讲解 方法技巧训练1 几何中与中点有关的计算或证明
中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
中考复习中的中点问题 (1)
中考数学中的中点问题几何证明题中，经常会出现中点的条件，而与中点有关的性质定理包括：三角形的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边的中线。
掌握这些性质定理的特征，结合已知条件选择适当的辅助线，有助于我们打开思路。
1. 三角形的中线技巧：作倍长中线，得全等三角形。
例 AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC >2AD2. 中位线定理技巧：直接找线段的中点，连接中点，得线段之间的数量及位置关系。
例 在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是三角形ABC 的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM ＝21AB 。
3. 三线合一技巧：当一条线段是高线、中线、角平分线中的任意两条时，构造三角形，得等腰三角形。
例 在三角形ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB ＝6，AC ＝10，则DE 的长为 。
4. 直角三角形斜边的中线技巧：连接直角顶点和斜边中点，得线段的数量关系及角的等量关系。
例在△ABC中，AB＝AC，BD平分角ABC，过点D作DE垂直于BD交BC于点E，求证：CD＝12 BE。
例题如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O且AC＝BD，M、N分别为AD、BC的中点，连接MN交AC、BD于点E、F。
求证：OE＝OF。
解析：取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MG∥BD，12MG BD=，NG∥AC，12NG AC=，然后求出MG＝NG，根据等边对等角可得∠GMN＝∠GNM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GMN＝∠OFE，∠GNM＝∠OEF，从而得到∠OEF＝∠OFE，再根据等角对等边即可得证。
答案：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AD、BC的中点，∴MG∥BD，12MG BD=，NG∥AC，12NG AC=∴∠GMN＝∠OFE，∠GNM＝∠OEF，又∵AC＝BD，∴MG＝NG，∴∠GMN＝∠GNM，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF。
关于中点的知识点总结
关于中点的知识点总结一、中点的定义1. 平面中点的定义在平面几何中，中点是指一条线段的中心点，也是该线段的中央连接点。
如果一条线段的两个端点为A和B，则这条线段的中点通常用M来表示。
中点M可以通过以下方法确定：将线段AB的两个端点连成直线，再将这条直线平分，即可确定中点M。
2. 空间中点的定义在立体几何中，中点是指一个三维空间中的点，它可以被定义为两个端点之间的平均点。
如果一个空间的两个点为A和B，则这两个点之间的中点可以用M来表示。
中点M的坐标可以根据A和B的坐标计算得出。
二、中点的性质1. 对于线段来说，中点到两个端点的距离相等。
证明：假设中点为M，线段的两个端点为A和B。
根据中点的定义，AM=BM。
因此，中点到两个端点的距离相等。
2. 对于三角形来说，连接两个边的中点可得到一个平行于第三边的线段。
证明：假设三角形的三个顶点为A、B和C，连接AB的中点为M，连接AC的中点为N。
根据中点的性质，AM=MB，AN=NC。
根据定理可知，MN平行于BC。
3. 中点可以被用来构造等腰三角形和等边三角形。
证明：假设三角形的两个边长分别为AB和AC，其中M是AB的中点，N是AC的中点。
通过连接AM和AN，我们可以得到一个等腰三角形；通过连接MN，我们可以得到一个等边三角形。
4. 空间中点的性质对于空间中的三维点来说，连接两个点的中点M可以被用来确定这两个点的中点。
如果两个点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则中点M的坐标可以通过计算(x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2得出。
这个公式同样适用于四维或更高维空间中的中点。
三、中点的相关定理1. 线段中点定理线段中点定理指出：如果一条线段的两个端点为A和B，连接AB的中点为M，则AM=1/2AB，BM=1/2AB。
这个定理说明了一个性质：线段的中点将线段分成相等的两部分。
2. 中点连线定理中点连线定理指出：连接一个三角形的两边的中点可以得到一个平行于第三边的线段。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法在初中数学的学习中，中点问题是一个常见且重要的题型。
学好中点问题的解题技巧和方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
下面我将介绍一些解题技巧和方法，帮助大家更好地应对七年级上册数学中的中点问题。
首先，我们来了解一下中点的概念。
中点是指一条线段的中心点，它将这条线段平分成两个相等的部分。
对于一条线段AB来说，中点记为M，那么AM=MB。
中点问题通常涉及到线段的长度、中点的坐标等。
解决中点问题的方法之一是使用线段的中点定理。
线段的中点定理指的是，如果M是线段AB的中点，那么AM的长度等于BM的长度，而且AM和BM的中点也是线段AB的中点。
中点定理的应用可以帮助我们快速解决一些中点问题。
