断距问题-完整版
（完整版）工程地质简答题答案
（完整版）工程地质简答题答案《工程地质》作业及思考题（答案）一、绪论1、工程地质学的具体任务与研究方法。
答：工程地质学是把地质科学的理论应用于工程实践，目的是为了查明各类工程场区的地质条件，对场区及其有关的各种地质问题进行综合评价，分析、预测在工程建筑作用下，地质条件可能出现的变化和作用，选择最优场地，并提出解决不良地质问题的工程措施，为保证工程的合理设计、顺利施工及正常使用提供可靠的地质依据。
为了做好上述工作，必须经过地质调查、勘察、试验、观测、理论分析等手段，获得必要的地质资料，结合具体工程的要求进行研究、分析和判断，最终得出相应的结论。
2、工程地质条件和工程地质问题是什么？它们具体包括哪些因素和内容？答：工程地质条件，通常指影响工程建筑物的结构形式、施工方法及其稳定性的各种自然因素的总和。
这些自然条件包括地层、岩性、地质构造、水文地质、地貌、物理地质作用、天然建筑材料等。
工程地质问题，一般是指所研究地区的工程地质条件由于不能满足工程建筑的要求，在建筑物的稳定、经济或正常使用方面常常出现的问题。
工程地质问题是多样的，依据建筑物特点和地质条件，概括起来有二个方面：一是区域稳定问题；二是地基稳定问题。
公路工程常遇到的工程地质问题有边坡稳定和路基(桥基)稳定问题；隧道工程中遇到的主要问题有围岩稳定和突然涌水问题；还有天然建筑材料的储量和质量问题等。
二、地球的概况2、简述物理地质作用及其分类答：地质作用是指由自然动力引起地球（最主要是地幔和岩石圈）的物质组成、内部构造和地表形态等进行的破坏和建造作用。
按其能源的不同，地质作用可分为两种类型：内动力地质作用和外动力地质作用。
(1) 内动力地质作用主要包括构造运动、岩浆作用、变质作用及地震等。
(2) 外动力地质作用：表现方式有风化、剥蚀、搬运、沉积和成岩作用。
二、矿物与岩石1、矿物的物理性质有哪些？答：矿物主要的物理性质包括：外表形态、光学性质和力学性质。
最短路径问题例题与讲解
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
(完整版)勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
数学考点---最短距离问题(带答案)
数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。
高中数学选择性必修一：1.4.2 空间中的距离问题精选考点提升训练
第一章 1.4.2 空间中的距离问题A 级——基础过关练1．若O 为坐标原点，OA →＝(1,1，－2)，OB →＝(3,2,8)，OC →＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A ．1652B ．214C ．53D ．532【答案】D 【解析】由题意OP →＝12((OA →＋OB →()＝⎝⎛⎭⎫2，32，3，PC →＝OC →－OP →＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，－3，|PC →|＝4＋14＋9＝532. 2．(2021年太原月考)已知在正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A ．aB ．22a C ．33a D ．3a【答案】C 【解析】由题意得P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，建立空间直角坐标系如图所示，则P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )，于是P A →＝(a,0,0)，AB →＝(－a ，a,0)，AC →＝(－a,0，a )，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋az ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面ABC 的一个法向量n ＝(1,1,1)，所以点P 到平面ABC 的距离d ＝|P A →·n ||n |＝a 3＝33a .3．已知平面α过点A (1，－1,2)，和α垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到α的距离为( )A ．145B ．2C ．3D ．125【答案】A 【解析】因为P A →＝(－2，－6,2)，所以P A →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝－32＋42＝5.所以点P 到平面α的距离为|P A →·n ||n |＝145.4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB |＝3，则A (3,0,0)，B (3,3,0)，C (0,3,0)，D (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B 1(3,3,3)，C 1(0,3,3)，D 1(0,0,3)，所以BD 1→＝(－3，－3,3)，设P (x ，y ，z )，因为BP →＝13BD 1→＝(－1，－1,1)，所以DP →＝DB →＋(－1，－1,1)＝(2,2,1)．所以|P A |＝|PC |＝|PB 1|＝12＋22＋12＝6，|PD |＝|P A 1|＝|PC 1|＝22＋22＋12＝3，|PB |＝3，|PD 1|＝22＋22＋22＝2 3.故P 到各顶点的距离的不同取值有6，3，3，23，共4个．5．(2021年张掖质检)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝AA 1＝4，点D 是AA 1的中点，则点A 1到平面DBC 1的距离是________．