三角函数与平面向量

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三角函数与平面向量的关系

三角函数与平面向量的关系在数学中，三角函数和平面向量是两个重要的概念和工具。

三角函数是研究角度和边长之间的关系的函数，而平面向量则是研究平面上各种物理量的大小和方向的工具。

本文将探讨三角函数与平面向量之间的联系和应用。

一、向量的定义和表示在平面几何中，向量是一个既有大小又有方向的量。

其表示可以使用箭头或者字母加上帽子来表示，例如向量AB可以表示为→AB或者ẑ。

向量的大小又称为向量的模，表示为|→AB|或者|ẑ|，可以通过勾股定理计算得到。

向量的方向可以使用角度来描述，例如与x轴的夹角θ。

二、平面向量的加法和减法平面向量的加法可以理解为几何上的向量相加。

假设有向量→AB和→AC，可以通过将它们放置在同一个起点，然后连接起来得到一个新的向量→AD，即向量→AD是→AB与→AC相加的结果。

平面向量的减法则是利用减法公式进行计算。

三、向量的数量积和点积平面向量的数量积（或点积）是两个向量的乘积，其结果是一个标量。

向量的数量积可以用下式计算：→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ，其中θ为向量→AB与→AC之间的夹角。

向量的数量积具有交换律和分配律等性质，可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、以及求解平面上的投影等问题。

四、三角函数的定义和性质三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。

在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。

它们可以用著名的SOH-CAH-TOA记忆法来帮助理解和应用。

此外，割函数、余割函数和正割函数等也是常见的三角函数。

五、三角函数与平面向量的关系三角函数与平面向量有着密切的关系，可以通过向量的数量积来推导和解释三角函数的性质。

例如，在直角三角形中，可以利用对边与斜边的比值得到正弦函数的定义，并通过向量→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ来得到正弦函数与向量的关系。

类似地，可以利用邻边与斜边的比值和向量的点积来推导余弦函数的定义，并得到余弦函数与向量的关系。

三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系

三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系三角函数是数学中重要的一部分，它描述了一个角度与其对应的三角比例之间的关系。

在平面向量的应用中，我们也经常需要判断向量之间的共线与垂直关系。

本文将从三角函数的基本关系和计算平面向量的共线与垂直关系两个方面进行探讨。

一、三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正弦值为对边与斜边的比值，记为sinθ。

2. 余弦函数（cosine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其余弦值为邻边与斜边的比值，记为cosθ。

3. 正切函数（tangent）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正切值为对边与邻边的比值，记为tanθ。

这三个函数之间存在基本的关系，可以通过定义和几何关系来推导，具体推导如下：1. tanθ = sinθ / cosθ；2. sin^2θ + cos^2θ = 1，两边同时除以cos^2θ，得到tan^2θ + 1 =sec^2θ，其中secθ为secant函数的值；3. cos^2θ + sin^2θ = 1，两边同时除以sin^2θ，得到1 + cot^2θ =csc^2θ，其中cscθ为cosecant函数的值。

这些基本关系在解三角方程和求解三角函数的值时非常有用。

二、计算平面向量的共线与垂直关系平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以通过坐标或者位移来表示。

当我们需要判断向量之间的共线与垂直关系时，可以利用向量的内积和外积来进行计算。

1. 共线关系若两个向量a和b共线，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。

这可以通过向量的坐标表示进行计算。

假设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，则它们的数量积为x1 * x2 + y1 * y2。

若两个向量的数量积等于零，则它们是共线的。

2. 垂直关系若两个向量a和b垂直，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。

平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。

平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。

对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。

2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。

根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。

3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。

单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。

二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。

它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。

正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。

余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。

正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。

具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。

一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。

常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。

二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。

具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。

数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。

数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。

四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。

叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。

叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。

五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的定义与性质如下：1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边；2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边；3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边；4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。

六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。

具体来说，平面向量A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。

而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。

平面向量与三角函数的复合运算

平面向量与三角函数的复合运算在数学中，平面向量与三角函数之间的复合运算是一种重要的运算方式。

通过将向量与三角函数相结合，我们可以更加灵活地描述和解决问题。

本文将介绍平面向量与三角函数的各种复合运算，并举例说明其在实际应用中的重要性。

一、向量与三角函数的定义在介绍复合运算之前，我们首先需要明确平面向量和三角函数的定义。

1. 平面向量：平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

平面向量的大小称为模，方向由线段的方向确定。

2. 三角函数：三角函数是描述角度与边的关系的一类函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

二、向量与三角函数的乘积1. 向量的数量积：向量的数量积是两个向量的乘积，表示为A·B。

向量的数量积有以下性质：- A·B = |A|·|B|·cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。

