2017-2018年江西省南昌十九中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

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2017-2018年江西省南昌十中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2017-2018学年江西省南昌十中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1．（5分）抛物线y2=ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是（）A． B． C．|a|D．﹣2．（5分）双曲线y2﹣3x2=1的渐近线方程是（）A．y=±3x B． C．D．3．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2D．44．（5分）椭圆9x2+25y2=225上一点P到右准线的距离为，则P到左焦点的距离为（）A．8 B．C．D．5．（5分）已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=（）A．3 B．C．D．6．（5分）（普通班做）直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）A．B．C．D．7．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣19．（5分）若实数x、y满足：9x2+16y2=144，则x+y+10的取值范围是（）A．[5，15] B．[10，15]C．[﹣15，10]D．[﹣15，35]10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．211．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）设椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．14．（5分）曲线C1：y=|x|，C2：x=0，C3的参数方程为（t为参数），则C1，C2，C3围成的图形的面积为．15．（5分）已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若AF2+BF2的最大值为5，则椭圆方程为．16．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的弦的倾斜角为θ（0＜θ＜π），且与抛物线相交于A、B两点．（1）求证：（2）求|AB|的最小值．19．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．20．（12分）已知椭圆C：=1，直线l：（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．21．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．22．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（a＞b＞0）右焦点的直线l：y=kx﹣k交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有∠AQO=∠BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2017-2018学年江西省南昌十中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1．（5分）抛物线y2=ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是（）A． B． C．|a|D．﹣【解答】解：根据抛物线方程可求得p=，∴焦点为（，0），准线方程为x=﹣或焦点为（﹣，0），准线方程为x=∴焦点到准线的距离为p=，故选：B．2．（5分）双曲线y2﹣3x2=1的渐近线方程是（）A．y=±3x B． C．D．【解答】解：根据题意，双曲线y2﹣3x2=1的标准方程为﹣=1，其中a=1，b==，其焦点在y轴上，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：C．3．（5分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB 过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．4．（5分）椭圆9x2+25y2=225上一点P到右准线的距离为，则P到左焦点的距离为（）A．8 B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆9x2+25y2=225的标准方程为：+=1，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，其中a=5，b=3，则c=4，其离心率e==，若P到右准线的距离为，则有|PF2|=×=2，又由|PF1|+|PF2|=2a=10，则|PF1|=10﹣2=8；故选：A．5．（5分）已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=（）A．3 B．C．D．【解答】解：依题意可得双曲线的准线为，又因为椭圆焦点为所以有．即b2=3故b=．故选：C．6．（5分）（普通班做）直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）A．B．C．D．【解答】解：直线（t是参数），消去参数化为普通方程：x﹣2y+3=0．圆心O（0，0）到直线的距离d=，∴直线被圆x2+y2=9截得的弦长=2=2=．故选：D．7．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线的顶点坐标为（0，2），∴a=2，且双曲线的标准方程为=1．根据题意2a+2b=•2c，即a+b=c．又a2+b2=c2，且a=2，∴解上述两个方程，得b2=4．∴符合题意的双曲线方程为．故选：B．8．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选：D．9．（5分）若实数x、y满足：9x2+16y2=144，则x+y+10的取值范围是（）A．[5，15] B．[10，15]C．[﹣15，10]D．[﹣15，35]【解答】解：已知等式9x2+16y2=144可化为：，此为椭圆方程，故由椭圆的参数方程可知（θ为参数）所以x+y+10=4cosθ+3sinθ+10=5sin（θ+φ）+10，t anφ=，故由三角函数的性质，可知sin（θ+φ）∈[﹣1，1]，故x+y+10的取值范围为[5，15]．故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选：C．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程是y=，右焦点F（4，0），过右焦点F（4，0）分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合条件的直线的斜率的范围是[﹣]．故选：C．12．（5分）设椭圆E：的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且==，即=可得e==．故选：B．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为14．（5分）曲线C1：y=|x|，C2：x=0，C3的参数方程为（t为参数），则C1，C2，C3围成的图形的面积为．【解答】解：曲线C1：y=|x|=±x，C2：x=0，C3的参数方程为（t为参数），∴曲线C3的普通方程为x2+y2=1（x≥0，y≥0），∴C1，C2，C3围成的图形在第一象限中的阴影部分，是圆面，∴C1，C2，C3围成的图形的面积为：=．故答案为：．15．（5分）已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若AF2+BF2的最大值为5，则椭圆方程为．【解答】解：|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|，∵|AF2|+|BF2|的最大值为5，∴|AB|的最小值为3．由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（b2m2+4）y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0，c2=4﹣b2．∴y1+y2=，y1y2=．∴|AB|===，当m=0时，|AB|=b2；当m≠0时，|AB|=4+＞b2．∴b2=3．∴椭圆的标准方程为：，故答案为：．16．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，a1=3a2，e1•e2==即∴故答案为三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．【解答】解：设焦点在x轴上的双曲线方程为，则渐近线方程为．又由双曲线的焦距为12，即2c=12，则c=6，则有a2+b2=36；①代入方程a2+b2=36得，∴．②代入方程a2+b2=36得，则其方程为，离心率e=2．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过焦点F的弦的倾斜角为θ（0＜θ＜π），且与抛物线相交于A、B两点．（1）求证：（2）求|AB|的最小值．【解答】解：（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（，0）．设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•（x﹣），与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2θ•x2﹣（2p+ptan2θ）x+=0，此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=；设A、B到抛物线的准线x=﹣的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=；（2）由（1）可得：|AB|=，且0＜θ＜π，又sin2θ≤1，所以，当θ=时，|AB|有最小值2p．19．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题得=，=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），∴，=1，两式相减得=0，∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，=k，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l：x+y﹣3=0．20．（12分）已知椭圆C：=1，直线l：（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：（θ为为参数），l：x﹣y+9=0．…（4分）（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），则|AP|==2﹣cosθ，P到直线l的距离d==．由|AP|=d得3sinθ﹣4c osθ=5，又sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=，cosθ=﹣．故P（﹣，）．…（10分）21．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．【解答】解：（1）∵双曲线的离心率为，∴=，即c=a，则c2=2a2=a2+b2，即a2=b2，则a=b，即双曲线是等轴双曲线，∴设所求双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）则由点（4，﹣）在双曲线上，知λ=42﹣（﹣）2=6，∴双曲线方程为x2﹣y2=6，（2）若点M（3，m）在双曲线上，则32﹣m2=6∴m2=3，由双曲线x2﹣y2=6知F1（2，0），F2（﹣2，0），∴，∴，∴点M在以F1F2为直径的圆上．（3）22．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（a＞b＞0）右焦点的直线l：y=kx﹣k交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有∠AQO=∠BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，则，于是，所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，所以b=1，．从而椭圆C的方程为；（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以，，直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，当m=2时，k AQ+k BQ=0，所以存有点Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO．。

