高考数学(理)专题辅导：47 圆的方程 Word版含解析
高考数学复习、高中数学 圆的方程附答案解析
第3节 圆的方程【课标要求】1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 【知识衍化体验】知识梳理1．圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ． 2．圆的标准方程（1）以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为 ． （2）特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为 ，半径为 ． 3．圆的一般方程方程220x y Dx Ey F ++++=变形为22224()()224D E D E Fx y +-+++=．（1）当2240D E F +->时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，该方程表示一个点 ； （3）当2240D E F +-<时，该方程不表示任何图形． 4．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，M 到C 的距离为d ，M 与圆C 的位置关系：（1）点M (x 0，y 0)在圆上⇔ ⇔ ；（2）点M (x 0，y 0)在圆外⇔ ⇔ ； （3）点M (x 0，y 0)在圆内⇔ ⇔ ． [微点提醒]1．到两定点距离之比等于定值（大于0且不为1）的点的轨迹也是圆（阿波罗尼斯圆）． 2．圆心在坐标原点半径r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，圆的标准方程可以通过三角换元得到圆的参数方程：cos ,sin .x a r y b r =+⎧⎨=+⎩θθ3．直径式方程：以11()A x y ，，22()B x y ，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.基础自测疑误辨析 多项选择题1．下列说法正确的是（ ） A ．确定圆的几何要素是圆心与半径． B ．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．C ．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0． D ．圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是1(1,)2．教材衍化2．（必修2P111练习3（2）改编）圆心在直线y x =-上，且过两点(20)A ，，(04)B -，的圆的标准方程为 ．3．（必修2P111练习8改编）若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是 ． 考题体验4．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±15．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝16．已知三点(10)A ，，(0B ，(2C ，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）A ．53B ．3CD ．43【考点聚焦突破】考点一 求圆的方程问题【例1】（1）过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆的方程为________．（2）已知圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，且与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： （1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：⇔圆心在过切点且垂直切线的直线上； ⇔圆心在任一弦的中垂线上； ⇔相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．【训练1】（1）已知点A 是Rt △ABC 的直角顶点，且A (a ，2)，B (－4，a )，C (a ＋1，1)，则△ABC 的外接圆的方程是____________．（2）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为 ． 考点二 与圆有关的最值问题角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例2-1】 已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．（1）求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； （2）求x －2y 的最大值和最小值； （3）求y －2x －1的最大值和最小值．规律方法1．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解． 2．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：（1）形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如m =(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度2 利用对称性求最值【例2-2】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17规律方法求解形如|PM |＋|PN |（其中M 、N 为动点）且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和（差）转化为同一条直线上的两线段和（差），一般要用对称性解决．【训练2】（1）已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋2C ．3－22D ．3－22（2）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=（3）光线从A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】（1）设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，P 为线段MN 的中点，求点P 的轨迹方程．（2）已知点M （x ，y ）与两个定点O （0，0），A （3,0）的距离之比为12，求点M 的轨迹方程为．规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【训练3】（1）圆224240：中经过原点O的弦的中点M的轨迹方程是C x y x y++--=________．（2）已知圆22+=和点(2,0):1O x yb≠-和常数λ满足：对圆OB b(2)A-，若定点(,0)上任意一点M，都有||||b=λ=MB MA=λ，则（Ⅰ）；（Ⅱ）. 反思与感悟[思维升华]1．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．确定圆的方程，不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个参数，需要三个独立的条件，因此利用待定系数法求解时需要建立三个方程的方程组．2．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．[易错防范]1．在研究圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，要注意D2＋E2－4F>0这一隐含条件．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹在得出方程后还要指明轨迹的具体曲线．第3节 圆的方程【知识衍化体验】 知识梳理1．定点 定长 圆心 半径2．（1） (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 （2） (0，0) r3．（1）()22D E --，（2）()22D E--，4．（1）d=r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 （2）d >r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2 （3）d <r (x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2 基础自测 1．AC2． 22(3)(3)10x y -++= 3． (1+)-∞， 4． A 5． A 6． B【考点聚焦突破】【例1】 (1)x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0 (2)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解 （1）由已知三点求出圆的方程，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0．（2）圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，则圆心在直线2x －y －7＝0上，所以圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5．【训练1】 （1）(x ＋2)2＋y 2＝5 （2）22(2)9x y -+=（1）24AB a k a -=--，1AC k =-．因为 AB ⇔AC ，所以 2(1)14AB AC a k k a-⋅=⋅-=---，解得a ＝－1．所以 ⇔ABC 的外接圆是以B (－4，－1)，C (0，1)为直径的圆，所以 所求圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝5．（2）设(,0),(0)C a a >2,3a r ⇒===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【例2-1】 （1）最大值为115，最小值为15；（2）最大值为5－2，最小值为－2－5；（3）最大值为3＋34，最小值为3－34．解 （1）圆心C (－2，0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×（－2）＋4×0＋12|32＋42＝65． 所以P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d－r ＝65－1＝15．（2）设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点．所以|－2－t |12＋22≤1．所以－5－2≤t ≤5－2，所以t max ＝5－2，t min ＝－2－5．（3）设k ＝y －2x －1，则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点，所以|－3k ＋2|k 2＋1≤1，所以3－34≤k ≤3＋34，所以k max ＝3＋34，k min＝3－34． 【例2-2】 A两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4．故选A ．【训练2】 （1）A ； （2）A ； （3）62－2 。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
2021高考数学一轮复习考点规范练47圆的方程(含解析)
2021高考数学一轮复习考点规范练：47圆的方程（含解析）基础巩固1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案:D(1-0)2+(1-0)2=2解析:由题意可得圆的半径r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为( ).3.2A.2B.1C D答案:B解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[ (x-0)2+(y-0)2]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是( )A.x-y=0B.x+y=0C.x-y-2=0D.x+y-2=0答案:D解析:因为直线OD的斜率为k OD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为k AB=-1,所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.4.(2019广西桂林高三一模)“方程x2+y2-4y+k=0表示一个圆”是“0<k<4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:若方程x 2+y 2-4y+k=0表示圆,则(-4)2-4k>0,即k<4.k<40<k<4,0<k<4⇒k<4,所以k<4是0<k<4的必要不充分条件,故选B .5.已知圆C 的圆心在曲线y=上,圆C 过坐标原点O ,且分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,则△OAB 的2x 面积等于( )A.2B.3C.4D.8答案:C 解析:设圆心的坐标是(t,2t).∵圆C 过坐标原点,∴|OC|2=t 2+,4t 2∴圆C 的方程为(x-t )2+=t 2+(y -2t )24t 2.令x=0,得y 1=0,y 2=,∴点B 的坐标为;4t (0,4t )令y=0,得x 1=0,x 2=2t ,∴点A 的坐标为(2t ,0),∴S △OAB =|OA|·|OB|=|2t|=4,即△OAB 的面积为4.1212×|4t|×6.(2019黑龙江伊春三校联考)已知圆C 1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称,则圆C 2的方程为( )A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1答案:B解析:圆C 1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心C 1为(-1,1),半径为1.易知点C 1(-1,1)关于直线x-y-1=0对称的点为C 2,设C 2(a ,b ),则解得所以圆C 2的圆心为C 2(2,-2),半径{b -1a +1=-1,a -12-b +12-1=0,{a =2,b =-2,为1,所以圆C 2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.