2019届苏教版(理科数学) 第10章 第2节 数系的扩充与复数的引入 单元测试

一、填空题

1．已知集合A ＝{2,7，－4m ＋(m ＋2)i}(其中i 为虚数单位，m ∈R)，B ＝{8,3}，且A ∩B ≠∅，则m 的值为________．

解析：由题设知－4m ＋(m ＋2)i ＝8或－4m ＋(m ＋2)i ＝3，所以m ＝－2. 答案：－2

2．若复数 ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 解析：∵ ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，

∴x 2－1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1.

答案：－1

3．在复平面内，复数 ＝i(1＋2i)对应的点位于第________象限．

解析：∵ ＝i(1＋2i)＝－2＋i ，∴复数 在复平面内对应的点为 (－2,1)，位于第二象限．

答案：二

4．复数(1－2i)2(i 是虚数单位)的共轭复数是________．

解析：因为(1－2i)2＝－3－4i ，

所以其共轭复数为－3＋4i.

答案：－3＋4i

5．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i

＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是________． 解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )

＝15(－5＋15i)＝－1＋3i ， 又1＋7i 2－i

＝a ＋b i(a ，b ∈R)， ∴a ＝－1且b ＝3.故ab ＝－3.

答案：－3

6．若复数 1＝4＋29i ， 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数( 1－ 2)i 的实部为

________．

解析：( 1－ 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，

故( 1－ 2)i 的实部为－20.

答案：－20

7．设t 是实数，且t 1－3i ＋1－3i 2是实数，则t ＝________. 解析：由题可知，t 1－3i ＋1－3i 2＝t (1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＋1－3i 2＝t 4＋12＋(34t －32)i 是实数，所以34t －32＝0，解得t ＝2.

答案：2

8．若复数 1＝a －i ， 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且 1· 2为纯虚数，则实数a 的值为________．

解析：因为 1· 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 答案：－1

9．已知a ∈R ，则复数 ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第________象限，复数 对应点的轨迹是________．

解析：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，

－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，

得 的实部为正数， 的虚部为负数．

∴复数 的对应点在第四象限．

设 ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝a 2－2a ＋4，

y ＝－(a 2－2a ＋2). 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2(x ≥3)，∴复数 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．

答案：四 一条射线

二、解答题

10．设复数 ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i

，若 2＋a ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值． 解析： ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i ＝3－i 2＋i

＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )

＝5－5i 5＝1－i. 将 ＝1－i 代入 2＋a ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即(a ＋b )－(a ＋

2)i ＝1＋i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，

b ＝4.

11．设复数 满足4 ＋2z ＝33＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R)，求 的值和| －ω|的取值范围．

解析：设 ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，代入4 ＋2z ＝33＋i 中，得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，

即6a ＋2b i ＝33＋i ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＝33，

2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.所以 ＝32＋12i.

| －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝ (32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2 ＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ 2－2sin (θ－π6).

因为－1≤sin(θ－π6)≤1，所以0≤2－2sin(θ－π6)≤4，即0≤| －ω|≤2.

12．设等比数列 1， 2， 3，…， n ，其中 1＝1， 2＝a ＋b i ， 3＝b ＋a i(a ，b ∈R ，a >0)．

(1)求a ，b 的值；

(2)若等比数列的公比为q ，且复数μ满足(－1＋3i)μ＝q ，求|μ|. 解析：(1)由等比数列得 22＝ 1·

3，即(a ＋b i)2＝1·(b ＋a i)且a >0，∴a 2－b 2＋2ab i ＝b ＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－

b 2＝b

2ab ＝a . ∵a >0，∴b ＝12，代入a 2－b 2＝b 得

a 2＝

b 2＋b ＝14＋12＝34，∴a ＝32.∴a ＝32，b ＝12.

(2)q ＝z 2z 1＝32＋12i ，∵(－1＋3i)μ＝q ， ∴μ＝32＋1

2i

－1＋3i ＝－12i (－1＋3i )－1＋3i ＝－12i ， ∴|μ|＝12.