高中数学 4.1圆的标准方程课件 理 新人教A版必修2
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变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？
尝试高考（2012重庆高考题）
变式二 以点（2，-1）为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （ ）
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
O
x
一.圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标
(a,b) 表示，半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与
圆心C (a,b) 的距离． 则 |MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R }
OC x
(xa)2(yb)2R
讨论：一共有几种方法？
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程．
y A(1,1)
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
(5a)2 (1b)2 r2 (7 a)2 (3b)2 r2 (2a)2 (8b)2 r2
a2
b
3
r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
y
L2 L1
A(5,1)
R
7
x
D B(7,-3)
O
E C(2,-8)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和
B(2,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上,求
2 几何方法：数形结合
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把 M1(5,的7)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,的1)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
解:∵A(1,1),B(2,-2)
线 线 段 段 A A B B 的 的 垂 中 直 点 平 D ( 分 3 2 ,线 1 C 2 D ),的 k A 方 B 程 2 为 2 ： 1 1 y + 1 3 .1 ( x 3 ) . 23 2
即：x-3y-3=0
联 立 直 线 l,C D 的 方 程 ： x x 3 y y 1 3 0 0 ,解 得 ： x y 3 2
想
解 析 几 何 的 基 本 思
圆在坐标系下有什么样的方程？
y
x O
1、什么是圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
二、探究新知，合作交流
探究一
已知圆的圆心c(a,b)及圆的
半径R,如何确定圆的方程？
怎样判断点 M0(x0在,y0圆) 圆上？还是在圆外呢？
(xa)2(y内b)呢2？r2
y
M3
M2
C
o
M1
x
练习：
点P( 1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系 A在圆外
B在圆上 ( )
C在圆内
D在圆上或圆外
变式演练
圆心为A(3,1)半径长等于5的圆的方程 ( )
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
变式三：
△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆
的标准方程.
例2 ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－ 3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (xa)2(yb)2r2(1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程（1）．于是
∴圆心C(-3,-2)
rA C(13)2(12)25.
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
解2:设圆C的方程为 (xa)2(yb)2r2,
(x a)2 (y b)2 R2
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
OC
x
圆的标准方 程
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b1 0 (1a)2 (1b)2 r2
(2a)2 (2b)2 r2
a 3
b
2
r 5
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
小结：
一、圆的标准方程
圆心为C的圆的标准方程.
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆
心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两 点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的l '交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
(x
a)2
(
y
b)2
r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：x2 y 2 r 2
二、点与圆的位置关系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2
（3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
尝试高考（2012重庆高考题）
变式二 以点（2，-1）为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 （ ）
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
O
x
一.圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标
(a,b) 表示，半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与
圆心C (a,b) 的距离． 则 |MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R }
OC x
(xa)2(yb)2R
讨论：一共有几种方法？
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程．
y A(1,1)
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
(5a)2 (1b)2 r2 (7 a)2 (3b)2 r2 (2a)2 (8b)2 r2
a2
b
3
r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
y
L2 L1
A(5,1)
R
7
x
D B(7,-3)
O
E C(2,-8)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和
B(2,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上,求
2 几何方法：数形结合
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把 M1(5,的7)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点 M 1的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,的1)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
解:∵A(1,1),B(2,-2)
线 线 段 段 A A B B 的 的 垂 中 直 点 平 D ( 分 3 2 ,线 1 C 2 D ),的 k A 方 B 程 2 为 2 ： 1 1 y + 1 3 .1 ( x 3 ) . 23 2
即：x-3y-3=0
联 立 直 线 l,C D 的 方 程 ： x x 3 y y 1 3 0 0 ,解 得 ： x y 3 2
想
解 析 几 何 的 基 本 思
圆在坐标系下有什么样的方程？
y
x O
1、什么是圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
二、探究新知，合作交流
探究一
已知圆的圆心c(a,b)及圆的
半径R,如何确定圆的方程？
怎样判断点 M0(x0在,y0圆) 圆上？还是在圆外呢？
(xa)2(y内b)呢2？r2
y
M3
M2
C
o
M1
x
练习：
点P( 1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系 A在圆外
B在圆上 ( )
C在圆内
D在圆上或圆外
变式演练
圆心为A(3,1)半径长等于5的圆的方程 ( )
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
变式三：
△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆
的标准方程.
例2 ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－ 3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (xa)2(yb)2r2(1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程（1）．于是
∴圆心C(-3,-2)
rA C(13)2(12)25.
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
解2:设圆C的方程为 (xa)2(yb)2r2,
(x a)2 (y b)2 R2
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
OC
x
圆的标准方 程
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b1 0 (1a)2 (1b)2 r2
(2a)2 (2b)2 r2
a 3
b
2
r 5
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
小结：
一、圆的标准方程
圆心为C的圆的标准方程.
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆
心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两 点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的l '交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
(x
a)2
(
y
b)2
r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：x2 y 2 r 2
二、点与圆的位置关系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2
（3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求