最新重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习册_58含答案

合集下载

重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习

第5节二次函数的综合应用(10年15卷13考，1道，12分)玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1二次函数综合题(10年12考，仅2010～2012年未考)1. (2013重庆A卷25题12分)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．第1题图2. (2008重庆28题10分)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2014重庆B卷25题12分)如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．第3题图4. (2014重庆A卷25题12分)如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M为线段．．AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P 在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．第4题图5. (2015重庆B卷26题12分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E .(1)求直线AD 的解析式；(2)如图①，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；(3)点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标．第5题图拓展训练如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2－233x －2分别与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D.(1)判定△ABC的形状；(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；(3)如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α(0°≤α≤90°)，∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．命题点2二次函数的实际应用(10年4考，2009～2012连续考查)6. (2009重庆25题10分)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？(2)由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值(保留一位小数)．(参考数据：34≈5.831，35≈5.916，37≈6.083，38≈6.164)7. (2012重庆25题10分)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6，且x取整数)之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y 2(吨)与月份x (7≤x ≤12，且x 取整数)之间满足二次函数关系式y 2＝ax 2＋c ，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z 1(元)与月份x 之间满足函数关系式：z 1＝12x ，该企业自身处理每吨污水的费用z 2(元)与月份x 之间满足函数关系式：z 2＝34x －112x 2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W (元)最多，并求出这个最多费用； (3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a %，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a －30)%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值．(参考数据：231≈15.2，419≈20.5，809≈28.4)第7题图答案1. 解：(1)∵点A (－3，0)与点B 关于直线x ＝－1对称， ∴点B 的坐标为(1，0)；(2分) (2)∵a ＝1， ∴y ＝x 2＋bx ＋c ，∵抛物线过点(－3，0)，且对称轴为直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝－19－3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3，∴抛物线解析式为y ＝x 2＋2x －3， ∴点C 的坐标为(0，－3)，(4分) ①设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得S △BOC ＝12OB ²OC ＝12³1³3＝32，∴S △POC ＝4S △BOC ＝4³32＝6，(6分)当x >0时，S △POC ＝12OC ²x ＝12³3³x ＝6，∴x ＝4，∴y ＝42＋2³4－3＝21；(7分)当x <0时，S △POC ＝12OC ²(－x )＝12³3³(－x )＝6，∴x ＝－4，∴y ＝(－4)2＋2³(－4)－3＝5，(8分) ∴点P 的坐标为(4，21)或(－4，5)；(9分)②如解图，设点A 、C 所在直线的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，第1题解图把A (－3，0)、C (0，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－3，∴y ＝－x －3，设点Q 的坐标为(x ，－x －3)，其中－3≤x ≤0，∵QD ⊥x 轴，且点D 在抛物线上， ∴点D 的坐标为(x ，x 2＋2x －3)，∴QD ＝－x －3－(x 2＋2x －3)＝－x 2－3x ＝－(x ＋32)2＋94，(11分)∵－3<－32<0，∴当x ＝－32时，QD 有最大值94，∴线段QD 长度的最大值为94.(12分)2. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与y 轴交于点C (0，4)且经过A (4，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4，(2分) ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(3分)(2)设点Q 的坐标为(m ，0)，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，如解图①. 由－12x 2＋x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，(4分)第2题解图①∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2， ∵QE ∥AC ，∴∠BQE ＝∠BAC ，∠BEQ ＝∠BCA ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26， ∴EG ＝2m ＋43，(5分)∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ ²CO －12BQ ²EG ＝12(m ＋2)(4－2m ＋43) ＝－13m 2＋23m ＋83(6分)＝－13(m －1)2＋3.∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q (1，0)；(7分) (3)存在．在△ODF 中， ①若DF ＝DO ， ∵A (4，0)，D (2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2，又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)，由－12x 2＋x ＋4＝2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为：P (1＋5，2)或P (1－5，2); (8分) ②若FO ＝FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，如解图②，第2题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F (1，3)，由－12x 2＋x ＋4＝3，解得x 1＝1＋3，x 2＝1－3；此时，点P 的坐标为：P (1＋3，3)或P (1－3，3)；(9分) ③若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，∴此时不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形；综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为：P (1＋5，2)或P (1－5，2)或P (1＋3，3)或P (1－3，3)．(10分) 3. 解：(1)当y ＝0时，即－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)，(2分) 当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)，(3分)∴点A 、B 、C 的坐标分别是A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)；(4分) (2)设△BCM 的面积为S ，点M 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)，则OC ＝3，OB ＝3，ON ＝a ，MN ＝－a 2＋2a ＋3，BN ＝3－a ，根据题意，得S △BCM ＝S 四边形OCMN ＋S △MNB －S △COB ＝12(OC ＋MN )²ON ＋12MN ²NB －12OC ²OB ＝12[3＋(－a 2＋2a ＋3)]a ＋12(－a 2＋2a ＋3)(3－a )－ 12³3³3＝－32a 2＋92a ＝－32(a －32)2＋278，∴当a ＝32时，S △BCM 有最大值，(6分)此时，ON ＝a ＝32，BN ＝3－a ＝32，∵OC ＝OB ＝3，∠COB ＝90°， ∴∠PBN ＝45°， ∴PN ＝BN ＝32，根据勾股定理，得PB ＝PN 2＋BN 2＝322，∴△BPN 的周长＝PN ＋BN ＋PB ＝32＋32＋322＝3＋322；(8分)(3)抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，与x 轴交于点E (1，0)，如解图，第3题解图设Q (1，y )，根据勾股定理CN 2＝CO 2＋ON 2＝(32)2＋32＝454，过点Q 作QD ⊥y 轴于点D ，则D (0，y )，利用勾股定理可得：CQ 2＝CD 2＋DQ 2＝(y －3)2＋12＝y 2－6y ＋10， NQ 2＝QE 2＋EN 2＝y 2＋14，∵△CNQ 为直角三角形， ∴有以下三种情况：①当CN 2＋CQ 2＝NQ 2，即∠NCQ ＝90°时，454＋y 2－6y ＋10＝y 2＋14，解得y ＝72，∴Q (1，72)；②当CN 2＋NQ 2＝CQ 2，即∠CNQ ＝90°时，454＋y 2＋14＝y 2－6y ＋10，解得y ＝－14，∴Q (1，－14)；③当CQ 2＋NQ 2＝CN 2，即∠CQN ＝90°时，y 2－6y ＋10＋y 2＋14＝454，解得y ＝3±112，∴Q (1，3＋112)或(1，3－112)．综上所述，△CNQ 为直角三角形时，点Q 的坐标为(1，3＋112)或(1，3－112)或(1，－14)或(1, 72)．(12分)4. 解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，则C (0，3)，(1分)令y ＝0，得－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1， ∴A (－3，0)，B (1，0)；(3分)(2)由x ＝－－22³（－1）＝－1得，抛物线的对称轴为直线x ＝－1，(4分)设点M (x ，0)，P (x ，－x 2－2x ＋3)，其中－3＜x ＜－1，∵P 、Q 关于直线x ＝－1对称，设Q 的横坐标为a ，则a －(－1)＝－1－x ， ∴a ＝－2－x ，∴Q (－2－x ，－x 2－2x ＋3)，(5分)∴MP ＝－x 2－2x ＋3，PQ ＝－2－x －x ＝－2－2x ，∴C 矩形PMNQ ＝2(MP ＋PQ ) ＝2(－2－2x －x 2－2x ＋3) ＝－2x 2－8x ＋2 ＝－2(x ＋2)2＋10，∴当x ＝－2时，C 矩形MNPQ 取最大值．(6分) 此时，M (－2，0)， ∴AM ＝－2－(－3)＝1，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝b 0＝－3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3k ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋3，将x ＝－2代入y ＝x ＋3，得y ＝1， ∴E (－2，1)， ∴EM ＝1，(7分)∴S △AEM ＝12AM ²ME ＝12³1³1＝12；(8分)第4题解图(3)由(2)知，当矩形PMNQ 的周长最大时，M 横坐标为x ＝－2，此时点Q (0，3)，与点C 重合， ∴OQ ＝3，将x ＝－1代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝4， ∴D (－1，4)，如解图，过点D 作DK ⊥y 轴于点K ，则DK ＝1，OK ＝4，∴QK ＝OK －OQ ＝4－3＝1， ∴△DKQ 是等腰直角三角形，DQ ＝2，(9分) ∴FG ＝22DQ ＝22³2＝4，(10分) 设F (m ，－m 2－2m ＋3)，G (m ，m ＋3)， ∵点G 在点F 的上方，∴FG ＝(m ＋3)－(－m 2－2m ＋3)＝m 2＋3m ，∵FG ＝4，∴m 2＋3m ＝4，解得m 1＝－4，m 2＝1，当m ＝－4时，－m 2－2m ＋3＝－(－4)2－2³(－4)＋3＝－5，当m ＝1时，－m 2－2m ＋3＝－12－2³1＋3＝0， ∴F 点的坐标为(－4，－5)或(1，0)．(12分) 5. 解：(1)当y ＝0时，即0＝－x 2＋2x ＋3，解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴A (－1，0)，B (3，0)．当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)．(1分)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点(1，4)， ∴点C 关于直线x ＝1的对称点D (2，3)．(2分)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入A (－1，0)，D (2，3)，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b 3＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1；(3分) (2)对于y ＝x ＋1，当x ＝0时，y ＝1， ∴OE ＝1＝OA ，∴△AOE 为等腰直角三角形． ∵FG ⊥AD ，FH ∥x 轴，∴∠FHG ＝∠EAO ，∠FGH ＝∠EOA ， ∴△FHG ∽△EAO ，∴△FGH 是等腰直角三角形， ∴FG ∶GH ∶FH ＝1∶1∶ 2.(4分) 设F (t ，－t 2＋2t ＋3)，则点H 的纵坐标为－t 2＋2t ＋3，代入y ＝x ＋1，得x ＝－t 2＋2t ＋2， ∴H (－t 2＋2t ＋2，－t 2＋2t ＋3)，∴FH ＝(－t 2＋2t ＋2)－t ＝－t 2＋t ＋2，(5分)∴C △FGH ＝FG ＋GH ＋FH ＝FH2＋FH2＋FH ＝(2＋1)FH＝(2＋1)(－t 2＋t ＋2)＝－(2＋1)(t －12)2＋94(2＋1)，(6分)∴当t ＝12时，C △FGH 最大＝94(2＋1)＝942＋94；(7分)(3)(ⅰ)当点P 在AM 上方时，如解图①，过点M 作MP ⊥AM 交y 轴于P 点，过P 点作AM 的平行线、过A 点作PM 的平行线，交点为点Q ，直线AQ 交y 轴于点T . 由作法知四边形AMPQ 为平行四边形，且∠AMP ＝90°， ∴四边形AMPQ 是符合题意的矩形．作MR ⊥y 轴于点R ，设AM 交y 轴于点S . ∵A (－1，0)，M (1，4)， ∴RM ＝OA ＝1，又∵∠MRS ＝∠AOS ，∠MSR ＝∠ASO ， ∴△MRS ≌△AOS (AAS )， ∴SO ＝RS ＝12OR ＝2，∴SM ＝12＋22＝5＝SA .(8分) ∵∠MSR ＝∠PSM ，∠MRS ＝∠PMS ， ∴△PMS ∽△MRS ， ∴PS MS ＝MS RS ， ∴PS ＝MS 2RS ＝52.(9分)∵SM ＝SA ，∠PSM ＝∠TSA ，∠PMS ＝∠TAS ＝90°， ∴△PMS ≌△TAS (ASA )， ∴PM ＝AT ，PS ＝ST ＝52.∵OS ＝2， ∴OT ＝52－2＝12，∴T (0，－12)．在矩形AMPQ 中，PM ＝AQ ， ∴AQ ＝AT . ∵QT ⊥AM ，∴点Q 、T 关于AM 成轴对称， ∴T (0，－12)为所求的点；(10分)第5题解图(ⅱ)当点P 在AM 下方时，如解图②作矩形APQM ，延长QM 交y 轴于点T .同(ⅰ)可知MQ ＝AP ＝TM ，且AM ⊥QT ，则点Q 关于AM 的对称点为点T ，此时ST 与解图①中的SP 相等，即TS ＝52，又OS ＝2， ∴OT ＝OS ＋TS ＝92，∴T (0，92)．(11分)综上所述，点T 坐标为(0，－12)或(0，92)．(12分)拓展训练解：(1)结论：△ABC 是直角三角形．理由如下：对于抛物线y ＝12x 2－233x －2，令y ＝0，即12x 2－233x －2＝0，解得x ＝－233或23，∴A (－233，0)，B (23，0)，令x ＝0得y ＝－2， ∴C (0，－2)，∴OA ＝233，OC ＝2，OB ＝23，AB ＝833，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝433，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝643，AB 2＝643，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴△ABC 是直角三角形；(2)如解图①，设P (m ，12m 2－233m －2)，解图①S △BCP ＝S △OCP ＋S △OBP －S △OBC ＝12³2m ＋12³23³(－12m 2＋233m ＋2)－12³2³23＝－32(m －3)2＋332，∴m ＝3，即P (3，－52)时，△PBC 的面积最大，最大为332.(3)①如解图②，解图②∵EF 垂直平分BC ，∴E (0＋232，－2＋02)即E (3，－1)，tan ∠EOH ＝HEOH ＝33， ∴∠EOH ＝30°，∠OEH ＝60°，在Rt △BOC 中，tan ∠CBO ＝CO BO ＝33，∴∠CBO ＝30°，∵EF ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∠EDB ＝60°， ∵EH ⊥OB ，∴∠DEH ＝30°，∠OED ＝30°， ∵EH ＝1，∠DEH ＝30°， ∴DH ＝33，当点K 与点O 重合，点T 与点D 重合时，△EKT 为等腰三角形，易知TE ＝TK ＝33²EB ＝233； ②如解图③中，当TE ＝KE 时，作KN ⊥CE 于N ，EQ ⊥OC 于Q ，则四边形OQEH 是矩形，解图③易知：HE ＝1，∠CKN ＝30°， ∵∠QEH ＝90°，∠KET ＝30°， ∴∠TEH ＝60°－∠QEK ， ∵KN ∥DE ，∴∠EKN ＝∠DEK ，又∠KET ＝∠DEH ， ∴∠DEK ＝∠TEH ， ∴∠EKN ＝∠TEH ，∵ET ＝EK ，∠KNE ＝∠EHT ＝90°， ∴△KEN ≌△ETH (AAS )， ∴KN ＝EH ＝1，在Rt △CNK 中，易知CN ＝33，CK ＝233， ∴EN ＝2－33， ∴TH ＝EN ＝2－33，∴OT ＝433－2，OK ＝2－233，∴KT 2＝OK 2＋OT 2＝443－83，∴KT ＝443－83； ③当TK ＝EK 时，∠ETK ＝∠TEK ＝30°，∴∠EKT ＝120°，而T 在OB 上，K 在OC 上，∴∠EKT 最大为90°<120°，∴EK ＝TK 不成立．KT 的值为233或443－8 3. 6. 解：(1)设p 与x 的函数关系为p ＝kx ＋b (k ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3.95k ＋b ＝4.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1b ＝3.8， ∴p ＝ 0.1x ＋3.8，(2分)设月销售金额为w 万元，则w ＝py ＝(0.1x ＋3.8)(－50x ＋2600)(3分) 化简，得w ＝－5x 2＋70x ＋9880， ∴w ＝－5(x －7)2＋10125，∴当x ＝7时，w 取得最大值，最大值为10125万元，答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大值为10125万元，(4分) (2)去年12月份每台的售价为－50³12＋2600＝2000元，去年12月份月销售量为0.1³12＋3.8＝5万台，(5分)根据题意，得2000(1－m %)³〔5(1－1.5m %)＋1.5〕³13%³3＝936，(8分) 令m %＝t ，原方程可化为7.5t 2－14t ＋5.3＝0，解得t 1＝14＋3715，t 2＝14－3715，∴t 1≈1.339(舍去)，t 2≈0.528. 答：m 的值约为52.8.(10分)7. 解：(1)y 1＝12000x(1≤x ≤6，且x 取整数)，(1分)y 2＝x 2＋10000(7≤x ≤12，且x 取整数)；(2分)(2)当1≤x ≤6，x 取整数时，W ＝y 1²z 1＋(12000－y 1)²z 2＝12000x ²12x ＋(12000－12000x )²(34x －112x 2)＝－1000x 2＋10000x －3000.(3分) ∵a ＝－1000<0，x ＝－b2a ＝5，1≤x ≤6，∴当x ＝5时，W 最大＝22000(元)；(4分) 当7≤x ≤12，且x 取整数时，W ＝2³(12000－y 2)＋1.5y 2＝2³(12000－x 2－10000)＋1.5³(x 2＋10000) ＝－12x 2＋19000，(5分)∵a ＝－12<0，x ＝－b2a＝0，当7≤x ≤12时，W 随x 的增大而减小， ∴当x ＝7时，W 最大＝18975.5(元)， ∵22000>18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；(6分) (3)由题意得12000(1＋a %)³1.5³[1＋(a －30)%]³(1－50%)＝18000.(8分) 设t ＝a %，整理得10t 2＋17t －13＝0，解得t ＝－17±80920.∵809≈28.4，∴t 1≈0.57，t 2≈－2.27(舍去)， ∴a ≈57.答：a 的整数值为57.(10分)。

