小题专项集训(七) 三角恒等变换、解三角形

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数学(文)知识清单-专题07 三角恒等变换与解三角形(考点解读)(原卷+解析版)

2
1＋cosα
(4)tanα＝ sinα ＝1－cosα. 2 1＋cosα sinα
4．正弦定理
sianA＝sibnB＝sincC＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．
5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
1
6．面积公式 S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC. 7．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解； (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论； (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解； (4)已知三边，利用余弦定理求解． 8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.
a=2，c= 2 ，则 C=
A.
π 12
B.
π 6
C.
π 4
D.
π 3
2.【2017 课标 3，文 6】函数 f (x) 1 sin(x π ) cos(x π ) 的最大值为（）
5
3
6
A．
6 5
B．1
C．
3 5
D．
1 5
3.【2017
课标
II，文
3】函数
f
(x)
sin(2x
π ) 的最小正周期为 3
专题 7 三角恒等变换与解三角形
和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．

高三数学二轮复习必考问题专项突破7 三角恒等变换与解三角形理

必考问题7 三角恒等变换与解三角形1．(2012·全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )． A ．－53B ．－59C.59D.53答案：A [将si n α＋cos α＝33两边平方，可得1＋si n 2α＝13，si n 2α＝－23，所以(－si n α＋cos α)2＝1－si n 2α＝53，因为α是第二象限角，所以si n α＞0，cos α＜0，所以－si n α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－si n α＋cos α)(cos α＋si n α)＝－53，选A .] 2．(2012·江西)若t a n θ＋1t a n θ＝4，则sin 2θ＝( )． A.15B.14C.13D.12答案：D [∵t an θ＋1t a n θ＝1＋t a n 2θt a n θ＝4，∴4t an θ＝1＋t an 2θ，∴si n 2θ＝2si n θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2t a n θ1＋t a n 2θ＝2t a n θ4t a n θ＝12.] 3．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A.725B ．－725C ．±725D.2425答案：A [因为8b ＝5c ，则由C ＝2B ，得si n C ＝si n 2B ＝2si n B cos B ，由正弦定理得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，故选A.]4．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析由余弦定理，得b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.答案 41．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)t a n(α±β)＝t a n α±t a n β1∓t a n αt a n β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)t a n 2α＝2t a n α1－t a n 2α. (4)降幂公式：sin 2 α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .余弦定理及其推论a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .必备方法1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.利用三角恒等变换进行三角函数的化简、求值三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：①三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．【例1】► (2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10 π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由T ＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cos α、si n β的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．解 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f (5β－5π6)＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是si n α＝35，cos α＝45，si n β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－si n αsi n β ＝45×817－35×1517＝－1385.(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角． (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等．【突破训练1】已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.si n x ＝si n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4si n π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.si n 2x ＝2si n x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝si n 2x cos π3＋cos 2x si n π3＝－24＋7350.三角函数与解三角形以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题．根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力．【例2】► (2011·山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)根据所给式子和第(1)问式子的特征，采用边化角较为简单；(2)借用第(1)问的结果可知a 、c 间的关系，再结合cos Β＝14，b ＝2，利用余弦定理可求解．解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )si n B ＝(2si n C －si n A )cos B ，化简可得si n (A ＋B )＝2si n (B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为si n C ＝2si n A ，因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0＜B ＜π，所以si n B ＝154.因此S ＝12ac si n B ＝12×1×2×154＝154.在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．【突破训练2】 (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明由b si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得si n B si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －si n C si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝si n A ，si n B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －si n C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 sin B ＋22cos B ＝22，整理得si n B cos C －cos B si n C ＝1，即si n (B －C )＝1，由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2si n 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2si n π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc si n A ＝2si n 5π8si n π8＝2cos π8·si n π8＝12.易错点拨第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻，导致丢分，遇到这种情况时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去．向量与解三角形的综合考查解三角形问题常以向量为载体，解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系，然后再借助解三角形的知识求解，难度中档偏低．【例3】► 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A ＝π6，(1＋3)c ＝2b .(1)求角C ；(2)若CB →·CA →＝1＋3，求a ，b ，c . [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由(1＋3)c ＝2b 及A ＝π6可利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；(2)将向量关系式CB →·CA →＝1＋3转化为三角形中的边角关系，再利用解三角形的知识求解．解 (1)由(1＋3)c ＝2b ，得b c ＝12＋32＝sin Bsin C，则有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－C sin C ＝sin 5π6cos C －cos 5π6sin C sin C＝12t a n C ＋32＝12＋32，得t an C ＝1，即C ＝π4.(2)由CB →·CA →＝1＋3，推出ab cos C ＝1＋ 3. 而C ＝π4，即得22ab ＝1＋3，则有⎩⎪⎨⎪⎧22ab ＝1＋3，＋3c ＝2b ，a sin A ＝c sin C ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1＋3，c ＝2.解答这一类问题，首先要保证向量运算必须正确，否则，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答．【突破训练3】在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，求角A ，B ，C 的大小．解设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|，得2bc cos A ＝3bc ，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，因此A ＝π6，由3|AB →|·|AC →|＝3BC →2，得bc ＝3a 2，于是si n C ·si n B ＝3si n 2A ＝34. 所以si n C ·si n ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，si n C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，因此2si n C ·cos C ＋23si n 2C ＝3， si n 2C －3cos 2C ＝0，即si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0.由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3＜2C －π3＜4π3，从而2C －π3＝0，或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.正、余弦定理的实际应用由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．【例4】► (2012·沈阳模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． [审题视点] [听课记录][审题视点] 第(1)问实质求BC ；第(2)问运用正弦定理可求解．解 (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即si n α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314，所以si n α的值为3314.(1)三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．(2)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．【突破训练4】 (2012·惠州调研)如图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A ，B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°且AB ＝100米．(1)求sin 75°； (2)求该河段的宽度．解 (1)si n 75°＝si n (30°＋45°) ＝si n 30°cos45°＋cos 30°si n 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. (2)因为∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，所以∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB ，所以BC ＝AB sin 75°sin 60°.如图，过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D, 则BD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC 中，因为∠BCD ＝∠CBA ＝45°， si n ∠BCD ＝BD BC，所以BD ＝BC si n 45° ＝AB sin 75°sin 60°·si n 45°＝100×6＋2432×22 ＝256＋233＝503＋33(米)．答：该河段的宽度为＋33米．转化与化归在解三角形中的应用解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换相结合考查正弦、余弦定理的应用，解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．可以说，三角形问题的核心就是转化与化归．【示例】► (2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[满分解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(6分) (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.(12分)老师叮咛：本题较容易，得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转化的能力.其中，第问利用正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换知识整理出角 A.第问根据三角形的面积公式得到关于b ，c 的等式，再由余弦定理用a 和角A 表示出b ，c 的关系，从而求解.【试一试】在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A. 于是AB ＝sin C sin A·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255. 于是si n A ＝1－cos 2A ＝55. 从而si n 2A ＝2si n A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －si n 2A ＝35. 所以si n ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＝si n 2A cos π4－cos 2A si n π4＝210.。