2017-2018年江西省南昌市豫章中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2017-2018学年江西省南昌市豫章中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣32．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣） D．（﹣，0）3．（5分）已知直线y=kx+2k+1与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A．﹣ B．k或k C．﹣6＜k＜2 D．k4．（5分）在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（）A．（2，1） B．（，1）C．（1，）D．（1，2）5．（5分）圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣1）2+（y+1）2=C．（x﹣1）2+（y+1）2=5 D．（x+1）2+（y﹣1）2=6．（5分）若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±7．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．88．（5分）已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．79．（5分）已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）A．B．C．D．10．（5分）过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=011．（5分）抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是（）A．B．C．D．12．（5分）若直线y=x+b与曲线y=有公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1]D．（﹣1，）二．填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最大值为．14．（5分）如果实数x、y满足等式（x﹣2）2+y2=3，则x+y最大值是．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切其中真命题为（写出所以真命题的序号）三．解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）将直线l绕它与x轴的交点旋转90°得到直线m，求直线m的方程．18．（12分）直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．19．（12分）已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=．（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为，求点P的坐标．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点M（，）在双曲线上．（1）求双曲线C的方程．（2）若斜率为1的直线l与双曲线交于P，Q两点，且•=0，求直线l方程．21．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆方程．（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，已知．求直线l的方程．22．（12分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=sin（θ+）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C所截得的弦长．2017-2018学年江西省南昌市豫章中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3【解答】解：∵a=﹣2时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔解得：a=1故选：B．2．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，﹣） D．（﹣，0）【解答】解：抛物线y=﹣4x2可化为∵2p=，∴∴抛物线y=﹣4x2的焦点坐标是故选：C．3．（5分）已知直线y=kx+2k+1与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A．﹣ B．k或k C．﹣6＜k＜2 D．k【解答】解：联立，解得，∵直线y=kx+2k+1与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，∴，解得．故选：A．4．（5分）在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（）A．（2，1） B．（，1）C．（1，）D．（1，2）【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，可得点M（2，）的直角坐标为（，1），故选：B．5．（5分）圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣1）2+（y+1）2=C．（x﹣1）2+（y+1）2=5 D．（x+1）2+（y﹣1）2=【解答】解：由题意得：圆心在直线x=﹣1上，又圆心在直线x+y=0上，∴圆心M的坐标为（﹣1，1），又A（﹣3，0），半径|AM|==，则圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=5．故选：A．6．（5分）若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±【解答】解：由题意可得，直线l的方程为y=x+a，即x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得a=，故选：B．7．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选：B．8．（5分）已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=11∴x1+x2=10，∴线段AB的中点横坐标为=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为5，故选：C．9．（5分）已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）A．B．C．D．【解答】解：方程ax2+by2=ab化成：，ax+by+c=0化成：y=﹣x﹣，对于A：由双曲线图可知：b＞0，a＜0，∴﹣＞0，即直线的斜率大于0，故错；对于C：由椭圆图可知：b＞0，a＞0，∴﹣＜0，即直线的斜率小于0，故错；对于D：由椭圆图可知：b＞0，a＞0，∴﹣＜0，即直线的斜率小于0，故错；故选：B．10．（5分）过椭圆+=1内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0【解答】解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故选：A．11．（5分）抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是（）A．B．C．D．【解答】解：设抛物线y=x2上的点的坐标为（x，y），则由点到直线的距离公式可得d===≥∴抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是故选：B．12．（5分）若直线y=x+b与曲线y=有公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1]D．（﹣1，）【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．如图，当直线y=x+b与圆x2+y2=1切于第二象限时，b=．∴若直线y=x+b与曲线y=有公共点，则b的取值范围是[﹣1，]．故选：B．二．填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最大值为7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．化目标函数z=3x+2y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．14．（5分）如果实数x、y满足等式（x﹣2）2+y2=3，则x+y最大值是．【解答】解：由于实数x、y满足等式（x﹣2）2+y2=3，令x﹣2=cosθ，y=sinθ，则x+y=（cosθ+sinθ）+2=（cosθ+sinθ）+2=sin（θ+）+2≤2+，故答案为2+．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．16．（5分）以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点．④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切其中真命题为②③④（写出所以真命题的序号）【解答】解：A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；方程2x2﹣5x+2=0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；双曲线﹣=1的焦点坐标为（±，0），椭圆﹣y2=1的焦点坐标为（±，0），故③正确；设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，∵AP+BP=AM+BN∴PQ=AB，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故④正确故正确的命题有：②③④故答案为：②③④三．解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）将直线l绕它与x轴的交点旋转90°得到直线m，求直线m的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点（2，1）和点（4，3），∴直线l的方程为，整理，得：x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）将直线l绕它与x轴的交点旋转90°得到直线m，∵直线l：x﹣y﹣1=0与x轴交于（1，0），与y轴交于（0，﹣1），∴直线m与x轴交于（1，0），与y轴交于（0，1），∴直线m的方程为，即x+y﹣1=0．18．（12分）直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0）AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5，以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y﹣）2=；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，所以：，所以k=0或﹣，所以弦AB所在直线的方程为y=或3x+4y﹣5=0．19．（12分）已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=．（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为，求点P的坐标．【解答】解：（1）将直线方程代入抛物线方程，整理得4x2+4（m﹣1）x+m2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=1﹣m，x1x2=，是|AB|=|x1﹣x2|=•==解得m=﹣1．∴m的值﹣1；（2）设P（a，0），P到直线AB的距离为d，因为l AB：2x﹣y+m=0，由点到直线的距离公式得d=，又S=|AB|•d，△ABP∴d===，解得a=5或a=﹣4，故点P的坐标为（5，0）或（﹣4，0）．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点M（，）在双曲线上．（1）求双曲线C的方程．（2）若斜率为1的直线l与双曲线交于P，Q两点，且•=0，求直线l方程．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±x，∴b=a，双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2．∵点M（，）在双曲线上，可解得a=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．（2）设直线PQ的方程为y=x+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为2x2﹣2mx﹣m2﹣12=0∴x1+x2=m，x1x2=由•=0得x1x2+y1y2=0，把y1=x1+m，y2=x2+m代入上式可得2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴2•+m•+m2=0，化简得m2=12．直线方程或．21．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆方程．（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，已知．求直线l的方程．【解答】解：（1）由=，又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得，且a2﹣b2=c2，解得a2=2，b2=1．所以椭圆方程为：．（2）根据题意可知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程组，消去y得关于x的方程（1+2k2）x2+8kx+6=0由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有△＞0，即64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，得k2，…①由得x2=2x1…②结合①②得或﹣22．（12分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=sin（θ+）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C所截得的弦长．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=sin（θ+），得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0，即（x﹣）2+（y﹣）2=．（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t2﹣21t+20=0，∴，t1t2=4，∴|MN|=|t1﹣t2|==．。