重庆市中考数学一轮复习第三章函数及其图象第6节二次函数的应用试题

第六节二次函数的应用课标呈现指引方向会利用二次函数解决简单的实际问题考点梳理夯实基础1．二次函数的实际应用问题(1)利用顶点坐标来求最值(2)最值不在顶点处取得(3)分段函数求最值问题2．解决二次函数的实际应用问题的关键在于：(1)理解问题；(2)分析问题中变量之间的关系；(3)建立二次函数模型，得到解析式：(4)运用二次函数的有关性质求解；(4)将所得结果结合实际情况进行检验．考点精析专项突破考点一二次函数与几何问题【例1】（2016四川内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．解题点拨：二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值．在此类实际问题中，最大（小）值有时会在顶点处取得，此时达到最大（小）值时的x即为顶点横坐标值，最大（小）值也就是顶点纵坐标值；有时会在端点取得．因此，对于实际问题中的最值问题要特别注意自变量的取值范围．解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米．依题意可列方程x( 30-2x)= 72，即x2-15x+36=0.解得x1 =3，x2 =12．∵当x=3时，30-2x =24>18，∴x=12.(2)依题意，得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11．面积S=x(30-2x)= -2(x-152)2+2252(6≤x≤11)．①当x=152时，s有最大值，s最大=2252；②当x =11时，S有最小值，S最小=11x(30-22)=88.(3)令x(30-2x)= 100，得x2-15x+50=0.解得x1=5，x2=10．∴x的取值范围是5≤x≤10．考点二二次函数与利润问题【例2】（2016湖北随州）九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下:已知商品的进价为30元／件，设该商品的售价为y （单位：元／件），每天的销售量为p （单位：件），每天的销售利润为W （单位：元）． (1)求出W 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．解题点拨：(1)此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，建立函数并运用函数的性质是解题的关键；(2)分段函数的分类讨论是本题的考查重点，因此本题要分段考虑．解：(1)当o ≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y =kx +b （k 、b 为常数且k ≠0）， ∵y =kx +b 经过点(0，40)、(50，90)， 405090b k b =⎧⎨+=⎩，解得：140k b =⎧⎨=⎩， ∴售价y 与时间x 的函数关系式为y =x +40；当50<x ≤90时，y =90．∴售价y 与时间x 的函数关系式为 40050905090x x y x x x +≤⎧=≤<≤⎨⎩（，且为整数）（，且为整数） ’由题意可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为P=mx +n （m 、n 为常数，且m ≠0）， ∵P=mx +n 过点(60，80)、(30，140)， ∴608030140m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2200m n =-⎧⎨=⎩，∴P =-2x +200（0≤x ≤90，且x 为整数），当0≤x ≤50时，W =（y -30）•p=（x +40-30）（-2x +200）=-2x 2+180x +2000；当50<x ≤90时，W =(90-30)（-2x +200）=-120x +12000．综上所示，每天的销售利润W 与时间x 的函数关系式是221802000050120120005090x x x x x x w x -++≤≤-+<≤⎧⎪=⎨⎪⎩（，且为整数）（，且为整数）(2)当0≤x ≤50时，W =-2x 2+180x +2000=-2（x -45）2+6050， ∵a =-2<0且0≤x ≤50．∴当x =45时，W 取最大值，最大值为6050元．当50<x ≤90时，W =-120x +12000， ∵k =-120<0，W 随x 增大而减小，∴当x = 50时，W 取最大值，最大值为6000元． ∵6050>6000．∴当x =45时，W 最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．课堂训练当堂检测1．函数y=x2 +2x+3的最小值为 ( ) A．-2 B．2 C．1 D．-1【答案】B2．已知0≤x≤12，那么函数y= -2x2+8x-6的最大值是( )A．- 10.5 B．2 C．-2.5 D．-6【答案】C3．（2016四川成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树，橙子的总产量为W．则W与x的关系式为．【答案】W=-5x2+100x+600004．（2016云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函教关系图象．(1)求y与x的函数解析式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值，解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b．根据题意，得：20300 30280k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：2340kb=-⎧⎨=⎩,∴y与x的函数解析式为y=-2x+340，(20≤x≤40)．(2)由已知得：W=（x-20）（-2x+340）= -2x2+380x-6800= -2（x-95）2+11250，∵-2<0．∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40．∴当x=40时，W最大，W最大值=-2(40-95)2+11250=5200(元)中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．当x取( )时，二次函数y= -x2+1有最大值．A ．12B ．0C ．1D ．2【答案】B2．如果二次函数y = x 2-2x +m 的最小值为非负数，则m 的取值范围是 ( )． A ．m <1B ．m >1C ．m ≤1D ．m ≥1 【答案】Ｄ3．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y ( m )与水平距离x (m )之间的关系为y =-112（x -4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（）A ．3mB ．7mC ．10mD ．14m 【答案】C4．如图，重庆某长江大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y =ax 2+bx ，小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 ()秒．A ．12B ．18C ．24D ．36 【答案】Ｄ二、填空题5．已知二次函数y =-x 2+4x +5，其中-2≤x ≤1，则y 有最小值为，最大值为．【答案】-7 86．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x ≤30，且x 为整数）出售，可卖出（40一x ）件．若使利润最大，每件的售价应为元．【答案】307．（2016浙江丽水改编）如图，地面BD 上两根等长立柱AB ,CD 之间悬挂一根近似成抛物线y =2143105x x -++3的绳子，则绳子最低点离地面的距离为m ．【答案】1.4三、解答题8．（2016山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出：当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少l辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x-1100>0,解得x>22．又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元：(2)设每辆车的净收入为y元，当0<x≤100时，y1= 50x-1100，∵y随x的增大而增大，∴当x=100时，y1的最大值为50x100-1100= 3900；当x>100时．y2=(50-1005x-) x-1100=-15x2+70x-1100=-15(x-175)x2+5025，当x=175时，y2的最大值为5025，5025>3900．故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．9．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，记作△ABC，它的边BC= 120mm，高AD= 80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm．小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加T的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.解：(1)设矩形的边长PN= 2ymm，则P Q=ymm，由条件可得△APN∽△ABC．∴PN AEBC AD=，即2120y=8080y-，解得y=2407，∴PN=2407×2=4807( mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)设PN =xmm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴PNBC =AE AD ，即120x =8080PQ -，解得PQ= 8023x -．∴S=PN ·PQ=x(8023x -)=23x -2+80x=22(60)3x -- +2400，∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN= 60mm ，PQ=802603-⨯ =40(mm)．B 组提高练习10．（2016山东青岛改编）如图，需在一面长度为l0m 的墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax 2+bx （a ≠0）表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34m ，到墙边OA 的距离分别为12m ， 32m ．则最多可以连续绘制( )个这样的抛物线型图案？ A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第10题【答案】(提示：根据题意得：B(12， 34)，C(32， 34)，把B ，C 代入y =ax 2+bx 得 311442393442a b a b⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=-x 2+2x ；令y=0，即-x 2+2x=0，∴x 1=0．x 2=2，∴l0÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．选B ） 1 1．（2016浙江台州）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．【答案】（提示：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y=a （t-l.l ）2+h ，由题意a （t-l.l ）2+h=a （t-l-l.l ）2+h ，解得t=1.6．故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．） 12．（2015年江苏南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单元：元）、销售价 y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1，∵y 1=k 1x+b 1的图象过(0，60)与(90，42)，∴111609042b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得110.260k b =-⎧⎨=⎩ ∴线段AB 所表示的y 1与x之间的函数表达式为y 1=- 0.2x+60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2 =k 2x+b 2，∵y 2=k 2x+b 2的图象过(0，120)与(130，42)，∴22212013042b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得220.6120k b =-⎧⎨=⎩,第12题∴y 2与x 之间的函数表达式为y 2 =-0.6x+120(0≤x ≤130)．设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，当0≤x ≤90时．W=x[(-0.6x+120)-（-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250 ∴当x= 75时，W 的值最大，最大值为2250．当90≤x ≤130时．W=x[(-0.6x+120)-42]= -0.6(x-65)2+2535,由-0.6<0知，当x>65时，W 随x 的增大而减小，因此当x= 90咐，W 的值最大，最大值为W=-0.6(90-65)2+2535= 2160． ∴90≤x ≤130时．W ≤2160．因此，当该产品产量为75kg 时获得的利润最大，最大利润是2250元．。

2018年中考数学第一轮复习---二次函数

2018年中考数学第一轮复习--- 二次函数及其综合应用(部分难题附答案）【中考目标】1。

理解二次函数的概念; 会用描点法画二次函数的图象；利用二次函数的图象，理解二次函数的增减性、最值；会求解析式中字母的值等;2.会把二次函数的一般式化为顶点式,会确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向；3.掌握二次函数平移的规律；4.掌握二次函数与一元二次方程的关系；会用待定系数法求二次函数的解析式； 5。

掌握二次函数、一次函数、反比例函数中的两个函数图像交点的意义并运用;6.会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小)值；7.掌握二次函数与平面图形等知识的综合应用。

【中考知识清单】一、二次函数的定义:一般地,如果y= （a 、b 、c 是常数,a≠0）那么y 叫做x 的二次函数. 二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的图象是一条，其顶点坐标为对称轴是2、在抛物y=ax 2+bx+c （a ≠0)中：当a 〉0时,开口向，当x<—2b a时，y 随x 的增大而 ,当x时，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向当x<-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x增大而减小。

注意如下图几个特殊形式的抛物线的特点，分别写出它们的表达式:（1）， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 三、二次函数的三种表达式1.一般式：（a,b ，c 为常数,a ≠0)2.顶点式：（a ≠0，a 、h 、k 为常数）,它直接显示二次函数的顶点坐标是。

3.两根式：（a ≠0,a 、1x 、2x 为常数),其中1x 、2x 是图象与x 轴交点的横坐标.4。

三种表达式之间的关系：顶点式 −−−←配方一般式−−−→−因式分解两根式四、二次函数图象的平移二次函数的平移问题本质可看作是顶点问题的平移，要掌握抛物线的平移，只要找准顶点平移即可.五、二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向：向上则a 0，向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与a 、b 联系,用；判断b=0时，对称轴是c ：与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0;负半轴上则c 0；当c=0时，抛物过点d:特殊值判断：在抛物线y = ax 2+bx+c 中,当x=1时,y= ；当x=—1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号.六、二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点交点的是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解．二次函数图象与x 轴交点个数b 2－4ac ＞0 二次函数图象与x 轴有______个交点．b 2－4ac ＝0 二次函数图象与x 轴有______个交点． b 2－4ac ＜0 二次函数图象与x 轴______交点．二次函数图象与不等式利用图象求不等式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ＜0的解集。

2018中考复习学案二次函数总复习(word含答案)

2018 中考复习学案二次函数总复习 (word 含答案 )
一、知识集结号：
1. 二次函数的定义，图像，性质；
如果 y
2
ax
bx
c ( a, b, c 是常数， ), 那么， y 叫做 x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
抛物线 y
ax2 bx
c( a
0 ) 的顶点是 (
【答案】（ 1） y
1 x2
3
2
x 2 ；（2 ） ( ,0) ；
22
3
5. 如图，二次函数 y x2 bx c 的图象过点 B(0, 2) ．它与反比例函 y
于点 A( m,4) ，则这个二次函数的解析式为（
）
8
的图象交
x
A． y x2 x 2 B． y x2 x 2
C． y x2 x 2
D． y x2 x 2
（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）
这个抛物线解析式
,
求它与 x轴的交点 ________, 抛物线的顶点坐标为 _____
x 取______ 时，抛物线在 x 轴上方
若 x ＞ a时， y 随 x 增大而减小，则 a 的取值范围
【答案】（ 1） y x2 2x 3 ；（ 2）（ -1 ，0），（ 3， 0）；（ 3） 1 x 3 ；（ 4） a 1
4a
a
其中正确结论的个数是（
）
A． 4
B． 3
C． 2
D． 1
【答案】 C
10. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长）
，中间用一道墙隔开，并在如图
所示的三处各留 1m2 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为

