黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学(理)试题

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哈尔滨市第三中学2020届高三数学综合题三理含解析

∴cos〈 , 〉＝＝。
即OE与FD1所成的角的余弦值为。
10. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）
A. B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
因，故由题设在区间内有零点，即，所以且，即，应选答案D．
11。已知两正数，，满足，则的最小值为（）
【详解】解：∵ ，
复数的虚部是．
故选:C
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题。
2. 已知，函数 ,若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B。
C. D。
【答案】C
【解析】
试题分析:因为, 满足关于的方程，所以，，使取得最小值，因此，是假命题，选C．
15。中, ，，，为边上一动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三边长得出直角三角形,以作为基底,表示出，即可求得模长，利用函数单调性求出最值。
【详解】中，， , ，，
根据勾股定理
为边上一动点，设 ,
，
，
则
，根据二次函数性质，当时，取得最小值，
最小值为。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.）
13。展开式中的系数是______。（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理得到展开式通项,进而得到展开式通项，令幂指数等于可求得，代入求得结果。
【详解】展开式通项公式为 ,
展开式通项公式为 ,
考点:方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)(有解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为()1+iA. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)2.已知集合M={x|x2+x−6≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−3,2]C. (0,3]D. [−3,+∞)3.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 6πB. 8πC. 7πD. 11π4.下列说法正确的是()A. f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，则f(x)≥0的充分条件是b2−4ac≤0B. 若m，k，n∈R，则mk2>nk2的充要条件是m>nC. 对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，x02≥0D. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β5.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i6.某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A. 10B. 12C. 16D. 207.阅读下面的程序框图，若输入a,b,c的值分别是2，1，7，则输出的值是()A. 3B. 6C. 8D. 98. 若0<α<π2，cos(π3+α)=13，则cosα=( )A. 2√2+√36B. 2√6−16C. 2√6+16D. 2√2−√369. 已知数列{a n }是公差为12的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.若a 2,a 6,a 14成等比数列，则S 5=( )A. 252B. 35C. 352D. 2510. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (1,+∞)D. (12,+∞)11. 点S ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，S ，O 在平面ABC 的同侧，∠ABC =120°，AB =BC =2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S −ABC 的体积为√3，则该球的表面积为( )A. 18πB. 16πC. 20πD. 25π12. 设f(x)=e x +b x +c ，若方程f(x)=x 无实根，则( )A. b >1，c <1B. b >1，c >−1C. b ≤1，c <1D. b ≤1，c >−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=9，|b ⃗ |=4，夹角为120°，a ⃗ ⋅b⃗ = ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2，则2x −y 的最大值为______．15. 设A 是抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与双曲线C 2：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点．若点A 到抛物线C 1的准线距离等于32p ，则双曲线C 2的离心率等于______．16. 有三家分别位于△ABC 顶点处的工厂，已知AB =AC =5，BC =6，为了处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP ，BP ，CP ，则AP +BP +CP 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π．2(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．(1)求证：AB1⊥平面A1BC．(2)当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．19.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21. 求证：1+122+132…+1n 2<2−1n (n ∈N ∗,n ≥2)22. 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数).点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,π6)，(ρ2,23π)． (1)写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(Ⅰ)解不等式：f(x)+f(x −1)≤2；(Ⅱ)当a >0时，不等式2a −3≥f(ax)−af(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．2.答案：A解析：本题考查了一元二次不等式的解法和集合的交集运算.先解不等式，再求交集．解：因为M={x|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，N={x|x>0}，所以M∩N=(0,2]，故选A．3.答案：C解析：解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S=2π×1×2+12×2π×1×2+π×12=7π，故选：C．由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.答案：D解析：解：对于A，当a<0时，由b2−4ac≤0不能得到f(x)≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2>nk2的一定能推出m>n，但是，当k=0时，由m>n不能推出mk2>nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02<0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D由充分必要条件的判定方法判断A，B，直接写出全程命题的否定判断C，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可以判断D本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定、命题的逆否命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，空间直线与平面位置关系的判断，属于中档题．5.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．6.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．根据题意，用间接法分析：先计算从2名女教师和4名男教师中任选3人的选法数目，再分析其中没有女生，即全部为男生的选法数目，分析可得答案．解析：解：根据题意，从2名女教师和4名男教师中任选3人，有C63=20种选法，其中没有女生，即全部为男生的选法有C43=4种，则少有1名女教师要参加这项工作的选法有20−4=16种；故选C．7.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．根据模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a=2，b=1，c=7，不满足a<b，所以执行m=b+c=8;故选C．8.答案：C解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．由已知角的范围可求π3+α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，由于α=(π3+α)−π3，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵0<α<π2，∴π3<π3+α<5π6，∴sin(π3+α)=√1−cos2(π3+α)=2√23，∴cosα=cos[(π+α)−π]=cos(π+α)cosπ+sin(π+α)sinπ=13×12+2√23×√32=1+2√66．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了等差数列的求和与等比数列的性质，属于基础题．根据等比数列的性质求得等差数列的首项，然后求解其前n项和即可．解：∵a 2,a 6,a 14成等比数列，∴a 62=a 2a 14，即(a 1+5×12)2=(a 1+12)(a 1+13×12)，解得a 1=32， ∴S 5=5a 1+5×42d =152+5=252，故选A ．10.答案：A解析：本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．解：x ∈(12,+∞)时，x 2+32x =(x +34)2−916>1，函数f (x )=log a (x 2+3x2)(a >0且a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，所以a >1，∴函数f(x)的定义域为x 2+32x >0，解得x <−32或x >0，由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间(0,+∞)，故选A ．11.答案：D解析：解：三棱锥O −ABC ，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且AB =BC =2，∠ABC =120°， ∴BC =2√3，∴∴△ABC 外接圆半径2r =2√3sin120°=4，即r =2∴S △ABC =12×2×2×sin120°=√3， ∵三棱锥S −ABC 的体积为√3，∴S到底面ABC的距离ℎ=3，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S−ABC补成一个同底等高的棱柱，则圆心O到平面ABC的距离d=32．球的半径为：R2=d2+r2=254球的表面积：4πR2=25π．故选：D求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.答案：D解析： f(x)>x恒成立是解题关键，本题考查函数零点与方程的根的关系，属基础题．解：由题意，若方程f(x)=x无实根，可得 f(x)>x恒成立，e x>(1−b)x−c对任意x恒成立．∴1−b>0, −c<1 或b=1,−c≤0，故选D．13.答案：−18)=−18．解析：解：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=9×4×cos120°=9×4×(−12故答案为：−18．利用数量积定义即可得出．本题考查了数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：先根据约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2画出可行域，由{x =2x +y =2得A(2,0)，当直线z =2x −y 过点A(2,0)时， z 最大是4，故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.答案：√3解析：解：不妨设A(x 0,y 0)，y 0>0，由题意可得x 0+p2=32p ，∴x 0=p ，又A 在抛物线C 1：y 2=2px(p >0)上，所以y 0=√2p ，从而，ba =√2，可得c 2−a 2a 2=2，所以e =ca =√3．故答案为：√3．设出A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为32p ，得到A 的横坐标，利用A 在抛物线上，求出a ，b 关系，然后求解离心率即可．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．16.答案：495解析：解：由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245， ∵4+6>5+245，∴AP +BP +CP 的最小值为495．故答案为：495．由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245，即可求出AP +BP +CP 的最小值．本题考查AP +BP +CP 的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵a =1，b =√2，B =A +π2．∴A 为锐角，∴由正弦定理可得：sinA =asinB b=1×sin(A+π2)√2=√2，两边平方整理可得：sin 2A =1−sin 2A2，解得：sinA 2=13，有sinA =√33．(2)∵C =π−A −B =π2−2A ，∴由正弦定理可得：c =asinC sinA=1×sin(π2−2A)sinA =cos2A sinA=2cos 2A−1sinA=1−2sin 2A sinA=1−2×(√33)2√33=√33， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×√33×√33=√26．解析：(1)由已知可得A 为锐角，由正弦定理可得sinA =asinB b=cosA √2，两边平方整理可解得sin A 的值．(2)利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得c ，根据三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题． 