(新)江西省南昌市2017_2018学年高二数学上学期期中试题文

2017-2018学年上学期期中考试试卷高二数学试题(文科)一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1．抛物线)0(y 2≠=a ax 的焦点到其准线的距离是 ( ) A.4a B.2a C ．a D ．2a-2．双曲线2231y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．y =D ．3y x =±3．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（）A ．10B ．20C ．241D ．4144.椭圆22525922=+y x 上一点P 到右准线的距离为25，则P 到左焦点的距离为( ) A.8 B.825 C.29 D.3165．已知双曲线12222=-y x 的准线经过椭圆)0(14222>=+b by x 的焦点，则=b ( ) A.3 B.5 C.3 D.26. 直线 ⎩⎨⎧+=+=ty t x 221（t 是参数）被圆922=+y x 截得的弦长等于（）A.512B.5109C.529D.55127.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.42y -42x =1B.42x -42y =1C.42y -82x =1 D.82x -42y =18.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是（）A.3B.5C.2D.15- 9.若实数x 、y 满足： 22916144x y +=，则10x y ++的取值范围是（） A. [5， 15] B. [10， 15] C. [15-， 10] D. [15-， 35]10.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为︒60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则BFAF 的值等于（）A.5B.4C.3D.211．已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.)33,33(-B. )3,3(-C.[ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 D. []3,3- 12．设椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于点C ， O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为（） A.12 B. 13 C. 14 D. 15二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分） 13．抛物线24x y =的焦点坐标是________________.14．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ty t x 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，C 2，C 3围成的图形的面积为．15．已知椭圆：14222=+by x ，左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若22BF AF +的最大值为5，则椭圆标准方程为___________．16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知21F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当︒=∠6021PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17.（10分）焦点在x 轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为3π,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.18.（12分）已知抛物线)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦的倾斜角为)0(πθθ<<,且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）求证：θ2sin 2PAB =(2)求AB 的最小值.19.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为2，点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(2,1)P 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若AB 的中点恰好为点P ，求直线l 的方程．20．已知椭圆C ：22143x y +=，直线3:x l y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．（1）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（2）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．21.已知双曲线的中心在原点，焦点21F F 、在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-.（1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：点M 在以21F F 为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求21MF F ∆的面积.22．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 右焦点的直线k kx y l -=:交C 于B A 、两点，P 为AB 的中点，当1=k 时OP 的斜率为．（1）求C 的方程；（2）x 轴上是否存在点Q ，使得k 变化时总有BQO AQO ∠=∠，若存在请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．高二文科数学答案一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1-5 B C D A C 6-10 D A D A C 11-12 C B二．填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13. ⎪⎭⎫⎝⎛161,0 14. 8π 15. 13422=+y x 16.3 三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)17. 设焦点在x 轴上的双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则渐近线方程为x aby ±=.36622=+∴=b a c ①a b a b 336tan =⇒=π代入方程3622=+b a 得3,33==b a 332,192722==-∴e y x 离心率方程为 ②a b a b 33tan =⇒=π代入方程3622=+b a 得33,3==b a 2,127922==-∴e y x 离心率方程为18.（1）证明：如右图，焦点F 的坐标为F （2p,0）.设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tan θ·（x-2p）,与抛物线方程联立，消去y 并整理，得tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+4tan 22θ•p =0...........................2分此方程的两根应为交点A 、B 的横坐标，根据韦达定理，有x 1+x 2=θθ22tan tan 2p p +....4分设A 、B 到抛物线的准线x=-2p的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x 1+x 2+p=θ2sin 2p.........................6分（2）解析：因|AB|=θ2sin 2p 的定义域是0<θ<π，又sin 2θ≤1，所以，当θ=2π时，|AB|有最小值2p................................12分19．【答案】（1）22184x y +=；（2）03=-+y x . 解：（1）由题得22223,12c a a b=+=，又222a b c =+ ，解得228,4a b ==，∴椭圆方程为：22184x y +=............6 （2）设直线的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，∴222211221,18484x y x y +=+= ，两式相减得12121212()2()0y y x x y y x x -+++=-，∵P 是AB 中点，∴121212124,2,y y x x y y k x x -+=+==- ，代入上式得：440k += ，解得1k =- ，∴直线:30l x y +-= (12)20．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，x －3y ＋9＝0；（2）833(,)5P -．解：（Ⅰ）C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0．（Ⅱ）设(2cos ,3sin )P θθ，则22||(2cos 1)(3sin )2cos AP θθθ=-+=-， P 到直线l 的距离|2cos 3sin 9|2cos 3sin 922d θθθθ-+-+==．由|AP|＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得3sin 5θ=，4cos 5θ=-．故833(,)5P -．19. 【答案】(1)16622=-y x （2）见解析（3）6 试题解析：离心率为2=e ，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为)0(22≠=-λλy x点()10,4-在曲线上，代入得6=λ，16622=-∴y x （2）证明：点),3(m M 在双曲线上，692=-∴m)0,32(),0,32(21F F -03129129221=+-=+-=⋅∴m MF MF 21MF MF ⊥∴∴点M 在以21F F为直径的圆上。

【精品】2018最新学年江西省南昌市高二上学期期中数学试卷和解析文科甲卷

2018学年江西省南昌市高二（上）期中数学试卷（文科）（甲卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．（5分）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
2．（5分）已知直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，则直线l在x轴上的截距是（）
A．1B．C．﹣1D．﹣2
3．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）若圆x2+y2+ax+by+c=0与圆x2+y2=1关于直线y=2x﹣1对称，则a+b=（）
A．B．C．D．
5．（5分）过点（0，1）引x2+y2﹣4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
6．（5分）圆x2+（y﹣2）2=1的圆心到直线x+y﹣1=0的距离为（）
A．B．1C．D．
7．（5分）若双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的
离心率的取值范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3]D．（1，3）
8．（5分）已知F1、F2分别为椭圆C的两个焦点，点B为其短轴的一个端点，若△BF1F2为等边三角形，则该椭圆的离心率为（）
A．2B．C．D．
9．（5分）若m＞1，则方程表示（）。

2017-2018年江西省南昌实验中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)