【答案】2 【解析】以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝4，点D 是AA 1的中点，所以B (23，2,0)，C 1(0,4,4)，D (0,0,2)，A 1(0,0,4)，所以DB →＝(23，2，－2)，DC 1→＝(0,4,2)，DA 1→＝(0,0,2)，设平面BDC 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，所以⎩⎨⎧23x ＋2y －2z ＝0，4y ＋2z ＝0，取x ＝3，所以n ＝(3，－1,2)，所以点A 1到平面DBC 1的距离d ＝|n ·DA 1→||n |＝|0＋0＋4|3＋1＋4＝ 2.6．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于________．【答案】2 【解析】点P 到平面OAB 的距离d ＝|OP →·n ||n |＝|－1，3，2·2，－2，1|22＋－22＋12＝63＝2. 7．(2021年衡水模拟)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AC ＝AA 1＝22，AB ＝2，M 为BB 1的中点，则点B 1与平面ACM 的距离为__________．【答案】1 【解析】因为AB ＝2，AC ＝22，∠ABC ＝90°，所以BC ＝AC 2－AB 2＝8－4＝2，建立空间直角坐标系如图，则A (2,0,0)，B (0,0,0)，C (0,2,0)，B 1(0,0,22)，M (0，0，2)，所以AC →＝(－2,2,0)，AM →＝(－2,0，2)，B 1M →＝(0,0，－2()，设n ＝(x ，y ，z )是平面ACM 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AM →＝0，所以⎩⎨⎧ －2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝x ，z ＝2x ，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面ACM 的一个法向量n ＝(1,1，2)，所以B 1与平面ACM 的距离d ＝|B 1M →·n ||n |＝|0×1＋0×1＋－2×2|12＋12＋22＝1.8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝9，BC ＝63，N 为BC 的中点，则直线D 1C 1到平面A 1B 1N 的距离是__________．【答案】9 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设CD ＝a ，则D 1(0，0,9)，A 1(63，0,9)，B 1(63，a,9)，N (33，a,0)，所以D 1A 1→＝(63，0，0)，A 1B 1→＝(0，a,0)，B 1N →＝(－33，0，－9)．设平面A 1B 1N 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·B 1N →＝0，即⎩⎨⎧ay ＝0，－33x －9z ＝0，取x ＝3，则y ＝0，z ＝－3，所以平面A 1B 1N 的一个法向量为(3,0，－3)．所以点D 1到平面A 1B 1N 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝18323＝9.又因为D 1C 1∥平面A 1B 1N ，所以直线D 1C 1与平面A 1B 1N 的距离仍是9.9．如图，BD ⊥平面ABC ，AE ∥BD ，AB ＝BC ＝CA ＝BD ＝2AE ＝2，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥平面BCD ； (2)求点A 到平面CDE 的距离．(1)证明：如图，取BC 中点G 点，连接AG ，FG .因为F ，G 分别为DC ，BC 中点， 所以FG ∥BD 且FG ＝12BD ．又AE ∥BD 且AE ＝12BD ，所以AE ∥FG 且AE ＝FG ，所以四边形EFGA 为平行四边形，则EF ∥AG . 因为BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥AG . 因为G 为BC 中点，且AC ＝AB ， 所以AG ⊥BC ．又因为BD ∩BC ＝B ，所以AG ⊥平面BCD ． 所以EF ⊥平面BCD ．(2)解：如图，取AB 的中点O 和DE 的中点H ，分别以OC →，OB →，OH →所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则C (3，0,0)，D (0,1,2)，E (0，－1,1)，A (0，－1,0)，CD →＝(－3，1,2)，ED →＝(0,2,1)．设平面CDE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CD →＝－3x ＋y ＋2z ＝0，n 1·ED →＝2y ＋z ＝0，取n 1＝(3，－1,2)，AE →＝(0,0,1)， 点A 到平面CDE 的距离d ＝|AE →·n 1||n 1|＝22.10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝22，∠ABC ＝45°，E 是CD 边的中点，将△DAE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且PB ＝2 6.(1)求证：平面P AE ⊥平面ABCE ； (2)求点E 到平面P AB 的距离．(1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝22，∠ABC ＝45°， E 是CD 边的中点，将△DAE 沿AE 折起， 使点D 到达点P 的位置，且PB ＝26， ∴AE ＝222＋22－2×22×2×cos(45°＝2.∴AE 2＋ED 2＝AD 2.∴∠AED ＝90°.