(完整word版)一元线性回归模型与多元线性回归模型对比

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(整理)第四章多元线性回归模型

第四章多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1）定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析

第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。

首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。

总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。

本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。

同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。

本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。

统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。

后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。

本章还有三方面的内容不容忽视。

其一，若干基本假设。

样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。

其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。

Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。

其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。

二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。

生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。

计量经济学复习题

一、问答题1、什么是计量经济学？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。

2、计量经济学的研究的对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？答：计量经济学的研究对象是经济现象，是研究经济现象中的具体数量规律（或者说，计量经济学是利用数学方法，根据统计测定的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进行研究）。

计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用，即应用计量经济学；无论是理论计量经济学还是应用计量经济学，都包括理论、方法和数据三种要素。

计量经济学模型研究的经济关系有两个基本特征：一是随机关系；二是因果关系。

3、模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。

在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。

4、计量经济模型中为何要包括随机误差项？简述随机误差项形成的原因。

答：由于客观经济现象的复杂性，以至于人们目前仍难以完全地透彻地了解它的全貌。

对于某一种经济现象而言，往往受到很多因素的影响，而人们在认识这种经济现象的时候，只能从影响它的很多因素中选择一种或若干种来说明。

这样就会有许多因素未被选上，这些未被选上的因素必然也会影响所研究的经济现象。

因此，由被选因素构成的数学模型与由全部因素构成的数学模型去描述同一经济现象，必然会有出入。

回归分析模型课件

• 由一个（或一组）非随机变量来估计或预测某一个随机变量的观测值时，所建立的数学模型和所进行的统计分析，称为回归分析。如果这个模型是线性的，就称为线性回归分析。研究两个变量间的相关关系的回归分析，称为一元回归分析。
4.1.一元线性回归模型
在一元回归分析里，我们要考察的是随机变
量 Y 与非随机变量 x 之间的相互关系。虽然x
例4.2 某厂生产的一种商品的销售量y与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关，其销售记录见下表。试建立y与x1，x2的关系式，并对得到的模型和系数进行检验。（多元线性回归）
销售量与价格统计表
序号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x1 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150
2)ˆe
i1
1
n
n
x2 ] (xi x )2
i1
参数 1的置信水平为 1 的置信区间为
[ˆ1 t1 2
(n 2)ˆe
n
, ˆ1 t1
(xi x )2
2
i 1
(n 2)ˆe ]
n
(xi x )2
i 1
参数 2的置信水平为 1 的置信区间为
n
n
( yi yˆi )2
( yi yˆi )2
kk
[ yˆ ˆ
1
i0
j0
cij
xi
x
j
t1 2
(n
k
1),
kk
yˆ ˆ
1
i0
j
0
cij
xi
x
j
t1 2
(n
k

