上海市名校数学真题之南模中学高三模拟(2018.05)

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南洋模范中学高三数学模拟试卷

2018.05

一. 填空题

1. 若22

11

x x x y y y =

--，则x y += 2. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm

3. 函数lgsin 2y x =的单调递减区间为

4. 函数1

35()4412

x x f x -=---的零点为 5. 已知实数x 、y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤⎩

，z x yi =+（i 为虚数单位），则|73|z i -+的

最小值是

6. 已知等差数列{}n a 的各项均为正整数，且82018a =，则1a 的最小值是

7.

已知点(P t （0t ≠）是角α

其终边上一点，若cos α=

，则sin α= 8. 已知1()n

x x

+的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系

数是偶数的概率为

9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22（℃）”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有 个

10. 直线0ax by c ++=与半圆221x y +=（0y ≥）交于A 、B 两点，设OA 、OB 的倾斜 角是α、β，则cos()αβ+=

11. 如图，点(,)P x y （0x >，0y >）是双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）上的动点，

1F 、2F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=

，某同学用以下

方法研究||OM ：延长2F M 交1PF 于点N ，可知2PNF ∆为等腰三角形，且M 为2F N 的中

点，得11||||2OM NF a ==⋅⋅⋅=，类似地：点(,)P x y （0x >，0y >）是椭圆22

221x y a b

+=

（0a b >>）上的动点，1F 、2F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且 20F M MP ⋅=

，则||OM 的取值范围是

12. 现有m （2m ≥）行数表如下：

第一行：12m -，22m -，32m -，42m -，⋅⋅⋅，12，02 第二行：22m -，32m -，42m -，⋅⋅⋅，12，02 第三行：32m -，42m -，⋅⋅⋅，12，02

⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

第1m -行：12，02 第m 行：02

按照上述方式从第一行写到第m 行（写下的第n 个数记作n a ）得到有穷数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2018S 存在，则2018S 的最小值为

二. 选择题

13. 下列四个命题中真命题是（ ） A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行

B. 底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个

14. 已知光线沿向量a md pn =+

（0mp ≠，m ∈R ，p ∈R ）照射，遇到直线l 后反射，其

中d 是l 的一个方向向量，n

是l 的一个法向量，则反射光线的方向向量可以表示为（ ）

A. md pn --

B. md pn -

C. pd mn -+

D. pd mn - 15. 已知4T =

为周期的函数(1,1]

()1|2|(1,3]

x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若3()f x x =恰

有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）

A. 8)3

B. C. 48(,)33

D. 4(3

16. 已知函数21()2

x

f x x e =+-（0x <）与2()l n ()

g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称

的点，则a 的取值范围是（ ）

A. (

-∞ B. ( C. ( D. (-∞

三. 解答题

17. 已知ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 对边，且sin cos cos sin A C A C +=，

若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=

（1）求ABC ∆的外接圆半径R 的值；（2）求a c +的值.

18. 已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，2BD =，1BC =，

AB 与底面所成角的大小为60°，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图

所示.

（1）求异面直线BC 与AD 所成角的大小； （2）求该几何体的体积.

19. 已知函数4()2x x

m

f x +=（m ∈R ）.

（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；

（2）若()y f x =为R 上的偶函数，且关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围.