∴AE ⊥AB ． ∵AB 2＋P A 2＝PB 2，∴AB ⊥P A ． ∵AE ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AE .∵AB ⊂平面ABCE ，∴平面P AE ⊥平面ABCE .(2)解：∵AE ＝2，DE ＝2，P A ＝22， ∴P A 2＝AE 2＋PE 2.∴AE ⊥PE . ∵AB ⊥平面P AE ，AB ∥CE ，∴CE ⊥平面P AE .∴EA ，EC ，EP 两两垂直．以E 为原点，EA ，EC ，EP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则E (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,4,0)，P (0,0,2)，PE →＝(0,0，－2)，P A →＝(2,0，－2)，PB →＝(2,4，－2)． 设平面P AB 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝2x －2z ＝0，n ·PB →＝2x ＋4y －2z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,1)，∴点E 到平面P AB 的距离d ＝|PE →·n ||n |＝22＝ 2.B 级——能力提升练11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1C 1D 1上取一点E ，使∠EAB ＝∠EAD ＝60°，则线段AE 的长为( )A ．52B ．62C ．2D ．3【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0，0)，D (0,1,0)，设E (x ，y,1)，故cos ∠EAB ＝AE →·AB →|AE →||AB →|＝x x 2＋y 2＋1＝12，cos ∠EAD ＝AE →·AD →|AE →||AD →|＝y x 2＋y 2＋1＝12(.于是x ＝y ＝22，故|AE →(|＝12＋12＋1＝ 2. 12．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，|AD →|＝1，E 是棱PB 的中点．直线AB 与平面ECD 的距离为( )A ．1B ．33C ．83D ．2【答案】B 【解析】如图，以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则B (2，0,0)，P (0,0，2)，E ⎝⎛⎭⎫22，0，22.由|AD →|＝1，得D (0,1,0)，C (2，1,0)，从而DC →＝(2，0,0)，DE →＝⎝⎛⎭⎫22，－1，22，AE→＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·DC →＝0，n ·DE →＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，22x －y ＋22z ＝0，所以x ＝0，z ＝2y .可取y ＝1，则n ＝(0,1，2)．故点A 到平面ECD 的距离d ＝|AE →·n ||n |＝13＝33.又直线AB ∥平面ECD ，所以直线AB 到平面ECD 的距离为33. 13．如图，A 是正方形BCDE 外一点，AE ⊥平面BCDE ，且AE ＝CD ＝a ，G ，H 分别是BE ，ED 的中点，则GH 到平面ABD 的距离是________．【答案】36a【解析】如图，由题意知，GH∥平面ABD，以E为坐标原点，分别以EB，ED，EA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，G⎝⎛⎭⎫a2，0，0，H⎝⎛⎭⎫0，a2，0，A(0,0，a)，B(a,0,0)，D(0，a,0)．设面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AB→＝ax－az＝0，n·AD→＝ay－az＝0，所以x＝y＝z.所以可取n＝(1,1,1)．又GB→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，0，所以由公式得d＝|GB→·n||n|＝a23＝36a.又GH∥平面ABD，所以直线GH到平面ABD 的距离是36a.14．如图，正三棱锥S－ABC的高SO＝2，侧棱SC与底面成45°角，则点C到侧面SAB 的距离是________．【答案】655【解析】如图，建立空间直角坐标系，在Rt△SOC中，SO＝2，∠SCO＝45°，所以OC＝2，AB＝BC＝AC＝23，所以S(0,0,2)，A(－1，－3，0)，B(－1，3，0)，C(2，0,0)，所以SA→＝(－1，－3，－2)，AB→＝(0，23，0)，SC→＝(2,0，－2)．设平面SAB的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·SA→＝0，n·AB→＝0，得⎩⎨⎧－x－3y－2z＝0，23y＝0，取z＝1，则x＝－2，y＝0，所以平面SAB的一个法向量n＝(－2,0,1)，d＝|SC→·n||n|＝|－4－2|5＝655.所以点C到侧面SAB的距离为65 5.15．如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E，F分别为棱BC，AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求点E到平面ACD的距离．解：如图，分别以直线BC ，BD ，BA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)，C (4,0,0)，D (0,4,0)，E (2,0,0)，F (0,2,2)． (1)因为AB →＝(0,0，－4)，EF →＝(－2,2,2)， 所以|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33.