三角函数专题：三角函数的值域
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
三角函数的值域与解析式
三角函数的值域与解析式三角函数是高中数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的值域和解析式，以便能够正确地运用它们。
本文将重点探讨正弦函数和余弦函数的值域与解析式。
一、正弦函数的值域与解析式正弦函数的解析式为：y = sin(x)正弦函数的值域是[-1, 1]，即其取值范围在-1与1之间。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上是周期性的，在y轴上取值介于-1到1之间。
当x为0、π、2π及其整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2及其奇数倍时，正弦函数的值为1或-1；当x为π/4、3π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于0和1之间；当x为5π/4、7π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于-1和0之间。
根据这些特点，我们可以绘制出正弦函数的图像，并正确理解其值域。
二、余弦函数的值域与解析式余弦函数的解析式为：y = cos(x)余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
余弦函数的图像也是一条连续波浪线，但与正弦函数的图像相位差π/2，即余弦函数的图像在x轴上是正弦函数图像向左平移π/2个单位。
余弦函数的值域与正弦函数相同，当x为0、2π、4π及其整数倍时，余弦函数的值为1；当x为π、3π、5π及其奇数倍时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、5π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于0和-1之间；当x为3π/2、7π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于-1和0之间。
理解余弦函数的值域有助于正确应用该函数解决问题。
综上所述，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，但在特定的x取值时，它们的值会有所不同。
熟练掌握它们的值域和解析式是理解三角函数的重要一步，为应用三角函数解决实际问题打下基础。
我们可以通过反复练习和实际运用来加深对三角函数值域和解析式的理解，提高数学应用的能力。
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域三角函数是数学中的一类重要函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在进行三角函数的研究和应用时，了解其定义域和值域是非常重要的。
一、正弦函数的定义域和值域正弦函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正弦值。
其定义域是实数集。
根据正弦函数的特点，我们知道正弦值的范围在-1到1之间，即其值域为[-1, 1]。
二、余弦函数的定义域和值域余弦函数也是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的余弦值。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，而其值域同样为[-1, 1]。
三、正切函数的定义域和值域正切函数是以角度（或弧度）为自变量，输出对应的正切值。
正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 |n∈Z}。
值域为全体实数，即整个实数集R。
四、其它三角函数的定义域和值域除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有诸如余切函数、正割函数、余割函数等三角函数。
这些函数的定义域和值域如下：1. 余切函数（cotx）的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，即R - {nπ | n∈Z}。
值域也为全体实数。
2. 正割函数（secx）的定义域为除去π/2 + nπ的实数集，即R - {(2n + 1)π/2 | n∈Z}。
值域为正数和负数的并集，即R - {0}。
3. 余割函数（cscx）的定义域为除去nπ的实数集，即R - {nπ |n∈Z}。
值域同样为正数和负数的并集，即R - {0}。
五、总结三角函数的定义域和值域是根据函数的特点和性质决定的。
正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域都是[-1, 1]；正切函数的定义域为除去其奇数倍的π的实数集，值域为全体实数；余切函数、正割函数、余割函数的定义域分别为R - {nπ | n∈Z}，值域为正数和负数的并集。
在实际应用中，对三角函数的定义域和值域的了解有助于我们分析和计算相关问题，并且在解决实际问题时能够更加准确地进行数值的转换和计算。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
求三角函数的值域(最值)题型例析
2
2
1
3
3
s
i
n2
x c
o
s2
x +
=
3 =
2
2
2
s
i
n2
x-
(
3
7π
π
。 由 0≤x ≤
,可 得
+
2
1
2
3
)
π
π
5π
3
,所 以 - ≤ 2
x ≤
≤
3
3
6
2
s
i
n2
x-
(
π
π
≤1,所 以 0 ≤ s
i
n2
+
x3
3
)
(
)
[
;
当定义域为某个给定
-|A|+k,
|A|+k]
函数的单调性求值域。
题 型 2:
(
或 y=Ac
Aω≠0)
o
s(
ωx+φ)
+k(
Aω≠0)
例1
(32π-x) - 3 cosx + 3。 当 x ∈
[0,712π] 时,函 数 f(x)的 最 小 值 和 最 大 值 分
s
i
n
2
。
别为
解:
函数 f(
x)= (-s
i
nx)(-c
o
sx)-
1
3
(
o
s2x+ 3= s
i
n2
xc
o
s2
x+1)+
i
n(
ωx+φ)
+k 或y=Ac
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
第五章三角函数+章末总结课件-2025届高三数学一轮复习
此时，只需满足
x轴 =
π
+k4 π−φ
2
ω
π
4
− x轴 ≥
x轴 ≥
π
,
6
π
x轴 − ,
9
π π
即可使得( ， )是f
9 6
x 的一个单调区间，将
=
π
2
（【抓关键】由ωx轴 + φ = + k 4 π ，k 4 ∈ 可得）
π
π k3 π
+k
π−
+ 2
4
2
4
ω
,k 3 ,k 4 ∈
18+36k
代入上述不等式组，解得
≤ ωπ − <
7π
,解得2
3
8
3
8
3
≤ ω < ，故ω ∈ [2, ).
