理数的加、减、乘、除运算都是封闭的，也就是说，两个有理数进行加减乘除运算的结果仍然是一个有理数。
其次，无理数是指不能用两个整数的比来表示的数，它们是无限不循环小数。
无理数和有理数合起来构成了实数集合。
无理数的运算和有理数的运算有所不同，但同样也是封闭的，也就是说，两个无理数进行加减乘除运算的结果仍然是一个无理数。
实数集合中还有一个重要的概念就是实数的大小比较。
在初一数学中，我们学习了实数的大小比较，包括绝对值的概念和实数的大小比较。
绝对值是一个数到零的距离，它的定义是，如果x≥0，|x|=x；如果x<0，|x|=-x。
实数的大小比较涉及到正数、负数和零的比较，可以通过数轴来直观地表示。
除此之外，初一数学还涉及到实数的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
实数的加法和减法遵循交换律和结合律，乘法遵循交换律、结合律和分配律，除法也有相应的规律。
掌握这些运算规律对于初一学生来说是非常重要的，它们是后续学习的基础。
最后，我们还需要了解实数的应用。
实数在几何、代数、物理等领域都有广泛的应用，比如在几何中，实数可以表示长度、面积、体积等物理量；在代数中，实数可以表示方程的解；在物理中，实数可以表示物体的质量、速度、加速度等。
因此，初一学生需要了解实数的应用，这对于他们将来在学习和生活中都有重要的意义。
总之，初一数学实数知识点的掌握对于学生的数学学习和日常生活都有重要的意义。
通过对有理数、无理数、大小比较、运算和应用的学习，学生可以建立起对实数的整体认识，为将来的学习打下坚实的基础。
数学实数知识点总结
数学实数知识点总结数学实数是数学中的一种数系，包括有理数和无理数。
实数是一种可以表示在数轴上的点的数，它们可以精确地描述和计算连续和无限的数量。
实数是数学中的基础，无论是在初中数学还是高中数学中都有很重要的地位。
下面是对数学实数知识点的总结。
1. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以表示为两个整数的比例的数，如正整数、负整数、分数和小数等。
无理数是不能表示为两个整数的比例的数，如根号2、圆周率π和自然对数的底数e等。
2. 实数的表示方法：实数可以用十进制、分数、小数、百分数等形式来表示。
在十进制表示中，无论整数部分是正整数、负整数还是0，小数部分均可以是有限的或者无限的循环小数。
3. 实数的性质：实数具有传递性、相容性、反对称性、存在性等基本性质。
传递性指的是如果a<b，并且b<c，则a<c；相容性指的是对于任意的a≠b，要么a<b，要么a>b；反对称性指的是对于任意的a≠b，要么a<b，要么b<a；存在性指的是在实数中，存在一个最小的正数（0不是最小的正数）以及一个最大的负数（0不是最大的负数）。
4. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在实数的加法和乘法中，满足交换律、结合律和分配律。
在实数的减法和除法中，减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法。
5. 实数的大小比较：在实数中，可以通过比较大小符号（<、>、≤、≥）来比较两个实数的大小。
当a<b时，称a小于b，记作a<b；当a>b时，称a大于b，记作a>b；当a≤b时，称a小于等于b，记作a≤b；当a≥b时，称a大于等于b，记作a≥b。
6. 实数的绝对值：实数的绝对值是该实数到0的距离，用|a|表示。
实数a的绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
7. 实数的相反数和倒数：实数a的相反数为-b，满足a+b=0；实数a的倒数为1/a，满足a*(1/a)=1。
初中数学：实数知识清单
初中数学：实数知识清单实数的概念1．无限不循环小数叫做无理数．2．有理数和无理数统称为实数．实数可以进行以下分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪-⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限不循环小数负无理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数思考：3.1416不是π吗？为什么是有理数呢？平方根和开平方1．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中表示a 的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”，a 的负平方根，读作“负根号a0=．4．平方根的性质：（1）当0a >时，2a =，(2a =．（2）当0a ≥a =；当0a <a =-．立方根和开立方1．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，记作”，读作“三次根号a ”中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根．3．立方根的性质：（1）3a=．a=．n次方根1．如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数．2．n次方根的表示：（1）实数a（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用表示，负n次方根用“”表示．