一元回归线性模型

一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。

一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。

目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。

对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。

梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。

一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。

《统计预测与决策》word版

预测：根据过去和现在估计未来，预测未来统计预测：用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测，并计算概率置信区间统计预测三要素：实际资料是依据，经济理论是基础，数学模型是手段影响预测的因素：费用的高低，预测方法的难易程度，预测结果的精确程度按预测方法分类：（1）定性预测法：通过预测者所掌握的信息结合各种因素对事物的发展前景做出判断，并将判断定量化（2）回归预测法：研究变量与变量之间相互关系的数理统计方法，从一个值或几个自变量的值去预测因变量的值（3）时间序列预测法：考虑变量随时间变化发展规律并用该变量以往的统计资料简历数学模型做外推按预测时间分类：近期预测，短期预测，中期预测，长期预测预测方法的选择：考虑合适性、费用和精确性各种预测方法特点：（1）定性预测法：短期、中期、长期，适用于对缺乏历史统计资料或趋势面临转折的事件进行预测，需做大量的调查研究工作（2）一元线性回归预测法：短期、中期，适用于自变量与因变量两个变量之间存在着线性关系，需为两个变量收集历史数据（3）多元线性回归预测法：短期、中期，适用于因变量与两个或两个以上自变量之间存在着线性关系，需为所有变量收集历史数据（4）非线性回归预测法：短期、中期，适用于因变量与一个或多个自变量之间存在某种非线性关系，必须收集历史数据，并用几个非线性模型实验（5）趋势外推法：中期、长期，适用于当被预测项目的有关变量用时间表示时，用非线性回归，只需要因变量的历史数据，但用趋势图试探是费时统计预测研究步骤：（1）确定预测目的（2）搜集和审核资料（3）选择预测模型和方法（4）分析预测误差、改进预测模型（5）提出预测报告定性预测的优缺点：优点在于注重事物发展在性质方面的预测，具有较大的灵活性，易于充分发挥人的主观能动作用，且简单迅速，省时、省费用；缺点在于易受主观因素影响，比较注重人的经验和主观判断能力，从而易受人的知识、经验和能力的多少大小的束缚和限制，尤其缺乏对事物发展做数量上的精确描述定量预测的优缺点：优点在于注重事物发展在数量方面的分析，重视对事物发展变化的程度做数量上的描述，更多的依据历史统计资料，较少受主观因素的影响，可以利用电子计算机对统计发放和数学方法做大量计算处理；缺点在于比较机械，不以灵活掌握，对信息资料的质量和数量要求较高，且不易处理有较大波动的信息资料，更难以预测事物质的变化德尔菲法的特点：（1）反馈性：表现在多次作业、反复、综合、整理、归纳和修正，但不是漫无边际，而是有组织有步骤的进行（2）匿名性：免除心理干扰影响（3）统计性：对各位专家的估计或预测数进行统计，然后采用平均数或中位数统计出量化结果德尔菲法的优缺点：优点在于（1）加快预测速度，节约预测费用（2）获得各种不同但有价值的观点和意见（3）适用于长期预测和对新产品的预测，在历史资料不足或不可测因素较多时尤为适用缺点在于（1）对于分地区的顾客群或产品的预测可能不可靠（2）责任比较分散（3）专家的意见有时可能不完整或不切合实际厂长（经理）评判意见法优缺点：优点在于：（1）迅速、及时和经济（2）发挥集体智慧，是预测结果比较准确可靠（3）不需要大量统计资料，更适用于不可控因素较多的产品进行销售预测（4）市场发生变化时可以立即修正缺点在于：（1）结果用一首主观因素影响（2）对市场变化、顾客愿望等问题了解不细，预测结果一般化估计量要求：好的估计量满足一致性、无偏性和有效性.定性分析注意事项：在运用时注意它的作用与范围，超过这个范围去推断或预测，可能会得到错误结论.直线回归适用范围：只适宜做中、短期预测，不宜于做长期预测关于对数据资料的要求问题：（1）关于数据资料的准确性问题（2）关于数据资料的可比性和独立性问题（3）关于社会经济现象基本稳定的问题正确应用回归分析方法注意事项：（1）用定性分析判断现象之间的依存关系（2）避免回归预测的任意外推（3）应用合适的数据资料长期趋势因素（T）：反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势，也可以表现为类似指数趋势或其它曲线趋势的形式。

数学建模——回归分析模型 ppt课件

有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述几类回归分析模型比较一元线性回归模型多元线性回归模型注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题等。几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件通常可决系数大于0.80即判定通过检验。模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下：其中 X , Y ,

[整理版]第三章多元线性回归模型

第三章多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型2、调整的决定系数2R3、偏回归系数4、正规方程组5、方程显著性检验二、单项选择题1、在模型0112233t t t t t Y X X X ββββμ=++++的回归分析结果中，有462.58F =，0.000000F p =的值，则表明（）A 、解释变量2t X 对t Y 的影响不显著B 、解释变量1t X 对t Y 的影响显著C 、模型所描述的变量之间的线性关系总体上显著D 、解释变量2t X 和1t X 对t Y 的影响显著2、设k 为回归模型中的实解释变量的个数，n 为样本容量。