- 若A·B = 0，则A与B垂直。

2. 向量的向量积：向量的向量积是两个向量的乘积，表示为A×B。

向量的向量积有以下性质：- |A×B| = |A|·|B|·sinθ，其中θ为A和B之间的夹角。

- 向量的向量积的方向垂直于A和B所在的平面。

3. 向量与三角函数的复合运算：我们可以将向量与三角函数相乘，得到新的向量。

例如，可以定义一个向量C = k·sinθ，表示大小为k、方向与x轴的正方向夹角为θ的向量。

三、向量与三角函数的应用向量与三角函数的复合运算在实际应用中具有重要的意义，可以帮助我们解决各种问题，包括力学、几何和工程等领域。

1. 力学应用：在力学中，向量与三角函数的复合运算常被用于解析力学中的力的分解问题。

通过将力向量分解为与坐标轴垂直的分力和平行于坐标轴的分力，并结合三角函数的性质，我们可以更好地理解力的作用方式和方向。

2. 几何应用：在几何学中，向量与三角函数的复合运算被广泛应用于空间几何中的定向问题。

三角函数与平面向量的综合应用

ʏ山东省威海市第二中学丛丽伟三角函数与平面向量之间的交汇与综合问题,一直是高考数学试卷中比较常见的一类热点问题,通过平面向量的工具性加以转化问题,结合三角函数中的概念及相应公式加以恒等变换,有时涉及正㊁余弦定理等相关知识,用来综合考查三角函数的基础知识㊁基本公式㊁基本技能与基本应用等㊂一㊁三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体,利用诱导公式㊁同角三角函数关系式㊁两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数中的求值问题,是高考的重要考向,考查同学们分析问题㊁解决问题的能力㊂例1已知向量m=(s i n x,3c o s x),n=(s i n x,s i n x),函数f(x)=m㊃n㊂(1)求fπ12的值;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的最大值与最小值㊂分析:(1)根据题设条件,利用平面向量的数量积公式,通过数量积的坐标运算来构建函数f(x)的解析式,把x=π12代入即可;(2)利用题设中x的取值范围所对应角的取值范围,结合三角函数的图像与性质来确定三角函数在给定区间上的最大值与最小值㊂解:(1)依题意可得f(x)=m㊃n=(s i n x,3c o s x)㊃(s i n x,s i n x)=s i n2x+3c o s x s i n x=1-c o s2x2+32s i n2x=32s i n2x-12c o s2x+12=s i n2x-π6+12,故fπ12=s i n2ˑπ12-π6+12=12㊂(2)当xɪ0,π2时,有2x-π6ɪ-π6,5π6㊂故当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)m a x=s i nπ2+12=1+12=32;当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)m i n=s i n-π6+12=-12+12=0㊂规律方法:平面向量在三角函数求值中的应用步骤:(1)利用平面向量的基本性质㊁运算公式㊁数量积等构建对应的三角函数关系式,特别是涉及向量的平行与垂直关系等;(2)利用三角恒等变换公式,以及题设条件中的角的取值限制等,通过三角函数的图像与性质来分析与求解㊂二㊁三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性㊁周期性㊁最值㊁取值范围及三角函数的图像变换等㊂例2已知向量m=(s i n x,-1),n=c o s x,32,函数f(x)=(m+n)㊃m㊂(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的值域;(3)将函数f(x)的图像左移3π8个单位32解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月长度后得函数g (x )的图像,求函数g (x )在-π3,π3上的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,通过向量的坐标运算及数量积公式,构建三角函数f (x )的解析式,并通过三角恒等变换转化为正弦型函数,进而求解对应的基本性质;(2)结合题设条件中角的取值范围,通过三角函数的图像与性质来确定函数的最值,进而得以确定函数f (x )的值域;(3)利用三角函数图像的平移变换可得函数g (x )的解析式,进而利用三角函数的图像与性质来求解最大值问题㊂解:(1)由已知可得f (x )=(m +n )㊃m =s i n x +c o s x ,12㊃(s i n x ,-1)=s i n 2x +s i n x c o s x -12=12s i n 2x -12c o s 2x =22s i n 2x -π4㊂故f (x )的最小正周期T =2π2=π㊂由2k π-π2ɤ2x -π4ɤ2k π+π2,k ɪZ ,可得k π-π8ɤx ɤk π+3π8,k ɪZ ,所以函数f (x )的单调递增区间是k π-π8,k π+3π8(k ɪZ )㊂(2)当x ɪ0,π2时,有2x -π4ɪ-π4,3π4 ,故-22ɤs i n 2x -π4 ɤ1,所以-12ɤ22s i n 2x -π4ɤ22㊂所以当x ɪ0,π2 时,函数f (x )的值域为-12,22㊂(3)根据题意可得函数g (x )=22s i n 2x +3π8-π4 =22s i n 2x +π2=22c o s 2x ㊂当x ɪ-π3,π3时,有2x ɪ-2π3,2π3㊂所以当2x =0,即x =0时,g (x )m a x =22c o s 