说明：当2n=时，在中省略n．（3）负数没有偶次方根．（4）零的n0=．用数轴上的点表示实数1．每一个实数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示．2．实数的绝对值与相反数：（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是a -．3．实数的大小比较：（1）负数小于零，零小于正数．（2）两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．（3）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．4．数轴上两点之间的距离：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离AB a b =-．实数的运算1．设0a >，0b >，可知：（1）222ab =⋅=．=．=2．近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．3．对于一个近似数制定保留几个有效数字，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．实数的概念⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数或者：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数零负有理数实数正无理数无理数负无理数1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的一个重要的数系，包括有理数和无理数。
实数可以用于描述物理、化学等自然科学问题，也可以用于解决经济、统计等社会科学问题。
实数的概念及其分类是初中数学的基础知识，下面就此展开讨论。
一、实数概念：实数是可以直观地表示在数轴上的数，它包括有所有的有理数和无理数。
实数在数轴上按大小是有序的，两个实数之间有无穷多个实数。
二、实数的分类：1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数。
有理数包括整数、正整数、负整数、零以及分数。
有理数之间的运算有加法、减法、乘法和除法等。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比的数，即不能写成分数形式的数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分有无穷无尽的数字，并且没有循环节。
如开不尽的根号2、根号3等。
（2）无限循环小数：无限循环小数是指小数部分有一段数字不断循环出现。
如1/3=0.3333...、22/7=3.142857142857...等。
3. 整数：整数包括正整数、负整数和零。
整数是有理数的一种特殊类型。
4. 正数和负数：正数是大于零的数，负数是小于零的数。
正数和负数都是有理数的一种特殊类型。
5. 零：零是整数中既不是正数也不是负数的数。
零是有理数及整数的一种特殊类型。
6. 小数：小数是没有到达个位的十进制数，它包括有理数中的所有小数和无理数中的无限不循环小数。
三、实数的性质：1. 有理数和无理数共同构成了实数集合，任意两个实数之间存在着无穷多个实数。
2. 实数在数轴上是有序的，可以比较大小。
对于任意的两个实数a和b，必定有且仅有下面三种关系之一：a=b、a>b或a<b。
3. 实数之间满足加法、减法、乘法和除法的运算规则。
实数运算遵循整数和有理数的运算规律。
4. 实数也具有传递性、互补性、逆元性、等式性、分配率等基本性质。
综上所述，实数是数学中的一个重要概念，包括了有理数和无理数，可以用来描述各种自然科学和社会科学问题。
初中数学实数知识点
初中数学实数知识点一、引言实数是初中数学教学中的重要组成部分，它为学生提供了解决各种数学问题的基础工具。
本文旨在概述初中数学中实数的关键知识点，以帮助学生建立扎实的数学基础。
二、实数的定义实数是可以在数轴上表示的任何数。
它们包括所有的整数、分数（有理数）和无限不循环小数（无理数）。
三、实数的分类1. 有理数a. 整数：包括正整数、负整数和零。
b. 分数：表示为两个整数的比，其中分母不为零。
2. 无理数a. 不可表示为分数的无限不循环小数。
b. 常见的无理数包括π和e。
四、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。
2. 封闭性：实数集合在加法、减法、乘法和除法（除以非零数）下是封闭的。
3. 完备性：任何实数序列都有极限。
五、实数的运算1. 加法a. 同号相加：取相同的符号，绝对值相加。
b. 异号相加：取绝对值较大的数的符号，绝对值相减。
2. 减法a. 减去一个数等于加上它的相反数。
3. 乘法a. 正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数，正数乘以负数得负数。
b. 任何数乘以零得零。
4. 除法a. 除以一个非零实数，等于乘以它的倒数。
b. 零除以任何非零数得零。
六、实数的应用1. 解方程：利用实数的运算性质解一元一次方程、一元二次方程等。
2. 几何计算：在几何图形中，实数用于计算长度、面积和体积。
