人教新课标版(A)高二选修1-1 3.1变化率与导数同步练习题
高二数学选修1-1《变化率与导数》练习卷
高二数学选修1－1《变化率与导数》练习卷知识点：1、 若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021lim limx x f x f x f x x x ∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．同步练习：1、在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆=2、设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A ．()0f x x +∆ B ．()0f x x +∆ C ．()0f x x ⋅∆ D ．()()00f x x f x +∆-3、已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则y x∆∆等于（ ） A ．4 B ．4x C ．42x +∆D ．()242x +∆4、自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A ．在区间[]01,x x 上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的变化量 D ．在区间[]01,x x 上的导数5、如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 6、如果质点A 按规律32s t =运动，则在3t =s 时的瞬时速度是（ ） A ．6B ．18C ．54D ．817、在()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于08、曲线221y x =+在()1,3P -处的切线方程是（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =-9、函数1y x =-在1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是（ ）A ．4y x =B ．44y x =-C ．()41y x =+D ．24y x =-10、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角是（ ） A ．1B ．4πC ．54π D ．4π-11、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=12、一质点运动的方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度是（ ）A ．36t ∆+B ．36t -∆+C ．36t ∆-D ．36t -∆- 13、设()f x 在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A ．()2f x 'B ．()12f x ' C ．()f x ' D ．()4f x '14、函数()()211y x x =+-在1x =处的导数等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．415、曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是（ ）A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =- 16、函数()y f x =在0x x =处的导数()0f x '的几何意义是（ ） A ．在点0x 处的斜率B ．在点()()00,x f x 处的切线与x 轴所成夹角的正切值C ．曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率D ．点()()00,x f x 与点()0,0连线的斜率 17、已知曲线31433y x =+，则过点()2,4P 的切线方程是____________________． 18、若函数()f x 在0x 处的切线的斜率为k ，则极限()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆_______．19、若()f x 在0x 处可导，则()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆________________．20、若()03f x '=-，则()()0003lim h f x h f x h h→+--等于_____________．21、函数1y x x=+在1x =处的导数是___________． 22、已知212s gt =，t 从3秒到3.1秒的平均速度是______________． 23、已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆__________．。
高中数学 第三章 导数 3.1 变化率与导数练习题 文 新人教A版选修1-1(2021年最新整理)
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3.1 变化率与导数
1.如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =4处的切线,则f ′(4）=( )
A 。
12
B 。
3 C.4 D 。
5
2.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，
,则((0))f f =_________;0
(1)(1)lim ________.x f x f x ∆→+∆-=∆
答案：
1。
A
2.2，-2。
人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念(含答案)
第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率 定义实例平均 变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx .①平均速度； ②曲线割线的斜率.瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即_______________＝0lim x →ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 或即f ′(x 0) ＝0lim x →ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0lim x →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx ＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义， 得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt ＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。
人教新课标版数学高二数学选修1-1训练 3-1-1、2变化率问题 导数
双基限时练(十五)1．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝()A．3 B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2D．3－Δx答案 D2．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率答案 A3．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0 B．1C．c D．不存在答案 A4．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－1Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.答案 B5．已知函数f (x )＝2x 2的图象上点P (1,1)及邻近点Q (1＋Δx,1＋Δy )，则lim Δx →0 Δy Δx＝( ) A ．4xB ．4C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2Δx＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4. 答案 B6．某质点的运动方程是S ＝t －(2t －1)2，则在t ＝1 s 时的瞬时速度为________．解析 ΔS ＝S (1＋Δt )－S (1)＝[1＋Δt －(2＋2Δt －1)2]－[1－(2－1)2]＝4(Δt )2－3Δt ，∴lim Δt →0 ΔS Δt ＝lim Δt →0(4Δt －3)＝－3. 答案 －37．函数y ＝x 2－2x ＋3在2到94之间的平均变化率为________． 解析 Δy Δx ＝[(94)2－2×94＋3]－(22－2×2＋3)94－2＝94. 答案 948．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝________. 解析 lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝－12·lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12·f ′(x 0)＝－1.答案 －19．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析 v －1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ， v －2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ， v －3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ， 又∵k BC >k AB >k OA ，∴v －3>v －2>v －1.答案 v －3>v －2>v －110．甲、乙二人慢跑的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人慢跑时，________跑得快；(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，________跑得较快． 答案 乙 乙11．比较函数f (x )＝2x 与g (x )＝3x ，当x ∈[1,2]时，平均增长率的大小．解 设f (x )＝2x在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 1，则k 1＝f (2)－f (1)2－1＝2，设g (x )＝3x在x ∈[1,2]时的平均变化率为k 2，则k 2＝g (2)－g (1)2－1＝6，∵k 1<k 2，故当x ∈[1,2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．12．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值．解 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2)＝2a·Δx＋a(Δx)2，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2a＋a·Δx)＝2a＝4∴a＝2.。
