高考数学热点难点突破技巧 三角函数的零点问题的处理

第09讲三角函数零点问题的处理

【知识要点】

三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.

【方法讲评】

方法一单调性+数形结合

解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.

【例1】已知向量，，设函数．

（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

（1）∵函数图象关于直线对称，

∴，解得：，∵，∴，

∴，由，

解得：，

所以函数的单调增区间为．

∴当或时函数有且只有一个零点．

即或，所以满足条件的．

【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复

合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问

，左边可以取等，右边不能取等.

【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且.

（1）求的单调减区间；

（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.

方法二分离参数+数形结合

解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.

【例2】已知函数的最大值为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在

∈上有解，求实数的取值范围．

【解析】（1）

，

由，解得，

所以函数的单调递增区间

当时，，取最小值-3．

方程在∈上有解，即 -3≤≤

【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.

（1）若，求它的振幅、初相；

（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；

（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.

方法三方程+数形结合

解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.

【例3】已知函数.

（Ⅰ）当时，求值；

（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.

【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面

的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.

【反馈检测3】已知函数，其中常数；

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函

数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．

高中数学热点难点突破技巧第09讲：

三角函数零点问题的处理参考答案

【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2）

，且.

【反馈检测1详细解析】

（2）因，则.设，

所以有两个不同的解，由题得

. 借助函数图象可知：，即

所以得：，且

【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.

【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即

.

（1）函数的振幅是，初相为

（2）列表

2 0 0

【反馈检测3答案】（1）（2）

【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有

(2) ，

或，

即的零点相离间隔依次为和，

故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．