重庆市2019年中考数学一轮复习习题设计第三章函数第5节二次函数的综合应用二

百度文库，精选试题第5节二次函数的综合应用课时1 与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)ykxbkbxyAB(0、、4分别与、轴、0)1. (2017滨州)如图、直线＝轴交于点＋((－、为常数)2Cyxyx. 与＝－轴交于点＋2＋3)、抛物线1bkxy＋(1)求直线的函数解析式；＝2dABPxyyxxP、求是抛物线的距离为＝－到直线＋2＋1(2)若点(上的任意一点、设点、)dxdP的坐标；的函数解析式、并求取最小值时点关于2EFABCEFyExx的上移动、求(3)若点在直线在抛物线＝－2＋的对称轴上移动、点＋1＋最小值．第1题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题112yxxcxAyB、连＋轴的负半轴交于点＋轴交于点与)2. (2017宁波如图、抛物线、与＝4415ABCACyD.与轴交于点(6、)在抛物线上、直线接、点2cAC的函数表达式；的值及直线(1)求PxQyPQACMMO 并延点与直线在轴正半轴上、点、连接在交于点轴正半轴上、连接(2)ABNMPQ的中点．、若长交于点为APMAON；∽△①求证：△MmANm的代数式表示用含、求)的长．②设点的横坐标为(第2题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3xBCyAxxy轴上、东营3. (2017)如图、直线、在＝－轴交于＋3分别与两点、点轴、32bxAaxBACBy两点．、∠＋＝90°、抛物线3＝＋经过AB两点的坐标；、(1)求(2)求抛物线的解析式；MBCMMHBCHMDyBCD、、作轴交(3)点是直线∥上方抛物线上的一点、过点作于点⊥于点DMH周长的最大值．求△第3题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2bxaxABy＋、在抛物线(4、6)上．＝4. (2017武汉)已知点1(－、1) 求抛物线的解析式；(1)xAFGGmFm轴的垂线、交抛物线于另一点作直线(2)如图①、点(0的坐标为、、)(过点>2)、AEAEFHHxEFH垂足为、求证：、设抛物线与；轴的正半轴交于点∥、连接、CDCyCDPABx方向匀速、从点轴、轴于两点、点(3)如图②、直线分别交出发、沿射线xOQ轴正方向匀速运动、速度运动、速度为每秒出发、沿 2个单位长度、同时点从原点PMtQMMPQ、直秒时、个单位长度、点为每秒1＝是直线与抛物线的一个交点、当运动到2t接写出的值．第4题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题课时2 与面积有关的问题(建议答题时间：40分钟)2CBybxyaxA. 、0)、交(－1、0)1. (2017深圳)如图、抛物线、＝＋轴于点＋2经过点(4 )；求抛物线的解析式(用一般式表示(1)3DSyDSD、若存在请直接给出点轴右侧抛物线上一点、是否存在点＝点为、使(2)ABCABD△△2 坐标；若不存在请说明理由；BEEBBEBC顺时针旋转45°得到、求(3)将直线、与抛物线交于另一点绕点的长．第1题图1yxxAy轴交于点2＋与、与(2017 2. 盐城)如图、在平面直角坐标系中、直线＝轴交于点212BxAxCybxcC.、抛物线＝－轴的另一交点为点＋＋经过、两点、与2试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题(1)求抛物线的函数表达式；DAC上方抛物线上一动点．为直线(2)点S1SSECDEBCEBDBCCDAC的、△的面积为于点的面积为①连接、、△、设直线交线段、求21S2最大值；CDFDCDACDDFF中的某个角恰好等于、是否存在点作、使得△⊥、垂足为点、连接②过点DBAC 2倍？若存在、求点的横坐标；若不存在、请说明理由．∠的试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2BAaxbxy0)和点0)．＋(5＋3经过点、(13. (2017海南)抛物线、＝ (1)求该抛物线所对应的函数解析式；3xDPyxC直点＋3相交于轴下方、、是抛物线上的动点且位于(2)该抛物线与直线两点、＝5NMyxCDPM.轴、分别与交于点∥轴和直线、线PCDPPCPD的面积是否存在最大值？若存在、求出①连接运动过程中、△、、如图①、在点这个最大值；若不存在、说明理由．PBMPCNQQPBCCQPM相、过点、使得△作是否存在点⊥与△、垂足为点、如图②、②连接P的坐标；若不存在、说明理由．似？若存在、求出满足条件的点第3题图112yxxxAByC、连轴于点交已知抛物线重庆南开一模4. (2017) ＝－＋＋4轴于点、、交33试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题ACBC.、接ABBC的解析式；的坐标以及直线、 (1)求交点PBOPy轴的平行线交运动、过点从点出发以每秒5个单位的速度向点作(2)如图①、动点BCMNNNKBCBCKMNKMPB的面积比线段交于点、当△、交抛物线于点、过点于点作与△⊥Pt的值；的运动时间为1∶2时、求动点PBAQA从点运动、动点同时另一个动点从点5出发以每秒个单位的速度向点(3)如图②、ACCPQPQBPx轴上方作正同时停止、分别以出发沿为边在以相同速度向终点运动、且、、PQEFBPGHPQEFBPGH重叠部和正方形方形、当正方形和正方形(正方形顶点按顺时针顺序)分是一个轴对称图形时、请求出此时轴对称图形的面积．第4题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题课时3 与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)2xAbxyyax轴正＋11. (2017菏泽)如图、在平面直角坐标系中、抛物线交＝、交＋轴于点5CDCxDBAD.⊥、与过作点的直线相交于另一点(3、)、过点轴、垂足为半轴于点(4、0) 2 (1)求抛物线的表达式；NMPNPxADPOCOC、⊥、轴、在线段交直线上(不与点、交抛物线于点重合)、过作于(2)点PCMCM、求△面积的最大值；连接NCMDPxOPtt为顶点是轴正半轴上的一动点、设、的长为、、是否存在、、使以点若(3)t的值；若不存在、请说明理由．的四边形是平行四边形？若存在、求出第1题图2xAcyxbxy正半轴相3)＋与、与轴相交于点(0、)2. (2017广安如图、已知抛物线＝－＋xB1. 交于点、对称轴是直线＝B求此抛物线的解析式及点(1)的坐标；试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题MOxNO从点轴正方向运动、同时动点出发、以每秒2个单位长度的速度沿(2)动点从点yNAMN同时停止运点到达、出发、以每秒3个单位长度的速度沿点时、轴正方向运动、当MxABQPt秒．作、交抛物线于点轴的垂线交线段于点、设运动的时间为动．过动点tOMPN为矩形；为何值时、四边形①当tBOQt值；若不能、请说明理由． >0时、△能否为等腰三角形？若能、求出②当第2题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2BcABCDAaxybx、(的顶点－(03. (2017潍坊)如图、抛物线、＝＋3)＋、经过平行四边形1ABCDElDxE分割为面的直线.0)、、抛物线与(2、3)经过点轴的另一交点为将平行四边形PlFP的横坐上方抛物线上一动点．为直线积相等的两部分、与抛物线交于另一点点.设点t.标为 (1)求抛物线的解析式；PFEt何值时、△的面积最大？并求最大值的立方根；(2)当tPPAE (3)是否存在点使△的值；若不存在、说明理由．为直角三角形？若存在、求出832xxyx与)4. (2017重庆九龙坡区模拟如图①、在平面直角坐标系中、抛物线＝3－－33试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题CAByAB. 在点、与的左侧)轴交于轴交于点、两点(点ABC的形状、并说明理由；(1)判断△BCPMx上的一动点、是直线轴的对称点记为点、(2)在抛物线第四象限上有一点、它关于点10MCPBCPM＋的最小值；当△的面积最大时、求10DK、对称轴右侧的抛为抛物线的顶点、点在抛物线对称轴上且纵坐标为3(3)如图②、点35EFFCKHHEEHEE＝、交对称轴于点、使得、延长物线上有一动点至点、过点作、在∥3QFHDQQ的对角线所、平面内找一点、、使得以点、为顶点的四边形是轴对称图形、且过点QE的横坐标；若不存在的直线是对称轴、请问是否存在这样的点、若存在、请直接写出点在、请说明理由．第4题图试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题课时4 二次函数的实际应用(建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出、足球飞行的路线是一条hmt(单)抛物线、不考虑空气阻力、足球距离地面的高度与足球被踢出后经过的时间(单位：s 之间的关系如下表：位：)t (4)0152736 h…1420 14180182089mt＝；②足球飞行路线的对称轴是直线下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 ；③2ssm．其中正确结论时、距离地面的高度是时落地；④足球被踢出1.5 9 足球被踢出11的个数是( )ABCD. 4. 1 . 2 . 32. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛、羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图、OmPymxm)之间满足函((甲在)点正上方1 与水平距离的处发出一球、羽毛球飞行的高度2mOmxyah. 5 1.55 (－4)＋、球网的高度为.已知点数表达式＝与球网的水平距离为1ha＝－时、①求(1)当的值、②通过计算判断此球能否过网；2412QmmO处、离地面的高度为的(2)若甲发球过网后、羽毛球飞行到与点的水平距离为7 5a时、乙扣球成功、求的值．第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售、为了得到日销售量试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题px(元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表： (千克)与销售价格x 50 40元/千克)3045销售价格35( p 0600450300日销售量150(千克)px与(1)请你根据表中的数据、用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格、才能使日销售利润最大？aax≤4540≤时、＞0)的相关费用、当(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出元(a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用2430元、求) 农经公司的日获利的最大值为答案课时1 与线段、周长有关的问题ykxbAB(0、3)、、－1. 解：(1)∵直线＝＋经过点(40)、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3??b＝－4k＋0＝k??4?∴、解得、?b3＝????3b＝3xy＝；＋3∴直线的函数解析式为4NABPMABMPNyP.⊥∥于点如解图、过点于点作、作轴交直线(2)题解图第1ABOPNM＝∠∴∠、NMPAOB＝∠∵∠＝90°、PMNAOB∽△∴△、ABAO 、＝PNPM OBOA34、、∵＝＝22AB、＋OB∴＝5＝OA4PNPM＝∴、5yPNP∥轴、∵点是抛物线上的点、32xxxxNPx、1)、＋∴((3)、－2＋、＋4103535222xxxxPNxx＋(2＝＋2、＋1)＝－－)∴＋＝－＋3(－64484451032xPMd、－) ＝＝(＋805851035119xPMP点坐标为(、)；∴当＝时、、此时取得最小值8808642Cyxyx轴交于点＋2、＋1(3)∵抛物线与＝－2xC、＝1)(0、、对称轴为直线1∴＝－）×（－12ABGGGC的距离即为、1)如解图、作点、点关于对称轴的对称点、则到直线点坐标为(245103142dEFCE＝×(2－)＋＋的最小值、最小值为. ＝8085515153Cc、＋＋ 9代入抛物线解析式可得、(1)2. 解：把点(6)＝222试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题c＝－3解得、112yxx－3∴、＝＋44112yxx－3＝时、0＋、当＝044xx＝3、＝－4、解得21A(－4、∴0)、ACykxbk≠0)、＝(＋设直线的函数表达式为：0＝－4k＋b3????k＝154??bACykx、)代入中得＝＋把、解得(－4、0)、(6、152＝6k＋b????2b＝33ACyx＋3＝∴直线；的函数表达式为：4OAOBODRtAOB中、、∵在 3、△＝(2)①证明：由(1)易得＝4、3＝OB3OABtan.＝∠＝4OA3OD OADRtAODtan.△＝中、在∠＝4OA OADOAB∴∠、＝∠PQMPOQRt为中、∵在中点、△MPOM＝∴、MPOMOP ＝∠、∴∠AONMOP＝∠∵∠、AONAPM＝∠∴∠、AONAPM；∴△∽△ExMEM. ⊥②解：如解图、过点轴于点作MPOM＝、又∵EPOE＝∴、mM∵点、横坐标为mAPAEm＋4、＝2∴、＝＋43OADtan、∠＝∵44OADEAMcoscos＝∠、∴∠＝5）5＋（5m4AEAM＝、＝∴44试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题AONAPM∽△、∵△APAM ＝、∴AOAN205m＋AM·AO AN. ＝∴＝4AP2m＋题解图第23CxyxB＋3与解：(1)∵直线3.轴交于点轴交于点＝－、、与3xyxy＝33、令0＝∴令得＝0得、＝CB、3)0)、点．的坐标为(0∴点的坐标为(3、3OC CBOtan∴＝、＝3BO CBO ＝30°、∴∠BCO＝60°、∴∠BCAC∵、⊥ACO∴∠＝30°、3ACOAOtanCO＝∴＝×·1∠、3＝ 3A；1－、0)∴点的坐标为(2BbxAaxy＋3经过、(2)∵抛物线两点、＝＋3??＝－a?30－＋b3＝a??、、解得∴?302＋9a33b＋＝??＝b33322xyx＝－3；＋＋∴抛物线的解析式为33yMD∥(3)∵轴、BCOMDH＝60°、∴∠＝∠BCMH∵、⊥试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题31MDMHHDMD.∴、＝＝2231MDDMN.＋＋)∴△的周长为(12233232tDtttMt＋＋3)、则点设点、的坐标为(的坐标为、－(＋、－3)333BCM∵点上方的抛物线上、在直线3232tMDt∴＋＝＋(－3)－3333333322tttt. ＋3)(－＝－(＋＋－3)＝－43332t＜3、∵0＜333MDtMD的最大值为∴当、＝时、有最大值、且429＋339133DMH.＝(1＋＋∴△)×周长的最大值为8422a－b＝1??2AByaxbx中、、＝ (4、6)代入＋4. (1)解：将点、(－11)、?16a＋4b＝6??1??＝a2?解得、1??b＝－2112yxx；－∴抛物线的解析式为＝22AFm) 、(0－1、1)(2)证明：∵、(AFymxm. 1)＝(∴直线＋的解析式为：－y＝（m －1）x＋m???、联立 112y＝x－x??22112xmxm＝)得0. －(－－22AGAF与抛物线的交点、∵为直线、1－（m－）2xmxxmm、＝21－－(∴－＋＝＝－21－、∴＝21) Hm、0)、(2 ∴1HFyxm.GGA12∴直线的解析式为：＋＝－2E(1、0)由抛物线解析式易得、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题A1)又、(－1、11xAEy＝－、∴直线的解析式为：＋22AEHF 与直线的斜率相等、∵直线AEHF∥；∴89－15＋11315－11313＋8913t.或的值为解：或或(3)2662tDCPtAByx、、0)(0、2)、、、【解法提示】由题意知直线(解析式为)＝－＋2、∴2(－2tQ、0)(．2tt xPQy的解析式为、＝－＋∴直线22yxM、(、设)00txQMPMtx＋－2|－、由|＝2＝可得：|2|004txtx4.或解得：－＝＝－00324tixytPQ.＝－时、代入直线(＝)当解析式得003324ttM、()－∴、33214111422ttxyxt代入－＝)－中得：(＝－)－(、3232322113＋11315－15tt、＝解得；＝2166tyxiit. (＝)当＝2－4时、00ttM )∴、(－4、2111122tttyxx－4)－(－4)代入＝＝2－中得：(、222289－13＋8913tt.＝、解得：＝432289－15－11313＋8913＋15113t.综上所述、或或的值为或2662 与面积有关的问题课时2??＝－a202＝a－b＋???、2bxyaxAB＋中、得、、0)＋(4、0)代入2＝(1)1. 解：将点－(11解得、?3＋4b2＝016a＋????＝b2312xxy；2∴抛物线的解析式为＝－＋＋22试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题DDDD(5、－3)．(2、(2)存在、点3)的坐标为、(1、3)、321DDMABM. 【解法提示】如解图①、过点⊥作于点131322DmmmmDMmm＋2|.＋、－＝＋|＋2)(－设>0)(、则2222AB(4、0)0)、、∵ (－1、AB＝∴5.yC、轴于点∵抛物线交132yxxxy＝2、0＋、有＋2中、令∴＝－＝22COC＝、∴2. (0、∴2)OCAB、∵⊥1SABOC＝5·∴、＝ABC△2第1题解图①3S、又∵＝ABCABD△△21332DMmmOC＝3、＋2|∴＝|－＝＋222132mmmmDD(2、3)、；＝2、此时 (1当－＋、＋2＝3时、解得＝1、3)221122132mmmmD(5、－3)5＝、此时．2＝－3时、解得＝－2(舍去)、当－＋＋33422DDDD(5、－3)．、3)(2、、综上所述、点的坐标为(1、3)312CCFBCBEFFFHyHEEGx⊥、过点作如解图②、过点(3)作⊥交于点、过点作⊥轴于点G.轴于点试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题 1题解图②第CBFCFBC⊥∵＝45°、、∠CFBCFBC是等腰直角三角形、且∴△、＝FCHOCB∴∠＝90°、＋∠yFH又∵轴、⊥FCHCFH∴∠＝90°、＋∠CFHOCB ∴∠、＝∠CFBC而＝、AASCHFBOC (、∴△)≌△CB、(0、又∵2)(4、0)、OCFHCHOB、＝＝、＝42＝∴OH、＝6∴F．(2、∴6)ckxBEy设＋的解析式为、＝cFykxB、6)代入＋＝将(4、0)、、得(230k＝－4k＋c＝????、解得、??12c＝2k＋c＝6????xBEy12.的解析式为＋＝－3∴31??22＋＝－x＋xy22?BE的解析式、得联立抛物线和直线、??12＋y ＝－3x5＝＝4xx????21 )、、解得(舍去??30y＝－y＝????21E 3)∴、(5、－xEG∵轴、⊥EGBG、、＝∴3＝122BERtBEG10. 中、EG＝＝BG∴在＋△CA、2)、据题意得、2. 解：(1)4(－、0)、(012CxybxcA ∵抛物线＝－＋＋过、两点、2试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题13????b＝－＋c0＝－×16－4b22??、∴∴、????c＝c22＝132yxx＋2；＝－－∴抛物线的函数表达式为22132yxx＋2＝－0、(2)①令＝0、∴－22xx＝1、＝－4、∴21B(1、0)∴、DDMxACMBBNxACN、于于、过轴交如解图①、过作作⊥轴交⊥第2题解图①DMBN、∥∴DMEBNE、∴△∽△SDEDM1＝＝、BEBNS2132Daaa＋2)、(、－－设221Maa＋2)则、( 、21311122DMaaaaayx＋2中、＝－＋2)＝－∴2＝－－＋2－(、在222225xy ＝、1、则令＝25BN＝、∴2B(1、0)、∵5N(1、)、∴212－a－2a2SDM1412a＋2)＋、＝＝＝－( ∴55S5BN2 2S41a＝－2时、∴当取最大值为；5S2②如解图②、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题第2题解图②CAB(0、0)4、、2)(1、0)、∵、(－ABACBC55＝、25、、＝＝∴222ABBCAC∴＋、＝CPABPABCACB中点、是以∠、并连接为直角的直角三角形、取∴△3P0)∴、(－、25PBPCPA＝、∴＝＝2BACCPO ＝2∠、∴∠4BACtantanCPO(2∠；＝∴)∠＝ 3 ：情况1BACxyRAFGDGCD轴的平行线、交、轴于、则∠过、交作＝∠延长线于BACBACDGCCDGBACCDGDCF、即∠、∴∠＋∠若∠＝∠＝2∠＝2∠、1BACtantanCDG.∴∠∠＝＝231RC12ddDd (、－2)、设－、＋即＝222DR312ddDRdRC－、、∴＝－＝22312d－d－221 ∴＝、2d dd、＝－∴舍＝0()、211x 2∴；＝－BAC＝2 D FDCCDDFQQQHHxAQA、若∠延长线于点、过轴于点作：如解图③、过情况2作⊥∥、交∠、BACAQC即∠＝2∠、4AC25AQCtan＝∴∠＝＝、3AQAQ试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题53QHAAOCAQ、、△∴∽△＝2AHAQHQ3∴＝＝＝、OCACAO4第2题解图③3AHHQ＝3、∴＝、211QC(0、2)、、3)、又∴ (－22QCyx＋2、的解析式为＝－∴易求直线112??2＋y＝－x11?、联立得13?2?2x＋y＝－x－221292xx＝0、＋∴22229xx＝－)、、＝0(舍去211129x＝－、∴D1129D.点的横坐标为－2综上所述、或－112BbxAyax．0)和点＝(5＋、＋3经过点0)(1、3. 解：(1)∵抛物线3??＝a50b＋3＝＋a?183??2xxy；、∴该抛物线对应的函数解析式为＝、解得＋－3∴?5503＝18＋25a5b＋????＝－b5Px轴下方、 (2)∵点是抛物线上的动点、且位于3182Ptttt＜5)、－＋∴可设点3)(1(＜、55PMyxCDMN、轴和直线、∵相交于点∥轴、分别与3MtNtt＋3)、0)、、．( ∴(531832CDxxxxx＝7.、解得＝0、33①∵点、是直线与抛物线的交点、∴令－＋＝＋21555试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3xyx＋3＝3、＝0时、＝当5336xyx＋3＝当＝＝7时、.5536CD(7、)．∴点 (0、3)、5CDPNEF、如解图、分别过点的垂线、垂足分别为和点作直线、第3题解图1117CEtDFtSSPNCEPNDFPNCEDPN、＝(·)则＋＝＋、－＝7·、＝＝＝＋PDNPCNPCDΔΔΔ2222PNPCD的面积最大．最大时、△当33183714722PNtttt－)＋＝－((＋3－、－∵＋＝3) 5555220714711471029tPNPCD的面积最大、最大值为×7×＝∴当＝时、；取最大值为、此时△22022040②存在.NQPMNQBM CQNPMBCNQPBM相似．时、△与△＝∠＝90°、∴当＝或＝∵∠CQBMCQPM CQPMQ、⊥∵、垂足为点Qt、3)(．∴3CNtt＋3)、、( 且、(0、3)533CQtNQtt.3－(∴＝＝＋、3)＝55NQ3∴＝. CQ53182PtttMtB(5、0)．、( ∵、(、0)－、＋3) 553182BMtPMtt－－3.、＋∴＝－＝555NQPM331832PMBMttt)、解得－－3＝1情况：当＝时、＝(5、即－＋CQBM55559Ptt )；、－)5(、＝2＝舍去、此时、(2215试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3418333NQBM2tttttBMPM此舍去)＝、－．＝(－＝＋5(－3)、情况2：当＝时、解得＝即、5219555CQPM55534P、－)时、．( 27955934PBMPPCNQ相似．(、－)综上所述、存在点、使得△(2、－)或者与△2759112xxxy 3、解得、＝0、则－4＋或－＋4＝令4.解：(1)0＝33BA 0)、坐标(4∴点、坐标(－3、0)、点4b＝??CBkxBCyb、、4)、把代入得(4、0)设直线、解析式为＝＋(0?0＝4k＋b??1＝－k??、解得?4＝b??xyBC；∴直线＋解析式为4＝－MKNMPBOCNKBCPN、＝∠⊥＝90°、(2)如题图①、∵、∴∠∥NMKPMB＝∠∵∠、MBPMNK∽△∴△、MNMNKMBPBM＝：2、∴2∵△、与△的面积比为1OCOB＝、∵PBM∴∠＝45°、PBBM、∴＝2MNPB、＝∴111422PaMNaaaaaBPa、－ 4－＝－＝设(＋、0)、则4＝－＋、＋4＋3333142aaa、＝∴－4＋－33a＝3或4(解得舍去)、1PBt＝；∴＝1、5FFRxRGHTPFPGGM、轴于、交、当轴对称图形为筝形时、于(3)①如解图①中、过＝作⊥FM、＝BPPGAQPQPF、＝＝、∵＝AQPQt、＝∴＝5QQNAPANNP、过点作⊥、则＝试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题AQNACO、∽△由△AQAN∴＝、ACAO AC(0、4)、 (－3、0)、∵AC＝5∴、5tAN∴＝、53ANt、＝3∴APANt、∴＝＝26APBPAB、∵＝＋tt＝7、6 ＋5∴7t＝、∴1135PBPF＝、∴＝11ACOFPRFMT、∽△∽△易证△FPAC∴＝、FRAO21352114FRTF＝－＝、∴＝、11111111FMTF∴＝、ACAO70FM＝、∴3312450SPFFM＝；·∴＝2×2363749tttS＝.、∴＝、∴②如解图②中、当轴对称图形是正方形时、3＋5＝784第4题解图①第4题解图②课时3 与三角形、四边形形状有关的问题试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题52yaxbxBD(3、)、、＋1经过 1. 解：(1)抛物线(4＝、＋0)23??1＋4b＋0＝16a＝－a??4??、??2?＝b41132xyx∴抛物线的表达式为＋＝－1＋；解得、∴5111＋9a＋3b＝?441132Axxyy轴交于点＋1与(2)∵抛物线＝－、＋44AA、∴点1)的坐标为、(011＝d????＝k2??dkxADy设直线、解得的表达式为、则＝、＋5d3k＋＝????21d＝1xADy1.的表达式为＋＝∴直线25DxDCD )的坐标为∵、⊥(3轴、点、2CC、的坐标为、(3∴点0)mmP<3. 、0)设、则(0<xPN⊥∵轴、1mmM、、∴＋(1)21mCPPMm 3＝－＋1、、∴＝225111112mCPmmSPM )＋)＝－∴＝(·、＝×(－＋1)×(3－PCM△1624222251PCMm ∴当面积取得最大值为＝时、△；162tOP (3)∵、＝11132tttMtNtPt＋＋1)、、(∴(＋、0)、、－(、1)44293311122ttttMNt |＝－|＝|－＋＋＋1－(、＋∴1)|42444MNCD∵、∥CDMNMNDC＝是平行四边形、只需∴要使得四边形即可．5CD∵、＝25392tt、＋|＝－∴只需|24422tttt0.30103化简得－9＋＝或－9－＝10试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2tt＝81－120<03、方程无解；－9Δ＋10＝0时、当2tt、120＝201>0－10＝0时、Δ＝81当3＋－9201±9t∴＝、6t>0∵、2019＋t、∴＝6201＋9MNDCt是平行四边形．为时、四边形∴当62Axbxcyy＋(0＋、与3)2. 解：(1)∵抛物线轴交于点＝－、c ＝3、∴x＝1、∵对称轴是直线b b＝2∴－＝1、解得、）2×（－12xyx＝－3＋2；＋∴抛物线的解析式为2xxy 2＋3＝令0＝0、得－、＋xx＝－1(不合题意、舍去)解得、＝3、21B的坐标为(3、0)∴点；2tPtttONOMt (23)、－4、则点、(2)①由题意得3＝＋、4＝2＋OMPN为矩形、∵四边形2ttPMONt、＝43∴＋＝3、即－4＋3tt)、＝－(不合题意、舍去解得1＝、214OMPNt为矩形；＝1∴当时、四边形BOARtAOBOB△、∴∠中、＝3②能、在、＝45°、＝3BOQ为等腰三角形、有三种情况：若△BQOQ(ⅰ)若＝、如解图①所示：31OBMOBOM＝为中点、、＝则2233t 2＝；∴＝÷42OBOQ＝(ⅱ)若、OBOA、3、＝3∵＝tQA )不合题意、舍去＝与点∴点重合、即0(；试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题BQOB＝(ⅲ)若、如解图②所示：BQ∴、＝3223cosBMBQ＝·°＝3×∴45＝、222－3326BMOMOB＝、－－＝3＝∴22226－36－3t＝÷∴2、＝422－336BOQt为等腰三角形．为秒或综上所述、当秒时、△44第2题解图ABD的坐标代入抛物线的解析式得：、 3.解：(1)将点、c＝3a＝－1??????b＝＝02a－b＋c、、解得????c＝33＋2b＋c＝4a2xxy；＋＋2∴抛物线的解析式为3＝－22xyxxxy＝03得：－＋2(2)把、＝0代入＝－＋＋23＋xx1. 或解得＝－＝3E0)∴点．的坐标为(3、ABCDl∵分割为面积相等的两部分、将平行四边形l∴直线经过平行四边形两对角线的交点、31BDl．的中点、即(、∴直线经过点)2231??＋b′＝k3122?bykxEF代入直线的解析式得、0)、解得设的解析式??＝－k5?、9??b′＝5试题习题，尽在百为＝)＋′、将(、和(322??03k＋b′＝3度．百度文库，精选试题93xyEF、∴直线＋的解析式为＝－55EF将直线解析式与抛物线解析式联立可得、2??93＝－x??53x＝＋xy＝－???55?、解得或、?51＝?2??3y＝－x＋2x＋＝y25512F )、(－、∴255GxEFPEPPG.y0???如解图①所示、连接轴、交、过点⊥作于点3题解图①第93tGttttP)、－3)、则点、设点的坐标为的坐标为((、－＋＋2＋55932ttPGt) (－＋2＋＋∴3＝－－556132tt.＋＋＝－551022216171211713122tttxPGxPGtPEF＝＝－＋×(－＋△＋的面积＝＋·|－＋|＝×(3))＝FE50505551022521728917132t、＋×－·(－) 10100101017289b13PFEt×＝时、△、∴当的面积最大、最大面积为＝－2a1010010328917∴最大值的立方根为×＝1.7； 10010PAE＝90°时、 (3)如解图②所示：当∠第3题解图②AEykxEkk′＝－1.03、将点设直线的解析式为＝′＋3的坐标代入得：3′＋＝、解得试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题xAEy3. 的解析式为∴直线＋＝－xAPy3.的解析式为∴直线＋＝2yyxyxxxyx4. ＝将1＝＝＋3与3＝－；＋23＋联立、解得时、＝0时、＝P．、∴4)(1t1.∴＝APE如解图③所示：当∠＝90°时、第3题解图③2ttPt 3)．＋设点2的坐标为(＋、－bxPExbykAPyk.＋、＝的解析式为设直线＋的解析式为＝21213＝b??1bPykxA的坐标代入得和点＝＋将点、?1123＋2t ＋tk＋b＝－t??11tk2.＝－解得＋10＋b＝3k??22bkxPEy得将点＝、＋代入、?2223＋tk＋b＝－t＋2t??22tk＋1)解得．＝－(2PEPA垂直、与∵2tttkkt 11＝－、即－(＝＋1)×(－＝－＋2)1、整理得：0－、－∴·21551－1＋tt解得＝、＝或22lP的上方、∵点在直线51－t)∴．＝(舍去25＋1PAEtt＝或＝1时、△综上所述、当为直角三角形．2832xABCyx理由如下：对于抛物线＝3、解：(1)△4. 是直角三角形. －－33832xyx＝3－0, 令＝得－0、33试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3x3. ＝－解得3或3yx3. 、＝－令0＝3BCA 0)、(30)、3、(0、－∴(3)－、、33OBOCOA＝、＝3、3、＝∴331AOOC ＝、∴＝3OCOB BOCAOC∵∠＝∠、COBAOC∽△、∴△OBCACO＝∠、∴∠OCBOBC＋∠∵∠＝90°、OCBACO＝90°、∴∠＋∠ACB＝90°.∴∠ABC即△为直角三角形；ABBCAC) 、也可以求出、、利用勾股定理逆定理证明(832xmmNmN轴的对称点3)、点(－、关于－(2)如解图①中、设第四象限抛物线上一点33832PGCmPGyxmmB. 轴、、连接、－、分别作轴的平行线交于点＋、过＋3)(33题解图①第4G、－∵33)(3、138112mmSSSSm33－－)×3∴＝＋－＝×3×(－3＋＋＋23) ×3×(3BCGPBCPCGPBGΔΔΔΔ222331217332m－)＋3×＝－(.2683∵<0、2试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3737311PmPBC．(∴当的面积最大、此时、＝时、△)466ECGME 于点如解图②、作、⊥题解图②第4OBCG∵、∥ECMOBC∴∠、＝∠CEMBOC∵∠、＝∠BOCCEM∽△、∴△BCOBOC＝1∶3∶、∶10∶∵CMCEEM＝1∶3∶10∶、∶∴1CMEM＝∴、1010MEPMPCM＋＋∴、＝10MEPECGPM ⊥＋时、∴根据垂线段最短可知、当最短、3101131MCPM＋＝的最小值；＋∴34104 (3)存在、理由如下：QDDHFHFHQFHDH为顶点的四边形是轴对称图、平分∠、＝时、以点、、①如解图③、当PxEPPHHKQCGGPH.轴、∥形、且过点的对角线所在的直线是对称轴．作⊥⊥于于点、题解图③第432543KFHCK )∥、、、－(∵93CGGKCK＝3∶4∶5、易知∶∶试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题EHKGCPHPEEPH∶、得＝3∶4∶5、设由△∶∽△832nnEn3)(－、、－33344543nPEHEn－)、)＝(．则－＝(3333HFDH、∵＝35338443542nnnn＝－)](、＋＋－＋3－(∴3＋[－)33333334713－－3＋471－nn )＝或．＝(解得舍去66QDDHFDHHFHQFH为顶点的四边形是轴对称图形、②如解图④、当、＝、、、平分∠时、以点Q且过点的对角线所在直线是对称轴．34434353582nnnn＋＝3(、－＋－3(－)－[同上面的方法可得)]－33333335913333591nn＝－(舍去)解得＝．＋或6262第4题解图④QDHDFDQFHDHDF为顶点的四边形是轴对称图形、平分∠时、以点、③如解图⑤、当、＝、、Q.且过点的对角线所在直线是对称轴4题解图⑤第33315542nDHnCKGDQHFMDHMHM]∶[－(设交)于、由△∽△＋、可知∶×＝4∶5、则[332333844nn－)－3]＝4∶5、＋－－3( 333试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3345931933345919nn．＝－(解得舍去)＝＋或48161648334591933＋47133591－E.＋综上所述、满足条件的点＋或的横坐标为或6164862课时4 二次函数的实际应用Bhth之间关系可求得【解析】由足球距离地面的高度1. 与足球被踢出后经过的时间2hhtttth011.25、所以④错误；当＝与1.5的函数关系式为：时、可得＝－＝＋9＝、当22thttttt可＝－秒时落地、由9＝0、解得＝0、＋＝9时、可得－、所以足球被踢出＋992181818199htt、所以①错误；正确20.25＝－＋＝得对称轴是＝＝、故②③正确；当＝时、42224B.结论的个数为2个、故选512hhPyx中得；、1)代入＝－(＝－4)2. 解：(1)①把＋(0 324511522yxxy1.625.－4)＋－4)＋、得＝＝－②把×＝5代入(5＝－(3243241.55. ∵1.625＞∴此球能过网；1??1＝16a＋h＝－a??512?2?haxPQy、解得、1)、(7、)代入＋＝ (、得－(2)把4)(0、??5?＝h51a.12521＝9a＋h?∴＝－5bxppkx、(30之间满足一次函数关系、＝600)＋在图象上、、点(50、3. 解：(1)与0)30＝0k＝－50k＋b????、解得、∴??1500＝600b30k＋b＝????pxpxx≤50)；＋1500(30≤∴＝－与30之间的函数表达式为xw元、依题意得元/(2)设日销售价格为千克、日销售利润为2xxxxxw≤50)、－45000(30≤＋30＝(－2400＋1500)(30－30)＝－aw有最大值．、∴∵＝－30<02400x＝－＝40当时、2×（－30）w＝3000(元)；最大故这批农产品的销售价格定为40元、才能使日销售利润最大．2axaxxapw、(1500＋30－(3)∵＝(－30)＝－＋(240030)－＋45000)试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题2400＋30a1ax.40对称轴为＋＝－＝）3022×（－axwaa<2430(舍去)； )×150＝2250－①若150>10、当＝45时－取最大值、即(45－301112axawxawaa＋100)10＋、代入、得＝30(②若<10、当＝40＋时－取最大值、将＝4022412waaaa＝38(舍去或)． 2、解得＝10、则令＝243030(－＋100)2430＝214a的值为2.综上所述、试题习题，尽在百度．。

