中考100课8分式化简

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分式的化简与扩展

分式的化简与扩展分式是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在进行分式运算时，经常需要对分式进行化简与扩展，以便更好地进行计算和理解。

本文将介绍分式的化简与扩展的方法与技巧。

一、分式的化简分式的化简是指将分子和分母中的因式进行约分，使得分式的表示更为简洁。

下面介绍几种常见的化简方法。

1. 公因式的约分当分子和分母有相同的因式时，可以进行公因式的约分。

例如，对于分式2x/4x，可以将分子与分母都除以2x，得到简化后的分式为1/2。

2. 同底数的幂的约分当分子和分母的幂有相同的底数时，可以进行同底数的幂的约分。

例如，对于分式x^2/3x^4，可以将分子与分母的x^2约分，得到简化后的分式为1/3x^2。

3. 分式的分子与分母的公因式的约分当分子和分母均含有相同的因式时，可以将分子与分母同时约去这个公因式。

例如，对于分式(x+1)(x-1)/(x-1)，可以约分(x-1)，得到简化后的分式为x+1。

二、分式的扩展分式的扩展是指将一个分式转化为另一个等价的分式，使得分式的形式更方便使用。

下面介绍几种常见的扩展方法。

1. 通分在计算两个分数的和、差、乘积或商时，需要进行通分，将两个分式的分母化为相同的形式。

通分的方法是将两个分母的乘积作为新的分母，同时分子也进行相应的乘法操作。

例如，将分式1/3与2/5通分，可以得到等价的分式5/15与6/15。

2. 分式的分子与分母的因式分解当分子和分母含有多个因式时，可以对其进行因式分解，以便进行简化或者进行其他计算。

例如，对于分式(x^2+2x+1)/(x^2-1)，可以将分子和分母分别进行因式分解为(x+1)(x+1)/(x+1)(x-1)，再进行约分，得到简化后的分式为(x+1)/(x-1)。

3. 分数的倒数分数的倒数是指将一个非零分数的分子和分母互换位置，得到一个等价的分数。

例如，对于分数1/3，其倒数为3/1，即3。

综上所述，分式的化简与扩展是数学中常用的操作，能够简化分式表达式，方便计算和理解。

【八年级】有条件的分式的化简与求值

【八年级】有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当导入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆毁项变形或分拆变形；4．整体代入；5．利用比例性质等．例题求解【基准1】若，则的值就是．(“希望杯”邀请赛试题)思路指点导入参数，利用参数找寻a、b、c、d的关系．注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径：(1)轻易运用条件；(2)变形运用条件；(3)综合运用条件；(4)挖掘隐含条件．在求解某些不含多个字母的代数式问题时，如果未知与未明之间的联系不显著，为了沟通交流未知与未明之间的联系，则可以考量导入一个参数，参数的导入，可以起著沟通交流变元、消元的功能．【例2】如果，，那么等于()a．1b．2c．3d．4(全国初中数学联赛武汉选拔赛)思路指点把c、a用b的代效式则表示．【例3】已知，，，求代数式的值．(北京市竞赛题)思路指点轻易通在分后，似乎较繁，由x+y+z=2，得z=2－x－y，x=2－y－z，z＝2－x－y，从变形分母抓起．【例4】不等于0的三个数a、b、c满足，求证a、b、c中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路指点必须证a、b、c中至少存有两个互为相反数，即为必须证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，并使证明的目标更加明晰．【例5】(1)已知实数a满足a2－a－1=0，求的值．河北省竞赛题)(2)汜知，求的值．(“北京数学科普日”组内赛试题)思路点拨(1)由条件得a2=a+1，，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是、、三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出++的值是解本例的关键．学历训练1．已知，那么=．(淄博市中考题)2．已知，则=．3．若a、b、c满足用户a+b+c=0，abc>0，且，y=，则=．(“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知，则=．(“五羊杯”竞赛题)5．已知a、b、c、d都是正数，且，给出下列4个不等式：①；②；③；④，其中正确的是()a．①③b．①④c．②④d．②③(山东省竞赛题)6．设a、b、c就是三个互不相同的正数，如果，那么()a．3b=2cb．3a=2bc．2b=cd．2a=b(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x?3y一6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则代数式的值等于()．a．c．－15d．－13(全国初中数学竞赛题)8．设立轮船在静水中速度为，该船在流水(速度为<)中从上游a驶向下游b，再回到a，所用时间为t，假设=0，即为河流改成静水，该船从a至b再回到b，所用时间为t，则()a．t=tb．ttd．无法确认t、t的大小关系9．(1)化简，求值：，其中满足；(山西省中考题)(2)设，求的值．10．未知，其中x、y、z互不成正比，澄清：x2y2z2=1．11．若，且，则=．12．未知a、b、c满足用户，，那么a+b+c的值．13．已知，，，则x的值为．14．未知x、y、z满足用户，，，则xyz的值．(全国初中数学竞赛题)15．设a、b、c满足用户abc≠0，且，则的值a．－1b．1c．2d．3(2021年南通市中考题)16．未知abc=1，a+b+c=2，，则的值()a．－1b．c．2d．(大原市竞赛题)17．已知?列数、、、、、、，且=8，=5832，，则为（）a．648b．832c．1168d．194418．已知，则代数式的值为()a．1996b．1997c．1998d．199919．（1）已知，求的值；(2)未知x、y、z满足用户，谋代数式的值．(北京市竞赛题)20．设a、b、c满足用户，澄清：当n为奇数时，(波兰竞赛题)21．已知，且，求x的值．(上海市高中理科班录取试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有a，b两组检验员，其中a组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，b组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．。