[高考专项训练]三角恒等变换与解三角形

小题押题16—8⎪⎪三角恒等变换与解三角形考查点一三角函数的求值问题1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.3．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43考查点二利用正、余弦定理解三角形及应用4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21135．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m. 答案：150考查点三三角形的面积问题6．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010C.55D.31010解析：选D 如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得， AB ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12BC ·AD ，∴12×23a ×53a ·sin ∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝310＝31010.7．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：选B 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.8．(2014·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为 3.答案： 3抓牢常考点——解三角形及其应用[题组突破]1．(2017·张掖模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( )A.74 B.34 C.73D.13解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.2．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12 B.14 C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.3．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0，因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π34．(2018·江苏)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．解析：本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．答案：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． [解题方略](1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．拿下重难点——三角形中的范围(或最值)问题任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外.三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解.由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法.考法(一) 与边或角有关的范围(最值)问题[典例] (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋bc取得最大值时，内角A 的值为( ) A.π2 B.π6 C.2π3D.π3[解析] 利用等面积法可得，12·a ·36a ＝12·b ·c ·sin A ，整理得a 2＝23bc sin A ．∴c b ＋bc ＝c 2＋b 2bc ＝a 2＋2bc cos A bc ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，当A ＋π6＝π2时，c b ＋bc 取得最大值，此时A ＝π3.[答案] D(2)(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．[解析] 法一：如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则∠E ＝30°，又BC ＝2，所以BE ＝1cos 75°＝6＋ 2.设AD ＝x,0＜x ＜2，在△ADE 中，∠ADE ＝45°，由正弦定理，得AE ＝AD ·sin ∠ADEsin ∠E ＝2x ，所以AB ＝BE －AE ＝6＋2－2x ，所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．法二：连接AC ，设∠BAC ＝α，则∠ACB ＝105°－α，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin (105°－α)＝BCsin α，所以AB ＝2sin (105°－α)sin α＝6＋22cos α＋6－22sin αsin α＝6＋22·1tan α＋6－22. 因为⎩⎪⎨⎪⎧α＜75°，105°－α＜75°，所以30°＜α＜75°，所以13＜tan α＜2＋3，所以2－3＜1tan α＜3，进一步可得AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．[答案] (6－2，6＋2) [解题方略]三角形中范围问题的解决方法求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有：要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[针对训练]1．(2017·大庆一模)若满足条件AB ＝3，C ＝π3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，2)解析：选C 设BC ＝a ，∵C ＝π3，AB ＝3，∴由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得332＝asin A，∴sin A ＝a 2.由题意得，当A ∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3且A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，∴32＜a2＜1，解得3＜a ＜2，则边长BC 的取值范围是(3，2)．2．(2017·广州模拟)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC ＞1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．解析：设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12.又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1.l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43(a －1)＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12 ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a －1)×12(a －1)＋43＋12，当且仅当a －1＝12(a －1)时，△ABC 的周长最短，此时a ＝1＋22，即BC 的长是1＋22. 答案：1＋22考法(二) 与面积有关的范围(或最值)问题[典例] (1)(2017·郑州一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c 且sin B sin A ＝1－cos B cos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0＜θ ＜π)，OA ＝2，OB ＝1，则平面四边形OACB 面积的最大值是( )A.8＋534B.4＋534C ．3D.4＋52[解析] 由b ＝c ，得B ＝C . 由sin B sin A ＝1－cos Bcos A，得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin A ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以A ＝C ，所以△ABC 是等边三角形．在△OAB 中，由余弦定理得c 2＝22＋12－2×2×1×cos θ＝5－4cos θ，所以S 四边形OACB ＝S △OAB ＋S △ABC＝12×2×1×sin θ＋34c 2 ＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534，所以(S 四边形OACB )max ＝8＋534. [答案] A(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729C. 2D.928[解析] 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cos B ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sin B ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.[答案] D [解题方略]求解三角形中面积的范围(或最值)问题的方法一般要由题目已知条件(三角恒等关系式、边角大小等)结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．[针对训练]1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan A ＝43，a ＝4，则△ABC的面积的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选C 因为tan A ＝43，所以sin A cos A ＝43.又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos 2A ＝925，解得cos A ＝35或cos A ＝－35(舍去)，故sin A ＝45.又16＝b 2＋c 2－2bc ×35≥2bc －65bc ，所以bc ≤20，当且仅当b ＝c ＝25时取等号，故△ABC 的面积的最大值为12×20×45＝8.2．(2018届高三·沈阳调研)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．解析：由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得， 2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”， ∴bc ≤16，∴S 的最大值为8. 答案：8[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15. 2．(2018届高三·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )A.23B.14C.34D.16解析：选B ∵a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C ，又sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝13，∴sin A ＝14.4．(2017·惠州模拟)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2解析：选C y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32. 5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( ) A.75 B ．－75C.15D ．－15解析：选B 因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－sin 2α＝－75.6．(2017·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 B ．6sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 C ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3 D ．23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3 解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3. 7．(2017·福州模拟)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B＝2.8．(2017·云南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac .①又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.9．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4.若f (x 1)＜f (x 2)，则一定有( )A ．x 1＜x 2B ．x 1＞x 2C ．x 21＜x 22D ．x 21＞x 22解析：选D f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝14cos 4x ＋34.因为4x ∈[－π，π]，所以函数f (x )是偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减，由f (x 1)＜f (x 2)，可得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，所以|x 1|＞|x 2|，即x 21＞x 22.10．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．11．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 12．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.13．(2017·南京模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α＋⎝⎛⎭⎫π4＋α＝π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝13. 答案：1314．(2017·长沙模拟)化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝⎛⎭⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝27，∴sin A ＝1－cos 2 A ＝1－47＝37，∴tan A ＝sin A cos A ＝32. 答案：3216.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理可得50sin 30°＝DBsin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°) ＝252(3－1)．在△BCD 中，∠DCB ＝90°＋θ，所以25sin 45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin 45°＝252(3－1)cos θ，解得cos θ＝3－1. 答案：3－1[B 级——中档小题强化练]1．(2017·广州模拟)已知tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2θ＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选C 法一：由tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos 2θ＝15，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.法二：因为tan θ＝2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. 2．在△ABC 中，若tan A tan B ＝a 2b 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．等腰三角形D ．不能确定解析：选B 由已知并结合正弦定理得，sin A cos A ·cos B sin B ＝sin 2A sin 2B ，即cos B cos A ＝sin Asin B ，∴sin A cosA ＝sinB cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，2π3B.⎣⎡⎦⎤π6，π4C.⎝⎛⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎭⎫π6，π3解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a 时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 4．(2017·云南统一检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac－2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.5．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15166．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ，且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADC ，且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos ∠ADB ， ∵∠ADB ＝π－∠ADC ， ∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42，当AC ＝22时，AD 取最小值2，此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528，∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ＝7.答案：7[C 级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1 B.12 C ．3D.32解析：选A 根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，A ＝120°.因为△ABC 外接圆半径为12，所以由正弦定理得b ＋c ＝sin B ·2R ＋sin C ·2R ＝sin B ＋sin(60°－B )＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°)，故当B＝30°时，b ＋c 取得最大值1.2．(2018届高三·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：选C 由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ， ∴tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan Atan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．3．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin ∠BCA ，即32＝12×2×6×sin ∠BCA ，所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC ＞∠BDC ＝π4，所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠BCA ＝2＋6－2×2×6×32＝2，所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6，在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠ABC ，即622＝CD12，解得CD ＝ 3. 答案： 3。

高三数学考点知识归类解析与专题训练7---三角恒等变换与解三角形

的；
D：由正弦定理可知； a = b ，而 a cos A = bcos B ， sin A sin B
所以有
sin
A
cos
A
=
sin
B
cos
B
⇒
1 2
sin
2
A
=
1 2
sin
2B
⇒
sin
2
A
=
sin
2B
，
Q A, B ∈ (0,π )∴ 2A, 2B ∈ (0, 2π ) ，
于是有
2A
=
2B
或
2
A
故选 C.
6/9
二、填空题
13．太湖中有一小岛 C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测得小
岛在公路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 到达 B 处后，又测得小岛在南偏西 75°
的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
3 【答案】
6
【解析】如图所示，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，
6
解的个数是（）
A．0
B．1
C．2
D．不确定
【答案】C
【解析】在 ∆ABC 中，由余弦定理得 a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ，
2/9
所以 4 = 9 + c2 − 6c ⋅ 3 ，即 c2 − 3 3c + 5 = 0 ， 2
解得 c = 3
3+
7 或c = 3 3−
7 ，
2
△ABC
中，BC=
sin150 sin 600

