八升九数学衔接班第五讲：一元二次方程根与系数的关系讲义

小巨人学科教师辅导讲义

学生:刘钰斌 教师: 赵常巨 日期: 2015/7/20 家长签名：

课 题

一元二次方程根与系数的关系 教学目标 1. 一元二次方程的整理

2. 一元二次方程根与系数的关系

重点、难点

1. 一元二次方程根与系数的关系 教学内容

【温故知新】

1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)

2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法

3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为

4．根的判别式： 当b 2

-4ac ＞0时，方程有 实数根．

当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．

当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．

【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想

1．选用合适的方法解下列方程：

(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；

(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0

2.知一元二次方程

0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．

【新知理解】

一元二次方程根与系数的关系

【基础知识精讲】

1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a

+=-，a c x x =∙21 2．设21

x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根， 则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<

⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x 0,0)3(21<>x x 时，有021<=∙a

c x x 3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

212120x (x x )x x x -++= 【例题巧解点拨】

1．探索韦达定理

例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x ∙的值。

例2.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m 的取值范围；

（2）当x 12-x 22

=0时，求m 的值．

2．已知一个根，求另一个根.

例3.已知2+3是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。3．求根的代数式的值

例4：设x

1，x

2

是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

(1) x

13

x

2

4

+ x

1

4

x

2

3

；

2

1

1

2

)2(

x

x

x

x

+

4．求作新的二次方程

例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.

已知方程2x 2

－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分

别是：a+1、b+1

5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

例5：1、已知方程3x 2

+x－1=0，要使方程两根的平方和为

9

13

，那么常数项应改为。

2、α、β是关于x的方程4x 2

－4mx+m

2

+4m=0的两个实根，并且满足

100

9

1

)1

)(1

(=

-

-

-β

α，求m的值。

【同步练习】

1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2

111x x += ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。

4、关于x 的方程2x 2+(m 2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.

5、若x 1 =23-是二次方程x 2

+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x 2 = _____. 6、方程0322=+-m x x 的一个根为另一个根的2倍，则m= .

7、已知方程0)1(2=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .

8、已知方程01532

=+-x x 的两个根分别是21212()x x x x -=，,则 . 9、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且4

3x 1x 121-=+，则m= 。 10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍。

11、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，求k 的值。