2017-2018学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y﹣4=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）3．（5分）椭圆+y2=1的离心率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l过点（1，0）且与直线x﹣2y+4=0平行，则l的方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=05．（5分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直7．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（）A． B． C．D．8．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=±8x C．y2=4x D．y2=8x9．（5分）直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．8 B．4 C．2 D．410．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）12．（5分）直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c 成等差数列时，直线l 1，l2与y轴围成的三角形的面积S=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是．14．（5分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是．15．（5分）实数x，y满足条件，则3x+5y的最大值为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF2的周长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）AC边上的高BD所在直线的方程；（2）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；（3）AB边的中线的方程．18．（12分）已知圆C过P（2，6），Q（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．19．（12分）已知双曲线．（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．20．（12分）已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．21．（12分）已知x2+y2=9的内接三角形ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，求（1）直线BC的方程；（2）弦BC的长度．22．（12分）已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y﹣4=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：化直线为，y=﹣x+；可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，∴α=120°．故选：C．2．（5分）已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，∴22+22﹣4a＞0∴4a＜8∴a＜2，故选：C．3．（5分）椭圆+y2=1的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆方程为+y2=1，∴a=，c==1，故椭圆+y2=1的离心率e==，故选：B．4．（5分）直线l过点（1，0）且与直线x﹣2y+4=0平行，则l的方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【解答】解：设与直线x﹣2y+4=0平行的直线l为x﹣2y+m=0，又直线l过点（1，0），∴1﹣0+m=0，解得m=﹣1．∴l的方程是x﹣2y﹣1=0．故选：A．5．（5分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含【解答】解：∵圆A：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心坐标A（﹣2，﹣1），半径r1==2，圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的圆心坐标B（1，3），半径r2==3，∴|AB|==5，∵|AB|=r1+r2=5，∴圆A与圆B外切．故选：C．6．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：D．7．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（）A． B． C．D．【解答】解：e==，又因为在双曲线中，c2=a2+b2，所以e2==1+=，故=，所以双曲线C：=1的渐近线方程为y=x=x故选：A．8．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=±8x C．y2=4x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为（，0）则直线l的方程为y=2（x﹣），它与y轴的交点为A（0，﹣），所以△OAF的面积为||•||=1，解得a=±4．所以抛物线方程为y2=±4x，故选：A．9．（5分）直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+6=0化为标准方程（x+2）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标为（﹣2，2），半径为，∵（﹣2，2）满足方程x﹣y+4=0，∴圆心在直线x﹣y+4=0上，∴直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于直径，即为2，故选：C．10．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：设切线方程为（a＞0，b＞0），即bx+ay﹣ab=0，由圆心到直线的距离等于半径得=1，所以ab=，令t=，则有t2﹣2t≥0，t≥2，故t的最小值为2．由题意知t=|AB|，故选：C．11．（5分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）【解答】解：根据题意，若曲线表示双曲线，则有（k+4）（k﹣1）＜0，解得﹣4＜k＜1．即k的取值范围是（﹣4，1）．故选：C．12．（5分）直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c 成等差数列时，直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=（）A．B．C．D．【解答】解：直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴﹣×2=﹣1，化为：b=2a．当a，b，c成等差数列时，2b=a+c，∴c=3a．∴直线l2与y轴的交点A，即A．原点到直线l 2的距离d===．∴另一条直角边==3×．直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=3××=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是x ﹣y﹣3=0（1≤x≤3）．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0∴两圆方程相减，得2x﹣2y﹣6=0，化简得x﹣y﹣3=0，即为两圆公共弦所在直线的方程．∵联解，得或，∴两圆的交点坐标分别为A（1，﹣2），B（3，0）．因此，两圆的公共弦方程是x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）．故答案为：x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）14．（5分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）．15．（5分）实数x，y满足条件，则3x+5y的最大值为12．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），设z=3x+5y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C（4，0）时，直线y=的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=3×4﹣0=12，故答案为：12．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF2的周长为16．【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，b=2，c=2，则椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=8．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=16．∴△ABF2的周长16，故答案为：16．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）AC边上的高BD所在直线的方程；（2）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；（3）AB边的中线的方程．【解答】解：（1）由斜率公式易知k AC=﹣2，∴直线BD的斜率．又BD直线过点B（﹣4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x﹣2y+4=0．（2）∵，∴．又线段BC的中点为，∴EF所在直线的方程为y﹣2=﹣（x+）．整理得所求的直线方程为：6x+8y﹣1=0．（3）∵AB的中点为M（0，﹣3），k CM=﹣7∴直线CM的方程为y﹣（﹣3）=﹣7（x﹣0）．即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0，（﹣1≤x≤0）18．（12分）已知圆C过P（2，6），Q（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．【解答】解：（1）方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有，解得，故所求圆的方程为x2+y2+4x﹣12y+24=0．（2）如图所示，|AB|=4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|=2，|AC|=4．在Rt△ACD中，可得|CD|=2．当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为x=0．当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5=kx，即kx﹣y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=，此时直线l的方程为3x﹣4y+20=0．∴所求直线l的方程为x=0或3x﹣4y+20=0．19．（12分）已知双曲线．（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．【解答】解：（1）由题意得：a2=9，b2=16，∴c=5，焦点F1，F2的坐标：F1（﹣5，0），F2（5，0）；焦点F2到渐近线：y=的距离：d=；（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m﹣n=6①②由①②得所以所以20．（12分）已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意知：，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线AB过点M（1，0），∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，∴，∵N（3，2），∴，∴==为定值．21．（12分）已知x2+y2=9的内接三角形ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，求（1）直线BC的方程；（2）弦BC的长度．【解答】解：（1）根据题意，设B（x1，y1），C（x2，y2），△ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，则有，则有x1+x2=，y1+y2=﹣3，所以BC中点坐标为（，﹣），又由B（x 1，y1），C（x2，y2）在圆上，则有，则有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，又由x1+x2=，y1+y2=﹣3，则有=，故K BC=，则由所以BC所在直线方程为y+=（x﹣）即4x﹣8y﹣15=0；（2）由（1）可得，直线BC的方程为4x﹣8y﹣15=0，则圆心到BC所在直线的距离d==，所以弦BC的长度为l=2×=2×=2×=．22．（12分）已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设动圆的圆心M坐标（x 0，y0），∵动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切，∴|x0﹣m|=，即．整理得：．∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=（4﹣2m）x+（2﹣m）2．（2）存在以MN为直径的圆过点A．事实上，过原点倾斜角为的直线方程为y=．联立，得3x2﹣（4﹣2m）x﹣（2﹣m）2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．若存在以MN为直径的圆过点A，则，即（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）===，解得：，（舍去）．∴时，存在以MN为直径的圆过点A．。

江西省南昌三中2017-2018学年高二上学期期中考试数(文)试卷含答案

南昌三中2017-2018学年度上学期期中考试高二数学（文)试卷命题：胡福英审题：周平一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 直线12:220,:10l x ay a l ax y +--=+-=若12l l ∥，则a =( ） A. 1 B. -1 C.1或—1 D 。

22。

抛物线2xay =的准线方程是2y =，则a 的值为(）A ．8-B ．8C ．18D ．18- 3。

抛物线()022>-=p px y的焦点恰好与椭圆15922=+y x 的一个焦点重合，则=p （）A.1 B 。

2 C.3 D 。

44。

双曲线221(0)x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24yx=的焦点重合，则mn 的值为（ )A 。

316 B 。

38 C 。

163 D 。

835. 已知变量x ，y ，满足约束条件，目标函数z=x+2y 的最大值为10,则实数a 的值为（） A 。

2 B.83C. 4D. 86。

能够使圆014222=++-+y x y x恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（）A ．2B ．3C ．5D ．537．已知F 是双曲线C :x 2－my 2＝3m (m 〉0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A 。

错误!B ．3C 。

错误!mD ．3m8.已知双曲线22221(0,0)y x a b ab-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( ）A.22136108y x -= B 。

221927y x -= C 。

22110836y x -=D.221279y x -= 9．若直线4mx ny +=和⊙O ：224x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 10。

2017-2018学年江西省南昌市第二十六中学高二数学上期中文科试题(含答案)