kπ
2
> 0，
π
3
例14 (2024·安徽省六校教育研究会测试)已知函数f x = cos(ωx − ) −
区间[0, π]上恰有三个零点，则ω
[, )
的取值范围是______.
π
3
π
3
1
2
ω>0 在
π
3
【解析】令t = ωx − ,因为x ∈ [0, π],所以t ∈ [− , ωπ − ]，于是
T，n
4
2n−1 2π
⋅ ，n
4
ω
π π
又( ， )是f
9 6
x
= k1 + k 2 ),k 3 ∈ ，
∈ + ,
∈ + ,化简得ω = 2n − 1，n ∈ + .
三角函数最值与值域专题
三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数x x y sin 21sin --=的值域。
解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 0,1,7430,1,74,3a ab a b a b a a b a b a b >+=-+=-⇒==-<-+=+=-⇒=-=-，练习：1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞ （，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]21,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38π D ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型。
此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。
例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π=+∈的最值。
解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55(,),(3,5]2y x x x x y ϕϕϕπϕϕϕ=+=+==+∈+∈2,求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。
解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。
练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、82,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。
三角函数和反三角函数的定义域和值域
三角函数和反三角函数的定义域和值域文章标题：深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域一、引言三角函数和反三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理等领域有着广泛的应用。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域对于深入理解它们的性质和应用至关重要。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨三角函数和反三角函数的定义域和值域，帮助读者更深入地理解这一主题。
二、三角函数的定义域和值域1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的定义域是整个实数集，即(-∞, +∞)，而值域是闭区间[-1, 1]。
这意味着正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间。
2. 正切函数正切函数的定义域是所有实数，但它的值域是整个实数集，即(-∞, +∞)。
正切函数的取值范围是整个实数集。
3. 反正弦、反余弦和反正切函数反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域与相应的三角函数相反。
反正弦函数的定义域是闭区间[-1, 1]，而值域是闭区间[-π/2, π/2]。
这意味着反正弦函数的取值范围在-π/2到π/2之间。
三、深入理解三角函数和反三角函数的定义域和值域1. 定义域和值域的意义三角函数的定义域和值域决定了函数的取值范围和性质，它们对于解决三角函数的问题和应用具有重要的指导意义。
在求解三角方程和证明三角不等式时，对三角函数的定义域和值域有清晰的认识能够帮助我们更好地理解和处理问题。
2. 图形和性质三角函数的定义域和值域也反映在其图形和性质上。
通过分析三角函数的图形，我们可以直观地感受到其定义域和值域对函数图像的影响，从而更深入地理解三角函数的性质和特点。
四、总结与展望通过本文的探讨，我们对三角函数和反三角函数的定义域和值域有了更深入的理解。
理解三角函数和反三角函数的定义域和值域不仅有助于掌握它们的性质和特点，还能对解决实际问题和应用提供有力的支持。
未来，我们可以进一步探讨三角函数和反三角函数的性质以及它们在不同领域的具体应用，以丰富我们对这一主题的理解。
专题研究 三角函数的值域与最值(含答案)
专题研究 三角函数的值域与最值题型一 y=Asin(ωx+φ)+B 型的最值问题例1 (2014·天津理)已知函数f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14. 所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.探究1 化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值． 思考题1(1)(2013·新课标全国Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________.【解析】 由辅助角公式，得f (x )＝5·(55sin x －255cos x )＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.由x ＝θ时，f (x )取得最大值sin(θ－φ)＝1，∴θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝φ＋π2＋2k π，∴cos θ＝cos(φ＋π2)＝－sin φ＝－255.(2)求f(x)＝3sinx ＋4cosx ，x ∈[0，π]的值域．【解析】 f (x )＝3sin x ＋4cos x ＝5(35sin x ＋45cos x )＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，0<φ<π2. ∵0≤x ≤π，∴φ≤x ＋φ≤π＋φ.∴当x ＋φ＝π2时，f (x )max ＝5；当x ＋φ＝π＋φ时，f (x )min ＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4. ∴f (x )的值域为[－4,5]．(3)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m (x ∈R )．①化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；②若x ∈[0，π2]，是否存在实数m ，使函数f (x )的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】 ①∵f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.②假设存在实数m 符合题意．∵x ∈[0，π2]， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1∈[m,3＋m ]． 