故选B .7.如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB|=2.(1)圆C 的标准方程为 ;(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)-1-22解析:(1)由题意可设圆心C 坐标为(1,b ),取AB 中点为P ,连接CP ,CB ,则△BPC 为直角三角形,得|BC|=r==b ,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.22 (2)由(1)得,C (1,),B (0,+1),则k BC =-1.22圆C 在点B 处的切线方程为y=x++1,令y=0,得x=--1,22即切线在x 轴上的截距为-1- 2.8.直线l :=1与x 轴、y 轴分别相交于点A ,B ,O 为坐标原点,则△OAB 的内切圆的方程为 .x 4+y 3答案:(x-1)2+(y-1)2=1解析:由直线方程=1与x 轴、y 轴分别相交于点A ,B ,x 4+y 3如图.设△OAB 的内切圆的圆心为M (m ,m ).直线方程=1可化简为3x+4y-12=0,x 4+y 3由点M 到直线l 的距离等于m 得=m ,解得m=1.|3m +4m -12|32+42故△OAB 的内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.9.已知圆M 与y 轴相切,圆心在直线y=x 上,并且在x 轴上截得的弦长为2,则圆M 的标准方程123为 . 答案:(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析:设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得解得{12a -b =0,|a|=r,b 2+3=r 2,{a =2,b =1,r =2或{a =-2,b =-1,r =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.10.已知圆C 的圆心在直线y=-4x 上,且与直线l :x+y-1=0相切于点P (3,-2),求圆C 的方程.解:(方法一)如图,设圆心C (x 0,-4x 0),依题意得=1,4x 0-23-x0则x 0=1,即圆心C 的坐标为(1,-4),半径r=2,故圆C 的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.2(方法二)设所求圆C 的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2,根据已知条件得{y 0=-4x 0,(3-x 0)2+(-2-y 0)2=r 2,|x 0+y 0-1|2=r,解得{x 0=1,y 0=-4,r =2 2.因此所求圆C 的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.能力提升11.已知直线l :x+my+4=0,若曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上存在两点P ,Q 关于直线l 对称,则m 的值为( )A.2B.-2C.1D.-1答案:D解析:曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P ,Q 关于直线l 对称,则直线l :x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.12.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (k>0,且k ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ,B 间的距离为2,动点P 与A ,B 距离之比为,2当P ,A ,B 不共线时,△PAB 面积的最大值是( )A.2B C D 2.2.223.23答案:A解析:如图,以经过A ,B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0),设P (x ,y ),,∵|PA||PB|=2,∴(x +1)2+y 2(x -1)2+y 2=2两边平方并整理得:x 2+y 2-6x+1=0⇒(x-3)2+y 2=8,y max =2,△PAB 面积的最大值是2×2=2,故选A .212×2213.(2019宁夏银川模拟)方程|y|-1=表示的曲线是( )1-(x -1)2A.一个椭圆 B.一个圆 C.两个圆 D.两个半圆答案:D解析:由题意知|y|-1≥0,则y ≥1或y ≤-1.当y ≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y ≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y ≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y ≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D .1-(x -1)214.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在y 轴上截得线段长为22 3.(1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若点P 到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.22解:(1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r.由题设y 2+2=r 2,x 2+3=r 2,从而y 2+2=x 2+3.故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(2)设P (x 0,y 0),由已知得|x 0-y 0|2=22.又P 在双曲线y 2-x 2=1上,从而得{|x 0-y 0|=1,y 20-x 20= 1.由{x 0-y 0=1,y 20-x 20=1,得{x 0=0,y 0=- 1.此时,圆P 的半径r= 3.由{x 0-y 0=-1,y 20-x 20=1,得{x 0=0,y 0= 1.此时,圆P 的半径r= 3.故圆P 的方程为x 2+(y+1)2=3或x 2+(y-1)2=3.高考预测15.已知平面区域恰好被面积最小的圆C :(x-a )2+(y-b )2=r 2及其内部所覆盖,则圆{x ≥0,y ≥0,x +2y -4≤0C 的方程为 .答案:(x-2)2+(y-1)2=5解析:由题意知,此平面区域表示的是以O (0,0),P (4,0),Q (0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ 为直角三角形,所以圆心为斜边PQ 的中点(2,1),半径r=,|PQ|2=5所以圆C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。
第48讲 圆的方程(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第48讲 圆的方程一、课程标准1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 二、基础知识回顾 1、 圆的定义及方程2、 点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． ①(x 0 －a )2＋(y 0 －b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0 －a )2＋(y 0 －b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0 －b )2<r 2⇔点在圆内． 3、常用结论(1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.三、自主热身、归纳总结1、 已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 的值为( )A. －43B. －34 C. 3 D. 2【答案】 A【解析】 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2、 点(m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A. 点在圆外B. 点在圆内C. 点在圆上D. 不能确定 【答案】 A【解析】 将点(m 2，5)代入圆方程，得m 4＋25>24，故点在圆外．3、圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2【答案】A【解析】 由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.故选A.4、点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【答案】A【解析】 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.5、(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －332＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43【答案】AB【解析】 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.6、已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．【答案】213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.四、例题选讲 考点一 圆的方程例1、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________． 【答案】 (x －5)2＋(y －2)2＝17【解析】由圆心既的线段AB 的垂直平分线上，又在直线x －2y －1＝0上，先求出圆心的坐标．线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫52，92，斜率k AB ＝1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－⎝⎛⎭⎫x －52，即x ＋y ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，x －2y ＝1，得圆心C(5，2)，半径r ＝CA ＝17，圆C 的方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.变式1、（湖北武汉二中2019届模拟）根据下列条件，求圆的方程．(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.【解析】(1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )．因为圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上， 则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以C (2,1)，所以r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.变式2、 (1) 已知圆C 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________________________________．(2) 已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________．(3) 若一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．【答案】（1） x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0（2）(x －1)2＋(y ＋4)2＝8； （3） (x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9【解析】（1） 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20①，3D －E ＋F ＝－10②.又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0③.设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，得D 2－4F ＝36④，由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.（2） 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)，所以半径r ＝（3－1）2＋（－2＋4）2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.（3） 因为所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，所以设所求圆的圆心为(3a ，a)．因为所求圆与y 轴相切，所以半径r ＝3|a|.因为所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a)到直线y ＝x 的距离d ＝|2a|2，所以d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，所以a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值. 考点二 与圆有关的最值问题例2 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)yx －4； (2)3x －4y ； (3)x 2＋y 2.【解析】 (1)(方法1)令yx －4＝k ，则kx －y －4k ＝0.∵x ，y 满足x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，∴圆心(－1，2)到直线kx －y －4k ＝0的距离不大于圆的半径2，即||2＋5k k 2＋1≤2，解得－2021≤k≤0，∴y x －4的最大值为0，最小值为－2021.