3. 统计与概率：实数在数据分析、概率计算中有广泛应用。
七、实数的近似表示1. 四舍五入法：根据给定的精度要求，对实数进行近似处理。
2. 有效数字：表示实数的精确度，通常保留到一定的位数。
八、结论掌握实数的知识点对于初中生来说至关重要，它不仅是数学学习的基础，也是解决日常生活中实际问题的重要工具。
通过理解和练习实数的性质和运算，学生可以提高自己的数学能力和逻辑思维。
九、附录1. 常见实数运算表2. 实数近似计算的实例3. 实数在方程和几何中的应用例题请注意，本文仅为实数知识点的概述，具体的教学和学习应结合实际的教材和习题进行。
沪教版 七年级数学 寒假班讲义 实数的概念及数的开方(学生版)
知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一 实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】 填空：1、若一个数不是有理数，那这个数一定是数；2、3-正数，整数，无理数；(填“是”或“不是”)3、圆的周长与直径的比值常数，有理数，无理数．(填“是”或“不是”)【例2】 已知四个命题，正确的有（ ） （1）有理数与无理数之和是无理数； （2）有理数与无理数之积是无理数； （3）无理数与无理数之和是无理数；（4）无理数与无理数之积是无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．（1）实数不是有理数就是无理数． （ ） （2）无理数都是无限不循环小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数．（）例题解析（4）无理数都是无限小数． （ ） （5）无理数一定都带根号．（ ） （6）两个无理数之和一定是无理数．（）（7）两个无理数之积不一定是无理数． （）【例4】 把下列各数分别填到相应的数集里边．327，2， 3.1415-，2π，103，34-，72-，0.201010010001-，1.732，7-有理数{ }； 无理数{ }； 正数{ }； 负数{}．一、开平方：1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．模块二：数的开方知识精讲如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2）2a a =，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示．其中被开方数a 是任意一个数，根指数n 是大于1的奇数；2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“n a -”表示．其中被开方数0a >，根指数n 是正偶数（当2n =时，在n a ±中省略n ）； 3）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．例题解析【例5】 填空：1、一个正方形的面积为15，则它的边长是___________；2___________；3、如果a 的平方根是a ，则a =______；如果a 的算术平方根是a ，则a =______．【例6】 下列说法中正确的是（）A ．4是8的算术平方根B ．16的平方根是4C 是6的平方根D ．a -没有平方根【例7】 下列各式中错误的是（）A ．0.6=±B 0.6=C ． 1.2=-D 1.2±【例8】 若()220.7x =-，则x =（） A ．-0.7 B ．±0.7C ．0.7D ．0.49【例9】 若实数a 1=，则a =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．1±【例10】）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数【例11】 （1）若24x =，29y =，则x y +=_________；（2_____________，算术平方根是___________；（3）若160x -+=，则x 的平方根是 ．【例12】 计算： （I ）求下列各数的平方根:(1)0；(2)2415⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)964-；(4)()20.25--．（II ）求下列各数的立方根：(1)0.216； (2)338-；(3)125±；(4)()0.064--．【例13】 （1）若0a <a -=__________________；（2）已知a 是小于1．【例14】 简答：（1）已知某数的平方根是31a+，求这个数；a-与5（2）已知31a+是同一个数的平方根，求这个数．a-与5【例15】下列说法：①16的4次方根是22±；③当n为大于1④当n为大于10a≥时有意义．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．②③D．③④【例16】求下列各式的值：（1）（2）（3）（4；（5．【例17】比较大小：1.732-（填“>”“<”“=”）．\【例18】 填空：（1）72的整数部分是______，小数部分是_______； （2）5-的整数部分是______，小数部分是_______． （3）适合于不等式727x <<的整数x 有．