0=22㊂规律方法:平面向量与三角函数的基本性质的综合问题的解法:(1)利用向量的相关概念㊁公式等构建相应的三角函数解析式;(2)利用三角恒等变换公式等将相应的三角函数关系式转化为正弦型(或余弦型)函数;(3)根据三角函数的图像与性质来研究相关函数的基本性质问题㊂三、平面向量在三角形计算中的应用以平面向量的线性运算㊁数量积为载体,考查三角形中正㊁余弦定理的应用,以及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中的边㊁角及面积等问题㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知s i n C =2s i n (B +C )㊃c o s B ㊂(1)判断әA B C 的形状;(2)设向量m =(a +c ,b ),n =(b +a ,c -a ),若m ʊn ,求A ㊂分析:(1)利用三角形的内角和公式A +B +C =π转化角后,结合题设条件进行消元处理,进而得到涉及角A ,B 的基本关系,结合三角函数值及三角形的性质来分析与判断;(2)利用两平面向量平行的关系,结合向量的坐标加以转化与应用,合理构建三角形中边与角的关系式,进而利用余弦定理加以分析与求解㊂解:(1)在әA B C 中,因为s i n C =s i n (A +B ),s i n A =s i n (B +C ),所以s i n C=s i n (A +B )=2s i n (B +C )c o s B =2s i n A c o s B ,所以s i n A c o s B +c o s A s i n B=2s i n A c o s B ,即s i n A c o s B -c o s A s i n B =0,即s i n (A -B )=0㊂又因为-π<A -B <π,所以A -B =0,即A =B ,故әA B C 为等腰三角形㊂(2)由m ʊn 得(a +c )(c -a )=b (b +a ),展开整理得b 2+a 2-c 2=-a b ,所以c o s C =a 2+b 2-c 22a b =-12㊂42 解题篇创新题追根溯源高考数学 2024年1月因为0<C<π,所以C=2π3㊂又A=B,故A+B=π3,所以A=π6㊂规律方法:平面向量与三角形计算综合问题的解法:(1)借助平面向量的基本概念㊁基本公式等,往往可以合理构建三角函数关系式,为利用解三角形来处理问题奠定基础;(2)合理综合解三角形㊁三角函数及平面向量的相关知识加以合理转化与巧妙应用㊂特别地,在解决三角形中的向量夹角问题时需注意向量的方向㊂四㊁三角函数㊁平面向量与其他知识的综合应用以平面向量为问题场景,通过坐标公式㊁数量积公式等变形,转化为相应的三角函数问题,综合函数与方程㊁不等式等其他相关知识来分析与综合,也是高考中比较常见的一类综合应用问题㊂例4设向量a=(4s i n x,c o s x-s i n x),b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,函数f(x)=a㊃b㊂(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在-π2,2π3上是增函数,求ω的取值范围;(3)设集合A=xπ6ɤxɤ2π3,B= {x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围㊂分析:(1)利用向量的数量积把三角函数关系式加以转化,即可得到函数f(x)= 2s i n x+1;(2)根据三角函数在给定区间上的单调性,通过不等式组的求解来确定参数的取值范围;(3)结合绝对值不等式的求解㊁集合的包含关系㊁三角关系式的最值,以及三角函数的图像与性质来加以直观转化与求解㊂解:(1)因为a=(4s i n x,c o s x-s i n x), b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,所以函数f(x)=a㊃b=4s i n xˑs i n2π+2x4+(c o s x-s i n x)ˑ(c o s x+s i n x)= 4s i n x㊃1-c o sπ2+x2+c o s2x= 2s i n x(1+s i n x)+1-2s i n2x=2s i n x+1㊂(2)由于f(ωx)=2s i nωx+1,由2kπ-π2ɤωxɤ2kπ+π2,kɪZ,可得函数y= f(ωx)的增区间是2kπω-π2ω,2kπω+π2ω,kɪZ㊂又因为y=f(ωx)在区间-π2,2π3上是增函数,所以-π2,2π3⊆-π2ω,π2ω,即-π2ωɤ-π2,2π3ɤπ2ω,解得0<ωɤ34㊂所以ω的取值范围为0,34㊂(3)由|f(x)-m|<2解得-2<m-f(x)<2,即f(x)-2<m<f(x)+2㊂因为A⊆B,所以当π6ɤxɤ2π3时,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立㊂所以[f(x)-2]m a x<m<[f(x)+2]m i n,即[f(x)]m a x-2<m<[f(x)]m i n+2㊂因为f(x)=2s i n x+1,所以在π6,2π3上,[f(x)]m a x=fπ2=3, [f(x)]m i n=fπ6=2,所以1<m<4㊂故实数m的取值范围为(1,4)㊂规律方法:本题巧妙地把平面向量㊁三角函数㊁集合㊁不等式等相关知识加以交汇,以平面向量为问题背景,通过平面向量的数量积为媒介,结合三角函数的图像与性质来考查数学基本知识点,得以达到提高数学品质与提升数学能力的目的㊂注意高考中三角函数与平面向量的交汇综合问题往往以平面向量的相关概念与数量积等来建立相应的三角函数关系式,结合三角函数的基本公式与三角恒等变换公式㊁解三角形公式等来综合考查,一般难度中等,真正达到考查能力,注意应用的目的㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。