2017～2018高二上期中数学试题卷（文科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分; 每小题只有一个正确选项） 1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M 的坐标是(2,4,6)，则其关于yOz 平面的对称点的坐标是( )A.(－2，－4，－6) B ．(－2，－4, 6) C ．(2，－4，－6) D ．(－2, 4，6) 2．已知直线1l ax ＋2y ＋2＝0和直线2lx ＋(a －1)y ＋1＝0，则12//l l 的充要条件是( )A. a ＝32 B ．a ＝2 C ．a ＝－1 D ． a ＝2或a ＝－13．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点A(1,2)，B(－2,3)，C(4，t)在同一条直线上，则t 的值为( )A.12 B. 32C ．1D ．－1 5．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1D.7156．下列说法中正确的是 ( )A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<RC ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”7.△ABC 的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的周长为22,则顶点C 的轨迹方程是( )A.2213611x y += B ．2212511x y += C.221,(y 0)916x y +=≠ D ．221,(y 0)3611x y +=≠ 8.若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且113PF =，则2PF =（）. A ．19或7 B ．19C ．10D ．16或109. O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x y 242=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则△POF 的面积为（）A.2B.22C.32D.410.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（）A ．－2B ．－4C ．－6D ．－811．下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点（F 1、F 2距离不变），设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则（）A ．e 1＞e 2＞e 3B ．e 1＝e 3＞e 2C ．e 1＜e 2＜e 3D ．e 1＝e 3＜e 212．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．内切 C ．外切D ．相离二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知p ：2560xx -+->，q ：44x a -<<+ａ，且p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围为． 14. 求经过圆224260x x +-+-ｙｙ＝的圆心，且与直线ｘ＋２ｙ-6＝0垂直的直线的方程（一般式）．15.如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8．求椭圆E 的方程．16.如图，抛物线2ｙ＝2px(P>0)的焦点F 恰好是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，且两曲线的公共点为A ，B ，且A B 的连线过焦点F ，则椭圆的离心率＝．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分, 18~22题每题12分, 共70分） 17．（10分）若抛物线2y mx =的准线与圆22450xy x +--=相切，求抛物线的准线和标准方程。

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学(文)试题(解析版)

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（文）试题一、选择题1．直线310x +=的倾斜角为（） A. 1500B. 1200C. 600D. 300【答案】B【解析】设直线的倾斜角为()0180αα<<，则tanα== 120α∴=，故选B.2．点p 的直角坐标为1,1-（），则它的极坐标为（）A. 34π⎫⎪⎭B. 34π⎫-⎪⎭C. 32,4π⎛⎫⎪⎝⎭D. 32,4π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】点P 的直角坐标为()1,1-， 3tan 1,tan 14ρθπ∴==-=-，所以34πθ=， ()1,1- 的极坐标为34π⎫⎪⎭，故选A. 3．抛物线24x y =-的准线方程为（） A. 116x =B. 116x =- C. 1y = D. 1y =- 【答案】C【解析】如图，由24x y =-，得24p =，则2,12pp =∴=，则抛物线24x y =-的准线方程为12py ==，故选C. 2222A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】圆()()221:114C x y ++-=和圆()()222:3425C x y -+-=的圆心坐标分别为()1,1-和()3,4，半径分别为2r =和5,R =圆心之间的距离5d ==， 7,3,R r R r R r d R r +=-=∴-<<+，则两圆的位置关系是相交，故选B.5．圆22430x y x +-+=的圆心到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】2240x y x +-=化为()2224x y -+= ，圆心坐标为()2,0，半径为2，双曲线2213x y -=的渐近线方程为3y x =±，可得圆心到双曲线2213x y-=的渐近线的距离为1d ==，故选A. 6．若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（）A.221916x y -= B. 221916y x -= C. 2211625x y -= D. 2211625y x -= 【答案】B【解析】椭圆2211625x y +=的焦点在y 轴上， 5,4,3a b c ==∴==， ∴该椭圆的焦点为()()0,3,0,3,-∴以椭圆2211625x y +=的焦点为焦点，短半轴长为实轴长的双曲线焦点也y 轴上，且有： 3,5a c ==，则4b ==， ∴该双曲线的标准方程为221916y x -=，故选B. 7．过两直线10x+=0y +=的交点，并与原点的距离等于12的直线有（）条【答案】C【解析】由10xy+=+=，求得12{xy==，故两直线10x+=和0y+=的交点12P⎛⎝⎭，再根据112OP=>，可得过点P且与原点的距离等于12的直线有两条，故选C.8．如果椭圆221369x y+=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是A．20x y-= B．240x y+-=C．23120x y+-= D．280x y+-=【答案】D【解析】略9．与圆221x y+=及圆228120x y x+-+=都外切的圆的圆心的轨迹为A. 椭圆B. 双曲线一支C. 抛物线D. 圆【答案】B【解析】()2244x y-+=,设两个圆心分别为()()0,0,4,0A B，设动圆圆心为P（x,y）,则2,1,1PA r PB r PA PB AB=+=+-=<，所以是双曲线的一支。

2017-2018学年江西省南昌市实验中学高二数学上期中(文)试题

2017-2018 上学年期中卷高二数学（文）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1•直线3x • .3y _4 =0的倾斜角是（）22. ._ ..2.已知方程x 亠y -2x 亠2y 亠a =0表示圆，则实数a 的取值范围是（）A . （2,：:）B . （ -2, •：：）C . （v ,2）D .（71）2x23椭圆y 2=1的离心率是（）1 A.-442 1B .C .—22D .524直线l 过点（1, 0）且与直线x _2 y • 4 =0平行，则I 的方程是（）D. x 2 y -1 =02225.圆 A : x y 4x 2y ^0 与圆 B : x •y -2x-6y ，1=0 的位置关系是（）（O 为坐标原点）的面积为 4,则抛物线方程为（A .平行B .重合C. 相交但不垂直D .垂直7.已知双曲线C 2 2yx :—■ - — =1ab5（a ■ 0,b ■ 0 ）的离心率为一，3则双曲线 C 的渐近线方程为（）A .3 y =— x4B .4 y =— x 3C. “厶3D . yx2）8.设斜率为2的直线l 过抛物线『=ax （ a = 0 ）的焦点F ，且和y 轴交于点A ,若二OAF 0 0A . 30B . 60C . 1 200D . 1 50A . x -2 y -1 = 0B. x -2 y T = 0C. 2x y -2 = 0A •相交B .内切C.外切 D •内含26.直线h,l 2的斜率是方程x 一 3x _1=0的两根，则l 1与l 2的位置关系是（。

高二数学：上期中数学试卷解析版

江西省南昌市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．32．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．312．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；C、当c=0时，则ac2=bc2，；D、由c2+1≥1可判断．【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；故选：D4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．【考点】7F：基本不等式．【分析】A．x＜0时，y＜0．B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．【解答】解：A．x＜0时，y＜0．B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+=2，最小值不可能为2．C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．D. +＞=2，最小值不可能为2．故选：C．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= [2+3+…+（n+1）]==，故选：B．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891【考点】F1：归纳推理．【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，因此第100个括号应在第25组第4个括号，该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用==，即可得出结论．【解答】解：====．故答案为：．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由题意可知，即，解得k＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），由于a1≠0，∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．【解答】解：向量，，且．（I）∵，∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，∴a2﹣c2=（a﹣b）b．由余弦定理：cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（II）△ABC的面积S=absinC，∵C=，R=，∴c=2RsinC=．由余弦定理：得a2+b2=6+ab．∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）∴ab≤6．故得△ABC的面积S=absinC=．∵C=，a=b．此时△ABC为等边三角形．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a ＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）+1=通过讨论n的范围判断两式的大小【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得=4×3n﹣1n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1∵{a n}是等比数列∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得T n=b1+b2+…+b n=两式相减可得，=4（n+1）b n﹣（3﹣16T n）=+1而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1那么同理可得：当时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1；当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。

