浙江省杭州市第四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

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高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案 _10

杭州学军中学2020学年第一学期期中考试高一数学试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷两部分，考生须在答题卷上作答，答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试卷上无效。

答题前，请在答题卷的密封线内填写班级、姓名、考号等信息。

2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页，全卷满分120分，考试时间100分钟。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定是（） A.x R ∃∈，210x x -+≠ B.x R ∃∈，210x x -+> C.x R ∀∈，210x x -+≠ D.x R ∀∈，210x x -+=2.下列四组函数，表示同一函数的是（）A.()f x =()g x x =B.()f x x =，()2x g x x=C.()f x =()g x =D.()f x x =，()g x =3已知a ，b ，c 是实数，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2y x =-C.12y x = D.1y x =+5设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<6.已知函数()224f x x ax =++在(],2-∞上的单调递减，则实数a 的取值范围是（） A.(],2-∞-B.[)2,-+∞C.(],2-∞D.[)2,+∞7下列说法正确的是（） A.若a b <，则11a b> B.若0a b c >>>，则b bc a a c +<+ C.若,a b R ∈，则2b aa b+≥D.若,a b R ∈，则22a b aba b+≥+ 8在下列四个函数中，满足性质：“对于区间()1,2上的任意()1212,x x x x ≠，不等式()()1212f x f x x x -<-恒成立”的只有（）A.()1f x x=B.()f x x =C.()2x f x =D.()2f x x =9已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立，则()2020f 的值是（）A.202021- B.202021+C.202020202121+-D.202020202121-+ 10.已知()2f x x bx c =++，方程()f x x =的两个根为1x ，2x ，且122x x ->.设()()f f x x =的另两个根是3x ，4x ，且34x x >，则（） A.4231x x x x <<< B.2431x x x x <<< C.2413x x x x <<<D.4213x x x x <<<非选择题部分（共80分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知集合{}10A x x =+>，{}2,1,0B =--，则()R C A B ⋂=______. 12.函数()5f x x =-的定义域为______. 13.已知幂函数()y f x =的图象过点(2,，则()4f 的值为______.14.设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[]1,3α∈，则实数m 的取值范围是______15.函数()323f x x x =-图象的对称中心为______.16.已知函数()2f x x =，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是______.17.定义：{}min ,x y 为数x ，y 中较小的数已知22min ,4b h a a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是______.三、解答题：本大题共4小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019浙江省高一上学期数学期中考试试题

高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={0，1}，则下列关系式中，正确的是（）A. {0}∈MB. {0}∉MC. 0∈MD. 0⊆M2.下列函数中与y=x表示同一个函数的是（）A. y=log22xB. y=2log2xC. y=√x2D. y=(√x)23.幂函数f（x）的图象过点（27，3），则f（8）=（）A. 8B. 6C. 4D. 24.已知f（x）={x−4x>0x+4x<0，则f[f（-3）]的值为（）A. 3B. 2C. −2D. −35.三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5的大小关系是（）A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c6.函数f（x）=e x+x-4的零点所在的区间为（）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)7.函数y=ln|x|x的图象大致是（）A. B.C. D.8.设函数f（x）=min{|x-2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值．下列说法正确的是（）A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)既是奇函数又是偶函数C. 函数f(x)为偶函数D. 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数9.函数f（x）=xx−a，（a∈R），若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,1]B. (0,1]C. (0,+∞)D. [1,+∞)10.已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2-x），则f（x）的最小值为（）A. −94B. −3516C. −2D. 0二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.432=______，lg4+lg25=______．12.函数f（x）=a x-1-2（a＞0且a≠1）恒过定点______，f（x）的值域为______．13.设f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1og2（x+2）．则f（0）=______，14. 函数f （x ）={2x 2,x >1−x 2+kx,x≤1，若f （1）=2，则k =______，若对任意的x 1，x 2，（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））≥0恒成立，则实数k 的范围______．15. 函数f （x ）=x 3，若f （a -2）+f （4+3a ）＜0，则实数a 的取值范围为______．16. 函数f （x ）={2x ,x ≥1−6x+5,x<1，若存在x 1＜x 2，使得f （x 1）=f （x 2），则x 1•f （x 1）的最大值为______．17. 设函数f （x ）=|x -1|在x ∈[t ，t +4]（t ∈R ）上的最大值为M （t ），则M （t ）的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知全集为R ，集合P ={x |2a ≤x ≤2a +3}，Q ={x |-2≤x ≤5}．（Ⅰ）若a =32，求P ∪Q ，（∁R P ）∩Q ；（Ⅱ）若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f （x ）=2ax 2+1x （a ∈R ）．（Ⅰ）若f （1）=2，求函数y =f （x ）-2x 在[12，2]上的值域；（Ⅱ）当a ∈（0，12）时，试判断f （x ）在（0，1]上的单调性，并用定义证明你的结论．20. 已知函数f （x ）=lg 1−ax x−1的图象关于原点对称，其中a 为常数．（Ⅰ）求a 的值，并求出f （x ）的定义域（Ⅱ）关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解，求a 的取值范围．21.设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在[0，2]上单调，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在闭区间[m，n]上单调递增（其中m≠n），且{y|y=f（x），m≤x≤n}=[m，n]，求a的取值范围．22.已知函数f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=-1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（Ⅱ）当b=1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，求a的取值范围；②若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M={0，1}，∴{0}⊊M，0∈M．故A，B，D都错误，C正确．故选：C．利用元素与集合、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】A【解析】解：对A，y==x，定义域为x∈R，与已知函数定义域，对应法则相同，故A正确，对B，函数y=的定义域为x＞0，与函数的定义域不同，∴B错误；对C，y==|x|，与函数对应法则不同，∴C错误；对D，函数y=（）2，的定义域为x＞0，与函数的定义域不同，∴D错误．故选：A．根据两个函数为同一函数，其定义域和对应法则完全相同，依次验证可得答案．本题考查了如何判断两个函数是否为同一函数．3.【答案】D【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象过点（27，3），∴27α=3，解得α=，∴f（x）=；∴f（8）==2．故选：D．用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（8）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意可得：f（x）=，所以f（-3）=-3+4=1，所以f（1）=1-4=-3，所以f[f（-3）]=f（1）=-3．故选：D．由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算f[f（-3）]，必须先计算f（-3）进而即可得到答案．解决此类问题的关键是熟悉解析式特征与所求不等式的结构，此类题目一般出现在选择题或填空题中，属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故选：D．利用对数函数与指数函数的性质，将a，b，c与0和1比较即可．本题考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵f（1）=e-3＜0，f（2）=e2-2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．本题考查了函数零点的判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：∵y=f（-x）==-f（x），∴y=f（x）=为奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B；又x＞0时，f（x）=，f′（x）=，∴x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，故可排除A，D，而C满足题意．故选：C．利用函数的奇偶性可排除B，再通过导数研究函数的单调性进一步排除，即可得到答案．本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性与单调性，着重考查导数的应用，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，在同一直角坐标系中画出y=|x-2|，y=x2，y=|x+2|的图象：则有f（x）=，显然f（-x）=f（x），可得f（x）为偶函数；在同一直角坐标系中画出y=|x-2|，y=x2，y=|x+2|，求得f（x）的解析式，结合图象可得奇偶性，即可得答案．本题考查分段函数的图象和性质，考查图象变换及性质，运用数形结合思想方法是解题的关键，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（x）==1+，（a∈R），函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=-＜0，在（1，+∞）恒成立，∴a＜0，故选：C．据题意，已知f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，即f′（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，属于基础题10.【答案】A【解析】解：∵f（x）=f（2-x），∴f（0）=f（2），f（-1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=-5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2-5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2-5x+6）+（x2+x）（2x-5）=（x-1）（2x2-4x-3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1-；由函数的对称性知，当x=1+或x=1-时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=-，故选：A．的极值，从而求最小值．本题考查了导数的综合应用及学生的化简运算能力，属于中档题．11.【答案】8 2【解析】解：=（22）=23=8；lg4+lg25=lg100=2．故答案为：8，2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数、对数的性质、运算法则化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】（1，-1）（-2，+∞）【解析】解：由x-1=0得x=1，此时f（1）=a0-2=1-2=-1，即函数过定点（1，-1），∵a x-1＞0，∴a x-1-2＞2，∴f（x）的值域为（-2，+∞）故答案为：（1，-1），（-2，+∞）根据指数函数的性质进行求解即可．本题主要考查指数函数过定点问题以及函数的值域，利用指数幂等于0是解决本题的关键．13.【答案】0 -1og2（-x+2）【解析】解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）=0，设x＜0，则-x＞0，则f（-x）=1og2（-x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）=-1og2（-x+2），故答案为：0，-1og2（-x+2）．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，设x＜0，则-x＞0，由函数的解析式可得f（-x）=1og2（-x+2），结合函数的奇偶性变形可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．14.【答案】3 [2，3]【解析】解：根据题意，函数f（x）=，若f（1）=2，则f（1）=-1+k=2，解可得k=3；若对任意的x1，x2，（x1-x2）（f（x1）-f（x2））≥0恒成立，则函数f（x）为R上的增函数，则有，解可得2≤k≤3，则k的取值范围为[2，3]；故答案为：3，[2，3]．根据题意，由函数的解析式可得f（1）=-1+k=2，解可得k的值；结合函数单调性的定义分析可得函数f（x）为R上的增函数，则有≥1，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数解析式的计算以及单调性的性质，注意分析（x1-x2）（f（x1）-f（x2））≥0恒成立的含义．15.【答案】（-∞，-1）2【解析】解：根据题意，函数f（x）=x3，则f（x）为奇函数且在R上为增函数，若f（a-2）+f（4+3a）＜0⇒f（a-2）＜-f（4+3a）⇒f（a-2）＜f（-4-3a）⇒a-2＜-4-3a，解可得：a＜-，即a的取值范围为：（-∞，-）；故答案为：（-∞，-）．根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则f（a-2）+f（4+3a）＜0⇒f（a-2）＜-f（4+3a）⇒f（a-2）＜f（-4-3a）⇒a-2＜-4-3a，解可得a的取值范围，即本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．16.【答案】2524【解析】解：由于f（x）在x＜1递减，x＞1递增，存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1）≤6•（）2=，当且仅当x1=时，上式取得等号，即x1•f（x1）的最大值为，故答案为：．由f（x）的解析式可得5-6x1=2x2＞0，可得x1＜，x1•f（x1）=x1（5-6x1），运用基本不等式即可得到所求最大值．本题考查分段函数的运用：求最值，考查基本不等式的运用，以及变形能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】2【解析】解：作出函数f（x）=|x-1|的图象，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t ＜1＜t+4，即-3＜t ＜1时，f （x ）在（t ，1）递减，在（1，t+4）递增，可得f （x ）的最小值为0；当t=-1时，f （t ）=f （t+4）=2；当-1＜t ＜1时，f （t ）＜f （t+4），f （x ）的最大值M （t ）=f （t+4）=t+3，且M （t ）∈（2，4）；当-3＜t ＜-1时，f （t ）＞f （t+4），f （x ）的最大值M （t ）=f （t ）=1-t ，且M （t ）∈（2，4）；综上可得M （t ）的最小值为2．故答案为：2．画出f （x ）的图象，讨论对称轴x=1与区间[t ，t+4]的关系，结合单调性可得最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）a =32时，P ={x |3≤x ≤6}，∁R P ={x |x ＜3或x ＞6}∴P ∪Q ={x |-2≤x ≤6}，（∁R P ）∩Q ={x |-2≤x ＜3}；（Ⅱ）∵P ⊆Q ，∴{2a +3≤52a≥−2，∴-1≤a ≤1， ∴实数a 的取值范围为[-1，1]．【解析】（Ⅰ）先简化集合P ，然后根据交并补的定义得结果；（Ⅱ）由P ⊆Q ，得，得-1≤a≤1．本题考查了集合的基本运算，考查了集合的包含关系应用，集合关系中的参数问题，转化为等价的不等式组是关键．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）=2ax 2+1x ，若f （1）=2，则2a+11=2，解可得a =12，则f （x ）=x 2+1x=x +1x ，则y =f （x ）-2x =1x -x ，设g （x ）=1x -x ，分析易得g （x ）在[12，2]上为减函数，且g （12）=2-12=32，g （2）=12-2=-32；故y =f （x ）-2x 在[12，2]上的值域为[-32，32]；（Ⅱ）f （x ）=2ax 2+1x=2ax +1x ，当a ∈（0，12）时，在（0，1]上为减函数，证明：设0＜x 1＜x 2≤1，f （x 1）-f （x 2）=（2ax 1+1x 1）-（2ax 2+1x 2）=（2ax 1x 2-1）•(x 1−x 2)x 1x 2，又由a ∈（0，12）且0＜x 1＜x 2≤1，则（x 1-x 2）＜0，（2ax 1x 2-1）＜0，则f （x 1）-f （x 2）＞0，即函数f （x ）在（0，1]上为减函数．【解析】（Ⅰ）根据题意，由f （1）=2可得=2，解可得a 的值，即可得y=f （x ）-2x 的解析式，设g （x ）=-x ，分析易得g （x ）在[，2]上为减函数，据此分析函数g（x ）的最值，即可得答案；（Ⅱ）设0＜x 1＜x 2≤1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的单调性的判定方法，涉及函数值域的计算，属于基础题． 20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lg 1−axx−1的图象关于原点对称，∴函数f （x ）=lg 1−axx−1为奇函数，即f （-x ）+f （x ）=0， ∴lg 1+ax−x−1+lg 1−ax x−1=0，且a ≠1∴lg (1+ax)(1−ax)(1−x)(1+x)=0，∴(1+ax)(1−ax)(1−x)(1+x)=1，整理可得，（a 2-1）x 2=0恒成立， ∴a =1（舍）或a =-1，f （x ）=lg 1+xx−1，由1+xx−1＞可得，x ＜-1或x ＞1，即函数的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞），（Ⅱ）设2x =t ，则t ∈[√2，2√2]，∵关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解， ∴lg2x +12x −1+21g （2x -1）=lg （2x +1）（2x -1）=lg （22x -1）=a 在x ∈[12，32]有实数解，设u =22x -1，则u （x ）为增函数，y =lg u 为增函数， ∴y =lg （22x -1）在[12，32]上为增函数， ∴0≤y ≤lg7，∴a ∈[0，lg7]．【解析】（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出a 的值，根据对数函数的解析式，即可求出函数的定义域，（Ⅱ）关于x 的方程f （2x ）+21g （2x -1）=a 在x ∈[，]有实数解，转化为lg （22x -1）=a 在x ∈[，]有实数解，根据函数的单调性，求出y=lg （22x -1）的值域即可求出a 的范围本题考查了函数的奇偶性，函数的解析式的求法，对数的运算性质，复合函数的单调性，函数的最值，属于中档题 21.【答案】解：（Ⅰ）当-2a+12≤0，即a ≥-12时，f （x ）在[0，2]上单调递增，当-2a+12≥2，即a ≤−52时，f （x ）在[0，2]上单调递减；综上所述：a 的取值范围是（-∞，−52]∪[-12，+∞）（Ⅱ）因为f （x ）在[m ，n ]上递增，则满足 {−2a+12≤m f(m)=m f(n)=n，即方程f （x ）=x 在[-2a+12，+∞）上有两个不相等的实数根，设F （x ）=f （x ）-x =x 2+2ax +a 2+3a ，则{△=4a 2−4a 2−12a ＞0−a ＞−2a+12F(−2a+12)≥0，则-112≤a ＜0，综上所述：实数a 的取值范围是[-112，0）【解析】（Ⅰ）二次函数的对称轴x=-≤0或x=-≥2可解得a或x；（Ⅱ）问题转化为方程f （x ）=x 在[-，+∞）上有两个不相等的实数根，然后构造函数G （x ）=f （x ）-x ，利用二次函数的图象列式可解得．本题考查了二次函数的图象与性质，属中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当b =-1时，f （x ）=x |x -a |-x =x （|x -a |-1），由f （x ）=0，解得x =0或|x -a |=1，由|x -a |=1，解得x =a +1或x =a -1．由f （x ）恰有两个不同的零点且a +1≠a -1，可得a +1=0或a -1=0，得a =±1；（Ⅱ）当b =1时，f （x ）=x |x -a |+x ，①对于任意x ∈[1，3]，恒有f （x ）≤2x 2，即|x -a |+1≤2x ，即|x -a |≤2x -1，即有1-2x ≤x -a ≤2x -1，即1-x ≤-a ≤x -1， x ∈[1，3]时，1-x ∈[-2，0]，x -1∈[0，2]，可得0≤-a ≤0，即a =0；②f （x ）={x 2−ax +x,x >a −x 2+ax+x,x≤a={−(x −a+12)2+(a+1)24，x ≤a (x −a−12)2−(a−1)24，x ＞a．当2≤a ＜3时，a−12＜a+12＜2≤a ，这时y =f （x ）在[0，a+12]上单调递增，在[a+12，2]上单调递减，此时g （a ）=f （a+12）=(a+1)24；当a ≥3时，a+12≥2，y =f （x ）在[0，2]上单调递增，此时g （a ）=f （2）=2a -2．综上所述，g （a ）={(a+1)24，2≤a ＜32a −2，a ≥3．【解析】（Ⅰ）求得b=-1时，f （x ）的解析式，由f （x ）=0，解方程即可得到所求a 的值；（Ⅱ）当b=1时，f （x ）=x|x-a|+x ，①由题意可得|x-a|+1≤2x ，即|x-a|≤2x -1，即有1-2x≤x -a≤2x -1，即1-x≤-a≤x -1，由x 的范围，结合恒成立思想可得a 的范围；②求得f （x ）的分段函数形式，讨论2≤a ＜3时，f （x ）的单调性和最值，即可得到所求最大值．本题考查函数零点的判定，考查恒成立问题的求解方法，体现了数学转化、分类讨论等数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。

