点到直线的距离-两条平行直线间的距离试题 (1)
点到直线的距离和两条平行直线间的距离
P2
y
m
P1
l
0
x
点到直线的距离
已知点P的坐标为（x0， y0），直线l 的方程 是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
则|PQ|为所求. 过点P做直线 l 垂线PQ， 解： 设直线l的法向量为 n ， Q( x1 , y1 ) ,
M
. . C
x
所求直线l ：x 3 y 5 0 或 x 1 . 综上所述：
例3 直线 l 过3 x 4 y 5 0 和 2 x 3 y 8 0 的交点，且与
解3：设直线 l 的方程为：
3 x 4 y 5 ( 2 x 3 y 8) 0
( A2 B2C2 0)
( A2 B2C2 0)
预备知识：方向向量和法向量 对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A≠0,B≠0)
如果向量 m 与直线l平行， 则称向量 m 为直线l的方向向量. A B (1 , k ) B (1 , ) ( B , A)，m ( B , A). 可表示为： B 如果向量 n 与直线l垂直， 则称向量 n 为直线l的法向量. 可表示为： n ( A , B).
A2 B 2 Ax0 By0 C . A B
由三角形面积公式可知：d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以， d
Ax0 By0 C A2 B 2
.
可证，当A=0或B=0时，以上 公式仍适用。于是得到距离 公式：
d
Ax0 By0 C A2 B 2
注意：先把直线方程化为一般式，再用公式 .
y
d
Ax0 By0 C2
第二章 点到直线的距离(第三课时) 两条平行直线间的距离
课堂小结
1.知识清单： (1)两条平行线间的距离. (2)两条平行线间的距离最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x， y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
A.1
√B. 2
C. 3
D.2
跟踪训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平 行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大. 因为A(1,1)，B(0，－1). 所以 kAB＝－01－－11＝2， 所以两条平行直线的斜率为－12， 所以直线 l1 的方程为 y－1＝－12(x－1)，
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”， 从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运 动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围.
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着 A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围；
3.3.3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离简化向量处理
12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2
课时跟踪检测(十五) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
课时跟踪检测（十五） 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离1．若点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D ．(－3,7)∪(7，＋∞)解析：选C 根据题意，得|3a －6|32＋42>3，解得a >7或a <－3.2．[多选]已知点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )A ．(－8,0)B ．(－12,0)C ．(8,0)D ．(0,0)解析：选BC 设P (x 0,0)，因为d ＝|3x 0＋6|32＋(－4)2＝6，所以|3x 0＋6|＝30，解得x 0＝8或x 0＝－12.3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( ) A ．22(a －b ) B ．b －a C ．22(b －a ) D ．a 2＋b 2解析：选C ∵P (a ，b )是第二象限点， ∴a <0，b >0，∴a －b <0.∴点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2＝22(b －a )．4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．423B ．823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 6．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．解析：两直线方程分别是x ＝－2和x ＝3，故两条直线间的距离d ＝|－2－3|＝5. 答案：57．已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．解析：由|AB |＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4.设C (x,3x ＋3)， 由两点式得直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0.利用点到直线的距离公式d ＝|3x ＋12x ＋12－17|32＋42＝4，解得x ＝－1或x ＝53.答案：()－1，0或⎝⎛⎭⎫53，88．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋42＝3，∴|PQ |min ＝3. 答案：39.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )， ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.10．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，l 1到l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．解：①若l 1，l 2的斜率存在，设直线的斜率为k ， 由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.由点斜式得l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0. 则直线l 1到l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k 2＝5，所以25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，解得k ＝125.所以l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.②若l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上，满足条件的直线方程有两组：⎩⎪⎨⎪⎧ l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0或⎩⎪⎨⎪⎧l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.1．若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选B 由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB |＝|－1＋3|12＋12＝ 2.2．[多选]定义点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的有向距离为d ＝Ax 0＋By 0＋CA 2＋B 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则下列命题中正确的是( )A ．若d 1＝d 2，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝－d 2，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1·d 2>0，则直线P 1P 2与直线l 平行或相交D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析：选CD 若d 1＝d 2＝0，则P 1∈l ，P 2∈l ，故A 不正确；若d 1＝－d 2，则P 1与P 2在直线l 两旁. 