初中数学人教版八年级上册分式的化简求值与证明讲义

分式的化简求值与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1．【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（）A ．－1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（） A ．－7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（） A ．－2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（） A ． 0 B ． 1 C ．－1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

数学北师大版八年级下册《分式的计算化简》(课件).ppt

再探分式的运用
x x y y2 2 例6 已知 2 ，求 2 的值. y xy xy x y
2 2 x ( x y ) y ( x y ) y x 2 2 解;原式 2 2 x y x y
x 因为 2 y
即 x 2y
2
(2y) 4 所以，原式 . 2 2 (2y) y 3
中考专题复习：分式与分式方程
分式的计算化简
云南省楚雄州禄丰县恐龙山初级中学赖贞寿
复习引入
同分母分式是怎样进行加减运算的？异分母分式呢？同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分；式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．练一练
(1) 4 1 2 a a
还有其它接法吗？
巩固提高
1、先化简，再求值：
1 a 1 a 1 （1）已知 a 的值. ,求 2 10 a 1 1a
4xy x y 1 . （2）已知 x 3y，求 2 的值.答案： 2 2 x y x y
2、某蓄水池装有 A，B 两个进水管，每小时可分别进水 a t，b t．若单独开放 A 进水管，p h 可将该水池注满．如果 A，B 两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
7 . 答案： 3
bp 答案： h. ab
课堂小结
1、异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。 2、分式的化简求值及变形。 3、实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。
2 x (x 1 )( x 1 ) x 1 1 x 1
2
y(y1 ) y1 x(y1 )(y1 )
y 1 2 xy x
2
记得通分后分子添括号哦！

八年级数学分式入门知识点

八年级数学分式入门知识点分式是数学中一个非常重要的概念，涉及到分数、整式、多项式的运算和化简等知识点。

作为八年级数学的学生，学好分式入门知识点是打好数学基础的关键。

本文将针对八年级数学分式入门知识点进行讲解，并详细介绍分式定义、分式化简、分式运算、分式方程等几个主要知识点。

一、分式的定义分式是由分子和分母两部分组成的数式。

分子和分母都是整式，分母不能为零。

例如，a/b，(a+b)/(c-d)都是分式。

分式中的分数线表示分子和分母之间的相除关系，分子上方的横线表示除数，下方的横线表示被除数。

二、分式的化简化简分式是指将分式化为最简形式，即分子和分母互质，不能再约分。

常用的化简方法有约分和通分。

1、约分当分子和分母有公因数时，可以将分子和分母同时除以这个公因数，使分式化为最简形式。

例如，将12/16化为最简形式，可先将12和16都除以它们的最大公因数4，得到3/4。

2、通分通分是将两个或多个分式的分母化为相同的因式，然后将它们的分子相加或相减。

例如，将1/2和3/4通分，可将它们的分母都化为4，即得到2/4和3/4，然后相加得到5/4。

三、分式的运算分式的运算包括加、减、乘、除等。

在进行分式的加减运算时，需要先通分，然后将分子相加或相减，最后化简分式即可。

在进行分式的乘除运算时，需要将分式约分后再进行乘除运算，最后再化简分式。

1、加减运算将两个分式相加或相减，需要先通分，然后将分子相加或相减，最后化简分式。

例如，将1/2和3/4相加，可先将它们通分为2/4和3/4，然后相加得到5/4，最后将5/4化为最简形式5/4。

2、乘除运算将两个分式相乘或相除，需要将它们的分子和分母进行约分，然后再进行乘除运算，最后化简分式。

例如，将1/2和2/3相乘，先约分为1/3，然后相乘得到1/6，最后将1/6化为最简形式1/6。

四、分式方程分式方程是指含有至少一个分式的方程。

解分式方程的方法是通分化简、移项和化为一元方程组等。

中招复习分式化简

2
-
b
2
a-b
的结果
（B ） .
A.
a -b
2
B. a + b C. a - b D.1
1 )( m + 1 )
x x-2
(2)化简 (1 -
(3)化简
m + 1) 2 x + 4x x
原式=( x + 2 )( x - 2 ) - x - 2 =
(x + 2)
2
x+2 x-2
1 3
=
=
1 x
驶向胜利的彼岸
x (x - 2)
当 x = 3 时，原式=
Page 9
开启
智慧
(2009)16(8分)先化简，
1 ( x -1 1 x )÷ 2x - 2
2
x +1
然后从 2 ,1, -1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值。
驶向胜利的彼岸
我能行
Page 10
开启
我能行
原式= 原式=
x 2 ( x 1)( x 1) 2 x 1 ( x 2)
x 1 x2
思考分析
=
x满足 - 2 ≤x ≤2 且为整数，若使分是有意义，x只能取0，-2. 1 当x=0时，原式=- 2 （或：当x=-2时，原 1 式= ）
4
驶向胜利的彼岸
Page 7
其中a满足 a 2
解：原式= =
2
2a 1 0 .
a +2
a (a + 2 )
2
( a - 2)(a + 2) - a(a - 1)
·
1
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初中数学(初二)考点：分式的化简求值