(方法2)令yx －4＝k ，则y ＝k(x －4)代入圆的方程，整理得(1＋k 2)x 2＋(2－4k －8k 2)x ＋16k 2＋16k ＋1＝0，∵上述方程有实数根，∴Δ＝(2－4k －8k 2)2－4(1＋k 2)·(16k 2＋16k ＋1)≥0，化简整理得21k 2＋20k≤0，解得－2021≤k≤0，∴y x －4的最大值为0，最小值为－2021.(2)(方法1)设3x －4y ＝k ，则3x －4y －k ＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即||－3－8－k 25≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x －4y 的最大值为－1，最小值为－21.(方法2)设k ＝3x －4y ，即y ＝34x －k4，代入圆的方程，整理得25x 2－(16＋6k)x ＋k 2＋16k ＋16＝0，∵上述方程有实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k 2＋16k ＋16)≥0，化简整理得k 2＋22k ＋21≤0，解得－21≤k≤－1，∴3x －4y 的最大值为－1，最小值为－21.(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d ＝()－1－02＋()2－02＝5，根据几何意义，知x 2＋y 2的最大值为()5＋22＝9＋45，最小值为()5－22＝9－4 5.(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x ，y 变为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α∈R)，x 2＋y 2＝()－1＋2cos α2＋()2＋2sin α2＝9＋8sin α－4cos α＝9＋45sin(α＋φ)∴x 2＋y 2的最大值为9＋45，最小值为9－4 5.变式1、已知点(x ，y)在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 【解析】 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，所以x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.变式2、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则(1)yx 的最大值和最小值分别为________和________； (2)y －x 的最大值和最小值分别为________和________； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值分别为_______和_______．【答案】 (1)3 －3 (2)－2＋6 －2－6 (3)7＋43 7－43【解析】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6，所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 考点三 与圆有关的轨迹问题例3 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝3，△ABC 所在平面内存在点P 使得PB 2＋PC 2＝3PA 2＝3，则△ABC 面积的最大值为____． 【答案】52316【解析】 以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，设B(－a ，0)，C(a ，0)(a>0)，则A(0，3－a 2)，P(x ，y)，则P(x ，y)点满足(x ＋a)2＋y 2＋(x －a)2＋y 2＝3，和x 2＋(y －3－a 2)2＝1， 即P(x ，y)点为圆x 2＋y 2＝32－a 2和圆x 2＋(y －3－a 2)2＝1的交点．则⎪⎪⎪⎪1－32－a 2≤3－a 2≤1＋32－a 2，解得0<a 2≤2316， ∴△ABC 面积为S ＝12×2a×3－a 2＝3a 2－a 4＝－（a 2－32）2＋94，∵0<a 2≤2316<32，∴当a 2＝2316时S 有最大值52316.变式1、已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．(1)求直角顶点C 的轨迹方程； (2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．【解析】(1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．变式2、已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2 ＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．五、优化提升与真题演练1、（2020年北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.2、（2020年全国2卷）.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.B.C.5D.5【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B.3、（2020年天津卷）知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．4、(2019镇江期末）已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．【答案】 (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】由几何知识可知，圆心C 在圆 x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0的圆心与原点的连线y ＝x 上，又在OA 的垂直平分线y ＝－3上，所以C(－3，－3)，易得圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________． 【答案】：(－∞，－2)【解析】：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．6、(一题两空)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)直线l 的方程为____________；(2)过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程为________．【答案】(1)y ＝x －1(2)(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144【解析】：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.7、已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 【解析】(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .因为直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． 上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的方程课件-2024届高考数学一轮复习
得 �� + − + ＋ = ， 解得 = ， 所以圆 C 的一般方
＝ − .
− ＋ − = ，
程为
x 2＋ y 2＋8 x ＋2 y －33＝0.
返回目录Βιβλιοθήκη 考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 （1） 已知 A （－1，0）， B （1，0）， C 为平面内的一动点，且
2. （2023·浙江模考）在平面直角坐标系中， A （－1，0）， B （1，
0），动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝4.
（1） 求点 P 的轨迹方程.
解：（1） 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则由题意，得（ x ＋1）2＋ y 2＋
（ x －1）2＋ y 2＝4.化简，得 x 2＋ y 2＝1.所以点 P 的轨迹方程为 x 2＋ y 2
＝1有交点.所以
最小值为－
｜｜
+
≤1，解得－
≤ k ≤ .所以 的最大值为 ，
.
返回目录
（2） y － x 的最大值和最小值；
解：（2） 方法一：令 y － x ＝ t ，所以直线 x － y ＋ t ＝0与圆（ x －2）2
＋ y 2＝1有交点.所以
｜+｜
＋(−）
的是（
AC
）
A. 圆 C 的方程为（ x －5）2＋（ y －6）2＝10
B. 点 M （3，3）在圆 C 内
C. 若点 Q （5，3），则｜ PQ ｜的最小值为 10 －3
D. 若点 N （6， a ）在圆外，则 a 的取值范围是（3，9）
圆的方程(讲)-2019年高考数学(理---精校解析 Word版
，则该圆的标准方程为：
为圆心
点
⇔
⇔
圆的标准方程为：
）
的距离：
轴的正半轴上，点在圆
的距离为
【答案】
【解析】设，则的方程为
,上【答案】
②－①得：
.
上，所以线段的垂直平分线与直线
.
【答案】
已知圆，与圆关于直线的方程为（
B.
D.
，方程
【答案】
，，时方程为，即
，圆心为时方程为
分别与轴，，两点，点面积的取值范围是
B C
分别与轴，轴交于两点
在圆
，则圆心到直线距离
到直线的距离的范围为
在圆
【答案】
，则，即
min
的距离为，求该圆的方程．
【答案】
届吉林省长春市普通高中一模】已知圆的圆心坐标为
，即
内，过点
，若公差，那么
，
【答案】
轴对称的圆上的点的最短路径
到圆心
一条直线过点
B.
D.
即.
，平方得：，所以直线的方程为即.
若动点上，动点上，记线段的中点为，且的取值范围为
【答案】
，可得点在线段上运动，
的距离的平方为最小，
的最小值为，
，解得
与重合时，的最大值为的最大值为
的取值范围是.
已知圆方程
相交于两点，且（为坐标原点），求
）的条件下，求以
(1).
,的取值范围；
,可求的值；写出以
）由，得：
，
）圆心为
，
圆的方程。
(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(2021年整理)
(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(word版可编辑修改)的全部内容。
高中数学圆的方程经典例题与解析例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径,则点在圆内．解法一：（待定系数法)设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra ra解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?例2 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422=++-k k解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解． 例3、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例4 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析:借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图,在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ,也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ,143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题,若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 例5：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
高考数学复习第7章解析几何第3讲圆的方程
答案：(x－2)2＋y2＝9
(3)(2018 年天津) 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0) , (1,1),(2,0)的圆的方程为______________.
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点
F＝0， (0,0)，(1,1)，(2,0)，则1＋1＋D＋E＋F＝0，
解析：抛物线 y2＝4x 中,2p＝4,p＝2,焦点 F(1,0),准线 l 的方程为 x ＝－1 ,以 F 为圆心,且与 l 相切的圆的方程为 (x－1)2＋y2＝22,即为(x－1)2＋y2＝4.
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________. 解析：∵圆心在直线 x－2y＝0 上，∴设圆心为(2a，a)， ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切，∴a>0，r＝2a，又∵圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3，∴a2＋( 3)2＝(2a)2，a2＝1，a＝1.则圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(x－1)2＝4.
(2)研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思 想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量.总之,要 数形结合,拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到 直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
考点 2 与圆有关的最值问题 考向 1 斜率型最值问题 例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最 大值和最小值.