故P 1P 2与l 相交，不一定垂直，故B 不正确；若d 1·d 2>0，则P 1与P 2在l 同旁，则P 1P 2∥l 或P 1P 2与l 相交，故C 正确；若d 1·d 2<0，则P 1与P 2在l 两旁，则P 1P 2与l 相交，故D 正确．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A a ＝1.又x sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝⎛⎭⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直4．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0， 把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以|－n ＋2|16＋64＝5， 解得n ＝－18或n ＝22.所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.5．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：设点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. 因为l AB ∥l CD ，所以可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ，则|m ＋16|10＝310.又因为m ≠－13，所以m ＝－19， 即l AB ：x ＋3y －19＝0. 因为l AD ⊥l CD ，所以可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则点P (1,5)到l AD 的距离等于点P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝310，解得n ＝5或n ＝－1，则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0. 6．已知三角形的三个顶点分别是A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求角A 的平分线的方程．解：设P(x，y)为角A的平分线上任一点，则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，所以由点到直线的距离公式，有|4x－3y－13|42＋(－3)2＝|3x＋4y－16|32＋42，即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程．。
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离
人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。
用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。
选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。
点到直线的距离两条平行直线间的距离
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式， 且 x，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时， 可利用数形结合来解决．
典例剖析 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求点 P0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 思路点拨： 利用点到直线的距离公式， 对于特殊直线也可数形 结合．
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1 距 离为 2 的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑： ①可利用两点间的距离公式求解； ②可利用两直线的距离公式求解．
解： 法一： 由已知， 可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， |C－－1| |C＋1| 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ 2 ＝2， 2＝ 5 2 ＋－1 ∴|C＋1|＝2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝ 0.
【答案】B
3．在过点 A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为 ____________．
【答案】2x＋y－5＝0
4．若直线 l 与直线 l1：5x－12y＋6＝0 平行，且 l 与 l1 的距离 为 2，则 l 的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0
要点阐释 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式， 若给出其他形式， 应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方 |kx0－y0＋b| 程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
点到直线的距离与两条平行直线间的距离
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1
任意两条平行直线都 可以写成如下形式：
d
y0
P0 (x0,y0)
R
By0 A
C
,
y0
O
x0
x
1
2 | P0S || P0R |
1 d | SR | 2
点到直线距离公式
y S
Q l : Ax By C 0
d R
P0 (x0,y0)
O
x
d | Ax0 By0 C |
A2 B2
注意： 化为一般式．
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样?？
练习
▪ P108 练习 1，2
P107 例6
解：设AB边上的高为h
S 1 | AB | h 2
y 3 A (1,3)
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
2
k AB
31 13
1
AB的方程为
1h
B (3,1)
y 3 1(x 1)
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
点到直线的距离与平行线间的距离习题课件
提示：点击 进入习题
1
234ຫໍສະໝຸດ 567知识点 点到直线的距离 1
1．填一填。
(1)图中从点A引出的四条线段分别是( AB )、 ( AC )、( AD )、( AE )， 其中最短的一条是( AC )。
(2)从直线外一点到这条直线所画的( 垂直 )线段最短 ，它的长度叫做这点到直线的( 距离 )。
第3课时 点到直线的距离和平行线间的距离 处处相等
教材习题
1．测定跳远成绩时，应该怎么测量？
（选题源于教材P62第6题）
将跳到的位置处看成一个点，把卷尺的一端固定在这 一点，然后拉直卷尺，使卷尺和起跳线垂直，这一点 到起跳线的垂直线段的长就是要测定的距离。
2．怎么样挂画又正又好？ （选题源于教材P62第7题）用两根长度相同的线来挂。
平行
易错辨析
4．下面画出的图有误，请改正并填空。 下图中点A到直线a的距离是线段AB的长度。
改正： 改正后的图略
易错警示：线段AB与直线a相交没成(直角)。
提升点 点到直线的距离的实际应用 1
5．幸福村为了方便往城里运木材，要修一条使伐木 场与公路相连接的水泥路，怎样修最节省材料？
请画出来。
提升点 2 平行线间的距离处处相等的实际应用
6．怎样将下面的吊灯挂正？
使挂吊灯的两条线 长度相等。
7．同学们玩套圈游戏，你想站在直线a的哪个点上(请 画图表示)？为什么？ 图略
因为点到直线的垂 直线段最短。
(3)请用彩笔将图中点A到直线BE的最短线段描出来。
略
知识点 2 2．填一填。
平行线间的距离处处相等
(1)两条平行线间可以画( 无数)条垂直线段。
(2)如图所示，AB∥DC，那么AD＝BC，
高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离练习(含解析)新人教A
