考点21 直线与平面平行的判定-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修2)(原卷版)

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直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定[新知初探]1．直线与平面平行的判定[点睛]用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．平面与平面平行的判定[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()答案：(1)× (2)× (3)×2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥bB ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．直线与平面平行的判定[典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .[证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形，所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ，所以EF ∥平面AD 1G .利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD .∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN . 又∵PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE .平面与平面平行的判定[典例] 已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心．(1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求A ′B ′∶AB 的值．[解] (1)证明：如图，连接PA ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ .∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心， ∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点，且PA ′A ′M ＝PB ′B ′N ＝2，∴A ′B ′∥MN .同理可得B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂平面ABC ，A ′B ′⊄平面ABC ， ∴A ′B ′∥平面ABC . 同理可证B ′C ′∥平面ABC .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，B ′C ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC .(2)由(1)知A ′B ′∥MN ，且A ′B ′MN ＝PA ′PM ＝23，即A ′B ′＝23MN .∵M ，N 分别是BC ，AC 的中点，∴MN ＝12AB .∴A ′B ′＝23MN ＝23×12AB ＝13AB ，∴A ′B ′AB ＝13，即A ′B ′∶AB 的值为13.两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点．求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .平行中探索存在性问题[典例] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．[解] 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()A．3个B．6个C．9个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l 平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF ∥平面ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH ∥平面ABCD ；PA ∥平面BDG ；EF ∥HG ，所以EF ∥平面PBC ；直线EF 与平面BDG 不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：如图所示，连接SB ，SD ， ∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1. 同理可证EG ∥平面BDD 1B 1，又∵EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .因为FM ⊄平面AEC ， EC ⊂平面AEC ，所以FM ∥平面AEC .由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点．连接OE ，则BM ∥OE .因为BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以BM ∥平面AEC .又因为FM ⊂平面BFM ，BM ⊂平面BFM ，FM ∩BM ＝M ，所以平面BFM ∥平面AEC ，所以平面BFM 内的任何直线与平面AEC 均没有公共点．又BF ⊂平面BFM ，所以BF 与平面AEC 没有公共点，所以BF∥平面AEC.。

高中数学直线与平面平行的判定优秀课件

目录
CONTENTS
01
直线与平面平行基本概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
直线与平面平行定义
直线与平面无公共点
若一直线与一平面没有交点，则称该直线与平面平行。
平行直线与平面的关系
一直线与平面平行，则该直线与该平面内的任意直线都平行或异面。
符号表示及相关术语
图形表示
在几何图形中，可以用直线和平面的位置关系来表示该定理。
定理证明过程剖析
01
02
03
04
第一步
根据已知条件，设定相关点和线。
第二步
利用平行线的性质，构造辅助线。
第三步
通过逻辑推理和演绎，证明直线与平面无公共点。
第四步
根据直线与平面平行的定义，得出结论。
注意事项与易错点分析
注意事项
ERA
知识点总结回顾
直线与平面平行的定义
直线与平面无公共点，则称直线与平面平行。
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
解题方法技巧归纳
利用定义法
根据直线与平面平行的定义，通过证明直线与平面无公共点来判
02
判定定理及其证明
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
直线与平面平行判定定理
01
02
03
定理内容
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示