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）若，则A .B .C .D .2. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 03. （2分）已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则取值范围（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·清流期中) 设f（x）是可导函数，且则 =（）A .B . ﹣1C . 0D . ﹣25. （2分）已知函数f(x)的导函数为f,(x)，且满足，则=（）A . -eB . eC . 1D . -16. （2分）下面说法正确的是（）A . 若不存在，则曲线在点处没有切线B . 若曲线在点处有切线，则必存在C . 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D . 若曲线在点处没有切线，则有可能存在7. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数在区间上的平均变化率等于（）A . 4B .C .D . 4x9. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对10. （2分）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻是（）A . 0秒B . 1秒末C . 2秒末D . 1秒末和2秒末11. （2分） (2018高二上·榆林期末) 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝ t2 ，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为（）．A . 2B . 1D .12. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）曲线在点处的切线方程是（）A . y=7x+4B . y=7x+2C . y=x-4D . y=x-215. （2分）已知函数，则的值为（）B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．17. （1分）(2017·长宁模拟) 若数列{an}的所有项都是正数，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则（）=________．18. （1分） (2017高二下·平顶山期末) 曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为________．19. （1分）=________20. （1分）(2016高三上·新津期中) 对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是________．21. （1分）在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为________．22. （1分）已知f（x）= ，则的值是________．23. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．24. （1分）过点的函数图象的切线斜率为________.25. （1分）(2014·上海理) 设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1= （a3+a4+…an），则q=________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。
人教新课标A版高中选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）函数在处的导数的几何意义是（）A . 在点处的斜率B . 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C . 曲线在点处切线的斜率D . 点与点连线的斜率2. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A . 2B .C .D .3. （2分）若对任意的x有f'(x)=4x3且f(1)=-1，则此函数的解析式是（）A . f(x)=x4B . f(x)=x4+2C . f(x)=x4-2D . f(x)=x4-14. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对5. （2分）(2013·浙江理) 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A . f’(x0)B . 2 f’(x0)C . -2 f’(x0)D . 06. （2分）若，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数，下列说法正确的是（）A . 在x=1处取得最大值B . 在区间上是增函数C . 在区间上函数值均小于0D . 在x=4处取得极大值8. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 09. （2分）若，则（）A . -3B . -12C . -9D . -610. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数在区间上的平均变化率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知一个物体的运动方程为，其中位移的单位是，时间的单位是，则物体的初速度为（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）已知曲线在点处的切线经过点，则的值为（）A .B . 1C . eD . 1015. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 设是可导函数，当时，则 =（）A . 2B .C . -2D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数的图象在点M（1 ,f（1））处的切线方程是+2,则的值等于________17. （1分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若,，且a，b，c成等差数列，则c的值是________18. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．19. （1分） (2017高二上·浦东期中) 如果，则实数a的取值范围是________．20. （1分）设n∈N* ，圆的面积为Sn ，则=________ ．21. （1分） (2018高二上·榆林期末) 设是可导函数，且，则 ________．22. （1分）若函数f（x）=ex﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为________23. （1分）若函数f（x）=x2-x+1在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．24. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．25. （1分）(2012·重庆理) =________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习3-1-1变化率问题
第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．1．1变化率问题双基达标（限时20分钟）1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx不可能是()．A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于0答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 B3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为()．A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2解析ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1）Δx＝Δx＋3.答案 C4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________． 解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －125．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________．解析 物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为（3×2－22）－02－0＝1.答案 16．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率；(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f （－1）－f （－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g （－1）－g （－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.(2)函数f (x )在区间[0，5]上的平均变化率为 f （5）－f （0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，g (x )在区间[0，5]上的平均变化率为g （5）－g （0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.综合提高 （限时25分钟）7．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝2（1＋Δx）2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C8．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为()．A．2Δt＋4 B．－2Δt－4C．4 D．－2Δt2－4Δt解析＝4－2（1＋Δt）2－（4－2×12）Δt＝－4Δt－2（Δt）2Δt＝－2Δt－4.答案 B9．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．解析当r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为ΔSΔr＝π（1＋Δr）2－πΔr＝π＋2π·Δr＋（Δr）2π－πΔr＝2π＋πΔr.答案2π＋πΔr10．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)________．解析ΔWΔt＝W（t1）－W（t2）Δt，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．答案甲企业11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：L＝L（20）－L（10）20－10＝87010＝87(元)．12．(创新拓展)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