的学习过程中,体会用 与圆的位置关系；二是重在知识的交
代数方法处理几何问题 汇处命题,把解析几何初步与集合、
的思想
向量、函数等知识结合命题,注重考
圆的方程 高中数学例题课后习题详解
第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程例1求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上．分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上．把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上（图2.4-2）．图2.4-2例2ABC 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC 的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a ，b ，r ，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是222222222(5)(1),(7)(3),(2)(8),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩即22222222210226,14658,41668,a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去2a ，2b ，2r ，得到关于a ，b 的二元一次方程组28,1.a b a b -=⎧⎨+=-⎩解此方程组，得2,3.a b =⎧⎨=-⎩代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =．所以，ABC 的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．例3已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=，求此圆的标准方程．分析：设圆心C 的坐标为(,)a b ．由已知条件可知，||||CA CB =，且10a b -+=．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心C 的连线垂直于AB ，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b ．因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=．①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB ==，即330a b --=②由①②可得3a =-，2b =-．所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．解法2：如图2.4-3，设线段AB 的中点为D ．由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(22)-，可得点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为21321AB k --==--．因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组330,10x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．解这个方程组，得3,2.x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．图2.4-3练习1.写出下列圆的标准方程.（1）圆心为()3,4C -，半径是；（2）圆心为()8,3C -，且经过点()5,1M --．【答案】（1）（x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．【解析】【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【详解】解：（1）∵圆心在C （﹣3，4）x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）∵圆心在C （﹣8，3），且经过点M （﹣5，﹣1），故半径为MC ==5，故圆的标准方程为（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．2.已知圆的标准方程是()()223216x y -++=，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．（1）()14.30, 5.72M -；（2）()25.70,1.08M ；（3）()33,6M -．【答案】（1）1M 在圆内；（2）2M 在圆外；（3）3M 在圆上.【解析】【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.【详解】（1）22(4.303)(5.722)15.528416-+-+=< ，1M ∴在圆内；（2）22(5.703)(1.082)16.776416-++=> ，2M ∴在圆外；（3）22(33)(62)16-+-+= ，3M ∴在圆上.3.已知()14,9P ，()26,3P 两点，求以12PP 为直径的圆的方程，并判断点()6,9M ，()3,3N ，()5,3Q 与圆的位置关系．【答案】点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【解析】【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心()5,6C ．直径12PP ==．故所求圆的方程为()()225610x y -+-=．CM r == ，∴点M在圆上；CN r => ，∴点N 在圆外；3CQ r =< ，∴点Q 在圆内．综上：点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题型.4.已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【答案】()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可确定圆的直径为AB ，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.【详解】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为52OC =，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=.2.4.2圆的一般方程例4求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．分析：将点O ，1M ，2M 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=．①因为O ，1M ，2M 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解这个方程组，得8,6,0.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,3)-，半径5r ==．例5已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．分析：如图2.4-4，点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=．建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以利用点A 的坐标所满足的关系式得到点M 的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．图2.4-4解：设点M 的坐标是(),x y ，点A 的坐标是()00,x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以042x x +=，032y y +=．于是有024x x =-，023y y =-．①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即()220014x y ++=．②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理，得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这就是点M 的轨迹方程，它表示以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆．练习5.求下列各圆的圆心坐标和半径.（1）2260x y x +-=；（2）2220x y by ++=；（3）222230x y ax a +--+=．【答案】(1)圆心为(30)，，半径为3；(2)圆心为(0)b -，，半径为b ;(3)圆心为()a ，半径为a .【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.【详解】(1)方程222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心为(30)，，半径为3；(2方程2222220()x y by x y b b ++=⇒++=，所以圆心为(0)b -，，半径为b ；(3)方程222222230()()x y ax a x a y a +--+=⇒-+-=，所以圆心为()a ，半径为a ；6.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.（1）220x y +=；（2）222460x y x y +-+-=；（3）22220x y ax b ++-=．【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）由方程可得0,0x y ==；（2）化简可得()()221211x y -++=可判断；（3）化简可得()2222x a y a b ++=+，分0a b ==和0a ≠或0b ≠时讨论可得.【详解】（1） 220x y +=，0,0x y ∴==，故220x y +=表示点()0,0；（2）222460x y x y +-+-=可化为()()221211x y -++=，所以方程222460x y x y +-+-=表示以()1,2-为半径的圆；（3）22220x y ax b ++-=可化为()2222x a y a b ++=+，当0a b ==时，方程22220x y ax b ++-=表示点()0,0，当0a ≠或0b ≠时，方程22220x y ax b ++-=表示以(),0a -为半径的圆.7.如图，在四边形ABCD 中，6AB =，3CD =，且//AB CD ，AD BC =，AB 与CD 间的距离为3．求等腰梯形ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【答案】圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径长为8.【解析】【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将A,B,C 三点坐标代入求解即可.【详解】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则9309309393042D F D F D E F ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++++=⎩.解得0349D E F =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故所求圆的方程为223904x y y +--=,其圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,3658=.习题2.4复习巩固8.求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.（1）22250x y x +--=；（2）222440x y x y ++--=；（3）2220x y ax ++=；（4）222220x y by b +--=．【答案】(1)圆心(10)，，半径r =，图见解析；(2)圆心(12)-，，半径3r =，图见解析；(3)圆心(0)a -，，半径r a =，图见解析；(4)圆心(0)b ，，半径r =，图见解析；【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.【详解】(1)方程2222250(1)6x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为(10)，，如图；(2方程22222440(1)(2)9x y x y x y ++--=⇒++-=，所以圆心为(12)-，，半径为3，如图；(3)方程2222220()x y ax x a y a ++=⇒++=，0a ≠所以圆心为(0)a -，，半径为a ；不妨设=2a ，如图；(4)方程222222220()3x y by b x y b b +--=⇒+-=，0b ≠所以圆心为(0)b ，；不妨设=1b ，如图；9.求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点()8,3C -，且过点()5,1A ；（2）过()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -三点．【答案】（1）22(8)(3)25x y -++=（图见解析）（2）2242200x y x y +---=（图见解析）【解析】【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径5r ==,所以圆的方程为：22(8)(3)25x y -++=.（2）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=.将()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -代入得：1+255042525550236462020D E F D D E F E D E F F -++==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++-+==-⎩⎩所以圆的方程为：2242200x y x y +---=.10.已知圆C 经过原点和点()2,1A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程．【答案】22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到不等式组，解之即可求出结果.【详解】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得()()()()2222220021210a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪--=⎪⎩，解得2651102920a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，因此22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.圆C 的圆心在x 轴上，并且过()1,1A -和()1,3B 两点，求圆C 的方程．