2019-2020学年浙江省杭州四中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，4}，B ={−1,0，1，3}，则A ∪B =( )A. {−1,0，1，2，3，4}B. {0,1}C. {−1,2，3，4}D. {0,1，2}2. 函数f(x)=√2−xx+2的定义域为( )A. (−2,2)B. [−2,2]C. (−2,2]D. [−2,2) 3. 若f(x +2)=2x +3，则f(x)等于( )A. 2x +1B. 2x −1C. 2x −3D. 2x +74. 已知a =213，b =log 213，c =log 1213，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a5. 下列函数中是奇函数，且在(0,+∞)上为减函数的是( )A. y =−x 3B. y =√xC. y =(12)|x |D. y =log 2x6. 设集合A ={1,3,5,7,9,11},B ={5,9}，则C A B =( )A. {5,9}B. {1,3,7}C. {1,3,7,11}D. {1,3,5,7,9,11}7. 已知f(x)=a x ，g(x)=log a x(a >0且a ≠1)，若f(1)⋅g(2)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.8. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 109. 若含数f(x)={2x +2,x ≤1,log 2(x −1),x >1在(−∞,a]上的最大值为4，则a 的取值范围为( )A. [0,17]B. (−∞,17]C. [1,17]D. [1,+∞)10. 不等式{ax >−1x +a >0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (−1,+∞)D. (−∞,−1)二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 设函数f(x)={log 2x,x >0,4x ,x ≤0,则f(f(−1))的值为．12. 若函数f(x)=(3m −1)x m 为幂函数，则m 等于______ ． 13. 函数f (x )的定义域是[0,3]，则f (2x −1)的定义域是__________．14. 函数f(x)=log 122x +alog 12x + 1在(14,2)上为增函数，则a 的取值范围为______． 15. 已知U =R ，A ={x|1≤x ≤3}；B ={x|a −1≤x ≤2a −3}，若(∁U A)⊆(∁U B)，则实数a 的取值范围为________．16. 已知定义在R 上的奇函数满足：当x >0时，f(x)=22x−1+2x −1，则函数在R 上的解析式为_________17. 设f(x)=|4−x 2|,若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则a +b 2−4的取值范围是_________．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={y|y =log 3x,19<x <27}，C ={x|(x +2)(x −m −1)<0,m ∈R}．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆(A ∪B)，求实数m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=|x −1|⋅(x +3)．(Ⅰ)在如图所示的坐标系中画出f(x)的大致图象； (Ⅱ)根据(Ⅰ)中的图象写出f(x)在x ∈[0,2]上的值域．20. 已知定义域为R 的函数f(x)=−2x +a 2x +1是奇函数．(1)求实数a 的值．(2)用定义证明：f(x)在R 上是减函数．(3)已知不等式f(log m 34)+f(−1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)满足：f(lgx)=x ．(1)若f(x)−1f(|x |)=2，求x 的值； (2)对于任意实数x 1，x 2，试比较f(x 1)+f(x 2)2与f(x 1+x 22)的大小；(3)若方程f(ax 2−x)=100在区间[1,2]上有解，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={0,1，2，4}，B={−1,0，1，3}，∴A∪B={−1,0，1，2，3，4}，故选：A．由A与B，求出A与B的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：要使原函数有意义，则2−xx+2≥0，即x−2x+2≤0，解得−2<x≤2．∴函数f(x)=√2−xx+2的定义域为(−2,2]．故选：C．直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解分式不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查了函数解析式的求法，属于基础题．利用换元法求函数的解析式．【解答】令x+2=t，则x=t−2，则f(t)=2(t−2)+3=2t−1．故选：B．4.答案：C解析：解：∵1<a=213<212=√2<32，b=log213<0，c=log1213=log23>log2√8=32，∴c>a>b．故选：C．由于1<a=213<212<32，c=log1213=log23>log2√8=32，进而得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．利用函数的单调性和奇偶性定义判断每一个选项中的函数是否符合条件，即可求解．【解答】解：选项A，y=−x3，是奇函数，在(0,+∞)上为减函数，符合条件；选项B，在(0,+∞)上为增函数，是非奇非偶函数，不符合条件；选项C，在(0,+∞)上为减函数，是偶函数，不符合条件；选项D，在(0,+∞)上为增函数，是非奇非偶函数，不符合条件．故选A．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查了集合补集的运算，属于基础题．【解答】解：由补集的定义可知C A B={1,3,7,11}．故选C7.答案：C解析：【分析】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力，属于基础题．由指数函数和对数函数的单调性知，f(x)=a x，g(x)=log a x(a>0，且a≠1)在(0,+∞)上单调性相同，再由关系式f(1)⋅g(2)<0，即可选出答案．【解答】解：由指数函数和对数函数的单调性知，函数f(x)=a x和g(x)=log a x(a>0，且a≠1)在(0,+∞)上单调性相同，故可排除选项A、D．∵f(1)⋅g(2)<0，∴alog a2<0，∵a>0，∴log a2<0，∴0<a<1，∴f(x)=a x和g(x)=log a x都在定义域内单调递减，而指数函数f(x)=a x的图象过定点(0,1)，对数函数g(x)=log a x的图象过定点(1,0)，故可排除选项B，故答案选C．8.答案：D)(11.8−x)万解析：解：依题意，第二年该商品年销售量为(11.8−x)万件，年销售收入为(70+70⋅x%1−x%元，)(11.8−x)x%(万元)．则商场该年对该商品征收的总管理费为(70+70⋅x%1−x%(118−10x)x(x>0)．故所求函数为：y=7100−x(118−10x)x≥14，化简得x2−12x+20≤0，即(x−2)(x−10)≤0，解得2≤x≤10．令7100−x∴x的最大值是10故选D．先确定商场该年对该商品征收的总管理费的函数解析式，再根据第二年商场在A种产品经营中收取的管理费不少于14万元，建立不等式，即可求得x的最大值．本题的关键是根据题意构建函数，同时考查解不等式，属于中档题．9.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法．由图象可得函数的单调性可得最值，故可得答案.【解答】解：如图所示，易知f(x)在(−∞,1]上单调递增，在(1,+∞)上单调递增．因为f(1)=4，f(17)=4，所以a 的取值范围为[1,17]．故选C ．10.答案：C解析：解：对于不等式组{ax >−1①x +a >0②(1)当a =0时，{0>−1①x >0②，解集为x >0，可得原不等式组解集不是空集，符合题意，(2)当a >0时，解的{x >−1a x >−a，同大取大，可得交集不会是空集，符合题意，(3)当a <0时， {x <−1a x >−a，要使不等式组有解.，必须有−a <−1a 成立，解得−1<a <0.不等式组的解集是(−a,−1a )，符合题意．综合(1)(2)(3)得a 的取值范围为(−1,+∞). 故选C ．首先得到不等式组的第二个不等式的解为x >−a ，然后分a 的正负和a 等于0的情况对第一个不等式的解加以讨论，可得当原不等式的解集不是空集时，实数a 的取值范围．本题以不等式的解集非空为例，考查了含有参数不等式的解法和集合关系中参数取值等知识点，属于基础题．11.答案：−2解析：本题考查的是分段函数的函数值，属于容易题．根据自变量的取值，分别代入相应的解析式，即可得出答案．【解答】解：∵f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0, ∴f(−1)=4−1=14，∴f(f(−1))=f (14)=log 214=−2，故答案是−2．12.答案：23解析：解：若函数f(x)=(3m −1)x m 为幂函数，则3m −1=1，解得：m =23，故答案为：23．根据幂函数的定义求出m 的值即可．本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．13.答案：[12,2]解析：因为函数f (x )的定义域是[0,3]，所以令，所以12≤x ≤2，所以f (2x −1)的定义域是[12,2]．14.答案：(−∞,−1]解析：解：令t =log 12x ，在(14,2)上，t ∈(−1,2)，∵函数f(x)=log 122x +alog 12x + 1=在(14,2)上为增函数，则g(t)=t 2+at +1在(−1,2)上单调递增，∴−a2≤−1，解得a ≤−2，故答案为：(−∞,−2]．利用复合函数的单调性，二次函数的性质，求得a 的取值范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．15.答案：{a|a ≤3}解析：本题主要考查了集合子集的关系，考查了不等式的解法应用，属于中档题．根据题意得到B⊆A，当B=⌀时，当B≠⌀时求解不等式即可得到取值范围．【解答】解：因为U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|a−1≤x≤2a−3}，(∁U A)⊆(∁U B)，所以B⊆A．所以当B=⌀，即a−1>2a−3时，解得a<2，符合题意；当B≠⌀时，由B⊆A可知，{a−1⩽2a−3 1⩽a−13⩾2a−3,解得2≤a≤3．综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤3}．故答案为{a|a≤3}．16.答案：f(x)={22x−1+2x−1,x>00,x=0−2−2x−1+2x+1,x<0解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及解函数解析式的求解，求出f(0)，然后令x<0，则−x>0，利用f(x)=−f(−x)即可求解．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，∵当x>0时，f(x)=22x−1+2x−1，∴当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−(2−2x−1−2x−1)=−2−2x−1+2x+1．综上所述，f(x)={22x−1+2x−1,x>00,x=0−2−2x−1+2x+1,x<0．故答案为f(x)={22x−1+2x−1,x>00,x=0−2−2x−1+2x+1,x<0．17.答案：(2,174)解析：【分析】利用0<a<b，且f(a)=f(b)，求出a，b的关系为b2=8−a2,a∈(0,2)，把b2=8−a2代入配方即可求其范围.属于中档题．解：∵f(x)=|4−x 2|，0<a <b ，且f(a)=f(b)， ∴4−a 2=b 2−4,a 2+b 2=8,0<a <2， a +b 2−4=a +8−a 2−4=−(a −12)2+174,由函数图象以及题意可知0<a <2， ∴a +b 2−4∈(2,174)．故答案为(2,174)．18.答案：解：(1)∵集合A ={x|x 2+2x −3<0},B ={y|y =log 3x,19<x <27}，∴A =(−3,1)，B =(−2,3)， ∴A ∩B =(−2,1)．(2)由(1)可知A ∪B =(−3,3)，当m =−3时，C =⌀，符合题意；当m >−3时，m +1>−2，∴C ={x|−2<x <m +1}， ∴m +1≤3，∴−3<m ≤2．当m <−3时，m +1<−2，∴C ={x|m +1<x <−2}， ∴m +1≥−3，∴−4≤m <−3，综上所述，实数m 的取值范围是[−4,2]．解析：本题考查交集、子集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方思想，是基础题． (1)计算得A =(−3,1)，B =(−2,3)，求A ∩B 即可；(2)包含关系要分空集和非空两种情况讨论，本题中集合C 还要考虑不等式两根的大小，对分类讨论要做到不重不漏即可．19.答案：解：(Ⅰ)f(x)={(1−x)(x +3)=−x 2−2x +3,x ≤1(x −1)(x +3)=x 2+2x −3,x >1，所以其大致图象如图所示．(Ⅱ)由图可知，当x ∈[0,2]时，函数f(x)的值域为[0,5]．解析：(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式，进而作图；(Ⅱ)由图象观察即可求得值域．本题主要考查函数的图象的画法及函数的值域，属于基础题．20.答案：解：(1)由于f(x)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0对于任意的x ∈R 都成立，即−2−x +a2−x +1+−2x +a2x +1=0，则−1+a⋅2x2x +1+−2x +a2x +1=0可得−1+a ⋅2x −2x +a =0，即(a −1)(2x +1)=0因为2x >0，则a −1=0，解得a =1(2)设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=−2x 2+12x 2+1−−2x 1+12x 1+1=(−2x 2+1)(2x 1+1)−(−2x 1+1)(2x 2+1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 1−2x 2)(2x 2+1)(2x 1+1)，因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以2x 1−2x 2<0，2x 1+1>0，2x 2+1>0，从而f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)所以f(x)在R 上是减函数(3)由f(log m 34)+f(−1)>0可得：f(log m 34)>−f(−1)因为f(x)是奇函数，所以f(log m 34)>f(1)，又因为f(x)在R 上是减函数，所以log m 34<1①当m >1时，不等式成立；②当0<m <1时，解得0<m <34；综上可得，0<m <34，或m >1故m 的取值范围是(0,34)∪(1,+∞)解析：(1)由奇函数的性质得f(−x)+f(x)=0恒成立，代入解析式利用指数的运算化简，求出a 的值；(2)根据函数单调性的定义进行证明，即取值−作差−变形−判断符号−下结论；(3)根据奇函数的性质将不等式转化为：f(log m 34)>f(1)，再由函数的单调性得log m 34<1，利用对数的单调性对m 进行分类讨论，再求出实数m 的取值范围．本题考查函数奇偶性的应用，函数单调性定义的证明步骤：取值−作差−变形−判断符号−下结论，对数函数的性质，以及利用函数的单调性与奇偶性求解不等式问题，属于中档题． 21.答案：(1)x =lg(1+√2)；(2)见解析；(3)[1,3]解析：【分析】(1)先求出函数的解析式，再分情况解方程即可；(2)利用均值不等式求证即可；(3)原式转化为a =2x 2+1x ,t =1x ∈[12,1],a =2t 2+t 有解即可，从而可求出a 的取值范围．【详解】(1)函数f(x)满足：f(lgx)=x ，设t =lgx ，则x =10t ,f (t )=10t ,f (x )=10x ．f(x)−1f(|x |)=10x −110|x |=2 当x >0时，原式化为10x −110x =2⇒102x −2×10x −1=0⇒10x =1+√2⇒x =lg(1+√2)当x <0时，原式子不成立。

