[推荐学习]高考数学考点解读+命题热点突破专题03不等式与线性规划理

不等式与线性规划

【考向解读】

不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.

【命题热点突破一】不等式的解法 1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax 2

＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

2．简单分式不等式的解法 (1)f x

g x

>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)

f x

g x

≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．

例1、【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，

,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C

【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．

【变式探究】

(1)关于x 的不等式x 2

－2ax －8a 2

<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.

(2)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________________．

【答案】(1)52 (2)(1e

，e 2

)

【命题热点突破二】基本不等式的应用 1.利用基本不等式求最值的注意点

(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错. 2.结构调整与应用基本不等式

基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有

(1)x ＋

b

x －a

＝x －a ＋

b

x －a

＋a (x >a ).

(2)若a x ＋b y

＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数).

例2、【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,

2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪+-≤⎩

则目标函数25z x y =+的最小值

为（ ）

（A ）4- （B ）6

（C ）10

（D ）17

【答案】B

【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.

【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

【变式探究】

(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2

xy

(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.

(2)函数y ＝

x －1

x ＋3＋x －1

的最大值为________.

【答案】(1) 2 (2)1

5

【解析】(1)由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2

xy ＋

y

2

－x

2

2yx

＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy

＝2，当且仅当

x ＝2y 时取等号.

(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2

＋1， 所以y ＝

t

t 2

＋1＋3＋t ＝

t

t 2

＋t ＋4

.

当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝

1

t ＋4t

＋1

， 因为t ＋4

t

≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，

所以y ＝

1t ＋4t

＋1

≤1

5， 即y 的最大值为1

5

(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).

【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.

【命题热点突破三】简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．