专题检测(七) 三角恒等变换与解三角形

专题检测（七）三角恒等变换与解三角形A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题A ．－23B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3解析：选D tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3.故选D. A ．－157 B ．157 C ．－158D ．158解析：选B 法一：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝1515，则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×15151－⎝⎛⎭⎫15152＝157.故选B.法二：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝2sin θ·15sin θ(15sin θ)2－sin 2θ＝157.故选B.A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选B 法一：因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，因此sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32，所以sin 2α＝sin(α－β＋α＋β)＝－32×⎝⎛⎭⎫－32＋12×12＝1. 因为α为锐角，所以2α＝π2，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝12.故选B.法二：同法一可得，sin(α－β)＝－32，cos(α＋β)＝－32. 所以cos 2(α－β)＝2cos 2(α－β)－1＝2×⎝⎛⎭⎫122－1＝－12， sin 2(α－β)＝2sin(α－β)cos(α－β)＝2×⎝⎛⎭⎫－32×12＝－32.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a ＝4b ＝3c ，则可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k ＞0，则cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k＜0，所以C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形．故选C.A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°6．已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125 解析：选C 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C ，则在△ABC 中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β，∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β，∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100.故选C.二、填空题解析：如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC，∴ BD ＝BC ·sin ∠Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin [π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝45×22＋35×22＝7210. 答案：1225 7210答案：12∴3sin B ＋cos B ＝2,2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，∵0＜B ＜π， ∴B ＋π6＝π2，∴B ＝π3.又B ＋D ＝π，∴∠ADC ＝2π3.在△ACD 中，∠ADC ＝2π3，sin ∠CAD ＝2114，∴cos ∠CAD ＝5714，则sin ∠ACD ＝sin[180°－(∠ADC ＋∠CAD )]＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝32×5714＋⎝⎛⎭⎫－12×2114＝217，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠ACD ，即AC 32＝2217，∴AC ＝7.答案：734三、解答题(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝32×1114－⎝⎛⎭⎫－12×5314＝437. (1)求B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C ＞0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217， cos C ＝277，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.(1)求B ；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围．解：(1)锐角三角形ABC 中，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C ，故b 2＝a 2＋c 2－3ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝π6.(2)由(1)知，C ＝5π6－A ，故sin A ＋cos C ＝sin A ＋cos ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A －π6. 又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，C ＝5π6－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，A －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π3，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎭⎫12，32，故sin A ＋cos C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.B 组——大题专攻强化练(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由余弦定理得，CE ＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE cos ∠B ＝7，又BEsin ∠BCE ＝CE sin ∠B，所以sin ∠BCE ＝2114，因为∠B ＝∠CED ，所以sin ∠AED ＝sin ∠BCE ＝2114. (2)因为AB ∥CD ，所以∠CDE ＝∠AED ，所以sin ∠CDE ＝sin ∠AED ＝2114，在△CDE 中，CD sin ∠CED ＝CEsin ∠CDE ，所以CD ＝CE sin ∠CED sin ∠CDE＝7×322114＝7. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＝cos 2C2，(c －3b )sinC ＝(a ＋b )(sin A －sin B )．(1)求A 和B ；(2)若△ABC 的面积为3，求BC 边上的中线AM 的长．解：(1)因为(c －3b )sin C ＝(a ＋b )(sin A －sin B )，所以(c －3b )c ＝(a ＋b )(a －b )，所以a 2＝b 2＋c 2－3bc ，所以cos A ＝32，所以A ＝30°. 因为sin A sin B ＝cos 2C2.所以sin A sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C .因为B ＋C ＝150°，所以sin B ＝1＋cos(150°－B )，解得B ＝30°.(2)因为12ab sin C ＝3，C ＝120°，所以a ＝b ＝2.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以c ＝2 3.所以BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ，所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0＜A ＜π，所以A ＝π6.(2)因为a ＝2，所以由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ，所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B ，所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝4sin B ⎝⎛⎭⎫12cos B ＋32sin B ，即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B ＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3＋ 3. 因为0＜B ＜5π6，所以－π3＜2B －π3＜4π3，所以－32＜sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3≤1，所以0＜S △ABC ≤2＋ 3. 即△ABC 面积的取值范围为(0,2＋ 3 ]．(1)求△ABC 的外接圆直径； (2)求a ＋c 的取值范围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝1，所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，从而32＜ 3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤ 3，所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3.法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤ 3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤ 3，所以a ＋c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3.。

7小题专项集训三角恒等变换、解三角形

小题专项集训三角恒等变换、解三角形(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )．A ．－22B.22C.32D ．1 2．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数3．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于 ( )． A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π45．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )． A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )． A ．5 B ．25C.41D ．5 27．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是 ( )． A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于 ( )． A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A ．－255B ．－3510C ．－31010D.25510．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 ( )． A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题(每小题5分，共25分)11．在△ABC 中，若B ＝2A ，a ∶b ＝1∶3，则A ＝________. 12．已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________. 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A＝________.14．在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P .上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C 处，则轮船航行速度是________千米/时．15．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．小题专项集训三角恒等变换、解三角形(答案）(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )．A ．－22 B.22 C.32D ．1答案 B2．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案 A3．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于 ( )．A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°答案 C4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( )．A.π4B.3π4C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 答案 A5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A6．若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )． A ．5 B ．25 C.41 D ．5 2 答案 A7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是 ( )． A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 m D ．500 m 答案 D8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于 ( )． A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A ．－255 B ．－3510C ．－31010 D.255 答案 A10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 ( )． A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 答案 D二、填空题(每小题5分，共25分)11．在△ABC 中，若B ＝2A ，a ∶b ＝1∶3，则A ＝________. 答案 30°12．已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.答案－313．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A＝________.答案 π414．在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P .上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C 处，则轮船航行速度是________千米/时．答案 23015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．答案 32。

高考数学二轮复习：专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形

高考数学二轮复习：专题训练（七）三角恒等变换与解三角形高考数学二轮复习：专题训练（七）三角恒等变换与解三角形专项培训（七）三角恒等式变换与三角求解a级――基础巩固组一、多项选择题π24－，0?，然后sinα＋cosα＝1已知sin2α＝1，α∈?? 4.二百五十一a．－57c.－51b。

57d。

五π－，0?，∴cosα>0>sinα和cosα>sinα，然后sinα＋cosα＝1＋sin2α＝分析∵ α ∈?? 4.二百四十一1－＝.255答案bπ? 1π＋α＝，则cos?－2α?等于()2．若sin??4?3?2?4242a、 b.－9977c。

d、－99π?解析据已知可得cos??2－2α?＝sin2αππ7＋α?＝－? 1－2sin2？＋α??＝－.＝－ cos2？？4.4.9答复Dπ43π?α＋2π?等于α＋?＋sinα＝－3．(2021河北衡水一模)已知sin?，－四a．－543c。

d、 55π43πα＋?＋sinα＝分析∵ 罪？，－314sinα＋cosα＝－.225一3b、－52π2π2π134α＋?＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.∴cos?3??33225答案c4.（2022年江西卷）年△ ABC，内角a、B和C的对边分别是a、B和C。