高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的判定全面版

直线与平面、平面与平面平行的判断【知识梳理】1．直线与平面平行的判断表示图形文字定理直线与平面平行平面外一条直线与此平面内向来线平行，则该的判断定理直线与此平面平行2．平面与平面平行的判断表示图形文字地点一个平面内的两条平面与平面平行订交直线与另一个平面的判断定理平行，则这两个平面平行符号a?αb? α ? a∥ αa∥ b符号a? βb? βa∩b＝ P? α∥ βa∥αb∥ α【常考题型】题型一、直线与平面平行的判断【例 1】已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P，Q 分别是对角线 AE， BD 上的点，且 AP＝ DQ (如图 ) ．求证： PQ∥平面 CBE.[ 证明 ]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连结MN，如图，PM EP QN BQ则 PM∥QN，AB＝EA，CD＝BD.∵EA＝ BD，AP ＝DQ ，∴EP＝ BQ.又 AB＝ CD ，∴PM 綊 QN，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ∥MN .又 PQ?平面 CBE， MN? 平面 CBE，∴PQ∥平面CBE.【类题通法】利用直线和平面平行的判断定理证明线面平行的重点是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公义等．【对点训练】1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， E，F 分别是 PB ，PC 的中点．证明： EF∥平面 PAD.证明：在△PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点，∴EF∥BC.又 BC ∥AD ，∴EF ∥AD .∵AD ? 平面 PAD， EF?平面 PAD，∴EF∥平面PAD .题型二、面面平行的判断【例 2】如图，在正方体ABCD — A1B1C1D1中， M、 E、F、N 分别是 A1B1、 B1C1、 C1D1、 D 1A1的中点．求证： (1) E、 F 、B、 D 四点共面；(2) 平面 MAN ∥平面 EFDB .[证明 ] (1)连结 B1D1，∵E、 F 分别是边B1 C1、 C1D1的中点，∴EF∥B1D 1.而 BD∥B1D 1，∴BD∥EF.∴E、 F 、 B、 D 四点共面．(2) 易知 MN ∥B1D1， B1D 1∥BD，∴MN ∥BD .又 MN?平面 EFDB ， BD? 平面 EFDB .∴MN ∥平面EFDB .连结 MF .∵M、 F 分别是 A1B1、 C1D1的中点，∴MF ∥A1D 1，MF ＝ A1D1.∴MF ∥AD ， MF ＝AD .∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴ AM ∥DF .又 AM?平面 BDFE ， DF ? 平面 BDFE ，∴AM ∥平面BDFE .又∵AM∩MN ＝M，∴平面 MAN ∥平面EFDB .【类题通法】两个平面平行的判断定理是确立面面平行的重要方法．解答问题时必定要追求好判断定理所需要的条件，特别是订交的条件，即与已知平面平行的两条直线一定订交，才能确立面面平行．【对点训练】2.如图，已知四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M， N， Q 分别在 PA， BD ，PD 上，且 PM ∶MA＝ BN∶ ND ＝PQ∶ QD.求证：平面 MNQ ∥平面PBC.证明：∵PM ∶MA＝ BN∶ND ＝PQ∶QD ，∴MQ ∥AD ， NQ∥BP.∵BP? 平面 PBC， NQ?平面 PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面 ABCD 为平行四边形，∴BC∥AD ，∴MQ ∥BC.∵BC? 平面 PBC， MQ?平面 PBC ，∴MQ ∥平面PBC.又 MQ ∩ NQ＝Q，依据平面与平面平行的判断定理，得平面MNQ ∥平面PBC.题型三、线线平行与面面平行的综合问题【例 3 】如图，在四棱锥O－ ABCD 中，底面ABCD 是边长为 1 的菱形， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点．证明：直线MN ∥平面 OCD .[证明 ]如图，取OB中点E，连结ME，NE，则ME∥AB .又∵AB∥CD ，∴ME ∥CD .又∵ME?平面 OCD ， CD? 平面 OCD ，∴ME ∥平面OCD .又∵NE∥OC，且 NE?平面 OCD ， OC? 平面 OCD ，∴NE∥平面OCD .又∵ME∩ NE＝ E，且 ME ，NE? 平面 MNE，∴平面 MNE ∥平面OCD .∵MN ? 平面 MNE ，∴MN∥平面OCD .【类题通法】解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常有的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是互相联系、互相转变的．判断判断(2) 线线平行――→ 线面平行――→ 面面平行所以平行关系的综合问题的解决一定灵巧运用三种平行关系的判断定理．【对点训练】3.如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D 1中， S 是 B1D1的中点， E， F ，G 分别是 BC， DC ，SC 的中点．求证： (1) 直线 EG∥平面 BDD 1B1；(2) 平面 EFG ∥平面 BDD 1B1.证明： (1) 如图，连结 SB，∵E， G 分别是 BC， SC 的中点，∴EG∥SB.又∵SB? 平面 BDD 1B1， EG?平面 BDD 1B1.∴直线 EG∥平面BDD 1B1.(2) 连结 SD，∵F， G 分别是 DC， SC 的中点，∴FG ∥SD.又∵SD? 平面 BDD 1B1，FG ?平面 BDD 1B1，∴FG ∥平面BDD 1B1.又 EG∥平面BDD 1B1，且 EG? 平面 EFG ，FG ? 平面 EFG ，EG∩ FG ＝ G，∴平面 EFG ∥平面BDD 1 B1 .【练习反应】1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的地点关系是 ()A ．必定平行B ．必定订交C．平行或订交D．以上判断都不对分析：选 C可借助于长方体判断两平面对应平行或订交．2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是 ()A ． b? α， a∥ bB ．b? α， c∥ α， a∥b， a∥ cC．b? α， A、B∈ a，C、 D∈ b，且 AC∥ BDD． a?α， b? α， a∥b分析：选 D由线面平行的判断定理可知， D 正确．3．正方体ABCD － A1B1C1D1中， E 为 DD 1的中点，则 BD1与过 A，C，E 三点的平面的位置关系是 ________．分析：如右图所示，连结BD 交 AC 于点 O.在正方体中简单获得点O为 BD 的中点．又由于 E 为 DD 1的中点，所以OE∥BD 1.又∵OE? 平面 ACE，BD 1?平面 ACE，∴BD 1∥平面ACE.答案：平行4．以下命题真命题序号为________①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条订交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．分析：①错，应为一平面内两订交直线与另一平面平行；②当两平面订交时，一面内也有无数条直线均与另一平面平行，②也不对；③中随意直线都与另一平面平行，也有两订交直线与另一平面平行，故③为真；④为两平面平行的判断定理，故④也为真．答案：③④5.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面订交．EF ∥ AC，AB ＝2，EF ＝ 1.求证： AF ∥平面 BDE.证明：设 AC， BD 交于点 G，由于 EF∥AC，且 EF＝ 1，易得 AG＝12AC＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF∥EG.由于 AF?平面 BDE ，EG? 平面 BDE，所以 AF ∥平面BDE .你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