【例19】 填空：（1）已知12311.09=， 1.109a =，1109b =，则a =，b =； （2）已知 6.213 2.493≈，62.137.882≈，则621.3≈______，0.6213≈；（3）已知30.230.6127≈，32.3 1.320≈，323 2.844≈，则3230≈ ,323000-≈ ．【例20】 已知416a =，且a a =-，求94a +的平方根．【例21】 若01a <<，且16a a +=，求1a a-的值．数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；知识精讲模块三：数的方根运算和应用应用：与整式、分式的综合应用．【例22】 当x 为什么数时，下列各式有意义．（1）3x ；（2）5x -； （3）44x +； （4）()24x -；（5）24n x -；（6）632x -．【例23】 （1）若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 ；（2）x 为何值时，3423142x x x --++-有意义?（3）使得622xx --有意义的条件是 ．【例24】 填空：（1）8-的立方根与16的平方根之和为；（2）若()225x -与4y +互为相反数，则2x y +的平方根为．【例25】【例26】 已知221a A a b -=-+是21a b -+的算术平方根，12b B a b +=+是2a b +的立方根，求A B +的值．【例27】 已知22167(2)04m n m m -++=+，求n m 的值．例题解析【例28】若2244162x xyx-+-=+-，求2x y+的立方根．【例29】已知a b，分别是484，784的算术平方根，而c是-343的立方根，试求代数式222222a b c ab bc ac++-+-的值．一、填空题：【习题1】数3.14，2，π，0.323232，17，9，21+中，无理数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【难度】★【答案】【解析】【习题2】填空：（1）81的平方是_________，81的平方根是_________；（2）()23-的平方根是_________，36的平方根是_________；（3）38的立方根是_________，23(3)-的立方是_________；（4）_________的四次方根为4±．随堂检测【习题3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由． （1）无限小数都是无理数( ) （2）若a 表示一个实数，则－a 表示一个负数 ( )（3）数轴上的点与有理数一一对应 ( )（4）任何实数的偶次幂是正实数() （5）在实数范围内，若x y =，则x y =()【习题4】 写出两个在3和4之间的无理数________．【习题5】 18=2=-2=4±，⑥2-，正确的有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【习题6】 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）A ．1B ．0C ．-1D ．1，-1或0【习题7】 下列各组数中互为相反数的是（）A ．2-B ．2-C ．22(与D ．【习题8】 把 1.6-、2π-、、0从小到大排列（）A ． 1.602π-<-<<<B ． 1.602π-<-<<C ． 1.602π-<-<<<D ． 1.602π-<-<<【习题9】【习题10】 如果a 是实数，那么下列说法正确的是（）A ．3a 是奇数B ．23a a <C ．2a a =D ．2a a >【习题11】 求下列各数的值：（1）254； （2）30.001；（3）()24-；（4）()328-⋅-； （5）5132；（6）71；（7）634；（8）63(2)-．【习题12】 已知370x y ++-=，求2x y +的四次方根．【习题13】 因为211121=，所以12111=，同样，因为211112321=，所以12321111=由此猜想12345678987654321=___________________．【习题14】 已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，求()1134ba +的值．【作业1】 下列各根式无意义的是（） A ． ()5--B ．25-C ．25-D ．()25-【作业2】 下列结论正确的是（）A ．一个正分数的正的平方根比原数大B aC ．若b 是a 的立方根，则b -也是a -的立方根D ．任何实数都有两个平方根【作业3】 一个数的立方根是它本身，则这个数的平方根是（） A ．1或-1B ．0或-1C ．-1或1D ．1，-1或0【作业4】 若264x ==（） A ．4B ．4±C ．2±D ．2【作业5】 把下列各数分别填入相应的集合里：2273.1410.3030030001.7320.010*******π----，，，，，，，正数集合｛ ｝； 分数集合｛ ｝； 有理数集合｛ ｝； 无理数集合｛｝．