三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。

而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。

三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

（1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。

如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。

具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。

（2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。

平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x轴和y轴分量。

这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。

通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。

（3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。

比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。

总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。

只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。

本文将对三角函数和平面向量的知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。

一、三角函数2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。

其定义域为实数集R。

常用的余弦函数记作cos(x)。

余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。

3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。

其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。

常用的正切函数记作tan(x)。

正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。

4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。

其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。

常用的余切函数记作cot(x)。

余切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。

5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。

其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。

常用的正割函数记作sec(x)。

正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。

6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。

其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。

常用的余割函数记作csc(x)。

余割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。

三角函数之间有一些重要的关系：1.三角函数的互逆关系：sin(x) = 1/csc(x)cos(x) = 1/sec(x)tan(x) = 1/cot(x)cot(x) = 1/tan(x)sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)2.三角函数的和差化积公式：sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))4.三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2)co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x)))二、平面向量1.平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。

本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。

一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。

假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。

其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。

二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。

设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。

其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。

另外，向量还可以用角度来表示。

假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。

其中，arctan表示反正切函数。

三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。

设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

也就是将两个向量的分量对应相加。

向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

也就是将两个向量的分量对应相减。

四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。

根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。

其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。

2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。

2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。

㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式：①22sin cos 1θθ+=，②ta n θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=±2s i n 2c o s 1θθ=-， 2co s 2co s 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是一个拥有大小和方向的量。

它可以表示为一个有序的数对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量在几何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。

与此同时，三角函数是数学中重要的函数类别之一。

它们描述了角度和边长之间的关系，并且在三角学、物理学和工程学等学科中扮演着重要的角色。

本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并说明它们在解决实际问题中的应用。

1. 平面向量的表示与三角函数平面向量可以由其模长和方向角来表示。

模长表示向量的大小，方向角表示向量与x轴的夹角。

根据三角函数的定义，我们可以将平面向量与三角函数联系起来。

1.1 向量的模长与三角函数给定一个平面向量(a, b)，它的模长可以表示为|v| = √(a^2 + b^2)。

在直角三角形中，我们可以将a和b看作直角边的长度。

根据三角函数的定义，我们可以得到：sinθ = b / |v|cosθ = a / |v|其中，θ表示向量与x轴的夹角。

1.2 向量的方向角与三角函数方向角可以通过反三角函数来计算。

给定一个平面向量(a, b)，我们可以计算其方向角θ：θ = arctan(b / a)在计算方向角时，应注意选择合适的反三角函数以确保在不同象限中得到正确的值。

2. 平面向量的运算与三角函数平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。

与此同时，三角函数也可以应用于向量的运算中。

2.1 向量的加法与三角函数设有两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的和向量w = u + v可以表示为：w = (a + c, b + d)在计算过程中，我们可以将三角函数应用于向量的对应分量上。