浙江省2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)

________
【答案】
1 (1). 3
4 (2). 3
【解析】
【分析】
化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案.
【详解】
42 3
27 3
2 3
2
32 3 1 3 3 2 33
3 1
32 1 3 3，
2 2 2 4 2log2 3
log2 4log2 3
log
2
4 3
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2019-2020 学年高一数学上学期期中联考试题（含解析）
考生须知: 1.本卷共 4 页满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
f (x) log1 (x 1)
3.设函数
2
，则（）
A. f (x) 在 (0, ) 单调递增
B. f (x) 在 (0, ) 单调递减
C. f (x) 在 (1, ) 单调递增
D. f (x) 在 (1, ) 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 f (x) 定义域，根据对数函数的单调性即可求解.
所以 3 2a 1 ，解得 a 1 ，故 0 a 1，
若 a 1，则 f x为增函数，由 f x的值域为1, ，
当
x
1 时，
f
x
ax
3
2a
3
a
，即函数
f
x
在区间
1,
上的值域为
C. y 轴对称
【答案】B
B. 原点对称
D. 直线 y x 对称

2019-2020学年浙江省杭州四中高三(上)期中数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州四中高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知集合M＝{y|y≥0}，N＝{y|y−x2+1}，则M∩N＝（）A.(0, 1)B.[0, 1]C.[0, +∞)D.[1, +∞)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合N＝{y|y≤1}，然后进行交集的运算即可．【解答】N＝{y|y≤1}，且M＝{y|y≥0}；∴M∩N＝[0, 1]．2. 我们把方程分别为：x2a2−y2b2=1和y2b2−x2a2=1的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶点【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案．【解答】共轭双曲线x2a2−y2b2=1和y2b2−x2a2=1的c=√a2+b2，设a>0，b>0，可得它们的焦点为(±c, 0)，(0, ±c)，渐近线方程均为y＝±bax，离心率分别为ca 和cb，它们的顶点分别为(±a, 0)，(0, ±b)，3. 设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】若G是a，b的等比中项，则G2＝ab．当a＝b＝G＝0时，满足G2＝ab，但a，G，b不能构成等比数列，所以“G2＝ab”是“G是a，b的等比中项”的必要不充分条件．4. 若多项式x2+x10＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a10(x+1)10，则a9＝（）A.9B.10C.−9D.−10【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求x10的系数，再由a9+C109⋅a10，可求x9的系数，即可得答案【解答】∵x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9+C109⋅a10，∴a9+10＝0，∴a9＝−10，5. 设函数D(x)={1,x0,x，则下列结论错误的是（）A.D(x)的值域为{0, 1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数【答案】C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选C【解答】A显然正确；∵D(−x)={1,x0,x=D(x)，∴D(x)是偶函数，B正确；∵D(x+1)={1,x0,x=D(x)，∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D(√2)＝0，D(2)＝1，D(√5)＝0，显然函数D(x)不是单调函数，故D正确；6. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（） A.50种 B.60种 C.70种 D.90种【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有C 31⋅C 101=30种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有C 41⋅C 101=40种则不同的选法共有30+40＝70种，7. 设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1>0,x +m <0,y −m >0 表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足x 0−2y 0＝2，求得m 的取值范围是（） A.(−∞,43) B.(−∞,13)C.(−∞,−23)D.(−∞,−53)【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件{2x −y +1>0,x +m <0,y −m >0 画出可行域．要使可行域存在，必有m <−2m +1，要求可行域包含直线y =12x −1上的点，只要边界点(−m, 1−2m)在直线y =12x −1的上方，且(−m, m)在直线y =12x −1的下方，从而建立关于m 的不等式组，解之可得答案．【解答】先根据约束条件{2x −y +1>0,x +m <0,y −m >0画出可行域，要使可行域存在，必有m <−2m +1，要求可行域包含直线y =12x −1上的点，只要边界点(−m, 1−2m)在直线y =12x −1的上方，且(−m, m)在直线y =12x −1的下方，故得不等式组{m <−2m +11−2m >−12m −1m <−12m −1 ，解之得：m <−23．8. 设0<a <1，已知随机变量X 的分布列是若D(X)=16，则a ＝（） A.12B.13C.14D.15【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】求出期望，利用方差公式求解可得结果．【解答】E(X)＝0×13+a ×13+1×13=1+a 3，D(X)＝(1+a 3)2×13+(a −1+a 3)2×13+(1−1+a 3)2×13=127[(a +1)2+(2a −1)2+(a −2)2]=29(a 2−a +1)=16，解得a =12．9. 已知直三棱柱ABC −A ′B ′C ′的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱AA ′上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B ′C 所成的角为β，二面角P −B ′B −C 的平面角为γ，则（） A.α>β>γ B.α<β<γ C.α>γ>β D.β>α>γ 【答案】 D【考点】二面角的平面角及求法【解析】取BC 中点O ，以OAOB 所在直线分别为y 、x 轴建立空间直角坐标系．可得P(0, √3, t)，(0<t <2)．，cosα＝|cos <PB →，PC →>|=√4+t 2，cosβ＝|cos <PB→，B ′C→>|=√2√4+t 2，二面角P −B ′B −C 的平面角为γ，γ＝600，利用当0<t <2时，(1−t)22−1=t 2−2t−12<0．即可．【解答】设直三棱柱ABC −A ′B ′C ′的棱长与底面边长为2，如图，取BC 中点O ，以OAOB 所在直线分别为y 、x 轴建立空间直角坐标系．A(0, √3, 0)，B(1, 0, 0)，C(−1, 0, 0)，B′(1, 0, 2)，P(0, √3, t)，(0<t <2)．直线PB 与直线AC 所成的角为α，cosα＝|cos <PB →，PC →>|=√4+t 2，直线PB 与直线B ′C 所成的角为β，cosβ＝|cos <PB →，B ′C →>|=√2⋅√4+t 2，二面角P −B ′B −C 的平面角为γ，γ＝600，∵ 当0<t <2时，$${\{}$\${dfrac\{(1\, -\, t\{)\}^{\wedge}\{2\}\}\{2\}\, -\, 1\, = \, }$\${dfrac\{\{t\}^{\wedge}\{2\}\, -\, 2t\, -\, 1\}\{2\}}$<}$0． ∴ ${cosβ∴ β>α>γ，10. 若函数f(x)＝x 3+ax 2+bx +c 有极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x)+2af(x)+b ＝0的不同实根个数是（） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的极值【解析】结合题意可知，关于x 的方程3f 2(x)+2af(x)+b ＝0的不同实根个数即为f(x)＝x 1，f(x)＝x 2的根的个数，可求．【解答】f(x)＝x 3+ax 2+bx +c 有极值点x 1，x 2，且x 1<x 2， ∴ f′(x)＝3x 2+2ax +b ＝0有两根x 1，x 2，且x 1<x 2，即3x 12+2ax 1+b ＝0，3x 22+2ax 2+b ＝0，比较方程3f 2(x)+2af(x)+b ＝0可得，f(x)＝x 1，f(x)＝x 2，则关于x 的方程3f 2(x)+2af(x)+b ＝0的不同实根个数即为f(x)＝x 1，f(x)＝x 2的根的个数，∵ x 1<x 2，则函数在(−∞, x 1)单调递增，在(x 1, x 2)上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增，∴ f(x)＝x 1，有2个实根，分别在x ＝x 1处和(x 2, +∞)内， f(x)＝x 2>x 1有1个实根，在(x 2, +∞)内综上可得，方程一共有3个根．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分若复数z 满足(3+i)z ＝2−i （i 为虚数单位），则z ＝________；|z|＝________．【答案】12−12i ,√22【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】由(3+i)z ＝2−i ，得z =2−i3+i =(2−i)(3−i)(3+i)(3−i)=5−5i 10=12−12i ，∴ |z|=√(12)2+(−12)2=√22．已知f(x)={|x −1|(x ≤1)3x (x >1) ，若f(x)＝2，则x ＝________；若f(x)>2，则x 的取值范围为________．【答案】−1,(−∞, −1)∪(1, +∞) 【考点】函数的求值求函数的值【解析】当x ≤1时，f(x)＝|x −1|＝2，当x >1时，f(x)＝3x ＝2，由此能求出x 的值；由f(x)>2，当x ≤1时，f(x)＝|x −1|>2，当x >1时，f(x)＝3x >2，由此能求出x 的取值范围．【解答】∵ f(x)={|x −1|(x ≤1)3x (x >1)，f(x)＝2，∴ 当x ≤1时，f(x)＝|x −1|＝2，解得x ＝−1或x ＝3（舍），当x >1时，f(x)＝3x ＝2，解得x ＝log 32，不合题意．综上，x 的值为−1； f(x)>2，当x ≤1时，f(x)＝|x −1|>2，解得x <−1或x >3（舍），当x >1时，f(x)＝3x >2，解得x >log 32，∴ x >1．综上x 的取值范围为(−∞, −1)∪(1, +∞)．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是________，最长棱长为________．【答案】 1,√6 【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x ，根据体积公式建立关系，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD ＝1，BC ＝2，SB ＝x ，AD // BC ，SB ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ． ∴ 底面的面积S =12×(1+2)×2＝3．该几何体为体积是3，高为x，几何体的体积V=13×x×3＝3，可得x＝3．最长棱长为：SD=√1+1+22=√6．已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝________；P点的坐标为________．【答案】2,(−32, √152)【考点】椭圆的离心率【解析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F′，连接PF′，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，利用椭圆的定义求解|PF|．【解答】椭圆x29+y25=1的a＝3，b=√5，c＝2，e=23设椭圆的右焦点为F′，连接PF′，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF′|＝2|AO|＝4，设P的坐标为(m, n)，可得3−23m＝4，可得m=−32，n=√152，由|PF′|＝2|AO|＝4，|PF|＝6−4＝2，已知cos(π6−α)=√33，则cos(5π6+α)−sin(α+4π3)的值为________．【答案】【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得cos(5π6+α)与sin(α+4π3)的值，则答案可求．【解答】∵cos(π6−α)=√33，∴cos(5π6+α)＝cos[π−(π6−α)]＝−cos(π6−α)=−√33．sin(α+4π3)＝−sin(α+π3)＝−cos(π6−α)=−√33．∴cos(5π6+α)−sin(α+4π3)=−√33−(−√33)=0．在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝________．【答案】√6【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan∠ACB、tan∠NCB的值，再利用两角和差的三角公式，求得tanθ＝tan(∠ACB−∠MCB)，可得BC的值．【解答】设BC＝x，∠ACM＝θ，则θ为锐角，则tanθ＝tan(∠ACB−∠MCB)=3x−2x1+3x⋅2x=xx2+6=1x+6x，依题意，若对于给定的∠ACM，△ABC是唯一的确定的，可得x=6x，解得x=√6，即BC的值为√6，此时，tanθ=2√6=sinθcosθ，再结合sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ=15．已知|a→|=1，向量b→满足2|b→−a→|=b→⋅a→，设a→，b→的夹角为θ，则cosθ的最小值为________．【答案】2√55【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据条件可设a→=(1,0),b→=(x,y)，从而根据2|b→−a→|=b→⋅a→即可得出4(x−1)2+4y2＝x2，且得出x>0，从而得出y2=−34x2+2x−1，从而得出cosθ=√4x2+2x−1=√−(1x )+2x+14，从而配方即可求出cosθ的最小值．【解答】∵|a→|=1，∴设a→=(1,0),b→=(x,y)，∴b→−a→=(x−1,y)，∴由2|b→−a→|=b→⋅a→得，2+y2=x，则x>0，∴4(x−1)2+4y2＝x2，∴y2=−34x2+2x−1，∴ cosθ=a →⋅b→|a →||b →|=22=√x 2−34x 2+2x −1=√14x 2+2x −1=√−(1x )2+2x +14=√−(x−1)2+4，∴ 1x =1，即x ＝1时cosθ取最小值2√55．三、解答题：5小题，共74分已知函数f(x)=6cos 2ωx 2+√3sinωx −3，(ω>0)．该函数在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．（1）求ω的值；（2）若f(x 0)=8√35，x 0∈(−23,23)，求f(x 0+1)的值．【答案】由f(x)=6cos 2ωx 2+√3sinωx −3，得：f(x)＝3cosωx +√3sinωx =2√3sin(ωx +π3)．又正三角形ABC 的高为2√3，从而BC ＝4．∴ 函数f(x)的周期T ＝4×2＝8，即2πω=8，ω=π4；由f(x 0)=8√35，得2√3sin(π4x 0+π3)=8√35，整理得sin(π4x 0+π3)=45，∵ x 0∈(−23, 23)，∴ π4x 0+π3∈(π6, π2)， ∴ cos(π4x 0+π3)=35，∴ f(x 0+1)＝2√3sin(π4x 0+π4+π3)＝2√3sin(π4x 0+π3)cos π4+cos(π4x 0+π3)sin π4 ＝2√3(45×√22+35×√22)=7√65．