重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习册

第5节二次函数的综合应用课时1 与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017滨州)如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．第1题图2. (2017宁波)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长．(用含m 的代数式表示)第2题图3. (2017东营)如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第3题图4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．第4题图课时2 与面积有关的问题 (建议答题时间：40分钟)1. (2017深圳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使S △ABD ＝32S △ABC ，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°得到BE ，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．第1题图2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．3. (2017海南)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y ＝35x ＋3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .①连接PC 、PD ，如图①，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图②，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y ＝－13x 2＋13x ＋4交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，连接AC、BC.(1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；(2)如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值；(3)如图②，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A 出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．第4题图课时3 与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B (4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D (3，52)，过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C .(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段OC 上(不与点O 、C 重合)，过P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2017广安)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于点A (0，3)，与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x ＝1. (1)求此抛物线的解析式及点B 的坐标；(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．第2题图3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－83x－3与x轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C . (1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x 轴的对称点记为点P ，点M 是直线BC 上的一动点，当△PBC 的面积最大时，求PM ＋1010MC 的最小值； (3)如图②，点K 为抛物线的顶点，点D 在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E ，过点E 作EH ∥CK ，交对称轴于点H ，延长HE 至点F ，使得EF ＝533，在平面内找一点Q ，使得以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q ，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图课时4 二次函数的实际应用 (建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m )与足球被踢出后经过的时间t (单位：s )之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 42. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m . (1)当a ＝－124时，①求h 的值，②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x 之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)答案课时1 与线段、周长有关的问题1. 解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点A(－4，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3， ∴直线的函数解析式为y ＝34x ＋3；(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N .第1题解图∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN ， ∵OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5， ∴PM ＝45PN ，∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P (x ，－x 2＋2x ＋1)，N (x ，34x ＋3)，∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2－54x ＋2＝(x －58)2＋10364，PM ＝d ＝45(x －58)2＋10380， ∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，11964)；(3)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ， ∴C (0，1)，对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，如解图，作点C 关于对称轴的对称点G ，则G 点坐标为(2，1)，点G 到直线AB 的距离即为CE ＋EF 的最小值，最小值为d ＝45×(2－58)2＋10380＝145. 2. (1)解：把点C (6，152)代入抛物线解析式可得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3， ∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3， ∴A (－4，0)，设直线AC 的函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (－4，0)，C (6，152)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3，∴直线AC 的函数表达式为：y ＝34x ＋3；(2)①证明：由(1)易得OA ＝4，OB ＝3，OD ＝3，∵在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝34.在Rt △AOD 中，tan ∠OAD ＝OD OA ＝34.∴∠OAB ＝∠OAD ，∵在Rt △POQ 中，M 为PQ 中点， ∴OM ＝MP ， ∴∠MOP ＝∠MPO ， ∵∠MOP ＝∠AON ， ∴∠APM ＝∠AON ， ∴△APM ∽△AON ；②解：如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E . 又∵OM ＝MP ， ∴OE ＝EP ， ∵点M 横坐标为m ， ∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4， ∵tan ∠OAD ＝34，∴cos ∠EAM ＝cos ∠OAD ＝45，∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，∵△APM ∽△AON ， ∴AMAN ＝AP AO， ∴AN ＝AM ·AO AP ＝5m ＋202m ＋4.第2题解图3. 解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)． ∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33，∴∠CBO ＝30°， ∴∠BCO ＝60°， ∵AC ⊥BC ， ∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233， ∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴， ∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， ∵MH ⊥BC ，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD .∴△DMN 的周长为(1＋12＋32)MD .设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在直线BC 上方的抛物线上， ∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－ (－33t ＋3)＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3，∴当t ＝32时，MD 有最大值，且MD 的最大值为334，∴△DMH 周长的最大值为(1＋12＋32)×334＝93＋98.4. (1)解：将点A (－1，1)，B (4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：∵A (－1，1)，F (0，m ) ∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，得12x 2－(m －12)x －m ＝0. ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，∴x A ＋x G ＝－－（m －12）12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，∴H (2m ，0)，∴直线HF 的解析式为：y ＝－12x ＋m .由抛物线解析式易得E (1，0)，又A (－1，1)，∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋12，∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ；(3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C (－2，0)，D (0，2)，P (t －2，t )，Q (t ，0)．∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t22，设M (x 0，y 0)，由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|，解得：x 0＝t －43或x 0＝t －4.(i )当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝23t .∴M (t －43，23t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝23t ，解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－1136；(ii )当x 0＝t －4时，y 0＝2t . ∴M (t －4，2t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2－12(t －4)＝2t ，解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－892.综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892.课时2 与面积有关的问题1. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)存在，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M . 设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|.∵A (－1，0)，B (4，0)， ∴AB ＝5.∵抛物线交y 轴于点C ，∴y ＝－12x 2＋32x ＋2中，令x ＝0，有y ＝2，∴C (0，2)，∴OC ＝2. ∵OC ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝5，第1题解图①又∵S △ABD ＝32S △ABC ，∴DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|＝32OC ＝3，当－12m 2＋32m ＋2＝3时，解得m 1＝1，m 2＝2，此时D 1(1，3)，D 2(2，3)；当－12m 2＋32m ＋2＝－3时，解得m 3＝－2(舍去)，m 4＝5，此时D 3(5，－3)．综上所述，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．(3)如解图②，过点C 作CF ⊥BC 交BE 于点F ，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G .第1题解图②∵CF ⊥BC ，∠CBF ＝45°，∴△BCF 是等腰直角三角形，且BC ＝CF ， ∴∠OCB ＋∠FCH ＝90°，又∵FH ⊥y 轴，∴∠CFH ＋∠FCH ＝90°， ∴∠OCB ＝∠CFH ，而BC ＝CF ，∴△BOC ≌△CHF (AAS )，又∵B (4，0)，C (0，2)， ∴CH ＝OB ＝4，FH ＝OC ＝2， ∴OH ＝6， ∴F (2，6)．设BE 的解析式为y ＝kx ＋c ，将B (4，0)，F (2，6)代入y ＝kx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝02k ＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3c ＝12， ∴BE 的解析式为y ＝－3x ＋12.联立抛物线和直线BE 的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x 2＋32x ＋2y ＝－3x ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 1＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5y 2＝－3， ∴E (5，－3)， ∵EG ⊥x 轴， ∴BG ＝1，EG ＝3，∴在Rt △BEG 中，BE ＝BG 2＋EG 2＝10. 2. 解：(1)据题意得，A (－4，0)，C (0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b＋c 2＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1， ∴B (1，0)，如解图①，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，第2题解图①∴DM ∥BN ， ∴△DME ∽△BNE ， ∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN，设D (a ，－12a 2－32a ＋2)，则M (a ，12a ＋2)，∴DM ＝－12a 2－32a ＋2－(12a ＋2)＝－12a 2－2a ，在y ＝12x ＋2中，令x ＝1，则y ＝52，∴BN ＝52，∵B (1，0)， ∴N (1，52)，∴S 1S 2＝DM BN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45， ∴当a ＝－2时，S 1S 2取最大值为45；②如解图②，第2题解图②∵A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 中点P ，并连接CP ， ∴P (－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC )＝43；情况1：过D 作x 轴的平行线，交y 轴于R ，交AF 延长线于G ，则∠DGC ＝∠BAC ，若∠DCF ＝2∠BAC ，即∠DGC ＋∠CDG ＝2∠BAC ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12.即RC DR ＝12，设D (d ，－12d 2－32d ＋2)， ∴DR ＝d ，RC ＝－12d 2－32d ，∴－12d 2－32d d ＝12，∴d 1＝0(舍)，d 1＝－2， ∴x D ＝－2；情况2：如解图③，过A 作AQ ∥DF ，交CD 延长线于点Q ，过Q 作QH ⊥x 轴于点H ，若∠FDC ＝2∠BAC ，即∠AQC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠AQC ＝AC AQ ＝25AQ ＝43，∴AQ ＝352，△QHA ∽△AOC ，∴AH OC ＝AQ AC ＝HQ AO ＝34，第2题解图③∴AH ＝32，HQ ＝3，∴Q (－112，3)，又C (0，2)，∴易求直线QC 的解析式为y ＝－211x ＋2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－211x ＋2y ＝－12x 2－32x ＋2，∴12x 2＋2922x ＝0， x 1＝0(舍去)，x 2＝－2911，∴x D ＝－2911，综上所述，D 点的横坐标为－2或－2911.3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)∵点P 是抛物线上的动点，且位于x 轴下方， ∴可设点P (t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M 、N ， ∴M (t ，0)，N (t ，35t ＋3)．①∵点C ，D 是直线与抛物线的交点，∴令35x 2－185x ＋3＝35x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝7.当x ＝0时，y ＝35x ＋3＝3，当x ＝7时，y ＝35x ＋3＝365.∴点C (0，3)，D (7，365)．如解图，分别过点C 和点D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，第3题解图则CE ＝t ，DF ＝7－t ，S ΔPCD ＝S ΔPCN ＋S ΔPDN ＝12PN ·CE ＋12PN ·DF ＝12PN (CE ＋DF )＝72PN ，当PN 最大时，△PCD 的面积最大．∵PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，∴当t ＝72时，PN 取最大值为14720，此时△PCD 的面积最大，最大值为12×7×14720＝102940；②存在.∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，∴当NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM 时，△CNQ 与△PBM 相似．∵CQ ⊥PM ，垂足为点Q ， ∴Q (t ，3)．且C (0，3)，N (t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝(35t ＋3)－3＝35t .∴NQ CQ ＝35. ∵P (t ，35t 2－185t ＋3)，M (t ，0)，B (5，0)．∴BM ＝5－t ，PM ＝－35t 2＋185t －3.情况1：当NQ CQ ＝PM BM 时，PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t )，解得t 1＝2，t 2＝5(舍去)，此时，P (2，－95)；情况2：当NQ CQ ＝BM PM 时，BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t 1＝349，t 2＝5(舍去)．此时，P (349，－5527)．综上所述，存在点P (2，－95)或者P (349，－5527)，使得△CNQ 与△PBM 相似．4. 解：(1)令y ＝0，则－13x 2＋13x ＋4＝0，解得x ＝4或－3，∴点A 坐标(－3，0)，点B 坐标(4，0)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，把B (4，0)，C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝44k ＋b ＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝4 ，∴直线BC 解析式为y ＝－x ＋4；(2)如题图①，∵PN ∥OC ，NK ⊥BC ，∴∠MPB ＝∠MKN ＝90°， ∵∠PMB ＝∠NMK ， ∴△MNK ∽△MBP ，∵△MNK 与△MBP 的面积比为1：2，∴BM ＝2MN ， ∵OB ＝OC ， ∴∠PBM ＝45°， ∴BM ＝2PB ， ∴MN ＝PB ，设P (a ，0)，则MN ＝－13a 2＋13a ＋4＋a －4＝－13a 2＋43a ，BP ＝4－a ，∴－13a 2＋43a ＝4－a ，解得a ＝3或4(舍去)， ∴PB ＝1，t ＝15；(3)①如解图①中，过F 作FR ⊥x 轴于R ，交GH 于T ，当轴对称图形为筝形时，PF ＝PG ，GM ＝FM ，∵BP ＝PG ＝AQ ，PQ ＝PF ， ∴AQ ＝PQ ＝5t ，过点Q 作QN ⊥AP ，则AN ＝NP ，由△AQN ∽△ACO ， ∴AQ AC ＝AN AO， ∵A (－3，0)，C (0，4)， ∴AC ＝5， ∴5t 5＝AN 3， ∴AN ＝3t ， ∴AP ＝2AN ＝6t ， ∵AP ＋BP ＝AB ， ∴6t ＋5t ＝7， ∴t ＝711，∴PB ＝PF ＝3511，易证△ACO ∽△FPR ∽△FMT ， ∴FP FR ＝AC AO， ∴FR ＝2111，TF ＝3511－2111＝1411，∴FM AC ＝TF AO ， ∴FM ＝7033，∴S ＝2×12PF ·FM ＝2450363；②如解图②中，当轴对称图形是正方形时，3t ＋5t ＝7，∴t ＝78，∴S ＝494.第4题解图① 第4题解图② 课时3 与三角形、四边形形状有关的问题1. 解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过B (4，0)，D (3，52)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋152＝9a ＋3b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34b ＝114，∴抛物线的表达式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)∵抛物线y ＝－34x 2＋114x ＋1与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为A (0，1)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝d 52＝3k ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12d ＝1，∴直线AD 的表达式为y ＝12x ＋1.∵CD ⊥x 轴，点D 的坐标为D (3，52)，∴点C 的坐标为C (3，0)，设P (m ，0)，则0<m <3. ∵PN ⊥x 轴， ∴M (m ，12m ＋1)，∴PM ＝12m ＋1，CP ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PM ·CP ＝12×(12m ＋1)×(3－m )＝－14(m －12)2＋2516，∴当m ＝12时，△PCM 面积取得最大值为2516；(3)∵OP ＝t ，∴P (t ，0)，M (t ，12t ＋1)，N (t ，－34t 2＋114t ＋1)，∴MN ＝|－34t 2＋114t ＋1－(12t ＋1)|＝|－34t 2＋94t |，∵CD ∥MN ，∴要使得四边形MNDC 是平行四边形，只需MN ＝CD 即可． ∵CD ＝52，∴只需|－34t 2＋94t |＝52，化简得3t 2－9t ＋10＝0或3t 2－9t －10＝0.当3t 2－9t ＋10＝0时，Δ＝81－120<0，方程无解；当3t 2－9t －10＝0时，Δ＝81＋120＝201>0， ∴t ＝9±2016，∵t >0， ∴t ＝9＋2016，∴当t 为9＋2016时，四边形MNDC 是平行四边形．2. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)， ∴c ＝3，∵对称轴是直线x ＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)；(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形，∴PM ＝ON ，即－4t 2＋4t ＋3＝3t ，解得t 1＝1，t 2＝－34(不合题意，舍去)，∴当t ＝1时，四边形OMPN 为矩形；②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°，若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (ⅰ)若OQ ＝BQ ，如解图①所示：则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32，∴t ＝32÷2＝34；(ⅱ)若OQ ＝OB ， ∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)；(ⅲ)若OB＝BQ，如解图②所示：∴BQ＝3，∴BM＝BQ·cos45°＝3×2 2＝322，∴OM＝OB－BM＝3－322＝6－322，∴t＝6－322÷2＝6－324，综上所述，当t为34秒或6－324秒时，△BOQ为等腰三角形．第2题解图3.解：(1)将点A、B、D的坐标代入抛物线的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧c＝3a－b＋c＝04a＋2b＋c＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b＝2c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)把y＝0代入y＝－x2＋2x＋3得：－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1.∴点E的坐标为(3，0)．∵l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，∴直线l经过平行四边形两对角线的交点，∴直线l经过点BD的中点，即(12，32)．设EF的解析式为y＝kx＋b′，将(12，32)和(3，0)代入直线的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧12k＋b′＝323k＋b′＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－35b′＝95，∴直线EF 的解析式为y＝－35x ＋95，将直线EF 解析式与抛物线解析式联立可得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－35x ＋95y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25y ＝5125，∴F (－25，5125)，如解图①所示，连接PE ，过点P 作PG ⊥x 轴，交EF 于点G .第3题解图①设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，则点G 的坐标为(t ，－35t ＋95)，∴PG ＝－t 2＋2t ＋3－(－35t ＋95)＝－t 2＋135t ＋65.△PEF 的面积＝12PG ·|x E －x F |＝12×(3＋25)PG ＝12×175(－t 2＋135t ＋65)＝－1710t 2＋22150t ＋10250＝－1710·(t －1310)2＋289100×1710， ∴当t ＝－b 2a ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大面积为289100×1710，∴最大值的立方根为3289100×1710＝1.7；(3)如解图②所示：当∠PAE ＝90°时，第3题解图②设直线AE 的解析式为y ＝k ′x ＋3，将点E 的坐标代入得：3k ′＋3＝0，解得k ′＝－1.∴直线AE 的解析式为y ＝－x ＋3. ∴直线AP 的解析式为y ＝x ＋3.将y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋2x ＋3联立，解得x ＝0时，y ＝3；x ＝1时，y ＝4. ∴P (1，4)． ∴t ＝1.如解图③所示：当∠APE ＝90°时，第3题解图③设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．设直线AP 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，PE 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2.将点A 和点P 的坐标代入y ＝k 1x ＋b 1得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3tk 1＋b 1＝－t 2＋2t ＋3，解得k 1＝－t ＋2.将点P 、E 代入y ＝k 2x ＋b 2得⎩⎪⎨⎪⎧3k 2＋b 2＝0tk 2＋b 2＝－t 2＋2t ＋3，解得k 2＝－(t ＋1)． ∵PA 与PE 垂直，∴k 1·k 2＝－1，即－(t ＋1)×(－t ＋2)＝－1，整理得：t 2－t －1＝0，解得t ＝1＋52或t ＝1－52，∵点P 在直线l 的上方， ∴t ＝1－52(舍去)．综上所述，当t ＝1或t ＝1＋52时，△PAE 为直角三角形．4. 解：(1)△ABC 是直角三角形. 理由如下：对于抛物线y ＝33x 2－83x －3，令y ＝0, 得33x 2－83x －3＝0，解得x ＝－33或3 3. 令x ＝0，y ＝－ 3. ∴A (－33，0)，C (0，－3)，B (33，0)， ∴OA ＝33，OC ＝3，OB ＝33， ∴AO OC ＝OC OB ＝13， ∵∠AOC ＝∠BOC ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ACO ＝∠OBC ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°. 即△ABC 为直角三角形；(也可以求出AC 、BC 、AB ，利用勾股定理逆定理证明) (2)如解图①中，设第四象限抛物线上一点N (m ，33m 2－83m －3)，点N 关于x 轴的对称点P (m ，－33m 2＋83m ＋3)，过B 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点G ，连接PG .第4题解图①∵G (33，－3)，∴S ΔPBC ＝S ΔPCG ＋S ΔPBG －S ΔBCG ＝12×33×(－33m 2＋83m ＋23) ＋12×3×(33－m )－12×33×3＝－32(m －736)2＋1218.∵32<0，∴当m ＝736时，△PBC 的面积最大，此时P (736，1134)．如解图②，作ME ⊥CG 于点E ，第4题解图②∵CG ∥OB ， ∴∠OBC ＝∠ECM ， ∵∠BOC ＝∠CEM ， ∴△CEM ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝1∶3∶10， ∴EM ∶CE ∶CM ＝1∶3∶10， ∴EM ＝1010CM ， ∴PM ＋1010CM ＝PM ＋ME ， ∴根据垂线段最短可知，当PE ⊥CG 时，PM ＋ME 最短， ∴PM ＋1010MC 的最小值为1134＋3＝1534； (3)存在，理由如下：① 如解图③，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴．作CG ⊥HK 于G ，PH ∥x 轴，EP ⊥PH 于点P .第4题解图③∵FH ∥CK ，K (433，－2539)，易知CG ∶GK ∶CK ＝3∶4∶5，由△EPH ∽△KGC ，得PH ∶PE ∶EH ＝3∶4∶5，设E (n ，33n 2－83n －3)，则HE ＝53(n －433)，PE ＝43(n －433)．∵DH ＝HF ， ∴3＋[－33n 2＋83n ＋3－43(n －433)]＝53(n －433)＋533，解得n ＝－3＋4716或n ＝－3－4716(舍去)．②如解图④，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴．同上面的方法可得[33n 2－83n －3＋43(n －433)]－3＝53(n －433)＋533，解得n ＝332＋5916或n ＝332－5916(舍去)．第4题解图④③如解图⑤，当DH ＝DF ，DQ 平分∠HDF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴.第4题解图⑤设DQ 交HF 于M ，由△DHM ∽△CKG ，可知HM ∶DH ＝4∶5，则12×[53(n －433)＋533]∶[33n2－83n －3＋43(n －433)－3]＝4∶5，解得n ＝19316＋3345948或n ＝19316－3345948(舍去)．综上所述，满足条件的点E 的横坐标为－3＋4716或332＋5916或19316＋3345948.课时4 二次函数的实际应用1. B 【解析】由足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间关系可求得h 与t 的函数关系式为：h ＝－t 2＋9t ，当t ＝1.5时，可得h ＝11.25，所以④错误；当h ＝0时，可得－t 2＋9t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝9，所以足球被踢出9秒时落地，由h ＝－t 2＋9t 可得对称轴是t ＝92，故②③正确；当t ＝92时，h ＝－814＋812＝814＝20.25，所以①错误；正确结论的个数为2个，故选B .2. 解：(1)①把P (0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h 中得h ＝53；②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55. ∴此球能过网；(2)把P (0，1)，Q (7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝19a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15h ＝215， ∴a ＝－15.3. 解：(1)p 与x 之间满足一次函数关系p ＝kx ＋b ，点(50，0)，(30，600)在图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝030k ＋b ＝600，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30b ＝1500， ∴p 与x 之间的函数表达式为p ＝－30x ＋1500(30≤x ≤50)； (2)设日销售价格为x 元/千克，日销售利润为w 元，依题意得w ＝(－30x ＋1500)(x －30)＝－30x 2＋2400x －45000(30≤x ≤50)，∵a ＝－30<0，∴w 有最大值．当x ＝－24002×（－30）＝40时，w 最大＝3000(元)；故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大． (3)∵w ＝p (x －30－a )＝－30x 2＋(2400＋30a )x －(1500a ＋45000)，对称轴为x ＝－2400＋30a 2×（－30）＝40＋12a .①若a >10，当x ＝45时w 取最大值，即(45－30－a )×150＝2250－150a <2430(舍去)； ②若a <10，当x ＝40＋12a 时w 取最大值，将x ＝40＋12a 代入，得w ＝30(14a 2－10a ＋100)，令w ＝2430，则30(14a 2－10a ＋100)＝2430，解得a 1＝2或a 2＝38(舍去)．综上所述，a 的值为2.。