【作业6】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）0是最小的实数( ) （2）0是绝对值最小的实数( ) （3）不存在绝对值最小的无理数 ( ) （4）不存在绝对值最小的实数( ) （5）不存在与本身的算术平方根相等的数 ( ) （6）比正实数小的数都是负实数()（7）非负实数中最小的数是0 ( )【作业7】 2）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．以上都可能【作业8】 填空：（1）1236-=，=；（2）81625的四次方根是，的六次方根是 ；（3）奇次方根是本身的实数有．【作业9】 若实数a 满足1a a=-，则（ ） A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤【作业10】 计算：（1（2；（3）（4；（5） （6 （7）（8【作业11】 已知：224410260x y x y +-++=，求12x y +的5次方根．【作业12】 x 、y 分别是3-的整数部分和小数部分，求24xy y -的值．【作业13】 若2(1)||0z x y -++。
实数的定义及其性质初中数学教案
对于初中数学来说，实数是一个基本的概念。
在进行大部分数学操作的时候，都需要使用到实数。
那么，究竟什么是实数呢？本文将会带领读者深入探究实数的定义及其性质。
一、实数的定义实数，顾名思义，是指所有实际存在的数。
在一些初中数学教科书中可能会给出缺乏形式化的定义，比如说“有无数位小数的数”，但是这种定义是有缺陷的。
比如说，无理数$\sqrt{2}$ 最简根式表达式为 $\sqrt{2}$，没有无数位小数。
因此，更加具体的定义需要用到对于实数的刻画。
下面，我们提供一个更加正式的定义。
定义 1：实数是一条直线上的点，且每个实数都可以表示为一个无理数或有理数的极限。
从定义 1 可以看出，实数可以用直线上的点的方式表现。
在数学中，也把这条直线称之为实数轴。
任意两个实数之间的距离都是唯一的，也称之为它们的差值。
理解实数的定义非常重要，在后续的学习中会用到很多。
二、实数的性质有如此广泛的应用场景，实数必然有许多重要的性质。
接下来，我们将会介绍一些常见的实数性质。
性质1：实数集是完备的。
这个简短的性质可以非常深刻地揭示实数集的重要性。
完备性是指实数集合中不存在极小值和极大值，每个非空子集都有最小上界和最大下界。
这也说明实数集合里有不可枚举的无理数。
这个性质直接决定了实数是一个很好的基本数学工具，这也是我们为什么要在很多数学运算中需要使用它的原因。
性质2：实数满足加法、减法、乘法和幂运算的封闭性。
实数集合中的每个元素都可以通过这些运算得出另一个实数。
性质3：实数满足加法、乘法和幂运算的结合律和交换律。
结合律和交换律这两个性质是非常重要的。
它们使得我们在计算的时候可以使用自由组合的顺序，而不会出错。
举个例子，对于任意的实数 $a$、$b$ 和 $c$，以下三个式子的结果都是一样的：$$a + (b + c) = (a + b) + c$$$$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = b^2 + 2ac + c^2$$性质4：实数满足乘法的分配律。
初中数学实数知识总结
第一章 实数一． 实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数实数：有理数与无理数的统称。
有理数：整数和分数的统称。
（正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
）无理数：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等 正数：比0大的实数。
正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。
负数：比0小的实数。
负数前面常有一个符号“-”，不可以省略不写，负数与正数表示意义相反的量。
0：即不是正数也不是负数，正负以0为界。
二. 实数的倒数、相反数和绝对值数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度（1）在直线上任取一个点表示0这个点叫做 原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，1、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
2、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
3、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
【初中数学】初中数学知识点：实数的定义
【初中数学】初中数学知识点：实数的定义实数定义：实数由有理数和无理数组成。
无理数是无限的非循环小数，而有理数包括整数和分数。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
实数最初只被称为实数。
后来，虚数的概念被引入。
最初的数字被称为“实数”——意思是“实数”。
实数的定义分析：1.实数可以分为有理数（如31）和无理数（如π、)两种类型，或代数数和超越数，或正数、负数和零。
2.实数集合通常用字母“r”表示。
实数可以用来测量连续的量。
3.理论上，任何实数都可以用无穷小的形式表示。
小数点右边是一个无限的数字序列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。