则对回归模型进行总体显著性检验(F 检验)时构造的F 统计量为（）A 、(1)ESS k F RSS n k =-- B 、(1)()ESS k F RSS n k -=-C 、ESS F RSS =D 、1RSSF TSS=-3、已知二元线性回归模型估计的残差平方和为2800ie=∑，估计用样本容量为23n =，则随机误差项t μ的方差的OLS 估计值为（）A 、33.33B 、 40C 、 38.09D 、36.364、在多元回归中，调整后的决定系数2R 与决定系数2R 的关系为（）A 、22R R <B 、22R R >C 、22R R =D 、2R 与2R 的关系不能确定5、下面说法正确的有（）A 、时间序列数据和横截面数据没有差异B 、对回归模型的总体显著性检验没有必要C 、总体回归方程与样本回归方程是有区别的D 、决定系数2R 不可以用于衡量拟合优度6、根据调整的可决系数2R 与F 统计量的关系可知，当21R =时，有（）A 、F=0B 、F=－1C 、F →+∞D 、F=-∞7、线性回归模型的参数估计量ˆβ是随机向量Y 的函数，即1ˆ()X X X Y β-''=。

ˆβ是（）A 、随机向量B 、非随机向量C 、确定性向量D 、常量8、下面哪一表述是正确的（）A 、线性回归模型01i i i Y X ββμ=++的零均值假设是指110ni i n μ==∑B 、对模型01122i i i i Y X X βββμ=+++进行方程显著性检验（即F 检验），检验的零假设是0012:0H βββ===C 、相关系数较大意味着两个变量存在较强的因果关系D 、当随机误差项的方差估计量等于零时，说明被解释变量与解释变量之间为函数关系9、对于01122ˆˆˆˆi i i k ki iY X X X e ββββ=+++++…，如果原模型满足线性模型的基本假设则在零假设0j β=下，统计量ˆˆ()j j s ββ（其中ˆ()js β是j β的标准误差）服从（）A 、()t n k -B 、(1)t n k --C 、(1,)F k n k --D 、(,1)F k n k --10、下列说法中正确的是（）A 、如果模型的R 2很高，我们可以认为此模型的质量较好B 、如果模型的R 2很低，我们可以认为此模型的质量较差C 、如果某一参数不能通过显著性检验，我们应该剔除该解释变量D 、如果某一参数不能通过显著性检验，我们不应该随便剔除该解释变量三、多项选择题1、残差平方和是指（）A 、随机因素影响所引起的被解释变量的变差B 、解释变量变动所引起的被解释变量的变差C 、被解释变量的变差中，回归方程不能作出解释的部分D 、被解释变量的总离差平方和回归平方之差E 、被解释变量的实际值与拟合值的离差平方和2、回归平方和是指（）A 、被解释变量的观测值i Y 与其均值Y 的离差平方和B 、被解释变量的回归值ˆiY 与其均值Y 的离差平方和C 、被解释变量的总体平方和2i Y ∑与残差平方和2i e ∑之差D 、解释变量变动所引起的被解释变量的离差的大小E 、随机因素影响所引起的被解释变量的离差大小3、对模型满足所有假定条件的模型01122i i i i Y X X βββμ=+++进行总体显著性检验，如果检验结果总体线性关系显著，则很可能出现（）A 、120ββ==B 、120,0ββ≠=C 、120,0ββ≠≠D 、120,0ββ=≠E 、120,0ββ==4、设k 为回归模型中的参数个数（包含截距项）则总体线性回归模型进行显著性检验时所用的F 统计量可以表示为（）A 、22ˆ()/(1)/i i iY Y n k e k---∑∑ B 、22ˆ()//(1)iiiY Y k e n k ---∑∑C 、22/(1)/(1)R kR n k --- D 、22(1)/(1)/R n k R k ---E 、22/(1)(1)/R n k R k---5、在多元回归分析中，调整的可决系数2R 与可决系数2R 之间（）A 、22R R <B 、22R R ≥C 、2R 只可能大于零D 、2R 可能为负值E 、2R 不可能为负值四、判断题1、满足基本假设条件下，样本容量略大于解释变量个数时，可以得到各参数的唯一确定的估计值，但参数估计结果的可靠性得不到保证（）2、在多元线性回归中，t 检验和F 检验缺一不可。