如果C2=（a-b）2π+6，C=，然后是△ ABC是（）3九十三a．3b.233c。

d、 332分析∵ C2=（a-b）2+6，∵ C2=A2+b2-2ab+6①ππ∵c＝∴c2＝a2＋b2－2ABC＝a2＋b2－ab。

②33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.11333∴s△abc＝absinc＝×6×＝.2222答案c5．(2021江西七校联考)在△abc中，若sin(a－b)＝1＋2cos(b＋c)sin(a＋c)，则△abc的形状一定是()a、等边三角形B.不带60°C的等腰三角形D.直角三角形解析sin(a－b)＝1＋2cos(b＋c)sin(a＋c)＝1－2cosasinb，∴sinacosb－cosasinb ＝1－2cosasinb，∴sinacosb＋cosasinb＝1，即sin(a＋b)＝1，π则有a＋b＝，故三角形为直角三角形．2答案Dc－b6.（2022年第二次模拟考试）已知角度ABC、a、B和C的相对角度分别为a、B、C和=C Asina。

三角恒等变换与解三角形(题型归纳)

三角恒等变换与解三角形【考情分析】1.考查特点：由于新高考删除了解答题的选做题，三角函数与解三角形成为新高考全国卷六大解答题的必选内容.在命题数量上“一大二小”的趋势比较明显，主要考查三角恒等变换、解三角形，另外三角函数及解三角形题和数列题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上，考查难度中等，这两个题目有时会有一道题设计成“结构不良”试题.2.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模.【题型一】三角恒等变换【题组练透】1．（2021·山东省淄博实验中学高三一模）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为10.6182m -=≈，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比10.6182m =≈，它还可以近似表示为2sin18︒，则sin 78m︒+︒的值近似等于（）A ．12B ．1C ．2D【答案】B【解析】由题()2sin 30122sin18sin 78sin 78sin 78m ︒︒︒︒︒+︒-︒++==︒︒=12cos122cos12cos121sin 78sin 78cos12⎛⎫︒+︒-︒ ⎪︒︒⎝⎭===︒︒︒，故选：B ．2．（2021·湖北十堰高三模拟）已知()2sin 3αβ+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【答案】D【解析】由题意可得，2sin cos cos sin 3αβαβ+=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，所以1sin cos 2αβ=，1cos sin 6αβ=，所以tan sin cos 3tan cos sin ααββαβ==.故选：D.3.（2021·江苏盐城高三三模）满足等式)()(1tan 1tan 2αβ--=的数组)(,αβ有无穷多个，试写出一个这样的数组______.【答案】30,4π⎛⎫⎪ ⎭⎝【解析】由)()(1tan 1tan 2αβ--=，得1(tan )tan tan 2tan αβαβ-++=，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-，所以tan tan tan tan 1tan()11tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+-+===---，所以3,4k k Z παβπ+=+∈，所以取34αβπ+=，所以)(,αβ可以为30,4π⎛⎫⎪ ⎭⎝.4.（2021·济南市历城第二中学高三一模）已知ππ1sin cos 883θθ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin 4θ=______.【答案】2319【解析】由ππ1sin cos 883θθ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得π2sin 243θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故π2sin 243θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；22ππ21sin 4cos 412sin 2122439θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【提分秘籍】1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【题型二】正弦定理与余弦定理解三角形【典例分析】【典例】（2021·山东德州市·高三二模）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin cos c B C -=．（1）求角B 的大小；（2）若3a =，2c =，D 为BC 边上一点，15CD DB =，求sin BDA ∠的值．【解析】（1sin cos c B C -=sin sin cos A C B B C -=，cos cos sin sin cos B C C B C B B C +-=cos sin sin 0C B C B -=，因为sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为3a =，15CD DB =，所以12CD =，52DB =，ABD ∆中，由余弦定理得，222551212()222224AD =+-⨯⨯⨯=，所以212AD =，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，故32272sin 7BDA ⨯∠==．【变式探究1】本例第（1）问变条件，sin cos c B C -=”，改为“sin sin sin A B a cC a b--=+”，求求角B 的大小【解析】ABC ∆中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==及sin sin sin A B a cC a b--=+，知a b a cc a b--=+，所以222a c b ac +-=，由余弦定理知2222cos a c b ac B +-=，所以2cos ac B ac =，所以1cos 2B =，又(0,)B π∈，所以3B π=．【变式探究2】本例第（2）问变设问，若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且___，求ABC ∆的面积．（从①BD 为B ∠的平分线，②D 为AC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．)【解析】①BD 为B ∠的平分线，3b =，所以6ABD BDC π∠=∠=，因为ABC ABD BDC S S S ∆∆∆=+，所以11112242222a c =⨯⨯+⨯⨯22a c =+，由余弦定理得，222b a c ac =+-，所以2239()3()34a c ac ac ac =+-=-，解得6ac =或2ac =-（舍)，所以ABC ∆的面积33342S ==；②D 为AC 的中点，3b =，则32AD DC ==，因为ADC BDC π∠=-∠，所以22222233(2()22233222222c a +-+-=⨯⨯⨯⨯，整理得2225a c +=，由余弦定理得，2229b a c ac =+-=，所以72ac =，所以ABC ∆的面积S ==【提分秘籍】1.正、余弦定理的适用条件:(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”采用正弦定理解决问题;(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理解决问题.2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质和三角形的面积公式,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,一般地,若已知条件中的等式两边含有角的正弦、余弦或边的一次式,则考虑使用正弦定理将边化为角(或将角化为边),若含有角的余弦式或边的二次式,则考虑使用余弦定理.【题型三】解三角形的综合问题【典例分析】【典例】（2021·广东深圳市·高三一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos )b a C -=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2(sin sin cos )B A C C -=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ ，2cos sin A C C ∴=，又sin 0C ≠ ，2cos A ∴=3cos2A ∴=，故在ABC ∆中，30A =︒；（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，222242cos30(2b c bc b c bc ∴=+-︒=+-，4(2bc∴+，ABC ∴∆面积11sin 224S bc A bc ==+．故ABC ∆面积的最大值为2+．【提分秘籍】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围【变式演练】（2021·浙江高三模拟）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ﹐且满足222)S a b c =+-．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B ⋅的最大值．【解析】（1）解：由题意可知13sin 2cos 24ab C ab C =⨯．所以tan C =因为0C π<<，所以3C π=；（2）解：由已知sin sin A B ⋅sin sin()A C A π=⋅--2sin sin()3A A π=⋅-11111sin (sin )22sin(2)22444264A A A A A A π=⋅+=-+=-+．因为270,23666A A ππππ<<∴-<-<,所以262A ππ-=即3A π=时，sin sin AB ⋅取最大值34.所以sin sin A B ⋅的最大值是34．1．（2021·山东师范大学附中高三模拟）函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为（）A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()sin cos cossin sin 66f x x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 244x x -=+11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令2,6x k k ππ-=∈Z ，可得,212k x k ππ=+∈Z ，则函数()f x 的图象的对称中心为1,,2124k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，因此函数()f x 的图象的一个对称中心为1,124π⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C 2．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，30B =︒，ABC 的面积为32，则b =（）A ．132B ．1+C ．223+D ．2+【答案】B【解析】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，平方得22242a c b ac +=-，又ABC 的面积为32，且30B =︒，故由1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，得6ac =，222412a c b ∴+=-，由余弦定理得22222241243cos 22642a cb b b b B ac +----====⨯，解得24b =+，又b 为边长，1b ∴=+，故选B .3．（2021·宁波市北仑中学高三模拟）若3cos 63πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos cos 3παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（）A ．223-B ．223±C ．1-D ．±1【答案】C【解析】cos 63πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，(66ππαα=-+，366πππαα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，cos cos[()cos(cos sin(666666ππππππαααα∴=-+=---，cos cos cos()cos sin()sin 3666666πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.cos cos 2cos()cos 2()136632πππααα⎛⎫∴-+=-=⨯-⨯- ⎪⎝⎭.