【考点】两角和与差的三角函数由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由△ABC 为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则ω的值可求；（2）利用（1）的结论，结合f(x 0)=8√35，求得sin(π4x 0+π3)与cos(π4x 0+π3)=35，再由f(x 0+1)＝2√3sin(π4x 0+π4+π3)，展开两角和的正弦求解．【解答】由f(x)=6cos 2ωx 2+√3sinωx −3，得：f(x)＝3cosωx +√3sinωx =2√3sin(ωx +π3)．又正三角形ABC 的高为2√3，从而BC ＝4．∴ 函数f(x)的周期T ＝4×2＝8，即2πω=8，ω=π4；由f(x 0)=8√35，得2√3sin(π4x 0+π3)=8√35，整理得sin(π4x 0+π3)=45，∵ x 0∈(−23, 23)，∴ π4x 0+π3∈(π6, π2)， ∴ cos(π4x 0+π3)=35，∴ f(x 0+1)＝2√3sin(π4x 0+π4+π3)＝2√3sin(π4x 0+π3)cos π4+cos(π4x 0+π3)sin π4 ＝2√3(45×√22+35×√22)=7√65．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求P(X ＝2)；（2）求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．【答案】设双方10:10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k ＝1, 2, 3,…)，则P(X ＝2)＝P(A 1A 2)+P(A 1A 2)＝P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．P（X＝4且甲获胜）＝P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4＝0.1．【考点】相互独立事件的概率乘法公式相互独立事件【解析】（1）设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1, 2, 3,…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)+P(A1A2)＝P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)，由此能求出结果．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+ P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)，由此能求出事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解答】设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1, 2, 3,…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)+P(A1A2)＝P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．P（X＝4且甲获胜）＝P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4＝0.1．已知数列{a n}中，相邻两项a n，a n+1是关于x的方程：x2+3nx+b n+94n2=0(n∈N∗)的两实根，且a1＝1．（1）若S n为数列{a n}的前n项和，求S100；（2）求数列{a n}和{b n}的通项公式．【答案】因为a n、a n+1是关于x2+3nx+b n+94n2=0的两实根，所以a n+a n+1＝−3n，a2n−1+a2n＝−3(2n−1)＝3−6n，S100=50(−3+3−6×50)2=−750，所以S100＝−750．a n+a n+1＝−3n，a n+1+a n+2＝−3(n+1)，两式相减，a n+2−a n＝−3，a2n−1＝1−3(n−1)＝4−3n，因为a2＝−3−a1＝−4，所以a2n＝−4−3(n−1)＝−1−3n，因为b n+94n2=a n a n+1，所以bn=a n a n+1−94n2，a 2n−1=a 2n−1a 2n −94(2n −1)2=(4−3n)(−1−3n)−94(2n −1)2=−94，b 2n ＝a 2n a 2n+1−94(2n)2=(−1−3n)[4−3(n +1)]−9n 2=−1，所以a n ={5−3n2n =2k −1−1−3n2n =2k，b n ={−94n =2k −1−1n =2k ．【考点】数列递推式数列与函数的综合【解析】（1）由a n 、a n+1是关于x 2+3nx +b n +94n 2=0的两实根，可得所以a n +a n+1＝−3n ，即把{a n }相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，S 100包含新数列的前50项，用等差数列的前n 项和公式即可．（2）由a n +a n+1＝−3n ，a n +a n+1＝−3n ，a n+1+a n+2＝−3(n +1)，两式相减，得a n+2−a n ＝−3，即隔项成等差数列，由a 1可得奇数项的通项，由a 2可得偶数项的通项，由a n 的通项可得b n 的通项公式．【解答】因为a n 、a n+1是关于x 2+3nx +b n +94n 2=0的两实根，所以a n +a n+1＝−3n ，a 2n−1+a 2n ＝−3(2n −1)＝3−6n ，S 100=50(−3+3−6×50)2=−750，所以S 100＝−750．a n +a n+1＝−3n ，a n+1+a n+2＝−3(n +1)，两式相减，a n+2−a n ＝−3，a 2n−1＝1−3(n −1)＝4−3n ，因为a 2＝−3−a 1＝−4，所以a 2n ＝−4−3(n −1)＝−1−3n ，因为b n +94n 2=a n a n+1，所以bn =a n a n+1−94n 2，a 2n−1=a 2n−1a 2n −94(2n −1)2=(4−3n)(−1−3n)−94(2n −1)2=−94， b 2n ＝a 2n a 2n+1−94(2n)2=(−1−3n)[4−3(n +1)]−9n 2=−1，所以a n ={5−3n2n =2k −1−1−3n2n =2k， b n ={−94n =2k −1−1n =2k ．如图，已知点F(1, 0)为抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当x A∈(1, 2)时，求△ABC面积的最大值．【答案】点F(1, 0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，即p2=1，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝−1；证明：设过F的直线方程为y＝k(x−1)，k≠0，A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(m, n)，即有y12＝4x1，y22＝4x2，n2＝4m，联立直线y＝k(x−1)和抛物线y2＝4x可得ky2−4y−4k＝0，可得y1+y2=4k，y1y2＝−4，则k OA+k BC=y1x1+n−y2m−x2=4y1+4n+y2=4(n+y1+y2)y1(n+y2)，由△ABC的重心G在x轴上，可得n+y1+y23=0，即n+y1+y2＝0，即有k OA+k BC＝0，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得k OA+k BC＝0．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；由（2）可得x1x2=(y1y2)216=1，x1+x2=y1+y2k+2＝2+4k，可得x1+1x1=2+4k2∈(2, 52)，解得k2∈(8, +∞)，由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+2＝4+4k2，由n+y1+y2＝0，即n+4k =0，即n=−4k，m=n24=4k2，C的坐标为(4k2, −4k)，C到直线kx−y−k＝0的距离为d=|4k+4k−k|√1+k2=|8k−k|√1+k2，可得△ABC的面积为S=12d⋅|AB|=12⋅|8k−k|2(4+4k2)＝2⋅√1+k2k2⋅|k2−8k|，由k2>8，可得S＝2√1+1k2⋅(1−8k2)，设t=√1+1k2（${1由S′＝18−48t2<0，则S在(1, 3√24)递减，可得S<2；当直线AB的斜率不存在时，设A(1, 2)，B(1, −2)，可得C(0, 0)，△ABC的面积为12×4×1＝2，可得△ABC的面积的最大值为2．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】（1）求得抛物线的焦点，由题意可得p＝2，可得抛物线方程和准线方程；（2）设过F的直线方程为y＝k(x−1)，k≠0，A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(m, n)，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线AB的斜率不存在，也成立；（3）求得k的范围和C的坐标，运用点到直线的距离公式可得C到直线AB的距离，由弦长公式可得|AB|，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积S的范围，检验直线AB的斜率不存在时，可得△ABC的面积，进而得到所求最大值．【解答】点F(1, 0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，即p2=1，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝−1；证明：设过F的直线方程为y＝k(x−1)，k≠0，A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(m, n)，即有y12＝4x1，y22＝4x2，n2＝4m，联立直线y＝k(x−1)和抛物线y2＝4x可得ky2−4y−4k＝0，可得y1+y2=4k，y1y2＝−4，则k OA+k BC=y1x1+n−y2m−x2=4y1+4n+y2=4(n+y1+y2)y1(n+y2)，由△ABC的重心G在x轴上，可得n+y1+y23=0，即n+y1+y2＝0，即有k OA+k BC＝0，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得k OA+k BC＝0．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；由（2）可得x1x2=(y1y2)216=1，x1+x2=y1+y2k+2＝2+4k2，可得x1+1x1=2+4k2∈(2, 52)，解得k2∈(8, +∞)，由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+2＝4+4k2，由n+y1+y2＝0，即n+4k =0，即n=−4k，m=n24=4k2，C的坐标为(4k2, −4k)，C到直线kx−y−k＝0的距离为d=|4k+4k−k|√1+k2=|8k−k|√1+k2，可得△ABC的面积为S=12d⋅|AB|=12⋅|8k−k|√1+k2(4+4k2)＝2⋅√1+k2k2⋅|k2−8k|，由k2>8，可得S＝2√1+1k2⋅(1−8k2)，设t=√1+1k2（${1由S′＝18−48t2<0，则S在(1, 3√24)递减，可得S<2；当直线AB的斜率不存在时，设A(1, 2)，B(1, −2)，可得C(0, 0)，△ABC的面积为12×4×1＝2，可得△ABC的面积的最大值为2．已知实数a≠0，设函数f(x)=12alnx+√x+1．（1）当a＝−1时，求函数f(x)的单调区间；（2）对任意x∈[1e2,+∞)均有f(x)≤√x2a，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．【答案】由题意，当a＝−1时，f(x)=−12lnx+√x+1，定义域为{x|x>0}．∴f′(x)=−12x2√x+1=√x+1−x2x√x+1，①令f′(x)<0，即$${\{}$\${sqrt\{x\, + \, 1\}}$<}$x，解得0＜x${<\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$；②令${f′(x)\gt 0}$，即${\sqrt{x + 1}\gt x}$，解得${x\gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}$．∴函数${f(x)}$的单调递减区间为${(0,\, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})}$，单调递增区间为${(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2},\, + \infty )}$；令g(x)=a2lnx+√x+1−√x2a，∵x∈[1e2,+∞),g(x)≤0恒成立，∴g(1)≤0,g(1e2)≤0得{0}$下证当{0}$g(x)≤0恒成立，先证{\{}$dfrac{\sqrt{{e}∧{2} + 1} + 1 − e}{2e}<\frac{1}{4}},{g’(x) = \frac{a}{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} -\frac{1}{4a\sqrt{x}} = \frac{2{a}^{2}(\sqrt{x + 1} + \frac{x}{a} -\frac{2\sqrt{x}\sqrt{x + 1}}{4{a}^{2}})}{4ax\sqrt{x + 1}} = \frac{2{a}^{2}\lbrack \sqrt{x + 1}(1 - \frac{\sqrt{x}}{4{a}^{2}}) + \frac{\sqrt{x}}{a}(\sqrt{x} -\frac{\sqrt{x + 1}}{4a})\rbrack }{4ax\sqrt{x + 1}}},当{0∴g′(x)<0当x∈[1e2,+∞)时恒成立，∴函数y＝g(x)在[1e2,+∞)上单调递减，∴当{0}$g(x)≤0恒成立．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）将a＝−1代入，求导后令f′(x)<0得减区间，令f′(x)>0得增区间；（2）先由g(1)≤0,g(1e2)≤0得{0}$g(x)≤0恒成立即可．【解答】由题意，当a＝−1时，f(x)=−12lnx+√x+1，定义域为{x|x>0}．∴f′(x)=−12x2x+1=√x+1−x2x x+1，①令f′(x)<0，即$${\{}$\${sqrt\{x\, + \, 1\}}$<}$x，解得0＜x${<\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$；②令${f′(x)\gt 0}$，即${\sqrt{x + 1}\gt x}$，解得${x\gt \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}$．∴函数${f(x)}$的单调递减区间为${(0,\, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2})}$，单调递增区间为${(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2},\, + \infty )}$；令g(x)=a2lnx+√x+1−√x2a，∵x∈[1e2,+∞),g(x)≤0恒成立，∴g(1)≤0,g(1e2)≤0得{0}$下证当{0}$g(x)≤0恒成立，先证{\{}$dfrac{\sqrt{{e}∧{2} + 1} + 1 − e}{2e}<\frac{1}{4}},{g’(x) = \frac{a}{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} -\frac{1}{4a\sqrt{x}} = \frac{2{a}^{2}(\sqrt{x + 1} + \frac{x}{a} -\frac{2\sqrt{x}\sqrt{x + 1}}{4{a}^{2}})}{4ax\sqrt{x + 1}} = \frac{2{a}^{2}\lbrack \sqrt{x + 1}(1 - \frac{\sqrt{x}}{4{a}^{2}}) + \frac{\sqrt{x}}{a}(\sqrt{x} -\frac{\sqrt{x + 1}}{4a})\rbrack }{4ax\sqrt{x + 1}}},当{0∴g′(x)<0当x∈[1e2,+∞)时恒成立，∴函数y＝g(x)在[1e,+∞)上单调递减，∴当{0}$g(x)≤0恒成立．。