18.答案：解：(1)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，BC ⊥AB ，且AA 1=AB =2 ∴A 1A ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC∴A 1A ⊥BC又∵BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A∴BC ⊥平面AA 1B 1 B ，平面AB 1⊂平面ABB 1A ∴BC ⊥AB 1∵四边形A 1ABB 1是正方形∴A 1B ⊥AB 1又∵BC ∩A 1B =B∴AB 1⊥平面A 1BC(2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ∵BC ⊥平面A 1ABB 1∴∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ∵BC =2∵AO =12AB 1=√2，sin∠ACO =sinθ=AOAC∴AC═2√2,AO =√2在Rt △AOC 中，sinθ=12∴θ=π6∴BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6 解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，则B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(2,0，0)A 1(0，2，2) 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC B 1(0,0，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) ∵直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ∴sinθ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12即BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6解析：(1)证明BC ⊥AB 1，A 1B ⊥AB 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB 1⊥平面A 1BC ． (2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ，说明∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ，在Rt △AOC 中，求解直线AC 与平面A 1BC 所成的角．解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，求出B ，A ，C ，A 1，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．19.答案：(1)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况．其中a ≥b 的情况由(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P =39=13．(2)因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人，设抽到B 班同学的人数为X ， ∴X 的可能取值为1，2，3． P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 20C 53=110．∴X 的分布列为：数学期望为E(X)=1×310+2×35+3×110=95．解析：本题考查茎叶图和古典概型及离散型随机变量分布列和期望问题，属于一般题． (1)根据茎叶图解决概率问题；(2)离散型随机变量的分布列和数学期望问题．20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，由题意可得直线MN 的方程为y =x −1，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．21.答案：证明：∵1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n ．解析：利用1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，即可证明结论．本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ，(φ为参数)，消去参数φ，化为普通方程是x 2+(y −3)2=9；由{x =ρcosθy =ρsinθ,(θ为参数)． ∴曲线C 的普通方程可化为极坐标ρ=6sinθ，(θ为参数)． (2)方法1：由A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)是圆C 上的两点，且知，∴ |AB|为直径，∴|AB |=6．方法2：由两点A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)化为直角坐标中点的坐标是A(3√32,32)，B(−3√32,92)， ∴ A 、B 两点间的距离为|AB |=6．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．(1)消去参数φ，把曲线C 的参数方程化为普通方程；由公式{x =ρcosθy =ρsinθ，把曲线C 的普通方程化为极坐标方程；2)方法1：由A 、B 两点的极坐标，得出，判定AB 为直径，求出|AB|；方法2：把A 、B 化为直角坐标的点的坐标，求出A 、B 两点间距离|AB|．23.答案：解：(Ⅰ)原不等式等价于：当x ≤1时，−2x +3≤2，即12≤x ≤1．当1<x ≤2时，1≤2，即1<x ≤2．当x >2时，2x −3≤2，即2<x ≤52．综上所述，原不等式的解集为{x|12≤x ≤52}.(Ⅱ)当a >0时，f(ax)−af(x)=|ax −1|−|ax −a|=|ax −1|−|a −ax|≤|ax −1+a −ax|=|a −1|，所以，2a −3≥|a −1|，解得a ≥2．解析：(Ⅰ)分当x ≤1时、当1<x ≤2时、当x >2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a >0时，利用绝对值三角不等式可得f(ax)−af(x)≤|a −1|，结合题意可得2a −3≥|a −1|，由此解得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷(理科)题号一一三总分得分、选择题(本大题共 12小题，共60.0分)2.若复数 z=：：，则 |z|=()A. 8B. 2C. 23.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )2A.4B. C. 28D.4.41已知a 项,b=4亏，1c=2S§,则( )A. b v av cB. av b v cC. bv cv aD. cv av b 5.已知数列｛an ｝的前 n 项和 Sn= 2+ ?3n , 且 a 〔 = 1,则 S5=()A. 2753B .31C.D. 316.设随机变量 —B (2, p ),广B (4, p),若P(fA)二；,则P .A)2的值为( )32116516A. ：iB. ■-C.D.1. 已知全集U=R,集合A=｛-2 , -1, 示的集合为()0,21, 2} , B={xX>4｝则如图中阴影部分所表A. {-2 , -1 , 0, 1} C. {-1 , 0}B. {0} D. {-1 , 0, 1},, , X1 / ,, —,尸八、L 工rm7.已知双曲线C: 丁亍=1 (a>0, b>0)的右焦点F2到渐近线的距离为4,且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F I的距离为( )函数rw=¥，方程[f (X) ]2- (m+1) f（x ） +1-m=0有4个不相等实根，贝U m的取8. 9. 10. 11. A. 2B. 4 甲、乙等5人排一排照相，要求甲、有（）A. 36 种B. 24 种C. 6D. 8乙 2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共C. 18 种阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为不可能是（B. rK 2015nV 2016 D. 12 种0,则判断框中的条件A. n< 2014若’'•- ‘七A. 36兀 C. D. n< 2018）的展开式中含有常数项,817TB. _C. 且n 的最小值为a,则-、祯'-技四25nTD. 25兀已知x 2+y 2= 4,在这两个实数x, y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列, 那么这个等差数列后三项和的最大值为（ B. A. J"C. 111D.值范围是（ e + 1 C. . ■ .：■e + e e —eD. -二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）已知向量；=（-3戳,则向量:与日夹角的余弦值为13. 14. + 2y —6 < 0设x, y 满足约束条件］；言?，则z = 7 的最大值是15. 学校艺术节对同一类的 A, B, C, D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“ A 作品获得一等奖”；乙说：“ C 作品获得一等奖”丙说：“ B, D 两项12.(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记 ¥为该居民用户116.17. 18. 作品未获得一等奖”；丁说：“是 A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 .在四面体 ABCD 中，AB=AD=2, ZBAD=60 °, ZBCD=90 °,二面角 A-BD-C 的大小为150。

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第三次调研数学(理)试题(解析版)

故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11．已知点是椭圆椭上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若为的平分线上一点，且，则的取值范围（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】延长交于点 ,由题可得 ,又有 ,可得为的中点,即 ,根据的范围求范围即可
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出有两个不同零点时的范围,再求出有两个不同零点时的范围,再画出与的图象,可得一交点为 ,进而由图象得到的范围,使之满足再与之前所求得交集即可
【详解】
由题, ,当时, 恒成立,即在上单调递增,无法满足题意,故舍去；当时,令 ,可得 ,则在上单调递增, 上单调递减,且时, ,故由题需满足 ,即；
【详解】
（1）由题, ( 为参数), ,
即曲线的普通方程为；
又 , , ,
即曲线的直角坐标方程
（2）由（1）可得曲线为 ,则其极坐标方程为
射线与曲线分别相交于异于极点的点 ,
,
,
,
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标系下的弦长的最值问题,考查运算能力
,
由（1）,则 ,
,
,
【点睛】
本题考查等比数列的证明,考查累加法求通项公式,考查错位相减法求前项和,考查运算能力
20．已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程;
（2）设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.

2020年哈三中三模理科数学试卷

理科数学试卷第1页共 4 页2020年哈三中高三学年第三次模拟考试数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB = A ．[)1,3 B ．(]1,3C ．()1,+∞D ．[)3,+∞2．在复平面内，复数12i i -对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列函数中是偶函数，且在(),0-∞上单调递增的是A ．()23f x x = B ．()2x f x = C ．()21log 1f x x =+ D ．()1f x x x =- 4．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么2020a = A ．10091010 B ．10091010- C ．20192020D ．20192020- 5．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6．函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是A ．20ex y e --=B ．230ex y e --=C ． 20ex y e +-=D ．230ex y e +-= 7．“克拉茨猜想” 又称“ 31n +猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为A ．32或5B ．16或2C ．16D ． 32或5或4 • • • • • A (1,3) B (2,4) C (4,5) D (3,10)E (10,12) y x O。