2.2 向量的减法与三角函数同样地，给定两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的差向量w = u - v可以表示为：w = (a - c, b - d)我们可以通过将三角函数应用于向量的对应分量来计算差向量。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量现在考虑一个平面上的点$P(x, y)$，假设$r$是$O$到$P$的距离，我们可以用向量$\vec{v} = (x, y)$表示$P$点，它的模长即为$\，\vec{v}\， = r$。

那么，$P$点的极坐标表示为$(r,\theta)$，其中$\theta$是$OP$与正半轴$OX$之间的夹角。

根据三角函数的性质，我们有以下关系：\[\begin{align*}\cos \theta & = \frac{x}{r} = \frac{a}{\，\vec{v}\，}, \\\sin \theta & = \frac{y}{r} = \frac{b}{\，\vec{v}\，}, \\\tan \theta & = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}.\end{align*}\]接下来，讨论三角函数与平面向量之间的一些重要性质。

首先是三角函数的周期性。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为$2\pi$。

也就是说，对于任意$x$，我们都有$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$和$\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$。

这说明三角函数的值在$2\pi$的整数倍处重复。

类似地，正切函数是周期为$\pi$的周期函数。

另外一个重要的性质是三角函数的正交关系。

设$\vec{u}$和$\vec{v}$是两个非零向量，它们的夹角为$\theta$。

那么，我们有以下等式成立：\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \，\vec{u}\， \，\vec{v}\， \cos \theta.\]其中，$\vec{u} \cdot \vec{v}$表示两个向量的点积。

如果夹角为$\frac{\pi}{2}$，即两个向量垂直，那么点积为0。

三角函数与平面向量

向量旋转与三角函数：通过三角函数可以实
现向量的旋转。
向量角度与三角函数：向量的夹角可以通过三角函数进行计算。
向量投影与三角函数：向量的投影长度和方向可以通过三角函数
进行计算。
三角函数在向量运算中的应用，如向量的点乘和
叉乘
向量在三角函数中的应用，如利用向量表示三角函数图像的平移
和旋转
三角函数与平面向量的运算性质及其相互转化
三角函数与平面向量在解题中的综合运用
总结三角函数与平面向量之间的关系及其对数学发展的影响
发展趋势：随着数学理论和应用的不断发展，三角函数和平面向量理论将进一步完善，其在物理、工程等领域的应用将更加广泛。
未来研究方向：深入研究三角函数和平面向量的性质和关系，探索其在解决实际问题中的应用，同时寻求与其他数学领域的交叉融合，以推动数学理论的发展。
增大而增大或减小。
三角函数定义：以角为变量，单位圆上点
的坐标为值的函数
三角函数周期性：单位圆上三角函数值的周期
性变化
单位圆上三角函数表示：通过单位圆上点的坐标计算三角函数
值
三角函数性质：在单位圆上表示的三角函数的性质，如正弦、
余弦、正切等
向量的模：表示向量的大小，计算公式为 $\sqrt{x^2 + y^2}$
复合函数：通过将一个三角函数作为另一个函数的自变量，可以形成复合函数。
向量加法：满足平行四边形法则和三角形法则向量数乘：标量与向量的乘积，结果仍为向量向量点乘：两个向量的点乘结果为标量，满足分配律和交换律向量叉乘：两个向量的叉乘结果仍为向量，垂直于原向量构成的平面
三角函数与向量点乘的性质
向量垂直：当两个向量的夹角为90 度时，它们被称为垂直向量。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量
汇报人：张老师 2023-11-25
目录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数（sine） • 定义：对于任意角x，正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值，即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质：正弦函数的值域为[-1,1]，周期为2π。
辑思维，提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中，学生可能会遇到与三角函数和平面向量紧密相关的主题，如复数、微分学、积分学、线性代数等。
展望
对于更深入的学习和理解，学生可以进一步探索这些相关主题，以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用（如位移、速度、加速度的计算）
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域，经常需要计算物体的位移、速度和加速度。通过三角函数和平面向量的结合，可以有效地描述和计算这些物理量，为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中，三角函数和平面向量可用于计算角度、距离等参数，确保工程的准确性和稳定性。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题，比
如计算距离、角度，确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中，经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域，利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算，以实现设计和制作的准确性。

三角函数与平面向量的关系及应用

三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念，它们相互关联，不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题，还有广泛的实际应用。