又∵f (x )∈[12，72]，解得m ＝12，∴存在实数m ＝12，使函数f (x )的值域恰为[12，72]． 题型二 可化为y=f(sinx)型的值域问题例2 (1)求f(x)＝cos2x ＋asinx 的最小值．【解析】 f (x )＝1－sin 2x ＋a sin x ， 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，∴y ＝－t 2＋at ＋1＝－(t －a 2)2＋1＋a 24.当a >0时，t ＝－1时，y 取最小值，y min ＝－a ； 当a ≤0时，t ＝1时，y 取最小值，y min ＝a .(2)求函数y ＝sinx ＋cosx ＋sinxcosx 的值域．【解析】 令t ＝sin x ＋cos x ，则有t 2＝1＋2sin x cos x ，即sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝f (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1. 又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)， ∴－2≤t ≤ 2.故y ＝f (t )＝12(t ＋1)2－1(－2≤t ≤2)． 从而知f (－1)≤y ≤f (2)，即－1≤y ≤2＋12.则函数的值域为[－1，2＋12]．探究2 可化为y ＝f(sinx)型三角函数的最值或值域也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．思考题2(1)求函数y ＝sin2x sin x1－cos x的值域．【解析】 ∵y ＝2sin x cos x sin x 1－cos x ＝2cos x (1－cos 2x )1－cos x＝2cos 2x ＋2cos x ＝2(cos x ＋12)2－12， 于是当且仅当cos x ＝1时，y max ＝4. 但cos x ≠1，∴y <4.且y min ＝－12，当且仅当cos x ＝－12时取得． 故函数值域为[－12，4)．(2)求函数y ＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x 的值域．【解析】 原函数可化为y ＝6cos 4x －5cos 2x ＋1cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x .∴y ＝3cos 2x －1，(cos 2x ≠12)． ∴－1≤y ≤2，且y ≠12.题型三 数形结合求三角函数的值域例3 (1)求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x的值域．(2)已知f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，求f (x )的值域．【解析】 (1)函数f (x )＝2－sin x2＋cos x，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率． 点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0. ∴满足|2－2k |1＋k2＝1，解之得k ＝4±73. ∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]．(2)f (x )＝⎩⎨⎧sin x (sin x ≤cos x )，cos x (sin x >cos x ).作出图像，由图像知，－1≤y ≤22.探究3 借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．思考题3求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．【解析】 1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．专题总结1．三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的值域.2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为 ①y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 型；②y ＝f (sin x )型． 3．－a 2＋b 2≤a sin x ＋b cos x ≤a 2＋b 2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性． 5．利用导数求三角函数的值域和最值．6．y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d型．(1)转化为A sin x ＋B cos x ＝C 型． (2)利用直线的斜率求解．7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．题组快练1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32]C ．[12，32]D ．[－32，－12] 答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．2．如果|x |≤π4，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( )A.2－12B ．－2＋12C ．－1 D.1－22答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －12)2＋54，当sin x ＝－22时，有最小值，y min ＝24－22＝1－22. 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 答案 B解析 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin(x －π6)，∴f (x )的值域为[－3，3]．4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin(πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[0,2] D ．[0,1] 答案 B解析 当x ＞0时，y ＝2sin x ，y ∈[－2,2]，x ≤0时，y ＝0. 6．函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋5sin(π3－2x )的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12答案 C解析 y ＝12sin(2x ＋π6)＋5cos[π2－(π3－2x )]＝12sin(2x ＋π6)＋5cos(2x ＋π6)＝13sin(2x ＋π6＋φ)，故选C.7．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 f (x )＝1－tan 2x ＋tan x＝1－(tan x －12)2＋14， 当tan x ＝12时，f (x )的最小值为4，故选D.8．已知f (x )＝sin x ＋1sin x ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]是一个减函数，则f (x )只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sin x ，得出sin x ＝1y －1，由sin x ∈(0,1]也可求出，故选B.9．若函数y ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，α]上最小值为－14，则α的取值范围是________．