4.一般来说，正实数和零被称为分数负数，负实数和零被称为非正数。
5.任何两个实数之间都有无数个有理数和无理数。
实数的性质：1.基本运算：实数可以实现的基本运算包括加法、减法、乘法、除法、平方等。
平方运算也可以用于非负数。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇数次方，结果仍然是实数。
只有非负实数可以被开为偶数次方，结果仍然是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：A+Ba:A+B=交换律结合律：(a+b)+c=a+(b+c)分布规律：a（B+C）=AB+AC2.实数的相反数：相反数量的实数与相反数量的有理数具有相同的含义。
实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。
实数a的相反数是-a，a和-a到数字轴上原点0的距离相等。
3.实数的绝对值：实数的绝对值与有理数的绝对值具有相同的含义。
正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0,实数a的绝对值是：|a|① 当a为正数时，|a |=a（不变）②a为0时，|a|=0③ 当a为负时，|a |=a（a的对立面）(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。
初中数学实数知识点
初中数学实数知识点实数是数学中的一个基本概念，它包括有理数和无理数两部分。
初中数学中的实数知识点主要包括实数的基本性质、实数间的大小关系、实数的运算和实数的表示等。
下面我将为您详细介绍这些知识点。
1. 实数的基本性质（1）实数可以按照大小顺序排列，任意两个实数之间都可以比较大小。
（2）实数满足传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c。
（3）实数满足三角不等式，即对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
2. 实数间的大小关系（1）实数中有正数、零和负数三种，其中零是最小的数。
（2）对于两个正数，越大的数大；对于两个负数，越大的数小。
（3）对于一个正数和一个负数，正数大于负数。
（4）绝对值大的数更大。
3. 实数的运算（1）实数的加法运算：加法满足交换律、结合律和消去律。
即对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=a和a+(-a)=0。
（2）实数的减法运算：减法可以转换为加法，即a-b=a+(-b)。
（3）实数的乘法运算：乘法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意实数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c。
（4）实数的除法运算：若b≠0，则a÷b=a×(1/b)。
4. 实数的表示（1）实数可以用小数表示，小数位是无线多的，可以是有限的也可以是无限循环的。
（2）实数可以用分数表示，分数可以是真分数、假分数和整数。
（3）实数可以用带根号形式表示，其中无理数是指不能写成两个整数比的形式，常见的无理数有π和√2等。
（4）实数可以用数字和字母的运算式表示，用代数式表示实数的运算过程。
以上是初中数学中关于实数的知识点。
实数是数学中的重要概念，不仅在初中数学中有重要的应用，还是后续高中数学和大学数学中的重要基础。
初中数学实数归纳技巧总结
初中数学实数归纳技巧总结实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两部分。
在初中数学学习中，实数是我们进行运算、比较和推理的基础。
为了更好地掌握实数的性质和归纳技巧，本文将对初中数学中实数归纳技巧进行总结。
一、实数的分类1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和循环小数。
例如，2、-3、1/2、0.6(6)等都是有理数。
有理数的性质包括封闭性、稠密性等。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数，其非循环无限不循环小数部分无限不循环。
例如，π、√2、e等都是无理数。
无理数在实数轴上是无穷无尽的，且无理数与有理数之间存在“间隙”。
二、实数运算规律1. 加法和乘法运算实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
即对任意实数a、b、c 有：- 加法交换律：a + b = b + a- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 乘法交换律：a * b = b * a- 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c2. 减法和除法运算实数的减法和除法运算可以转化为加法和乘法运算进行。
例如，a -b = a + (-b)，a / b = a * (1/b)。
三、实数的大小关系1. 实数的比较对于任意实数a和b，可以使用大小符号（＞、＜、≥、≤、＝）进行比较。
比较时需要考虑正负数、绝对值大小等因素。