1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。

分式的化简和分式方程

分式的化简和分式方程①.教学内容知识点1. 分式1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2. 整式和分式统称为有理式,即有:⎩⎨⎧分式整式有理式3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. )0(,≠÷÷=⨯⨯=M M B M A B A M B M A B A4. 一个分式的分子分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.知识点2.分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即: BD AC D C B A =⋅, CB D ACD B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. 即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛成立. 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.知识点3.分式的加减法1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:C B A C B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.知识点4.分式方程1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.②.教学辅助练习（或探究训练）知识点1.分式例1、练习1、1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .知识点2.分式的运算例2、例3、先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1＋ 1 x －2÷ x 2－2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5．【答案】解：412)211(22-+-÷-+x x x x ＝)2)(2()1(2122-+-÷-+-x x x x x ……………………2分＝2)1()2)(2(21--+⋅--x x x x x ＝12-+x x , ………………………………………………………………………5分当5-=x 时，原式＝12-+x x ＝211525=--+-． ………………………………………8分 1、先化简再求值：)252(423--+÷--a a a a ，其中1-=a2、先化简，再求值：)12(1aa a a a --÷-，并任选一个你喜欢的数a 代入求值.3、先化简22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.4、知识点3.分式方程例4：解方程：（1）51144x x x --=--解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以，得． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+--解：方程两边同乘以，得， ∴ ．检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。

初二数学分式化简计算原则

初二数学分式化简计算原则分式是数学中常见的一种表达形式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都可以是数字或者变量。

在数学中，我们经常需要对分式进行化简计算，以便简化求解问题。

本文将介绍初二数学中常见的分式化简计算原则。

一、分式的乘法当两个分式需要相乘时，我们可以通过以下步骤进行化简计算：1. 先将两个分式的分子相乘，得到新的分子。

2. 再将两个分式的分母相乘，得到新的分母。

3. 将新的分子和新的分母组成一个新的分式，即为所求结果。

例如，计算分式 (a/b) × (c/d) 的结果：分子相乘得到 ac，分母相乘得到 bd，所以答案为 ac/bd。

二、分式的除法当两个分式需要相除时，我们可以通过以下步骤进行化简计算：1. 先将除数与被除数的分子相乘，得到新的分子。

2. 再将除数与被除数的分母相乘，得到新的分母。

3. 将新的分子和新的分母组成一个新的分式，即为所求结果。

例如，计算分式 (a/b) ÷ (c/d) 的结果：分子相乘得到 ad，分母相乘得到 bc，所以答案为 ad/bc。

三、分式的加法和减法当两个分式需要相加或者相减时，我们首先需要找到它们的公共分母，然后按照以下步骤进行化简计算：1. 对于分式相加，将它们的分子乘以对方的分母，得到新的分子；将它们的分母乘以对方的分母，得到新的分母。