所以异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33. (2)设平面ACD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 由AC →＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －4z ＝0，－4x ＋4y ＝0.所以x ＝y ＝z ，取n ＝(1,1,1)．所以E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233.C 级——探究创新练16．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线L 如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ＜π)后，边B 1C 1与曲线L 相交于点P .(1)求曲线L 的长度为________；(2)当θ＝π2时，则点C 1到平面APB 的距离为______．【答案】(1)2π (2)ππ2＋4π2＋4【解析】(1)曲线L 的长度为矩形的对角线长度．其中矩形的宽为圆柱的高，长为底面的半圆长，其中AD ＝π，底面的半圆长为12×π×2×1＝π.∴曲线L 的长为2π.(2)当θ＝π2时，建立如图所示的空间直角坐标系：则有A (0，－1,0)，B (0,1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，0，π2，C 1(－1,0，π)， 所以AB →＝(0,2,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，π2，OC 1→＝(－1,0，π)． 设平面ABP 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AP →＝0，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－x ＋y ＋π2z ＝0， 令z ＝2，得n ＝(π，0,2)， 所以点C 1到平面P AB 的距离为 d ＝|OC 1→·n ||n |＝ππ2＋4＝ππ2＋4π2＋4.17．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在棱BB 1上，EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，B 1C 1，A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面ABD ； (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则A 1(a,0,0)，B 1(0，0,0)，C 1(0,2,0)，F (0，1,0)，E (0,0,1)，A (a ，0,4)，B (0，0,4)，D (0，2,2)，G ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.所以B 1D →＝(0,2,2)，AB →＝(－a,0,0)，BD →＝(0,2，－2)． 所以B 1D →·AB →＝0＋0＋0＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0. 所以B 1D →⊥AB →，B 1D →⊥BD →， 所以B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ．又AB ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)证明：由(1)可得AB →＝(－a,0,0)，BD →＝(0,2，－2)，GF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0，EF →＝(0,1，－1)， 所以AB →＝2GF →，BD →＝2EF →，所以GF →∥AB →，EF →∥BD →. 所以GF ∥AB ，EF ∥BD ． 又GF ∩EF ＝F ，AB ∩BD ＝B ， 所以平面EGF ∥平面ABD ．(3)解：由(1)(2)知，B 1D →是平面EGF 和平面ABD 的法向量．因为平面EGF ∥平面ABD ，所以点E 到平面ABD 的距离就是两平面的距离，设为d . 因为EB →＝(0,0,3)，B 1D →＝(0,2,2)， 所以d ＝|B 1D →·EB →||B 1D →|＝622＋22＝322.即平面EGF 与平面ABD 的距离为322.。
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
第三讲 最短距离问题
第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。
例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。
〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB与对称轴的交点M即为所求。
二年级奥数--间隔问题练习
二年级奥数间隔问题、植树问题：植树问题是最典型的间隔问题。
植树问题，要牢记四要素：① 路线长② 间距（棵距）长③ 棵数④ 间隔数关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1 。
如图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。
全长、棵数、间距三者之间的关系是：棵数=间隔数+1 / 间隔数=棵数-1全长=间距×（棵数-1）间距=全长÷（棵数-1）② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等。
全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=间距×棵数；棵数=间隔数=全长÷间距；间距=全长÷棵数。