重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第2节一次函数练习201804131150

第2节一次函数(必考，仅2014A卷未考，每年1～2道，4～8分)玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1 一次函数解析式的确定(10年16考，仅2014、2013A卷未考，多与反比例函数、二次函数结合考查)1. (2013重庆B卷5题4分)已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则正比例函数的解析式为()1 1A. y＝2xB. y＝－2xC. y＝xD. y＝－x2 22. (2014重庆B卷6题4分)若点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，则k的值是()A. 5B. 4C. 3D. 1命题点2一次函数的图象与性质(10年2考)3. (2013重庆B卷18题4分)如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为________．第3题图答案1. B12. D【解析】∵点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，将点(3，1)代入一次函数解析式得1＝3k－2，解得k＝1.9 93. ( ，)【解析】如解图，过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，交直线AB于点N；过4 4点P作x轴的垂线，垂足为点H.∵点P的坐标是(1，1)，∴PM＝PH＝1，∵CP⊥PD，∴∠CPM＋∠DPN＝90°，∵∠MCP＋∠CPM＝90°，∴∠MCP＝∠NPD.又∵CP＝PD，∠CMP＝∠PND，∴△CPM≌△PDN，∴DN＝PM＝1，∵四边形PHBN是矩形，∴BN＝PH＝1，∴BD＝2.∵BD＝2AD，∴AD＝1，∴AB＝AD＋BD＝3，∵点A在直线y＝x上，∴点A的坐标为(3，3)，点D的坐标为(3，2)，∴BH＝2，∴CM＝BH＝2，∴OC＝3，∴点C的坐标为(0，3)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则13＝b k＝－1{2＝3k＋b){b＝3 )，解得 3 ，∴直线CD的解析式为y＝－x＋3，∵直线OA的解析式为y＝x，∴39 9交点Q的坐标为( ，)．4 4第3题解图2。