直线与平面平行的判定方法

直线与平面平行的判定方法直线与平面平行是几何学中重要的概念之一，它的判定方法有多种。

本文将介绍几种常用的判定方法，并详细阐述它们的原理和应用。

一、点法向量法判定直线与平面平行点法向量法是判定直线与平面平行最常用的方法之一。

其原理基于向量的垂直性质。

设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线与平面平行的条件是 a·n = 0，其中·表示向量的点乘运算。

通过点法向量法判定直线与平面平行的步骤如下：1. 确定直线的方向向量a和平面的法向量n；2. 计算a·n的值；3. 若a·n = 0，则直线与平面平行；否则，不平行。

点法向量法的应用非常广泛。

例如，在三维空间中，如果我们知道直线上的两个点和平面上的一个点，可以通过求解向量来判定直线与平面是否平行。

二、两条直线法判定直线与平面平行另一种常用的判定直线与平面平行的方法是通过两条直线的相交关系。

设直线L1上两点分别为A和B，直线L2与平面相交于点C，则直线L1与平面平行的条件是直线L2与直线AB平行。

通过两条直线法判定直线与平面平行的步骤如下：1. 确定直线L1上的两点A和B，以及直线L2与平面的交点C；2. 计算向量AC和向量BC的比值；3. 若向量AC与向量BC的比值相等，则直线L1与平面平行；否则，不平行。

两条直线法的优势在于简单直观，适用于直线和平面的方程已知的情况。

三、平面法向量法判定直线与平面平行平面法向量法是一种通过平面的法向量判定直线与平面平行的方法。

其原理基于平面法向量与直线的方向向量垂直的性质。

如果直线的方向向量a与平面的法向量n垂直，即 a·n = 0，那么直线与平面平行。

通过平面法向量法判定直线与平面平行的步骤如下：1. 确定直线的方向向量a和平面的法向量n；2. 计算a·n的值；3. 若a·n = 0，则直线与平面平行；否则，不平行。

