第二章 第七节 函数的图象

[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能[A 组 基础保分练]1．设x ∈R ，定义符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则函数f (x )＝|x |sgn(x )的图象大致是( )解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，选C. 答案：C2．(2020·东北三校一模)函数f (x )＝|x |＋ax(其中a ∈R )的图象不可能是( )解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |，则其图象为A ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x ＋ax，f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2，若a ＞0，函数f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，选项B 满足；若a ＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，选项D 满足，而选项C 中的图象都不满足，故选C.答案：C3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )·e x 的图象为( )解析：由图象知，当x ＜－1或x ＞1时，g (x )＞0；当－1＜x ＜1时，g (x )＜0，由选项可知选A.答案：A4．(2020·辽宁大连测试)下列函数f (x )的图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，故选D.答案：D5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )解析：因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，故f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )，选B.答案：B6．函数f (x )＝5x －x 的图象大致为( )解析：因为f (－x )＝5－x ＋x ＝－(5x －x )＝－f (x )，所以函数f (x )＝5x －x 是奇函数，排除C ，D.又f (1)＝1－1＝0，f ⎝⎛⎭⎫132＝－132＝12－132＝1532＞0，排除A.故选B. 答案：B7．(2020·泉州五中质检)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数的解析式为f (x )＝x －1x，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A. 答案：A8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]解析：函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.答案：C[B 组 能力提升练]1．(2020·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：由题意得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≤0，1x，x ＞0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.答案：D2．函数f (x )＝e x ＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f (－x )＝e －x ＋1－x (e －x －1)＝－1＋e x x (1－e x )＝e x ＋1x (e x －1)＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A ，C. 又f (x )＝e x ＋1x (e x －1)＝(e x －1)＋2x (e x －1)＝1x ＋2x (e x －1)， ∴f ′(x )＝－1x 2－2[(x ＋1)e x －1]x 2(e x －1)2，∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，可排除选项B ，选D.法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f (x )＝1x ·e x＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x ＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A ，C.当x →＋∞时，1x →0，e x ＋1e x －1→1，所以e x ＋1x (e x －1)→0，则可排除B ，选D.答案：D3．(2020·福建五校第二次联考)函数f (x )＝x 2＋ln(e －x )·ln(e ＋x )的图象大致为( )解析：因为f (－x )＝(－x )2＋ln(e ＋x )ln(e －x )＝x 2＋ln(e －x )·ln(e ＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，据此可排除选项C(也可由f (0)＝1排除选项C)．当x →e 时，f (x )→－∞，据此可排除选项B ，D.选A.答案：A4．(2020·安徽安庆月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜0解析：函数f (x )的图象如图所示．f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x 1|＜|x 2|，则f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.答案：D5．若不等式(x －1)2＜log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)解析：要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；a ＞1时，如图，要使x ∈(1,2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．故选A.答案：A6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数的定义域为R ，∴m ＞0.当x ＞0时，f (x )＞0，∴2－m ＞0，即0＜m ＜2. 函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立， 则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0，∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可， ∴m ≥(x 2)max ，∴m ≥1. 综上所述：1≤m ＜2，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 解析：f (x )＝{(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)， 作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系内再作出y ＝x ＋a 的图象(如图)，则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3，得x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时，方程至少有三个不等实根． 8．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解析：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t2＋t＞m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．。