2. 对于分式相减，将被减数与减数的分子乘以对方的分母，得到新的分子；将被减数与减数的分母乘以对方的分母，得到新的分母。

3. 将新的分子和新的分母组成一个新的分式，即为所求结果。

例如，计算分式 (a/b) + (c/d) 的结果：分子相加得到 ad + bc，分母相乘得到 bd，所以答案为 (ad + bc)/bd。

四、整体化简计算在进行分式的化简计算时，我们还需要注意一些整体的化简原则。

例如：1. 化简分式中的分子和分母，使其成为最简形式。

即需要约分，将分子和分母的公共因子约去，得到最简分式。

初中数学《分式化简的技巧》讲义及练习

内容基本要求略高要求较高要求分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅知识点睛中考要求第七讲分式化简的技巧分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c±±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.重难点：灵活对分式进行适当变形一、基本运算【例1】计算：⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+- ⑵2342()()()b a b a b a -⋅-÷- ⑶32231(4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x xx x x x x --÷-÷+-++【解析】 ⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---； ⑵2342()()()b a b a b a -⋅-÷-23423452642648()b a b b a a a a a a a b b b=⋅-÷=-⋅⋅=-⑶4932231(4)()2128m nmn m n ---÷-=-⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++3232423(21)1(21)(1)(21)(1)1x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-=-÷÷⎢⎥-+-++⎣⎦重、难点例题精讲22(21)(23)11(21)(1)1x x x x x x x--+=⨯⨯-+23x =-．①分子分母有些可以因式分解，先进行因式分解，再计算；②如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式；③有幂的运算时，先算乘方，后算乘除．【巩固】（2008杭州）化简22x y y x y x---的结果是（） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +【解析】原式22()()()()x y x y x y x y x y y x x y -+-===-+=-----．故选A ．【巩固】（2008黄冈）计算a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（）A ．a b b - B ．a b b + C ．a b a - D ．a ba+ 【解析】 22a b a b a ba b a a ab a b +-⎛⎫-÷=⨯ ⎪+⎝⎭()()()a b a b a b b a b b +--==+．故选A【例2】计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵22222621616x x x x x+-++-- 【解析】 ⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++()()()22221353x x x x x x +---++=+22221353x x x x xx +-++++=+ 263x x +=+()2323x x +==+； ⑵22222621616x x x x x +-++--22222621616x x x x x +-+=--- 22226216x x x x +---=-22816x x -=-()()()2444x x x -=+-24x =+．【巩固】 (第9届希望杯试题)化简：422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+【解析】原式22222222(4)(2)(2)(2)(24)241(4)44442m m m m m m m m m m m m m m ++--++-+=⋅⋅⋅+-+-++2222222(4)(2)(2)(2)(24)2411(24)(24)4(2)2m m m m m m m m m m m m m m m ++--++-+=⋅⋅⋅=++-++-+【巩固】化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⋅⎢⎥++-+⎣⎦ 【解析】原式2222222222()()2a b a b a b ab a b a b ab ⎡⎤-=+⋅⋅⎢⎥++-+⎣⎦22222222()()2a b ab a b a b a b ab ⎡⎤-=+⋅⎢⎥++-+⎣⎦2222222()2a b ab a b a b ab -+=⋅+-+22()a b =+.【例3】化简：222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-【解析】原式()()()()()()()()()()()()a b c a b c b c a a b c a b c b c a a b c a b c a b c a b c a b c b c a +--++-+--++-=++++-++++-+++-1a b c b c a a b ca b c a b c a b c+-+--+=++=++++++.【例4】已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【解析】 222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【巩固】当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值【巩固】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+-【巩固】求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =-【解析】 ()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()()()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=．【例5】计算：2482112482111111n nx x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数) 【解析】原式11224822222248222211111111n n n n n n n n x x x x x x x x ++=+++++=+=-++++-+-【巩固】已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f . 【解析】 2481611248161()1111111f x x x x x x x x=+++++--+++++- 2248162248161111111x x x x x x =++++--++++- 448163244816111111321.....11x x x x xx x=+++--+++-==---故3232323232132233(2)112122121f -=-=-=----.二、整体代入运算【例6】已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n．【解析】 ∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x+--==．由222nx y -=，得：()222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠，∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=．【巩固】已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy-+÷-+-的值【解析】 2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+---【巩固】已知221547280x xy y -+=，求x y的值.【解析】 221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y --=，∴370x y -=或540x y -=，由题意可知:0y ≠，73x y =或45x y =. 【例7】已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【解析】由题可知：()()()1.1x ym xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①②由②得：11x y x yn m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342()x ax bx cx x dx+++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．【解析】当1=x 时，25342()11x ax bx cx a b cx dx d++++==++；当1x =-时，25342()()111x ax bx cx a b c a b c x dx d d++----++===-+++【例8】已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【解析】422(2)20217242410462x xy y x y xy xy xy x xy y x y xy xy xy +++++====-++--.【巩固】已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值. 【解析】2222211(1)(1)2()2()2()2()23411(1)(1)()1()115x y x y x y x y x y x y xy y x x y xy x y xy x y +++++++++++++-+====-++++++++++【巩固】已知3a ba b-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值. 【解析】2()4()1410233()333a b a b a b a b +--=⨯-⨯=--+. 【例9】已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值. 【解析】 (法1)：由111m n -=可得，1n mmn-=，即n m mn -=，5755()75722322()323m mn n m n mn mn mnn mn m n m mn mn mn+--+-+===------(法2)：根据题意可得0m ≠，0n ≠，所以(分式的分子分母同除以mn )551175()75752221123232()3m mn n n m m n n mn m m n m n+---++-===-------【巩固】已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值.