线性回归模型的经典假定及检验修正

线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。

回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。

为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。

假设1：回归模型是正确设定的。

模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。

假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。

这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。

假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。

对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。

假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。

该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。

一元线性回归分析和多元线性回归分析

一元线性回归分析和多元线性回归分析一元线性回归分析1.简单介绍当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。

如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。

在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。

这里讨论线性回归分析法。

2.回归分析法的基本步骤回归分析法的基本步骤如下：（1）搜集数据。

根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。

由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。

（2）设定回归方程。

以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。

设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。

（3）确定回归系数。

将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。

这一步的工作量较大。

（4）进行相关性检验。

相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。

一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。

（5）进行预测，并确定置信区间。

通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。

因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。

3. 一元线性回归分析的数学模型用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即i i i x a a y ∆++=10 （i =1，2，…，n ）（2-1）式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是观测点的个数，i ∆为对应于y 的第i 观测值i y 的随机误差。

一元线性回归分析与多元线性回归分析比较

58.82333
(11) y y
n
41.08739(12) S .D . 6.573289
(y y )2 n 1
Schwarz criterion
6.694516
Hannan-Quinn criter.
6.528407
Durbin-Watson stat
1.010820 TSS (y y )2 (n 1) (S .D .)2
）
j
至少一个x j 对因变量
有影响。 P值
p
方程的显著性检验
一元线性回归分析
相关系数 r Lxy Lxx Lyy
拟合优度
TSS=ESS+RSS
R 2
ESS TSS
(yˆt y )2 (yt y )2
1
RSS TSS
ESS
F检验 F RSS 1
(n 2)
多元线性回归分析拟合优度 TSS=ESS+RSS
n
n
t2
yt (ˆ0 ˆ1 x1t ˆ2 x2t ˆk xkt ) 2
t 1
t 1
β参数最小二乘估计量的统计性质
一元线性回归分析（1）线性性（2）无偏性（3）有效性
多元线性回归分析
（1）线性
（2）无偏性
（3）最小方差性（4）参数的最小二乘估计量服从正态分布
2 的估计量
一元线性回归分析
输出结果的变量关系
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/25/11 Time: 21:03 Sample: 1 12 Included observations: 12
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一元线性回归与多元线性回归的比较与选择

一元线性回归与多元线性回归的比较与选择在统计学和机器学习领域，线性回归是一种常见且常用的预测分析方法。

它用于建立输入变量（自变量）和输出变量（因变量）之间的线性关系模型，用于预测和解释变量之间的关系。

在线性回归中，一元线性回归和多元线性回归是两种常见的模型。

本文将比较一元线性回归和多元线性回归，并介绍在不同情况下选择合适的模型的方法。

一元线性回归适用于只有一个自变量的情况。

它建立了一个简便的线性关系模型，通过最小化实际值和预测值之间的误差来拟合数据。

一元线性回归的模型可以表示为Y = β₀ + β₁X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β₀和β₁是回归系数，ε是误差项。

一元线性回归方法简单易用，计算速度快，而且可以提供对自变量的解释性。

然而，当存在多个自变量时，一元线性回归无法捕捉到这些自变量对因变量的共同影响。

与之相比，多元线性回归适用于有多个自变量的情况。

它建立了一个多维的线性关系模型，通过最小化实际值和预测值之间的误差来拟合数据。

多元线性回归的模型可以表示为Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε，其中Y是因变量，X₁、X₂、...、Xₚ是自变量，β₀、β₁、β₂、...、βₚ是回归系数，ε是误差项。

相较于一元线性回归，多元线性回归可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，能够更准确地建模和预测。