第27课时 点到直线的距离、两条平行直线间的距离对应学生用书P73知识点一点到直线的距离 1．若点(1，a)到直线x －y ＋1＝0的距离是32，则实数a 为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3 答案 C解析 由点到直线的距离公式得|1－a ＋1|2＝322，∴a＝－1或5．2．已知两点A(1，1)和B(－1，4)到直线x ＋my ＋3＝0的距离相等，则m 为( ) A ．0或－23 B ．23或－65C ．－23或23D ．0或23答案 B解析 由题意知直线x ＋my ＋3＝0与AB 平行或过AB 的中点，则有－1m ＝4－1－1－1或1－12＋m×1＋42＋3＝0，∴m＝23或m ＝－65．知识点二两平行线间的距离A ．1110B ．85C ．157D ．45答案 A解析 由两直线平行，得m ＝6，所以mx －8y ＋5＝0可化成3x －4y ＋52＝0，因此两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－5232＋42＝1110，故选A ．4．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0平行且距离相等，则l 的方程为________．答案 2x －y ＋1＝0解析 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0(c≠3，c≠－1)，分别在l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x －y ＋c ＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋－12＝|1＋c|22＋－12，解得c ＝1，故直线l 的方程为2x －y ＋1＝0．知识点三距离公式的应用5．已知点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋5＝0上任意一点，则m 2＋n 2的最小值为________． 答案5解析 因为m 2＋n 2是点P(m ，n)与原点O 间的距离，所以根据直线的性质，原点O 到直线2x ＋y ＋5＝0的距离就是m 2＋n 2的最小值．根据点到直线的距离公式可得d ＝522＋12＝5．故答案为5．6．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程(如图)．解 ∵l 1∥l 2，可设l 2的方程为x ＋y －m ＝0． l 2与x 轴，y 轴分别交于B ，C ， l 1与x 轴，y 轴分别交于A ，D ，得A(1，0)，D(0，1)，B(m ，0)，C(0，m)． ∵l 2在l 1的上方，∴m>1．∵S 梯形ABCD ＝S △OBC －S △AOD ，∴4＝12m 2－12，解得m ＝3或m ＝－3(舍去)． 故所求直线的方程为x ＋y －3＝0．对应学生用书P73一、选择题1．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B ．12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B 解析 依题意得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，即|3m ＋5|＝|m －7|，∴(3m＋5)2＝(m －7)2，展开合并同类项得8m 2＋44m －24＝0，即2m 2＋11m －6＝0，解得m ＝12或m ＝－6．2．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16 答案 A解析 由题知所求即为原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即0＋0－4212＋12＝162＝8．故选A ．3．若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －11＝0和l 2：x ＋y －1＝0上移动，则AB 中点M 所在直线的方程为( )A ．x －y －6＝0B ．x ＋y ＋6＝0C ．x －y ＋6＝0D ．x ＋y －6＝0 答案 D解析 由题意，得点M 所在的直线与直线l 1，l 2平行，所以设为x ＋y ＋n ＝0，此直线到直线l 1和l 2的距离相等，所以|n ＋11|2＝|n ＋1|2，解得n ＝－6，所以所求直线的方程为x ＋y－6＝0．故选D ．4．直线2x ＋3y －4＝0关于点(2，1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －4＝0 B ．2x ＋3y ＋6＝0 C ．3x －2y －10＝0 D ．2x ＋3y －10＝0 答案 D解析 设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题意可知|4＋3－4|22＋32＝|4＋3＋C|22＋32． ∴C＝－4(舍)或C ＝－10，故所求直线的方程为2x ＋3y －10＝0．5．若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2C ． 2D ．4 答案 A解析 由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝32．二、填空题6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数为________．答案 3解析解方程6m2＋m4＝|4m－m2＋6|m2＋m4(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4．7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．答案x－y－1＝0或x＝1解析显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1．设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1，∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0．8．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________．①y＝x＋1 ②y＝2 ③y＝43x ④y＝2x＋1答案②③解析可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．①d＝5＋12＝32>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝20 32＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝115＝1155>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③．三、解答题9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0．(1)若b＝0且l1⊥l2，某某数a的值；(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．解(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2．(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，当l 1∥l 2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧a －3a －2＝0，3a －1≠0，解得a ＝3，此时，l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0，则 它们之间的距离为d ＝|9－1|32＋32＝423． 10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x ，y 轴的正半轴于点A ，B ，若四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，求直线AB 的方程．解 设直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴A(a，0)，B(0，b)． ∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0， 即a ＝10－2b ．∵a＞0，b ＞0，∴0＜b ＜5，0＜a ＜10． ∵直线AB 的一般式方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴点M 到直线AB 的距离d ＝|2b ＋4a －ab|a 2＋b2． ∴△MAB 的面积S 1＝12d|AB|＝12|2b ＋4a －ab|＝|b 2－8b ＋20|＝b 2－8b ＋20，△OAB 的面积S 2＝12ab ＝5b －b 2．∵直线AB 平分四边形OAMB 的面积， ∴S 1＝S 2，可得2b 2－13b ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，a ＝5.∴所求直线AB 的方程为x ＋2y －5＝0或2x ＋y －4＝0．。
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点到直线的距离
1:实例中的第(1)中点与直线什 么关系,你能求出点到直线的距离吗?