本文将探讨三角函数与平面向量的关系，以及它们在实际问题中的应用。

二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段，它具有模和方向两个重要的性质。

向量的模即向量的长度，可以通过勾股定理计算。

而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度，可以用三角函数来表示。

2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中，向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。

设向量的坐标为 (x, y)，则它的模可以表示为√(x² + y²)。

通过简单的几何推导，我们可以发现，向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值，即cosθ = x/√(x² + y²)；而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等，即sinθ = y/√(x² + y²)。

3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v，它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。

设夹角为θ，则有cosθ = (u·v)/(|u||v|)，其中 ·表示向量的数量积，|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。

三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。

通过已知的坐标系和三角函数，导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离，并提供相关的导航指引。

2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。

通过分解和合成运动向量，我们可以对物体的运动进行分析和计算，提供准确的速度、加速度等信息。

3. 力的分解在物理学中，力也可以看作是一个向量，具有大小和方向。

通过向量的分解，我们可以将一个力分解为两个分力的合力，从而更好地理解和计算复杂的力系统。

三角函数和平面向量

三角函数和平面向量三角函数一、本章知识结构二、高考要求1．理解角的有关概念，并能进行弧度与角度的互换。

2．掌握三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质，会用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象。

3．掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式，并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。

4．掌握正弦、余弦定理，并能应用解三角形。

5．掌握平面向量有关知识，如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等，会用向量方法解决简单问题。

常考点：1）三角函数的定义；2）同角三角函数的基本函数关系式；3）三角函数的图象和性质；4）三角恒等变换；5）正弦、余弦定理的应用；6）解三角形；7）平面向量的概念及运算；8）平面向量的基本定理及坐标表示；9）平面向量的数量积。

易考点：1）三角函数的图象和性质；2）三角恒等变换；3）正弦、余弦定理的应用；4）解三角形；5）平面向量的基本定理及坐标表示；6）平面向量的数量积。

必考点：三角函数的图象和性质，三角恒等变换，解三角形，平面向量的数量积。

三、热点分析1．三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一。

近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。

高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐，一般出现在前两个解答题的位置。

无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%。

2．平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。

平面向量与三角函数的综合应用

平面向量与三角函数的综合应用在数学中，平面向量和三角函数都是重要的概念和工具。

它们在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机图形学等。

本文将介绍平面向量与三角函数的综合应用，并探讨它们在实际问题中的具体运用。

一、平面向量的基本概念与运算平面向量是具有大小和方向的有序数对，通常用箭头来表示。

向量的大小称为模，方向由箭头所指示。

平面向量可以通过坐标表示，也可以通过起点和终点坐标表示。

平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。

平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在同一点，然后将它们依次连接起来，形成一个四边形，那么两个向量的和就是对角线的向量。

平面向量的减法可通过加法来实现，即将减去的向量取其相反向量，再进行加法运算。

数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数。

平面向量的模可以通过勾股定理来计算，即模的平方等于向量的横纵坐标的平方和的平方根。

平面向量的方向可以通过两个向量的数量积来计算，数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦。

二、三角函数的概念与性质三角函数是用来描述角度的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在平面向量中，三角函数用来描述向量与坐标轴之间的关系。

三角函数的运算和性质包括函数图像、周期性、奇偶性、单调性等。

正弦函数是指一个角的正弦值与角度的函数关系，通常用sin表示。

余弦函数是指一个角的余弦值与角度的函数关系，通常用cos表示。

正切函数是指一个角的正切值与角度的函数关系，通常用tan表示。

三角函数的图像具有周期性，即在一个周期内，函数值会重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

正弦函数和余弦函数都是偶函数，即f(x) = f(-x)，而正切函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。

三、平面向量与三角函数的综合应用平面向量和三角函数在实际问题中常常需要综合运用。

下面通过几个例子来说明。

例1：平面三角形的面积计算考虑一个平面三角形，已知两个顶点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，求解这个三角形的面积。

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是研究空间中的对象之一。

它由有向线段表示，具有大小和方向。

而三角函数则是描述角度的函数，涉及到三角形的性质和三角函数的定理。

在本文中，将会探讨平面向量与三角函数之间的关系。

一、平面向量的表示平面向量可以使用坐标的形式进行表示。

假设有平面上的一个向量A，可以使用(x, y)来表示向量A的坐标。

其中，x表示向量A在x轴上的投影长度，y表示向量A在y轴上的投影长度。

例如，向量A = (3,4)表示向量A在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为4。

二、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以使用勾股定理来计算。

设向量A = (x, y)，则向量A的模为|A|=√(x²+y²)。

方向角可以使用反正切函数来计算。

设向量A的方向角为θ，可以使用θ=arctan(y/x)来计算。

三、向量的加法与减法平面向量之间可以进行加法和减法运算。

设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的加法可以表示为A + B = (x1+x2,y1+y2)；向量A与向量B的减法可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2)。