平面法向量法的应用比较广泛，尤其在计算机图形学和工程领域中经常使用，用于判定直线与平面的关系。

直线和平面平行的判定定理

直线和平面平行的判定定理一、引言在几何学中，直线和平面的关系是非常重要的一个概念。

直线和平面可以相互交叉，也可以平行。

本文将介绍判定直线和平面平行的定理。

二、定理的表述直线和平面平行的判定定理可以用以下方式表述：若直线上的一点和平面上的一点之间的距离与直线上的一点到平面的垂直距离相等，则该直线与该平面平行。

三、证明过程1. 假设直线L与平面P相交于点A。

2. 选择平面P上的一点B和直线L上的一点C。

3. 连接线段AB和AC，并延长线段AC至点D，使得AD垂直于平面P。

4. 假设AB的长度为d1，AC的长度为d2，AD的长度为h。

5. 根据三角形的性质，我们可以得出三角形ABC和三角形ACD是相似的。

6. 由相似三角形的性质可知，d1/d2 = h/AD。

7. 由于直线L上的一点到平面P的垂直距离等于AD的长度，即d2 = h。

8. 将等式d1/d2 = h/AD带入，可以得到d1/h = h/AD。

9. 简化等式，得到d1 = AD^2 / h。

10. 由于d1是平面P上一点到直线L的距离，所以我们可以得出结论：直线上的一点和平面上的一点之间的距离与直线上的一点到平面的垂直距离相等。

11. 因此，根据定理的表述，我们可以得出直线L与平面P平行。

四、例题现在我们来看一个例题，以帮助我们更好地理解和应用直线和平面平行的判定定理。

例题：已知平面P过点A(1,2,3)和点B(2,4,6)，直线L的方向向量为(1,1,1)，求证直线L与平面P平行。

解答：首先，我们可以计算平面P的法向量。

由于平面P过点A和点B，所以法向量与向量AB垂直。

因此，平面P的法向量为(1,2,3)×(2,4,6) = (-2,4,-2)。

接下来，我们可以计算直线L的方向向量与平面P的法向量的点积。

直线L的方向向量为(1,1,1)，平面P的法向量为(-2,4,-2)。

计算两个向量的点积，得到(1,1,1)·(-2,4,-2) = -4+4-2 = -2。

27高中数学“直线与平面平行”知识点详解

高中数学“直线与平面平行”知识点详解一、引言“直线与平面平行”是高中数学立体几何部分的核心内容之一，它在数学体系和学生数学思维发展中具有重要意义。

理解“直线与平面平行”的定义、性质及判定方法，有助于学生形成完整的知识体系，提高空间想象能力和逻辑推理能力。

本文将详细解析“直线与平面平行”的相关知识点，并通过实例和解析帮助学生更好地掌握这一内容。

二、直线与平面平行的定义一条直线和一个平面平行，当且仅当这条直线不在这个平面上，且与该平面没有交点。

即，直线上的任意一点到平面的距离都相等。

记作：l∥α（l表示直线，α表示平面）。

三、直线与平面平行的性质1.无交点性：直线与平行平面之间没有交点，即直线上的任意一点都不在平面上。

2.距离不变性：直线上的任意一点到平面的距离都是相等的，这个距离称为直线到平面的距离。

3.平行投影性：当一束平行光线照射在直线上时，这些光线在平行平面上的投影仍然是平行的。

4.共面直线性质：如果两条直线分别与同一平面平行，那么这两条直线或者平行，或者相交，或者异面。

四、直线与平面平行的判定方法1.定义法：根据定义，如果一条直线不在平面上且与该平面没有交点，则这条直线与该平面平行。

这种方法需要直接证明直线与平面无交点，通常比较困难。

2.平行线判定法：如果一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。

这种方法通过证明两条直线的平行性来间接证明直线与平面的平行性。

3.垂直线判定法：如果一条直线与平面的一条垂线垂直，那么这条直线与该平面平行。

这种方法利用了垂直线与平面的特殊关系来判定直线的平行性。

4.向量法：在空间中，如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平行。

这种方法通过向量的运算来判断直线的平行性，具有直观性和易操作性。

五、应用举例1.证明题：在几何证明题中，经常需要证明一条直线与一个平面平行。

这时可以利用上述的判定方法，通过证明直线与平面内的一条直线平行、或与平面的垂线垂直、或直线的方向向量与平面的法向量垂直等方法来证明直线与平面的平行关系。

(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

直线与平面平行的判定定理

出一条线与 MN 平行．
【证明】取 PD 中点 E，连接 AE、NE.
直
线
与平 ∵N、E 分别为 PC、PD 的中点，
面平
∴NE=12CD.
又∵M 为 AB 中点，底面 ABCD 为矩形，
行
的 ∴AM=1CD，∴AM=NE.
判
2
定 ∴四边形 AMNE 为平行四边形．
∴MN∥AE.
又∵MN⊄面 PAD，AE⊂面 PAD，
判定
AB∥平面 DCC′D′，但 DC⊂平面 DCC′D′.∴命题④错误．故
选 A.
思考题 1 能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( )
A．b⊂α，a∥b
直
B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
线
与
C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b 且 AC＝BD
平
D．a⊄α，b⊂α，a∥b
面
平
【解析】 A 错误，若 b⊂α，a∥b，则 a∥α 或 a⊂α；
与
平【证明】如右图所示，连接 AC1 交 A1C 于点 O，连接 OD，面平则 O 是 AC1 的中点．
行
又∵点 D 是 AB 的中点，
的
判
∴OD∥BC1.
定
又∵OD⊂平面 CA1D，BC1⊄平面 CA1D，
∴BC1∥平面 CA1D.
探究 2 中位线法证线面平行的口诀：
直线
(1)确定底和腰(BC1 作底，中点 D 所在直线 AB 为腰)；
直线a不在平面α上，则直线a与平面α平行吗？
a
猜想:
b
a
b
a//b