2020届黑龙江省实验校高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2020届黑龙江省实验校高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D【解析】根据补集的定义直接求解即可. 【详解】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A B =-.故选：D. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“//m n ”是“//m α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据线面平行的判定定理和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由,m n αα⊄⊂，//m n ，则由线面平行的判定定理得//m α 由//m α不能得出m 与α内任意直线平行，则//m α不能得出//m n 即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，涉及了线面平行的判定定理和性质的应用，属于基础题.3．假设i 为虚数单位，复数21i z i +=-，则在复平面中，z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】先化简复数，得出点的坐标，即得.【详解】由题，2(2)(1)1(1)(1)i i i z i i i +++==--+223231122i i i i ++==---，则z 对应的点位于第三象限. 故选：C 【点睛】本题考查复数的运算法则和几何意义，属于基础题.4．已知tan 2α=，5cos 43sin 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）． A ．3 B ．1C ．1-D ．3-【答案】A【解析】先根据两角和差的正余弦公式展开计算，然后利用“弦化切”进行计算即可. 【详解】55522cos cos cossin sin cos sin cos sin 44422333sin cos 22sin cos cos sin sin sin cos 44422πππαααααααπππααααααα⎛⎫-+-- ⎪+⎝⎭===-⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭1tan 3tan 1αα+==-.故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的变换及求值，考查计算能力，属于常考题.5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（） A ．7 B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．【考点】1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 【详解】易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，∴排除C ，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题.7．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11C ．109D ．36【答案】D 【解析】【详解】由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D8．已知数列{}()1111,,124n nn a a an a -==-≥，则a 2020=（） A ．45B ．14C ．﹣3D ．15【答案】B【解析】根据题干所给的递推关系得到数列的周期为3，进而得到a 2020=1a =14. 【详解】数列{}n a ，满足()1112n n a n a -=-≥，因为114a =故得到2111a a =-=-3，再代入得到3211a a =-==43，431114a a =-=，54113a a =-=-，进而可以发现数列是有周期的，周期为3，2020=6733+1⨯，故a 2020=1a =14. 故答案为B. 【点睛】这个题目考查了数列通项公式的求法，即通过数列的递推关系找到数列的通项，或者通过配凑新数列进而求出通项，或者通过找规律找到数列的周期性，进而求出特定项的值. 9．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A ．254πB ．643πC ．25πD ．32π【答案】B【解析】根据三视图知几何体是一个三棱锥，画出直观图，AB ⊥平面,PAC且2,4PA PC AC AB ====得到球心在过PAC 外心且与AB 平行的线段上，且到底面的距离是AB 的一半，利用直角三角形勾股定理求出球半径，得解. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥B PAC -，其中AB ⊥平面,2,4PAC PA PC AC AB ====.设外接球的半径为,R PAC △外接圆的半径23r =，则2221623R r =+=，所以外接球的表面积26443S R ππ==. 故选：B. 【点睛】本题考查三视图及几何体的外接球问题.（1）几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．（2）与球有关外接问题关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．10．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【解析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．11．已知直线3y x =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．31+D ．312+ 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为2F ,连接22,AF BF ,则根据题意可知四边形2AFBF 为矩形,因此在2Rt BFF 中,由260BOF ∠=,22FF c =,可计算出2BF BF -=32c c a -=,从而求出离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为2F ,如下图所示,连接22,AF BF ,因为AF BF ⊥,结合双曲线的对称性可知四边形2AFBF 为矩形, 又直线AB 的斜率为3,则260BOF ∠=, 故在2Rt BFF 中,260BF O ∠=,22FF c = 因此23,BF c BF c ==, 即有323131c c c a e a -=⇒===+-, 故选:C. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,需要学生综合运用所学知识,属于中档题.12．已知函数()1x f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点，且()0f x <恰好有唯一整数解，则的取值范围是（）A ．221,e 2e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．22211,11,22e e e e ⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()1,e e - D ．()2211,1,2e e e e e e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】求导，由()0f x '=得()ln 1,1x a =∈-可求出a 的范围，再考查ln a 与零的大小比较，在()ln 1,0a ∈-时，结合题意得出()()1020f f ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩，以及当()ln 0,1a ∈时，()()1020f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解出实数a 的范围可得出答案．【详解】()1x f x e ax =--，则()x f x e a '=-，由于函数()y f x =在区间()1,1-上存在极值点，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =，所以，1ln 1a -<<，解得1a e e<<，由于()00f =，且不等式()0f x <恰有一整数解．①当ln 0a =时，即当1a =时，()1xf x e '=-，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．此时，函数()y f x =在0x =处取得最小值，则()()00f x f ≥=，不合乎题意； ②当1ln 0a -<<时，即当11a e<<时，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>．所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞．由题意可得()()212210110f e a f e a --⎧-=+-≥⎪⎨-=+-<⎪⎩，解得22112e e a e e --≤<，此时，22112e e a e e--≤<； ③当0ln 1a <<时，即当1a e <<时，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>．所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞．由题意可得()()22210110f e a f e a ⎧=--≥⎪⎨=--<⎪⎩，解得2112e e a --<≤，此时，1e a e -<<．因此，实数a 的取值范围是()2211,1,2e e e e e e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选D ．【点睛】本题考查函数的极值以及函数的零点问题，难点在于不等式整数解的问题，充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力，属于难题．二、填空题13．如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．【答案】(10,3)+∞ 【解析】根据题意，设()01AE mAD m =<<，根据向量的线性运算，利用AB AC →→、表示出AE →，求出λ和μ，然后利用双钩函数的单调性求出12λμ+的取值范围. 【详解】解：由题可知，13B BCD →→=，设()01AE mAD m =<<，则13AE m AB BC ⎛⎫=+⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，所以2133AE m AB m AC →→→=+，而AE AB AC λμ→→→=+，可得：21,33m m λμ==，所以1323m mλμ+=+()01m <<，设()33m f x m=+()01m <<，由双钩函数性质可知，()f x 在()0,1上单调递减，则()()1101333f x f >=+=，所以12λμ+的取值范围是(10,3)+∞. 故答案为：(10,3)+∞. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力.14．已知函数()31,0,1,0,2x x f x x x x +≤⎧⎪=-⎨>⎪+⎩在区间[]1,2-上任取一个实数m ，则()0f m >的概率为________．【答案】49【解析】先求出不等式()0f m >的解，然后利用几何概型的概率计算公式计算即可. 【详解】当10m -≤≤时，由310m +>，得103m -<≤；当02m <≤时，由101m m ->+，得12m <≤；当1(,0](1,2]3m ∈-时，()0f m >，由几何概型的概率计算公式，得所求概率为()1143219+=--．故答案为：49【点睛】本题考查“长度型”几何概型的概率计算问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ﹣BCD ，则在三棱锥A ﹣BCD 中，下列判断正确的是_____．（写出所有正确的序号）①平面ABD ⊥平面ABC②直线BC 与平面ABD 所成角是45° ③平面ACD ⊥平面ABC ④二面角C ﹣AB ﹣D 3【答案】②③④【解析】①反证法，假设平面ABD ⊥平面ABC ，容易推出BC 垂直于平面ABD ，从而90DBC ∠=︒，出矛盾；②利用几何法找到其平面角为CBD ∠，求解即可判断；③证明AB ⊥平面ADC ，从而得到平面ACD ⊥平面ABC ；④证明DAC ∠为二面角C AB D --的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断．【详解】在四边形ABCD 中，由已知可得∠DBC ＝45°，假设平面ABD ⊥平面ABC ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BDC ＝BC ，可得BC ⊥平面ABD ，有∠DBC ＝90°，与∠DBC ＝45°矛盾，则假设错误，故①错误；在四边形ABCD 中，由已知可得BD ⊥DC ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，则DC ⊥平面ABD ， ∠DBC 为直线BC 与平面ABD 所成角是45°，故②正确；由判断②时可知，DC ⊥平面ABD ，则DC ⊥AB ，又BA ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，则AB ⊥平面ADC ，而AB ⊂平面ABC ，则平面ACD ⊥平面ABC ，故③正确；由判断③时可知，AB ⊥平面ADC ，则∠DAC 为二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角，设AD ＝AB ＝1，则BD ＝DC 2=，由DC ⊥AD ，得AC 3=，得cos ∠DAC 3AD AC ==，故④正确．∴判断正确的是②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题考查空间中平面与平面垂直、线面角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16．点,A B 是抛物线()2:20C y px p =>的两点，F 是抛物线C 的焦点，若60AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则dAB的最大值为________. 【答案】1【解析】设AF a =，BF b =，由题意得d 与,a b 的关系，在三角形中由余弦定理得AB 与,a b 的关系，求出比值，由均值不等式求出最大值. 【详解】设AF a =，BF b =，则2a bd +=，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-=+-∠， ()()2222213131112224a b d ab ab AB a b ab ab ab a b ab +∴==+≤+=+--+-，当且仅当a b =时取等号. 故答案为：1. 【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，考查学生计算能力，属于中档题.17．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.圆2C 的方程为()2211x y -+=，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0(0)θθρ=≥. （1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）当002πθ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且2ON OM =，求2MC N 的面积. 【答案】（1）ρ=，2cos ρθ=；（2）14. 【解析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再表示成极坐标方程即得，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入圆2C 的普通方程，整理即得极坐标方程；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(有解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.已知i为虚数单位，则9+8i1+2iA. 5−2iB. 5+2iC. 6iD. 82.已知集合A={x|(x+1)(x−3)<0}，B={1,2，3}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|1≤x≤2}C. {1,2，3}D. {1,2}3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.已知向量β⃗=(−2,1)，向量α⃗与β⃗的夹角为180°，且|α⃗|=2√5，则α⃗=()A. (−4,2)B. (4,−2)C. (−4,−2)D. (4,2)5.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。