在选择一元线性回归或多元线性回归模型时，需要考虑以下几个因素。

需要注意因变量和自变量之间是否存在线性关系。

如果变量之间存在非线性关系，使用线性回归模型可能会导致模型不准确。

需要评估自变量之间是否存在共线性。

共线性指的是两个或多个自变量之间存在高度相关性，这会导致回归系数的估计不准确。

如果存在共线性，应该考虑使用多元线性回归来解决这个问题。

还需要考虑自变量的数量。

如果自变量数量较少，且它们之间相互独立，一元线性回归模型可能更适用。

然而，如果自变量数量较多，或者它们之间存在复杂的相互关系，多元线性回归模型更为适合。

(完整word版)计量经济学辨析题

1、在经济计量分析中，模型参数一旦被估计出来，就可将估计模型直接运用于实际的计量经济分析。

错。

参数经过估计，建立了样本回归模型，还需要对模型进行检验，包括经济意义检验、统计推断检验、计量经济学检验和模型预测检验。

2、计量经济学研究经济生活中精确的函数关系。

错。

计量经济学所研究的经济现象并不都呈现为精确的函数关系，计量经济模型中包含了随机误差项，这样，模型中的一些变量和参数的估计量都成为随机变量，变量之间的关系也具有随机性。

3、计量经济模型一定要与已有的经济理论一致。

错。

计量经济模型通常要和已有的经济理论相符。

但是，如果经过反复研究，证明计量经济模型和估计的参数完全正确，而是经济理论本身不完备，则应对已有的经济理论重新审视，提出修正经济理论的建议。

4、建立计量经济模型成功的三要素是理论、方法和数据。

对。

正确的理论是建立模型的关键，而只有用合适的方法建立模型，用与事实较接近的数据对模型进行分析，才能验证理论的正确性，才能对经济现象进行预测。

这三个方面缺一不可。

5．即使经典线性回归模型（CLRM ）中的干扰项不服从正态分布的，OLS 估计量仍然是无偏的。

正确。

∑=+=222)()ˆ(βββi i u K E E ，该表达式成立与否与正态性无关。

6、随机扰动项的方差与随机扰动项方差的无偏估计没有区别。

错。

随机扰动项的方差反映总体的波动情况，对一个特定的总体而言，是一个确定的值。

在最小二乘估计中，由于总体方差在大多数情况下并不知道，所以用样本数据去估计)(ˆ:222k n e i -=∑σσ：。

其中n 为样本数，k 为待估参数的个数。

2ˆσ是2σ线性无偏估计，为一个随机变量。

7、在计量经济模型中，随机扰动项与残差项无区别。

错。

它们均为随机项，但随机误差项表示总体模型的误差，残差项表示样本模型的误差；另外，残差=随机误差项+参数估计误差。

8、多元线性回归模型是指对于变量而言是线性的。

错误。

多元线性回归模型是指对于各个回归参数而言是线性的。

一元线性回归模型与多元线性回归模型对比

拟合优度检验
总离差平方和的分解
TSS=ESS+RSS
，越接近于1，拟合优度越高。
总离差平方和的分解
TSS=ESS+RSS
，（即总平方和中回归平方和的比例）
对于同一个模型，越接近于1，拟合优度越高。
（调整的思路是残差平方和RSS和总平方和TSS各自除以它们的自由度）
为什么要对进行调整?解释变量个数越多，它们对Y所能解释的部分越大（即回归平方和部分越大），残差平方和部分越小，越高，由增加解释变量引起的的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，就不是一个合适的指标，必须加以调整。
变量的显著性检验目Fra bibliotek：对模型中被解释变量对每一个解释变量之间的线性关系是否成立作出判断，或者说考察所选择的解释变量对被解释变量是否有显著的线性影响。针对某解释变量，
原假设: 备择假设：
最常用的检验方法: t检验
构造统计量:
判断步骤：①计算t统计量的值
②给定显著性水平，查t分布的临界值表获得
)
③比较t值与的值，
(普通最小二乘估计的离差形式)
随机干扰项的方差
最大似然估计(ML)
矩估计（MM）
参数估计值估计结果与OLS方法一致，但随机干扰项的方差的估计量与OLS不同
参数估计值估计结果与OLS方法一致，但随机干扰项的方差的估计量
参数估计量的性质
线性性、无偏性、有效性
线性性、无偏性、有效性
参数估计量的概率分布
---
随机误差项与解释变量不相关。
假设:6：
正态性假设。随机项服从正态分布。
正态性假设。随机项服从正态分布。
参数估计
一元线性回归模型