？ a//
证明
反证法
已知： a，b，且 a//b

直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析

2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a?αa ∩α=Aa||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////ab a b a 、.2.2.2平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝?，则a ∥β2、判定定理：判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

2.2.3 直线与平面平行的性质1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.简记为：线面平行，则线线平行.符号表示：若//,,,//a a b a b 则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形那么这两个平面平行．图形条件=α,b ?β，α∩b ＝Pα∥α，b ∥α?β∥αl ⊥αl ⊥β?β∥α结论//////条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝aα∥βl⊥αα∥βa?β结论a∥b l⊥βa∥α1.解题方法（1）证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。

一般结合反证法来证明；3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；2、证明平面与平面平行的常用方法：（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用两个平面垂直于同一直线；（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；基础习题1.设l是直线，，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若l∥,l∥β，则∥βB.若l∥，l⊥β，则⊥βC.若⊥β,l⊥, 则l⊥βD.若⊥β, l⊥, 则l⊥β1.【解析】 B2.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.【解析】 C【例3】（2011江西）已知1，2，3是三个相互平行的平面．平面1，2之间的距离为1d ，平面2，3之间的距离为2d ．直线l 与1，2，3分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“12PP =23P P ”是“12d d ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【解析】D【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，且b m则“”是“ab ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【解析】A【例6】（2012河南）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．12l l ，23l l 13//l l B ．12l l ，23//l l 13l l C ．233////l l l 1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点1l ，2l ，3l 共面【解析】B【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1111AB AC ，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点 D 不同于点C ），且ADDE F ，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE 平面11BCC B ；1A 1C （2）直线1//A F 平面ADE ．1B 【解析】（1）∵三棱柱ABC ﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC ，∵AD ?平面ABC ，∴AD ⊥CC1又∵AD ⊥DE ，DE 、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD ⊥平面BCC1B1，∵AD ?平面ADE∴平面ADE ⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F 为B1C1的中点∴A1F ⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F ?平面A1B1C1，∴A1F ⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F ⊥平面BCC1B1又∵AD ⊥平面BCC1B1，∴A1F ∥AD∵A1F ?平面ADE ，AD ?平面ADE ，∴直线A1F ∥平面ADE ．【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面FDCABEABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 105．【例9】（2012北京）如图1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为,AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使1A F CD，如图2。

考点25 直线与平面垂直的判定-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)

