高等数学课件D101二重积分概念
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《数学二重积分》课件
《数学二重积分》PPT课 件
数学二重积分的概念与应用
引言
本课件旨在介绍数学二重积分的定义、计算方法、应用和性质，以及换元法和计算技巧。 通过深入浅出的讲解和实例演示，帮助你掌握此重要数学概念。
数学二重积分的定义
二重积分是对二元函数在一个平面区域上的积分运算。 了解二重积分的概念和计算方法，为后续的应用和性质提计算
通过二重积分可以计算平面区域的面积，是几何学中重要的应用。
质量的计算
二重积分可以用于计算平面图形的质量分布，例如薄片的密度。
负荷的计算
在物理学和工程学中，利用二重积分可以计算平面上的负荷分布。
数学二重积分的性质
1 二重积分的线性性质
二重积分具有线性运算的性质，便于对复杂问题进行简化和分析。
2 二重积分的积分区域可加性
当将积分区域分割为多个子区域时，二重积分可以按子区域进行分别计算后相加。
数学二重积分的换元法
1 二重积分的变量替换
通过适当的变量替换，可以将复杂的二重积分转化为更简单的形式。
2 二重积分的雅可比行列式
雅可比行列式是换元法中的重要工具，用于计算变量替换后的积分。
数学二重积分的计算技巧
1 对称性的利
利用数学二重积分的对称性，可简化计算并提高效率。
数学二重积分的概念与应用
引言
本课件旨在介绍数学二重积分的定义、计算方法、应用和性质，以及换元法和计算技巧。 通过深入浅出的讲解和实例演示，帮助你掌握此重要数学概念。
数学二重积分的定义
二重积分是对二元函数在一个平面区域上的积分运算。 了解二重积分的概念和计算方法，为后续的应用和性质提计算
通过二重积分可以计算平面区域的面积，是几何学中重要的应用。
质量的计算
二重积分可以用于计算平面图形的质量分布，例如薄片的密度。
负荷的计算
在物理学和工程学中，利用二重积分可以计算平面上的负荷分布。
数学二重积分的性质
1 二重积分的线性性质
二重积分具有线性运算的性质，便于对复杂问题进行简化和分析。
2 二重积分的积分区域可加性
当将积分区域分割为多个子区域时，二重积分可以按子区域进行分别计算后相加。
数学二重积分的换元法
1 二重积分的变量替换
通过适当的变量替换，可以将复杂的二重积分转化为更简单的形式。
2 二重积分的雅可比行列式
雅可比行列式是换元法中的重要工具，用于计算变量替换后的积分。
数学二重积分的计算技巧
1 对称性的利
利用数学二重积分的对称性，可简化计算并提高效率。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分的概念和性质PPT讲稿
17
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
《二重积分的概念》课件
《二重积分的概念》
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
二重积分是数学中的重要概念之一，通过该概念可以解决很多实际问题。本 课件将带你深入了解二重积分的定义、计算方法以及应用领域。
简介
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和 作用。
为什么要学习二重积分？
探讨为什么二重积分在数学 和实际应用中如此重要。
二重积分的应用领域
展示二重积分在不同领域中 的广泛应用。来自 定义1 二重积分符号表示
解释二重积分的符号表示方法和含义。
2 矩形，极限与边界
介绍二重积分中矩形区域的边界和极限的概念。
3 二重积分的计算方法
讨论如何计算二重积分，包括积分的顺序和方法。
计算二重积分
1
二重积分的理解
阐述二重积分的几何意义和算术解释。
矩形区域的二重积分
2
教授计算矩形区域上二重积分的具体步
骤。
3
极坐标下的二重积分
介绍如何计算采用极坐标表示的二重积 分。
应用
二重积分在几何学中的 应用
展示二重积分如何用于计算 曲线长度、曲面面积和体积。
二重积分在物理学中的 应用
探讨二重积分在物体质量、 质心和力矩计算中的应用。
二重积分在其他领域中 的应用
介绍二重积分在金融、经济 学和生态学等领域中的实际 应用。
总结
1 二重积分的重要性和应用价值
总结二重积分在数学和实际应用中的重要性和价值。
2 未来研究方向
探讨二重积分领域的未来发展和研究方向。
3 最后思考
引导听众思考二重积分带给数学和实际问题的启示。
参考文献
提供相关论文和书籍的参考文献，供进一步学习和研究。
二重积分概念课件-PPT课件
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 对任给的 0, 总存在直线网 T, 使得 S ( T ) s ( T ) . P P
( 2 )
证 必要性 设有界图形 P 的面积为 I P . 由定义 1, 有 I I I . P 0, 由 I P 及 I P 的定义知道, 分别 P P 存在直线网 T 1 与 T 2 , 使得
P ; (ii) i 上的点都是 P 的外点, 即 i (iii) i 上含有 P 的边界点.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为 (这 ( T ) sP (T ), 则有 s P R
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
于是由(3)可得
P
sT () I, S () T I .
P
从而对直线网 T 有 S () TsT () . P P
S () TsT () . P P
2
P
P
2
充分性 设对任给的 0, 存在某直线网 T, 使得
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 如果存在一矩形 R , 使得 P R.