2019-2020学年浙江省杭州四中高三(上)期中数学试卷及答案

2019-2020学年高三（上）期中数学试卷一、选择题1．已知集合M＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝﹣x2+1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1] C．[0，+∞）D．[1，+∞）2．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点3．设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若多项式x2+x10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a9＝（）A．9 B．10 C．﹣9 D．﹣105．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A．50种B．60种C．70种D．90种7．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．8．设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是若，则a＝（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（）A．α＞β＞γB．α＜β＜γC．α＞γ＞βD．β＞α＞γ10．若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且x1＜x2，f（x1）＝x1，则关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若复数z满足（3+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则z＝；|z|＝．12．已知，若f（x）＝2，则x＝；若f（x）＞2，则x的取值范围为．13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是，最长棱长为．14．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝；P点的坐标为．15．已知，则的值为．16．在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝．17．已知，向量满足，设，的夹角为θ，则cosθ的最小值为．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数，（ω＞0）．该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值；（2）若，，求f（x0+1）的值．19．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．20．已知数列{a n}中，相邻两项a n，a n+1是关于x的方程：x2+3nx+b n+＝0（n∈N*）的两实根，且a1＝1．（1）若S n为数列{a n}的前n项和，求S100；（2）求数列{a n}和{b n}的通项公式．21．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当x A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．22．已知实数a≠0，设函数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．已知集合M＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝﹣x2+1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1] C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】可求出集合N＝{y|y≤1}，然后进行交集的运算即可．解：N＝{y|y≤1}，且M＝{y|y≥0}；∴M∩N＝[0，1]．故选：B．2．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点【分析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案．解：共轭双曲线和的c＝，设a＞0，b＞0，可得它们的焦点为（±c，0），（0，±c），渐近线方程均为y＝±x，离心率分别为和，它们的顶点分别为（±a，0），（0，±b），故选：B．3．设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．解：若G是a，b的等比中项，则G2＝ab．当a＝b＝G＝0时，满足G2＝ab，但a，G，b不能构成等比数列，所以“G2＝ab”是“G是a，b的等比中项”的必要不充分条件．故选：B．4．若多项式x2+x10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a9＝（）A．9 B．10 C．﹣9 D．﹣10【分析】先求x10的系数，再由a9+C109•a10，可求x9的系数，即可得答案解：∵x10的系数为a10，∴a10＝1，x9的系数为a9+C109•a10，∴a9+10＝0，∴a9＝﹣10，故选：D．5．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选C解：A显然正确；∵＝D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）＝＝D（x），∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A．50种B．60种C．70种D．90种【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有＝30种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，此时的选法有＝40种则不同的选法共有30+40＝70种，故选：C．7．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x ﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．8．设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是若，则a＝（）A．B．C．D．【分析】求出期望，利用方差公式求解可得结果．解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝，解得a＝．故选：A．9．已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（）A．α＞β＞γB．α＜β＜γC．α＞γ＞βD．β＞α＞γ【分析】取BC中点O，以OAOB所在直线分别为y、x轴建立空间直角坐标系．可得P（0，，t），（0＜t＜2）．，cosα＝|cos，＞|＝，cosβ＝|cos，＞|＝，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，γ＝600，利用当0＜t＜2时，＜0．即可．解：设直三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长与底面边长为2，如图，取BC中点O，以OAOB所在直线分别为y、x轴建立空间直角坐标系．A（0，，0），B（1，0，0），C（﹣1，0，0），B′（1，0，2），P（0，，t），（0＜t＜2）．直线PB与直线AC所成的角为α，cosα＝|cos，＞|＝，直线PB与直线B'C所成的角为β，cosβ＝|cos，＞|＝，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，γ＝600，∵当0＜t＜2时，＜0．∴cosβ＜cosα．∴β＞α＞γ，故选：D．10．若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且x1＜x2，f（x1）＝x1，则关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合题意可知，关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数即为f （x）＝x1，f（x）＝x2的根的个数，可求．解：f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且x1＜x2，∴f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两根x1，x2，且x1＜x2，即3x12+2ax1+b＝0，3x22+2ax2+b＝0，比较方程3f2（x）+2af（x）+b＝0可得，f（x）＝x1，f（x）＝x2，则关于x的方程3f2（x）+2af（x）+b＝0的不同实根个数即为f（x）＝x1，f（x）＝x2的根的个数，∵x1＜x2，则函数在（﹣∞，x1）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，（x2，+∞）上单调递增，∴f（x）＝x1，有2个实根，分别在x＝x1处和（x2，+∞）内，f（x）＝x2＞x1有1个实根，在（x2，+∞）内综上可得，方程一共有3个根．故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若复数z满足（3+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则z＝；|z|＝．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由（3+i）z＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：；．12．已知，若f（x）＝2，则x＝﹣1 ；若f（x）＞2，则x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【分析】当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＝2，当x＞1时，f（x）＝3x＝2，由此能求出x 的值；由f（x）＞2，当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＞2，当x＞1时，f（x）＝3x＞2，由此能求出x的取值范围．解：∵，f（x）＝2，∴当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＝2，解得x＝﹣1或x＝3（舍），当x＞1时，f（x）＝3x＝2，解得x＝log32，不合题意．综上，x的值为﹣1；f（x）＞2，当x≤1时，f（x）＝|x﹣1|＞2，解得x＜﹣1或x＞3（舍），当x＞1时，f（x）＝3x＞2，解得x＞log32，∴x＞1．综上x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是 1 ，最长棱长为．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD＝1，BC＝2，SB＝x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S＝×（1+2）×2＝3．该几何体为体积是3，高为x，几何体的体积V＝×x×3＝3，可得x＝3．最长棱长为：SD＝＝．故答案为：1；．14．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝ 2 ；P点的坐标为（，）．【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，利用椭圆的定义求解|PF|．解：椭圆的a＝3，b＝，c＝2，e＝设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，设P的坐标为（m，n），可得3﹣m＝4，可得m＝﹣，n＝，由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，故答案为：2；（，）．15．已知，则的值为0 ．【分析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得cos（）与sin（）的值，则答案可求．解：∵，∴cos（）＝cos[π﹣（）]＝﹣cos（）＝﹣．sin（）＝﹣sin（）＝﹣cos（）＝﹣．∴＝．故答案为：0．16．在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出 tan∠ACB、tan∠NCB的值，再利用两角和差的三角公式，求得tanθ＝tan（∠ACB﹣∠MCB），可得BC的值．解：设BC＝x，∠ACM＝θ，则θ为锐角，则tanθ＝tan（∠ACB﹣∠MCB）＝＝＝，依题意，若对于给定的∠ACM，△ABC是唯一的确定的，可得x＝，解得x＝，即BC的值为，此时，tanθ＝＝，再结合sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝．故答案为：．17．已知，向量满足，设，的夹角为θ，则cosθ的最小值为．【分析】根据条件可设，从而根据即可得出4（x﹣1）2+4y2＝x2，且得出x＞0，从而得出，从而得出，从而配方即可求出cosθ的最小值．解：∵，∴设，∴，∴由得，，则x＞0，∴4（x﹣1）2+4y2＝x2，∴，∴＝＝＝＝，∴，即x＝1时cosθ取最小值．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分18．已知函数，（ω＞0）．该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值；（2）若，，求f（x0+1）的值．【分析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由△ABC为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则ω的值可求；（2）利用（1）的结论，结合，求得sin（+）与cos（x0+）＝，再由f（x0+1）＝2sin（），展开两角和的正弦求解．解：（1）由，得：f（x）＝3cosωx+＝2sin（ωx+）．又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4．∴函数f（x）的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝；（2）由f（x0）＝，得2sin（+）＝，整理得sin（+）＝，∵x0∈（﹣，），∴+∈（，），∴cos（x0+）＝，∴f（x0+1）＝2sin（）＝2sin（）cos+cos （）sin＝2（）＝．19．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（），由此能求出结果．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A2A3A4）+P（）＝P（）P（A2）P（A3）P （A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（A2A3A4）+P（）＝P（）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4）＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．20．已知数列{a n}中，相邻两项a n，a n+1是关于x的方程：x2+3nx+b n+＝0（n∈N*）的两实根，且a1＝1．（1）若S n为数列{a n}的前n项和，求S100；（2）求数列{a n}和{b n}的通项公式．【分析】（1）由a n、a n+1是关于的两实根，可得所以a n+a n+1＝﹣3n，即把{a n}相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，S100包含新数列的前50项，用等差数列的前n项和公式即可．（2）由a n+a n+1＝﹣3n，a n+a n+1＝﹣3n，a n+1+a n+2＝﹣3（n+1），两式相减，得a n+2﹣a n＝﹣3，即隔项成等差数列，由a1可得奇数项的通项，由a2可得偶数项的通项，由a n的通项可得b n的通项公式．解：（1）因为a n、a n+1是关于的两实根，所以a n+a n+1＝﹣3n，a2n﹣1+a2n＝﹣3（2n﹣1）＝3﹣6n，，所以S100＝﹣750．（2）a n+a n+1＝﹣3n，a n+1+a n+2＝﹣3（n+1），两式相减，a n+2﹣a n＝﹣3，a2n﹣1＝1﹣3（n﹣1）＝4﹣3n，因为a2＝﹣3﹣a1＝﹣4，所以a2n＝﹣4﹣3（n﹣1）＝﹣1﹣3n，因为，所以，＝，b2n＝a2n a2n+1，所以，．21．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当x A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）求得抛物线的焦点，由题意可得p＝2，可得抛物线方程和准线方程；（2）设过F的直线方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，n），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线AB的斜率不存在，也成立；（3）求得k的范围和C的坐标，运用点到直线的距离公式可得C到直线AB的距离，由弦长公式可得|AB|，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积S的范围，检验直线AB的斜率不存在时，可得△ABC的面积，进而得到所求最大值．解：（1）点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，即＝1，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1；（2）证明：设过F的直线方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，n），即有y12＝4x1，y22＝4x2，n2＝4m，联立直线y＝k（x﹣1）和抛物线y2＝4x可得ky2﹣4y﹣4k＝0，可得y1+y2＝，y1y2＝﹣4，则k OA+k BC＝+＝+＝，由△ABC的重心G在x轴上，可得＝0，即n+y1+y2＝0，即有k OA+k BC＝0，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得k OA+k BC＝0．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）由（2）可得x1x2＝＝1，x1+x2＝+2＝2+，可得x1+＝2+∈（2，），解得k2∈（8，+∞），由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+2＝4+，由n+y1+y2＝0，即n+＝0，即n＝﹣，m＝＝，C的坐标为（，﹣），C到直线kx﹣y﹣k＝0的距离为d＝＝，可得△ABC的面积为S＝d•|AB|＝••（4+）＝2••||，由k2＞8，可得S＝2•（1﹣），设t＝（1＜t＜），则S＝2t（9﹣8t2），由S′＝18﹣48t2＜0，则S在（1，）递减，可得S＜2；当直线AB的斜率不存在时，设A（1，2），B（1，﹣2），可得C（0，0），△ABC的面积为×4×1＝2，可得△ABC的面积的最大值为2．22．已知实数a≠0，设函数．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．【分析】（1）将a＝﹣1代入，求导后令f′（x）＜0得减区间，令f′（x）＞0得增区间；（2）先由得，再证当时，g （x ）≤0恒成立即可．解：（1）由题意，当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣lnx +，定义域为{x |x ＞0}．∴f ′（x ）＝﹣+＝，①令f ′（x ）＜0，即＜x ，解得0＜x ＜； ②令f ′（x ）＞0，即＞x ，解得x ＞．∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（2）令， ∵恒成立，∴得，下证当时，g （x ）≤0恒成立，先证，只需证，即证5e 2﹣12e ＞0，即证e （5e ﹣12）＞0，显然成立，∴，＝，当时，，，∴g ′（x ）＜0当时恒成立，∴函数y＝g（x）在上单调递减，∴当时，g（x）≤0恒成立．。