例如，如果我们要求一条线段的中点的坐标，我们可以利用中点定理来求解。
假设线段的两个端点的坐标分别是A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么中点的坐标可以通过以下公式求得：中点的x坐标：(x1 + x2) / 2中点的y坐标：(y1 + y2) / 2除了中点定理，我们还可以使用坐标系和直角坐标系中的相关知识来解决中点问题。
在坐标系中，我们可以将线段的两个端点表示为坐标点，然后利用距离公式来计算线段的长度和中点的坐标。
例如，我们要求线段AB的中点的坐标，已知点A的坐标为A(x1, y1)，点B的坐标为B(x2, y2)。
我们可以使用以下公式来计算中点的坐标：中点的x坐标：(x1 + x2) / 2中点的y坐标：(y1 + y2) / 2在解决中点问题时，我们还可以利用平移和对称的性质。
通过平移和对称的变换，我们可以将线段移动或者翻转，从而更好地理解和解决中点问题。
例如，如果我们要求线段AB的中点的坐标，我们可以将线段平移，使得其中一点的坐标为原点(0, 0)，然后通过平移的性质，可以得到中点的坐标为(Ax + Bx) / 2，(Ay + By) / 2。
同样的，我们还可以利用对称的性质，将线段翻转，从而求得中点的坐标。
方法技巧训练二出几何中与中点有关的计算或证明
方法技巧训练二 几何中与中点有关的计算或证明1. 与中点有关的定理(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.. (4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线 (1)构造三角形的中位线,如连接三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连接;过三角形一边的中点作另-边的平行线等等.(2)作角平分线的垂线,构造等腰三角形的“三线合一”(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1. (2017。
黄石)如图,△ABC 中,E 为BC 边的中点,CD ⊥AB,AB =2,AC = 1,DE =23 则∠CDE +∠ACD=( ) A.60°B.75°C.90°D.105°2.(2017●.宿迁)如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE :S △DCE =( )A.1:4B.1:3C.1:2D.2:33.★如图,在正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG.上,BC=1,CE=3,H 是AF 的中点,那么CH 的长是( ) A.2.5 B.5. C 223 D.2 4.★(2017●无锡)如图,△ABC 中，∠BAC =90°,AB =3,AC=4,点D 是BC 的中点,将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ,连接CE ,则线段CE 的长等于( )A.2B.45 c.35 D.57 5.★(2017●苏州)如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°，AD=8,F 是AB 的中点,过点E 作FE ⊥AD,垂足为E,将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A'E'F'.设P ,P'分别是EF,E'F'的中点.当点A'与点B 重合时，四边形PP'CD 的面积为( )A.28 3B.243C.32 3D.323-86.★(2017。
八年级几何中点问题知识点
八年级几何中点问题知识点在八年级的几何学中，中点问题是一个重要的知识点。
中点是指线段的中心点，它在数学和科学中都有着重要的应用。
在这篇文章中，我们将深入探讨中点问题的概念、性质和应用。
一、中点的概念中点是指一条线段内部的、距离两个端点相等的点。
也就是说，如果AB是一条直线段，M是AB线段上的一个点，且AM=MB，则M就是线段AB的中点。
例如，A(-1,-1)和B(3,5)是一条线段的两个端点，如果点M(1,2)位于这条线段的中心，则M就是这条线段的中点。
二、中点的性质中点有许多重要的性质，下面列举其中的一些：1. 中点平分线段如果M是线段AB的中点，则AM=MB。
这也就是说，线段AB在点M处被平分。
2. 中点连线为垂直平分线如果M是线段AB的中点，则直线AM垂直于直线BM，且AM和BM的长度相等。
因此，直线AM可以被认为是线段AB的垂直平分线。
3. 中点可以连接多个点如果M是线段AB的中点，则M也是线段AC和线段CB的中点。
这也就是说，线段AB的中点同时也是线段AC和线段CB的中点。
三、中点问题的应用中点问题在科学和数学中都有着重要的应用。
以下是其中的一些例子：1. 计算质心在物理学中，我们需要计算物体的质心。
质心是指物体内部所有点的平均位置。
如果一个物体的形状可以表示为许多个线段的集合，那么这个物体的质心可以通过计算每个线段的中点来得到。
2. 圆心在圆的几何学中，圆心是指圆内部所有点的平均位置。
同样，如果一个圆可以表示为许多个线段的集合，那么这个圆的圆心可以通过计算每个线段的中点来得到。
3. 建立三角形在建筑学中，我们需要建立各种形状的三角形。
中点是建立三角形的关键因素之一。
通过计算三角形线段的中点，我们可以更加精准地建立三角形的形状和大小。
综上所述，中点问题是一个重要的数学知识点。
我们需要深入理解中点的概念、性质和应用，才能更好地应用它们到实际问题中。
有关中点的证明题的技巧和方法
有关中点证明题的技巧和方法
一、如图，已知AF 是ΔABC 的中线，AD ⊥AB,AE ⊥AC,AD=AB,AE=AC,求证：DE=2AF (注：有中线，通常延长取等长，构造全等三角形）