答案 (－2π3，2π3]解析 y ＝2－(cos x －1)2，当x ＝－23π时，y ＝－14，根据函数的对称性x ∈(－2π3，2π3]．10．(2014·新课标全国Ⅱ理)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.11．若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1，2]解析 f (x )＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]．即sin2x －cos2x ＝m 有解．2sin(2x －π4)＝m 有解．∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，3π4]．∴2sin(2x －π4)∈[－1，2]．12．函数y ＝1sin 2x ＋2cos 2x 的最小值是________．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin 2x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝3＋cos 2x sin 2x ＋2sin 2xcos 2x ≥3＋22，∴y min ＝3＋2 2.13．(2015·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则：(1)m ＝________；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1，f (x )max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，所以m ＝0.(2)由(1)f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41. 14．已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 答案 (1)π (2)22 {x |x ＝k π－π8，k ∈Z } 解析 (1)f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．15．(2015·江西百强中学月考)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．答案 (1)T ＝π，[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )(2)a ＝0解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ；当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32.∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0.16．(2014·江西)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 答案 (1)最大值为22，最小值为－1 (2)a ＝－1，θ＝－π6解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x . 因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4. 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.。
10,三角函数的值域与最值
§4.6 三角函数的值域与最值【复习目标】1．根据正、余弦函数的有界性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。
【重点难点】化归思想及其运用途径【课前预习】1．函数yx cos x的最大值是_____，最小值是_____；函数y =24(cos)5x-＋_____，最小值是_____；函数y=的最大值是，最小值是。
2．若||4xπ≤，2()cos sinf x x x=+的最小值是（）A．12 B．12-C．－1 D．123．函数y=—2sin x值域是（）A．[—3 ，—1] B．[—1，3] C．[0 ，3] D．[—3 ，0] 4．函数y=log2 (1＋sin x) ＋log2 (1—sin x)，当x∈[时的值域为（）A．[—1 ，0] B．(]1,0- C．[)0,1 D．[0 ，1]实用文档实用文档5． 求下列函数的值域（1）3sin 4cos y x x =- （2）sin 3cos ()22y x x x ππ=+-≤≤【典型例题】例1 求下列函数的最值（1）y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 （x ∈R ）；（2）y =2sin 1sin 3+-x x例2 求 y = 1＋sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的最值例3 扇形AOB 的半径为1，圆心角为3π，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。
【巩固练习】1．已知方程sin2x＋cos x＋a = 0有实数解，则a的取值范围是______________。
2．y=3sin（x+200）+5 sin (x+800)的最大值是（）A、7 D、8【本课小结】【课后作业】1．设函数y= a cos x＋b（a、b为常数）的最大值为1，最小值为—7，求函数a cos x＋b sin x的最大值和最小值。
2．若x∈(0，π)，求函数y3．求函数y = (sin x—2) (cos x—2)的最大、最小值。
数学三角函数的定义域与值域知识点
数学三角函数的定义域与值域知识点说起数学里的三角函数，那可真是让不少同学头疼不已，但其实只要咱细细琢磨，也能发现其中的趣味。
就拿正弦函数 y ＝ sin x 来说吧，它的定义域那可是整个实数集 R ，简单说就是从负无穷到正无穷，啥数都能往里放。
那它的值域呢，是闭区间-1, 1。
这意味着啥？不管 x 咋变，sin x 最大也就是 1 ，最小也就是－1 。
我记得当时学这个的时候，老师在黑板上画着波浪线，嘴里不停地念叨着“周期，周期”。
我当时就在想，这玩意儿咋就这么神奇，能像波浪一样有规律地起伏。
有一次做作业，就碰到了一道关于正弦函数定义域和值域的题目。
题目是这样的：已知函数 y ＝ 2sin(3x ＋π/4) ，求其定义域和值域。
我当时一看，心里“咯噔”一下，这可咋整？但还是硬着头皮开始琢磨。
我先想着正弦函数本身的定义域是R ，那这里不管3x ＋π/4 咋变，整体也应该是 R 没错。
至于值域，因为系数 2 ，那正弦函数的值域就得跟着变，原来是-1, 1，现在就得变成-2, 2。
我就在草稿纸上不停地写写画画，一会儿列出式子，一会儿又擦掉重新思考。
那过程，就像是在迷宫里找出口，有时候觉得自己走对了，结果发现是个死胡同；有时候又觉得没希望了，突然又柳暗花明。
算着算着，我突然发现自己把 3x ＋π/4 这个整体给搞混了，结果整个思路都错了。
哎呀，那叫一个懊恼啊！我狠狠地拍了一下自己的脑袋，自言自语道：“咋就这么笨呢！”重新调整思路后，我终于算出了正确答案。
那一刻，心里别提多有成就感了，就好像打了一场胜仗似的。
再来说说余弦函数 y ＝ cos x ，它的定义域也是 R ，值域同样是-1, 1。
有一回上课，老师讲了个例子，说是一个钟摆的摆动角度可以用余弦函数来描述。
我就在脑子里想象那个钟摆晃来晃去的样子，想着余弦函数是怎么和它对应起来的。
正切函数 y ＝ tan x 就有点不一样了，它的定义域是x ≠ kπ ＋π/2 ，k ∈Z 。
三角函数的值域(最值)
6
62
........ ........