【解析】由111x y x y +=+可得2()x y xy +=，222()21y x x y x y xy x y xy xy++-+===-【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛)设1114x y -=，求2322y xy x y x xy +---【解析】由1114x y -=，知4()xy y x =-，则23232()12()2()22()2()8()y xy x xy y x y x y x y x xy y x xy y x y x +-+--+-===--------.【巩固】如果235x y y x +=-，求2222410623x xy y x y +++的值. 【解析】 2222410623x xy y x y+++461023x yy xx y y x++=+2321023x y y x x y y x⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+()251005⋅-+==-.三、消元计算【例10】已知3a b =，23a c =，求代数式a b ca b c+++-的值.【解析】（法1）注意将未知数划归统一，2,33a a b c ==，123331233a a aa b c a b c a a a++++==+-+- （法2）3a b =，223233a c b b ==⨯=，32332a b c b b b a b c b b b++++==+-+-【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试)已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy++++的值．【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=.【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：2232a b ab -=，求2a ba b +-的值.【解析】变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以212a b a b +=--或52.【例11】已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，33332223321557393a b c c ab bc a c c -+-==-+-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【巩固】 (全国数学竞赛)若4360x y z --=，270x y z +-=(0xyz ≠)，求222222522310x y z x y z +---的值.【解析】由43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩，得32x zy z =⎧⎨=⎩，代入得原式13=-.四、设比例参数【例12】 (五羊杯试题)已知232332234a b c b c a c a b +--+++==，则2332a b ca b c-++-=____________. 【解析】设232332234a b c b c a c a bk +--+++===，则有 232233324a b c kb c a k c a b k+-=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，求得911a k =，811b k =，111c k =.故2343231a b c a b c -+=-+-.【巩固】 (重庆市数学竞赛试题)已知345x y y z z x ==+++，则222x y z xy yz zx++++=__________.【解析】由345k x y y z z x ===+++，可得345x y k y z k x z k ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，可得213x k y k z k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，则2221411x y z xy yz zx ++=++.【补充】（“五羊杯”试题）设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【解析】令2222234y z z u u xx y k ++++====，则有 2 (1)22 (2)23 (3)24 (4)x y k y z k z u k u x k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ (1)2(2)⨯-可得，40 (5)x z -= (3)2(4)⨯-可得，42 (6)z x k -=由(5)、(6)可得，215x k =，815z k = 代入(1)、(3)可得，1115y k =，2915u k =又1x y z u +++=，故281129311515151510k k k k k +++=⇒=故2037332310x y z u +++=⨯=．【例13】 (天津市竞赛题)若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz+++的值. 【解析】设x y z x y z x y zk z y x+--+-++=== 则(1)x y k z +=+，(1)y z k x +=+，(1)x z k y +=+，三式相加可得2()(1)()x y z k x y z ++=+++，若0x y z ++≠，则1k =，()()()8x y y z z x xyz+++=；若0x y z ++=，则()()()1x y y z z x xyz+++=-.【巩固】若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值. 【解析】设a b c dk b c d a====，则d ak =，2c dk ak ==，3b ck ak ==，4a bk ak == 故41k =，故1k =±.若1k =，则0a b c d a b c d -+-=+-+；若1k =-，则2a b c da b c d-+-=-+-+.【巩固】已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【解析】可得(13)()0k x y z u -+++=⑴如果分子0x y z u +++≠，则由分母推得x y z u ===．此时，x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++11114=+++=． ⑵如果分子0x y z u +++=，则()x y z u +=-+，()y z u x +=-+．此时，x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++()()()()11114=-+-+-+-=-．【例14】已知x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值. 【解析】设x y zk b c a c a b a b c ===+-+-+-，则有()2()()2()()x b c a ky x a b k y c a b k z x a c k z a b c k=+-⎧-=-⎧⎪=+-⇒⎨⎨-=-⎩⎪=+-⎩故[]()()()()()()()b c x c a y a b z c a a b x c a y a b z -+-+-=--+-+-+- ()()()()2()()2()()0c a y x a b z x a b c a k a c a b k =--+--=--+--=.【巩固】（第11届“希望杯”试题）已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（）A. 9B.10C. 8D. 7【解析】设222p q rk x yz y zx z xy===---，又9p q r ++=，故()2229k x y z xy yz zx ++---=又()333px qy rz k x xyz y xyz z xyz ++=-+-+-()3333k x y z xyz =++-()()222k x y z x y z xy yz zx =++++---()9x y z =++，故9px qy rzx y z++=++，选A ．【巩固】已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==. 【解析】⑴设222x yz y zx z xyk a b c---===，则2x yz ka -=，2y zx kb -=，2z xy kc -=，所以222222()()()()k a bc x yz y zx z xy -=----4222223322x x yz y z y z xy xz x yz =-+-++- 333(3)x x y z xyz =++-.因为0x ≠，0k ≠，所以233323a bc x y z xyzx k -++-=. 同理可得2233323b ca c ab x y z xyz y z k --++-==，从而222a bc b ca c abx y z---==.五、分式与裂项【例15】设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【解析】1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，故111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++【巩固】化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【解析】 111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++ 【例16】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++ 【解析】原式11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x=-=++ 【巩固】化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【解析】原式111()()n m x x nm x x nm =-=++【例17】 (河北省数学竞赛题)已知：1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x=+，求x y z ++的值. 【解析】由1xy x y =+，2yz y z =+，3zxz x =+，可知11111121113x y y z z x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，151217121112x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，12512712x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=-⎩，故1212276125735x y z ++=+-=-.【巩固】 (华罗庚金杯培训试题)解方程组：21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩【解析】原方程可变为：11(1)221(2)3(1)(2)1(1)(2)4x y x y x z x z y z y z ⎧++=⎪+⎪⎪++=⎨+⎪⎪+++=⎪++⎩，即1111211123111124x y x z y z ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪++⎩，易解得17241512411224x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩+，即24719522x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩【例18】化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------【解析】原式()()()()()()()()()()()()c b c a b a a c b a b c c a c b b a a c b c b a ----+----=++------1111112c a c b a c b a b c b a b c=-+++-=-------【巩固】化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---. 