③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少 1 棵。
棵数=间隔数-1=全长÷间距-1 间距=全长÷（棵数+1）2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示棵数=间隔数=周长÷间距周长=株距×棵数（段数）株距=周长÷棵数（段数）为了更直观，我们用图示法来说明。
树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
明确植树方式，在题目标记，题目很少直接给出种树方式。
往往有陷阱比如说：门前、门口、电线杆都是不能种树类型一:非封闭线的两端都有“点”时，点数”（棵数）＝“段数”（间隔数）＋1例：1、一座桥长30 米，在它的两边每隔5 米有一盏灯，第一盏灯在桥的起点，最后一盏灯在桥的终点，桥上一共有几盏灯2、小明在马路的一边种树，每隔3米种一棵树，共种了11棵，问这段马路有多长3、晾晒1 块手帕需要2 个夹子，2 块手帕要3 个夹子，3 块手帕要4 个夹子，照这样的规律，晾晒8 块手帕需要几个夹子练习1、学校门前的一条路长42 米，从头到尾栽树，每7 米栽一棵，一共能栽几棵树2、在一条长15 米的水泥路上，从头开始每隔3 米摆一盆花，一共摆了多少盆花3、少先队员在路的两旁每隔5 米栽一棵树，起点和终点都栽了，一共栽了72 棵树，这条路长多少米4、在一段路边每隔50 米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10 根。
中考数学专题最短距离问题分析
最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段。
利用一次函数和二最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”大都应用这一模型。
）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大2（都应用这一模型。
B 几何模型：BAl A 条件：如图，是直线、同旁的两个定点．PB?PPAl，使问题：在直线的值最小．上确定一点l??P PAABllA于点方法：作点，连结关于直线交的对称点，?B?APA?PB的值最小（不必证明）．则?A模型应用：BABABCDE的边长为2，的中点，为（1）如图1，正方形BDPAC是，由正方形对称性可知，上一动点．连结A PEDACBDAC交对称．连结与于关于直线，则B PE?PB；的最小值是___________1图AO⊙BA、、C⊙O上，，点在的半径为2，（2）如图2CPOBAOC?60°OA?OB?是，上一动点，，2 图B P PC?PA的最小值；求．5DE?PE?PB的最小值是）解：（132PC?PA的最小值是（2）【典型例题分析】EABCDABCD△ABE内，在1.如图所示，正方形是等边三角形，点的面积为12，在正方形PEPPD?AC）的和最小，则这个最小值为（对角线上有一点，使 A D66223 D ．BA．．C3 ．PECB12x??x?2y?4y．，与y 轴交于点B2．如图，抛物线的顶点为AAB的坐标；(1)求点A、B；PA-PB≤AB(2)若点P是x轴上任意一点，求证：. 的坐标PA-PB最大时，求点P(3)当xO2)B(0，(1)令x=0，得y=2，∴解：11223???(x?y??x2)?x?244 ∵3)A(-2，∴；是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=ABP(2)证明：ⅰ.当点轴的交点时，在x轴上又异于AB的延长线与xⅱ.当点PAB. ＜、A、B构成的三角形中，PA-PB在点P yAB. ∴综合上述：PA-PB≤AP轴于点AB交x(3)作直线·B是所求的点由(2)可知：当PA-PB最大时，点POP⊥作AH⊥OP于H ∵BO APH∴∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠xPO HHPAH?OPBO BOP∽△AHP ∴∴△OP?32?OP2 即OB=2 AH=3、OH=2、，∴P(4，0) 由(1)可知：∴OP=411??210?CE?DE?PED△，y．．．的周长即是标为??22??B bkx?y?）．0，42，4.一次函数0），B（的图象与x、y轴分别交于点A（DP 1）求该函数的解析式；（上一动点，P为OBAB的中点分别为C、D，（2）O为坐标原点，设OA、x OAC的最小值，并求取得最小值时P点坐标．求PC＋PD 4．＝－2，b＝、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得kA解：(1)将点4题第4＋；y＝－2x∴解析式为：′．PC＝PC′′，连结PC′、DC，则的对称点为(2)设点C关于点OC ．′D的最小值是共线时，PC＋PDC、PD′＋≥C′D，即C′P、D＝∴PC＋PDPC2'2CDCC?2 ．，的坐标为(0＝2D′，在连结CDRt△DCC中，C′＝1)；易得点P)轴对称的△关于yAOB(亦可作Rt△????0?2，．C0，A?3y x CA，，B、轴交于已知：5.抛物线的对称轴为与两点，其中轴交于点与）求这条抛物线的函数表达式．1（．△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．2）已知在对称轴上存在一点P，使得（yyOA B xA B xCC5题图422?y?x?x2）此抛物线的解析式为（1解：33BPBCPC?PB△ACBCBC点周长最小，所以的长度一定，连结2）就是使、..因为最小（P1??xAAC的交点即为所求的点点，与对称轴.关于对称轴的对称点是ybkx?y?AC设直线的表达式为2E ???k?O AB，b?0?3k??x3?2?D．2?x?y??2?b?2?b??3?∴此直线的表达式为解得则P4??4C ?1?，??y??3??1??x3P点的坐标为把代入得∴24题图）（第??34，?1????32c?bx?y?ax??