f ( ) 3 ........................
62
6
可看出最大值为 y 3sin = 3，最小值为
因此，值域为 [ 2 , 2] 6 2
y 3sin( )=- 3，
62
33
1 小练习
正弦、余弦，正切
求下列三角函数的值域：
y cos(x ), x [ , ]
3
3
设x =，y cos , [2 , 4 ]
3
33
值域为[1, 3 ] 2
y 2sin(x ), x [0, ]
4
设x =，y 2sin , [ , 3 ]
4
44
值域为[ 2,1]
y tan(x ), x [ , ]
3
32
设x =，y tan , [0, ]
3
y cos x, x [ , ] 3
y tan x,
x [ , ]
3
....
........
值域为[1, 1] 2
y 2sin x, x [ , ] 3
值域为[ 3, 0]
........
y 2sin x,
x
[
,
]
3
......
值域为[0, 2]
与左边相反值域为[2，0]
2 三角函数
重点
非标准函数值域求解
3
解：
画出标准图 画图
标出范围
பைடு நூலகம்
标点
檫去多余图像
檫图
难
........
....................... f ( ) 1
2
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高考复习专题 三角函数的值域与最值一、基础知识1、形如()sin y A x ωϕ=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：221cos21cos2cos,sin 22αααα+-==（2）2sin cos sin2ααα=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=2、常见三角函数的值域类型：（1）形如()sin y A x ωϕ=+的值域：使用换元法，设t x ωϕ=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ωϕ+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域 解：设24t x π=-当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦sin 22t ⎡∴∈-⎢⎣⎦()f x ⎡∴∈⎣（2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可例：求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域 解：()()22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++设sin t x =2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题例1：已知向量()()()cos ,sin 3cos ,cos 3sin ,sin ,a x x x b x x x f x a b =+=--=⋅ （1）求函数()f x 的单调递增区间 （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围解：（1）()()()()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=++⋅-22cos sin cos x x x x =--cos 222cos 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()52222336k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤+⇒+≤≤+∈ ∴单调递增区间为：()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）思路：由（1）可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到角23x π+的范围，进而求出()f x 的范围解：由（1）得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 52,20,3236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴∈-⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos 2,132x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ()2cos 223f x x π⎛⎫⎡⎤∴=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭ 小炼有话说：对于形如()()sin f x A x ωϕ=+的形式，通常可先计算出x ωϕ+的范围，再确定其三角函数值的范围例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域 解：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭221cos 22sin cos 22x x x x =++-11cos 22cos 22cos 22222x x x x x =+-=- sin 26x π⎛⎫=-⎪⎝⎭T π∴= 对称轴方程：()26232k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈ （2）思路：将26x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26x π-的范围，再判断其正弦值的范围解：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,636x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦()sin 262f x x π⎡⎤⎛⎫∴=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦例3：函数27cos sin cos24y x x x =--+的最大值为___________ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。
观察可得cos x 次数较低，所以不利于转化，而2sin ,cos2x x 均可以用cos x 进行表示，确定核心项为cos x ，解析式变形为()()227cos 1cos 2cos 14y x x x =----+，化简后为2271cos cos cos 242y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当1cos 2x =时，max 2y =答案：2小炼有话说：当解析式无法化成()sin y A x ωϕ=+的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例4：设函数()sin cos2f x x x =+，若,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______ 思路：同例4考虑将解析式中的项统一，22cos212sin 12sin x x x =-=-，进而可将sin x 作为一个整体，通过换元来求值域。
解：()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+- 设sin t x =，由,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而[]0,1t ∈ 221921248y t t t ⎛⎫∴=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以90,8y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以最小值为0y = 答案：0例5：函数()3sin 2sin xf x x-=+的值域为___________思路：可将sin x 视为研究对象，令[]sin ,1,1t x t =∈-，进而只需求32ty t-=+的值域即可。