【答案】()22210x y -+=【解析】【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.【详解】设圆C 的圆心坐标为()C a ，0，半径为r ，则圆C 的标准方程为：222()x a y r -+=，有{222222(1)1(1)3a r a r --+=-+=，解得2210a r ==，，所以圆C 的标准方程为：22(2)10x y -+=综合运用12.已知圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．求证：此圆的方程是（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴圆心为C （122x x +，122y y +），半径为2AB =∴此圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭+()()22212121224x x y y y y y -+-+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即x 2–（x 1+x 2）x +()2124x x ++y 2–（y 1+y 2）y +()()()22212121244y y x x y y +-+-=，即x 2–（x 1+x 2）x +x 1•x 2+y 2–（y 1+y 2）y +y 1•y 2=0，即（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.平面直角坐标系中有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,2D -四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【解析】【分析】以、、A B C 三点，求出圆的方程，再将点D 代入即可得出答案.【详解】设过、、A B C 三点的圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=.将、、A B C 三点代入得：1+02412069163405E F D D E F E D E F F +==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩.所以圆的一般方程为222650x y x y +--+=.将点()1,2D -代入得：22(1)22(1)6250-+-⨯--⨯+=，满足方程.所以四点在同一个圆上.14.已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以()4,2为圆心，半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆【解析】【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y，腰长为r ==，∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以()4,2为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.15.长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.【解析】【分析】设AB 的中点坐标为（x ，y ），当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案．【详解】解：设线段AB 的中点P （x ，y ），若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP 12=AB ，而AB ＝2a ，∴OP ＝a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2＝a 2（a ＞0）；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．故线段AB 的中点的轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.拓广探索16.已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心2为半径的圆【解析】【分析】设出点M ,根据题意列出等式，化简即为答案.【详解】设点(,)M x y .则12MO MA==，化简得：2222230(1)4x y x x y ++-=⇒++=为以(1,0)-为圆心2为半径的圆.17.在半面直角坐标系中，如果点P 的坐标(),x y 满足cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为参数．证明：点P 的轨迹是圆心为(),a b ，半径为r 的圆．【答案】证明见解析.【解析】【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.【详解】由cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩可得cos sin x ary b r θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又因为22cos sin 1θθ+=，所以221x a y b r r --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222()()x a y b r -+-=，所以点P 的轨迹是圆心为(,)a b ，半径为r 的圆.。
第3节 圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节圆的方程1．圆的定义及圆的方程＝D 2＋E 2－4F2的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，－D 2，D2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2或x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0之间存在着下列关系：位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点在圆外|MC |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点在圆内|MC |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝2解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．答案2解析∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．答案(x＋3)2＋(y－3)2＝10解析点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝2－00－（－4）＝12，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由x＋y＋3＝0，＋y＝0，＝－3，＝3，所以圆心为(－3，3)，r＝（－3）2＋（3－2）2＝10，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．答案x2＋y2＋4x－2y＝0解析设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得a＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝（－2＋4）2＋（1－0）2＝5，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．答案(x＋1)2＋(y－1)2＝2解析设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，2＋b2＝r2，2＋（2－b）2＝r2，2－a）2＋（2－b）2＝r2，＝－1，＝1，＝2，因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．【通性通法】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【巩固迁移】1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝13解析由题设知，|PA|＝10，|PB|＝13，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y＋1)2＝13.2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得2－a）2＋（－3－b）2＝r2，2－a）2＋（－5－b）2＝r2，－2b－3＝0，＝－1，＝－2，2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，x＋y＋4＝0，－2y－3＝0，解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝10，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以k AC k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)，知点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入，得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．所以直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【巩固迁移】3．已知两点A (－5，0)，B (5，0)，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程为________________．答案x 2＋y 2－252x ＋25＝0解析设P (x ，y )，由题意可知|PA |＝3|PB |，由两点间距离公式，可得（x ＋5）2＋y 2＝3（x －5）2＋y 2，化简，得x 2＋y 2－252x ＋25＝0.4．(2023·江苏淮安一模)已知点A (2，0)是圆x 2＋y 2＝4上一点，点B (1，1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．解(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2，2y )．因为点P在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)如图，设PQ 的中点N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|k2＋1≤22，解得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，解得b＝9或b＝1，所以y－x的最大值为9，最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【巩固迁移】5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析设圆心为C (x ，y )，则（x －3）2＋（y －4）2＝1，化简得(x －3)2＋(y －4)2＝1，所以圆心C 的轨迹是以M (3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC |＋1≥|OM |＝32＋42＝5，所以|OC |≥5－1＝4，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号．故选A.6．已知A (－2，0)，B (2，0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最大值为()A ．40B ．46C ．48D ．58答案D解析设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，|OC |＝4，所以|PO |2的最大值为(|OC |＋r )2＝(4＋1)2＝25，所以|AP |2＋|BP |2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.【通性通法】建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．【巩固迁移】7．等边三角形ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为()A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案A解析设等边三角形ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且|OM |＝13|OC |，则A (－3，0)，B (3，0)，C (0，33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－2 3.考向3利用对称性求最值例5一束光线，从点A (－2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是()A ．52－1B ．52＋1C ．32＋1D ．32－1答案A解析如图，依题意知，圆C 的圆心C (3，3)，半径r ＝1，点A (－2，2)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－2)，连接A ′C 交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A ′与圆C 上的点的距离的最小值为|A ′B |＝|A ′C |－r ＝（－2－3）2＋（－2－3）2－1＝52－1.在x 轴上任取点P ，连接AP ，A ′P ，PC ，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是52－1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【巩固迁移】8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．答案213－1解析根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝（6－0）2＋（－2－2）2－1＝213－1.课时作业一、单项选择题1．(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为() A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a ＜0或a＞4.∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C.2．(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M 以PQ为直径，则圆M的标准方程为()A．x2＋(y＋5)2＝5B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25D．x2＋(y－5)2＝25答案B解析因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，半径为|MQ|＝（0－2）2＋（5－6）2＝5，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.故选B. 3．