设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
二重积分的概念及性质PPT共46页
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
二重积分的概念及性质
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
谢谢你的阅读
高等数学课件D101二重积分概念
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f(x,y)d
d
D
d
[
2(y)
f(x,y)dx]dy
x1(y)
y
x2(y)
c 1(y)
c
d
d
y
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
o
x
b
a d x
2019/9/16
高等数学课件
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n
Ml i0m k 1(k,k)k
2019/9/16
高等数学课件
x
(k,k) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
(x2)2(y1)22
o1 2 3 x xy1
它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直 xy线 1相.切 而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而 (xy)2(xy)3
D ( x y )2 d D ( x y )3 d
D (sixn 2cox2s)d 2D six n2 (4)d
三、二重积分的性质
1.D kf(x,y)dkD f(x,y)d ( k 为常数)
2 .D [f(x,y)g(x,y)d ]
D f(x ,y )d D g (x ,y )d
3 .D f ( x ,y ) d D 1 f ( x ,y ) d D 2 f( x ,y ) d
第一部分二重积分的概念和质教学课件
D 2
其中DБайду номын сангаасD1+D2
性质4 1ddS
D
D
S表示区域D的面积
性质5 若在区域D上有 f(x,y)g(x,y),则有
f(x,y)dg(x,y)d
D
D
性质6 mS f(x,y)dMS
D
其中m，M分别为被积函数 f (x, y) 在D上的最小和
最大值，S为D的面积。 性质7（积分中值定理） 设函数 f (x, y) 在有界
D
去xOy面下方的曲顶柱体体积之和。
三 二重积分的性质
性质1 k f(x,y)dkf(x,y)d
D
D
性质2 [f ( x ,y ) g ( x ,y )d ] f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
性质3
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
D
D 1
(xi , yi )
D
ⅱ 近似 当 i 很小时，
O
可近似地将其看作质量均匀分
y
布，因而可用质量均匀分布的
值作其质量的近似值。于是在 i 上任取一点 (xi , yi ) ，
可得质量 m i 的近似值：
m i (xi,yi)i
ⅲ 求和 将所得的n个数值相加，就得到这 个平面薄板质量的近似值：
n
设质量非均匀分布的平面薄片占有xOy平面上 的有界闭区域，在点(x,y)处的面密度为 (x,y) ， 它是D上的连续正值函数，求此薄片质量。
我们仍可用第一个问题的处理方法进行计算。
ⅰ 分割 将区域D任意划分
为n个小区域，用 i 表示第 i
个小区域的面积，这样，平面
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积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : xy
0x1 y 1
0y1
上二重积分存在 ; 但f(x,y) 1 在D 上 xy
D o 1x
二重积分不存在 .
2020/6/12
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三、二重积分的性质
1.D kf(x,y)dkD f(x,y)d ( k 为常数)
2 .D [f(x,y)g(x,y)d ]
D f(x ,y )d D g (x ,y )d
3 .D f ( x ,y ) d D 1 f ( x ,y ) d D 2 f( x ,y ) d
(DD 1D 2,D 1,D 2无公)共内点
4 .若 D 上 在 f(x ,y ) 1 , 为D 的面积, 则
x
2020/6/12
k 1
k1高等数学课件
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令 m a ( x k) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
f(k,k)
下面继续物理的引例
第十章 重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节
第十章
二重积分的定义与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算
2020/6/12
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一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面 zf(x,y)0
zf(x,y)
D
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
2020/6/12
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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
D
D
则有
m D f(x,y)dM
2020/6/12
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7.(二重积分的中值定理) 设函f数 (x,y)在闭区域D上
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点 (,)D,使
D f(x ,y )d f(,)
证: 由性质6 可知,
m 1D f(x,y)dM
由连续函数介值定理, 至少有一点 (,)D使
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
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二、二重积分的定义及可积性
定义: 设f(x,y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 k(k 1 ,2 , ,n ),
f(,) 1D f(x,y)d
因此
D f(x,y)df(,)
2020/6/12
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例1. 比较下列积分的大小:
D (x y )2d , D (x y )3d
1 , 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
zf(x,y)
f(k,k)
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
(k ,k ) k
在每个 k 中任取一点 (k,k),则 y
V k f ( k ,k ) k( k 1 , 2 , , n )
D
3)“近似和”
n
n
V Vk f(k,k)k
如果 f (x,y)在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时 k xk yk,因此面积元素 d 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f(x,y)dxdy
引例1中曲顶柱体体积:
VDf(x,y)dD f(x,y)dxdy
引例2中平面薄板的质量:
MD (x,y)dD (x,y)dxdy
(k ,k ) k
2020/6/12
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为(x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则
M
y
若 (x,y)非常数 , 仍可用
D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
解决.
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 ,2 , ,n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2020/6/12
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2)“常代变”
在每个 k中任取一点 (k,k),则第 k 小块的质量 M k ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )
2020/6/12
D 1dD d
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5. 若在D上 f (x,y)(x,y),则
Df (x, y)d D(x,y)d
特别, 由于 f( x ,y ) f( x ,y ) f( x ,y )
Df(x,y)d Df(x,y)d
6. 设 M m f( x a ,y )m x , m f( x , iy ) n D,的面积为 ,
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 f (x,y)在有界闭区域 D上连续, 则
f (x,y)在D上可积.
定理2. 若有界函数 f (x,y)在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 则f(x,y)在D上可
3)“近似和”
y
n
n
M Mk(k,k)k
k1
k1
4)“取极限”
令 1 m k n a ( x k)
n
Ml i0m k 1(k,k)k
2020/6/12
高等数学课件
x
(k,k) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
任取一点 (k,k) k,若存在一个常数 I , 使
Il i0m kn1f(k,k)k记作 Df(x,y)d
则称 f(x,y)可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
Df(x,y)d x, y称为积分变量
积分域
2020/6/12
被积函数 面积元素
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