的坐标为的顶点PyB两点，交轴6.如图，抛物线，交x轴于A、?3)C(0，于点．y1）求抛物线的表达式．（．°180，得到四边形ADBC）把△2ABC绕AB的中点E旋转（D判断四边形ADBC的形状，并说明理由．的周长最小，FBD）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△（3xOA B若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．）由题意知（解：1CPyDxO BECP33323223??a?xy?x??b3333解得，∴抛物线的解析式为332203?x?x?xx33，，则，0））设点（2A（，0），B（21||OB3?3x?，x??1||OC OCB＝OB∣＝3．又∵tan∠∴∣OA∣＝1，∣解得12BD，BC＝AD 由旋转性质可知∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°AC＝是矩形ACB＝90°．∴四边形ADBC 又∵∠∴四边形ADBC是平行四边形CB?CNDB??FBFD最FBD的周长最小．即．假设存在一点至N，使F，使△BC（3）延长小．FD+FN＝．BN ∴FD+FB∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥1AC?FC2（即∴C为BN的中点，∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．又∵13??22 F（）的坐标为FC（0，，－3）∴点）F为AC的中点）．又∵A（－1，0，13??22 FBD的周长最小．，）∴存在这样的点F，使得△（3182x?x?y?POAMA,y3，为和的中点，若有一动点轴的交点为，抛物线）7.如图（155x EM，再沿直线运动到该抛物线对称轴上自轴上的某点（设为点点处出发，沿直线运动到）FPEAF的运动的总路程最短的点，求使点的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，点坐标，并求出这个最短路程的长。
数学求到四个点的最短距离的问题
数学求到四个点的最短距离的问题When trying to find the shortest distance between four points in mathematics, we are essentially looking for the length of the shortest path that connects these points. This problem is a fundamental concept in geometry and can be approached using various mathematical techniques and formulas. The distance between two points in a two-dimensional plane can be calculated using the distance formula, which is derived from the Pythagorean theorem. By extending this concept to four points, we can determine the minimum distance required to travel from one point to another.在数学中，当试图找到四个点之间的最短距离时，我们本质上是在寻找连接这些点的最短路径的长度。
这个问题是几何学中的一个基本概念，可以使用各种数学技术和公式来解决。
在二维平面上，两点之间的距离可以使用距离公式来计算，该公式源自勾股定理。
通过将这个概念扩展到四个点，我们可以确定从一个点到另一个点所需的最小距离。
One approach to finding the shortest distance between four points is to consider all possible permutations of the points and calculate the distances between consecutive points in each permutation. Byevaluating each permutation, we can determine the shortest path that minimizes the total distance traveled. This method can be computationally intensive for a large number of points, as the number of permutations grows significantly with the number of points involved. However, it provides an exhaustive way to find the shortest distance among the given points.寻找四个点之间最短距离的一种方法是考虑所有可能的点的排列，并计算每个排列中连续点之间的距离。
勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题1MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ． 解： ∵PA=2×（4+2）=12， ∴PQ=13． QA=5 故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
(完整word版)专题二-勾股定理-最短路径问题
2018-2019年度八年级上册数学BS
专题二最短路径问题
1. 如图, 长方体的长、宽、高分别为6cm, 4cm, 2cm, 现有已知蚂蚁从点A出发, 沿长方体表面到达B处, 则所走的最短路径长是cm.