【解析】本题涉及因式分解的一些技巧：2()()b c b ca ab ac bc a b a c --=--+--我们发现，()a b a c c b ---=-，故211b c a ab ac bc a b c a-=+--+--. 同理，211()()c a c a b ab bc ac b a b c b c a b --==+--+----，211()()a b a b c bc ac ab c a c b c a b c--==+--+----.故2222220b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++---=--+--+--+---.点评：本题以及下面两道题目的基本模型都是11a b ab a b+=+，三个题由浅入深，层层深入，对技巧的考查和要求越来越高.【巩固】化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.【解析】 22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++同理，2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++，2()()c ab c bc a c b c a c b -=-++++故2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++.六、倒数法【例19】已知：1x x -=，求221x x +的值.【解析】 ∵1x x -22127x x +-=，∴2219x x +=【巩固】设1x x -=1x x +的值.【解析】 ∵1x x -22125x x -+=，∴22211()29x x x x +=++=，所以13x x +=±【巩固】若11a a -=，求1a a+的值.【解析】 222111()21a a a a a a -=-⋅⋅+=，分析可得0a >，10a a +>，则222221111()221a a a a a a a a -=-⋅⋅+=-+=，则2213a a +=222111()2325a a a a a a +=+⋅⋅+=+=，1a a+=【例20】 (05山东潍坊中考)若12x x +=，求2421x x x ++的值.【解析】 ⑴由12x x +=可知，21()4x x +=，2212x x+=，故24222111131x x x x x ==++++. 【巩固】本类题有一种典型错题，如：已知11x x +=，求1242++x x x 的值. 事实上：若11x x +=，易得0x >，2122x x +=+≥，故11x x +=显然不成立.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设21x a x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++ 【解析】 ∵0a ≠，∴0x ≠，于是211x x x a++=，即111x x a +=-，422222221111121()1(1)1x x a x x x x x a a ++-=++=+-=--=，2242112x a x x a =++-【补充】设211x x mx =-+，求36331x x m x -+的值. 【解析】由条件知0x ≠，因而211x mx x-+=，即11x m x +=+，633333323311111()3()32x m x x m x x x m m x x x x x -+=+-=+-⋅+-=- 363321132x x m x m =-+-【例21】已知：2710x x -+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【解析】 ⑴∵2710x x -+=，∴0x ≠，∴2710x x x-+=，即17x x +=⑵∵17x x +=，∴221249x x ++=，∴22147x x +=⑶∵22147x x +=，∴44122209x x ++=，∴4412207x x+=【巩固】已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【解析】由2510a a -+=，可知0a ≠，得150a a -+=，即15a a+=4222221111()2124a a a a a a a++=++=+-+=【巩固】已知：2310x x -+=，求221x x+的值. 【解析】 ∵2310x x -+=，∴0x ≠，∴13x x +=，∴22129x x ++=，∴2217x x+=【例22】 (上海市高中理科实验班招生试题)已知：210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值. 【解析】由条件知：11a a -=，又2212()3931112()2a xa a x a+-=--+，即2(12)39312112x x +-=-+，解得1510x =-【巩固】 (第17届江苏省竞赛题)已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【解析】由已知可得14a a +=-，24223211145133123()a m a ma m a a ma a m a m a+++++===++-+++，解得372m =【巩固】已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值.【解析】因为a 是2310x x -+=的根，所以2310a a -+=所以2235432322222(1)58252811(8)(39)311133a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+-⎣⎦==-=-=-=-++ 利用条件2310a a -+=的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.【巩固】 (广西竞赛题)已知：210x x --=，求4521x x x++ 【解析】 422522221(1)214214253531(1)(21)(32)3253x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++======++++++ 利用条件210x x --=的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.【习题1】计算：⑴232435126111a a a a a a a -+--+-++- ⑵222434332a a a a a a --⋅-+++ ⑶22233(3)(4)m n mn ---⋅-【解析】 ⑴原式234351a a a -+=-232311a a a -++-236(1)1a a a ++--3121aa =--． ⑵原式(2)(2)3(1)(3)(1)(2)a a a a a a a +--=⋅--++2(2)(2)(3)2(1)(3)(1)(2)1a a a a a a a a a +---==--++-家庭作业⑶5222339(3)(4)64mn m n mn ---⋅-=-【习题2】先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯-- 本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【习题3】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===--【习题4】设113x y -=，求3237y xy xx xy y +-+-的值.【解析】由113x y -=，知3x y xy -=-，则3233()21177()4y xy x y x xy x xy y xy y x +--+==+---.【习题5】（“希望杯”试题）已知234x y z==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【解析】令2234x y z k x k ===⇒=，3y k =，4z k =，故原式222222491629612826k k k k k k ++==++；【习题6】 (第11届希望杯试题)已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abcab bc ca ++. 【解析】由已知可知 113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，三式相加得，1116a b c ++=，故1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++.【习题7】已知：2213a a +=，求1a a-的值. 【解析】 ∵2213a a +=，∴22121a a +-=，即21()1a a -=，11a a-=±【备选1】计算：22b aa ab b ab+--．【解析】 22b a a ab b ab +--()()b a a a b b a b =---()()22b a ab a b ab a b =---()()()a b a b ab a b -+-=-a bab+=-．【备选2】 (第15届希望杯试题)化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++. 【解析】原式3224224111x x x x x x =++-++33444411x x x x =+=-+7881x x -.【备选3】已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值. 【解析】22212222()172()()()3331212x y x y x y x y xy xy ⨯++++=++=+=⨯【备选4】 (第8届华罗庚金杯复赛)已知123a b c a c ==++，求c a b +的值．【解析】 23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．集中火力，将关系转化到一个未知数身上.【备选5】若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．【解析】由题意可知，1x =，2y =，故11111...(1)(1)(2007)(2007)1223xy x y x y +++=+++++⨯⨯1111112008....1 (20082009223200820092009)++=-+-++-=⨯．【备选6】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+. 月测备选【解析】 221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------同理，2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--，2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+-- 故2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++=--+--+--+【备选7】已知x 为实数，且12x x +=，则441x x+=__________．【解析】2422242111()2()222x x x x x x ⎡⎤+=+-=+--=⎢⎥⎣⎦．。

