【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题

1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝cos θ，

y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)

且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．

2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正

半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2

θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；

(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．

3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．

(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；

(2)若|PQ|2

=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.

4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝3cos α，

y ＝3sin α

(α为参数)，以坐标原点O 为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；

(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．

5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝tcos α，y ＝sin α

(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.

(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；

(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为6

2

＋2，求t 的值．

6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝3＋2cos α，

y ＝2＋2sin α

(α为参数)，直线

C 2的方程为y=

3

3

x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．

7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝2cos α，y ＝sin α

(α为参数)．以直角坐标系的

原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.

直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；

(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．

8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝t ，

y ＝2t

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴

的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2

＋2ρsin θ-3=0.

(1)求直线l 的极坐标方程；

(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.

9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=24

4cos θ＋3sin θ

，在以极点为原点O ，极轴为x 轴

正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；

(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨

⎧

x′＝22x ，

y′＝2y

后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线

C 3上的动点，求|MN|的最小值．

10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝a ＋2t ，

y ＝1＋2t

(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程

为ρcos 2

θ＋4cos θ-ρ=0．

(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．

答案解析

1.解：

(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2

=1.

当α=π

2时，l 与⊙O 交于两点．

当α≠π

2

时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.

l 与⊙O 交于两点需满足

2

1＋k

2

<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4，π2.

综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

，3π4.

(2)l 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝tcos α，

y ＝－2＋tsin α

⎝

⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，

则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2

-22tsin α＋1=0.

于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.

又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨

⎧

x ＝t P cos α，

y ＝－2＋t P sin α，

所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝2

2

sin 2α，y ＝－22－2

2cos 2α⎝

⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.

2.解：

(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－2＋tcos α，

y ＝－4＋tsin α

(t 为参数)，

ρsin 2

θ=2cos θ，即ρ2

sin 2

θ=2ρcos θ，

将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2

=2x.

(2)把直线l 的参数方程代入y 2

=2x ，

得t 2sin 2

α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，

由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2

α，t 1t 2=20

sin 2α

， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20

sin 2α

=40，

得α=π4或α=3π4

.

又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2

α>0，所以α=π4

.