2. 如图, 一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点, 那么它所爬行的最短路线的长是.
3. 如图, 一圆柱高8cm, 底面圆周长为12cm, 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食, 要爬行的最短路程是cm.
4. 如图, 一个三级台阶, 它的每一级的长宽和高分别为20、3.2, A和B是这个台阶两个相对的端点, A点有一只蚂蚁, 想到B点去吃可口的食物, 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是.
5. 如图, 要从A点（圆柱底面一点）环绕圆柱形侧面, 建梯子到A点正上方的B 点, 若圆柱底面周长为12m, 高AB为5m, 则所建梯子最短需m.
6. 如图, 圆柱形玻璃杯, 高为11cm, 底面周长为16cm, 在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A 处, 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为. （结果保留根号）。
奥数知识点间隔问题
间隔问题植树问题是最典型的间隔问题。
植树问题，要牢记四要素:①路线长②间距（棵距）长③棵数④间隔数关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。
1•不封闭路线①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1。
如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵。
全长、棵数、间距三者之间的关系是:棵数二间隔数+1 /间隔数二棵数-1全长二间距X （棵数-1）间距二全长一（棵数-1）A A < 4②如果题目中要求在路线的一端植树,则r、. -全长就为:全长二间距X棵数;棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等。
全长、棵数、株距之间的关系棵数二间隔数二全长+间距;间距二全长一棵数。
③如杲植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。
棵数二间隔数•仁全长十间距J间距二全长+ （棵数+1）例1、小明在马路的一边种树，每隔3米种一棵树，共种了11棵，问这段马路有多长?分析：两端种树：全长二间距X （棵数・1） =3X（11-1）例2、马路的一边挂了16盏红灯笼，每隔一盏红灯笼就有一盏问共多少菠萝灯笼？分析：两端种树：菠萝灯笼的数畳二红灯笼的间距数=16-1 = 15 （个）2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示。
棵数二间隔数二周长一间距局长二株距X数棵（段数）株距二局长+棵数（段数）例3、在一个圆形小花园内的四周植树8棵，每两棵树之间的间隔是3米，请问：这个小花园的周长一共有多长？分析：封闭的植树路线：周长=株距X数棵（段数）=3X8 = 24 （米）＞间隔问题在实际中的应用（一）锯木头问J锯木头问题是“两端无点”的植树问题，锯点相当于棵数。
锯木头的时间是花在次数上的，所以知道了次数，也就可以计算出锯木头需要花的时间。
例4、一根木头被锯成5段，需要锯几次?分析：两端无点：棵数二间隔数・1=5-1=4 （次）例5、有一根木头，要锯成5段需要8分钟，如果要锯成19段，需要多少分钟?分析：两端无点：棵数二间隔数-1=5-1 =4 （次）每锯一次的时间=8 — 4=2 （分钟）锯19段：锯的次数=19-1=18次,时间:18X2=36 （分钟）例6、一段木料，每3米锯一段，一共锯了7次，这段木料一共有多长？分析：两端无点：间隔数二棵数+1=7+1二8 （段）；长度：8X3=24 （米）（二）爬楼问；爬楼问题是“两端有点”的植树问题，楼层数当于棵数，间隔（段）数相当于爬了几层。
间隔问题——精选推荐
奥数经典——间隔问题【专题分析】：间隔问题是典型的奥数问题。
在实际生活中，这种问题应用非常广泛，诸如爬楼梯的层次问题，据木料的次数问题，敲时钟的时间问题，布置会场的摆设问题，植树的棵树问题，都属于间隔问题的范畴，也算是生活中的一种特例。
【解题关键】：解决这类的间隔问题，先要考虑间隔的差别，再选择适当的解题方法。
【每日一题】：周一：【精彩题例】：把一根粗细均匀的木料锯成6段，每锯一次需要3分钟，一共要用几分钟？【思路导航】：从题意知，木料被锯成6段，其实只锯了5次，即6－1＝5（次），每锯一次要用3分钟，要求一共需要几分钟，就是求5个3分钟是多少？因此一共要用：3×5＝15（分钟）。
【触类旁通】：1、20厘米长的铁丝，剪成4厘米长的小段，每剪一次用2分钟。
一共需要几分钟？2、把一根木料锯成5段，共用20分钟，每锯一次要用几分钟？周二：【精彩题例】：时钟6点钟时敲6下，10秒钟敲完，敲12下需要几秒钟？【思路导航】：由敲6下，可以得出6下中有5个间隔，而5个间隔用10秒钟敲完，由此可知每个间隔用了10÷（6－1）＝2（秒），敲12下的时候，12下之间有11个间隔，每个间隔用2秒，所以一共用了2×（12－1)＝22（秒）【触类旁通】：1、时钟12秒种敲7下，敲10下需要几秒钟？2、时钟3点钟敲3下需要4秒钟，那么11点钟敲11下需要几秒钟？周三：【精彩题例】：小明家住在7楼，他从底楼走到2楼用1分钟，那么他从底楼走到7楼用几分钟？【思路导航】：从底楼到2楼有一个楼层，从底楼到7楼应该由7－1＝6（层），走一层楼用1分钟，那么走6层就要用1×6＝6（分钟）。