南昌十九中2017-2018学年度上学期高二第一月考数学试题

南昌十九中2017～2018学年度上学期高二第一月考数学命题人：胡琴晴审题人：甘海虹第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1.点B 是点()6,4,3-A 在平面xOy 上的射影，则OB 等于( )A ．5B ．53C ．132D ．612.两平行线0743=--y x 和0386=+-y x 之间的距离为()A ．54B ．0117C ．2D ．517 3.若圆:C ()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 关于直线02=-+y x 对称，则E D ,满足( ) A ．02=-+E D B ．04=-+E DC ．02=++ED D ．04=++E D4.若直线2+=kx y 与椭圆12322=+y x 相切，则斜率k 的值是( ) A ．36B ．－33C ．±36D ．±33 5.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+02202201y x y x y x ，则y x z 23-=的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．－26.已知1F ，2F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于点B A ,，若5=AB ，则21BF AF -等于（）A ．3B ．8C ．13D ．167.方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（）A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆8．过点()1,2P 作圆0122:22=+++-+a ay ax y x C 的切线有两条，则a 取值范围是（）A ．3->aB ．3-<aC ．523-<<-aD ．2523>-<<-a a 或 9.P 为椭圆13422=+y x 上一点，21,F F 为该椭圆的两个焦点，若︒=∠0621PF F ，则21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．3C ．3D ．3210.已知P 为椭圆1162522=+y x 上的一点，N M ,分别为圆()1322=++y x 和圆 ()4322=+-y x 上的点，则PN PM+的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15 11.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2a x c =（c 为半焦距）上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．0⎛ ⎝⎦B ．02⎛ ⎝⎦，C ．1⎫⎪⎪⎣⎭D ．12⎫⎪⎪⎣⎭12.已知点P 是椭圆()2210,0168x y x y +=≠≠上的一动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且01=⋅F ，则的取值范围为( )A ．(0,B ．[)0,3C ．(]0,4D ．)⎡⎣第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.两圆的方程为0114822=+--+y x y x 及03222=-++y y x ,则两圆的公切线共有________条.14.以椭圆1162522=+y x 内一点()1,1M 为中点的弦所在的直线方程为________． 15.若直线m x y l +-=2:与曲线2421:x y C -=有且仅有1个交点，则m 的取值范围是．16.过椭圆134:22=+y x E 的左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于D C ,两点，A 是椭圆E 的左顶点，则OAD ∆与OAC ∆(O 为坐标原点)的面积之差的绝对值的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知直线l 过直线052:1=--y x l 和直线04:2=-+y x l 的交点.(1)若直线l 与直线0523=+-y x 平行，求直线l 的方程；(2)若直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程.18.(12分)已知圆0822:221=-+++y x y x C 与圆024012:221=-+-+y x y x C 相交于B A ,两点．(1)求公共弦AB 的长；(2)求圆心在直线x y -=上，且过B A ,两点的圆的方程.19.(12分)如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若︒=∠901AB F ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且B F AF 222=，求椭圆的方程.20.(12分)已知圆C 的方程为422=+y x .(1)直线l 过点()2,1P 且与圆C 交于B A ,两点，若32=AB ，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴交于点N ，若+=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.21.(12分)已知椭圆C ：22x a +22y b =1()0>>b a 的一个顶点为()0,2A ，离心率为2，直线()1-=x k y 与椭圆C 交与不同的两点N M ,.(1)求椭圆C 的方程;(2)当AMN ∆k 的值 .22.(12分)已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率23=e ，且过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设N M ,为椭圆上不同的两点，椭圆C 的左右顶点分别为B A ,,右焦点为F ，直线MN 既不平行于坐标轴，也不过点F ，若BFN AFM ∠=∠，求证：直线MN 过定点.答案一、选择题7.A 2.B 3.D 4.C 5.B6.A8.D 8.D9.A10.B 11.C12.A二、填空题13.3 14.0412516=-+y x 15.[]{}21,1- 16.23 ()()()234326|4|3600;0436221436,,,,09643,13411,,212122121212212211222221=⨯≤+=-==-=+=+=-⨯⨯=-∴+=+=--+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=∆∆k k S S k S S k k k y y y y S S k k y y y x D y x C ky y k y x ky x ky x l S OAC S OAD 时，当时，当则有设，得由的方程为设直线的面积为的面积为解：设三、解答题()()()()()()))02032,113,1023131,01,,,207237012-33502313130405210203207231.17=--=-==-+=-+≠=∴===-==--∴-==+⋅⋅-≠=+-∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=--=--=-=--y x y x a aa a y a x l a k k kx y l a ba b a y x l y x l m m m m y x l l y x y x y x y x y x y x 或为综上，所求的直线方程解得则有的方程为时，可设直线当故有的方程为时，可设直线当则有轴上的截距分别为在设直线的方程为所求的直线，解得，则有的方程为设直线，过点直线得由或；答案()()()()()()()()()()()013301555,3,3032032,111151,,5,125225542101,1,1042101332521].[182221222111122=-++∴=+∴=-⎩⎨⎧=++-==++++=+-+-=-=∴=++-==--=+-=-++y x d AB y x x y y x x y C C C d r AB d AB C r C AB y x y x 所求圆的为所求圆的半径为的距离为它到直线得所求圆的圆心为由即的直线方程为过圆心公共弦长的距离为到直线半径圆心所在的直线方程。