故选：C4．（2021·浙江温州市·温州中学高三模拟）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则b ca+的取值范围是（）A ．)2+B ．)1,3+C ．()2D ．()3,+∞【答案】A【解析】由正弦定理得()sin sin sin sin sin 2sin cos 2cos sin 22cos sin sin sin B A B b c B C A A A A AA a A A A++++++====2222152cos 12cos 4cos 2cos 14(cos )44A A A A A -+=+-=+-+.因为ABC 为锐角三角形，所以0,20,202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩即0,202,2032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩所以64A ππ<<，所以cos 22A <<，所以b c a +的取值范围是)2+.故选：A.5．（2021·安徽师范大学附属中学高三模拟）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，2,2sin 3cos ,a c A C ABC == 的面积为3，则c =（）A．B．CD．【答案】C【解析】因为a ＝2，2c sin A ＝3cos C 32=a cos C ，由正弦定理可得：2sin C sin A 32=sin A cos C ，因为()0,A π∈故sin A ≠0，所以2sin C 32=cos C ，可得：4sin C ＝3cos C ＞0，又sin 2C +cos 2C ＝1，可得，cos C 45=，sin C 35=，∵△ABC 的面积为312=ab sin C 35b =，∴b ＝5，则由余弦定理可得，2224255225c +-=⨯⨯，∴c =．故选：C ．6．（2021·湖北十堰市·高三模拟）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；已知3a =，()()3sin sin sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C B C +--+=，则ABC 的面积的最大值为（）A ．154B ．3154C ．14D ．34【答案】B【解析】由()()3sin sin sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C B C +--+=，得2221sin sin sin sin sin 2A B C B C --=-，由正弦定理得22212b c a bc +-=，得1cos 4A =.因为0A π<<，所以sin A =.由3a =，得22192b c bc =+-，所以1922bc bc ≥-，解得6bc ≤，当且仅当b c ==时取等号，所以1sin 24ABC S bc A =≤△.故选：B 7．（多选题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边外别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形C ．sin sin sin +=+a b cA B CD ．若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC 为钝角三角形【答案】ACD【解析】由A B >可知a b >，再根据正弦定理可得sin sin a bA B=，所以sin sin A B >，故A 正确；由cos cos a bB A =及正弦定理可知sin cos sin cos A B B A=，即sin 2sin 2A B =，又,(0,)A B π∈所以22A B =或22A B π+=，可知ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；由正弦定理知，()2sin sin 2,2sin sin sin sin sin R B C a b cR R A B C B C++===++，故C 正确；因为tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B A B C++=+-+tan (1tan tan )tan C A B C =--+tan tan tan 0C A B =<，又,,(0,)A B C π∈，故,,A B C 中有且只有一个角为钝角，故D 正确，故选ACD8．（多选题）（2021·山东泰安市·高三期中）设,,a b c 分别为△ABC 的内角,,A B C 的对边，下列条件中可以判定△ABC 一定为等腰三角形的有（）A ．cos cos a A bB =B ．cos cos a B b A =C ．sin sin b B c C =D ．2cos a b C=【答案】BCD【解析】A ：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，有A B =或2A B π+=，错误；B ：sin cos cos sin A B A B =，即in 0()s A B -=，在三角形中必有A B =，正确；C ：22sin sin B C =，在三角形中必有B C =，正确；D ：sin 2sin cos A B C =，而A B C =+，所以sin()0B C -=，在三角形中必有B C =，正确；故选BCD.9．（2021春•湖南月考）ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，2b =，sin sin 2B A =，则()A ．42sin9B =B ．1cos 3A =-C ．3c =D ．ABC S ∆=【答案】ACD【解析】因为sin sin 2B A =，所以sin 2sin cos B A A =，由正弦定理得2cos b a A =．又3a =，2b =，所以1cos 3A =，22sin 3A =，42sin 9B =．又b a <，所以7cos 9B =，1cos cos()cos cos sin sin cos 3C A B A B A B A =-+=-+==，所以3c a ==，11sin 2322ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯故选：ACD ．10．（2021·北京高三二模）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在ABC 中，若1,2AF FD ==，则AB =___________.【解析】由题意EFD △为等边三角形，则3EDA π∠=,所以23BDA π∠=根据条件AFC △与BDA V 全等，所以1AF BD ==在ABD △中，3,1AD BD ==2222cos AB AD BD AD BD BDA=+-⨯⨯⨯∠22131213132⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以AB =11．（湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）数学试题）托勒密（Ptolemy ）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，,AC BD 是其两条对角线，AB AD =，120BAD ∠= ，6AC =，则四边形ABCD 的面积为_____．【答案】9．【解析】在ABD △中，设AB a =，由余弦定理得：22222cos 3BD AB AD AB AD BAD a =+-⋅⋅∠=，所以BD =，由托勒密定理可得()a BC CD AC +=，即BC CD +=，又30ABD ACD ∠∠== ，所以四边形ABCD 的面积11sin 30sin 3022S BC AC CD AC =⋅+⋅⋅ 213()44BC CD AC =+⋅==．12.（2021·浙江温州市·高三其他模拟）如图所示，在ABC 中，已知3sin 3A =，D 为边AB 上的一点，且满足5,33AD CD BCD π==∠=，则sin B =_________，BD =__________．【答案】2236+3-【解析】令BDC α∠=，因为53AD CD ==，所以21cos cos 212sin 3A αα==-=，所以22sin 3α=，223sin sin sin cos cos sin 3336B πππααα⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭，在BCD △中，由正弦定理得sin sin 3BDCD B π=，解得sin 3sin 3CD BD B π=⋅=-．13．（山东菏泽2021届高三数学二模试题）如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=.求：（1）BD 的长度；（2）三角形ABD 的面积.【解析】（1）在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos 14221144BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则2BD =；（2）在ABD △中，1803045105BAD ∠=︒-︒-︒=︒，()2236sin sin105sin 45602224122BAD ∠=︒=︒+︒=⨯+⨯，由正弦定理可得sin sin AD BD ABD BAD=∠∠，所以)2sin 45221sin1022564BD AD ⨯⋅︒==︒，则)1sin 212sin 301122ABD S AD BD ADB =⋅∠=⨯-⨯⨯︒=- .14．（2021·江苏南通市·高三一模）在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.（1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】解法一：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，即2sin cos sin B C B =.因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =.又()0,C π∈，所以3C π=.解法二：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以222222a c b a b c ac+--=⋅，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又()0,C π∈，所以3C π=.选择条件②：因为()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，所以()()()a c a c b a b +-=-，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又()0,C π∈，所以3C π=.选择条件③：因为()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，所以()sin sin sin 12s n 12i C A B b c a b C a c =+-，从而222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.又()0,C π∈，所以3C π=.（2）因为2c =，所以243sin 3sin 3c C π==，从而8343233a b A B -=-8343sin 333A A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos A A =-4sin 6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为203A π<<，所以662A πππ-<-<，从而1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以2a b -的取值范围为。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形中常用的方法之一。

通过利用三角函数之间的关系，可以简化复杂的三角形问题，从而解决解题难题。

本文将介绍常见的三角恒等变换，并结合实例来说明其在解三角形问题中的应用。

一、三角恒等变换的定义三角恒等变换指的是一些等式或关系式，通过其变换可以得到与原三角函数等价的另一种表达式。

这些变换可以方便我们在求解三角形问题时进行化简和变形。

下面将介绍几种常见的三角恒等变换：1. 余弦定理余弦定理是三角形中常用的恒等变换之一，可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理表达式如下：\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)表示三角形的边长，\(C\)表示夹角\(c\)的对应角。