2. 实数的绝对值实数a的绝对值记作|a|，表示a到原点的距离。
对于a≥0，有|a|=a；对于a＜0，有|a|=-a。
实数的绝对值有以下性质：- |a|≥0，且当且仅当a=0时，|a|=0；- |a * b| = |a| * |b|，即实数乘法的绝对值等于各自绝对值的乘积；- |a + b| ≤ |a| + |b|，即实数加法的绝对值不超过各自绝对值之和。
四、实数归纳技巧1. 数列的归纳法数列是由若干个实数按照一定规律排列而成的。
初一实数知识点总结
初一实数知识点总结实数是初中数学中的重要概念之一，它是有理数和无理数的统称。
对于初一的同学来说，理解和掌握实数的相关知识是为后续数学学习打下坚实基础的关键。
一、有理数有理数包括整数和分数。
整数又可以分为正整数、零和负整数。
例如 1、2、3 是正整数，－1、－2、－3 是负整数，0 既不是正整数也不是负整数。
分数则包括正分数和负分数。
例如 1/2、3/4 是正分数，－1/2、－3/4 是负分数。
有理数可以用两个整数之比的形式来表示，这也是有理数的一个重要特征。
有理数的运算包括加、减、乘、除和乘方。
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘都得 0。
除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
二、无理数无理数是无限不循环小数。
例如圆周率π、根号 2 等。
无理数不能写成两个整数之比的形式。
常见的无理数有三种形式：1、开方开不尽的数，如根号2、根号 3 等。
2、特定结构的无限不循环小数，如***********……（每两个 1之间依次多一个 0）。
3、含有圆周率π的数，如2π、π/2 等。
三、实数的分类实数可以分为有理数和无理数。
也可以按照正负性分为正实数、0、负实数。
正实数包括正有理数和正无理数；负实数包括负有理数和负无理数。
四、实数的性质1、实数与数轴上的点一一对应。
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
2、实数的运算性质（1）加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a（2）加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)（3）乘法交换律：ab ＝ ba（4）乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)（5）乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac3、实数的大小比较（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
初中实数内容总结
初中实数内容总结前言实数是数学中最基础、最重要的一类数，它包括有理数和无理数。
初中数学中学习的实数内容主要涉及有理数的运算和无理数的认识。
本文将对初中实数的内容进行总结和归纳，以帮助初中生更好地理解实数的性质和运算规律。
有理数的基本概念和性质有理数是可以表示为两个整数的比例形式的数。
初中阶段，我们主要学习了正数、负数和零三种有理数的性质和运算。
正数正数是大于零的数。
正数具有以下性质： - 正数之间的加法、减法运算结果仍然是正数； - 正数与零相加、相减的结果仍然是正数； - 正数之间的乘法、除法运算结果仍然是正数。
负数负数是小于零的数。
负数具有以下性质： - 负数之间的加法、减法运算结果仍然是负数； - 负数与零相加、相减的结果仍然是负数； - 负数之间的乘法、除法运算结果是正数。
零零是最基本的有理数，具有以下性质： - 零与任何数的加法运算结果是该数本身； - 零与任何数的减法运算结果是该数的相反数。
有理数的运算规律初中阶段，我们学习了有理数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
有理数的运算规律可以概括为以下几点：加法两个有理数相加，可以按照以下规则进行： - 同号相加，取相同符号且绝对值相加； - 异号相加，取两个数绝对值差的符号与较大绝对值相加。
减法有理数的减法可以化简为加法，即减去一个数等于加上该数的相反数。
例如，a - b 可以化简为 a + (-b)。
乘法两个有理数相乘，可以按照以下规则进行： - 同号相乘得正数； - 异号相乘得负数； - 任何数与零相乘都得零。
除法有理数的除法可以化简为乘法，即除以一个数等于乘以该数的倒数。
例如，a ÷ b 可以化简为 a × (1/b)。
无理数的认识初中阶段，我们初步了解了无理数的概念和性质。
无理数是不能表示为两个整数的比例形式的数，例如圆周率π和自然对数的底π等。
无理数具有以下性质： - 无理数不是有理数； - 无理数可以用无限不循环小数表示； - 无理数之间的四则运算仍然是无理数。
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实数的概念
课时目标
1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；
2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；
3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.