初中分式化简教案

初中分式化简教案教学目标：1. 理解分式的概念和基本性质；2. 掌握分式化简的方法和技巧；3. 能够运用分式化简解决实际问题。

教学内容：1. 分式的概念和基本性质；2. 分式化简的方法和技巧；3. 分式化简在实际问题中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾整式的概念和基本性质，为新课的学习打下基础；2. 提问：我们已经学习了整式的四则运算，那么分式呢？分式有哪些基本性质？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解分式的概念：分式是两个整式的比，其中分母不能为零；2. 讲解分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；3. 讲解分式化简的方法和技巧：a. 先将分式的分子和分母分解因式；b. 然后约去分子和分母中相同的因式；c. 最后将化简后的分式写成最简形式。

三、例题讲解（15分钟）1. 出示例题：化简分式 (3x + 5) / (2x - 3)；2. 引导学生按照分式化简的方法和技巧进行计算；3. 讲解例题的解题思路和步骤。

四、课堂练习（10分钟）1. 出示练习题：化简分式 (2x^2 - 5x + 3) / (x^2 - 2x + 1) 和 (4a^3 - 9a^2 + 6a - 1) / (a^3 - 2a^2 + a)；2. 让学生独立完成练习题，教师巡回指导；3. 讲解练习题的解题思路和步骤。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学的内容，让学生明确分式化简的方法和技巧；2. 提问：分式化简在实际问题中的应用有哪些？引导学生思考和探索；3. 出示拓展题：某工厂生产两种产品A和B，生产一个产品A需要2小时，生产一个产品B需要3小时。

现在有8小时的生产时间，要求生产尽可能多的产品B，问最多能生产多少个产品B？教学评价：1. 课堂讲解是否清晰易懂，学生是否能理解和掌握分式的概念和基本性质；2. 学生是否能运用分式化简的方法和技巧解决实际问题；3. 学生对分式化简的练习题的完成情况，以及是否能正确解题。