四、向量的数量积与夹角向量的数量积可以用来研究向量之间的夹角关系。

设向量A = (x1,y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。

根据数量积的定义，向量A与向量B之间的夹角θ可以使用余弦函数来表示，即cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

五、向量的叉积与正弦值除了数量积之外，向量还可以进行叉积运算。

向量的叉积可以用来研究向量之间的正弦值关系。

设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的叉积可以表示为A×B = x1y2 - x2y1。

根据叉积的定义，向量A与向量B之间的正弦值可以使用叉积的模除以向量A与向量B的模的乘积来表示，即sinθ = |A×B| / (|A|·|B|)。

平面向量与三角函数

平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念，它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。

本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。

向量加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。

二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。

二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

通过坐标表示，我们可以进行向量的运算，并用向量表示点、线段以及其他几何对象。

三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。

平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，可以使用三角函数来计算。

四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。

对于任意一个角，可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。

而在平面向量中，向量的方向角正是角的一种度量。

六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。

单位向量是模为1的向量，通过标准化平面向量，可以得到单位向量。

七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。

数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。

八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。

例如，通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。

同时，三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。

回归课本专题四三角函数与平面向量

回归课本专题四三角函数与平面向量第1 页回归课本专题四：三角函数、平面向量一．三角函数：1.终边相同(2,k k Z βπα=+∈)；弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==， 1弧度(1rad)57.3≈.例1：（1）θ是第一象限角，试探究：（1）2θ一定不是第几象限角？（2）3θ是第几象限角？(2)当角,αβ满足什么条件时，有sin sin αβ=？cos cos ?αβ= (3)若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线比较：,sin ,tan ααα之间的大小. (4)设O 为坐标原点，111(,)P x y 和222(,)P x y 为单位圆上两点，且12POP θ∠=，求证：1212cos x x y y θ+=. (5).已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.2、函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>①五点法作图；②振幅?相位?初相?周期T=ωπ2,频率?③,k k Z ϕπ=∈时奇函数；,2k k Z πϕπ=+∈时偶函数.例2（1）函数522y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的奇偶性是______；（2）已知函数31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______；（3）函数)c o s (s i n c o s2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值.④变换:1||sin sin()sin()y x y x y x ϕωϕωϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移1||sin sin sin()y x y x y x ϕωωωωϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍左或右平移||sin()sin()A b y A x y A x b ωϕωϕ−−−−−−−→=+−−−−−→=++纵坐标伸缩到原来的倍上或下平移.例3.把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位,所得到的图像的函数的解析表达式为 ,在将图像上的所有点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变),则所得到的图像的函数表达式为 .3、正弦定理:2sin a R A ==B b sin =C c sin ；内切圆半径2ABCS r a b c∆=++；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-,bca cb A 2cos 222-+=；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===例4. 在ABC ∆中,已知cos cos ,a b c B c A -=⋅-⋅则ABC ∆的形状是 . 4、同角基本关系：例5：已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝_________；5、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．6、重要公式：两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅ ； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅ ；二倍角公式：sin 22sin cos ααα=⋅；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-；升、降幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；例6.(1)函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________ ⑵已知ABC ∆中，三内角为,,A B C，满足112,cos cos A C B A C +=+=，求cos 2A C -的值.巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等，例6（3）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____；（4）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（5）求证：①1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++；②sin50(1)1︒⋅+︒=；（6）已知sin sin(2)m βαβ=+，且(),(),122k k k Z k Z m ππαβπα+≠+∈≠∈≠. 求证：1tan()tan 1mmαβα++=-. 7、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中tan b aθ=)如：（1）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______；（2）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；二、平面向量：8、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量.回归课本专题四三角函数与平面向量第2 页的相反向量是－a .)