浙江省杭州第四中学(吴山校区)2019-2020学年度高三(上)数学期中试卷

杭州四中（吴山）2019学年高三（上）期中考试卷满分：150分时间：120分钟一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1. 设集合{}8,6,4=M ，集合{}8,7,3=N ，那么N M 等于（）A. {}8,7,6,4,3B.{}8C.{}8,73，D.{}8,64， 2. 下列曲线中实轴长为22的是（）A. 14822=-y xB.12422=-y xC.18422=-y xD.14222=-y x 3. 设R a ∈，则“0=a ”是“直线054:1=-+y ax l 与直线02:2=-+a ay x l 垂直”的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知复数z 满足()52=+z i ，则z 等于（） A.21B.1C.2D.4 5. 函数[]ππ,,cos 22sin -∈+=x x x y 的图象大致是（）A. B.B. D.6. 已知向量()()2,1,,1--==n m λ，则m 与n 的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（） A. 21>λ B.21-<λ C.21->λ且2≠λ D.无法确定 7. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=22sin 3x n x f ，若对于任意的R x ∈，都有()()()21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为（）A.4B.1C.21D.2 8. 设10<<p ，随机变量ξ的分布列为那么，当P 在1,0内增大时，ξD 的变化是（）A. 减小B.增大C.先减小后增大D.先增大后减小 9. 若()()()013ln 12≥++-⋅--a x x a x x 在R 上始终成立，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.310. 已知()()131,121+=-=x x f x x f ，()()()221x f x f x g +=+()()221x f x f -，若[]5,1,-∈b a ，且当[]b a x x ,,21∈时，()()02121>--x x x g x g 恒成立，则a b -的最大值为（）A.2B.3C.4D.5二．填空题（共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）.11. 已知89,32==ba，则a =_____________，ab =____________.12. 已知a 终边落在()02019:>=x x y l 上，则αtan =___________，⎪⎭⎫⎝⎛+4tan πα=__________. 13. 若双曲线122=-y mx 的渐近线为x y 2±=，则m =________；焦点F 到渐近线的距离为_______.14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________，最长棱长为___________.15. 实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0405202y x y x y x ，则y x Z 24--=的最大值为_____________.16. 在ABC ∆中，4,22,4π===B BC AB ，动点P 在以点B 为圆心，半径为1的圆上，则⋅的最大值为___________. 17. 若4,0≤+>>b a b a ，则ba b a -++2144的最小值为_____________. 三. 解答题（共5题，共74分）.18. （14分）已知函数()()ππ+-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x f cos sin 32sin cos . （1）求()x f 的最小正周期；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f 的单调递减区间.19. （15分）已知函数()bax x x f +=2（b a ,为常数），且方程()012=+-x x f 有两个实根为4,321==x x .（1）求函数()x f 的解析式；（2）设1>k ，解关于x 的不等式()()xk x k x f --+<21.20. （15分）如图，D 是ABC ∆边BC 上一点，BAD CAD BD AC AB ∠=∠==sin 2sin ,3,32. （1）求DC 的长；（2）若2=AD ，求ABC ∆的面积.21. （15分）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2121,2111+==-，数列{}n b 满足n n n a b 2=. （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()()1121+-+-+=n n nn a n a n n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*63124N n T n ∈<的n 的最大值.22. （15分）已知函数()()R a ax x x a x f ∈-+=3ln 22.（1）若1=a ，求()x f 的单调区间；（2）若对于任意的2e x ≥（e 为自然对数的底数），()0≥x f 恒成立，求a 的取值范围.。

浙江省2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷及答案

浙江省2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷及答案说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.满足条件{}{}121,2,3M =，的集合M 的个数是A. 1B. 2C. 3D. 42.已知函数()f x =1()()y f x f x=+的定义域为A. 1[,2]2 B . 1[,2)2 C. [2,)+∞ D.1(0,]23.下列各组函数中表示同一函数的是 A. x x f =)(与2)()(x x g = B. ||)(x x f =与33)(x x g =C.2()(2)x f x =与()4xg x = D.11)(2--=x x x f 与()1g x x =+4.函数y =A.(,3)-∞- B.(,1)-∞- C. (1,)-+∞D.(1,)+∞ 5.已知函数()()()2212(3)x x f x x f x ≥⎧+⎪=⎨<+⎪⎩，则()()13f f -= A.7 B.12 C.18 D.276.已知,,a b c R ∈则下列命题成立的是 A.22a b ac bc >⇒>B.2211,0a b ab ab>>⇒<C.32a b a b >⇒>D.3311,0a b ab ab>>⇒<7. 若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则在区间(0,)+∞上A.()f x 与()g x 都是递增函数B.()f x 与()g x 都是递减函数C.()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D.()f x 是递减函数，()g x 是递增函数 8.若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩≤是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 若实数x 满足22(1)(1)2(3)2121x x f f f -+++≤--，则x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．[1,0)(0,1]- C ．(0,1]D ．(,1][1,)-∞-+∞10.已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，共24分.11. 13103211()()4(0.064)32--+-+= ▲ ．12. 若xx x f 2)1(+=-，则(3)f =▲ ；()f x =▲ ． 13. 已知3()2(,)f x ax bx a b R =++∈，若(2019)3f =，则(2019)f -=▲ ；14. 已知函数1()1f x x=-，把()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的解析式为 ▲ ；()y g x =的递减区间为 ▲ . 15. 已知函数1,01()41,02xxx x x f x x +⎧≤⎪⎪-=⎨+⎪>⎪⎩，则()f x 的值域为▲ ．16. 已知函数()11f x x x x =-+++，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则()f x的最小值为 ▲ ；满足条件的所有a 的值为 ▲ ．17. 已知函数()f x x =，2()252g x x mx m =-+-()m R ∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知,x y 为正数.（1）当1x y +=时，求xy 的最大值；（2）当0x y xy +-=时，求2x y +的最小值.19.已知集合{}{}2230,26A x x x B x x x =--≥=-<.（1）求,()R AB C A B ；（2）已知集合13a C x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，若B C C =，求实数a 的取值范围.20.已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(01)x y f a a a =>≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为8，求实数a的值.21.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，()1xf x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 在R 上的图象；（3）解关于x 的不等式2()(1)f ax x f ax ->-（其中a R ∈）.22.已知函数()()f x x x a a a R =--∈.（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当4a =时，求()f x 在[1,5]x ∈的值域；（3）若对任意[3,5]x ∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 答案一、选择题1.D2.A3.C4.D5.A6.D7.A8. D9.B 10.C二、填空题11.12. 24；13. 1 14.；15. 16. 2；1或317.三、解答题18.（1），当时取到最大值；（2），，当时取到最小值. 19.（1），，；（2）.20.（1）；（2）.21.（1）；（2）图略；（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，或.22.（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；（2）；（3）或.。