重庆市届中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题【含解析】

第五节二次函数的图象和性质课标呈现指引方向1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法面m 二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y =a (x -h )2+k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴． 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 5．*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，考点梳理夯实基础1．二次函数的概念：形如y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的函数，称为二次函数．其中，二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、．【答案】a 、b 、c2．二次函数表达式的三种表达形式： (1) -般式：． (2)顶点式： (3)交点式：【答案】(1)y =ax 2+bx +c (a ≠0) (2)y =a (x -h )2+k (a ≠0)(3)y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)3．二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与性质：(1)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的形状是一条抛物线，顶点坐标是(24,24b ac b a a--)．对称轴是直线2bx a=-. 【答案】抛物线24,24b ac b a a--2b x a =- (2)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为；对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为；经过原点的抛物线的解析式形式为.【答案】y =ax 2(a ≠0)y = ax 2+c ，(a ≠0) y =ax 2+bx (a ≠0)(3)函数y =ax 2+bx +c 的增减情况： ①当a >0时：当x <2b a -时，y 随x 的增大而；当x >2b a-时，y 随x 的增大而；简记为左减右增，这时，当x =时，y 最小值= ．【答案】减小增大2b a -244ac b a-②当a <0时：当x <2b a -时，y 随x 的增大而；当x >2b a-时，y 随x 的增大而；简记为左增右减，这时，当x = 2b a -时，y 最大值= 244ac b a -．【答案】增大减小2b a -244ac b a-(4)二次函数中a 、b 、c 在抛物线图象中的几何意义：①a 决定开口方向及开口大小：当a >0时，开口向【答案】上_____；当a ＜0时，开口向下．a 越小，函数图象开口越大．＜＞ ②．a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置：因为抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：当b ＝0时，对称轴为y 轴；当a 和b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 和b 异号时，对称轴在y 轴的右侧，以上特点简记为左同右异．③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置：∵当x ＝0时，y ＝c ，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c)：c ＝0，抛物线经过原点：c ＞0，抛物线与y 轴交于正半轴： c ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴．（5）函数c bx ax y ++=2（0≠a ）图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程02=++c bx ax 根的情况：当y ＝0时，即可得到一元二次方程02=++c bx ax ，那么一元二次方程02=++c bx ax 的解就是二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．①当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，042>-=∆ac b ，方程有两个不相等的实数根：②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时，042=-=∆ac b ．方程有两个相等的实数根：③当二次函数的图象与戈轴没有交点时，042<-=∆ac b ，方程没有实数根．（6）图象的平移：左加右减，上加下减．第一课时考点精析专项突破考点一二次函数的概念【例1】（2015重庆南开）下列函数：①132-+-=x x y ；②22x y =；③3222x x y -+=；④23ax x y --=；⑤2)2)(1(x x x y -+-=；⑥x x y +=23，其中y 是x 的二次函数的有__________，【答案】 ②⑥解题点拨：抓住三个关键点，一是最高次数为2；二是最高次项的系数不为0；三是整式．【例2】函数12)1(++=m x m y 是二次函数，则m 的值是_________．【答案】 1解题点拨：注意取舍．变式：212)2(x x m y m-+=+是二次函数，则m 的值是－2，1，0 ．解题点拨：先对系数m ＋2按是否为0分类讨论，再对指数12+m 按2 ，1，0分类讨论．考点三抛物线的对称性【例3】（2016衢州）二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如则该函数图象的对称轴是（） A ．直线x ＝－3 B ．直线x ＝－2 C ．直线x ＝－1 D ．直线x ＝0 【答案】 B考点三二次函数的增减性【例4】（1）（2016兰州）点1P （－1，1y ），2P (3，2y )，3P (5，3y )均在二次函数c x x y ++-=22的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．321y y y >>B ．213y y y =>C ．321y y y >>D ．321y y y >=【答案】 D解题点拨：二次函数的增减性问题基本方法是画图象，再根据和对称轴的距离比较纵坐标大小．（2）（2015常州）已知二次函数1)1(2+-+=x m x y ，当x ＞l 时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（D ）A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m≤－1D ．m≥－1解题点拨：逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围（x ＞l ）是否是满足条件（y 随x 的增大而增大）的所有x 值，而此题就不一定是所有．考点四驴抛物线与系数的关系【例5】（2016兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，有以下结论：①0>abc ；②24b ac <；③02=+b a ；④2>+-c b a ．其中正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C解题点拨：判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤：（1）开口看a ；（2）对称轴得b ；（3）y 轴截距看c ；（4）x 轴交点个数看△；（5）特殊点找a 、b 、c 的关系．课堂训练当堂检测（2016临沂）二次函数c bx ax y ++=2，自变量x 与函数y 的对应值如表：下列说法正确的是（） A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是－2D ．抛物线的对称轴是直线戈25-=x 【答案】 D2．（2016广州）对于二次函数4412-+-=x x y ，下列说法正确的是（） A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值－3 C ．图象的顶点坐标为（－2，－7） D ．图象与x 轴有两个交点【答案】 B3．（2015育才改编）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D （－1，2），与x 轴的一个交点A 在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①abc ＜0;②ac b 42-＜0;③c b a ++＜0；④a c -＝2；⑤方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根．其中正确结论的是__________．【答案】 ③④⑤4．（2015宁夏）已知点A （3，3）在抛物线x x y 334312+-=的图象上，设点A 关于抛物线对称轴对称的点为B ．（1）求点B 的坐标；（2）求∠AOB 度数．解：（1）∵4)32(313343122+--=+-=x x x y ， ∴对称轴为直线x ＝32，∴点A （3，3）关于x ＝32的对称点的坐标为（33，3）；（2）如图：∵A （3，3）、B （33，3）， ∴BC ＝33，AC ＝3，OC ＝3,∴tan ∠AOC ＝33=OC AC ， tan ∠BOC ＝3333==OC BC ， ∴∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∴∠AOB ＝ 30°．中考达标模拟自测A 组基础训练一、选择题 1．（2016福州）已知点A （－1，m ），B(1，m)，C(2，m ＋1)在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）【答案】 C2．（2016聊城）二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数且a ≠0）的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =的图象可能是（）【答案】 C3．（2016襄阳）一次函数b ax y +=和反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2的图象大致为（）【答案】 C4．（2016荆门）若二次函数mx x y +=2的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程72=+mx x 的解为（）A ．1x ＝0，2x ＝6B ．1x ＝1，2x ＝7C ．1x ＝1，2x ＝－7D ．1x ＝－1，2x ＝7二、填空题5．（2016达州）如图，已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象与x 轴交于点A （－1，0），与y 轴的交点B 在(0，－2)和（0，－1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论： ①abc ＞0；②c b a ++24＞0；③24b ac -＜ 8a ；④31＜a ＜32；⑤b ＞c ．其中正确结论是________．【答案】 ①③④⑤6．（2016沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数322-+=x x y 的图象如图所示，点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是该二次函数图象上的两点，其中－3≤1x ˂2x ≤0，则下列结论①1y ˂2y ；②1y ˃2y ；③y 的最小值是－3；④y 的最小值是－4，中正确的是________．【答案】 ④7．（2016黄石）以x 为自变量的二次函数1)2(222-+--=b x b x y 的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是_______．【答案】 45≥b三、解答题8．已知抛物线322++-=x x y 与y 轴交于点A ，点B 的纵坐标是－5．且横坐标为负数．（1）求点A 、B 的坐标；（2）若点P 是抛物线的对称轴上一点，求PA ＋PB 的最小值．解：（1）A(0，3)，B(－2，－5)．（2）54．9．（2016黄冈）如图，抛物线2312++-=x x y 与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交BD 于点M ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）当点P 在线段QB 上运动时，试探究m 为何值时，四边形OMBQ 的面积随m 的增大而增大．解：(1)当x ＝0时，2223212=++-=x x y ， ∴C(0，2)，当y ＝0时，0223212=++-x x 解得1x ＝－1，2x ＝4．∴A （－1，0），B(4，0)．第9题（2）∵点D 与点C 关于x 轴对称， ∴D(0，－2)．设直线BD 为2-=kx y ，把B(4，0)代入，得0＝4k －2 ∴k ＝21． ∴BD 的解析式为221-=x y ．（3）∵P(m ，0)， ∴M(m ，221-m ),，Q(m ，223212++-m m ) 当P 在线段OB 上运动时．QM ＝（223212++-m m ）－（221-m ）＝4212++-m m∴OMBQ S ＝21·OB·QM＝822++-m m ＝9)1(2+--m∴当0˂m≤1时，四边形OMBQ 的面积随m 的增大而增大．B 组提高练习10．（2016资阳）已知二次函数c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，且图象过A （1x ，m ）、B （2x ＋n ，m ）A ．n m 21=B ．n m 41=C 221n m =D ．241n m = 【答案】 D（提示：抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，∴当2bx -=时，y ＝0．且c b 42-＝0，即c b 42=．又∵点A(1x ，m)，B(2x ＋n ，m)，∴点A 、B 关于直线2b x -=对称，∴A （22n b --，m ），B （22nb +- ,m ），将A 点坐标代入抛物线解析式，得m ＝c b nb n b +--+--)22()22(2，即m ＝c b n +-4422，∵c b 42=，∴241n m =，故选D ．） 11．（2016十堰）已知关于x 的二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，0），且1y ˂0˂2y ，对于以下结论：①abc ＞0;②c b a ++2≤0：③对于自变量x 的任意一个取值，都有ab x x b a 42-≥+；其中结论错误的是________（只填写序号）【答案】 ②（提示：由题意二次函数图象如图所示，∴0<a ，0<b ，0>c ，∴0>abc 故①正确．∵0=++c b a ，∴c b a --=,∴c b c b c b c b a +=++--=++22323，又∵x ＝－2时，y ＜0，∴024<+-c b a ，∴02)(4<+---c b c b 即02>+c b ，∴023>++c b a ，故②错误，故答案为②． ∵0<a ，∴a b ac c bx ax 4422-≤++，ab bx ax 422-≤+，∵0<b ，∴a b x x b a 42-≥+,故③正确．)12．如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C （－1，－2），抛物线F:2222-+-=m mx x y 与直线x ＝－2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的表达式；（2）若m ＝－2，抛物线F 上有两点（x ，y ），（x ，y ），且x ˂x ≤－2，比较y 与y 的大小；（3）当抛物线F 与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．解：（1）∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122-++=-m m ，∴m ＝－1．∴抛物线F 的表达式是1)2(2-+=x y ．（2）当m ＝－2时，抛物线F 的表达式是2)2(2-+=x y ．∴当x≤－2时，y 随x 的增大而减小．∵1x ˂2x ≤－2，∴1y ˃2y ．（3）－2≤m≤0或2≤m≤4．第二课时考点精析专项突破待定系数法求二次函数的解析式【例6】（1）（2016河南）已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线c bx x y ++-=2上两点，该抛物线的函数表达式是322++-=x x y ．解题点拨：把A 、B 的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式．（2）已知某抛物线的顶点为（－1，4），且过点（1，0），求该抛物线的函数表达式，解题点拨：设顶点式，代点解方程得答案．解：322+--=x x y ．（3）已知抛物线与x 轴交于A （－4，0）、B （1，0）两点，在y 轴上的截距为－4，求该抛物线的函数表达式．解题点拨：设交点式，代点解方程得答案．解：432-+=x x y ．考点六抛物线与图形变换【例7】（2016滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线652++=x x y ，则原抛物线的解析式是（）A ．411)25(2---=x y B ．411)25(2-+-=x y C ．41)25(2---=x y D ．41)25(2++-=x y 【答案】 A解题点拨：平移问题按照“左加右减，上加下减”解题：旋转问题常从顶点坐标和开口方向入手．考点七二次函数的最值问题【例8】（1）（2016兰州）二次函数342-+=x x y 的最小值是－7．解题点拨：解法一：背公式．解法二：化为顶点式．（2）【原创】二次函数)32)(1(2-+-=x x y 的最大值是 425 ．解题点拨：交点式的标准形式中x 的系数为1．交点式求最值一般先求对称轴，再代x 求y ．考点八二次函数的交点问题【例9】（2016滨州）抛物线32222--=x x y 与坐标轴的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C解题点拨：按x 、y 轴分类讨论．【例10】如图，抛物线c bx x y ++=21与直线3212-=x y 交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（－4，－5）．（1）求当x 为何值时21y y >；（2）求抛物线的解析式．解题点拨：(1)将不等式问题转化为图象问题；(2)用待定系数法求解析式．解：（1）x ＜－4或x ＞0．（2）∵直线321-=x y 交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上， ∴A(0，－3)，∵B(－4，－5)，∴⎩⎨⎧-=+--=54163c b c∴⎪⎩⎪⎨⎧-==329c b ∴抛物线解析式为3292-+=x x y ．课堂训练当堂检测1．（2016泰安）将抛物线2)1(22+-=x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为（）A ．2)2(22++=x yB ．2)2(22-+=x yC ．2)2(22+-=x yD ．2)2(22--=x y【答案】 B2．（2016青岛）已知二次函数c x y +=23与正比例函数x y 4=的图象只有一个交点，则c 的值为（）A ．0B ．34-C ．34D ．3 【答案】 C3．将二次函数462++=x x y 配成顶点式为______________，它的图象开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为________，当戈x ________时，y 随x 的增大而减小，当x _______时，y 有最小值，是________．【答案】5)3(2-+=x y ；上；x ＝－3； (－3，－5)； ≤－3；＝－3；－54．根据下列条件，选择恰当的方法求二次函数解析式．（1）函数有最小值－8，且a ：b ：c ＝1：2：（－3）；（2）函数有最大值2，且过点A （－1，0）、B(3，0)；（3）当x ＞－2时y 随x 增大而增大；当x ＜－2时，y 随x 增大而减小，且图象过点(2，4)，与y 轴的交点为（0，－2）．解：（1）6422-+=x x y ；（2）23212++-=x x y ；（3）22212-+-=x x y ．中考达标模拟自测A 组基础训练一、选择题1．（2016山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x y 3)5(2--=x yC ．13)5(2--=x yD ．3)1(2-+=x y【答案】 D2．二次函数422+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式，下列正确的是（）A ．2)1(2++=x yB ．3)1(2+-=x yC ．2)2(2+-=x yD ．4)2(2+-=x y【答案】 B3．（2016绍兴）抛物线c bx x y ++=2（其中b ，c 是常数）过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】 A4．（2016南宁）二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)和正比例函数x y 32=的图象如图所示，则方程0)32(2=+-+c x b ax (a ≠0)的两根之积（） A ．大于0 B ．等于0C ．小于0 D ．不能确定【答案】 C二、填空题5．（2016大连）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴相交于点A 、B( m ＋2，0)与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________．【答案】（－2，0）6．（2016荆州）若函数a x x a y 24)1(2+--=的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为____________．【答案】－1或2或17．抛物线322--=x x y 与x 的正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，第四象限的点C 在抛物线上，则△ABC 面积的最大值是________．【答案】 827三、解答题8．我们规定：若m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，则n m ⋅＝ a bd ac +．如m ＝(1，2)，n ＝(3，5)，则n m ⋅＝1x3＋2x5＝ 13．（1）已知m ＝(2，4)，n ：（2，－3），求n m ⋅；（2）已知m ＝（a x -，1），n ＝（a x -，1+x ），求mn y =,，问mn y =的函数图象与一次函数1-=x y 的图象是否相交，请说明理由．解：（1）∵m ＝(2，4)，n ＝（2，－3），∴n m ⋅＝2x2＋4x(－3)＝－8;（2）∵m ＝（a x -，1），n ＝（a x -，1+x ），∴)1()(2++-=⋅=x a x n m y＝1)12(22++-=a x a x∴1)12(22++--=a x a x y联立方程：11)12(22-=++--x a x a x化简得：02222=++-a ax x∵0842<-=-=∆ac b ．∴方程无实数根，两函数图象无交点．9．(2015中山)如图,二次函数的图像与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B 、D ．（1）求二次函数解析式；（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．解：（1）设二次函数的解析式为0(2≠++=a c bx ax y ，a 、b 、c 常数）．由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30039c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a所以二次函数的解析式为322+--=x x y ；（2）如图，以次函数值大于函数值的x 的取值范围是2-<x 或1>x ．（3）∵对称轴：x=-1，∴D （-2，3）；设直线BD ：n mx y +=，代入B （1，0），D （-2，3）；解得直线BD ：1+-=x y把x=0代入求得E （0，1）．∴OE=1又∵AB=4，∴414213421=⨯⨯-⨯⨯=∆AD E S B 组提高次练习10．（2016泸州）已知二次函数)0(2≠--=a c bx ax y 的图像的顶点在第四象限，且过点（-1，0），当b a -为整数时，ab 的值为（）A ．43或1B ．41或1C ．43或21D ．41或43 〖答案〗A （提示：依题意知0>a ，02>ab ，02=-+b a ，故0>b ，且a b -=2，()222-=--=-a a a b a ，于是20<<a ，∴2222<-<-a ，又b a -为整数，∴122-=-a ，0，1，故21=a ，1，23，23=b ，1，21，∴43=ab 或1．故选A ． 11．（2016荷泽）如图，一端抛物线：()2--=x x y ()20≤≤x 记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C 交x 轴于3A ；…如此进行下去，直至得到6C ，若点P （11，m ）在第6段抛物线6C 上，则m=．〖答案〗-1（提示：∵()2--=x x y ()20≤≤x ，∴配方可得()()20112≤≤+--=x x y ，∴顶点坐标为（1，1），∴1A 坐标为（2，0），∵2C 由1C 旋转得到，∴211A A OA =，即2C 顶点坐标为（5，1），()0,63A ；4C 顶点坐标为（7，-1），4A （8，0）；5C 顶点坐标为（9，1），5A （10，0）；6C 顶点坐标为（11，-1），6A （12，0）；；m=-1．）12．（2016舟山）二次函数()512+--=x y ，当n x m ≤≤，且mn<0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，求m+n 的值．解：二次函数()512+--=x y 的大致图像如右：①当10≤<<n m 时，则当m x =时y 取最小值，即2m=-()512+-m ，解得：m=-2．当x=n 时y 取最大值，即2n=()512+--n ．解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；②当n m <<<10时，则当x=m 时y 取最小值，即2m=()512+-m ，解得：m=-2，当x=1时y 最大值，即2n=-()5112+-，解得：n=25，所以m+n=-2+25=21．第三课时考点精析，专项突破考点九二次函数与面积【例11】如图，已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）该抛物线的解析式为：；（2）PQB S ∆=；（3）点D 是该抛物线位于第一象限部分上的一点．则BCD ∆的面积最大值为：，此时点D 的坐标为：．〖答案〗（1）322++-=x x y ；（2）2（3）827；（23，415）解题点拨：①在函数问题中，当点的坐标未知（如本题的点D ）时，通常可以先用字母设出点的坐标，然后利用坐标表示出线段的长度，进而再利用几何知识解决问题；②对于不能直接表示的面积要学会灵活应用割补法．【例12】（2016乐山改编）在直角坐标系xoy 中，A （0，2）、B （-1，0），将ABO ∆经过旋转、翻折、平移变化后得到如图所示的BCD ∆．（1）则经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为：；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ∆的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ∆、BCD ∆分别向下、向左以相同的速度同时平移，且ABO ∆与BCD ∆重叠部分的图形是三角形时t 的取值范围，并求此时重叠部分的面积．〖答案〗221232++-=x x y 解题点拨：①面积关系问题根据条件情况往往有这两种处理方法：其一，首先分别表示出它们的面积再利用方程求解；其二，把它们的面积关系转化为线段关系，再借助坐标把线段关系转化为方程；②注意考虑分类讨论；③学有余力的同学第（3）问还可以自主探索重叠部分不是三角形时的重叠部分面积．解：（1）221232++-=x y ．（2）如图1所示，设直线PC 与直线AB 交于点E ．∵直线PC 将ABC ∆的面积分成1：3两部分， ∴31=BE AE 或3=BE AE．过E 作EF ⊥OB 于点F ，则EF ∥OA ．∴△BEF ∽△BAO ，∴BO BFBA BE AO EF ==． ∴当31=BE AE 时，1432BFEF ==∴EF=23,BF=43,∴E(－41,23)设直线PC 解析式为n mx +=y ，则可求得解析式为5752+-=x y ∴5752221232+-=++-x x x ，∴521-=x ，12=x （舍去） ∴)2539,52(1-P 当3=BE AE时，E(－43,21)同理可得)4923,76(2-P（3）当341<≤t 时，111O B A ∆与112D C B ∆重叠部分为三角形如图2，设111O B A ∆与112D C B ∆重叠部分的面积为为S ．可由已知求出11B A 的解析式为t x -+=22y ，11B A 与x 轴交点坐标为H （22-t ，0）．11B A 与11D C 的交点G ，且G （1－t ，4-3t ） ∴2341221tt t H D -=-+-=，t G D 341-= ∴()211434121-=⋅=t G D H D S课堂训练当堂检测1．抛物线44y 2+-=x x 与坐标轴的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C2．若0b <，则二次函数12-+=bx x y 的图像的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．已知二次函数32--2+=x x y 的顶点为P ，其图像与x 轴交于A 、B 两点，则ABP S ∆=．【答案】84．（2016安徽改编）如图，二次函数x x y 321-2+=的图像经过点A （2，m ）与B （n ，0）（n ＞0）（1）则m=，n=；（2）点C 是该二次函数图像上A 、B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【答案】（1）4，6（2）解：（2）如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D （2，0），连接CD ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F4422121=⨯⨯=⋅=∆AD OD S OAD ； 42)2x (42121-=-⨯⨯=⋅=∆x CE AD S ACD ； x x x x CF BD S BCD 6)321(4212122+-=+-⨯⨯=⋅=∆ 则S=OAD S ∆＋ACD S ∆＋BCD S ∆=4＋42-x ＋x x 62+-=x x 82+-∴S 关于x 的函数表达式为S=x x 82+-（2＜x ＜6＝∵S=x x 82+-=16)4(2+--x∴当x=4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16．中考达标模拟自测A 组基础训练一、选择题1．抛物线2）1-（-2++=x y 与y 轴的交点坐标为（） A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（1，0） D ．（2，0）【答案】A2．已知二次函数1)1m （2+-+=x x y ，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．m=－1B ．m=3C ．m ≤－1D ．m ≥－1 【答案】A3．（2016重庆育才）已知抛物线bx x y +=2a ，当a ＞0，b ＜0时，它的图像经过（） A ．一、二、三象限； B ．一、二、四象限； C ．一、三、四象限； D ．一、二、三、四象限【答案】B4．若抛物线bx x y +=2的对称轴过点（2，0），则关于x 的方程52=+bx x 的解为（）A ．0x 1=，4x 2=B ．1x 1=，5x 2-=C ．1x 1=，5x 2=D ．1x 1-=，5x 2= 【答案】D 二、填空题5．抛物线322--=x x y 的顶点坐标为．【答案】（1，-4）6．（2016天津模拟）如果抛物线822+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则ABC S ∆=．【答案】247．（2016长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线x x y 62+-=上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为．【答案】15 三、解答题8．如图，抛物线432--=x x y 与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线1--=x y 与抛物线432--=x x y 交于A 、C 两点．若P 是线段AC 上的一个动点（不与A ，C 重合），过P 点作y 轴的平行线交抛物线于点E 点，连接AE ，CE ．设△AEC 的面积为S,求S 的最大值．解：易得：A （-1，0），B （4，0），C （3，4）设P （m ，-m-1），则E （m ，432--m m ） ∵P 是线段AC 上的一个动点（不与A ，C 重合） ∴31<<-m ，∴PE=322++-m m ，∴4)32(212⋅++-⋅=+=∆∆m m S S S PEC PEA =6422++-m m =8)1(22+--m 当m=1时，S=89．（2016重庆一中改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线42++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于点C ，且OC=2OA ．抛物线的对称轴为直线x=3，且与x 轴相交于点D ．（1）该抛物线的解析式为．（2）点P 是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使得ABC CDP S S ∆∆=2011？若存在，求出此时m 的值．【答案】（1）423412++-=x x y （2）过点P 作PQ ∥y 轴交直线CD 于Q ，∵直线x=3与x 轴交于D ，∴D （3，0） ∴直线CD ：434+-=x y∵m x P =，∴P （m ，423412++-m m ）∵PQ ∥y 轴，∴Q （m ，4342+-m ） ∵OD PQ S PCD ⋅=∆21，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-⨯⨯=434423413212m m m S =m m 417832+-又∵20=∆ABC S ，∴201120417832⨯=+-m m ，解得m=4或322．B 组提高练习10．（2016济南模拟）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线1121c x b x a y ++=，则下列结论：①b ＞0；②a －b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=－1，则24a b =，其中，正确的是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D（提示：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，又∵对称轴为x=02ba->，∴b ＜0，∴结论①不正确；∵x=－1时，y ＞0，a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数2y ax bx c =++的最小值是y=－2，∴平行四边形的高是2，阴影部分的面积是2×2=4，∴结论③正确；∵2424ac b a-=-，c=－1，∴24b a =，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故选D ．11．（2016重庆南开中学改编）如图，矩形OABC 中，OA=1，OC=2．二次函数25322y x x =+-的图像经过D 、B 两点．在BD 下方的抛物线上有一点M ，使得四边形BCDM 的面积为9，则点M 的坐标为．【答案】（－1，－3）（提示：设M(m ，25322m m +-)，过M 作MN ⊥x 轴，交BD 与N ，则：ΔΔΔBDM DMN BMN S S S =+，Δ1()2DMN M D S MN x x =-，Δ1()2BMN B N S MN x x =-，Δ1()2MN 2BDM N D S MN x x =-=，设直线BD 的解析式为y kx b =+，把（1，2），（-3，0）代入，得230k b k b ì+=ïïíï-+=ïî解得1232k b ìïï=ïïïíïï=ïïïî，因此BD ：1322y x =+，∴N(m ，1322m +)，∴MN=221353232222m m m m m +--+=--+，∴2Δ246BDM S mm =--+，又Δ112DCB S BC y ==，∴2ΔΔ247BDM DCB S S S m m =+=--+，∴22479m m --+=，∴m=－1，∴M （－，－3））12．（2016四川成都改编）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线()21+1-33y x =与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．（1）则ΔADB S ，ΔBCD S =，ΔABCD S 四边形=．（2）若过点H 的直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）92，83，10 （2）易得A （-4，0），B （2，0），C （0，－83），D(－1，－3)从面积分析知，直线l 只需与边AD 或BC 相交，所以有两种情况： ①当直线l 与AD 相交于点1M 时，则1Δ310310AHM S =?，∴()113-y =32创，∴1y2M =-，点1M （－2，－2），过点H （－1，0）和1M （－2，－2）的直线l 的解析式为y 22x =+ ②当直线l 与BC 相交于点2M 时，同理可得点2M （12，－2），过点H （-1，0）和2M （12，－2）的直线l 的解析式为4433y x =--．综上所述：直线l 的函数表达式为22y x =+或4433y x =--．第四课时考点精析专项突破考点十角相等问题、线段的最值【例13】在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （－1，0），B （－3，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）点Q 在直线BC 上方的抛物线上，且点Q 到直线BC 的距离最远，求点Q 坐标．解题点拨：角相等问题通常选择构造直角三角形，从而转化为正切值相等或相似求解；线段问题通常设定坐标转化，转化为代数式或方程求解．解：（1）二次函数的解析式是243y x x =---，BC 所在直线解析式为3y x =--．（2）由243y x x =---可得D （－2，1），C （0，－3），∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，可得△OBC 是等腰直角三角形∴∠OBC=45°，CB=如图，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，∴AF=12AB=1，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∴∠AEB=90°可得CE=AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF ，∴△AEC ∽△AFPAE CEAF PF==PF=2，∴点P 的坐标为（－2，2）或（－2，－2）（3）设点Q （m ，n ），过点Q 作QH ∥BC 于H ，并过点Q 作QS ∥y 轴交直线BC 于点S ，则S 点坐标为（m ，－m －3）∵QS=()33n m n m ---=++∵点Q （m ，n ）在抛物线243y x x =---上，∴243y x x =---，QS=()()224333m m m m m ------=-- ∵BO=OC ，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°∵QS ∥y 轴，∴∠QSH=45°，∴△QHS 是等腰直角三角形；∴2232m ÷-=-++÷÷当32m =-时，QH ，∴此时Q 33,24骣÷ç-÷ç÷ç桫 ∴Q 点的坐标为Q 33,24骣÷ç-÷ç÷ç桫时，点Q 到直线BC 的距离最远．考点二四边形或三角形的存在性问题【例14】（2016凉山州）如图，已知抛物线223y x x =--经过A 、B 、C 三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点C 的距离之和最短时，则点P 的坐标为；（2）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．解题点拨：抛物线问题中涉及三角形或四边形存在性问题时，通常有两种策略：（1）应用坐标法表示出相应线段后通过方程解答；（2）灵活应用相关几何知识进行分析解题．此类题容易出现的分类讨论有：等腰三角形哪两边相等的讨论，直角三角形直角顶点的讨论，平行四边形哪两边是邻边的讨论等．【答案】（1）（1，－2）（2）如图所示：抛物线的对称轴为：12bx a=-=，设M （1，m ），已知A （－1，0）、C （0，－3），则：224MA m =+，222(3)1610MC m m m =++=++，210AC =；①若MA=MC ，则22MA AC =，得：224610m m m +=++，解得：m=1；②若MA=AC ，则22MA AC =，得：2410m +=，得m =?③若MC=AC ，则22MA AC =，得：261010m m ++=，得：10m =，26m =-；当m=－6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点的坐标为M （1）、（11，－1）、（1，0）课堂训练当堂检测1．（2016重庆八中）二次函数24y x x =-+的最大值为（） A ．－4 B ．2 C ．0 D ．4 【答案】D2．（2015泸州）若二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像经过点（2，0），且其对称轴为x=1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（）A ．x ＜－4或x ＞2B ．－4≤x ≤2C ．x ≤－4或x ≥2D ．－4＜x ＜2 【答案】D3．（2016重庆外语校）224y x x =-+的顶点坐标为．【答案】（1，3）4．（2016上海改编）如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-?经过点A （4，－5），与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC=5OB ，抛物线的顶点为点D ．（1）求出这条抛物线的表达式及四边形ABCD 的面积；（2）如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO =∠ABC ，求点E 的坐标．解：(1)抛物线的表达式为y =x 2-4x -5，S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18． (2)过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =12×AB ×CH =10，AB =，∴CH在R t△BCH中，∠BHC=90°, BC BH∴tan∠CBH =23 CHBH=．∵在R t△BOE中，=90°，t a n∠BＯE=BO EO，∵∠BEO=∠ABC，∴23BOEO=，得EO=32，∴点E的坐标为(０，32 )．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2015甘孜）二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为( )A．x=4 B．x=-4 C．x=2 D．x= -2【答案】Ｄ2．（2016重庆巴蜀）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y=（x-2）2+1 B．y=x2－l C．y=（x+2）2+1 D．y=x2+3【答案】C3．（2015台州）设二次函数y=（x-3）2－4图象的对称轴为直线ｌ,点M在直线ｌ上，则点M的坐标可能是（）A．(1，0) B．(3，0) C．（-3，0）D．（0，-4）【答案】B4．（2015盘锦）已知二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论：①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能为0．其中正确的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B5．已知抛物线过A （-1，0）、B (3，0)，与y 轴交于点C ，且BC ( )A ．y =x 2-2x -3B ．y = -x 2+2x +3C .y =x 2 -2x -3或y =-x 2+2x +3D .y =x 2+2x -3或y =-x 2+2x +3 【答案】C二、填空题6．（2015河北）已知抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点P (3，0)，则a -b +c 的值为．【答案】07．（2016梅州改编）如图，抛物线y =-x 2+2x +3与y 轴交于点C ，点D (O ，1)，点P 是抛物线上的动点，若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，点P 的个数是．【答案】28．（2016襄阳改编）如图，A 点在x 轴上，直线y = -34x +3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C ，顶点为D 的抛物线：y =一238x +4 x +3过A 、B 、C 三点.设抛物线的对称轴交线段BC 于点E ，P 是第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ，若四边形DEFP 为平行四边形，则点P 的坐标为.【答案】（3，158）三、解答题9．（2015重庆南开）如图，抛物线y =ax 2+bx +6与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知A （-1，0）、B (3，0).(1)求抛物线及直线BC 的解析式；(2)直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，M 为抛物线上一动点，点N 在x 轴上，若以点D 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M 的坐标.解：(1)∵抛物线y= ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，∴609360a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得24ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y= -2x2+4x+6．令x=0，有y=6，∴C(0，6)设直线BC的解析式为y=kx+6故3k+6=0解得k=-2∴直线BC的解析式为y=-2x+6．(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴D(1，4)若AN为平行四边形的边，则DM//AN，故y M=y D=4令- 2x2+4x+6=4，解得x1，2=1M1（4），M2（4）若AN为平行四边形的对角线，则y M+y D=0，故y M =-4令一2x2 +4x+6=-4，解得x1，2=1M3（-4）,M4（，-4）综上，满足条件的M有4个：M1（4），M2（4），M3（，-4），M4（-4）B组提高练习10．（2016宁波改编）如图，已知抛物线y= -x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA +PC的最小值为（）A．3 B．．．【答案】Ｄ(提示：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA +PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，易得：点C(O，3)，点B(3，0)∴033k bb=+⎧⎨=⎩，解得：13kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为：y=-x+3，当x=1时，y= -1+3=2，∴当点P的坐标为(1，2)时，PA +PC的值最小为）11．（2016山东枣庄改编）如图，已知抛物线y= -x2 -2x+3与直线y=x+3经过B，C两点，点P为抛物线的对称轴x= -1上的一个动点，则使△BPC为直角三角形的点P的坐标为 .【答案】P1（-1，-2），P2（-1,4），P3（-1，P4(-1（提示：设P（-1，t），则PB2= 4+t2，BC2 =18，PC2=（-1）2+（t-3）2 =t2—6t+10．①若B为直角顶点，则BC2+PB2 =PC2，即l8+4+t2= t2 -6t+10．解之，得t= -2．②若C为直角顶点，则BC2+PC2 =PB2,即18+t2-6t+10=4+t2．解之，得t=4.③若P为直角顶点，则PB2+PC2 =BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18．解之，得t1t2故答案为P1（-1，-2），P2（-1,4），P3（-1，P4(-112．（2016威海）如图，抛物线y= ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC,连接AC．CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD= ∠ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.解：(1)∵抛物线y =ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B(4，0)，点D(2，4)，∴设抛物线解析式为y=a(x+2)（x-4），∴-8a=4，∴a=-12，。