江西省南昌市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题

江西省南昌市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1．到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹方程是（） A ．34110x y --= B ．3490x y -+=C ．341103490x y x y -+=--=或D ．341103490x y x y --=-+=或 2．圆8sin ρθ=的圆心的直角坐标为( ) A ．(4.0)B ．(0,-4)C ．(0,4)D ．(-4.0)3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)3,4(A ，点B 是圆4)1(22=++y x 上的动点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．1)23()23(22=-+-y xB ．4)23()23(22=-+-y xC ．1)3()3(22=-+-y xD ．2)3()3(22=-+-y x4．已知圆22:4O x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（）A ．-或B ．CD ．5．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（）. A ．20 B ．18C ．16D ．以上均有可能6．设1F 和2F 为双曲线2222x 1(a 0,b 0)y a b-=>>的两个焦点，若1F ，2F ，）（b 2,0P 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A.32 B.2 C.52D.37．过抛物线)0(2>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp 11+等于 ( ) A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a4 8．设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线与椭圆221925x y +=的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221412y x -= C ．221124x y -= D ．221124y x -= 10．如果123,,P P P 是抛物线2:4C y x =的点，它们的横坐标依次为123,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若1220n x x x +++=,则12n PF P F P F +++= （）A ．10n +B ．20n +C ．210n +D ．220n +11．已知双曲线221:1(0)3y x C m m m -=>+与双曲线222:1416x y C -=有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为（）A ．10B ．20C ．D ．4012．抛物线x 2=8y 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则（） A ．-20B ．12C ．-12D ．20第II 卷（非选择题）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．在极坐标系中，O 是极点，设点(4,)3A π，5(5,)6B π-，则△OAB 的面积是__________． 14．在平面直角坐标系x O y 中，点A(0,-3)，若圆C ：（x -a ）2+（y -a +2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a 的取值范围是__________．15．若点),(y x 在双曲线2214x y -=上，则232x y -的最小值是____________． 16．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为________________.三、解答题(共6小题，共70分)17．（本小题10分）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P . (1)点()5,0A 到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点()5,0A 到直线l 的距离的最大值,并求距离最大时的直线l 的方程．18．（本小题12分）已知圆()22:620C x y -+=，直线:l y kx =与圆C 交于不同的两点 A B ，．（1）求实数k 的取值范围；（2）若2OB OA =，求直线l 的方程．19．（本小题12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点)4M π处的切线为直线l .(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与2214y x +=的交点为P 1,P 2,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.20．（本小题12分）过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1.（1）求11FM FN ；（2）记△FMM 1、△FM 1N 1、△FNN 1的面积分别为1S 、2S 、3S ，求2213S S S21．（本小题12分）已知）（0,2-1F ,）（0,22F ,点P 满足221=-PF PF ，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值.（ii ）在（i ）的条件下，求MPQ ∆面积的最小值.22．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线2x =与椭圆交于,P Q 两点，P 点位于第一象限，,A B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点．（i ）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值；（ii ）当点,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．高二数学（文科）试卷参考答案一、单选题1．到直线3410x y --=的距离为2的点的轨迹方程是（） A ． 34110x y --=B ． 3490x y -+=C ． 341103490x y x y -+=--=或D ． 341103490x y x y --=-+=或【答案】D【解析】设所求直线方程为340x y C -+=，根据两条平行线间的距离公式得：125C +== ，则11C =- 或9C = ，所求直线方程为34110x y --= 或3490x y -+=，选D. 2．圆的圆心的直角坐标为( )A ． (4.0)B ． (0,-4)C ． (0,4)D ． (-4.0) 【答案】C【解析】分析：将极坐标方程为，化为圆的一般方程，然后再判断．详解：圆的极坐标方程为，，消去和得，配方得∴圆心的直角坐标是故选C.，点睛：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解．3．（本题0分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点)3,4(A ，点B 是圆4)1(22=++y x 上的动点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．1)23()23(22=-+-y xB ．4)23()23(22=-+-y xC ．1)3()3(22=-+-y xD ．2)3()3(22=-+-y x 【答案】A【解析】试题分析：设(),B m n ，(),M x y ，则24,23m x n x =-=-，由点B 在圆4)1(22=++y x 上，则()()2223234x y -+-=，即1)23()23(22=-+-y x ，故选A ．考点：1、轨迹方程；2、圆的标准方程．4．（本题0分）已知圆22:4O x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为（）A ．-或B ．CD ．【答案】D【解析】试题分析：由圆C 的方程224x y +=，可得圆C 的圆心为原点()0,0O ，半径为2，若圆C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，因为半径为2，则O 到直线l ：x y a +=的距离d 等于1，直线l 的一般方程为：0x y a +-=，1d ∴==，解得a =D.考点:1、圆的几何性质；2、点到直线的距离公式.5．（本题0分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（）.A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能【答案】C【解析】由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C6．（本题0分）设1F 和2F 为双曲线2222x 1(a 0,b 0)y a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，）（b 2,0P 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A.32 B.2 C.52D.3 【答案】B【解析】试题分析：如图，因为︒=60tan OF PO 1，∴3cb2=，∴22c 3b 4=，∴2223)c 4c a =-（，∴22a 4c =，∴2e =.故选B.考点：双曲线的性质和应用. 7．（本题0分）过抛物线)0(2>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp 11+等于 ( )A ． a 2B ． a 21C ． a 4D ． a4 【答案】C【解析】考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴, 8．（本题0分）设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：双曲线的离心率，椭圆的离心率为，选C.考点：椭圆、双曲线的定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．（本题0分）已知双曲线与椭圆221925x y +=的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此双曲线的方程为A ．221412x y -= B ． 221412y x -= C ． 221124x y -= D ． 221124y x -= 【答案】B 【解析】24484,21255c a b a =⨯=⇒=∴= ,焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为221,412y x -=选B. 10．如果123,,P P P 是抛物线2:4C y x =的点，它们的横坐标依次为123,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若1220n x x x +++=,则12n PF P F P F +++= （）A ．10n +B ．20n +C ．210n +D ．220n + 答案B11．（本题0分）已知双曲线221:1(0)3y x C m m m -=>+与双曲线222:1416x y C -=有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为（）A ． 10B ． 20C ．D ． 40 【答案】B【解析】双曲线221:1(0)3y x C m m m -=>+的渐近线为y = 双曲线222:1416x y C -=的渐近线为2y x =±， ∵两个双曲线有相同的渐近线，2，即34m m +=，得m=1，则双曲线C 1： 2214y x -=，则对应的焦点坐标为E （0，，F （0，双曲线C 2： 221416x y -=的焦点坐标为G （0），H （﹣0），则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S △GHE =2×1202⨯=，故选：B.12．（本题0分）抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A ．B ．C ．D ．B 【解析】【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.二、填空题13．（本题0分）在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．【答案】5【解析】分析：根据极角可得三角形的内角，由极经得边的长，根据三角形的面积公式即可得结果.详解：如图，根据极径与极角的定义可得，中，，（平方单位），故答案为.点睛：本题主要考查极坐标系内，极径与极角的几何意义及其应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力..14．（本题0分）在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】设点的坐标为，根据可得点的轨迹方程为，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果．【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1．设点的坐标为，∵，∴，整理得，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．由题意得圆和点M 的轨迹有公共点， ∴，解得．∴实数的取值范围是．【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．15．（本题0分）若点),(y x 在双曲线2214x y -=上，则232x y -的最小值是．【答案】14312【解析】试题分析：()22232314212212x y y y y y -=+⨯-=-+，二次函数对称轴为112y =，结合二次函数图像及性质可知最小值为112y =时对应的值为14312考点：双曲线方程及性质16．（本题0分）若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .【答案】 80【解析】设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=∴②.①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a三、解答题17．（本题0分）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P . (1)点()5,0A 到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点()5,0A 到直线l 的距离的最大值,并求距离最大时的直线l 的方程．【答案】(1) x ＝2或4x －3y －5＝0(2)见解析．【解析】试题分析：（1）设过两直线的交点的直线系方程，再根据点到直线的距离公式，求出λ的值，得出直线l 的方程；（2）先求出交点P 的坐标，由几何的方法求出距离的最大值。

