D11_2对坐标曲线积分
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对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
坐标的曲线积分是指对于曲线上的各个点，按照其在坐标系中的
坐标值进行积分的过程。
这种方法常用于研究曲线的长度、变化率、
等量关系等问题。
具体来说，在平面直角坐标系中，对于一条曲线C，其通常可以
表示为 y=f(x)，其中f(x)是曲线的方程。
对于该曲线上任意一点
(x,y)，都可以通过对x、y分别积分的方式得到其到曲线起点的弧长。
具体而言，对于一条曲线C，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(1+f'(x)²)dx
其中f'(x)表示f(x)的导数，a,b是曲线C的起点和终点。
在曲线积分中，坐标的变化直接与曲线的弧长和函数值相关，因
此坐标的曲线积分往往可以用于描述曲线在不同位置上的变化情况。
例如，在应用物理中，我们经常需要计算物体在曲线轨道上的运动情况，这时就需要用到坐标的曲线积分。
值得注意的是，坐标的曲线积分可以用于任意维度的空间中，例
如在三维坐标系中，对于曲线C可以表示为
(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(f'(t)²+g'(t)²+h'(t)²)dt
总之，坐标的曲线积分是一种基本的数学工具，在物理学、几何学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
熟练掌握坐标的曲线积分，
可以更好地理解和解决涉及曲线的各种问题。
经典高等数学课件D11-2对坐标的曲线积分
13
对坐标的曲线积分的计算步骤： (1)画出积分路径的图形,标明积分路径的方向；
(2)将积分路径用参数方程表示；
(3)用“二代一定”的方法把第二类线积分化为定积分.
如：L : x (t ), y (t )
t从 变到 ，
L
P( x, y )dx Q( x, y )dy
0
n
i 1
常用组合形式： Pdx Qdy Rdz = Pdx Qdy Rdz
记
F P ( x , y , z ), Q( x , y , z ),R( x , y , z ) 有线曲线元dr (dx ,dy, dz ), 记 则： P ( x , y )dx Q( x , y )dy R( x , y )dz = F dr
点M(x,y)由L的起点A沿L运动到终点B( t : ), ( t ),
(t ) 在以 及为端点的闭区间上具有一阶连续导数,
则曲线积分 P ( x , y )dx Q( x , y )dy存在, 且 2 (t ) 2 (t ) 0，
L
且
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy
L
若L y轴 Q( x , y )dy 0
L
10
f 例1. 设曲线L： ( x, y) 1 ( f ( x , y )具有一阶连续偏导数),
过第二象限内的点M和第四象限内的点N， 为L上
从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是（ B ）
（A） f ( x , y )dx （C） f ( x , y )ds
i
n
_高等数学2第十一章答案(DOC)
习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
11-2 对坐标的曲线积分
第二讲 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
同济版大一高数第十一章第二节对坐标曲线积分
L P d x Q d y
P d x Q d y R d z
27
思考与练习
y
1. 设一个质点在
处受 B(0,b)
M (x, y)
力F 的作用, F 的大小与M 到原 点 O 的距离成正比, F 的方向
F
o A(a,0) x
恒指向原点, 此质点由点
沿椭圆
沿逆时针移动到
求力F 所作的功.
提示: OM (x , y), F k(x , y) 思考: 若题中F 的方向
改为与OM 垂直且与
W AB kx dx k ydy
y 轴夹锐角,则
AB :
x a cos t y bsin t
t
:
0
2
F k( y, x)
(解见 P139 例5)
28
例5.
ydx x2dy,其中L如图 L
13
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B
A
a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
14
例3：计算：I L y 1exd x x 1e yd y
I 1exd x 2 2eyd y 0[2x 1ex 2x 1e2x ]d x
0
0
1
2
2eyd y
0
2
1 xex d x 2
0
1x 1e2xd x
0
1 2
对坐标的曲线积分
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
称为对 x 的曲线积分;
若记
称为对 y 的曲线积分. , 对坐标的曲线积分也可写作
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记
说明： (1) 变力做功 W P(x, y)dx Q(x, y)dy. L (2) 与定积分比较
解: (1) 取L的参数方程为
则
(2) 取 L 的方程为
则
例29.3. 计算 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线
解: (1) 原式
(2) 原式 (3) 原式
其中L为
例29.4. 设在力场 沿移动到
作用下, 质点由 其中为
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
(2) 的参数方程为
例29.5. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
到点B.
问：F做功W多少？
解决的方法：微积分思想
大化小，常代变，近似和，取极限
n
W
lim
0
i 1
P(i ,i )xi
Q(i ,i )yi
３. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
记作
b
W a F (x)dx.
F ( x)
A(•a) B(•b) x
2.引例 （变力沿平面曲线所作的功）
设L AB是平面上的一条光滑曲 线,
F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j (P(x, y), Q(x, y))
是定义在 L上的变力，质点在 F的作用下沿 L从点A移动
11-2 对坐标的曲线积分
变力 F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j 沿有向曲线 L 对质点所做的功为
W P( x, y)dx Q( x, y)dy .