2019-2020学年浙江省杭州四中吴山校区高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州四中吴山校区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合M ={0,1，3}，N ={x|0,3，9}，则M ∪N =( )A. {0}B. {0,3}C. {1,3，9}D. {0,1，3，9}2. 双曲线x 23−y 26=1的实轴长为( )A. √3B. 2√3C. 3D. 63. 已知直线l 1：ax +(a +2)y +1=0，l 2：x +ay +2=0，其中a ∈R ，则“a =−3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 复数z 满足z(1+√3i)=|1+√3i|，则z 等于( )A. 1−√3iB. 1C. 12−√32i D. √32−12i5. 已知函数f(x)=log a x (0<a <1)，则函数)A.B.C.D.6. 已知向量a ⃗ =(−1,−2),b ⃗ =(1,λ)，若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A. (−∞,−12) B. (−12,2)∪(2,+∞) C. (−12,+∞)D. (2,+∞)7. 已知函数f (x )=cos (ωx +π3)(ω>0)，f (π6)=f (π3)，且f (x )在区间(π6,π3)上有最大值，无最小值，则ω=( )A. −43 B. 203 C. 83 D. 443 8. 已知ξ～B(n,0.3)，Dξ=2.1，则n 的值为( )A. 10B. 7C. 3D. 6 9. 关于x 的不等式x 2−ax −a >0在x ∈[0,2]时恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (43,+∞)B. (0,43)C. [0,43]D. (−∞,0)10. 函数f (x )=ax +1a (1−x )，其中a >0，记f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，则函数g(a)的最小值为( )A. 12B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 若102x =25，则10−x =________． 12. 已知tan(α−5π4)=15，则tan α=_________． 13. 双曲线9x 2−4y 2=−36的渐近线方程是______ ． 14. 三视图如图所示的几何体的最长棱的长度为______ ．15. 已知实数x 、y 满足{x ≥2x +y −6≤02y −x ≥0，则z =y+1x−6的最大值为____．16. 在△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC =60°，若P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =2，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ .(若A(x 1,y 1)，B(x 1,y 2)，则|AB |2=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2) 17. 已知a >b >0，且a +b =2，则2a+3b +1a−b 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=sinx +cos(x −π6)，求函数f(x)的单调递减区间．19. (1)已知f(x +1)=x 2+2x ，求f(x)的解析式．(2)已知不等式｜x −2｜+｜x +1｜>a 对于一切的实数x 恒成立，求a 的范围．20.在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=2√2，AB=3 3√2，AD=3．(1)求BD的长；(2)求△ABC的面积．21.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．22.已知实数a>0，函数f(x)=e x−ax−1(e为自然对数的底数)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间及最小值；(Ⅱ)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵M={0,1，3}，N={0,3，9}，∴M∪N={0,1，3，9}．故选：D．由M与N，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：根据题意，双曲线的标准方程为x23−y26=1，其中a=√3，则双曲线的实轴长2a=2√3；故选：B．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a的值，由双曲线的实轴长为2a分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式．3.答案：A解析：解：a=0时，两条直线垂直；a=−2时，两条直线不垂直．a≠0，−2时，由l1⊥l2，可得：−aa+2×(−1a)=−1，解得a=−3．∴a=0或−3．∴“a=−3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选：A．对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：【解答】解：复数z满足z(1+√3i)=|1+√3i|=2，z=1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=1−√3i2．【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象，利用特殊点代入计算，排除即可得出结论．【解答】解：由题意，x=0，y=f(1)=0，排除C，D．x=1，y=f(2)<0，排除B，故选A．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量共线的性质，由题意可得a⃗⋅b⃗ =−1−2λ<0，且−1 1≠−2λ，由此求得λ的取值范围．【解答】解：∵向量a⃗=(−1,−2)，b⃗ =(1,λ)，若a⃗，b⃗ 的夹角为钝角，∴a⃗⋅b⃗ =−1−2λ<0，且−11≠−2λ，∴得λ>−12且λ≠2．故选B．7.答案：B解析：【分析】本题考查余弦型函数的与性质，涉及三角函数的最值，考查理解与运算能力，属于中档题．依题意，得出直线x=π4为f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴，即ω⋅π4+π3=2kπ(k∈Z)，再由ω>0且，即可求得答案．解：∵f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)，且f(π6)=f(π3)，在区间(π6,π3)上有最大值，无最小值，∴直线x=π6+π32=π4为f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴，∴ω⋅π4+π3=2kπ(k∈Z)，∴ω=4(2k−13)(k∈Z)，又ω>0，又，解得0<ω≤12，∴当k=1时，ω=203．故选B．8.答案：A解析：解：ξ～B(n,0.3)，Dξ=2.1，∴p=0.3，Dξ=np(1−p)=n×0.3×0.7=2.1；解得n=10．故选：A．由方差公式D(ξ)=np(1−p)，利用二项分布的性质列出方程出n的值．本题考查了二项分布中n，p值的求法问题，是基础题．9.答案：D解析：解：∵不等式x2−ax−a>0对所有x∈[0,2]恒成立，∴a(x+1)<x2，∴a<x2x+1，设f(x)=x2x+1，∴f′(x)=x(x+2)(x+1)2≥0，∴函数f(x)在[0,2]上单调递增，∴x=0时，函数取得最小值为0∴a<0∴实数a的取值范围为(−∞,0)，故选：D分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可求得实数a的取值范围．本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用函数的单调性求解．10.答案：C解析：【分析】本题考查求分段函数的最值，分类讨论思想，属于基础题．利用一次函数的单调性求出g(a)，再分段求出g(a)的值域，得到最小值．【解答】解：f(x)=(a−1a )x+1a，当a>1时，f(x)是增函数，所以g(a)=f(1)=a；当0<a<1时，f(x)是减函数，所以g(a)=f(0)=1a，当a=1时，f(x)=1，g(a)=1，综合得g(a)={a,a≥11a,0<a<1，当a≥1时，g(a)≥1，当0<a<1时，g(a)=1a>1，所以g(a)的最小值为1，故选C．11.答案：15解析：【分析】本题主要考查指数方程．【解答】解：由102x=25⇒(10x)2=25⇒10x=5⇒10−x=15．故答案为15．12.答案：32解析：【分析】本题主要考查liang两角和与差公式和简单的三角恒等变换．【解答】解：tan(α−5π4)=tan(α−5π4+π)=tan(α−π4)，则tan(α−π4)=15，而tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=15，即tanα−11+tanα=15，解得tanα=32．故答案为32．13.答案：y=±32x解析：解：双曲线的标准方程为y29−x24=1，则双曲线的渐近线方程为y=±32x，故答案为：y=±32x求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线渐近线的求解，比较基础．14.答案：√3解析：解：三视图的直观图是棱锥，放到正方体中，可得几何体的最长棱的长度为√3，故答案为√3．三视图的直观图是棱锥，放到正方体中，可得几何体的最长棱的长度。

【解析】浙江省杭州市杭州市第四中学2020届高三上学期期中考试数学试题

杭四中2019学年第一学期高三数学期中考试试题一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则M N =I （）A. ()0,1B. []0,1C. [)0,+∞D. [)1,+∞ 【答案】B∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B.2.我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（） A. 离心率 B. 渐近线C. 焦点D. 顶点【答案】B 【分析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案．【详解】解：共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =0a >，0b >，可得它们的焦点分别为(,0)c ±，(0,)c ±，渐近线方程均为by x a=±，离心率分别为c a 和c b，它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±，故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质，属于基础题． 3.设a ，G ，b ∈R ，则“G 2＝ab ”是“G 为a ，b 的等比中项”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】解：若G 是a ，b 的等比中项，则2G ab =．当0a b G ===时，满足2G ab =，但a ，G ，b 不能构成等比数列，所以“2G ab =”是“G 是a ，b 的等比中项”的必要而不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键，属于基础题．4.若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（）A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 5.设函数1(){0,x D x x =为有理数，为为无理数则下列结论错误的是A. D （x ）的值域为{0,1}B. D （x ）是偶函数C. D （x ）不是周期函数D. D （x ）不是单调函数【答案】C该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C 错误6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )A. 50种B. 60种C. 70种D. 90种【答案】C【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．7.设关于x,y的不等式组210,{0,x yx my m-+>+<->表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B.1,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，即该平面区域和直线22x y -=有交点，而直线,{x m y m=-=的交点(),m m -在直线y x =-上移动，由,{22,y x x y =--=得交点坐标为22,33⎛⎫-⎪⎝⎭，当23m ->即23m <-时，才会交点.【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.8.设0＜a ＜1，已知随机变量X 的分布列是X 0 a 1P13 13 13若()16D X =，则a ＝（） A.12B. 13C.14D.15【答案】A 【分析】先求出期望，利用方差公式求解可得结果．【详解】解：1111()013333aE X a +=⨯+⨯+⨯=，222111111()()()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯2221[(1)(21)(2)]27a a a =++-+-22(1)9a a =-+ 16=， ∴24443a a -+=，即()2210a -=，解得12a =．故选：A ．【点睛】本题主要考查方差的求法，考查计算能力，属于中档题．9.已知直三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱AA '上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B 'C 所成的角为β，二面角P ﹣B 'B ﹣C 的平面角为γ，则（） A. α＞β＞γ B. α＜β＜γC. α＞γ＞βD. β＞α＞γ 【答案】D 【分析】取BC 中点O ，以OA 、OB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量，设出点P 的坐标，求出三个角，再比较大小即可．【详解】解：设直三棱柱ABC A B C '''-的棱长与底面边长为2，如图，取BC 中点O ，以OA 、OB 所在直线分别为x 、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，'(0,1,2)B ，(3,0,)P t (02)t <<， ∴(3,1,)PB t u u u r =-，(3,1,0)AC =-u u u r ，(0,2,2)B C u u u u r '=--，∴cos cos ,PB AC u u u r u u u r α=<>PB AC PB AC u u u r u u u r g u u u r u uu r =223131t ==++-24t +，cos cos ,PB B C u u u r u u u u rβ=<'>PB B C PB B Cu u u r u u u u r g u u u r u u u u r '=='23122t g =++2124t tg-+，由题意，B B BC '⊥，B B BA '⊥，则二面角P B B C '--的平面角为ABC γ=∠，则060γ=，Q 当02t <<时，由二次函数的单调性知，22((1)1102212)t ---<-<．∴1cos cos 2βα<<，∴βαγ>>，故选：D ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比较角的大小，属于中档题．10.已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.若复数z 满足()3i 2i z +=-（i 为虚数单位），则z =________；||z =________．【答案】 (1). 11i 22z =-2∵()3i 2iz +=-，∴()()()()23255113331022i i i i z i i i i ----====-++-，22112222z ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1122i -，22. 12.已知()1,13,1x x x f x x ⎧-≤=⎨>⎩ ，若f （x ）＝2，则x ＝___ 若f （x ）>2，则x 的取值范围为_____．【答案】 (1). 1- (2). (,1)(1,)-∞-+∞U 【分析】当1x „时，()|1|2f x x =-=，当1x >时，()32x f x ==，由此能求出x 的值；由()2f x >，当1x „时，()|1|2f x x =->，当1x >时，()32x f x =>，由此能求出x 的取值范围．【详解】解：Q 1(1)()3(1)xx x f x x ⎧-=⎨>⎩„，由()2f x =，当1x „时，()|1|2f x x =-=，解得1x =-或3x =（舍)，当1x >时，()32x f x ==，解得3log 2x =，不合题意，综上：()2f x =时，1x =-；由()2f x >，当1x …时，()|1|2f x x =->，解得1x <-或3x >（舍)，当1x >时，()32x f x =>，解得3log 2x >，∴1x >，综上：x 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U ；故答案为：1-；(,1)(1,)-∞-+∞U ．【点睛】本题主要考查分段函数的函数值和性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．13.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是_____，最长棱长为_____．【答案】 (1). 314 【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，根据体积公式建立关系，可得答案．【详解】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD =，2AB =，1BC =，PA x =，//AD BC ，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， ∴底面的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴几何体的体积1333V x g g ==，可得3x =，最长棱长为：22212314PC =++ 故答案为：314．【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱锥的体积公式，属于中档题．14.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则|PF |＝_____ P 点的坐标为_____．【答案】 (1). 2 (2). 315,()22- 【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，e ，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得P 的坐标，利用椭圆的定义求解||PF ．【详解】解：由题意，该椭圆的长半轴长3a =，短半轴长5b =半焦距2c =，离心率23e =，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，由焦半径公式可得2343m -=，可得32m =-，代入到椭圆方程得15n =，由||2||4PF AO '==得||2342PF =⨯-=，故答案为：2；315()2-．【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题． 15.已知3cos 63απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则54cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为_____．【答案】0 【分析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得5cos()6πα+与4sin()3πα+的值，则答案可求．【详解】解：∵3cos()6πα-=， ∴5cos()cos[()]66ππαπα+=--3cos()6πα=--=， 4sin()sin()33ππαα+=-+sin ()26ππα⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦3cos()6πα--=，∴54cos()sin()63ππαα+-+33(0=-=，故答案：0．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．16.在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝_____．【答案】6【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB∠、tan NCB∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCBθ=∠-∠，从而求出BC的值．【详解】解：设BC x=，ACMθ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACBx∠=，2tan MCBx∠=，∴tan tan()ACB MCBθ=∠-∠232132661xx xx xx x xg-===+++，依题意，若对于给定的ACM∠，ABC∆是唯一的确定的，可得6xx=，解得6x=BC6，6．【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．17.已知1a=r，向量br满足2b a b a-=⋅r r r r，设ar与br的夹角为θ，则cosθ的最小值为_____．25【分析】根据条件可设(1,0),(,)a b x y==rr，从而根据2||b a b a-=r rr rg即可得出2224(1)4x y x-+=，且得出0x >，从而得出223214y x x =-+-，从而得出2cos 1214x x θ=+-2121()4x x =-++，从而配方即可求出cos θ的最小值．【详解】解：Q ||1a =r ，∴设(1,0),(,)a b x y ==r r， ∴(1,)b a x y -=-r r，由2||b a b a -=r r r r g 得，222(1)x y x -+=，则0x >， ∴2224(1)4x y x -+=， ∴223214y x x =-+-，∴22cos ||||a b a b x y θ==+r r g r r 223214x x x =-+-21214x x =+-2121()4x x =-++ 215(1)4x =--+，∴当11x=即1x =时cos θ取最小值25；故答案为：25．【点睛】本题主要考查了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：5小题，共74分 18.已知函数()2633,(0)2xf x cossin x ωωω=+->，该函数在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．（1）求ω的值；（2）若()0835f x =，02233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，求0(1)f x +的值．【答案】（1）4πω=；（2．【分析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由ABC ∆为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则ω的值可求；（2）利用（1）的结论，结合0()f x =，求得0sin()43x ππ+与03cos()435x ππ+=，再由00(1))443f x x πππ+=++，展开两角和的正弦即可求解．【详解】解：（1）由()2632xf x cosx ωω=+-得：()3cos f x x x ωω=+)3x πω=+，又正三角形ABC 的高为，从而BC ＝4， ∴函数()f x 的周期2428T πω==⨯=，4πω=；（2）由0()f x =得0435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得04sin 435x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∵022,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴0,4362x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴03cos 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴00(1)3sin()443f x x πππ+=++03sin()cos 434x πππ=+0cos()sin 434x πππ++435252⎫=⨯+⨯⎪⎪⎭5=．【点睛】本题主要考查根据三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象求解+析式，考查两角和的正弦公式，解答此体的关键是拆角和配角，属于中档题． 19.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 【答案】（1）0.5；（2）0.1 【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以()20.50.40.50.60.5P X ==??(2)由题意可知，()4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创创创= 【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()4P X =所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．20.已知数列{a n }中，相邻两项a n ，a n +1是关于x 的方程：x 2+3nx +b n 294n +=0（n ∈N *）的两实根，且a 1＝1．（1）若S n 为数列{a n }的前n 项和，求S 100 ；（2）求数列{a n }和{b n }的通项公式．【答案】（1）S 100＝﹣7500；（2）532123122n n n k a n n k-⎧=-⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩，921412n n k b n k⎧-=-⎪=⎨⎪-=⎩【分析】（1）由韦达定理可得所以13n n a a n ++=-，即把{}n a 相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，100S 包含新数列的前50项，用等差数列的前n 项和公式即可；（2）由13n n a a n ++=-、123(1)n n a a n +++=-+两式相减得23n n a a +-=-，即隔项成等差数列，由1a 可得奇数项的通项，由2a 可得偶数项的通项，由n a 的通项可得n b 的通项公式．【详解】解：（1）因为a n 、a n +1是关于229304n x nx b n +++=的两实根，所以a n +a n +1＝﹣3n ，a 2n ﹣1+a 2n ＝﹣3（2n ﹣1）＝3﹣6n ，()100503365075002S -+-⨯==-，所以S 100＝﹣7500．（2）13n n a a n ++=-，123(1)n n a a n +++=-+，两式相减，23n n a a +-=-， ∴2113(1)43n a n n -=--=-，因为2134a a =--=-，所以243(1)13n a n n =---=--，因为2194n n n b n a a ++=，所以2194n n bn a a n +=-，2212129(21)4n n n a a a n --=--299(43)(13)(21)44n n n =-----=-，222219(2)4n n n b a a n +=-=2(13)[43(1)]91n n n ---+-=-，所以532123122n n n k a n n k-⎧=-⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩，921412n n k b n k⎧-=-⎪=⎨⎪-=⎩．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和及其性质，本题的关键是分奇偶做，属于中档题．21.如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA 与直线BC 的倾斜角互补；（3）当x A ∈（1，2）时，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）p ＝2，准线方程为x ＝﹣1 ；（2）见解+析；（3）最大值为2．【分析】（1）求得抛物线的焦点，由题意可得2p =，可得抛物线方程和准线方程；（2）设过F 的直线方程为(1)y k x =-，0k ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)C m n ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线AB 的斜率不存在，也成立；（3）求得k 的范围和C 的坐标，运用点到直线的距离公式可得C 到直线AB 的距离，由弦长公式可得||AB ，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积S 的范围，检验直线AB 的斜率不存在时，可得ABC ∆的面积，进而得到所求最大值．【详解】解：（1）点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，即12p=，即2p =，抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）证明：设过F 的直线方程为(1)y k x =-，0k ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)C m n ，即有2114y x =，2224y x =，24n m =，联立直线(1)y k x =-和抛物线24y x =可得2440ky y k --=，可得124y y k+=，124y y =-，则12121212124()44()OA BC y n y n y y k k x m x y n y y n y -+++=+=+=-++，由ABC ∆的重心G 在x 轴上，可得1203n y y ++=，即120n y y ++=，即有0OA BC k k +=，当直线AB 的斜率不存在时，求得A ，B ，C 的坐标，可得0OA BC k k +=．则直线OA 与直线BC 的倾斜角互补；（3）由（2）可得21212()116y y x x ==，12122422y y x x k k ++=+=+，可得1211452(2,)2x x k +=+∈，解得2(8,)k ∈+∞，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k=++=+，由120n y y ++=，即40n k +=，即4n k =-，2244n m k ==，C 的坐标为24(k ，4)k-，C 到直线kx y k 0--=的距离为448||||k k d +--==，可得ABC ∆的面积为228||1148||(4)2||22k k S d AB k k--==+=g ，由28k >，可得28(1)S k =-，设t t =<<，则22(98)S t t =-，由218480S t '=-<，则S 在(1,4递减，可得2S <；当直线AB斜率不存在时，设(1,2)A ，(1,2)B -，可得(0,0)C ，ABC ∆的面积为14122⨯⨯=，可得ABC ∆的面积的最大值为2．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系及其应用，考查化简运算能力，属于中档题．22.已知实数a ≠0，设函数()12f x alnx =．（1）当a ＝﹣1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）对任意21x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤，求a 的取值范围．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）单调递减区间为（0，12+），单调递增区间为（12，+∞）；（2）0<12ea e-≤【分析】（1）将1a =-代入，求导后令()0f x '<得减区间，令()0f x '>得增区间；（2）先由(1)0g „，21()0g e „得0a <„，再证当0a <„时，()0g x „恒成立即可．【详解】解：（1）由题意，当1a =-时，1()2f x lnx =-{|0}x x >，∴1()2f x x '=-=①令()0f x '<x ，解得0x <<；②令()0f x '>x <，解得x >∴函数()f x 的单调递减区间为，单调递增区间为1()2++∞；（2）令()2a g x lnx =，Q 对任意的21[,)x e∈+∞，()0g x „恒成立，∴(1)0g „，21()0g e „得0a <„，下证当0a <„时，()0g x „恒成立，14<，只需证32e -，即证25120e e ->，即证(512)0e e ->，显然成立，14<，()2a g x x '=+22x a -=22a =当0a <„41110e <--<0<<，∴()0g x '<当21[,)x e∈+∞时恒成立， ∴函数()y g x =在21[,)e +∞上单调递减，∴当0a <„时，()0g x „恒成立．【点睛】本题考查导数的综合运用，主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，掌握解决导数问题的常见方法是解题的关键，属于较难题目．。