江西省南昌市高二数学上学期期中试题文

2017—2018学年度上学期期中考试高二数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线310x +=的倾斜角为（） A.1500B.1200C.600D.3002.点P 的直角坐标为)1,1(-，则它的极坐标为（）A.3)4πB.3)4π-C.3(2,)4π D.3(2,)4π-3.抛物线24x y =-的准线方程为（） A.116x =B.116x =-C.1y =D.1y =-4.圆4)1()1(:221=-++y x C 与圆25)4()3(:222=-+-y x C 的位置关系是（） A.相离 B.相交C.相切D.内含5.圆22430x y x +-+=的圆心到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（） A.1 B.2C.3D.46. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（）A. 221916x y -=B. 221916y x -=C. 2211625x y -=D. 2211625y x -=7. 过两直线013=+-y x 和033=-+y x 的交点，并与原点的距离等于21的直线有（）条 A.0B.1C.2D.38.若椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程为（）A.20x y -=B.240x y +-=C.280x y +-=D.213340x y +-=9. 一动圆与两圆221x y +=和228120x y y +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线一支10. A 、B 分别是椭圆1322=+y x 的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则点C 到直线A B 的距离的最大值为（） 6363C.236- D.236+ 11. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为2017的有（）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A.1条B.2条C.3条D.4条12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则||4||AB CD +的最小值为（） A.112B.132C.152D.172二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13. 直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为 .14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 .15. 设M 为椭圆221259x y +=上的一个点，1F ，2F 为焦点，1260F MF ∠=︒，则△12MF F 的面积为．16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M 为顶点的等腰三角形，其面积是24c ，则双曲线C 的离心率是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 .（本小题满分10分）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且平行于直线x y 22=的直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y （12x x <）两点,若9||2AB =，求该抛物线的方程.18 .（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求PB PA +的值．19 .（本小题满分12分）中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝132，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.（Ⅰ）求这两曲线的方程；（Ⅱ）若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值.20．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线02=+y x 相切，被直线02=+y x 截得的弦长为556. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若x 、y 满足圆C 的方程，求y x y x 2422+++的取值范围.21．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点， M 是椭圆2221x y +=上的点，设动点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r . （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线():0l y x m m =+≠与曲线C 相交于A ， B 两个不同点，求OAB ∆面积的最大值.22.(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 过点)3,23(，离心率为21. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l 交抛物线y x 22=于A 、B 两点，O 为原点.①求证：OB OA ⊥；②设OA 、OB 分别与椭圆相交于C 、D 两点，过原点O 作直线CD 的垂线OH ，垂足为H ，证明:OH 为定值.南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试高二数学（文）试卷参考答案一、选择题1—5 BACBA 6—10 BCCDD 11—12 CB 二、填空题13.34- 14.22154x y +=15.1 三、解答题17. 解：直线AB的方程是)2py x =-，与22y px =联立，从而有22450x px p -+=，所以1254p x x +=，由抛物线定义得1259||42p AB x x p p =++=+=，∴2p =，从而抛物线方程为24y x =．18.解：（Ⅰ）由1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数t ，得到直线l 的普通方程为02=-+y x ．把222y x +=ρ，θρcos =x ，代入05cos 62=+-θρρ，得：圆C 的直角坐标方程05622=+-+x y x ，即()4322=+-y x ．………………6分（Ⅱ）把1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入()4322=+-y x ，化简得：210t -+=，由于184140∆=-=>，所以设1t ，2t 是该方程的两根．所以12t t +=，121=t t ，所以0,021>>t t ，又直线l 过()1,1P ，所以23|)||(|||||212122=+=++=+t t t t b a PB PA ．………12分19．解：（1）（2）20．（Ⅰ）解：设圆C 的圆心为(,1)a a -，半径为R ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-+222)5)1(2()553(5)1(2R a a R a a ，解得⎩⎨⎧==52R a所以圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x .…………………………6分（Ⅱ）Q 5)1()2(242222-+++=+++y x y x y x ，设22)1()2(+++=y x d ，)1,2(--P所以R CP d R CP +≤≤-||||，因为52||=CP ，所以535≤≤d 所以40502≤-≤d ，从而2244x y x y +++的取值范围为]40,0[.…………………………12分21．解：解：（1）设点，,则由，得，即，，因为点在椭圆，所以，故，即动点的轨迹的方程为.（2）由曲线与直线联立得，消得，因为直线与曲线交于，两点，所以，又，所以.设，，则，，因为点到直线：的距离，，所以，，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.22. 解：(1) 222221c b e a a ==-Q ，所以4322=ab又143322=+ba Θ，解得2=a ，3=∴b ，所以椭圆的方程为13422=+x y （2）①证明：设),(11y x A 、),(22y x B ，依题意，直线l 一定有斜率k ， l 的方程为2+=kx y ，联立方程⎩⎨⎧=+=yx kx y 222消去y 得 0422=--kx x ， 421-=∴x x ，又422222121==∴x x y y ，0442121=+-=+∴y y x x ， OB OA ⊥∴=⋅∴0②证明：设),(33y x C 、),(44y x D ，直线CD 的方程为n mx y +=OB OA ⊥Θ，OD OC ⊥∴， 04343=+∴y y x x联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x n mx y 消去y 得 01236)43(222=-+++n mnx x m ， 436243+-=+∴m mnx x ，431232243+-=m n x x ，而43436123)(22222222224343243+++--=+++=∴m n n m n m m n m n x x mn x x m y y由04343612343123222222222224343=+++--++-=+m n n m n m m n m m n y y x x 得 )1(12722m n +=，即7)1(122m n +=72127121,2==+=∴⊥m n OH CD OH Θ. 所以OH 为定值.。

江西省南昌十九中2017-2018学年高二上学期期中考试文科数学试题含答案

南昌十九中2017～2018学年度第一学期高二年级期中考试数学试题（文)考试时间：120分钟；命题人：龚琳第I 卷(选择题）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x ＋错误!y ＝3的倾斜角是( ）A.错误!B.错误!C.错误!πD.错误!π2. 直线l:mx －y ＋1＝0与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（ )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定3.若抛物线22y px =()0p >的焦点与双曲线221124x y -=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．8B ．C ．4D ．2 4。

已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为( ）A 。

错误!B ．2 C.错误!或2 D.错误!或错误!5. 已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，|AB ｜＝4，则AB 中点C 的横坐标是（ )A ．2B 。

错误!C 。

错误!D 。

错误!6。

设变量x ,y 满足约束条件错误!则目标函数z ＝y －2x 的最小值为（）A ．－7B ．－4C ．1D ．2 7.已知(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点,则直线l 的方程是( ）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．2340x y ++=D ．280x y +-=8.若双曲线22221x y a b-=（a>0，b 〉0)与直线y ＝2x 无交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ） A ．（1,2) B ．（1,2] C ．（1，错误!） D ．(1，错误!]9。

已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,若21F PF ∆的面积为9，则b 的值为（）A.1 B 。