2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的恒等变换。

正弦定理表达式如下：\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)表示三角形的边长，\(A\)、\(B\)、\(C\)表示三角形的对应角度。

3. 余角恒等变换余角恒等变换可以将三角函数中的一个角的正弦、余弦、正切、余切等函数转化为另一个角的相应三角函数表达式。

例如，\(sin(\pi -\theta) = sin\theta\)、\(cos(\pi - \theta) = -cos\theta\)等。

二、三角恒等变换在解三角形中的应用三角恒等变换在解三角形问题中是十分有用的。

通过对已知条件进行恒等变换，可以从中发现一些隐藏的关系，从而简化问题。

例如，已知三角形的两边和一夹角，可以使用余弦定理求解第三边的长度。

而当已知三角形的两边和三个角度之一时，可以使用正弦定理求解三角形的三个角度。

通过利用三角恒等变换，可以将复杂的计算问题转化为简单的代数计算，进而解决三角形问题。

下面通过一个具体的例子来说明三角恒等变换在解三角形中的应用。

高中数学经典好题-第7讲三角恒等变换与解三角形(3大考点+强化训练)

第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）[考情分析]1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．知识导图考点分类讲解考点一：三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.规律方法三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)弦、切互化：一般是切化弦．考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用1．正弦定理：在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝a 2R ，sin B＝b 2R ，sin C＝c2R ，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bccos A.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A，cos A＝b 2＋c 2－a22bc.3．三角形的面积公式：S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.考向1：正弦定理、余弦定理一、单选题1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．4C ．4D 2．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则A 的取值范围是（）A ．（0，6π]B ．[6π，π）C ．（0，3π]D ．[3π，π）3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos3A =，则b=（）A BC ．2D ．34．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．在ABC ∆中，cos2C =，则AB=（）A ．BC D ．二、多选题6．（2022·全国·高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．27．三角形ABC 的三边,,a b c 所对的角为,,A B C ，221(sin sin )sin sin cos A B A B C --=+，则下列说法正确的是（）A ．π3C =B ．若ABC 面积为ABC 周长的最小值为12C ．当5b =，7c =时，9a =D ．若4b =，π4B =，则ABC 面积为6+三、填空题8．（2022·全国·高考真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．四、解答题9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1231,sin 23S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ．考向2:解三角形中的最值与范围问题规律方法解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b 与ab 相互转化求最值范围．(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．一、解答题1．（2023·河南开封·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，且2sin sin b cB C+=+.(1)求a ；(2)若ABC ，求ABC 的周长.2．已知函数()2sin 1222x x f x x =-+.(1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足221cos 2a b ac B bc -=-，求()f B 的取值范围.3．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22sin sin sin sin sin sin sin B C B CA A A+=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =，求ABC 面积的最大值以及周长的最大值.4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，sinCa b =+．(1)求角B 的值；(2)若2a =，求ABC 的周长的取值范围．考点三:解三角形的实际应用解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．规律方法解三角形实际问题的步骤①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角11,αβ；B 点到M ，N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离d ……….②第一步：计算AM .由正弦定理()212sin sin d AM ααα=+；第二步：计算AN .由正弦定理()221sin sin d AN βββ=-；第三步：计算MN .由余弦定理()22112cos MN AM AN AM AN αβ=+-⨯-一、解答题1．如图，某城市有一条从正西方()MO 通过市中心O 后转向东偏北60︒方向()ON 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,OM ON 上分别设置两个出口,,A B B 在A 的东偏北θ的方向（,A B 两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于,A B 之间相距较远，计划在,A B 之间设置一个服务区P ．(1)若P 在O 的正北方向且2km OP =，求,A B 到市中心O 的距离和最小时tan θ的值；(2)若B 在市中心O 的距离为10km ，此时P 在AOB ∠的平分线与AB 的交点位置，且满足2211OP BP OP BP +≥⋅，求A 到市中心O 的最大距离．2．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？3．为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤.强化训练一、单选题1．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．4732．（2021·全国·高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A B C D3．若sin 25α=，()sin βα-=,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（）A ．74πB ．94πC ．54π或74πD ．54π或94π4．如图，在ABC 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD =，则ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．4CD ．5．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A B C ．D ．6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75 ，30 ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．1)m B ．1)m C ．1)m -D ．1)m7．已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A ．1s3B ．2s3C ．1sD ．4s3二、多选题9．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．不存在点Q ，使得11//C Q ACB ．存在点Q ，使得11C Q A C⊥C ．对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为D ．对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形10．（2024·四川成都·模拟预测）已知ABC 中，4AB =，3A π=．下列说法中正确的是（）A ．若ABC 是钝角三角形，则02AC <<B ．若ABC 是锐角三角形，则BC <<C ．AC BC 的最大值是3D ．2AC BC +的最小值是2+11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点,,B D B 在D 的正北方向，距离为2km ，在某天10：00观察到某航船在C 处，此时测得45,5CBD ∠= 分钟后该船行驶至A 处，此时测得30,60,30ABC ADB ADC ∠∠∠=== ，则（）A ．观测点B 位于A 处的北偏东75 方向B ．当天10：00时，该船到观测点B C ．当船行驶至A 处时，该船到观测点B D ．该船在由C 行驶至A 的这5min 三、填空题12．（2024·北京平谷·模拟预测）若ABC 的面积为()22214b c a +-，且C ∠为钝角，则A ∠=；cb的取值范围是．13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，位于第一象限的点P 在C 上，O 为坐标原点，且满足PO PF =，则OPF △外接圆的半径为.14．（2024高三·江苏·专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，点O 为ABC 的内心，记△OBC ，,OAC OAB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=，2AB =，若ABC 为锐角三角形，则AC的取值范围为.四、解答题15．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）在凸四边形ABCD 中，记,,,AB a BC b CD c DA d ====，四边形ABCD 的面积为S ．已知180B D +=︒．(1)证明：()22222cos ab cd B a b c d +=+--；(2)设2a b c d p +++=，证明：S =(3)若1b c d ===，求四边形ABCD 面积的最大值．16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数21()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+->．(1)当1ω=时，求函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域；(2)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2π,0,2A f a AD ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求ABC 的面积．17．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .18．（23-24高三下·天津·开学考试）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c -+=，△ABC 的面积为24.(1)求tan B ；(2)若1b =，求sin sin A C ；(3)求cos 3B 的值.19．（2024高三·江苏·专题练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sinsin 2B C c a C +=；②sin 31cos a C c A =-；③ABC 的面积为()22234b c a +-，求sin sin B C 的取值范围.。

数学(理)知识清单-专题07 三角恒等变换与解三角形(考点解读)(原卷+解析版)

（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求 AC 边上的高．
1.【2017 山东，理 9】在 C 中，角，，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 C 为锐角三角形，
且满足 sin 1 2cos C 2sin cos C cos sin C ，则下列等式成立的是
（A） a 2b
（B） b 2a
（C） 2
△BDC 的面积是______，cos∠BDC=_______．
4【. 2017 课标 II，理 17】ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ，已知 sin A C 8sin2 B ，
2 （1）求 cos B ；
（2）若 a c 6 ， ABC 的面积为 2 ，求 b 。
b+c=2a cos B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC 的面积 S = a2 ，求角 A 的大小. 4
3.【2016 高考山东理数】（本小题满分 12 分）
在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
2(tan
1.【2016 高考新课标 2 理数】若 cos( ) 3 ，则 sin 2 （）
4
5
（A） 7 25
（B） 1 5
（C） 1 5
（D） 7 25
2.【2016
高考新课标
3
理数】若
tan
3 4
，则 cos2 2 sin 2 （
）
(A)
64 25
(B)
48 25
(C) 1
(D)
16 25
（D） 2
2.【2017 北京，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对