2020届浙江省杭州市第四中学高三年级上学期期中考试数学试题(解析版)

绝密★启用前浙江省杭州市第四中学2020届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题(解析版)2019年11月一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则MN =（） A. ()0,1B. []0,1C. [)0,+∞D. [)1,+∞ 【答案】B【解析】 ∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B. 2.我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A. 离心率B. 渐近线C. 焦点D. 顶点【答案】B【解析】【分析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标,可得答案．【详解】解：共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =,设0a >,0b >, 可得它们的焦点分别为(,0)c ±,(0,)c ±, 渐近线方程均为b y x a=±, 离心率分别为c a 和c b,它们的顶点分别为(,0)a ±,(0,)b ±,故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质,属于基础题．3.设a ,G ,b ∈R ,则“G 2＝ab ”是“G 为a ,b 的等比中项”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比中项的定义,利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】解：若G 是a ,b 的等比中项,则2G ab =．当0a b G ===时,满足2G ab =,但a ,G ,b 不能构成等比数列,所以“2G ab =”是“G 是a ,b 的等比中项”的必要而不充分条件,故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键,属于基础题．4.若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++,则9a =（） A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D【解析】 ()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++,()10101a x += 019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++,根据已知条件得9x 系数为0,10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D.。

2019-2020学年浙江省杭州地区(含周边)高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省杭州地区(含周边)高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知{(,)|3}{(,)|1}A x y x y B x y x y =+==-=，，则A B =（）A ．{2,1}B ．{2,1}x y ==C ．{(2,1)}D ．(2,1) 【答案】C【解析】试题分析：{}32{(,)|}{(,)|}(2,1)11x y x A B x y x y x y y +==⎧⎧===⎨⎨-==⎩⎩.故选C ．【考点】集合运算． 2．已知函数2-2()(1)x 1xf x x =>+，则它的值域为（）A ．()0+∞，B ．(),0-∞C ．()-10，D ．()2,0-【答案】D【解析】化简得到4()2(1)1f x x x =-+>+，设1(2)t x t =+>，再求出4(0,2)ty =∈得到答案. 【详解】222(1)44()=2(1)111x x f x x x x x --++==-+>+++ 设1(2)t x t =+>，易知：4(0,2)ty =∈故4()2(1)1f x x x =-+>+的值域为：()2,0- 故选：D 【点睛】本题考查了函数的值域，分离常数是常用的技巧，需要灵活掌握. 3．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有（） A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．4．为了得到函数2log (22)y x =+的图像，只需把函数2log y x =的图像上所有的点（）A ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度【答案】A【解析】通过函数的平移法则依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到2log (22)y x =+，正确；B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到2log (44)y x =-，错误；C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到2log (24)y x =+，错误；D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到2log (48)y x =-，错误. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的平移，熟练掌握函数平移法则是解题的关键.5．设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则当0x < 时，()f x =（） A ．-221x x ++ B ．--221x x ++ C ．-2-2-1x x D ．--2-2-1x x【答案】B【解析】通过(0)0f =解得1b =-，设0x <，则0x ->，代入函数化简得到答案. 【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则0(0)2001f b b =++=\=-设0x <，则0x ->，()221xf x x ---=-()()221x f x f x x -=--=-++故选：B本题考查了通过函数的奇偶性计算函数表达式，通过(0)0f =解得1b =-是解题的关键.6．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选：B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7．下列关于,x y 的关系式中，y 可以表示为x 的函数关系式的是（） A ．221x y += B ．||||1x y += C ．321x y += D ．231x y +=【答案】D【解析】依次判断每个选项是否满足函数关系式得到答案. 【详解】A. 221x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式；B. ||||1x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式；C. 321x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式；D. 231x y +=，y .本题考查了函数关系式，通过特殊值排除选项可以快速得到答案.8．设I 为全集，123,,S S S 是I 的三个非空子集，且123S S S I ⋃⋃=，则下面论断正确的是（）A ．()123I C S S S ⋂⋃=∅B ．()123I I SC S C S ⊆⋂ C ．123I I I C S C S C S ⋂⋂=∅D ．()123I I S C S C S ⊆⋃【答案】C【解析】根据集合间的基本关系，即可求解. 【详解】()1212I I I C S C S C S S ⋂⋃＝，而123S S S I ⋃⋃＝，则123I S S C S ⋃＝，∴()123I C S S S ⋃＝，33I S C S ⋂∅＝，因此C 正确，选C 。

2020学年杭四高一上期中数学试卷

2020学年杭四高一上期中数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分1. 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B =（）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值是（）A ．10B ．10-C ．14D ．14-3. 如果0x y +<，且0y >，那么下列不等式成立的是（）A ．22y x xy >>B ．22x y xy >>-C ．22x xy y <-<D ．22x xy y >->4. 设x ∈R ，则“38x >”是“2x >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若()0,1x ∈，则下列结论正确的是（）A ．122lg xx x >>B ．122lg xx x >>C ．122lg xx x >>D ．12lg 2x x x >>6. 已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-+∞D ．()1,17-7. 已知log x a y =，log y b x =，y c x =，x d y =，其中x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，则（） A ．对任意的x 和y ，都有c d ≠ B ．不存在x 和y ，使a b =C ．a ，b ，c ，d 中大于1的数有奇数个D ．存在x 和y ，使得a b c d <<<8. 设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，则m 的取值范围是（） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531e t KI t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln193≈）A ．60B ．63C ．66D ．6910. 已知函数()f x 在定义域()0,+∞内单调且对任意()0,x ∈+∞时，都有()()2log 3f f x x -=，若方程()222f x x x a -=-++在区间()0,2上有2个解，则实数a 的取值范围（）A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,-+∞二、填空题：每题4分，共28分11. 设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是．12. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为．13. )13f x =+，则()f x = ．14. 不等式2320x x -++>的解集为．15. 若直线2y a =与函数()10,1x y a a a =->≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是． 16. 已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为．17. 已知函数()42log ,041025,4x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是．三、解答题：4小题，共42分 18. （1）已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值；（2）已知0x >，0y >，223x y+=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．19. 已知关于x 的不等式2260kx x k -+<．（1）若不等式的解集为()2,3，求实数k 的值；（2）若0k >，且不等式对一切23x <<都成立，求实数k 的取值范围．20. 已知函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数．（1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数；（3）解不等式()()10f t f t -+<．21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/m mg ，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94/m mg ．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ，可由函数模型()()0.50015,n p n r r r r p n +*=--⋅∈∈R Ν给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/m mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取lg20.3=）．。

2019学年杭四高一上期中

A． 0,1
B． 0,1
C． 0,1
D． 0,1
7.
同一坐标系中，函数
y

1 a
x
与
y

loga

x

（其中
a

0
且
a

1
）的图象可能是（
）
y
y
y
Hale Waihona Puke yOxO
x
O
x
O
x
A
B
C
D
8. 某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税，税率为 R% （即每销售 100 元征税 R 元）．若年
．
13.
若函数
y

f
1
x
的定义域是 3, 1 ，则
f
log1
x 的定义域是
．
2
14. 已知函数 f x log1 x2 ax 3a 在区间 2，上为减函数，则 a 的范围是
．
2
15. 若关于 x 的不等式 0 x2 ax 5 4 的解集为 A ，且 A 只有二个子集，则实数 a 的值为
19. （10 分）已知函数 f x x 1 x 3 ．（1）在答题卡中的网格中画出 f x 的草图；（2）求 f x 在 0，4 上的值域．
20.
（10
分）已知定义域为
R
的函数
f
x

1 2 x 1
2x a
是奇函数．
（1）求 a 的值；
（2）若对任意的 t R ，不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立，求实数 k 的取值范围．