重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第2节一次函数练习册

第2节一次函数(建议答题时间：40分钟)基础过关1. (2017重庆五校联考模拟)已知正比例函数y ＝3x 的图象经过点(1，m )，则m 的值为( )A . 13B . 3C . －13D . －32. (人教八下107页第2题改编)下列各点，在直线y ＝2x ＋6上的是( ) A. (－5，4) B. (－7，20) C. (－72，1) D. (23，713)3. (2017湘潭)一次函数y ＝ax ＋b 的图象如图所示，则不等式ax ＋b ≥0的解集是( ) A. x ≥2 B. x ≤2 C. x ≥4 D. x ≤4第3题图第4题图4. (2017日照)反比例函数y ＝kbx的图象如图所示，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象大致是( )5. (2017苏州)若点A (m ，n )在一次函数y ＝3x ＋b 的图象上，且3m －n ＞2，则b 的取值范围为( )A. b ＞2B. b ＞－2C. b ＜2D. b ＜－26. (2017温州)已知点(－1，y 1)，(4，y 2)在一次函数y ＝3x －2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系是( )A. 0＜y 1＜y 2B. y 1＜0＜y 2C. y 1＜y 2＜0D. y 2＜0＜y 17. (2017呼和浩特)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. (2017 怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是( )A. 12B. 14C. 4D. 8 9. (2017陕西)如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b (k ≠0)在第一象限交于点M ，若直线l 2与x 轴的交点为A (－2，0)，则k 的取值范围是( ) A. －2＜k ＜2 B. －2＜k ＜0 C. 0＜k ＜4 D. 0＜k ＜2第9题图10. 注重开放探究(2017天津)若正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过第二、第四象限，则k 的值可以是________．(写出一个即可)11. (2017 成都)如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A (2，1)，当x ＜2，y 1________y 2.(填“＞”或“＜”)第11题图12. (2017荆州)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A (－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后．．．的直线上，则b 的值为________．13. (2017台州)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P (1，b )． (1)求b ，m 的值；(2)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D ，若线段CD 长为2.求a 的值．第13题图满分冲关1. (2017枣庄)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点 A 和点B ，点C ，点D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 最小时，点P 的坐标为( )第1题图A. (－3，0)B. (－6，0)C. (－32，0)D. (－52，0)2. (2017天津)用A 4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x (x 为非负整数)． (1)根据题意，填写下表：一次复印页数(页) 5 1020 30… 甲复印店收费(元) 0.5 2 … 乙复印店收费(元)0.62.4…(2)设在甲复印店复印收费y 1元，在乙复印店复印收费y 2元，分别写出y 1，y 2关于x 的函数关系式；(3)当x ＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．3. (2017连云港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，0)的直线交y 轴正半轴于点B ，将直线AB 绕着点O 顺时针旋转90°后，分别与x 轴、y 轴交于点D 、C . (1)若OB ＝4，求直线AB 的函数关系式；(2)连接BD ，若△ABD 的面积是5，求点B 的运动路径长．第3题图答案基础过关1. B2. D3. B4.D 【解析】∵反比例函数在第一、三象限，∴kb＞0，∴k＞0，b＞0或k＜0，b＜0，∴一次函数图象经过第一、二、三象限或者第二、三、四象限，故选D.5. D 【解析】∵点A(m，n)在一次函数y＝3x＋b的图象上，∴3m＋b＝n，即3m－n＝－b，∵3m －n >2，∴－b >2，∴b <－2.6. B 【解析】∵当x ＝－1时，y 1＝－5，当x ＝4时，y 2＝10，∴y 1<0<y 2.7. A 【解析】∵y 随x 的增大而减小，∴k ＜0，∴图象经过第二、四象限，又∵kb ＞0，∴b ＜0，∴图象经过第三象限，∴图象经过第二、三、四象限，即函数的图象不经过第一象限．8. B 【解析】∵一次函数y ＝－2x ＋m 经过点P (－2，3)，∴代入函数解析式得3＝4＋m ，解得m ＝－1，∴一次函数解析为y ＝－2x －1，如解图，分别令y ＝0和x ＝0求出直线与坐标轴的交点为A (－12，0)，B (0，－1)，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×12×1＝14.第8题解图9. D 【解析】∵直线l 2：y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴的交点为A (－2，0)，∴－2k ＋b ＝0，则b ＝2k ，∴直线l 2：y ＝kx ＋2k (k ≠0)，∵直线l 1：y ＝－2x ＋4与y 轴的交点为(0，4)，且与直线l 2：y ＝kx ＋2k (k ≠0)在第一象限交于点M ，∴k ＞0，当x ＝0时，y ＝2k ＜4，解得k ＜2，即k 的取值范围是0＜k ＜2. 10. －2(答案不唯一) 11. <12. 4 【解析】y ＝x ＋b 向下平移3个单位得y ＝x ＋b －3，点A (－1，2)关于y 轴的对称点为(1，2)，将其代入平移后的解析式中，得2＝1＋b －3，解得b ＝4. 13. 解：(1)∵点P (1，b )在直线y ＝2x ＋1上， ∴把点P (1，b )代入y ＝2x ＋1中，解得b ＝3；又∵点P (1，3)在直线y ＝mx ＋4上， ∴把点P (1，3)代入y ＝mx ＋4中，解得m ＝－1；(2)如解图，设C (a ，2a ＋1)，D (a ，－a ＋4)，第13题解图①当点C 在点D 上方时，则CD ＝2a ＋1－(－a ＋4)＝3a －3， ∵CD ＝2，∴3a －3＝2，解得a ＝53；②当点C 在点D 下方时，则CD ＝－a ＋4－(2a ＋1)＝－3a ＋3， ∵CD ＝2，∴－3a ＋3＝2，解得a ＝13.综上所述，a 的值为53或13.满分冲关1. C 【解析】如解图，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，∵直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴的交点坐标为点A (－6，0)和点B (0，4)，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可得点C (－3，2)，点D (0，2)．∴点D ′的坐标为(0，－2)．设直线CD ′的解析式为y ＝kx ＋b ，直线CD ′过点C (－3，2)，D ′(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43b ＝－2，第1题解图即可得直线CD ′的解析式为y ＝－43x －2，令y ＝0，则0＝－43x －2，解得x ＝－32，∴点P的坐标为(－32，0)．2. 解：(1)1，3，1.2，3.3.【解法提示】当x ＝10时，甲复印店收费为：0.1×10＝1；乙复印店收费为：0.12×10＝1.2；当x ＝30时，甲复印店收费为：0.1×30＝3；乙复印收费为：0.12×20＋0.09×10＝3.3； (2)y 1＝0.1x (x ≥0)，当0≤x ≤20时，y 2＝0.12x ，当x >20时，y 2＝0.12×20＋0.09(x －20)，即y 2＝0.09x ＋0.6.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧0.12x （0≤x≤20）0.09x ＋0.6（x ＞20）.(3)顾客在乙复印店复印花费少．理由如下：当x >70时，y 1＝0.1x ，y 2＝0.09x ＋0.6， ∴y 1－y 2＝0.1x －(0.09x ＋0.6)＝0．01x －0.6，即y ＝0.01x －0.6， ∵0.01>0，∴y 随x 的增大而增大，又x ＝70时，y ＝0.1>0， ∴y 1>y 2，∴当x >70时，顾客在乙复印店复印花费少．3. 解：(1)∵OB ＝4，且点B 在y 轴正半轴上，∴点B 坐标为(0，4)，设直线AB的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将点A (－2，0)，B (0，4)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4－2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝4，∴直线AB 的函数关系式为y ＝2x ＋4； (2)设OB ＝m ，则AD ＝m ＋2， ∵△ABD 的面积是5，∴12AD ·OB ＝5，∴12(m ＋2)m ＝5，即m 2＋2m －10＝0，解得m ＝－1＋11或m ＝－1－11(舍去)． ∵∠BOD ＝90°，∴点B 的运动路径长为14×2π×(－1＋11)＝－1＋112π.。

中考数学考点系统复习第三章函数第五节二次函数的图象与性质及与a,b,c的关系4

．★(2022·达州)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图所示，与 y 轴交于点(0，－1)，对称轴为直线 x＝1.下列结论：
①abc＞0；②a＞13；③对于任意实数 m，都有 m(am＋b)＞a＋b 成立；④
1 若(－2，y1)，2，y2，(2，y3)在该函数图象上，则
8．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a＞0)，且过点A(0，2)，B(8，3)，则 h可以是( D ) A．6 B．5 C．4 D．3
9．(2022·贺州)已知二次函数 y＝2x2－4x－1 在 0≤x≤a 时，y 取得的最大值为 15，则 a 的值为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
10．在同一坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx 与一次函数 y＝bx－a 的图象可能是( C )
A
11．★若二次函数 y＝x2＋ (a＋2)x－3a 在 y 轴右侧 y 随 x 的增大而增大，
ax 4 且关于 x 的分式方程x－2＋2－x＝－1 有整数解，则满足条件的所有整数
a 之和为( B )
3．(2022·潍坊)抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为
( B)
A．－14
B.14
C．－4 D．4
4．(2022·新疆)已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论中错误的是( D ) A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为(2，1) D．当x＜2时，y随x的增大而增大
第五节二次函数的图象与性质及与a，b，c的关
系
1．(2022·龙东地区)若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( A ) A．(2，4) B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2)