高考数学一轮总复习小题专项集训(七)三角恒等变换、解三角形增分特色训练理湘教版

小题专项集训七三角恒等变换、解三角形时间：40分钟满分：75分一、选择题每小题5分，共50分1．计算in 68°in 67°－in 23°co 68°的值为．A．－错误!D．1解析原式＝in 68°co 23°－co 68°in 23°＝in68°－23°＝in 45°＝错误!答案 B2．函数＝2co2错误!－1是．A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为错误!的奇函数D．最小正周期为错误!的偶函数解析因为＝2co2错误!－1＝co错误!＝in 2，故T＝π，选A答案 A3．2022·湖北八校联考在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!，BC＝错误!，那么A等于．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以in A＝错误!，又由题知0°0，于是有co BB>C,3b＝20a co A，则in A∶in B∶in C为．A．4∶3∶2 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4解析由题意可设a＝b＋1，c＝b－1又∵3b＝20a·co A，∴3b＝20b＋1·错误!整理得，7b2－27b－40＝0解得，b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，即in A∶in B∶in C＝a∶b∶c＝6∶5∶4答案 D二、填空题每小题5分，共25分11．2022·北京西城二模在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶错误!，则A＝________ 解析据已知得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，即co A＝错误!，解得A＝30°答案30°12．2022·济南模拟已知in ＝错误!，∈错误!，则tan错误!＝________ 解析∵in ＝错误!，∈错误!，∴co ＝－错误!＝－错误!，∴tan ＝－错误!∴tan错误!＝错误!＝错误!＝－3答案－313．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝错误!b2＋c2－a2，则A ＝________解析S＝错误!×2bc co A＝错误!bc in A⇒tan A＝1⇒A＝错误!答案错误!14．2022·浙江金华十校联考在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站a＝错误!＋1＝错误!答案错误!。

高考数学一轮总复习小题专项集训(七) 三角恒等变换、解三角形增分特色训练理湘教版

小题专项集训(七) 三角恒等变换、解三角形(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )． A ．－22B.22C.32D ．1解析原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 答案 B2．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，故T ＝π，选A. 答案 A3．(2013·湖北八校联考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )．A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°解析由正弦定理知BCsin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知0°<A <120°，所以A ＝45°，故选C. 答案 C4．(2013·深圳调研)已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析因为α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4，故选A. 答案 A5．(2013·郑州六校质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析依题意得sin Csin B<cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sinB cos A ＋cos B sin A －sin B ·cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.答案 A6．(2013·浙江五校联考)若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( )．A ．5B ．25 C.41 D ．5 2解析由S △ABC ＝12ac sin 45°＝2，得c ＝4 2.所以b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝1＋32－2×1×42×22＝25.∴b ＝5. 答案 A7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )．A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析由题意画出示意图，设塔高AB ＝h m ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h m ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h m ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，得3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解得h ＝500(m)．答案 D8．(2013·泉州质检)△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于 ( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝12，又0°<B <180°，所以B ＝60°，选B. 答案 B9．(2012·东莞调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.答案 A10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sinC 为 ( )．A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b － 1. 又∵3b ＝20a ·c os A ，∴3b ＝20(b ＋1)·b 2＋b －2－b ＋22b b －.整理得，7b 2－27b －40＝0.解得，b ＝5，故a ＝6，b ＝5，c ＝4，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 答案 D二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2013·北京西城二模)在△ABC 中，若B ＝2A ，a ∶b ＝1∶3，则A ＝________.解析据已知得a b ＝sin A sin B ＝sin A sin 2A ＝12cos A ＝13，即cos A ＝32，解得A ＝30°. 答案 30°12．(2012·济南模拟)已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析 ∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－1－sin 2x ＝－255，∴tan x ＝－12.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－12－11－12＝－3. 答案－313．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________.解析 S ＝14×2bc cos A ＝12bc sin A ⇒tan A ＝1⇒A ＝π4.答案π414．(2012·浙江金华十校联考)在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P .上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C 处，则轮船航行速度是________千米/时．解析 PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，∠APB ＝60°，∠APC ＝30°，PA ＝1千米，从而BC ＝303千米，于是速度v ＝BC ÷16＝230(千米/时)．答案 23015．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以f (x )max＝12＋1＝32.答案 32。

专题7 三角恒等变换与解三角形

专题7 三角恒等变换与解三角形考点展示1、若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 2_______3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2、在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC 的值为________3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c。

若)cos cos c A a C -=，则cos _____A =4、在锐角三角形ABC 中，BC=1，B=2A ，则cos AC A 的值等于_______,AC 的取值范围为______5、在△ABC 中，45cos ,cos 513A B ==，则cosC=_________ 样题剖析例1 已知150,tan 222tan 2πααα<<+=，求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值例2如图，甲船以每小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。

当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的1B 处，此时两船相距20km ；当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的2B 处，此时两船相距A 2A 1B 1B 2120°105°北甲乙km 。

问：乙船每小时航行多少千米？例3 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan ,sin()cos cos cos A B C B C C A B+=-=+。

（1）求A 、C ；（2）若3ABC S ∆=+，求a,c例4 等腰三角形ABC 腰上的中线BD 为定长l ，当顶角α变化时，求△ABC 面积的最大值自我测试1、若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan _____αβ=2、在△ABC 中，3,4AB BC AC ===,则边AC 上的高为__________3、在△ABC 中，a,b,c 分别为角A 、B 、C 的对边。