第(1)小题中点在直线外,过 A 作 x,y 轴平
行线交 l1 于 B、C 两点,点 A 到直线 l1 的距离 |AD|=
AB AC 2 5 BC 5
平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0 的距离为 d=
10 ].…………………………(8 分)
法二 如图所示,
显然有 0<d≤|AB|,……………………(3 分)
而|AB|=
(6 3) (2 1)
2
2
=3
10 ,
故所求的 d 的变化范围为 (0,3
10 ].………………(8 分)
(2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 而 kAB
2 2
=3,
解之得 C=45 或 C=-33, 故所求直线方程为 5x-12y+45=0 或 5x-12y-33=0.
法二 设所求直线方程为 5x-12y+c=0,
1 在直线 5x-12y+6=0 上取一点 P 0, , 2
则 P 到直线 5x-12y+c=0 的距离为
1 12 c 2 5 (12)
2:直线 l1:x-2y-1=0 与直线 l2:2x-4y+3=0 之间的距离等于 .
解析:l2 方程可化为 x-2y+ 3 =0,显然 l1∥l2, 2
1
因此两直线 l1,l2 间的距离为
3 2
=
2 2 1 2
5. 2
答案:
5 2
求点到直线的距离
点到直线的距离、两条平行直线间的距离 知识点总结及典例
3.5点到直线的距离、两条平行直线间的距离基础知识梳理1.点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离:2200||B A C By Ax d +++=;2.两条平行之间距离：（1）在一条直线上取一点，求该点到另一条直线的距离；（2）两平行直线01=++C By Ax 与02=++C By Ax 的距离为：2221||B A C C d +-=.习题巩固一、选择题1．点A (－1,2)到直线3y ＝－2的距离是( )A ．4B ．1C ．83D ．132．直线x ＋6＝0与x －7＝0之间的距离为( )A ．1B ．13C ．6D ．73．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 为( )A ． 2B ．2－2C ．2－1D ．2＋1二、填空题4．点P (1,2)到直线y ＝x －3的距离是________；到直线y ＝－1的距离是________；到直线x ＝3的距离是________．5．两平行线3x －2y －15＝0与3x －2y ＋11＝0的距离为_______．6．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：x ＋y ＋a ＝0，且两直线间的距离为2，则a ＝________．三、解答题7.求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．8．求过点A (－1,2)且到原点的距离等于22的直线方程．9. 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的方程．10．求与直线3x－4y－2＝0平行且距离为2的直线方程．11.已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．12．（1）已知直线l：x＋2y－3＝0，求与l平行且距离为1的直线方程．（2）求垂直于直线x－3y＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程．13.已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，求直线l的方程．14．点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|的最小值．。
点到直线的距离、两条平行直线间的距离
0 A B
2 2
0,
【知识点拨】 1.对点到直线的距离的三点说明 (1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连 线长度的最小值,可用最小值的方法求出. (2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直 于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离 .
(3)点到直线的距离的几种特殊情况 ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.
解得k=-7或k=-1.
故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. (2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用. (3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线 是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P l2 Q x o 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
2.对两条平行直线间的距离的理解 (1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如 与坐标轴的交点). (2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距 离的最小值.