(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是() A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案A解析由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A. 4．(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为()A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x－6)2＋(y－4)2＝4答案D解析由圆的方程(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得，圆心坐标为(－2，12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心为(－2，12)关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，－b＋122＋6＝0，1，解得a＝6，b＝4，故圆的方程为(x－6)2＋(y－4)2＝4.故选D.5．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是() A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案B解析∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1，0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.故选B.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4答案B解析∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3，4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.故选B.7．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1，0)，B (1，0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．2B ．22C ．42D ．4答案B解析由已知，得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式，得≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．故选B.8．(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)是直线l ：3x ＋2y －4＝0上的动点，若在圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则y 0的取值范围为()AB ，2413C－1013，D．－1013，答案C解析在圆O 上总存在不同的两点A ，B 使得AB 垂直平分OP .若P 为直线l 与y 轴的交点，得P (0，2)，此时圆O 上不存在不同的两点A ，B 满足条件；若P为直线l 与x 轴的交点，得此时直线AB 的方程为x ＝23，满足条件，y 0＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，∵AB ⊥OP ，k OP ＝y 0x 0，∴k AB ＝－x 0y 0，∴直线AB 的方程为y －y 02＝－化为2x 0x ＋2y 0y－x 20－y 20＝0，由圆心到直线AB 的距离d ＝x 20＋y 202<1，得x 20＋y 20<4，又3x 0＋2y 0－4＝0，化为13y 20－16y 0－20<0，解得－1013<y 0<2，∴y 0－1013，故选C.二、多项选择题9．已知△ABC 的三个顶点为A (－1，2)，B (2，1)，C (3，4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是()A ．圆M 的圆心坐标为(1，3)B ．圆M 的半径为5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2，3)在圆M 内答案ABD解析设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＋4－D ＋2E ＋F ＝0，＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，＝－2，＝－6，＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1，3)，圆M 的半径为5，因为直线x ＋y ＝0不经过圆M 的圆心(1，3)，所以圆M 不关于直线x ＋y ＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M 内．故选ABD.10．设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C 的坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，故A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简，得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，故B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简，得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D 正确．故选ABD.三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A (4，0)，P 是圆x 2＋y 2＝4上的一动点，Q 是AP 的中点，则点Q 的轨迹方程是________．答案(x －2)2＋y 2＝1解析如图所示，设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x 20＋y 20＝4①，因为Q 为AP 的中点，所以x ，y 0＝2x －4，0＝2y②，所以由①②得，(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点Q 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.12．(2023·广东湛江三模)已知圆C 过点A (－2，0)，B (2，4)，当圆心C 到原点O 的距离最小时，圆C 的标准方程为________．答案(x －1)2＋(y －1)2＝10解析由A (－2，0)，B (2，4)，可得线段AB 中点的坐标为(0，2)，又k AB ＝4－02－（－2）＝1，所以AB 垂直平分线的方程为y ＝－x ＋2，则圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，当圆心C 到原点O 的距离最小时，则OC 垂直于直线y ＝－x ＋2，则OC ∥AB ，所以直线OC的方程为y ＝x ，＝x ，＝－x ＋2＝1，＝1，所以圆心C (1，1)，又半径r 2＝|AC |2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.13．(2024·福建泉州期中)已知点P (m ，n )在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝9上运动，则(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为________．答案64解析由题意得，圆心C (2，2)，半径r ＝3.(m ＋2)2＋(n ＋1)2表示圆C 上的点P 到点M (－2，－1)的距离的平方，因为|CM |＝5，所以|PM |max ＝5＋3＝8，即(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为64.14．已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________．答案25解析因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，＋n ＋22＋2＝0，1，＝－4，＝－2，故A ′(－4，－2)．由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |≥|A ′C |－r ＝2 5.四、解答题15．(2023·广东佛山期中)已知圆C 过点A (4，0)，B (0，4)，且圆心C 在直线l ：x ＋y －6＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若从点M (4，1)发出的光线经过直线y ＝－x 反射，反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线l 1的一般方程．解(1)由A (4，0)，B (0，4)，得直线AB 的斜率为k AB ＝0－44－0＝－1，线段AB 的中点D (2，2)，所以k CD ＝1，直线CD 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x ，＋y －6＝0，＝x ，＝3，＝3，即C (3，3)，所以半径r ＝|AC |＝（4－3）2＋（0－3）2＝10，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝10.(2)由l 1恰好平分圆C 的圆周，得l1经过圆心C (3，3)，设点M 关于直线y ＝－x 的对称点N (x ，y )，则直线MN 与直线y ＝－x 垂直，且线段MNy ＝－x 上，则有（－1）＝－1，＝－x ＋42，＝－1，＝－4，所以N (－1，－4)，所以直线CN 即为直线l 1，且k l 1＝k CN ＝3－（－4）3－（－1）＝74，反射光线l 1的方程为y －3＝74(x －3)，即7x －4y －9＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，由题意可得Δ＝m 2－8m >0.则m <0或m >8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M －14，，半径r ＝|CM |＝174，＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理，得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.2＋y 2－y ＝0，＋2y －2＝0，＝0，＝1＝25，＝45.故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)17．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案ACD解析因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，故A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；由C 项知，它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，点M (4，2)，点P 在圆C 上，O 为原点，则下列命题正确的是()A ．M 在圆上B ．线段MP 的长度的最大值为5＋1C ．当直线MP 与圆C 相切时，|MP |＝2D ．MO →·MP →的最大值为25＋6答案BCD解析将M (4，2)代入圆的方程，(4－2)2＋(2－3)2＝5>1，所以M 在圆外，A 错误；线段MP的长度的最大值为|MC |＋1＝（4－2）2＋（2－3）2＋1＝5＋1，B 正确；当直线MP 与圆C 相切时，|MC |2＝|MP |2＋1＝[（4－2）2＋（2－3）2]2，∴|MP |＝2，C 正确；设动点P (x ，y )，点P 的轨迹是圆心为(2，3)，半径为1的圆，x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，又M (4，2)，所以MO →·MP →＝(－4，－2)·(x －4，y －2)＝－4(x －4)＋(－2)·(y －2)＝－4x －2y ＋20，因为x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，所以MO →·MP →＝－4cos θ－2sin θ＋6＝25sin(θ＋φ)＋6，θ∈[0，2π)，且sin φ＝－255，cos φ＝－55，则MO →·MP →的最大值为25＋6，D 正确．故选BCD.。
高中数学圆的方程知识点及习题(含答案)
圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】【考点梳理】考点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系(2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程垐垐?噲垐?展开配方一般方程. 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.解析：设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，，()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）A. 22(2)(1)1x y -+-= B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-= D. 22(3)(1)1x y -+-=解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|15a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=，选A.类型二：圆的一般方程例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得2221(2)(4)(4)4(95)102r=-+-+---=.举一反三：【变式1】圆与y轴相切，圆心P在直线30x y-=上，且直线y x=截圆所得弦长为27，求此圆的方程。
【优质文档】2021届高中数学圆的一般方程Word版含解析
2 （ x－2） 2＋y2，整理得 x2＋ y2＝ 16.
答案： B
二、填空题 6．已知圆 C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a 为实数 )上任意一点关于
直线 l：x－ y＋2＝ 0 的对称点都在圆 C 上，则 a＝ ________．
解析： 由题意知，直线
l：x－y＋2＝ 0 过圆心
－
1，－
a 2
答案： C 2．若圆 x2＋ y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为
22，则 a 的值为 (
)
A．－ 2 或 2
B.12或
3 2
C．2 或 0
D．－ 2 或 0
解析：由圆心 (1，2)到直线的距离公式得
|1－ 2＋a| 2＝
22，得
a＝ 0
或 a＝ 2.
答案： C 3．若圆 (x－3)2＋(y＋3)2＝4 关于直线 l：Ax＋4y－6＝0 对称，则
得 a＝－ 10，符合 D2＋E2－4F >0 的条件．
答案： －10 8．已知圆 x2＋ y2＋kx＋ 2y＝－ k2，当该圆的面积取最大值时，
圆心坐标为 ________． 解析： 由 x2＋ y2＋kx＋2y＝－ k2，
得
k x＋ 2
2 ＋
(
y＋
1)2＝－
34k2＋1.
