人教版高中数学必修4全套教学课件

三、典型例题分析
例 1．(1)已知 sin 4 ，并且 是第二象限角，求 的其他三角函数值．
5
(2) 已知 sin 4 ，求 的其他三角函数值．
5
(3) 已知 sin m(|m|<1 且 m≠0)，求 的其他三角函数值．
【解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基 本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正 切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条 件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解 ），根据α角所在象限， 确定正负号的取舍.当给出的α的象限指定唯一，则此时一般有一 解；当角α的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定α的 象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符
4
4 3 12
例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半 径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值 是多少？
略解：S 1 lr 1 (100 2r)r r 2 50r (r 25)2 625.
22
r 25,l 50, l 2(rad )扇形面积最大值为625.
r
例7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R.
二、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：
S { | k 360 , k Z} （角度制）
{ | 2k , k Z} （弧度制）
例1、求在 0 到 360（ 0到2）范围内，与下列各角终边相同的角
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限， 有两解. (3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限 讨论.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方 关系的那个三角函数值符号，一般有四解.
高中数学必修四课件全册 （人教A版）
2021年2月9日
知识网络结构
任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
弧长公式与 扇形面积公式
正弦型函数的图象
y Asin x
同角公式
任意角的 三角函数
诱导公式
两角和与差的 三角函数
三角函数的 图形和性质
二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）
5 55
a0
sin 2cos 4 2 3 2
5 5 5
例6 若为第一象限角，利用三角函数线证明：
sin cos 1 若为其它象限角呢？
例7 求函数 y cos x tan x的定义域.
x
2k
2
x 2k ,
k
Z
4.三角函数的符号
sin
1y
0+ +
_o _
cos
2
2
则α角属于(C ) A.第－象限; B.第二象限;
2
C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角
号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）.
四、主要题型
例1：已知 是第三象限角，且cos 1 ，0求tan 。
3
解：为第三象限角
sin 1 cos2 1 ( 1)2 2 2
3
3
tan sin 2 2 cos
应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；
例2．已知sinα=m (|m|≤1) ，求tanα.
（1） 2
（2）
3
评析： 在解选择题或填空题时，
如求角所在象限，也可以不讨论k的
几种情况，如图所示利用图形来判断.
四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B r
Or A
B
2r
Or A
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
=k360º-90º(2k-2 )(kZ);
x 轴: =k180º(k)(kZ);
y
轴:
=k180º+90º(k+
2
)(kZ);
坐标轴:
=k90º(
k
2
)(kZ).
例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：
{ | k , k Z}
（2）、终边落在y轴上的角度集合：
{ | k , k Z}
提示：利用三角函数线和三角形面积与 扇形面积大小关系证明。
y P
O MA x
y
sin x cos x
Osin
x
x
cos
x
y
sin x cos x 0
sin x cos x 0 O
x
例5 已知角的终边经过点P(3a,4a) (a 0)
求sin 2cos值。
a 0 sin 2cos 4 2 3 2
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1 rad 180 57.30
1 rad
180
（4）弧长公式和扇形面积公式.
lr
S r2 1 r2 1l r
2
2
2
l
n 360
2
r
n
180
r
S
n 360
r2
n
360
r2
2、角度与弧度的互化
2 360
1弧度 (180) 57.30 5718,
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
x
O
x
O
x
2k k Z k k Z
k k Z
2
一、角的基本概念
1.几类特殊角的表示方法
(1)与 角终边相同的角的集合: { | =2k+, k∈Z}.
(2)象限角、象限界角(轴线角)
①象限角
第一象限角:
(2k<<2k+
2
,
kZ)
第二象限角:
(2k+
2
<<2k+,
kZ)
第三象限角:
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。
60 , R 10,l 10 (cm)
S弓
S扇
S
1 2
10
3
3
10
1 102 2
sin 60
35（0
3
3 ）（cm2 ) 2
（2） 扇形周长C=2R+l=2R+ R
11
s lr (c 2r)r
22
0r c 2
y
2.正弦线、余弦线、正切线
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
180
1
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度 0 30 45 60 90120 135 150 180270360
弧度 0
2 3 5
6 4 3 2346
3 2
2
例3．已知角和满足
求角–的范围.
3
4
解：
, 0 . , .
3
3
, 7
P
正弦线：有向线段MP
MO
Ax T
余弦线： 有向线段OM 正切线：有向线段AT
注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线
（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一 个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点， 正切线不存在。
正弦、余弦函数的图象
①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧
所在的弓形面积.
②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少
弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大 值?
指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制 两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易 记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度 换算为弧度.
2
（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：
{ | k , k Z}
42
典型例题
例1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?
各个象限的半角范围可以用下图记 忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围；
例1
设α角是第二象限且满足｜cosα｜ cosα，
tan
11
cot
sec
csc
同角三角函数基本关系注意事项:
（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们 都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2 =1 不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角 使等式两边都有意义的前提下成立. （2）同角三角函数的基本关系常用于：①已知 角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值； ②化简三角函数式；③证明三角恒等式
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
y
+
0x
_
+
-1
0
不存在
sin, csc cos,sec tan, cot
y, r
x, r
y, x
一、任意角的三角函数定义
sin y , cos x , tan y
r
r
x
csc r ,sec r , cot x
y
x
y
y P(x,y) 的终边 ● r
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
1 cot2 csc2
5.同角三角函数基本关系:
平方关系
倒数关系
商式关系
sin2 cos2 1 tan cot 1 tan sin
tan2 1 sFra Baidu bibliotekc2
cot2 1 csc2
sec cos 1 csc sin 1
cot
cos cos
sin
sin
cos
神奇的六边形
例4．设α为第四象限角，其终边上的一个点是
P(x， 5 )，且cosα＝
，求2sixnα和tanα. 4
指导：容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所
在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地， 在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限， 对最终结果作一个合理性的预测
o
x
r x2 y2
三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1
商关系：
tan sin cos
cot cos sin
平方关系：
sin 2 cos2 1
1 tan 2 sec2
O
P
10）函数y=lg sinx+
c
os
x
1 2
的定义域是
（A） （A）{x|2kπ<x≤2kπ+ （B）{x|2kπ≤x≤2kπ+
(33(k2k∈∈ZZ))}}
（C）{x|2kπ<x≤2kπ+π (k∈Z)}
（D）{x|2kπ<x≤2kπ+
3
(k∈Z)}
三角函数线的应用
一、三角式的证明
1、已知：角 为锐角，
（1）、 950 12
（2）、139
129 48
1
3
三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别
终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
2、象限角、象间角与区间角的区别 y
2k ,2k k Z
O
x
3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相
垂直的两条直线上”的一般表示式
y
y
y
O
试证：（1） sin tan
(2) 1 sin cos 2
2、已知：角 0 为锐角，
4 试证：sin 2 cos
2
4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形 圆心角是多少？扇形的的面积是多少？
答：圆心角为π-2，面积是1 ( 2)r2
2
5、用单位圆证明sian α < α <tanα.(00< α<900 T