常微分方程§24 一阶隐式微分方程及其参数表示24 一阶隐式微分方程及其参数表示

其中p是参数,c为任意常数。
，则原方 ，则
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
2 x f ( y, dy ) dx
解法 x f ( y, p)
(2.4.4)
( 2.4.5)
dy p dx
两边对 y 求导 1 f f dp (2.4.6)
dy (t)dx (t)(t)dt
dy (t)(t)dt y (t)(t)dt c
若求得为
p y p dy
p ( y,c)
1 f dp p y
则(2.4.4)的通解为x f ( y, ( y, c)) dy
f
p
若求得为 ( y, p, c) 0
x f (y, p) 则(2.4.4)的通解为 ( y, p, c) 0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
3 4
p2
y
2c
1
p3
p 2
( p 0)
当 p=0 时, 由y p3 2xp 可知，y=0也是方程的解。
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
解法2：
解出
x，并把
dy dx
p
，x 得y p3 2p
两边对 y 求导 p(1 3 p2 dp ) ( y p3 ) dp
1
dy
dy
p
2p2
( p 0)
pdy ydp 2 p3dp 0
2yp p4 c
y c p4 2p
x
c p4 2p
p3
c 3p4
2p
4p2
所以，方程的通解为:
x
c 4p2
3 4
p2p3 2
p0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
例1 求解方程 解法1： 解出 y
( dy )3 2x dy y 0
dx
dx
令 dy p dx
得 y p3 2xp 两边对 x 求导
p 3 p2 dp 2x dp 2 p dx dx
3p2dp 2xdp pdx 0
当 p 0 时，上式乘以 p，得
3p3dp 2xpdp p2dx 0
得方程的通解 y x2 cx c2
2
p xc
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
方程的通解 y x2 cx c2
2
x
再由 2 p x 0 得
p 2
将它代入
y p 2 xp x2 2
，又得方程的一个解 y x2 4
(2.4.2)
代入，得
dp
p f x
dx
f
关于 x 和 p 显式方程
p
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
(i) 若已得出(2.4.3)的通解形式p为, (x, c) 代入(2.4.2)得
y f (x, p)
y f (x,(x,c)) 就是(2.4.1)的通解。
例2
求解方程 y ( dy )2 x dy x2
dx
dx 2
解
令 dy p dx
得 y p 2 xp x2 2
两边对 x 求导，得 p 2 p dp x dp p x dx dx
( dp 1)(2 p x) 0 dp 1 0
dx
dx
将它代入 y p 2 xp x2
2
§2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示
/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation
F(x, y, y) 0
能解出 y
x o
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
二 、 不显含 y ( 或 x 的方程 )
3 F(x, y) 0
关键
(2.4.7)
解法： 引入变换 x (t) 从(2.4.7)得到 y dy (t)
dx
(or 引入变换 y (t)从(2.4.7)得到 x (t) )
一、 能解出 y (或 x )的方程
1 y f (x, dy) dx
这里假设函数 数。
f (x, dy ) dx
解法：引进参数 dy P
dx
有连续的偏导 ，则(2.4.1)变为
(2.4.1)
y f (x, p)
dy
两边关于 x 求导，并把p
dx
p f f dp
( 2.4.3)
x p dx
不能解出 y 或
解出形式复杂
y f (x, y)
引
进
转
参
化
数
变 变量分离、线性、恰当方程等 量
变
熟练掌握
换
F(x, y, y) 0
转 化
y f (x, y)
x f ( y, y)
F(x, y) 0 F( y, y) 0
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
注意: 此解与通解 y x2 cx c2 中的每一条积分曲线均
2
相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给
出奇解的确切含义。
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
y x2 cx c2 2
y
y x2 4
积分，得
3 p 4 xp 2 c 4
§2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
c 3 p4
解出 x，得 x
4 p2
将它代入 y p3 2xp
2(c 3 p 4 )
y p3
4
p
因此，方程参数形式通解
x
c p2
(ii) 若得出(2.4.3)通解形式x为 ( p, c)
有参数形式的通解
x ( p,c)
y
f
( ( p, c),
p)
其中 p 是参数，c为任意常数。
(iii) 若求得(2.4.3)通解形式
原方程(2.4.1)
(x, p,c) 0
有参数形式通解
(x, p, c) 0 y f (x, p)