知识精要
1. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 4. 平方根的定义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即
2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.
5. 平方根的性质与表示
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.
（2）正数a 的两个平方根可以用
“
a 的正平方根，叫做
a 的正平方根，也叫做a
的算术平方根；a 的负平方根.
6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.
7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…；
； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．
12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质
（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；
（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；
（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.
热身练习
1. 将下列各数填在相应括号内：
π， 3
2
， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正数集合 { …}； 分数集合 { …}； 实数集合 { …}； 2. 判断 （1）无限小数都是无理数
（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数
（ ）
3.（1
（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 . 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.
（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根
5. 求下列各数的平方根
（1）121 （2）64
9
（3）0.0009 （4）361
6．求下列各数的算术平方根
（1）81 （2）16
25
（3）289 （4）0.0001
7．求下列各数的值.
（1（2）（3）2 8. 求下列各式的值
（1）2（2）2(0)
a>
（3）2
((0)
a>（4
（50)
a>（6)
a是实数9. 一个正数的两个平方根为2a+1,5－a求这个数.
10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.
11. 求下列各数的立方根.
（1）－64 （2）343 （3）1
918
- （4）0.729
12. 求下列各式的值
（1） （2） （3
13. 解简单的高次方程
（1）16842
=-x （2）81)3(42=-x
（3）39
18
x += （4）3(1)27x +=-
（5）60444=-x （6）
7645=x
精解名题
例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长.
例2 用移位法求平方根
被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.
2.236≈7.071≈，求下列各式的值.
（1）≈ （2）≈
（3）
≈ （4≈
注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；
第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.
例3 用移位法求立方根
被开方数的小数点向右（或左）移动 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 位.
若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，
-≈≈≈的值. .
巩固练习
一、填空
1.把下列各数分别填到相应的数集里边
-
52，3π 3.14，01-1 整数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 有理数集合{ …}；
2．如果9=x ，那么x ＝_______；如果92=x ，那么=x _______． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_______． 4．算术平方根等于它本身的数有______，立方根等于本身的数有______．
5. x ==则 ，若,x x =-=则 . 6．81的平方根是_____， 210-的算术平方根是 ．
7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = ，这个正数是 ． 8．21++a 的最小值是_______，此时a 的取值是_______．
二、选择题
1. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数
（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 若2x a =，则（ ）
A.0x >
B. 0x ≥
C. 0a >
D. 0a ≥ 3．2)3(-的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
4．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）
A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
7. 若n 为正整数,则
2等于（ ）
A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
自我测试
一、填空
1. 把下列各数分别填到相应的数集里边
2π，－3.1415926927，103，，7
2
-，0.2010010001-L ，
1.732，
有理数{ …} 无理数{ …} 非负实数{ …}
2.
()3
32-= ，()3
37-= .
3.64
1
-
的立方根是 . 4.－0.001的立方根是 ；－1的9次方根是 .
5.()=-55
3 ；36
3）（-= .
二、选择题
1.
（ ）
A. 9
B. ±3
C. 3
D. －3 2. 下列计算正确的是（ ）
A.
= B.
2=- C.
3=± D.
2=
3. 下列各数中，没有平方根的是 （ ）
A ．－2 B. 0 C. 1
3
D.
4．下列实数31
7
，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ ）
A
B ．
C
D
6．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A ．2--
B ．4-与
C ．
D ．
三、计算 1、求值
（1） 49
144
的平方根 （2）
（3） （4）
（5） 0.0036的平方根 （6）
（7） （8）641-的立方根
（9）()次方根的531277
⎪⎭⎫ ⎝⎛-
（10） ()次方根的421.12
-
2、解方程
（1）
272=x （2）0183
=-x
（3） ()2512
=-x ； （4）()016223
=++x .。