中考复习分式整式化简求值初三

一.教学目标：1、分式的化简求值，理解分式的化简步骤，以及在化简过程中的注意事项2、整式的化简求值，了解整式化简的步骤，以及在化过程中的注意事项1.教学重难点：(1)分式的约分和通分化简以及化简过程中的方法技巧(2)整式幕的运算，合并同类项以及化简过程中的方法技巧分式的化简求值一、分式的概念一般地，如果A, B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫作分式.分式B会A中A叫作分子，B叫作分母.B注意：(力)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母.(2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如 -,△是整式，而2是分式.2 2 x（3）分式有无意义的条件：①若B 0,则分式公有意义；②若B 0,则分式公无意B B义.（4）分式的值为零的条件：若A 0,则分式_A的值为零，反之也成立.二、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.用式子表示是：- A-M- , A A-M- M 0 ,其中A , B , M是整式. B B M B B M注意：（1）分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆.利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形.（2）当分式的分子（或分母）是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子（或分母）用括号括上.再将分子与分母同乘（或除以）相同的整式.三、约分、最简分式及通分的概念1.约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：（1）当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幕，它们的乘积就是分子与分母的公因式.（2）当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式.约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式.当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项.例如空一里是错误的.3b x 3b2.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式（1除外）.分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.注意：（1）最简分式与小学学过的最简分数类似.（2）最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线.形如3 2a2二一，一3-的分式都不是最简分式.x 2y x y3.通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.（4）最简公分母：各分母所有因式的最高次幕的积，叫作最简公分母.注意：确定最简公分母的一般方法：（1）如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幕取次数最高的.这样得到的积就是最简公分母.学刎网（2）如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求.方法技巧归纳方法技巧（一）应用分式概念解题的规律1.分式的判别方法根据定义判定式子公是否为分式要注意两点：一是A, B都是整式，二是B中含字母B且B 0.判断一个代数式是否为分式，还应注意不能把原式变形（如约分等），而只能根据它的最初形式进行判断.如根据a b a b…，判定a2 b2不是分式,2a b 2 a b 2 2 a b这是错误的.2.对分式有无意义或值为0的条件判断（二）分式基本性质的应用分式的基本性质是分式包,等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键.利用分式的基本性质可将分式包等变形，化简分式，简化计算等.1.约分（参考三（1））2.通分（参考三（3））（三）分式值的特殊情况（拓展）1.分式的值为1或1的讨论若分成A 1 B 0 ,则A B,反之也成立；若分式- 1 B 0 ,则A与B互为相B B反数，反之也成立.2.分式的值为正数的讨论分式的值为正数时，分式的分子与分母同号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围.3.分式的值为负数的讨论分式的值为负数时，分式的分子与分母异号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围.4.分式的值为整数的讨论若分式的值为整数，则分母必为分子「的约数，利用这一关系可对分母进行讨论.四、分式的乘除法分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作.为积的分子，分母的积作为积的分母，用式a c a c(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表小是：——--------- ----- .b d bc b cn n(3)分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：- =(n是b b n正整数).注意：(1)法则中的字母a, b, c, d所代表的可以是单项式，也可以是多项式.(2)运算的结果必须是最简分式或整式.五、分式的加减法1.同分母分式加减法的法则与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：a b a■上. c c c注意：(1) “同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略，(2)运算结果必须化为最简分式或整式.2.异分母分式加减法的法则与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示是：a £利空也b d bd bd bd六、分式的混合运算分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行.注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度一(2)结果必须化为最简分式或整「式.(3)分子或分母的系数是负数时，要把“―”提到分数线的前边.(4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘.方法技巧归纳方法技巧(一)分式的乘除法及乘方运『算的解题技巧3.分式的乘除法分式的乘除运算可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘，这样做省时简单易行，又不易出错；当除式(或被除式)是整式时，可以看作分母是1的式子, 然后再按分式的乘除法则计算.4.分式的乘方做分式乘方时，一是注意养成先确定结果的符号，再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减.（二）分式加减运算的解题技巧分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的，分为同分母加减法和异分母加减法，所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多，它是整式运算.、因式分解和分式运算的综合运用.分式加减运算需要运用较多的基础知识，运算步骤增多，符号变换复杂，解题方法灵活多样.（三）分式化简、求值的解题技巧分式的化简、求值问题，一是化简要求值的分式，只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件，化到最简后，再考虑代入求值.（四）分式混合运算的解题技巧分式的混合运算，除了掌握运算顺序外，在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化，值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式.（五）分式通分的解题技巧分式的加减运算，分同分母分式相加减和异分母分式相加减，对于异分母分式的加减法，有时直接通分会很繁琐，我们可以根据式子的特点，灵活的采用不同的方法通分，从而起到事半功倍的效果.1.分组通分2.逐项通分3.公式一1--'的运用1核心考点分式的化简求值分式化简求值是中考的热点，常以解答题的题型进行考查，主要考查分式的运算能力.在考查时经常运用分式的基本性质进行运算，解题时要充分运用分式运算法则进行求解.2（2x 2x-） —一■,并从1, 2, 3, 4这四个数中取一个合适【经典示T 例】化简分式：的数作为x 的值代入求值.模拟训练先化简，再求值：（"—^）口/，其中a （后（1）1. a 2a a 4a 4 a 2...... , 一 x 24x 3 1x 2 2x 12 一1. （2017 •湖南常德）先化简，再求值：（x 4x 3—）（ x 2 2x1上），其中x=4.x 4x 43 x x 3x 211 1 .. _ _2. (2017 ・湖北裳阳)先化简，再求值：(—— ——) ----------- 2,其中x=/+ 2, y=/x y x y xy y-2.3. (2017 ・吉林)某学生化简分式」——二出现了错误，解答过程如下:x 1 x 112原式二 ----1—— ——2——(第一步)(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)(1)该学生解答过程是从步开始出错的，具错误原因是 (2)请写出此题正确的解答过程.4 .先化简，再求化 ―1^ ------------ a^) (- 1),其中a 满足不等式组 7 a 2的整数a 2 4a 4 a 2 2a a 2a 3解.25 .先化简，再求值：(力 ----------- 21—)+(1 —竺一1),其中a 是不等式x —>1 2a 1 4a 2a 4a3的最大整数解.6 .已知一^ ----- B - = 一U 一(其中 A,x 1 x 3 (x 1)(x 3)整式的化简求值、整式的概念 1 .单项式和多项式1 2 (x 1)(x 1)(第二步)B 为常数)，求A 2 018B 的值.(1「)单项式的概念：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也叫做单项式，如0, ?1, a…(2)单项式的系数：单项式「中的数字因数叫做这个单项式的系数；(3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；【注】①单个字母的系数是1,如a的系数是1;②只含字母因数的代数式的系数是1或？1,如？ab的系数是？1, a3b的系数是1.(4)多项式的概念：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式；(5)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；(6)多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数；学 *科网(7)常数项：代数式中不含字母的项叫做常数项r,如6x2?2x?7中的常数项是？7.2.同类项多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项所有常数项也看做同类项.3.合并同类项(1)定义：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母「的指数不变.(2)理论依据：逆用乘法分配律.(3)法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.【注】①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0;②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式.(4)合并同类项的步骤：第一步：观察多项式中各项，准确找出同类项，项数比较多时，不同的同类项可以给出不同的标记；第二步：利用乘法的分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果.4.去括号法则去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑，做到要变都变;要不变，则谁也不变；法则顺口溜：去括号，看符号，是“ +”号，不变号；是“-” 号，全变号.另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项.【注】如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符二号相反.二、整式的计算1．整式的加减法整式的加减实质上就是合并同类项，若有括号，要先用“去括号法则”去掉括号，然后合并同类项．【注】（1）两个整式相减时，减数一定要先用括号括起来；（2）整式加减的最后结果中：?不能含有同类项；?一般按照某一字母的降幂或升幂排列；?不能出现带分数，带分数要化成假分数．2．幂的运算（1）同底数幂的乘法同底数幕运算法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即a m a n a mn（m、n为正整数）（m、n 均为正整数）．学@科网推导公式：同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m a n a p a m n p（m、n、p为正整数）.底数互换关系（a b）2n（b a）2n，（b a）2n 1（a b）2n 1【注】同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数．在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算．（2）幂的乘方的运算性质运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即a mn（m、n 均为正整数）．（a m）n【注】幕的乘方的底数是指幕的底数，而不是指乘方的底数指数相乘是指幕的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幕相乘中“指数相加” 区分开.(3)积的乘方的运算性质运算性质：积的乘方，把积中各个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即：(ab)n a n b n (n为正整数).补充：a m b n p a mp b np ( m n、p 是正整数).【注】运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果.运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.3.整式的乘除(1)单项式乘单「项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，对于只在一个单项式里的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注】计算时要运用.乘法交换律，乘法结合律(2)单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，因单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加【注】运用乘法分配律转化成单项式乘单项式(3)多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘里一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.乘法公式(1)完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 , ( a?b)2=a2?2ab+b2解读：首尾2首2 2首尾尾2,公式中的a、b可以是单独的数字，字母，单项式或多项式(2)平方差公式：(a+b)( a?b)=a2?b2核心考点整式的化简求值1.整式化简求值在广东省中考中，在解答题部分，大多以先化简再求值的题型出现，要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a、b,准确进行计算；2.要准确认识平方差和完全平方公式，可以结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在初中数学中体现了数形结合的思想；3.在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应.加上括号；当字母是分数时，遇到乘方也要加括号.【经典示例】先化简，再求值：(a b)(a b) 2a2,其中a 1, b衣.答题模板第一步，计算：利用整式乘法和除法法则或乘法公式进行展开.第二步，化简：利用整式的加减法法则合并同类项化简.第三步，求值：把字母的值代入化简结果计算.第四步，反思：反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性.模拟训练1.计算：(a 3)(a 1) a(a 2).2.先化简，再求值. 2x 3 2x 3 4x(x 1) (x 2)2,其中x J3.1 . (2017 •浙江宁波)先化简，再求化(2+x)(2-x)+(x-1)(x + 5),其中x=93.(2017 ・湖南怀化)先化简.，再求值：(2a- 1)2 - 2(a+1)(a- 1)- a(a- 2),其中a = 72+1.4.(2017 •江苏无锡)计算：(a+b) (a-b) - a (a-b)5.(2017 •浙江嘉兴)化简：(m 2)(m 2) m 3m.36.(2017 •河南)先化简，再求值：(2x y)2 (x y)(x y) 5x(x y),其中x V2 1 , y V2 1 .。

分式方程及分式化简教程文件

分式方程及分式化简【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

八年级上册分式化简乐乐课堂

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根据你的描述，我可以给你提供一些关于分式化简的基本知识和方法。

首先，分式是指两个整数的比值，通常由一个分子和一个分母组成，如a/b。

化简分式的目的是找到一个等价的分式，其分子和分母的公约数为1，并且尽可能简化。

下面是一些分式化简的基本规则和方法：
1. 取出公因数：如果分子和分母有公因数，可以将它们简化掉。

例如，如果分子和分母都能被2整除，可以将它们都除以2。

2. 分子分母同除：如果分子和分母都有一个共同的因数，可以将它们同时除以这个因数。

这样可以使分子和分母进一步简化。

例如，如果分子和分母都能被3整除，可以将它们都除以3。

3. 分式的分子和分母求最大公约数：如果分子和分母没有公因数，可以使用最大公约数来进一步简化分式。

将分子和分母分别除以它们的最大公约数，得到的结果就是化简后的分式。

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