解：令sin t x =，可得[]1,1t ∈-35122t y t t -∴==-+++ []1,1t ∈- []21,3t ∴+∈55,523t ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦ 521,423y t ⎡⎤∴=-+∈⎢⎥+⎣⎦答案：2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦小炼有话说：要注意在x R ∈时sin x 自身带范围，即[]sin 1,1x ∈-例6：函数()2sin cos xf x x-=的值域为____________思路：可变形为()2sin 0cos x f x x -=--，且2sin 0cos xx--可视为()0,2与()cos ,sin x x 连线的斜率k的取值范围，()cos ,sin x x 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2l y kx =+与圆221x y +=有公共点的k 的范围。
所以1O l d -=≤，解得：k ≥k ≤以()(),3,f x ⎡∈-∞+∞⎣答案：(),3,⎡-∞+∞⎣小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。
要采取数形结合的方式。
（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：2sin cos sin 2cos xy y x x x-=⇒+=()()2sin x x ϕϕ+=⇒+=所以y 的取值范围（即值域）要能保证存在x 使得等式成立1≤2∴≤(),3,y ⎡∈-∞+∞⎣例7：设函数()sin 2,,66f x x x a ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a 计算角26x π+的范围为,266a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，可知162f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，值域中最大值为1，所以说明,266a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦经过2π，同时范围不能超过76π（否则最小值就要小于12-），从而可得72266a πππ≤+≤，解得：62a ππ≤≤ 答案：62a ππ≤≤例8：已知函数()2cos sin cos 2a f x a x b x x =--的最大值为12，且34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.12 B.4- C. 12-或4 D. 12-或4思路：观察到()f x 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为()sin A x ωϕ+的形式，通过变形可得：()()2f x x ϕ=+，所以最大值为12=，即221a b +=①，再利用34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可得：1444a --=②，通过①②可解得：02,112a ab b ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，进而求出3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12-或4解：()21cos21cos sin cos sin22222a x af x a x b x x a b x +=--=⋅-- ()()1cos2sin222a x b x x ϕ=-=+所以可得：()max 12f x ==另一方面：21cos sin cos 33332444a f a b a ππππ⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭整理可得：221a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：02,112a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩ 当01a b =⎧⎨=-⎩时，sin cos 3334f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21sin cos 033233f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴ 3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为12-或4例9：当02x π<<时，函数()21cos28sin sin 2x xf x x ++=的最小值为__________思路一：考虑将所有项转变为关于2x 的三角函数，即()()5cos21cos241cos253cos233sin2sin20sin2x x x xf x x x x -++--===-⋅-，从而想到分式与斜率的关系，5cos23sin 2xx -可视为()50,,sin 2,cos23x x ⎛⎫⎪⎝⎭，结合02x π<<可得()sin2,cos2x x 为单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4思路二：考虑将所有项转变为关于x 的三角函数，则()222221cos28sin 2cos 8sin cos 4sin sin 22cos sin cos sin x x x x x x f x x x x x x ++++===，观察到分子分母为齐二次式，从而上下同时除以2cos x ，可得：()214tan 14tan tan tan x f x x x x+==+，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,x ∈+∞，所以利用均值不等式可得：()14tan 4tan f x x x =+≥答案：4例10：求函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+的值域思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解sin cos x x +与sin cos x x 之间的联系：()21sin cos sin cos 12x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦，从而将解析式的核心变量转化为sin cos x x +，通过换元求出值域即可解：()()()222211sin cos sin cos sin cos sin cos 122x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-+=+-⎣⎦⎣⎦()()21sin cos sin cos 112f x x x x x ⎡⎤∴=+-+-+⎣⎦()()21sin cos 2sin cos 122x x x x ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()21sin cos 122x x =-+-+⎡⎤⎣⎦因为sin cos 4x x x π⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭sin cos 1x x ∴+=时，()max 2f x =当sin cos x x +=时，()min 12f x =-所以可得：()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。