直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．【例】如图，在三棱锥A －BCD 中，CA ＝CB ，DA ＝D B ．作BE ⊥CD ，E 为垂足，作AH ⊥BE 于H ．求证：AH ⊥平面BC D ．【规律总结】（1）证明线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平面； ②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平面．（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．1．如果直线l 和平面α内无数条直线垂直，则直线l 与平面α的位置关系是（）A ．l α⊥B ．l α∥C ．l α⊂D ．以上都不正确【答案】D【解析】无数条直线可能互相平行，不一定有两条相交，故选D ．【解题技巧】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是： ①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．2．若直线a 与平面α内的两条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系是（）A ．垂直B ．平行C ．斜交或在平面内D ．以上均有可能【答案】D3．已知过平面α外一点P ，则下列结论：①存在无数条直线与平面α平行； ②存在无数条直线与平面α垂直； ③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直．其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④【答案】D【解析】根据线面垂直的判定可得．4．下列表述正确的个数为( )①若直线a ∥平面α，直线a ⊥b ，则b ⊥α；②若直线a ⊂平面α，b α，且a ⊥b ，则a ⊥α；③若直线a 平行于平面α内的两条直线，则a ∥α；。

考点23 直线与平面平行的性质-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修2)(原卷版)

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．【例】如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能【答案】B【解析】∵A 1B 1∥平面ABC ，∴A 1B 1∥DE ．又A 1B 1∥AB ，∴DE ∥A B ．【规律方法】（1）应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线．（2）有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，常与公理4等结合起来使用． 1．若直线a ∥平面α，直线b ⊥直线a ，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ∥αB ．b αC ．b 与α相交D ．以上均有可能2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，那么这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．求证：CD＝C1D．。

2018-2019学年高中数学考点21 直线与平面平行的判定庖丁解题新人教A版必修2

考点21 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．【例】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1．【方法技巧】1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【答案】A【解析】①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．2【规律总结】判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面α外，即⊄；②直线b在平面α内，即bαaα⊂；③两直线a，b平行，即a∥b．这三个条件缺一不可．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交【答案】D【解析】a可能在外面，也可能在面内，所以选D．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( ) A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．在内D．不能确定【答案】A【解析】根据三角形相似易得AC和平面DEF内的直线平行，所以线面平行．【易错易混】判断直线l与平面α是否平行，只要关注两点即可：第一：看直线l是否在平面α外；第二：看平面α是否找到一条直线与l平行．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能【答案】D【解析】根据位置分类讨论，已知ABC三种都可能，所以选D．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( ) A．4条B．6条C．8条D．12条【答案】D341．设如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交【答案】A【解析】把这三条线段放在正方体内如图，显然AC ∥EF ，AC ⊄平面EFG ．EF ⊂平面EFG ，故AC ∥平面EFG ．故选A ．2．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 为PA 的中点，O 为AC 与BD 的交点，下面说法错误的是( )A ．OQ ∥平面PCDB ．PC ∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PABC【答案】)【答案】①③【解析】必须在面MNP内找出一条与直线AB平行的线才可以，①③中存在这样的直线4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．5画的对吗？上课了，数学老师要求李明在黑板上画一条直线，使这条直线与地板面没有公共点．李明想了想，他将一矩形直尺的一边和黑板的边沿重合，然后沿着直尺的另一条边画了一条直线，然后就离开了．同学们想一想他的画法对吗？为什么？6。

高一数学人教版A版必修二：2 直线与平面平行的判定牛老师

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►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
连接D1H，在△DD1H中，
∵DDOH＝23＝DDDG1，∴GO∥D1H，又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF， ∴GO∥平面D1EF.
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解析答案
规律与方法
1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作). (2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内. 2.证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形、梯形中位线的性质. (2)利用平行四边形的性质. (3)利用平行线分线段成比例定理.
外一点，E、FE.
证明如图，取PC的中点M，连接 ME、MF，则 FM∥CD 且 FM＝12CD. 又∵AE∥CD 且 AE＝12CD， ∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形. ∴AF∥ME，
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
a⊄α b⊂α a∥b
⇒a∥α
答案
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题型探究
重点难点个个击破
类型一直线与平面平行的判定定理
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( D )
A.相交
B.b∥α
C.b⊂α
D.b∥α或b⊂α
解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.