【触类旁通】：1、小红家住5楼，她从底楼到三楼用2分钟，那么她从底楼到家要用几分钟？2、李阳家住在6楼，他从二楼到四楼要走40个台阶，那么他从一楼到六楼要走多少个台阶？周四：【精彩题例】：学校门前的一条路长42米，从头到尾都栽树，每7米栽一棵，一共要栽几棵树？【思路导航】：每隔7米栽一棵，42里面有6个7，42÷7＝6(个）。
二年级奥数 间隔问题练习
二年级奥数间隔问题一、植树问题：植树问题是最典型的间隔问题。
植树问题，要牢记四要素：①路线长②间距（棵距）长③棵数④间隔数关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1。
如图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。
全长、棵数、间距三者之间的关系是：棵数=间隔数+1 / 间隔数=棵数-1全长=间距×（棵数-1）间距=全长÷（棵数-1）②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等。
全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=间距×棵数；棵数=间隔数=全长÷间距；间距=全长÷棵数。
③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。
棵数=间隔数-1=全长÷间距-1间距=全长÷（棵数+1）2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示。
棵数=间隔数=周长÷间距周长=株距×棵数（段数）为了更直观，我们用图示法来说明。
树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
明确植树方式，在题目标记，题目很少直接给出种树方式。
往往有陷阱比如说：门前、门口、电线杆......都是不能种树类型一: 非封闭线的两端都有“点”时，“点数”（棵数）＝“段数”（间隔数）＋1例：1、一座桥长30米，在它的两边每隔5米有一盏灯，第一盏灯在桥的起点，最后一盏灯在桥的终点，桥上一共有几盏灯？2、小明在马路的一边种树，每隔3米种一棵树，共种了11棵，问这段马路有多长？3、晾晒1块手帕需要2个夹子，2块手帕要3个夹子，3块手帕要4个夹子，照这样的规律，晾晒8块手帕需要几个夹子?练习1、学校门前的一条路长42米，从头到尾栽树，每7米栽一棵，一共能栽几棵树？2、在一条长15米的水泥路上，从头开始每隔3米摆一盆花，一共摆了多少盆花？3、少先队员在路的两旁每隔5米栽一棵树，起点和终点都栽了，一共栽了72棵树，这条路长多少米？4、在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。
线段之和最短问题
线段之和最短问题一． 常见数学模型：1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
lA3. 如图，直线l 1和l 2的异侧两点A 、B ，别离在直线l 1、l 2上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。
4. 如图，直线l 1的同侧两点A 、B ，别离在直线l 1上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。
l 2l 1lAal 1A5.如图，点P 是∠MON 内的一点，别离在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。
6.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，别离在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
N为方便归类，将这种情形称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小NNN为方便归类，将以上两种情形，称为“垂线段最短型”练习题1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．B3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P别离是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．EC BA4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，那么EC＋ED的最小值为_______。
5．如图，C为线段BD上一动点，别离过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C知足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)依照(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发觉了蜜糖。