L
可以证明，如果 P( x, y), Q( x, y) 在有向光滑曲线段 L 上连续，则
P x, y dx Q x, y dy 存在．
11.2 对坐标的曲线积分
11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 对坐标的曲线积分的实际背景 对坐标的曲线积分的概念及性质 对坐标的曲线积分的计算 二类曲线积分之间的联系
23-1
11.2.1 对坐标的曲线积分的实际背景
物理背景——变力沿平面曲线对质点作功
设 L 为 xOy 坐标面上以 A, B 为端点的连续曲线段，一质点受外力
(i 1,2, , n) ， max{si } ． 在 M i 1M i 上任取一点 (i ,i ) (i 1,2, , n) ，作
1i n
和式 [ P(i ,i )xi Q(i ,i ) yi ] ， 如果极限 lim [ P(i ,i )xi Q(i ,i F 为常力，且运动路径 L 是有向线段 AB ，则 F 所做的功为
F AB ．
（参见向量数量积的物理背景）
如果 F 是变力，而且质点的运动路径 L 是有向曲线，则采用分割、近 似、求和、取极限的方式来求变力所做的功W ．
⑴ 分割：用有向曲线段 L 上的点
A M0 , M1, M 2 , , M n1, M n B
L
23-7
由定义 11-2-1 可得对坐标曲线积分的下列性质．
⑴ 设 L 是平面光滑有向曲线， L 表示与 L 方向相反的有向曲线，则
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y
F ( k , k )
L A
M x kk 1
M y kk
B
x
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2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
P( k , k )xk Q( k , k ) yk 0
所做的功为
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F (k , k ) M k 1M k P(k , k )Δ xk Q(k , k )Δ yk
A t ds A cos ds
L L
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
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例7.将积分 分, 其中L 沿上半圆周 解： y 2 x x , d y
2
化为对弧长的积
1 x 2x x 1
2x x2
2
dx y
2 1 y dx ds
dx
O 1 x
B x
2x x ,
2
L P( x, y) dx Q( x, y) d y
2x x2
(1 x )
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内容小结
1. 定义
lim P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
2. 性质
0 k 1
lim
k 1
n
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1
P d x Q d y R d z P cos Q cos R cos ds
令 A ( P , Q , R) , d s (d x , d y , d z )
t (cos , cos , cos )
A d s A t ds
0 i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i )ti
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
0 i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
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3) “近似和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n
4) “取极限”
W lim P (ξk , ηk )Δ xk Q(ξk , ηk )Δ yk
0 k 1
n
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )
P [ (t ), (t ) , (t )] (t )
Q [ (t ), (t ) , (t )] (t ) R [ (t ), (t ) , (t )] (t )d t
2π 0
y
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(1 4 cos 2 t ) d t 2 π
目录
x
上页
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cos , cos ds ds 则两类曲线积分有如下联系
L P( x, y) d x Q( x, y) d y
F
O
沿椭圆
A(a,0) x
沿逆时针移动到
求力F 所作的功.
提示: OM ( x , y ) , F k ( x , y ) 思考: 若题中F 的方向
W
AB
k x dx k yd y
改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则
x a cos t π t : 0 AB : y b sin t 2
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x
a
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P [ x( s ), y ( s )] cos Q [ x( s ), y ( s )] cos ds
0 l
P( x, y ) cos Q( x, y ) cos ds
L
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
n k 1
n
称为对 x 的曲线积分;
Q( k , k ) yk , L Q( x, y)d y lim 0
称为对 y 的曲线积分.
若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y
x y
yx
4
1 0 1 3 x dx 0
A(1, 0 ) x
解: (1) 原式
2 4 ( (2) 原式 2 y y 2 y y )d y
(3) 原式
0 dy
0
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1
例4. 设在力场 沿 移动到
作用下, 质点由 z 其中 为 B
试求力场对质点所作的功.
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
P [ (t ), (t )] (t )dt
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证明: 下面先证
根据定义 设分点 xi 对应参数 ti ,
n
lim P( i , i ) xi
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
在有向光滑弧 L 上有定义且 x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有 定理:
记 A 在 t 上的投影为 A t
Ad s
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例6. 设
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L
L P cos Q cos ds
P cos Q cos ds
设 A ( P, Q) , t (cos , cos ) 二者夹角为
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
解法2 取 y 为参数, 则
4 dx 5
x yd x y 2 y ( y 2 ) d y
L 1
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1
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为
P [ (t ), (t )] (t ) dt
0 i 1
同理可证
Q [ (t ), (t )] (t ) d t
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特别是, 如果 L 的方程为 y ( x), x : a b, 则
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x a
2 其中 L 为沿抛物线 x y d x , y x 从点 例1. 计算
L
y
B ( 1, 1 )
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
AO : y x , x : 1 0 OB : y x ,
x yd x
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
目录
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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
B a
A a x
则
L y
2
dx
π 2 2 a sin t 0
(a sin t )d t
3