若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.如图所示的程序框图是为了求出满足21+22+⋯+2n>2018的最小整数n，则和两个空白框中，可以分别填入()A. S>2018?，输出n−1B. S>2018?，输出nC. S≤2018?，输出n−1D. S≤2018?，输出n8.数列{a n}的前n项和S n=3n2−5n，则a6的值为()A. 78B. 58C. 50D. 289.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若|MN|=5，则点P到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 1 D. 1211.函数f(x)=−x2+5x−6的零点是()A. −2，3B. 2，3C. 2，−3D. −1，−312.已知数列{a n}中，a n=nn2+156(n∈N∗)，则数列{a n}的最大项是()A. a12B. a13C. a12或a13D. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x−1≤02x−y−1≥0x−2y−2≤0，则z=x+3y的最大值为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AF1|=|AB|，则双曲线的离心率为______．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√3，其相邻两个零点之间的距离为π2，且f(x)的图象关于直线x=−π3对称，则当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥CD，AD=AB=2，作BE⊥CD，E为垂足，将△CBE沿BE折到△PBE位置，如图2所示．(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PDE；(Ⅱ)当PE⊥DE时，平面PBE与平面PAD所成角的余弦值为2√5时，求直线PB与平面PAD所5成角的正弦值．19.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，经过点B(0,1).设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．20.某学校高三年级有1000名学生，按分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生分析期末某学科的考试成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图．(Ⅰ)试计算男生、女生考试成绩的平均分；(Ⅱ)若由直方图可以认为，男生考试成绩服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ为10，利用该正态分布，求：(ⅰ)P(62<Z<82)；(ⅰ)若全校所有男生考试成绩在区间(62,82)人数记为X，利用(ⅰ)的结果，求E(X)．(Ⅲ)若从50名学生中任意抽取两名考试优秀的(90分以上为优秀包括90分)学生参加该学科的竞赛，若两名男生参加可以获A奖励；若两名女生参加可以获B奖励；若一名男生和一名女生参加可以获C奖励，试判断三种奖励的哪种奖励的可能性大？参考数据：若Z～(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826．21.已知函数f(x)=xe x−a(ln x+x)，a∈R。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷1 (含答案解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+ai(a∈R)，则|(1−i)z|=4，则a的值为()A. 2B. ±2C. 0D. ±12.已知命题p:∀x∈R，x≥2，那么命题￢p为()A. ∀x∈R，x≤2B. ∃x0∈R，x0<2C. ∀x∈R，x≤−2D. ∃x0∈R，x0<−23.已知集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}，则A∩B=()A. {−1,3}B. {0,3}C. {−1,0，3}D.{−1,0，3，5}4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A. f(x)=2sin(x−π3)B. f(x)=2sin(π6x−1)C. f(x)=2sin(π3x−π3)D. f(x)=2sin(π6x−π6)5.已知抛物线y2=4x，过其焦点F作倾斜角为π4的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，则弦BC 的长为()A. 103B. 2C. 4D. 86.已知函数f(x)=22x−52⋅2x+1−6(x∈[0,3])的值域为()．A. (0,18]B. (2,9]C. [−494,18] D. [−17,−494]7.直线y=kx+1与圆(x−2)2+(y−1)2=4相交于P、Q两点.若|PQ|≥2√2，则k的取值范围是()A. [−34,0] B. [−√33,√33] C. [−1,1] D. [−√3,√3]8.已知某几何体的三视图如图所示(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是()A. 36π+288B. 36π+216C. 33π+288D. 33π+2169.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310D. 32010.阅读下图的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果是()A. 50B. 1012C. 51D.11.设函数f(x)=sin(2x+π6)，则下列结论正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=π3对称B. f(x)的图象关于点(π6,0)对称C. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π12]上为增函数D. 把f(x)的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象12.已知f(x)=x2−3，g(x)=me x，若方程f(x)=g(x)有三个不同的实根，则m的取值范围是()A. (0,6e3) B. (−3,6e3) C. (−2e,6e3) D. (0,2e)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，向量b⃗ =(1,y)，若a⃗//b⃗ ，则实数y的值是______．14.在等比数列{a n}中，a1=3，2a1+a2=12，则a4=______．15.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．16.在平面直角坐标系xoy中，动点P到两个顶点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则下列命题中真命题的序号是______(1)曲线E经过坐标原点(2)曲线E关于x轴对称(3)曲线E关于y轴对称(4)若点(x,y)在曲线E上，则−3≤x≤3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，a2+a3=7，a4+a5+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求1S3+1S6+⋯+1S3n．18.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的50000辆电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图．(1)采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取1辆，求恰好为电动汽车的概率；(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助100元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助300元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．19.如图，四棱锥P−ABCD中，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2BC=2，AB⊥AD，AB⊥BC．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若棱锥P−ABCD的体积为√3，求该四棱锥的侧面积．220.已知函数f(x)=(x+a)lnx．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围．21.在平面直角坐标系中，已知两点A(−3,0)及B(3,0)，动点Q到点A的距离为10，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P．(Ⅰ)求|PA|+|PB|的值；(Ⅱ)求点P的轨迹方程．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方)=2√2，两条曲线交于A，B两点．程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−3|(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥x+8的解集；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为5，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=2+ai，∴(1−i)z=(1−i)(2+ai)=(2+a)+(a−2)i，由|(1−i)z|=4，得√(2+a)2+(a−2)2=4，解得a=±2．故选：B．把z=2+ai代入(1−i)z，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模列式求得a的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于简单题．根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴命题的否定是∃x0∈R，x0<2．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={−1,0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2−1,n∈Z}={−1,0，3，8，15，…，}，∴A∩B={−1,0，3}．故选：C．4.答案：C。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)

2020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 .1．（5 分）已知i为虚数单位，则 1i(i)A ．0B ． 1C ． 1 iD ．12．（5 分）设 A ｛1，2，3｝， B{ x | x 2 x 1 0} ，则 A I B ()A ．{1，2} B ．｛1， 2， 3} C ．{2 ，3}D ．{1}3．（ 5分）某校为了研究 a ，b 两个班的化学成绩，各选了 10人的成绩，绘制了如右茎叶图，则根据茎叶图可知， a 班 10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是（）A ． 83 ， aB ． 82.5， bC ． 82.5， aD ． 82，b4．（ 5 分）已知向量 a r(1, 3) ， b r （x,1）且a r 与 b r 的夹角为60 ，则 | b r | () A ． 2 3B ．1C ． 3D ． 233335．（5分）2019年10月1日 1上午，庆祝中华人民共和国成立 70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道： ①甲不是军事科学院的； ② 来自军事科学院的不是博士； ③乙不是军事科学院的； ④ 乙不是博士学位； ⑤ 国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（）A ．国防大学，研究生B ．国防大学，博士C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，研究生xx6．（ 5分）函数 f （x ） e 2e ，在 [ 3， 3]的图象大致为（）ln （ x 1）A ．3 2 3 2分)为计算 S 1 23 32 43 527．（5 1)2C ． i, 99 和 N N (i 2 8．（5 分）已知数列 { a n } 满足 a n 22a n a n 1ga n D ．992B ． D ． a n 1则 S 6 ( ) A ． 12B ．126B 3 1003设计了如图所示的程序框图，则在2 99 和 N N (i 1)23 101 和 N N (i 1)3a n 1 ，S n 为其前 n 项和，若 a 1 1 ，a 23，124D ．1209．( 5分)现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为 ( )数 m 的取值范围是 ( )A ．(5 6， 1)B ．(5 6，3 2 2)C ．( 1 ，3 2 2)D ．( 1 ， 1)2 6 2 20 20 612．( 5 分 ) 已知等差数列 {a n } 的公差为 2020，若函数 f(x) x cosx ，且 f(a 1) f (a 2) f (a 2020 ) 1010 ，记 S n 为{a n } 的前 n 项和，则 S 2020的值为 ( )2021 4041A ． 1010B ．C ． 2020D ．22二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分.x y 1, 013．(5 分)已知 x 、 y 满足约束条件 x y, 0 ，则 z x 2y 的最大值为．x ⋯02214．( 5分)已知双曲线 C: x 2 y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2作一条 ab 直线 l 与其两条渐近线交于 A ，B 两点．若 AOB 为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为 e ，则 e 2．15．(5 分)己知函数 f(x) 2sin( x )( 0，| | )过点 (0,1) ，若 f(x)在[0，1]上恰2好有两个最值且在 [ 1， 1] 上单调递增，则．4416．(5 分)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、 N 、 E 分别为棱 AA 1、AB 、AD 的中点，以 A 为圆心， 1为半径，分别在面 ABB 1 A 1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE ，B 两点(点 A 在 x 轴上方)，点 P(1,2)，连接 AP 交y 轴于 M ，过M 作MD //PF 交 AB 于D ，若 FA 5DA ，则 AB 斜率为 ()4 ．31A ．BC ．D ．23．42(x 1)2 1 x211．( 5分)已知函数 f (x)1，若函数 Ff (x) mx 有 4 个零点，则实f ( x 2) x ⋯24x ，F 为其焦点，过 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、2A ． 36B ．24C ．22D ．202 10．(5 分)已知抛物线 C 的方程为 y 2并将两弧各五等分，分点依次为M 、P1、P2、P3、P4、N以及N、Q1、Q2、Q3 、Q4、E．