点到直线的距离专项练习解析版
点到直线的距离1、两点间距离平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y -+-。
2、点到直线的距离点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为：0022d A B=+3、两条平行线间的距离利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式：1222d A B =+题型一 两点间距离例1.在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．练习1.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，22||(53)(24)22AB ∴-+-， 22||(51)(24)62BC +++， 22||(31)(44)45AC +++=，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．题型二 点到直线距离例1.若直线l 过点3)，倾斜角为120︒，则点(1,3)-到直线l 的距离为( ) A 3B 3C 33D 53【解答】解：直线l 过点3)，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan1203︒=- 故直线l 的方程为33(2)y x =-3330x y +-． 则点(1,3)-到直线l |3333|3331--+， 故选：C ．练习1.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A ．1B 2C 3D ．2【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离22222121111k k k d k k k ++===++++要求距离的最大值，故需0k >； 可得2122kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．例2.已知点(2,1)-到直线(2)50ax a y +-+=2，则a 的值为( )A ．3B ．1C ．13-D ．1或13-【解答】222(2)a a =+-，即23210a a --=， 解得1a =或13a =-，故选：D ．练习1.已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43 C ．43-D ．34-【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有211d m =+，解可得34m =-；故选：D例3．已知在ABC ∆的顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -． （1）求ABC ∆的面积；（2）A ∠的平分线AD 所在直线的方程． 【解答】解：（1）1(2)1723BC k --==---，∴直线BC 的方程为12(3)3y x -=--，化为370x y +-=， ∴点A 到直线BC 的距离1010d =． 又22||(27)(21)310BC ++-- 111015310222S BC d ==⨯=； （2）解：设A ∠平分线AD 上的任意一点(,)P x y ， 又ABC ∆顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -，∴直线AB 方程为：5120x y --=，直线AC 的方程为：5120x y -+=，∴点P 到直线AC 距离等于点P 到直线AB 2626，解得60x y +-=（舍去）或0x y -=．∴角平分线AD 所在直线方程为：0x y -=．练习1.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(1,2)C --．（1）在ABC ∆中，求BC 边上的高线所在的直线方程； （2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）直线BC 的斜率32141BC k +==+． BC ∴边上的高线斜率1k =-，BC ∴边上的高线方程为：2(3)y x -=-+， BC ∴边上的高线所在的直线方程为10x y ++=．（2）(4,3)B ，(1,2)C --，22||(23)(14)52BC ∴--+--=由(4,3)B ，(1,2)C --得直线BC 的方程为：10x y --=．A ∴到直线BC 的距离322d =，ABC ∴∆的面积15232152S =⨯．题型三 平行直线间的距离例1.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 【解答】解：直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行， 则1(1)10a --=，解得1a =-， 直线2:30l x y -+=； 则1l 与2l 之间的距离为2221(1)d ==+-故答案为：1-2练习1已知直线:(3)10l a x y ++-=，直线:5(1)320m x a y a +-+-=，若直线//l m ，则直线l 与直线m 之间的距离是( ) A ．65B 26C ．325D 326【解答】解：由:(3)10l a x y ++-=，直线:5(1)320m x a y a +-+-=，且//l m ， 得3115132a a a+-=≠--，解得：4a =-． ∴直线:(3)10l a x y ++-=化为：10x y -+=．又直线:5(1)320m x a y a +-+-=，即 2.20x y -+=．∴直线l 与直线m 之间的距离是322d ==． 故选：C ．练习2.与直线230x y +-=5的直线方程是( ) A ．220x y ++=B ．280x y +-=C ．220x y ++=或280x y +-=D ．220x y +-=或280x y ++=【解答】解：与直线230x y +-=平行的直线设为20x y t ++=，(3)t ≠-， 541=+解得2t =或8-，则所求直线的方程为220x y ++=或280x y +-=．例2.已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为() A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-【解答】22234=+，解得4a =，或16-．故选：C ．练习1．若两条平行直线210Ax y --=与640x y C -+=13C 的值为( )A ．11或15-B ．92或172- C ．12或14- D ．112或152-【解答】解：两条平行直线210Ax y ---与640x y C -+=， 可得3A =，即两直线6420x y --=，640x y C -+=， 13221364=+， 解得11C =或15-， 故选：A ．。
必修二第三章点到直线距离练习题