(完整word版)一元线性回归模型习题及答案

一元线性回归模型一、单项选择题1、变量之间的关系可以分为两大类__________。

AA 函数关系与相关关系B 线性相关关系和非线性相关关系C 正相关关系和负相关关系D 简单相关关系和复杂相关关系 2、相关关系是指__________。

DA 变量间的非独立关系B 变量间的因果关系C 变量间的函数关系D 变量间不确定性的依存关系 3、进行相关分析时的两个变量__________。

AA 都是随机变量B 都不是随机变量C 一个是随机变量，一个不是随机变量D 随机的或非随机都可以 4、表示x 和y 之间真实线性关系的是__________。

CA 01ˆˆˆt tY X ββ=+ B 01()t t E Y X ββ=+ C 01t t t Y X u ββ=++ D 01t t Y X ββ=+5、参数β的估计量ˆβ具备有效性是指__________。

B A ˆvar ()=0βB ˆvar ()β为最小C ˆ()0ββ－＝ D ˆ()ββ－为最小 6、对于01ˆˆi i iY X e ββ=++，以σˆ表示估计标准误差，Y ˆ表示回归值，则__________。

B A i i ˆˆ0Y Y 0σ∑＝时，（－）＝B 2iiˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）＝0 C ii ˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）为最小 D 2iiˆˆ0Y Yσ∑＝时，（－）为最小 7、设样本回归模型为i 01i i ˆˆY =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i ˆβ的公式中，错误的是__________。

D A ()()()i i 12iX X Y -Y ˆX X β--∑∑＝B ()i iii122iin X Y -X Y ˆn X -X β∑∑∑∑∑＝C ii122iX Y -nXY ˆX -nXβ∑∑＝ D i i ii12xn X Y -X Y ˆβσ∑∑∑＝8、对于i 01i iˆˆY =X +e ββ+，以ˆσ表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有__________。

计量作业第章精编WORD版

计量作业第章精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第二章一元线性回归模型1、最小二乘法对随机误差项u作了哪些假定？说明这些假定条件的意义。

答：假定条件：(1)均值假设：E(u i)=0,i=1,2,…；(2)同方差假设：Var(u i)=E[u i-E(u i)]2=E(u i2)=σu2 ,i=1,2,…；(3)序列不相关假设：Cov(u i,u j)=E[u i-E(u i)][u j-E(u j)]=E(u i u j)=0,i≠j,i,j=1,2,…；(4)Cov(u i,X i)=E[u i-E(u i)][X i-E(X i)]=E(u i X i)=0；(5)u i服从正态分布, u i～N(0,σu2)。

意义：有了这些假定条件，就可以用普通最小二乘法估计回归模型的参数。

2、阐述对样本回归模型拟合优度的检验及回归系数估计值显着性检验的步骤。

答：样本回归模型拟合优度的检验：可通过总离差平方和的分解、样本可决系数、样本相关系数来检验。

回归系数估计值显着性检验的步骤：(1)提出原假设H0 ：β1=0；(2)备择假设H1 ：β1≠0；(3)计算t=β1/Sβ1；(4)给出显着性水平α，查自由度v=n-2的t分布表，得临界值tα/2(n-2)；(5)作出判断。

如果|t|<tα/2(n-2)，接受H0 :β1=0，表明X对Y无显着影响，一元线性回归模型无意义；如果|t|>tα/2(n-2)，拒绝H0 ，接受H1:β1≠0，表明X对Y有显着影响。

4、试说明为什么∑e i2的自由度等于n-2。

答：在模型中，自由度指样本中可以自由变动的独立不相关的变量个数。

当有约束条件时，自由度减少，其计算公式：自由度=样本个数-受约束条件的个数，即df=n-k。

一元线性回归中SSE残差的平方和，其自由度为n-2,因为计算残差时用到回归方程，回归方程中有两个未知参数β0和β1，而这两个参数需要两个约束条件予以确定，由此减去2，也即其自由度为n-2。