只蚂蚁欲从点P1出发，沿正方体的表面爬行至Q4 ，则其爬行的最短距离为．参考数据：cos9 0.9877 ；cos18 0.9511 ；cos27 0.8910)三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12 分）在平面四边形ABCD 中，E为AB上一点，连接CE，DE，已知AE 4BE，2 AE 4，CE 7，若 A B CED ．3（1）求BCE 的面积；（2）求CD 的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，CA CB，侧面ABB1 A1是边长为 2 的正方形，点E 、F 分别是线段AA1 ，A1 B1的中点，且CE EF ．（1）证明：平面ABB1 A1 平面ABC ；（2）若CE CB ，求直线AC1 与平面CEF 所成角的正弦值．.第17～21 题为必考题，3 3 x 2y219．（12分）设直线AC:y 3x与直线BD:y 3 x分别与椭圆E: x y1（m 0）交6 6 4m m于点A，B，C，D，且四边形ABCD 的面积为 2 3．（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点P（0,2）的动直线1与椭圆E相交于M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由．20．（12分）材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“ 3 3” 的考试科目．前一个“ 3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“ 3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8 省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科日成绩和考生选择的 3 科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750 分．即通常所说的“ 3 1 2 ”模式，所谓“3 1 2”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1” 指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“ 2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A、B、C、 D 、E五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“ 3 1 2 ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学” 的概率．（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450 分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450 分：①考生甲得知他的成绩为270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171 分，351 分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201 分，351分以上共有57 人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪．附：P(,X) 0.6828 ；P(2,X2)0.9544 ；P(3X3)0.9974．21．( 12 分) 已知函数xf ( x ) 2e x ax(a 0)(1)讨论函数 f (x) 的零点个数：(2)若a e m e n( m ，n为给定的常数，且m n，记f (x)在区间(m, n)上的最小值为g(m,n) ，求证：g(m，n) (1 m ln 2)e m (1 n ln2) e n．二、选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4 一4：极坐标与参数方程]x 2 cos22．(10 分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1 的参数方程为( 为参数)，y 2sin以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为4sin ，设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为1．(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转后与圆C1 、圆C2 分别在第一象限交于6A、B两点，求|AB|．[选修 4 一5：不等式选讲]1123．已知函数f(x) |x | ，且对任意的x，f(x) f( x )⋯m．(1)求m 的取值范围；( 2)若m N ，证明： f (sin 2 ) f (cos2 a 1), m ．所以 a 班化学成绩更稳定些．故选： C ．4．（ 5分）已知向量 a r （1, 3），b （x,1）且a r 与 b 的夹角为 602020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 .1．（5 分）已知 i 1i为虚数单位，则 1 i i()A ．0B ． 1C ． 1iD ．1【解答】解： 1ii (1 i )i 2i(i 1) 1 i ．故选： C ．2．（5 分）设A{1，2， 3}， B {x | x 2x1 0}，则 A I B ()A ．{1， 2}B ． {1，2， 3}C ． {2 ， 3}D ．{1}解答】解：QA {1，2，3}， B {x| 1 5 x 1 5} ，22A IB {1} ．故选： D ．3．（ 5分）某校为了研究 a ，b 两个班的化学成绩，各选了 10 人的成绩，绘制了如右茎叶图，则根据茎叶图可知， a 班 10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是()C ． 82.5， aD ． 82， b 解答】解：根据茎叶图可知， a 班 10 人化学成绩的中位数是1 (82 83) 82.5 ；2a 班成绩分布在 71~ 93 之间，集中在 80~ 88内；b 班成绩分布在 62 ~ 95 之间，更分散些； B ．82.5， b A ． 83 ， aa rgb x 3 2 x211，解得x3，235．(5分)2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；② 来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④ 乙不是博士学位；⑤ 国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A ．国防大学，研究生B．国防大学，博士C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生【解答】解：由① 甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由①③ 得到丙来来自于军事科学院；由② 来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．故选： C ．6．( 5分)函数 f (x) xxee ln( x21) ，在[ 3，3] 的图象大致为(B．13C． 33D．(x,1) ，且a r与b r的夹角为603A． 2 3rr解：根据题意，解答】 f (x)xeeln(x21)x)xxee2ln( x2 1)f(x ) ，即函数当x 1时，f（1）ln21 elne当x 3时，f（3）31 e3eln10e313 e lne3故选：C．7．（ 5 分）为计算S 1 23D．f （ x）为奇函数，11 2 ，排除，e2 3 23453]，排除 B 、D，1313(e3113 ) 5 ，排除A ， e239921003设计了如图所示的程序框图，则在两个空白框中分别可以填入（为 101 ，判断框处应为 i 101 ，又知偶数列加的是立方和，所以应填 N N (i 1)3 ，故选： D ．28．(5分)已知数列 {a n } 满足 a n 2 2a n a n 1ga n 1 a n 1 a n 1 ，S n 为其前 n 项和，若 a 1 1，a 2 则 S 6 ( ) A ．128B ．126C ． 124D ． 120【解答】解：Q a n 2 2a n a n 1ga n 1 a n 1 a n 1， a 1 1， a 2 3 ，2 a22a 2 a 1ga 3 a 1 a 3 ，即 9 62a 3 1 ，解得： a 37；同理，由 2a 3 2a 3 a 2 ga 4 a 2 a 4 ，即 49 14 4a 4 3 ，解得： a 415；同理解得： a 5 31； a 6 63，S 6 1 3 7 15 31 63 120 ，故选： D ．9．( 5分)现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为 ( )1)2B ．99 和 N N 2(i 1)2C ． i, 99 和 N N(iD ．101 和 N N(i 1)3解答】解：程序框图为计算 S 1 23 32435223992 1003 ，则终止程序运行的i 值3，A ．36 B．24 C．22 D．2011【解答】解：根据题意，按甲的站法分 2 种情况讨论：①、若甲站在两端，甲有 2 种情况，乙必须与甲相邻，也有 1 种情况，剩余 3 人全排列，安排的剩余的 3 个位置，有A33 6 种情况，则此时有 2 1 6 12 种站法；②、若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有 3 种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，甲与丁不能相邻，丁有 2 个位置可选，有 2 种情况，剩余 2 人全排列，安排的剩余的 2 个位置，有A22 2 种站法，则此时有 3 2 2 2 24 种站法；则一共有24 12 36 种站法；故选： A ．210．(5分)已知抛物线 C 的方程为y2 4x，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线 C 交于A、B两点(点A在x轴上方)，点P( 1,2)，连接AP交y轴于M，过M 作MD //PF交AB于D，若FA 5DA，则AB 斜率为( )4 3 1A ．B．C．D． 23 4 2【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点 F (1,0)，准线方程为x 1，作AA 垂直于准线交于 A ，因为MD / / PF ，所以AF AP AA，即xA 15 ，AD AM x A x A解得x A1，41，即A(14，1)，所以yA4所以k AB k AF( x 1)2 1 x 21 ，若函数 F ( x) f (x) mx 有 4 个零点，则实 f ( x 2) x ⋯22数 m 的取值范围是 (取得最大值时对应的点为 A(3, 1 ) ；2取得最大值时对应的点为 B(5, 1) ；4作函数图象如下：11．( 5分)已知函数 f (x) 51A ．(2 6，6)解答】解：依题当 x [2 ， 4) 时， x 1 16)1(20，2 2) C ． ( 1 ，3 2 2) D ．20(52 6 ，函数 y f (x) 的图象与直线 y mx 有 4 个交点，B ． 2 [0 ， 2) ，2) (x3)2 1，故此时 f (x)1 12(x3)1，2当 x [4 ，6) 时，x 2 [2 ，4) ，则f ( x 2)112(x5)2112，故此时 f (x)114(x5)21，411由图象可知，满足条件的实数 m 的取值范围为 (5 6, 3 2 2) ．2故选： B ．解答】解：设 { a n } 的公差为 d ，由 f ( x) x cosx ，且 f ( a 1 ) f (a 2 )点，且 1 20；又过点 (0,0)作函数在 [2， 4)上的切线切于点 C ，作函数在 [4 ， 6) 上的切线切于点 D ，则12 ．( 5 分 ) 已知等差数列{a n } 的公差为 2020，若函数 f(x) x cosx ，f (a 1 ) f (a 2 ) f (a 2020 ) 1010 ，记S n 为{a n }的前n 项和，则 S 2020的值为 ( )A ． 1010B ． 2021C ． 2020D ．4041 2f ( a 2020 ) 1010 ，6f ( x) 有两个交k OB即1010( a 1 a 2020 ) (cos a 1 cosa 2 cosa 2020 ) 1010 ， ①又对1剟i 1010． i Z可得 (a 1 a 2a 2020 ) (cos a 1 cosa 2cosa 2020 ) 1010cos a i cos a 2021 i2a i (2021 2i )d cos[2(2021 22i)d ]2a i (2021 2i) d cos[ 2(2021 22i)d ]2cos 2a i (2021 2i)d cos (2021 2i)d2cos cos222cosa ia 2021 i cos (2021 2i)d 222cos a 1 a 2020 cos(2021 2i)d22所以 g(x)在 R 上递增，且 g( ) 02故选： A ．由 z x 2y 得： y 1 x z，221平移直线 y1x ，结合图象直线过 A(0,1)时， 2z 最大， z 的最大值是 2，故答案为： 2．a 1a 2020m22020m [(cos a 1 cos a 2020 ) (cos a 2 cos a 2019 )(cos a 1010 即 2020m 2cosmg[cos 2019d cos2019d设g(x) 2020x 2cos xg[cos2019d 可得g (x ) 2020 2sin xg[cos2 d cos 2]dcos ] 2①即为cosa 1011 )] 1010 ，②，1010 ，由 d 2020 ， 2020 2020 0 ，又由 ②可得 g(m) 0 ，所以 m ，2a 1 a 20202所以 S2020 2020(a 1 a 020 )1010二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .x y 1, 013．(5分)已知 x 、 y 满足约束条件 x y, 0 ，则 z xx ⋯02y 的最大值为 21010 cos2 2017d cos22 x14．(5 分)已知双曲线 C: 2a2 y21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2作一条 b直线 l 与其两条渐近线交于 A ， B 两点．若 AOB 为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为 e ，则 e e 22 或 4 2 2 解答】解：因为 AOB 为等腰直角三角形， i) 当 AOB 90 ，由渐近线的对称性可得 AOF 2 b 2 c 245 ，即 b 1 ，所以离心率 e 2 2 a a 2a 2a2b 2 2， a ii)当 OAB 或 OBA 90 时，离心率是相等的，因为直线 OA 的方程为bx ，直线 OB 的 a方程为： b x ，a 当 OAB 90 时，所以过 F 2 的直线 AB 的方程为： ay b (x c) ，联立方程 bx a ab(x 可得 c) x A 2 a ， y Ac ab 2即A( a ， cab )； c 联立方程 bx a ab(x 可得 c) x B a 2c b 2 y B abc2b 2B(a 2c，a 2b 2 ，abc) ， 2 2 ) ，a 2b 2因为 AOB 为等腰直角三角形，所以 OB 2OA ，所以 ( 2a 22 a c )2 b 2)( abc ) 2 ( 2 2 )ab2 2[( a )2 c(ab )2]，b 2 c 2a ，整理可得： 4 2 28a 48a 2c 20 ，即 e428e28 0 ，解得 e综上所述： 2或 4 2 2 ，)( 2e 0，| | 2)过点(0,1) ，若 f(x)在［0，1］上恰4 324 337 6 2 则：5 3624 346 46216．