必修二第三章点到直线距离练习题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--点到直线的距离及两条平行直线间的距离基础梳理1．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为．练习1：点P0(0，5)到直线2x－y＝0的距离为．2．平行直线Ax＋By＋n＝0，Ax＋By＋m＝0的距离为．练习2：直线y＝a与直线y＝b的距离d＝．►思考应用1．点P(x，y)到直线y＝b的距离为，点P(x，y)到直线x ＝a的距离d＝．2．已知直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋2y＋1＝0，l1与l2是否平行若平行，求l1与l2间的距离．自测自评1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(D)A．1C．22．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是(）A．1 B．－3C ．1或53D ．－3或1733．点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为 ．4．两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为 ． 基础达标1．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．413 132．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是( )A ．b 1－b 2C ．|b 1－b 2|D ．b 2－b 13．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝04．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于( )5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝06．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________．7．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4. 巩固提升8．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．8B ．22D ．169．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4，5)到l 的距离相等，则l 的方程为________．10．求与直线2x －y －1＝0平行，且和2x －y －1＝0的距离为2的直线方程．1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．。
两点之间的距离,点到直线的距离试题(含答案)1
两点间的距离；点到直线的距离一、选择题：1、点P （0，5）到直线y=2x 的距离是 （ ）A 、52 B C 、32D 、2 2、点P （2，m ）到直线l ：5x-12y+6=0的距离为4，则m= （ ）A 、1B 、-3C 、1或53D 、-3或173 3、动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 （ ）AB 、CD 、24、两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0的距离是 （ ）A 、213 B 、113 C 、126D 、526 5、过点（1，3）且与原点的距离为1的直线共有 （ ）A 、3条B 、2条C 、1条D 、0条6、到直线3x-4y+1=0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是（）A、3x-4y+4=0B、3x-4y+4=0或3x-4y-12=0C、3x-4y+16= 0D、3x-4y+16=0或3x-4y-14=0二、填空题：7、若A（7，8），B（10，4），C（2，-4），则△ABC的面积是………………………；8、直线3x-y+4=0与6x-2y-1=0是一个圆的两条平行切线，那么该圆的面积是…………………..；9、若点P（3，t）到直线x+y-4=0的距离等于1，则t=……………………….。
三、解答题：10、在直线x+3y=0上求一点P，使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等。
11、已知直线l经过P（-1，1），它被两平行线l1：x+2y-1=0及l2：x+2y-3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线l3：x-y-1=0上，试求直线l的方程。
12、求经过直线7x+7y-24=0和x-y=0的交点，且与原点距离为125的直线方程。
必修II 系列训练9一、选择题: BDBCBD二、填空题：7、28 8、16081π 9、333-或 三、解答题：10、），（）或，（51535153--P P 11、2x + 7y – 5 = 012、4x +3y -12 = 0或3x + 4y – 12 = 0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点到直线的距离
一、选择题：
1．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）
A ．4
B
C
D 2．求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程．
A. 420x y --=
B. 2x =
C. 420x y --=，或1x =
D. 420x y --=，或2x =
3．直线l 与直线x －3y ＋10＝0，2x ＋y －8＝0分别交于点Ｍ，Ｎ，若ＭＮ的中点是（0，1），则直线l 的方程是 （ ）
Ａ．x ＋4y －4＝0 Ｂ．4x ＋y －4＝0 Ｃ．x －4y ＋4＝0 Ｄ．x －4y －4＝0
4．若点P(x 0,y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则直线方程可表示为( )
A ．A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0
B ．A(x －x 0)－B(y －y 0)＝0
C ．B(x －x 0)＋A(y －y 0)＝0
D ．B(x －x 0)－A(y －y 0)＝0
5．已知点P （a ，b ）与Q （b －１，a ＋１）（a ≠b －１）关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）
A ．x ＋y ＝０
B ．x －y ＝０
C ．x ＋y －１＝０
D ．x －y ＋１＝０
6.顺次连结A (-4,3)、B (2,5)、C (6,3)、D (-3,0)所组成的图形是( )
A.平行四边形
B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
二、填空题：
7.过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是 .
8．已知直线l 与直线x ＋y －１＝０关于x 轴对称，那么直线l 的方程是_______．
三、解答题：
9．若三条直线1:244,:0l x y l mx y +=+=，l 3：2x-3my=4不能构成三角形，求m 的取值集合．
10. 已知点P（2，－1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程，若不存在，请说明理由.
11．某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层楼的公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）.。