所以当－ 34k2＝0，即 k＝0 时，圆的面积最大，此时圆心坐标为
直线 l 的斜率是 ( )
3
2
A．－ 2
B.3
C．－
2 3
D．6
解析：圆心坐标为 (3，－ 3)，由题意知圆心在直线 Ax＋ 4y－6＝0
上，所以 A×3＋4× (－3)－6＝0，解得 A＝6，
2022年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第9章 第3讲 圆的方程 Word版含解析
第3讲圆的方程最新考纲把握确定圆的几何要素，把握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.诊断自测1.推断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()解析(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜14或m＞1时才表示圆.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(2021·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.答案 D3.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a＝±1解析由于点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案 A4.(2022·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.答案(－2，－4) 55.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________.解析设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2，0)， 半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案 (x －2)2＋y 2＝106.(2021·湖州调研)若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________.解析 已知圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心坐标是(－1，0)、半径是1，设圆C 的圆心(a ，b )，则有⎩⎨⎧ba ＋1＝1，a －12＋b2－1＝0，由此解得a ＝1，b ＝2，即圆心C 的坐标为(1，2)，因此圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案 (1，2) x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0考点一 圆的方程【例1】 (1)(2021·金华调研)过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________.(2)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________.解析 (1)法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵点A (4，1)，B (2，1)在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，又∵b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①，②，④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.答案 (1)(x －3)2＋y 2＝2 (2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0规律方法 求圆的方程时，应依据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过争辩圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三共性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.【训练1】 (1)(2022·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)(2021·武汉模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.解析(1)由于圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)(x－1)2＋y2＝4考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.【训练2】(1)(2021·义乌市诊断)圆心在曲线y＝2x(x＞0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为()A.(x－2)2＋(y－1)2＝25B.(x－2)2＋(y－1)2＝5C.(x－1)2＋(y－2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝5(2)(2022·全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________.解析(1)设圆心坐标为C⎝⎛⎭⎪⎫a，2a(a＞0)，则半径r＝2a＋2a＋15≥22a×2a＋15＝5，当且仅当2a＝2a，即a＝1时取等号.所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝5，C(1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(2)如图所示，过点O作OP⊥MN交MN于点P.在Rt △OMP 中，|OP |＝|OM |·sin 45°， 又|OP |≤1，得|OM |≤1sin 45°＝ 2. ∴|OM |＝1＋x 20≤2，∴x 20≤1.因此－1≤x 0≤1. 答案 (1)D (2)[－1，1] 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线相互平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上， 故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM上时的状况).规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，依据题设条件的不同常接受以下方法： (1)直接法，直接依据题目供应的条件列出方程； (2)定义法，依据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】 (2022·全国Ⅰ卷)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ).由题设知CM→·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 由于ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.[思想方法]1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指依据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应留意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. [易错防范]1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.求轨迹方程和求轨迹是有区分的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)， |AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.(2021·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.(－2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.(2021·绍兴一中检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.由于点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5.(2021·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233， 其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B. 答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2021·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大. 答案 (0，－1)8.(2021·丽水调研)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0 三、解答题9.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3相互垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组⎩⎨⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1). 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1). 线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3. 故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94.10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系. 则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ).由|AB ||AC |＝m ，得（x ＋1）2＋y 2＝m （x －1）2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2（m 2－1）2.所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m|m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点).力量提升题组 (建议用时：25分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.1 B.5 C.4 2D.3＋2 2解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立. ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( ) A.(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 B.(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C.(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25， 得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去).所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析 设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7414.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C . (1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.解 (1)明显b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1).(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b ).设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依靠于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*).为使(*)式对全部满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必需有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上.因此，圆C 过定点.15.(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA→＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。
2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第九章第二节圆的方程Word版含解析
第二节圆的方程突破点(一) 圆的方程1．圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的三种方法本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1] (1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．(2)已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________． [解析] (1)依题意，设圆心坐标为C (a,0)， 则|CA |＝|CB |， 即(a －5)2＋(0－1)2＝(a －1)2＋(0－3)2，则a ＝2.故圆心为(2,0)，半径为10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧22＋(－1)2＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5，故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)x 2＋y 2－4x －8y －5＝0 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．3．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．[例2] 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1[解析] 圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1， 设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎨⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. [答案] B1.[考点一]已知点A (－1，3)，B (1，－3)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选D 由题意知，AB 的中点为(0,0)， 即所求圆的圆心坐标为(0,0)， 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2， 因为|AB |＝[1－(－1)]2＋(－3－3)2＝4，所以圆的半径为2， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.2.[考点一]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.答案：26.[考点一]求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．解：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题[例1]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解． (3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．[例2] 已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． [解] (1)法一：因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2，7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210，所以m ＋2n 的最大值为16＋210.法二：由x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，得(x －2)2＋(y －7)2＝8. 因为点M (m ，n )为圆上任意一点，故可设⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝22cos θ，n －7＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2＋22cos θn ＝7＋22sin θ∴m ＋2n ＝2＋22cos θ＋2(7＋22sin θ) ＝16＋22cos θ＋42sin θ ＝16＋8＋32sin(θ＋φ)＝16＋210sin(θ＋φ)，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12故m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1.[考点一]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 2.[考点二]已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0， (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点A ，B 处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， ∴|MN |＝46，故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．(2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( ) A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆 B ．以(1,2)为圆心，11为半径的圆 C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆 D ．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为11.2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，故圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.3．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.4．已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，∵OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α，∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝45．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)到定直线x ＝－3上点的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线解析：选A 由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋y 2＝5C ．x 2＋(y ＋2)2＝5D ．(x －1)2＋y 2＝5解析：选B 因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17 解析：选A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|＝(3－2)2＋(4＋3)2＝52，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.二、填空题7．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4. 答案：3π49．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是________．解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥22ab ，解得ab ≤18，故ab 的最大值为18. 答案：1810．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33， 即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43三、解答题11．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程． 解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132， 即5x ＋7y －50＝0上， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.12．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ·MQ 的最小值． 解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)， 则⎩⎨⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以PQ ·MQ ＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ·MQ 的最小值为－4.。
第8讲-圆的方程(解析版)
第8讲 圆的方程知识梳理一、 圆的定义及圆的标准方程 1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径． 2．圆的标准方程二、 点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内．判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在圆上； 若|CM |>r ，则点M 在圆外； 若|CM |<r ，则点M 在圆内．(2)代数法：可利用圆C 的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2来确定： 点M (m ，n )在圆C 上⇔(m －a )2＋(n －b )2＝r 2； 点M (m ，n )在圆C 外⇔(m －a )2＋(n －b )2>r 2； 点M (m ，n )在圆C 内⇔(m －a )2＋(n －b )2<r 2. 三、 圆的一般方程的定义1．当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径为D 2＋E 2－4F2．2．当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2． 3．当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 四、 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：名师导学知识点1 求圆的标准方程【例1－1】 已知圆过两点A (3，1)，B (－1，3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的标准方程． 【解】 直线AB 的斜率k ＝3－1－1－3＝－12，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.又线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2，因此直线m 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.又因为圆心在直线3x －y －2＝0上， 所以圆心是这两条直线的交点．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 设圆心为C ，所以圆心坐标为(2，4)． 又因为半径r ＝|CA |＝10，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.【例1－2】 △ABC 的三个顶点分别为A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求其外接圆的标准方程． 【解】 法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧（0－a ）2＋（5－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，（－3－a ）2＋（－4－b ）2＝r 2.解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.故所求外接圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25. 法二 因为A (0，5)，B (1，－2)， 所以线段AB 的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7. 所以线段AB 的垂直平分线的方程是 y －32＝17⎝⎛⎭⎫x －12， 即x －7y ＋10＝0，同理，线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0， 得圆心的坐标为(－3，1)．又因为圆的半径长r ＝（－3－0）2＋（1－5）2＝5， 所以所求外接圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.