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第5节二次函数的综合应用课时1 与线段、周长有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017滨州)如图，直线y ＝kx ＋b (k 、b 为常数)分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C .(1)求直线y ＝kx ＋b 的函数解析式；(2)若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标；(3)若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．第1题图2. (2017宁波)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D . (1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长．(用含m 的代数式表示)第2题图3. (2017东营)如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y 轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第3题图4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．第4题图课时2 与面积有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017深圳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S△ABD＝32S△ABC，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°得到BE，与抛物线交于另一点E，求BE 的长．第1题图2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．3. (2017海南)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y ＝35x ＋3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .①连接PC 、PD ，如图①，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图②，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．第3题图4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y ＝－13x 2＋13x ＋4交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，连接AC 、BC .(1)求交点A 、B 的坐标以及直线BC 的解析式；(2)如图①，动点P 从点B 出发以每秒5个单位的速度向点O 运动，过点P 作y 轴的平行线交线段BC 于点M ，交抛物线于点N ，过点N 作NK ⊥BC 交BC 于点K ，当△MNK 与△MPB 的面积比为1∶2时，求动点P 的运动时间t 的值；(3)如图②，动点P 从点B 出发以每秒5个单位的速度向点A 运动，同时另一个动点Q 从点A 出发沿AC 以相同速度向终点C 运动，且P 、Q 同时停止，分别以PQ 、BP 为边在x 轴上方作正方形PQEF 和正方形BPGH (正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF 和正方形BPGH 重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．第4题图课时3 与三角形、四边形形状有关的问题(建议答题时间：40分钟)1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B (4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D (3，52)，过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C .(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段OC 上(不与点O 、C 重合)，过P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2017广安)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于点A (0，3)，与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x ＝1.(1)求此抛物线的解析式及点B 的坐标；(2)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动．过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形；②当t >0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 值；若不能，请说明理由．第2题图3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l 上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝3 3x2－83x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM＋1010MC的最小值；(3)如图②，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为3，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF＝533，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图课时4 二次函数的实际应用 (建议答题时间：20分钟)1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m )与足球被踢出后经过的时间t (单位：s )之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 42. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值，②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．第2题图3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元(a ＞0)的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a 值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)答案课时1 与线段、周长有关的问题1. 解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过点A (－4，0)，B (0，3)， ∴⎩⎨⎧0＝－4k ＋b 3＝b，解得⎩⎨⎧k ＝34b ＝3， ∴直线的函数解析式为y ＝34x ＋3；(2)如解图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ∥y 轴交直线AB 于点N .第1题解图∴∠PNM ＝∠ABO ， ∵∠AOB ＝∠NMP ＝90°， ∴△AOB ∽△PMN ， ∴AO PM ＝AB PN， ∵OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5， ∴PM ＝45PN ，∵点P 是抛物线上的点，PN ∥y 轴， ∴P (x ，－x 2＋2x ＋1)，N (x ，34x ＋3)，∴PN ＝34x ＋3－(－x 2＋2x ＋1)＝x 2－54x ＋2＝(x －58)2＋10364，PM ＝d ＝45(x －58)2＋10380， ∴当x ＝58时，PM 取得最小值10380，此时P 点坐标为(58，11964)；(3)∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ， ∴C (0，1)，对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，如解图，作点C 关于对称轴的对称点G ，则G 点坐标为(2，1)，点G 到直线AB 的距离即为CE ＋EF 的最小值，最小值为d ＝45×(2－58)2＋10380＝145. 2. (1)解：把点C (6，152)代入抛物线解析式可得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3， ∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3， ∴A (－4，0)，设直线AC 的函数表达式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A(－4，0)，C(6，152)代入y＝kx＋b中得⎩⎨⎧0＝－4k＋b152＝6k＋b，解得⎩⎨⎧k＝34b＝3，∴直线AC的函数表达式为：y＝34x＋3；(2)①证明：由(1)易得OA＝4，OB＝3，OD＝3，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝OBOA＝34.在Rt△AOD中，tan∠OAD＝ODOA＝34.∴∠OAB＝∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ中点，∴OM＝MP，∴∠MOP＝∠MPO，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM＝∠AON，∴△APM∽△AON；②解：如解图，过点M作ME⊥x轴于点E. 又∵OM＝MP，∴OE＝EP，∵点M横坐标为m，∴AE＝m＋4，AP＝2m＋4，∵tan∠OAD＝34，∴cos∠EAM＝cos∠OAD＝4 5，∴AM＝54AE＝5（m＋4）4，∵△APM∽△AON，∴AM AN ＝AP AO， ∴AN ＝AM ·AO AP ＝5m ＋202m ＋4.第2题解图3. 解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)． ∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33， ∴∠CBO ＝30°， ∴∠BCO ＝60°， ∵AC ⊥BC ， ∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233，∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴， ∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， ∵MH ⊥BC ，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD .∴△DMN 的周长为(1＋12＋32)MD .设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在直线BC 上方的抛物线上， ∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－ (－33t ＋3)＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3，∴当t ＝32时，MD 有最大值，且MD 的最大值为334，∴△DMH 周长的最大值为(1＋12＋32)×334＝93＋98.4. (1)解：将点A (－1，1)，B (4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，⎩⎨⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：∵A (－1，1)，F (0，m )∴直线AF 的解析式为：y ＝(m －1)x ＋m .联立⎩⎨⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x，得12x 2－(m －12)x －m ＝0. ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点，∴x A ＋x G ＝－－（m －12）12＝2m －1，∴x G ＝2m －1－(－1)＝2m ，∴H (2m ，0)，∴直线HF 的解析式为：y ＝－12x ＋m .由抛物线解析式易得E (1，0)，又A (－1，1)，∴直线AE 的解析式为：y ＝－12x ＋12，∵直线HF 与直线AE 的斜率相等， ∴HF ∥AE ； (3)解：t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892. 【解法提示】由题意知直线AB 解析式为y ＝x ＋2，∴C (－2，0)，D (0，2)，P (t －2，t )，Q (t ，0)．∴直线PQ 的解析式为y ＝－t 2x ＋t 22，设M (x 0，y 0)，由QM ＝2PM 可得：|t －x 0|＝2|x 0－t ＋2|，解得：x 0＝t －43或x 0＝t －4.(i )当x 0＝t －43时，代入直线PQ 解析式得y 0＝23t .∴M (t －43，23t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －43)2－12(t －43)＝23t ，解得t 1＝15＋1136，t 2＝15－1136； (ii )当x 0＝t －4时，y 0＝2t . ∴M (t －4，2t )，代入y ＝12x 2－12x 中得：12(t －4)2－12(t －4)＝2t ，解得：t 3＝13＋892，t 4＝13－892. 综上所述，t 的值为15＋1136或15－1136或13＋892或13－892. 课时2 与面积有关的问题1. 解：(1)将点A (－1，0)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得 ⎩⎨⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)存在，点D 的坐标为D 1(1，3)，D 2(2，3)，D 3(5，－3)．【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M . 设D (m ，－12m 2＋32m ＋2)(m >0)，则DM ＝|－12m 2＋32m ＋2|.∵A (－1，0)，B (4，0)， ∴AB ＝5.∵抛物线交y轴于点C，∴y＝－12x2＋32x＋2中，令x＝0，有y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2. ∵OC⊥AB，∴S△ABC＝12AB·OC＝5，第1题解图①又∵S△ABD＝32S△ABC，∴DM＝|－12m2＋32m＋2|＝32OC＝3，当－12m2＋32m＋2＝3时，解得m1＝1，m2＝2，此时D1(1，3)，D2(2，3)；当－12m2＋32m＋2＝－3时，解得m3＝－2(舍去)，m4＝5，此时D3(5，－3)．综上所述，点D的坐标为D1(1，3)，D2(2，3)，D3(5，－3)．(3)如解图②，过点C作CF⊥BC交BE于点F，过点F作FH⊥y轴于点H，过点E作EG⊥x轴于点G.第1题解图②∵CF ⊥BC ，∠CBF ＝45°，∴△BCF 是等腰直角三角形，且BC ＝CF ， ∴∠OCB ＋∠FCH ＝90°，又∵FH ⊥y 轴，∴∠CFH ＋∠FCH ＝90°， ∴∠OCB ＝∠CFH ，而BC ＝CF ，∴△BOC ≌△CHF (AAS )，又∵B (4，0)，C (0，2)， ∴CH ＝OB ＝4，FH ＝OC ＝2， ∴OH ＝6， ∴F (2，6)．设BE 的解析式为y ＝kx ＋c ，将B (4，0)，F (2，6)代入y ＝kx ＋c ，得 ⎩⎨⎧4k ＋c ＝02k ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝－3c ＝12， ∴BE 的解析式为y ＝－3x ＋12.联立抛物线和直线BE 的解析式，得⎩⎨⎧y ＝－12x 2＋32x ＋2y ＝－3x ＋12，解得⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝0(舍去)，⎩⎨⎧x 2＝5y 2＝－3，∴E (5，－3)， ∵EG ⊥x 轴， ∴BG ＝1，EG ＝3，∴在Rt △BEG 中，BE ＝BG 2＋EG 2＝10. 2. 解：(1)据题意得，A (－4，0)，C (0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 过A 、C 两点，∴⎩⎨⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，∴⎩⎨⎧b ＝－32c ＝2， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，∴x 1＝－4，x 2＝1， ∴B (1，0)，如解图①，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，第2题解图①∴DM ∥BN ， ∴△DME ∽△BNE ， ∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN，设D (a ，－12a 2－32a ＋2)，则M (a ，12a ＋2)，∴DM ＝－12a 2－32a ＋2－(12a ＋2)＝－12a 2－2a ，在y ＝12x ＋2中，令x ＝1，则y ＝52，∴BN ＝52，∵B (1，0)，∴N (1，52)，∴S 1S 2＝DM BN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45， ∴当a ＝－2时，S 1S 2取最大值为45；②如解图②，第2题解图②∵A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 中点P ，并连接CP ， ∴P (－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC )＝43；情况1：过D 作x 轴的平行线，交y 轴于R ，交AF 延长线于G ，则∠DGC ＝∠BAC ，若∠DCF ＝2∠BAC ，即∠DGC ＋∠CDG ＝2∠BAC ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12.即RCDR＝12，设D(d，－12d2－32d＋2)，∴DR＝d，RC＝－12d2－32d，∴－12d2－32dd＝12，∴d1＝0(舍)，d1＝－2，∴x D＝－2；情况2：如解图③，过A作AQ∥DF，交CD延长线于点Q，过Q作QH⊥x轴于点H，若∠FDC＝2∠BAC，即∠AQC＝2∠BAC，∴tan∠AQC＝ACAQ＝25AQ＝43，∴AQ＝352，△QHA∽△AOC，∴AHOC＝AQAC＝HQAO＝34，第2题解图③∴AH＝32，HQ＝3，∴Q(－112，3)，又C(0，2)，∴易求直线QC的解析式为y＝－211x＋2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－211x ＋2y ＝－12x 2－32x ＋2，∴12x 2＋2922x ＝0， x 1＝0(舍去)，x 2＝－2911，∴x D ＝－2911，综上所述，D 点的横坐标为－2或－2911. 3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (1，0)和点B (5，0)． ∴⎩⎨⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)∵点P 是抛物线上的动点，且位于x 轴下方， ∴可设点P (t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M 、N ， ∴M (t ，0)，N (t ，35t ＋3)．①∵点C ，D 是直线与抛物线的交点，∴令35x 2－185x ＋3＝35x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝7.当x ＝0时，y ＝35x ＋3＝3，当x ＝7时，y ＝35x ＋3＝365.∴点C (0，3)，D (7，365)．如解图，分别过点C 和点D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，第3题解图则CE ＝t ，DF ＝7－t ，S ΔPCD ＝S ΔPCN ＋S ΔPDN ＝12PN ·CE ＋12PN ·DF ＝12PN (CE ＋DF )＝72PN ，当PN 最大时，△PCD 的面积最大．∵PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，∴当t ＝72时，PN 取最大值为14720，此时△PCD 的面积最大，最大值为12×7×14720＝102940； ②存在.∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，∴当NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM时，△CNQ 与△PBM 相似． ∵CQ ⊥PM ，垂足为点Q ， ∴Q (t ，3)．且C (0，3)，N (t ，35t ＋3)，∴CQ＝t，NQ＝(35t＋3)－3＝35t.∴NQCQ＝35.∵P(t，35t2－185t＋3)，M(t，0)，B(5，0)．∴BM＝5－t，PM＝－35t2＋185t－3.情况1：当NQCQ＝PMBM时，PM＝35BM，即－35t2＋185t－3＝35(5－t)，解得t 1＝2，t2＝5(舍去)，此时，P(2，－95)；情况2：当NQCQ＝BMPM时，BM＝35PM，即5－t＝35(－35t2＋185t－3)，解得t1＝349，t 2＝5(舍去)．此时，P(349，－5527)．综上所述，存在点P(2，－95)或者P(349，－5527)，使得△CNQ与△PBM相似．4.解：(1)令y＝0，则－13x2＋13x＋4＝0，解得x＝4或－3，∴点A坐标(－3，0)，点B坐标(4，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，把B(4，0)，C(0，4)代入得⎩⎨⎧b＝44k＋b＝0，解得⎩⎨⎧k＝－1b＝4，∴直线BC解析式为y＝－x＋4；(2)如题图①，∵PN∥OC，NK⊥BC，∴∠MPB＝∠MKN＝90°，∵∠PMB＝∠NMK，∴△MNK∽△MBP，∵△MNK与△MBP的面积比为1：2，∴BM＝2MN，∵OB＝OC，∴∠PBM＝45°，∴BM＝2PB，∴MN＝PB，设P(a，0)，则MN＝－13a2＋13a＋4＋a－4＝－13a2＋43a，BP＝4－a，∴－13a2＋43a＝4－a，解得a＝3或4(舍去)，∴PB＝1，t＝15；(3)①如解图①中，过F作FR⊥x轴于R，交GH于T，当轴对称图形为筝形时，PF＝PG，GM＝FM，∵BP＝PG＝AQ，PQ＝PF，∴AQ＝PQ＝5t，过点Q作QN⊥AP，则AN＝NP，由△AQN∽△ACO，∴AQAC＝ANAO，∵A(－3，0)，C(0，4)，∴AC＝5，∴5t5＝AN3，∴AN＝3t，∴AP＝2AN＝6t，∵AP＋BP＝AB，∴6t＋5t＝7，∴t ＝711， ∴PB ＝PF ＝3511，易证△ACO ∽△FPR ∽△FMT ， ∴FP FR ＝AC AO， ∴FR ＝2111，TF ＝3511－2111＝1411，∴FM AC ＝TF AO， ∴FM ＝7033， ∴S ＝2×12PF ·FM ＝2450363；②如解图②中，当轴对称图形是正方形时，3t ＋5t ＝7，∴t ＝78，∴S ＝494.第4题解图① 第4题解图② 课时3 与三角形、四边形形状有关的问题1. 解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过B (4，0)，D (3，52)，∴⎩⎨⎧0＝16a ＋4b ＋152＝9a ＋3b ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34b ＝114，∴抛物线的表达式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)∵抛物线y ＝－34x 2＋114x ＋1与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为A (0，1)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎨⎧1＝d 52＝3k ＋d ，解得⎩⎨⎧k ＝12d ＝1，∴直线AD 的表达式为y ＝12x ＋1.∵CD ⊥x 轴，点D 的坐标为D (3，52)，∴点C 的坐标为C (3，0)，设P (m ，0)，则0<m <3. ∵PN ⊥x 轴， ∴M (m ，12m ＋1)，∴PM ＝12m ＋1，CP ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PM ·CP ＝12×(12m ＋1)×(3－m )＝－14(m －12)2＋2516，∴当m ＝12时，△PCM 面积取得最大值为2516；(3)∵OP ＝t ，∴P (t ，0)，M (t ，12t ＋1)，N (t ，－34t 2＋114t ＋1)，∴MN ＝|－34t 2＋114t ＋1－(12t ＋1)|＝|－34t 2＋94t |，∵CD ∥MN ，∴要使得四边形MNDC 是平行四边形，只需MN ＝CD 即可．∵CD＝5 2，∴只需|－34t2＋94t|＝52，化简得3t2－9t＋10＝0或3t2－9t－10＝0.当3t2－9t＋10＝0时，Δ＝81－120<0，方程无解；当3t2－9t－10＝0时，Δ＝81＋120＝201>0，∴t＝9±2016，∵t>0，∴t＝9＋2016，∴当t为9＋2016时，四边形MNDC是平行四边形．2. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，∴c＝3，∵对称轴是直线x＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1(不合题意，舍去)，∴点B的坐标为(3，0)；(2)①由题意得ON＝3t，OM＝2t，则点P(2t，－4t2＋4t＋3)，∵四边形OMPN为矩形，∴PM＝ON，即－4t2＋4t＋3＝3t，解得t1＝1，t2＝－34(不合题意，舍去)，∴当t＝1时，四边形OMPN为矩形；②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°，若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (ⅰ)若OQ ＝BQ ，如解图①所示：则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32，∴t ＝32÷2＝34；(ⅱ)若OQ ＝OB ， ∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)； (ⅲ)若OB ＝BQ ，如解图②所示： ∴BQ ＝3，∴BM ＝BQ ·cos 45°＝3×22＝322， ∴OM ＝OB －BM ＝3－322＝6－322，∴t ＝6－322÷2＝6－324，综上所述，当t 为34秒或6－324秒时，△BOQ 为等腰三角形．第2题解图3. 解：(1)将点A 、B 、D 的坐标代入抛物线的解析式得：⎩⎨⎧c ＝3a －b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)把y ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3得：－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝3或x ＝－1. ∴点E 的坐标为(3，0)．∵l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， ∴直线l 经过平行四边形两对角线的交点， ∴直线l 经过点BD 的中点，即(12，32)．设EF 的解析式为y ＝kx ＋b ′，将(12，32)和(3，0)代入直线的解析式得⎩⎨⎧12k ＋b ′＝323k ＋b ′＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35b ′＝95， ∴直线EF 的解析式为y ＝－35x ＋95，将直线EF 解析式与抛物线解析式联立可得， ⎩⎨⎧y ＝－35x ＋95y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25y ＝5125，∴F (－25，5125)，如解图①所示，连接PE ，过点P 作PG ⊥x 轴，交EF 于点G.第3题解图①设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，则点G 的坐标为(t ，－35t ＋95)，∴PG ＝－t 2＋2t ＋3－(－35t ＋95)＝－t 2＋135t ＋65.△PEF 的面积＝12PG ·|x E －x F |＝12×(3＋25)PG ＝12×175(－t 2＋135t ＋65)＝－1710t 2＋22150t ＋10250＝－1710·(t －1310)2＋289100×1710，∴当t ＝－b 2a ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大面积为289100×1710， ∴最大值的立方根为3289100×1710＝1.7；(3)如解图②所示：当∠PAE ＝90°时，第3题解图②设直线AE 的解析式为y ＝k ′x ＋3，将点E 的坐标代入得：3k ′＋3＝0，解得k ′＝－1.∴直线AE 的解析式为y ＝－x ＋3. ∴直线AP 的解析式为y ＝x ＋3.将y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋2x ＋3联立，解得x ＝0时，y ＝3；x ＝1时，y ＝4. ∴P (1，4)． ∴t ＝1.如解图③所示：当∠APE ＝90°时，第3题解图③设点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．设直线AP 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，PE 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2. 将点A 和点P 的坐标代入y ＝k 1x ＋b 1得⎩⎨⎧b 1＝3tk 1＋b 1＝－t 2＋2t ＋3，解得k 1＝－t ＋2.将点P 、E 代入y ＝k 2x ＋b 2得⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝0tk 2＋b 2＝－t 2＋2t ＋3，解得k 2＝－(t ＋1)． ∵PA 与PE 垂直，∴k 1·k 2＝－1，即－(t ＋1)×(－t ＋2)＝－1，整理得：t 2－t －1＝0，解得t ＝1＋52或t ＝1－52， ∵点P 在直线l 的上方， ∴t ＝1－52(舍去)．综上所述，当t ＝1或t ＝1＋52时，△PAE 为直角三角形． 4. 解：(1)△ABC 是直角三角形. 理由如下：对于抛物线y ＝33x 2－83x －3，令y ＝0, 得33x 2－83x －3＝0，解得x ＝－33或3 3. 令x ＝0，y ＝－ 3.∴A (－33，0)，C (0，－3)，B (33，0)， ∴OA ＝33，OC ＝3，OB ＝33， ∴AO OC ＝OC OB ＝13， ∵∠AOC ＝∠BOC ， ∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ACO ＝∠OBC ， ∵∠OBC ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°. 即△ABC 为直角三角形；(也可以求出AC 、BC 、AB ，利用勾股定理逆定理证明)(2)如解图①中，设第四象限抛物线上一点N (m ，33m 2－83m －3)，点N 关于x 轴的对称点P (m ，－33m 2＋83m ＋3)，过B 、C 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点G ，连接PG .第4题解图①∵G (33，－3)，∴S ΔPBC ＝S ΔPCG ＋S ΔPBG －S ΔBCG ＝12×33×(－33m 2＋83m ＋23) ＋12×3×(33－m )－12×33×3＝－32(m －736)2＋1218.∵32<0， ∴当m ＝736时，△PBC 的面积最大，此时P (736，1134)．如解图②，作ME ⊥CG 于点E ，第4题解图②∵CG ∥OB ， ∴∠OBC ＝∠ECM ， ∵∠BOC ＝∠CEM ， ∴△CEM ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝1∶3∶10， ∴EM ∶CE ∶CM ＝1∶3∶10， ∴EM ＝1010CM ， ∴PM ＋1010CM ＝PM ＋ME ， ∴根据垂线段最短可知，当PE ⊥CG 时，PM ＋ME 最短， ∴PM ＋1010MC 的最小值为1134＋3＝1534； (3)存在，理由如下：① 如解图③，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在的直线是对称轴．作CG ⊥HK 于G ，PH ∥x 轴，EP ⊥PH 于点P .第4题解图③∵FH ∥CK ，K (433，－2539)，易知CG ∶GK ∶CK ＝3∶4∶5，由△EPH ∽△KGC ，得PH ∶PE ∶EH ＝3∶4∶5，设E (n ，33n 2－83n －3)，则HE ＝53(n －433)，PE ＝43(n －433)．∵DH ＝HF ， ∴3＋[－33n 2＋83n ＋3－43(n －433)]＝53(n －433)＋533，解得n ＝－3＋4716或n ＝－3－4716(舍去)．②如解图④，当DH ＝HF ，HQ 平分∠DHF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴．同上面的方法可得[33n 2－83n －3＋43(n －433)]－3＝53(n －433)＋533，解得n ＝332＋5916或n ＝332－5916(舍去)．第4题解图④③如解图⑤，当DH ＝DF ，DQ 平分∠HDF 时，以点F 、H 、D 、Q 为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q 的对角线所在直线是对称轴.第4题解图⑤设DQ 交HF 于M ，由△DHM ∽△CKG ，可知HM ∶DH ＝4∶5，则12×[53(n －433)＋533]∶[33n 2－83n －3＋43(n －433)－3]＝4∶5，解得n ＝19316＋3345948或n ＝19316－3345948(舍去)．综上所述，满足条件的点E 的横坐标为－3＋4716或332＋5916或19316＋3345948. 课时4 二次函数的实际应用1. B 【解析】由足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间关系可求得h 与t 的函数关系式为：h ＝－t 2＋9t ，当t ＝1.5时，可得h ＝11.25，所以④错误；当h ＝0时，可得－t 2＋9t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝9，所以足球被踢出9秒时落地，由h ＝－t 2＋9t 可得对称轴是t ＝92，故②③正确；当t ＝92时，h＝－814＋812＝814＝20.25，所以①错误；正确结论的个数为2个，故选B .2. 解：(1)①把P (0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h 中得h ＝53； ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55. ∴此球能过网；(2)把P (0，1)，Q (7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎨⎧16a ＋h ＝19a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15h ＝215， ∴a ＝－15.3. 解：(1)p 与x 之间满足一次函数关系p ＝kx ＋b ，点(50，0)，(30，600)在图象上，∴⎩⎨⎧50k ＋b ＝030k ＋b ＝600，解得⎩⎨⎧k ＝－30b ＝1500， ∴p 与x 之间的函数表达式为p ＝－30x ＋1500(30≤x ≤50)； (2)设日销售价格为x 元/千克，日销售利润为w 元，依题意得w ＝(－30x ＋1500)(x －30)＝－30x 2＋2400x －45000(30≤x ≤50)， ∵a ＝－30<0，∴w 有最大值．当x ＝－24002×（－30）＝40时，w 最大＝3000(元)；故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大． (3)∵w ＝p (x －30－a )＝－30x 2＋(2400＋30a )x －(1500a ＋45000)，对称轴为x＝－2400＋30a2×（－30）＝40＋12a.①若a>10，当x＝45时w取最大值，即(45－30－a)×150＝2250－150a<2430(舍去)；②若a<10，当x＝40＋12a时w取最大值，将x＝40＋12a代入，得w＝30(14a2－10a＋100)，令w＝2430，则30(14a2－10a＋100)＝2430，解得a1＝2或a2＝38(舍去)．综上所述，a的值为2.。