矩阵级数与矩阵函数

A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于 1。 设 A 的特征值为 λ ,
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( I − A) 的特征值为 µ . 则由 det( µ I − ( I − A)) = det(( µ − 1) I + A) =− ( 1) n det((1 − µ ) I − A)
可见1 − µ =λ → µ = 1− λ 故 0 < µ < 2 → µ ≠ 0 , ( I − A) 的行列式不为零, ( I − A) 存在.
−1
而 ( I + A + A + ... + A )( I − A) = I − A
2 k
k +1
右乘 ( I − A) 得
−1
I + A + A2 + ... + Ak = ( I − Ak +1 )( I − A) −1
当 k →∝ 时, A
k +1
→ 0 , 故 Ak +1 ( I − A) −1 → 0 . 所以
敛,且其和不变。 (2)
∑A
k =1 ∝
∝
(k )
绝对收敛，则
∑ PA
k =1
∝
(k )
Q 也绝对收敛且等于 P ∑ A( k )Q 。
k =1
∝
(3)
∑A
k =1
(k )
,
∑B
k =1
∝
(k )
均绝对收敛,且和分别为 S1 , S 2 则
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= k 1= i 1
∑ (∑ A
k 0
∝
k
(i )
B ( k +1−i ) ) = S1S 2
其中 J 为 A 的 Jordan 标准形
J1 J =
J2
λi , Ji = Js 0
1
λi
0 1 λi
4
J1k k k −Leabharlann Baidu = = A PJ P P k λi k Ji =
8
−1
级数
∑A
k =0
∝
k
收敛, 其元素为
δ ij + ( A)ij + ( A2 )ij + ( A3 )ij +
显然也是收敛的 . 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条 件。 故
( Ak )ij → 0 ，即 Ak → 0
k →∝ k →∝
也就是说 A 为收敛矩阵。 [充分性]:
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而这只有 λi < 1才可能也必能。 [得证] 二、 矩阵级数 1. 定义 : 矩阵序列 A 级数, 记为
(N )
{ } 的无穷和 A
(k )
(1)
+ A(2) + + A( k ) + 叫做矩阵
∑A
k =1
∞
(k )
。而 S
(N )
= ∑ A( k ) 称 为 其 部 分 和 , 若 矩 阵 序 列
三、 方阵的幂级数
A 为方阵 ,
Neumann 级数。
∑ c A ,( A
k =0 k
∝
= I ) 称为 A 的幂级数 .
∑A
k =0
∝
k
称为 A 的
1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A 为收敛矩阵,且在收敛时其和 为 ( I − A) 。 证明: [必要性]
k J2
P −1 J sk
k λik −1
k! λik − mi +1 (mi − 1)!(k − mi + 1)! , 当 k > mi ...
1, 2,..., s ) , 等价于 λik → 0(i = 1, 2,..., s ) , Ak → 0 就等价于 J ik → 0(i =
k →∝ = i 0= i 0
∑ A=
i
∝
i lim ∑ A= ( I − A) −1
k
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即 Neumann 级数收敛于 ( I − A) 。 2. 收敛圆 [定理] 若矩阵 A 的特征值全部落在幂级数 ϕ ( z ) = 则矩阵幂级数 = ϕ ( A)
−1
∑c z
k =0 k
∝
k
的收敛圆内,
= c A ,( A ∑
第七讲 矩阵级数与矩阵函数
1
一、 矩阵序列 1. 定 义 : 设 有 矩 阵 序 列 A
(k ) aij → aij , 则称 { A( k ) } 收敛 , 并把 A = ( aij ) 叫做 { A( k ) } 的极限 , 或称
{ },
(k )
其中 A
(k )
(k ) = ( aij ) , 且当 k → ∞ 时
(k ) k →∝
( k ) −1
) → A−1
k →∝
3 收敛矩阵的定义: 设 A 为方阵,若当 k →∝ 时 A → 0 , 则称 A 为收敛
k
矩阵。
3
[定理] 方阵 A 为收敛矩阵的充要条件是 A 的所有特征值的模值均小于 1. 证明: 对任何方阵 A ,均存在可逆矩阵 P , 使得
A = PJP −1
{ A } 收敛于 A, 记为
(k )
lim A( k ) = A 或 A( k ) → A
k →∝ k →∝
不收敛的矩阵序列则称为发散的，其中又分为有界和无界的情况。 对于矩阵序列 A
(k ) aij <M
{ } ，若存在常数 M > 0 ，使得对一切 k 都有
(k )
则称 A
{ } 为有界的。
(k )
k =1
N
{S } 收敛,且有极限 S , 则称该矩阵级数收敛,且有和 S . 记为
S = ∑ A(k )
k =1 ∞
不收敛的矩阵级数称为是发散的。
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若矩阵级数 对收敛。
∑A
k =1
∝
(k )
的所有元素
∑a
k =1
∝
(k ) ij
均绝对收敛,则称该级数为绝
2. 绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收
k 0 k =0 k
∝
I ) 是绝对收敛的。 反之, 若 A 存
在落在 ϕ ( z ) 的收敛圆外的特征值, 则 ϕ ( A) 是发散的。 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A , ϕ ( A) 均收 敛。
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四、 矩阵函数 如: e , sin A , cos A 以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)
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2. 收敛矩阵序列的性质: 设
{ A } ,{B } 分别收敛于 A, B 则
(k ) (k )
(k )
(1) α A
+ β B(k ) → α A + β B
k →∝ (k ) k →∝
(2) A B
(k )
→ AB
−1
( k ) −1
(3) 若 ( A ) , A 存在，则 ( A (4) PA Q → PAQ
∝ 1 2 1 我们知道, e =1 + z + z + = ∑ z n 2! n =0 n! z A