二、已知：在△ABC 中，D 为BC 边上一点，CD=AB ，且∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC =2AE
（注：多中点，常常取中点，构造中位线，亦可用第一题 的方法）
三、菱形ABCD 和菱形CEFG ，且∠B=∠ECG ，B,C,F 共线，连接AF ，取AF 得中点H ，连接EH 延长交CF 于I,连接DH ，请找出∠AHI,∠DIH,∠DAH 之间的关系，并加以证明。
（注：有中点有平行，常常延长交平行线，构造全等）
四、在正方形ABCD 中点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF,连接EF 、CE 、CF ，G 为EF 中点，连接BG,AC 。
求证：BG 垂直平分线AC （注：有直角，有中点，常常连中线，用直角三角形斜边中线的性质）
E D
A
B
五（作业）、在四边形ABCD中，AB=CD,J、E是AD、BC中点，CH⊥EJ交AB于H,求证：∠AHC=∠DCH
（注：多中点，有等线段，常常构造中位线）。
中考数学几何证明中点处理策略
中点处理策略知识必备一、垂直平分线的性质定理：二、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三、中位线定理：方法提炼：一、常见策略方法1：中点+直角三角形 斜边上的中线性质；方法2：中点+等腰三角形 三线合一；方法3：中点+中点 中位线定理；方法4：中线倍长二、解析思想在平面直角坐标系中，与中点有关的问题，常可以借助中点坐标公式，利用解析法来解决问题。
（一）热身训练1、如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D 132、如图，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CD=3CE ，再延长AE 使EF=AE,连接BF ．若AB=6，则BF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D 103、如图，点A ，B 为定点，直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是（ ）A ．② ③B ．②⑤C ．① ③ ④D ④⑤4、如图，点P 为矩形ABCD 内一点，作平行四边形ABQP ，连接CP 、CQ 、BP ，E 、F 、G 、H 分别是BP 、BQ 、CQ 、CP 的中点，（1）四边形EFGH 的形状是 ,（2）若矩形ABCD 的面积为S ，则四边形EFGH 的面积等于 .（用含S 的代数式表示）．5、如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB=CD ，下列结论：①四边形EFGH 是菱形；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG；④EG⊥FH．其中正确的是 .6、把一副三角板如图放置，E 是AB 的中点，连接CE 、DE 、CD ，F 是CD 的中点，连接EF ．若AB=4，则S △CEF =第2题 第4题第3题 第1题E F C B A D 7、如图，在△ABC 中，AB=AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连结DN ，EM ．若AB=13cm ，BC=10cm ，DE=5cm ，则图中阴影部分面积为 cm 2．8、如图，点P 在第一象限，△ABC 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点C 到原点的最大距离是(二)典例分析例1 如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E,F 分别是CD 、AB 的中点，直线EF 分别交BC 、AD 的延长线于S 、T 两点，求证：∠ATF=∠BSF.例2 在平行四边形ABCD 中，AB=2BC,BE ⊥AD 于点E,F 是CD 的中点，连接CE,EF,求证：∠CFE=3∠DEF.第6题第5题 第7题 第8题例3 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的O交AE于点F，连接CF.(1)求证：CF与O相切；(2)若AD=2，F为AE的中点，求AB的长.例4 已知△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90∘.连接AD，BC，点H为BC 中点，连接OH.AD且OH⊥AD；(1)如图1,OH=12(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。
巧用中点解题
巧用中点解题
中点是指一条线段的正中间点，是几何中一个非常重要的概念。
在解题中，我们可以巧妙地运用中点，从而更加简单地解决问题。
1. 计算线段长度
如果我们已知线段的一个端点和中点，那么就可以轻松地计算出整个线段长度。
我们只需要将已知端点和中点之间的距离乘以2，即可得到整个线段长度。
2. 判断三角形是否等腰
如果我们已知一个三角形的两个角平分线的交点是三角形的中点，那么就可以判断这个三角形是否等腰。
因为在等腰三角形中，两个角平分线相交于三角形的中点。
3. 判断四边形是否为平行四边形
如果一个四边形的对角线的交点是这个四边形的中点，那么就可以判断这个四边形是否为平行四边形。
因为在平行四边形中，对角线互相平分。
4. 计算向量中点
如果我们已知一个向量的起点和终点，那么就可以计算出这个向量的中点。
我们只需要将向量的起点和终点坐标分别相加，再除以2，即可得到向量的中点坐标。
通过巧妙地运用中点，我们可以更加简单地解决一些几何问题和向量计算问题。
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