【变式训练1-1】圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2【解析】 圆的半径r ＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，圆心坐标为(1，1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 【答案】 D知识点2 点与圆的位置关系的判断【例2-1】已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． 【解】 由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞)． 【变式训练2-1】已知a ，b 是方程x 2－x －2＝0的两个不等的实数根，则点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．点P 在圆C 内 B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 上D ．无法确定【解析】 由题意，a ＋b ＝1，ab ＝－2， ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1＋22<8， ∴点P 在圆C 内，故选A. 【答案】 A知识点3 与圆有关的最值问题【例3-1】已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)， (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值． 【解】 (1)由已知，得C (3，0)，r ＝|AB |2＝2，∴所求圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.【变式训练3-1】已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值． 【解】 设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2. ∵|CO |2＝32＋42＝25， ∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2， 即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74.知识点4 圆的一般方程的概念【例4-1】若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径． 【解】 由表示圆的条件， 得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15.圆心坐标为(－m ，1)，半径为1－5m .【变式训练4-1】(1)若方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________； (2)点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 【解析】 (1)方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)， 可化为(x ＋a 2)2＋(y －a 2)2＝a 22，圆心坐标为(－a 2，a 2)，半径为2|a |2.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标是(－k2，－1)，由圆的性质知直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0得k ＝4，圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π.【答案】 (1)(－a 2，a 2)，2|a |2 (2)9π知识点5 求圆的一般方程【例5-1】已知A (2，2)，B (5，3)，C (3，－1)，求△ABC 外接圆的方程． 【解】 设△ABC 外接圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【变式训练5-1】已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程． 【解】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－D . 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，则y 1＋y 2＝－E . 由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③ 联立①②③，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 知识点6 求动点的轨迹方程【例6-1】求到点O (0，0)的距离是到点A (3，0)的距离的12的点的轨迹方程．【解】 设M (x ，y )到O (0，0)的距离是到A (3，0)的距离的12.则|MO ||MA |＝12.∴x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12. 化简，得x 2＋y 2＋2x －3＝0，即所求轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.【例6-2】已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【解】 设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)， 则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上，∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0. ∴(2x )2＋(2y )2－8×2x －6×2y ＋21＝0. 即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0.【例6-3】已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求直角顶点C 的轨迹方程． 【解】 法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3，且x ≠－1. 又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简，得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1)． 法二 同法一，得x ≠3，且x ≠－1. 由勾股定理，得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1)． 法三 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式，得D (1，0)． 由直角三角形的性质，知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义，知动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3，且x ≠－1)．【变式训练6-1】如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4，3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹．【解】 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4，3)且点C 是线段AB 的中点， 所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .① 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以，点B 的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆．名师导练2.4.1 圆的标准方程 A 组-[应知应会]1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的圆心坐标是( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，－3)D ．(－1，－3)【解析】 由圆的标准方程(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，得圆心坐标为(1，－3)． 【答案】C2．圆心是O (－3，4)，半径长为5的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5 B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】 将O (－3，4)，r ＝5代入圆的标准方程可得． 【答案】 D3．圆心在y 轴上且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0【解析】 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.∵点(3，1)在圆上， ∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 【答案】 B4．已知A (－1，4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． 【解析】 |AB |＝（5＋1）2＋（－4－4）2＝10，则r ＝5，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1＋52，4－42，即(2，0)．故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝255．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16有公共圆心，且过点P (－1，1)的圆的标准方程是________． 【解析】 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径长为r ，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.又因为过点P (－1，1)，所以r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝256．求过点A (1，2)和B (1，10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． 【解】 设圆心坐标为(a ，b )，∵AB 的中点为(1，6)， ∴AB 的垂直平分线为y ＝6.∵圆心(a ，b )在AB 的垂直平分线上，∴b ＝6， 由题意得（a －1）2＋（6－2）2＝|a －2×6－1|12＋（－2）2，解得a ＝3或－7，当a ＝3时，r ＝（3－1）2＋（6－2）2＝2 5. 当a ＝－7时，r ＝（－7－1）2＋（6－2）2＝4 5. ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20 或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.7．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，求该圆的标准方程． 【解】 ∵圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切， ∴圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标为(a ，1)， 则1＝|4a －3|5，又a >0，∴a ＝2，∴该圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1B 组-[素养提升]8．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2B ．1C. 3D.2【解析】 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1. 【答案】 B9．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52【解析】 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝（2－0）2＋（－3－0）2＝13. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.【答案】 B10．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A ，B ，若|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[K]【解析】 根据|AB |＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.【答案】(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 11．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为C (1，1)，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|12＋（－1）2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为2＋1. 【答案】2＋112．已知x ，y 满足(x －1)2＋y 2＝1，求S ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值． 【解】 因为S ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2 ＝（x ＋1）2＋（y －1）2，又点(x ，y )在圆(x －1)2＋y 2＝1上运动， 即S 表示圆上的动点到定点(－1，1)的距离，如图所示，显然当定点(－1，1)和圆心(1，0)共线时取得最值， 且最小值为（1＋1）2＋（0－1）2－1＝5－1，所以S ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为5－1. &科&网Z&X&X&K]13．一个等腰三角形ABC 底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B (－3，0)和C (3，0)，求它的外接圆的方程．【解】 (1)当点A 的坐标是(0，4)时(如图①)，k AB ＝43，线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－32，2，线段AB 的垂直平分线的方程是y －2＝－34⎝⎛⎭⎫x ＋32，即y ＝－34x ＋78. 令x ＝0，则y ＝78.所以圆心的坐标是⎝⎛⎭⎫0，78，半径长为4－78＝258， 此时所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y －782＝62564.(2)当点A 的坐标是(0，－4)时(如图②)，k AB ＝－43，线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－2，线段AB 的垂直平分线的方程是y ＋2＝34⎝⎛⎭⎫x ＋32，即y ＝34x －78. 令x ＝0，则y ＝－78.所以圆心的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－78，半径长为－78－(－4)＝258，此时所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋782＝62564. 综上可知，所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y －782＝62564或x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋782＝62564.2.4.2 圆的一般方程 A 组-[应知应会]1．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋cb .∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2，则－a2＝－1，解得a ＝2. 【答案】 25．已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________．【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2.【答案】 26．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0.7．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]8．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C9．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D. 【答案】 D10．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求． 【答案】 2x ＋3y ＋4＝011．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1. 【答案】 a ≠±112．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3.13．已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程． 【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)． 因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0. (2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时分层训练(四十七) 圆的方程
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(文)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D[圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
1．(·福建漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
A[(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()
A．2 B.
2
2C．1 D. 2
D[圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．
故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝|1＋2－1|
2
＝ 2.]
3．(·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()
【导学号：57962381】A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0
D[易知圆心坐标为(2，－1)．
由于直线x－2y＋3＝0的斜率为1 2，
∴该直径所在直线的斜率k＝－2.
故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]
4．(文)若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y ＝0相切，则圆O的方程是()
A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
D[设圆心为(a,0)(a＜0)，
则r＝|a＋2×0|
12＋22
＝5，解得a＝－5，
所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]
4．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是() A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
A[设所求圆的圆心为(a，b)．
依题意(a－2)2＋b2＝a2＋b2，①
b
a－2
＝1，②
解①②得a＝1，b＝－1，
则半径r＝a2＋b2＝2，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]
5．(·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()
A．6B．4
C．3 D．2
B[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短
距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距
离为6－2＝4.]
二、填空题
6．(·南昌二模)以点(－1,3)为圆心且与直线x－y＝0相切的圆的方程为________.
【导学号：57962382】(x＋1)2＋(y－3)2＝8[因为圆与直线x－y＝0相切，所以圆的半径r＝
|－1－3|
12＋(－1)
2
＝22，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝8.] 7．(·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋5
2＝0，配方得⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋122
＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；
当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]
8．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．
x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， 则k CM ＝1－02－1
＝1.
∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.]
三、解答题
9．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．
[解] 法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )，2分 因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0×1＝－1，
5分 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，
8
分
圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.
12分 法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 2分 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，
则⎩⎨⎧
4＋m 2＝r 2，
|2－0＋m |
2＝r ，
6分
解得⎩⎨⎧
m ＝2，r ＝22，
10分 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.
12
分
10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .
(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． [解] (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 2分 所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). 5分
(2)设M (x ，y )，依题意C 1M →·OM →＝0， 所以(x －3，y )·(x ，y )＝0，则x 2－3x ＋y 2＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －322
＋y 2＝94.
7分
又原点O (0,0)在圆C 1外，
因此中点M 的轨迹是圆C 与圆C 1相交落在圆C 1内的一段圆弧． 由⎩⎨⎧
x 2－3x ＋y 2＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0，消去y 2得x ＝53， 因此5
3＜x ≤3.10分
所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋y 2＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53＜x ≤3.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(·佛山模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )
A ．6
B ．25
C ．26
D ．36
D [(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝(5－2)2＋(－4)2＝5.
则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.]
2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.
【导学号：57962383】
(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]
3．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →
的最小值． [解] (1)设圆心C (a ，b )， 由已知得M (－2，－2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
a －22＋
b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，
解得⎩⎨⎧
a ＝0，
b ＝0，
2分
则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. 5分
(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 8分 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2
＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4－2，
所以PQ →·MQ →的最小值为－4.
12分。