(5 分)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、 N 、 E 分别为棱 AA 1、只蚂蚁欲从点 P 1出发，沿正方体的表面爬行至 Q 4 ，则其爬行的最短距离为 1.782 ．参考数据： cos9 0.9877 ； cos18 0.9511 ； cos27 0.8910)好有两个最值且在 [ 1， 1] 上单调递增，则44解答】解：函数 f(x) 2sin( x )( 0， | | 2)过点 (0,1)，所以6故答案为： 43AB 、AD 的中点，以 A 为圆心， 1为半径，分别在面 ABB 1 A 1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、P 1、P 2、P 3、P 4、N 以及 N 、Q 1、Q 2、Q 3 、Q 4、E ．由于函数 f (x) 在[0 ， 1]上恰好有两个最值且在 [ 1， 1]上单调递增， 44又由在 [0 ， 1]上恰有两个最值，所以所以，解得 0整理得 4390由余弦定理可得解答】解：将平面 ABCD 绕 AB 旋转至与平面 ABB 1 A 1 共面，则 P 1AQ 4| P 1Q 4 | 2sin 72 ．ABB 1 A 1分别绕 AD 、 AA 1旋转至与平面 ADD 1 A 1共面，| P 1Q 4 | 2sin 63 ．最短距离为 2sin63 2 0.8910 1.782 ．故答案为： 1.782 ．三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分.分）在平面四边形 ABCD 中， E 为 AB 上一点，连接 CE ， DE ，已知 AE 4BE ，2）求 CD 的长．则 P 1AQ 4902590 126 ．解答】解（1） BCE 中，由余弦定理可得，所以 7 2 BC 2 1 BC ，解可得 BCS BCE1BC gBEgsin B 21 2， 332 2）因为 BCE CEB AEDCEB1，3所以 BCE AED ，又因为 B A ，所以 DE AE4 2CEBC2 所以DE 2CE2 7 ，在CDE中所以 BCE∽ADE，8 144将平面 ABCD 、平面又由 sin63 sin72 17．（12 AE 4 ， CE 7 ，若 A B CED1）求 BCE 的面积；CD 2 DE 2 CE 2 2 DE gCE gcos120 28 7 2 2 7 7 ( 1) 49 ．2所以 CD 718．(12分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，CA CB ，侧面 ABB 1 A 1是边长为 2 的正方形，AC 1 与平面 CEF 所成角的正弦值．Q CACB ， OC AB ，分别为 AB ，AA 1， A 1B 1 的中点，在正方体 ABB 1 A 1中，QO ， E ，F EF OE ，又 EF CE，且 OE I CE E ， EF平面 OCE ，Q OC平面OCE ， EF OC ，Q EF ， AB 相交， OC 平面 ABB 1 A 1 ，Q OC 平面 ABC ，平面 A BB 1 A 1 平面 ABC ．（2）解： Q AA 1 AB ，平面 ABC平面 ABB 1 A 1 AB ，平面 ABC 平面 ABB 1 A 1AA 1 平面 ABC ， AA 1BC ，Q BC CE ， CE IAA 1 E ， BC平面 AA 1C 1C ， BC AC ， OC 1，Q AA 1 平面 ABC ，AA 1 / / OF ，OF 平面 ABC ，OF OC ， OF OA ， OC OAAB 的中点 O ，连结解答】解：（ 1）证明：取 OE ， OC ，以 O 为坐标原点，OA 为 y 轴， OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，OC 为 x 轴，点 E 、 F 分别是线段 AA 1 ， A 1 B 1的中点，且 CE EF ．1）证明：平面 ABB 1 A 1平面 ABC ；2）若 CE CB ，求直线则O （0 ，0， 0）， C （1，0，0) ， A （0 ，1， 0)， E(0 ，1，1）， F （0 ，0， 2）， C 1（1，0， 2），uuur uuurCE ( 1，1，1)， CFuuuur(1，0，2），AC 1 (1 ， 1， 2），设平面 CEF 的法向量 n r (x ， y ， z) ，r uuur则ngCE x y z 0 ，则r uuur ，取 x 2 ，得 n r(2， 1，1)，n gCF x 2 z 0设直线 AC 1与平面 CEF 所成角为，则直线 AC 1与平面 CEF 所成角的正弦值为：uuuur r | AC 1gn | 3 1sin uuuur r ．| AC 1 |g| n r | 6g 6 2于点 A ，B ，C ，D ，且四边形 ABCD 的面积为 2 3．（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点 P （0,2）的动直线 1与椭圆 E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知直线 AC 与直线 BD 关于坐标轴对称，所以四边形 ABCD 为矩形，3y6 x 22 xy 4m m ，解得 | x A | 3m ， | y A | m ， 12所以S 四边形 ABCD 4 x A y A 2 3m 2 3 ，2所以 m 1，椭圆 E 的方程为： xy 2 1．42)设点 M(x 1， y 1)，N(x 2， y 2)3 3x 与直线 BD : y 6 3x 分别与椭圆 E : x 6 4m2y1(m 0) 交 m19．（ 12分）设直线 AC: y显然直线 MN 的斜率存在，不妨设直线 MN 的方程为 y kx 2 ，221，可得 (4k 2 1)x 2 16kx 12 0 ，20．（12分）材料一： 2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“ 3 3 的考试科目．前一个“ 3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“ 3”为高中学业水平考试（简称“学考” ）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二： 2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语 3个科日成绩和考生选择的 3 科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ 3 1 2 ”模式，所谓“3 1 2”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的． “1” 指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩． “ 2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“ 3 1 2 ”模式选科，求选出的六科中含有 “语文，数学，外语，物理，化学” 的概率．2 代入x42 y 2x 1 x 216k 所以4k 2 1， 12，x 1x 24k 2 1uuuur uuur则 OM gON x 1x 2 y 1 y 2 x 1x 2 (kx 1 2)(kx 2 2) (k 2 1)x 1x 22k(x 1 x 2) 4 ，2 12(k 2 1) 2 32k 24k 2 12 4 0 ，解得 k 4k 2 1 2 ，经验证△ 0，设线段 MN 的中点为 G （x 0 ， y 0)，则 x0 x1 x28k16 24k2117y 0y 1 y 22k(x 1 x 2 ) 4 22 24k 2 1 17所以 OG 2 x 02 y 02 260289 所以存在满足条件的圆，其方程为：16 2 (x 1167)2 (y 2 )2 17260 289（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生 2500名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分：①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况： “此次测试平均成绩为 171 分，351 分以上共有 57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为 430分，而考生乙告诉考生丙： “这次测试平均成绩为 201 分，分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪．而 270 261 ，甲同学能获得荣誉证书．21．（12 分）已知函数 f （x ） 2e x ax （a 0）．（1）讨论函数 f （x ）的零点个数：351 附： P( , X ) 0.6828 ； P( 2,X ) 0.9544 ； P(3,X) 0.9974 ．解答】解： 1）选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”为事件A ，则 P （A ）e 3 1痧21g 42 42）设该次网络测试成绩记为 X ，则 X ~ N ( , 22) ． ① 由 171， Q5725000.0228 ．且1 P(2 剟X2)0.954420.0228 ．351 171 902 4000.16 2500P( X ⋯ ) 1 P(剟X 20.6828 20.1587 0.16 ．前 400 名的成绩的最低分低于261分．②假设乙同学说的为真．则201．P( X ⋯ 2 )1 P(2 剟X221 0.95440.02285725000.0228 ，351 20175 ，从而 3 201 75 426 430 ．而P( X⋯ 31 P( 3 剟X321 0.99740.0013 20.005 ．事件“ X ⋯ 3 ”为小概率事件，即“丙同学的成绩为 430 分”是小概率事件，可以认为不可能发生，却发生了．乙同学说的为假．2)若 a e m e n( m ，n为给定的常数，且m n，记f (x)在区间(m, n)上的最小值为g(m,n) ，求证：g( m ，n) (1 mln 2)e m(1 nln2)e n．解答】(1)解： f (x) 2e x a，由f (x) 0得，x ln a2；由f (x) 0得，ln a2，af(x)在( ,ln a2)上单调递减，a(ln2，) 上单调递增，f ( x) min f (ln a2)lna2e2aa aln a(1 ln ) ，22由于当x时，f(x)，当x 时， f (x)①当ln a21 ，即0a 2e时，f (x)无零点，②当ln a21 ，即a2e时，f ( x) 有一个零点，③当ln a 1 ，即a2e时，f ( x) 有两个零点；2(2)证明：Q a e mn e，m lne m ln a ln mn eelne n n22由( 1) 可知， f (x) 在(m,n)上的最小值g(m ，n) f (ln a)2 a(1 ln 2a) (e m e n)(1mneeln e e )，2原不等式(e m e n)(1 lnmne m2e n) (1 m ln2)e m(1 nln2)e( m ln 2mn e emln )e m( n2 ln2mneeln2)0m4e mme m gln m n ee 4nln e e n m1n n ee glnmn eenm m eglnen m10，令t e n m，则t 1，于是原不等式4 ln t ttlnt10，4 令h(t) ln t41tln t t1(t 1)，则h (t) 11t ln t 1t11tln t t1 ln1 0，h(t)在(1, ) 上单调递减，h(t) h(1) ln2 ln 1 0，2原不等式成立得证．、选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一计分． [选修 4 一 4：极坐标与参数方程 ]x 2 cos22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1 的参数方程为（为参数），y 2sin以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2 的极坐标方程为 4sin ，设圆 C 1与圆 C 2的公共弦所在直线为 1．1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转后与圆 C 1、圆 C 2分别在第一象限交于6A 、B 两点，求 |AB|．x 2 cos【解答】解：（ 1）已知圆 C 1的参数方程为（为参数），整理为直角坐标方程为y 2sin22（x 2）2 y 2 4 ．圆 C 2 的极坐标方程为 4sin ，转换为直角坐标方程为 x 2 （ y 2） 2 4 ．两圆相减得： x y 0 ．转换为极坐标方程为．4（2）直线 l 顺时针方向旋转后得到：，6 4 6 12由于圆 C 1 的极坐标方程为4cos ，所以：设A （ 1, ）B （ 2, ），由于与圆 C 1、圆 C 2分别在第一象限交于 A 、 B 两点，所以| AB | | 1 2 | | 4cos 4sin | 4 2 cos2 2 ．1 212 12 3[选修 4 一 5：不等式选讲 ] 1123．已知函数 f(x) |x| ，且对任意的 x ， f(x) f( x )⋯m ． 22(1)求 m 的取值范围；22f (sin 2 ) f (cos 2 a 1), m ．1 1 1 f ( x )| x || x |⋯ |x222解答】解：（1） f（x ）( x)| 12 ， 2）若 m N ，证明：当且仅当（ x 1）x, 0时等号成立，21m 的取值范围为（ , 1 ] ．2当 1剟sin221时，2f (sin 2) f (cos21) 2sin 2, 0 ；当 0, sin 21，2f (sin 2)f (cos 21) 1，2综上， f（sin22)2f (cos1), 0 ，原命题成立．2 2 2CE 2BC 2 BE 2 2BCgBEgcos120 ，Q f ( x) 对任意的 x ， f ( x) f ( x12)⋯m ，m,1，22）由（ 1）知， m, 1 ，又 m2要证 f (sin 2 ) f (cos2Q f (sin 2 )f (cos 21) N ， m即证 f (sin 212| | cos2f (cos 1), 0 ， 12|21 2 | sin 2 | cos 222sin 21,0,sin 212, 1剟sin 2 2 1 21), m ， )|sin 2。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学(理)试题

1.设集合 A = {x | 2x ≥ 8}，集合 B = {x | y = lg ( x −1)} ，则 A ∪ B = （）
A. [1,3)
B. (1,3]
C. (1, +∞)
D. [3, +∞)
i 2.在复平面内，复数 1 − 2i 对应点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
A. 2
B. 3
C. 2
D. 2 2
11.已知数列{an} ，
an
=
n2
sin
nπ 2
，则数列{an} 的前
100
项和为（
）
A. 5000
B. −5000
C. 5050
D. −5050
12.已知 △ ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足：AB sin B + AC sin C = AQ ，且 AH = 1 AC ， 2
（2）若 P(−1, 0) ,求
1 AP
+
1 BP
的值.