三角恒等变换与解三角形(小题练)理

最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）A 级一一12 + 4提速练A. — 1C.y/3a ,整理得 1+¥sin a = 2 + f cos a故 tan a = 1.(优质试题•全国卷n )在^ ABC 中, cosjV 5, BC= 1, 2 5B.倔D. 2&1 A-1D A /2 =ta ncos a sin a + cos课时跟踪检测（三）三角恒等变换与解三角形（小题练）、选择题-河北保定一模）已知cosnsin a —-3 ,贝0tan a 的值为（1解析：选B 由已知得2Cos a1a = 2Sina 再cos2.（优质试题•福州模拟）^/3cos 15° —4sin 215° cos15°AG= 5, 则 AB=(B . 1 D.,即 sin a = cos a ,C. 13.A.最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）C y[5 2Cy[5 2 • cos2= 5 ，二 cos C = 2cos 2 — 1= 2x2 5 2 53-1 =—-.在^ ABC 中，由余弦定理，得 A B = A C + B C -52AC- BC- cos C = 5 + 1 — 2X 5X 1 x — 5 = 32,— AB= 4^/2.sin a4. （优质试题•唐山模拟）已知a 是第三象限的角，且tan a =2, r r n 贝y sin a +匸 A.C .3低 10解析：选 C 因为是第三象限的角, tan a = 2，且雪Sin a —羊，则Sin5 5na+7 =sin nn a cos7 +cos a sin ~4響选C.解析：选A所以 COS a11 + tan 2最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）5.（优质试题•武汉调研）在^ ABC 中, a , b , c 分别是角A ,B, C 的对边，且 2b cos C = 2a + c ,贝U B =( )2n Dp解析：选 D 因为2b cos C -2a + C ,所以由正弦定理可得2sin B cos C = 2sin A + sin C = 2sin( B + C +sin C = 2sin B cosC + 2cos B sin C + sin C 即 2cos B sin C = — sin C中，内角A B, C 的对边分别为a , b , c ,若^ ABC 的面积为S,且 2S = （a + b ）2— c 2,贝y tan C 等于（）又 sin C M 0,所以 cos B = — 2,又 0<B <n,所以 B =,故选 D.6.已知3cos 2a =4sin4,则 sin 2a7 A -6 B.1 C-1D.解析：选由题意知 3(cos 2a — sin 2a ) = 2边(cos asin a ），由于,因而 cos a M sin a ,则 3(cos a+ sin a ) = 2y[2,那么 9(1 + sin 2 a ) = 8, sin 2197.（优质试题届高三•昆明三中、玉溪一中联考)在^ ABC最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）3 A-4解析：选 C 因为 2S = (a + b )2— c 2= a 2+ b 2— c 2+ 2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C = 2ab cos C + 2ab ,即sin C — 2cosC = 2，所以(sin C-2cos 0* 4, s in 2C —伽 C =os C + 4曲°2tan C 一 4tan C + 4 4 .=4,所以 ----- t an 2c+ 1 ---- = 4,解得 tan C = — 3或 tan C = 0(舍DA /3对于 b 2= ac ,由正弦定理，得 sin 2B = sin A sin C^-^^3• sin C ,4 B.3sin 2C + cos 2C8.（优质试题•洛阳模拟）在^ ABC 中，角A , B , C 的对边c 成等比数列，且 a 2= C 2+ ac — bc ,分别是a , b , c , 若a , b , 解析：选由a , + b — bc ,由余弦定理得c 成等比数列得b 2= ac ,则有a 2 = c2 cos2b+2；「a =釜=2 故 A =专.b ,最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）匚-心-卫』-李故选B. C由正弦定理，得b sin —B 二sF^二击— 2 sin9.（优质试题届高三•广西三市联考)已知X e (0 ,n )，且n 2cos 2x —"2 = sin x ,1 A -3B . C. 3D . 解析：选A 由ncos 2x — — = sin得 sin 2 x = sin 2x ,・.x e (0 ,n )，二 tann X= 2，二tan X -匸tan X — 1 11 +tan X — 3.10.（优质试题•广东佛山二模）已知tan a +n4 = 4,则4 4cos 2n — a —(7 A.25 9 B-25 16 CN24解析：选B由tan1 + tan1 — tan34，解得tan a7,所以cos 2n 1 + cos ~2 — 2 a21 + sin2 a 1— +2 2 +最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）tan A 所以 tan A = 2tanB 所以 m= tonpu2.12.（优质试题•南宁、柳州联考）在^ABC 中，角A B, C所对的边分别为a , b , c ,若bc = 1, b + 2c cos A = 0,则当角B 取得最大值时，△ ABC 的周长为（）A. 2 + 2B. 2 + V 2 D. 3 + ^2b 2+ 解析：选A 由已知b + 2c cos A = 0，得b + 2c • 2 2 ,2 2 20,整理得 2b 2= a 2 — c 2.由余弦定理，得 cos B = a 一2^^ = ^40^^sin a cos a tan a sin a cos a ，又 sin a cos af 2a + cos 2 a = tan 2 a + 1 si n7 J 9 50,故2 +sin a cos a =方. 11.（优质试题•福州模拟）已知tan a + 3 + Y m^tan__a — 3 + Y若 sin [2( a + Y )] = 3sin 2 3 ,贝U m ^ ( )1A-2 3 B.4 3 C-2D. 2解析：选 D 设 A = a + 3 + Y , B = a — 3 + Y ,贝2( a+ Y ) = A + B,2 3 = A — B,因为 sin [2( a + Y )] = 3si n2所以 sin( A + B ) = 3si n( A — B )，即 sinA cosB + cos A sin B = 3(sin A cos B — cos A sin B )，即 2cos A sin B = sin A cos B,2 2c — a2bc最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）>=¥，当且仅当a = {3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a = &c 代入2b 2= a 2— c 2可得b = c .又bc = 1,所以b =c =1, a =羽.故^ ABC 的周长为2 +羽.故选A.二、填空题答案：3解析：依题意知/ABC 中,由余弦定理知AB=pAC + B C — 2AC ・ B@OS 120 °= ^7? = B a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为77a 海里.答案：yfi a15.（优质试题•贵州模拟）已知△ ABC 中，角A B, C 所对的边分别为a , b , c ,且满足a = 4, a sin B =/3b cos 代若^13.（优质试题•全国卷□）已知tan a54n= 1，则 tan a解析：tan5n V =tan tan a — 1 1 5,1 + tan a 解得tan a3 214.（优质试题•贵州模拟）如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站 C 的距离分别为 a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站 C 的北偏东20° ，灯塔B 在观察站C 的南偏东40° ，贝y 灯塔A 和B 的距离为A海里.ACB= 180°— 20°— 40°= 120°,在厶最新高考数学二轮复习经典专题（附详解）43—念飞-V 2 = 6.答案：6B 级一一难度小题强化练ABC 的面积S = 4寸3,贝y b + c = _______ .解析：由正弦定理，得 sin A sin B ={3sin B cos A ,又 sin B M 0,— tan A =#3,.・.A = -3. 由S = 2bc X = 4寸3,得bc = 16,由余弦定理得,16 = b 2+ c — bc ,.・.c + b = 32,— b + c = 8.答案：816.（优质试题•成都模拟）如图，在直角梯■■■形 ABDE 中，已知/ ABD=Z ED = 90°, C 是 BD 上一点，AB^ 3 — ^3,/ AC = 15°, / EC = 60°, / EAC = 45°，则线段DE 的长度为解析：易知/ ACE= 105° ,/ AEC= 30°,在直角三角形 ABC 中，心sin 15 °，在三角形AEC 中, i AC ° = i 45" ° ? CEsin 30 sin 45人0：05° ，在直角三角形 sin 30CED 中，DE= CEd n 60 °，所以DE = CE>i n 60°sin 45 ° sin 30 ° sin 60 ° ABXsin 15 °GO*「I45*A15/i解析：选 C 由同角三角函数的基本关系可得si n 20 +cos 20 = 1,所以(sin 0 + cos 0) 2= 1 + 2sin 0 cos 0 = 1 +sin 2 0 .由已知可得 (2sin a )2= 1 + 2sin 2p , 即卩 4sin 2a = 1+的取值范围为（）nA. 0, 2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B +sin 2G 由正弦定理得.22 2222222b 十c aa vb +c ,即 b + c — a >0,贝U cos A =—2^^>0.因为 0<^<冗，n n所以Ov Avy ，又a 是最大边，所以A>§，即角A 的取值范围为1. 已知 sin 0 + cos 0 =2sin a , sin 2 0 = 2sin 2p ，则A. cos p = 2cos a2 2B. cos p = 2cos aC. cos 2 p = 2cos 2 aD. cos 2 p = — 2cos 2 a2sin 2B .由二倍角公式可得4X1 — cos2 a2= 1+2X1 —cos 2 P，整理得 cos 2 p = 2cos 2a .故选C.2.在不等边三角形 b , c ,其中a 为最大边， ABC 中，角 A , B, 如果 sin 2( B + Qvsin 2B +sin 2C ,则角 A C 所对的边分别为a ,3.（优质试题•唐山统考）在0点测量到远处有一物体在做最新高考数学二轮复习经典专题(附详解)3.匀速直线运动，开始时该物体位于 P 点，一分钟后，其位置在 Q 点，且/ PO ^ 90°,再过两分钟后，该物体位于 R 点，且/ QOR=30°，贝y tan / OPQ 的值为（）鸞 B.普C.f2D .2解析：选B 如图，设物体的运动速度为V ,贝y PQ= v , QR= 2v ,因为/ PO Q90°,/flQO Q 30°，所以/ POR= 120°, P + R = 60°，所以 R = 60° — P.在Rt △ OPC 中，OQ= v sin 卩.在^ OQF 中，由正弦定理得 OQ QR- sin R。