、共线向量、相等向量注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）9、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC BC AB =+;CB AC AB =-,+≤±≤-,10、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当a ，b 同向时，a ⋅b ＝a b，特别地，22,a a a a a =⋅==当a 与b 反向时，a ⋅b ＝－a b；当θ为锐角时，a ⋅b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ⋅b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ⋅≤.如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______；11、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ12、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)特别：＝12OA OB λλ+，则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹方程是_______13、在ABC ∆中，①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔ 为ABC ∆的重心；②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；如：（1）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC的形状为____；（2）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为___；（3）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____；14、重心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.3y y y y ,3x x x x 32132115、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则PP ' ＝a 或⎩⎨⎧+='+='ky y h x x 函数)(x f y =按),(k h a =平移得函数方程为：)(h x f k y -=-如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（3）设,a b 是两个非零向量，如果()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥-，求a b与的夹角.（4）设ABC ∆中，,,AB c BC a CA b ===，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅ ，判断ABC ∆的形状.（5）已知向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++= ，且1OA OB OC ===，求证：ABC ∆为正三角形.三、练习：1.（必修4P24.9（2）改编）设1tan 2α=-，则23cos 2sin 21αα=++ . 2.（必修4P24.10）若α可化简为 . 3.（必修4P24.15）已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()63x x -+-= . 4.（必修4P24.3改编）若函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期为23π，则k= .5.（必修4P42.2）把函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位，所得到的图像的解析式为，再将图像上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为 .6.（必修4P49.7= .7.（必修4P11.5（2））已知sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆的形状为 . （必修4P17.10）在ABC ∆中，已知22,sin sin sin a b c A B C =+=，则ABC ∆的形状为 . （必修4P24.2（2））已知sin sin sin cos cos A BC A B+=+,则ABC ∆的形状为 .回归课本专题四三角函数与平面向量第3 页8.（必修4P16.例6）AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，则AM 可用三边AB,AC,BC 表示为 .9.（必修4P84.例1改编）已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，且a b 与的夹角为135，c b与的夹角为1202c =，，则a b ⋅= . 10.（必修4P77.11）已知O 为坐标原点，A （3，1），B （-1，3）.若点C 满足OC OA OB αβ=+其中1R αβαβ∈+=，，且，则点C 的轨迹方程为 .11.（必修4P83.10改编）设(,3),(2,1)a x b ==-.①若a b 与的夹角为锐角，则x 的取值范围为；②若a b与的夹角为钝角，则x 的取值范围为；③当x=4时，a 在b方向上的投影为 .12.（必修4P99.例4）︒︒︒-20cos 20sin 10cos 2= .（必修4P105.4）︒++︒︒︒︒81tan 39tan 240tan 81tan 39tan = ；（必修4P109例4）()︒︒+10tan 3150sin = . （必修4P118.15（2））()()()︒︒︒+++45tan 12tan 11tan 1 = .13. （必修4P117.12改编）24cos 3sin 2++=-m m αα，则m 的取值范围是 . 14. （必修4P115.2改编） ︒︒-15sin 75sin = ；︒︒-15cos 75cos = ；︒︒+15sin 75sin = ；=+︒︒15cos 75cos .（必修4P114.1改编）︒︒15cos 75sin = ；︒︒15cos 75cos = .︒︒15sin 75cos = ；sin ︒75︒15sin = .15.如图，设P,Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+ ，2134AQ AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为.16. （必修4P83.13）已知1,a b a b ==+=则a b a b +- 与的夹角为 .17. 设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点，则14PA PF PA AF ⋅+⋅的最小值为 .18.在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为 .19. O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+-2)=0，则∆ABC 是三角形.20. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[+∞∈++=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的心.21.已知向量M={ | =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={|=(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ⋂N= . 22. 过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若x = y =,(0≠xy ),则yx 11+的值为 . 23.要得到函数的图像，x y sin =只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos πx y 的图像 . 24. 已知()()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36,36,03sin ππππϖπϖ，在区间且x f f f x x f 有最小值，无最大值，则=ϖ .四、品味经典1. （必修4P117.14）如图，在半径为R ，圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PMNQ,使点Q 在OA 上，点M,N 在OB 上，求这个矩形面积的最大值及相应的AOP ∠的值.MNB回归课本专题四三角函数与平面向量第4 页2.已知函数2()4sin sin ()cos242xf x x x π=++ （1）设0ω>为常数，若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求w 的取值范围（2）设集合{}2;()263A xx B x f x m ππ⎧⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.3.在ABC ∆中，角A,B,C 分别对应边为,,,cos a b c b a C =，判断ABC ∆的形状.4. 在ABC ∆中，已知角A 、B 、C 所对的三边分别是,,a b c ,且ac b =2（1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB By cos sin 2sin 1++=的值域.。