23.已知函数 f (x) = x + a − x −1 和函数 g ( x) = −2x +1.
（1）当 a = 2 时，求关于 x 的不等式 f (x) ≥ −1的解集；
（2）若对任意 x1 ∈ R ，都存在 x2 ∈ R ，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围.
x = − p 的垂线，垂足为 M ，若垂足 M 恰好在线段 AF 的垂直平分线上，则直线 l 的斜率为_______ 2
15.新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科) (含解析)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。

哈尔滨市三中2020届高三数学(理)综合测试一附答案详析

哈尔滨市三中2020届高三数学（理）综合测试一一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞U C ．[)(]2,00,2-U D ．[]22-,3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A ．32π B ．332π+ C ．3π+D ．532π+ 4．下列说法正确的是（）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140B ．100C ．80D ．707．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（） A ．33B ．33-C ．539D ．69-9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（）A ．2788n n +B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +10．若函数()()()2log 20,1a f x x xa a =+>≠在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．()0,+∞所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题13．已知向量a r ，br满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ；（2）若332ABC S ∆=，7c =，求a ，b 的值.弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题. 18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q-，求证：PM PN ⊥.21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x =所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值；（2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<.（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.解析哈尔滨市三中2020届高三数学（理）综合测试一一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++-对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限.故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题. 2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞U C ．[)(]2,00,2-U D ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】集合{}|22Mx x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆，因此：当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩；综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A ．32π B ．332π+ C ．3π+D ．532π+ 【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯，则该几何体的表面积为：332π+ 故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题. 4．下列说法正确的是（）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误；对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确.故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∴2∴，∴cos 2∴(－1，0)，sin 2∴(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞ (](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（） A ．33B ．33-C ．539D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值．【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ∴利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ∴利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解． 9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（）A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题. 10．若函数()()()2log 20,1a f x x xa a =+>≠在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（）A ．323π B ．16π C ．52π D ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABCS AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+=球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题. 12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+，从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x eh x x x x ϕ===+，所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点，可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈；又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈；所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，br满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】27【解析】先计算a r与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案. 【详解】根据题意||||cos 603o a b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r，|2|27a b ∴-=r r故答案为：27 【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______.【答案】12+【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cx a b -=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+故答案为：12+【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题. 16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）.【答案】()00tan2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ；（2）若332ABC S ∆=，7c =，求a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程；（2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=，所以()22cos 10C -=，所以1cos 2C=，3C π=. （2）133sin 22ABCS ab C ∆==，所以6ab =.（1）又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）66【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF ⊥，再结合1AF B F ⊥即得证；（2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解. 【详解】（1）因为AF BC ⊥，1AF BB ⊥.所以AF⊥平面11BCC B ，所以1AF B F ⊥.11AB AC AA ===，则2132B F =，234EF =，2194B E =，所以22211B EF F B E +=，所以1B F EF ⊥，所以1B F ⊥平面AEF ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()11,0,1B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,,122B F ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，平面1AB E 的法向量为()2,1,2u =-r，设直线1B F 与平面1AB E 所成的角为α，则1116sin cos ,6||||B F u B F u B F u α⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u uu r r . 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98E ξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解；（2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S =甲，231839.758S ==乙，因为22S S <甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定；（3）3~3,8B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ξ的分布列是： ξ123P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q-，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程；（2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，，转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，利用韦达定理即得证.【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：32333y x =-+，即230,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0B ，椭圆方程为：221443x y +=；（2）∴当MN k 不存在时，()1,1M-，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .∴当MN k 存在时，设()11,Mx y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+，又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+，所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题.21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x =所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值；（2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）构造函数()()()1ln 1mx x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证；（3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证；【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1mx x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-.当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1nx ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0nx >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln 1n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=. 从而131112ln ln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y y y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422+ 【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解.【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ， ()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 取最大值为10422+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题.23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<.（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-<当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>-当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+,所以2255a a -+<即25255a a -<-+<解得()0,2a ∈【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。

2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(含解析)

2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下命题：①任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立；②存在复数z，有z2=|z|2成立；③若y=sin(x+π3)是奇函数且最小正周期为2π；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是真命题．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 2或−2D. ±2或03.若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}.则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|x≥−2}C. {0,1，2}D. {1,2}4.设随机变量X服从B(6,12)，则P(X=3)的值是()A. 316B. 516C. 38D. 585.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 136.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是()A. m>1B. 1<m<8C. m>8D. 0<m<1或m>87.若函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()A. 12B. 1C. 2D. 38.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与b⃗ =−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是()A. √32B. −12C. 12D. −√329.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则b所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.某四面体的三视图均为直角三角形，如图，则该四面体的表面积为()A. 72+24√2B. 96+24√2C. 126D. 6412.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则2a2+a8=()A. 16B. 2C. 64D. 128二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对任何有限集S，记p(S)为S的子集个数．设M={1,2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对(A,B)，p(A)p(B)的和为______．14.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤0y≥0则z=2x−y的最小值为______15.在平面直角坐标系中，动点P满足到x轴的距离与到原点O的距离之和等于2.记动点P的轨迹为曲线C，下面对于曲线C的描述正确的是______.(把所有正确的命题的序号填在横线上)①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|y|≤1；④若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PO|≤2．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数 i x10152025303540件数 i y471215202327其中 i=1，2，3，4，5，6，7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(参考公式：)参考数据：18.设A，B，C为△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC．(1)求角A的大小；(2)求sinB+sinC的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)求证：BE//平面PAD(Ⅲ)假定PA=AD=CD，求二面角E−BD−C的正切值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F1(−√2,0)，F2(√2,0)的距离的和为定值4．(1)求点P运动所成轨迹C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx(x ∈R)．(Ⅰ)证明：函数f(x)是R 上单调递增函数； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0．22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)={2−3x ,x ≥012x 2+x +1,x <0．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点，求实数a 的取值范围；(3)若2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]，b ∈[−2,2]恒成立，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，则任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立，故①正确；②当复数z为实数时，则必存在复数z，有z2=|z|2成立，故②正确；③由于sin(−x+π3)=−sin(x−π3)≠−sin(x+π3)，故y=sin(x+π3)不是奇函数，故③不正确；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是假命题，故④不正确，故选：B．①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，即可判断①正确；②当复数z为实数时，有z2=|z|2成立，即可判断②正确；③由于f(−x)=f(x)知③不正确；④由复合命题的真假判断④不正确．本题通过命题的判定考查了平面向量，复数，三角函数的性质，复合命题的真假判断等知识，是综合题．2.答案：C解析：解：z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+(−1)2=5，整理a2=4，所以a=2或−2故选C根据复数模的计算公式|z|=√a2+b2，得出关于a的方程并解出即可．本题考查复数模的计算公式及应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：集合A中的x2≤4解得：−2≤x≤2，则{x|−2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A ∩B ={x|0≤x ≤2}，故选：A ．先求出集合A 中的一元二次不等式的解集，然后求出公共解集即为两集合的交集．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4.答案：B解析：解：∵随机变量X 服从(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3(12)3=2026=516故选：B ．根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值．本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5.答案：D解析：解：总的可能性为3×3=9种，两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种， ∴所求概率P =39=13，故选：D ．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得．本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a ，b ，a +b 成等差数列， ∴2b =2a +b ，即b =2a.① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴b 2=a 2b ，即b =a 2(a ≠0,b ≠0).② 由①②得a =2，b =4． ∵0<logm 8<1， ∴m >1．∵logm8<1，即logm8<logm m∴m>8故选C由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．7.答案：D解析：解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移π3个单位所得的函数，然后由已知y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得ω，进而求最小值三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a⃗⋅b⃗ 以及|a⃗|、|b⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果．解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．∴a⃗⋅b⃗ =(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )·(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−6e1⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗ 2+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a⃗|=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7，|b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7，设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12，∴sinθ=√1−cos 2θ=√32．故选：A ．9.答案：D解析：解：画出函数f(x)=|lgx|的图象， ①设a+b 2≥1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =2lga+b 2，ab =1，可得a =1b ，则b =(1b +b2)2，化为：f(b)=b 4−4b 3+2b 2+1=0，(b >1)． f′(b)=4b(b 2−3b +1)=4b(b −3+√52)(b −3−√52)，可知：当b ∈(1,3+√52)时，f′(b)<0，f(b)的单调递减；当b >3+√52时，f′(b)>0，f(b)的单调递增．由f(1)=0，可知：f(3+√52)<0，而f(3)=−8<0，f(4)=33>0，∴此时存在唯一零点b ∈(3,4)． ②设0<a+b 2<1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =−2lg a+b 2，∴ab =1，1b =(a+b 2)2，化为：f(b)=b 4+2b 2−4b +1=0，(2>b >1)． f′(b)=2(2b 3+b −2)>0，可知：当b ∈(1,2)时，函数f(b)的单调递增．由f(1)=0，f(b)>0，此时函数f(b)不存在零点．综上可得：b 所在区间为(3,4)．画出函数f(x)=|lgx|的图象，①设a+b2≥1，由f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则−lga=lgb=2lg a+b2，可得b=(1b+b2)2，化为：f(b)=b4−4b3+2b2+1=0，(b>1).利用导数研究其单调性即可得出；②设0<a+b2<1，同理可得．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.答案：B解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax，右焦点F(c,0)，由题意可得直线PF的方程为y=−ab(x−c)，联立渐近线方程y=ba x，可得P(a2c,abc)，可得OP的垂直平分线方程为y−ab2c =−ab(x−a22c)，令x=0，可得y=ac2b ，即Q(0,ac2b)，又|PF|=√a2+b2=b，|OP|=√|OF|2−|PF|2=√c2−b2=a，由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，可得12c⋅abc=4⋅12⋅ac2b⋅a2c，即有b2=2a2，可得c2=a2+b2=3a2，e=ca=√3，故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为8，底面为直角三角形，直角边长分别为6、8，如图：SB=8√2，BC⊥SB，AC=10，SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC∴几何体的表面积S=12×8×8+12×8×6+12×10×8+12×8√2×6=96+24√2．故选：B．几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图判断各面的形状，根据三视图的数据求相关几何量的数据，把数据代入三角形面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12.答案：C解析：由本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．等差数列的求和公式和性质可得结论．解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27，解得a2+a8=6，∴2a2+a8=26=64故选：C13.答案：2401解析：解：当B为n(0≤n≤4)元集时，则p(B)=2n，且B集合的个数为C4n，又A⊆B则①A为n元集时，则p(A)=2n且A的个数为C n n②A为n−1元集时，则p(A)=2n−1且A的个数为C n n−1以此类推③A 为⌀时，p (A)=20且A 的个数为C n0 则p (A)P (B)=C 4n 2n (C n 020+C n 121+⋯+C n n 2n ) =C 4n 2n (1+2)n=C 4n 6n当n 依次取0，1，2，3，4时p (A)p (B)的和为C 4060+C 4161+⋯+C 4464=2041，故答案为：2401．先由B 为n(0≤n ≤4)元集时，则p (B)=2n ，且B 集合的个数为C 4n ，然后在这种情况下分别讨论集合A 的个数与集合A 的子集个数，推导出通项公式，再将n =0，1，2，3，4代入计算即可．本题考查了集合间的关系，同时考查了二项式定理，知识间交汇较好．14.答案：−2解析：解：作出x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤0y ≥0对应的平面区域(阴影部分)由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 最小．由{y =0x −y +1=0，解得A(−1,0)，此时z 的最小值为z =2x −y =−2，故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.答案：①③④解析：解：设P(x,y)，由动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2，可得|y|+√x 2+y 2=2，可得x 2+y 2=(2−|y|)2，化为x2+4|y|=4，将上式中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可得曲线C关于原点对称，故①正确；由于将x换为y，y换为x，方程变为y2+4|x|=4和原方程不同，故②错误；若点P(x,y)在曲线C上，可得|y|≤1，故③正确；若点P(x,y)在曲线C上，可得|PO|2=x2+y2=4−4|y|+y2=(|y|−2)2，由0≤|y|≤1可得−2≤|y|−2≤−1，则1≤|PO|≤2，故④正确．故答案为：①③④．设P(x,y)，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，列方程化简方程可得曲线C的方程，再将x换为−x，y换为−y，可判断①；将x换为y，y换为x，可判断②；由x2≥0，即可判断③；运用两点的距离公式和0≤|y|≤1，结合二次函数的值域求法，可判断④．本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查曲线的性质，注意运用对称结论和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．17.答案：，，．解析：(1)根据所给的这一组数据，得到7个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．(2)根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)利用上一问做出的线性回归方程，把x的值代入方程，预报出对应的y的值．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC，∴(sinB+sinC)2−sin2A=sinBsinC，∴sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3；(2)由(1)知，B+C=π3，∴sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，∵0<B<π3，∴π3<B+π3<2π3，∴√32<sin(B+π3)≤1，∴sinB+sinC的取值范围是(√32,1]．解析：(1)利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可(1)求角A的大小；(2)由(1)知，B+C=π3，故sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，即可求sinB+sinC的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)证明：取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF=//12DC，∴EF=//AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE//AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅲ)解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO=//12PA，∴EO⊥面ABC，得EO⊥BD，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．EO∩OG=O，∴BD⊥面EGO，∴BD⊥EG，∵BD为平面EBD与平面CBD的交线，EG⊂平面EBD，OG⊂平面CBD，∴∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴OG=12B′G′=12BB′⋅sin∠B′BG′=12BB′⋅sin∠ABD=12a⋅ADBD=12a√(2a)2+a2=√5在△EOG中：tan∠EGO=EOOG=a1√5a=√5，故二面角E−BD−C的平面角的正切值为√5．解析：(Ⅰ)证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD；(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE//AF，然后证明BE//平面PAD；(Ⅲ)连接AC，取AC中点O，连接EO.过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.则∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E−BD−C的平面角的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)∵动点P 到两点F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)为焦点，以4为长轴的椭圆， ∵c =√2，a =2，∴b =√2，∴C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0．当x 0=t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程得t =±√2，故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d =000202．又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0．故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上所述，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a 2与b 2的值，即可确定出椭圆C 的方程；(2)设出点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．21.答案：证明：(I)∵f(x)=x 3+2x −sinx ，∴f′(x)=3x 2+2−cosx =3x 2+(2−cosx)．∵3x 2≥0，2−cosx >0恒成立，故f′(x)>0，故函数f(x)是R 上单调递增函数；(Ⅱ)∵f(−x)=(−x)3+2(−x)−sin(−x)=−(x 3+2x −sinx)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．原不等式可化为f(x 2−a)<−f(x −ax)=f(ax −x)，由(1)可得x 2−a <ax −x ，即x 2+(1−a)x −a <0，即(x +1)(x −a)<0，当a <−1时，原不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，原不等式的解集为⌀；当a >−1时，原不等式的解集为(−1,a)．解析：(I)根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；(II)根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合(I)中函数的单调性和定义域，可将不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0化为(x +1)(x −a)<0，分别讨论对应方程两根a 与−1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性的证明及应用，熟练掌握导数法证明单调性及定义法证明奇偶性是解答的关键．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2． (Ⅱ)线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．所以圆心(0,0)到直线x −y +1=0的距离d =√2=√22，所以|AB|=2√(√2)2−(√22)2=√6．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)的单调递增区间(−1,0)，单调递减区间(−∞,−1)，[0,+∞)，(2)由ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点可得f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象可知，当12<12a <1即1<a <2时，满足题意，(3)由(1)的图象可知，当x ∈[−2,2]时，2f(x)∈[−14,2]，因为2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]恒成立，所以2≤2t 2−bt +2对任意b ∈[−2,2]恒成立，即2t 2−bt ≥0对任意b ∈[−2,2]恒成立，令F(b)=2t 2−bt ，b ∈[−2,2]，则{F(−2)=2t +2t 2≥0F(2)=2t 2−2t ≥0，解可得，t ≥1或t ≤−1或t =0，故实数t 的取值范围{t|t ≥1或t ≤−1或t =0}．解析：(1)先作出函数的图象，然后结合函数的图象即可求解函数单调区间，(2)由题意可转化为f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象即可求解，(3)结合函数的图象可Ian 求出2f(x)的最大值，然后变换主元，结合一次函数的性质可求．本题主要考查了利用函数的图象求解函数的单调区间，及函数的零点个数的求解，及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了数形结合及转化思想的应用．。