人教A版高中数学选修变化率与导数同步练习
3.1.2瞬时变化率与导数一 、选择题。
1. 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21 D ．以上都不是 2．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(000lim --+→ 的值为（ ） A 、)(0x f ' B 、)(20x f ' C 、)(20x f '- D 、03．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－21 D ．21 4.已知曲线y=x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（-4，33）C ．（-1，3）D ．不确定5．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ．21 6.已知函数y=3x-x 2在x=2处的增量为∆x=0.1,则∆y 为（ ） A ．-0.11 B ．1.1 C ．3.80 D ．0.297.在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x （ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零8.在曲线y=-x 2上去一点A 的横坐标为-6，在A 处的横坐标的增量∆x 为（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不确定9.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．21 二、填空 10．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。
11．.2)()(lim 000h h x f h x f h --+→= 。
人教A版高中数学选修1-1：3.1.1-2变化率问题 导数的概念 同步课时练习
3．1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念填一填1.平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (3)ΔyΔx的几何意义是函数y ＝f (x )图象上的两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))所在直线的斜率． 2．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢． 3．导数的概念函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.判一判对于函数y ＝f (x )1212Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则1．Δx 可正，可负，可为零．(×)解析：Δx 可正，可负，不为零，故错误．2．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .(√)3．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx.(√)4．当Δx 趋于0时，ΔyΔx就趋于函数在x 1处的瞬时变化率．(√)想一想1.提示：不一定．可正，可负，可为零．2．某条公路限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ 提示：不是，是指瞬时速度．3．求平均变化率的三步骤是什么？提示：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.4．利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤是什么？ 提示：第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx . 思考感悟：练一练1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0 答案：C2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率解析：由定义得f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故选C.答案：C3．函数f (x )＝x 从1到4的平均变化率为________．解析：4－14－1＝13.答案：134．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，y 0)处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1Δx ＝4x 0＝－8，得x 0＝－2，f (－2)＝2×(－2)2＋1＝9，所以点M 坐标为(－2,9)．答案：(－2,9)知识点一平均变化率1.若函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：C2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4解析：Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.答案：D3．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t ) ＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t .又∵Δy Δx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－24.y ＝f (x )＝3A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ， 则Δy Δx ＝3Δx Δx＝3， ∴当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3.故选B.答案：B5．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (18＋3Δt )＝18，故选B. 答案：B6．如果某物体的运动方程是s ＝2(1－t )2(单位：m)，则在t ＝1.2 s 时的瞬时速度是( ) A ．4 m/s B ．－4 m/s C ．4.8 m/s D ．0.8 m/s解析：因为Δs Δt ＝2(1－1.2－Δt )2－2(1－1.2)2Δt ＝2Δt ＋0.8，所以Δt 趋于0时，ΔsΔt＝0.8 m/s.故选D.答案：D7.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的概念可知，lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.答案：B8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析：∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1.∴故选B. 答案：B基础达标一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4解析：Δy Δx ＝m 2－1－(12－1)m －1＝m 2－1m －1＝3，得m ＝2，故选B.答案：B2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B3．已知质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( )A ．t ＝1 s 时的速度B ．t ＝1 s 时的加速度C ．t ＝1 s 时的位移D ．t ＝1 s 时的平均速度解析：v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．故选B. 答案：B 4．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．故选D.答案：D5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．2解析：f ′(1)＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－3×12Δx＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3(Δx )2－3Δx ＝6. 答案：B6．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 解析：lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．故选C. 答案：C7．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s (t )＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.答案：B 二、填空题8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.答案：28π39．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________. 解析：∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx . 答案：3－Δx10．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析：v －1＝k OA ，v －2＝k AB ，v －3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ，所以v －1<v －2<v －3.答案：v －1<v －2<v －311．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．解析：f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→01＋Δx－1Δx＝limΔx→0(1＋Δx－1)(1＋Δx＋1)Δx(1＋Δx＋1)＝limΔx→0ΔxΔx(1＋Δx＋1)＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.答案：1212．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝________.解析：根据导数的定义，知limk→0f(x0－k)－f(x0)－k＝2，所以limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0 f(x0－k)－f(x0)－k＝－1.答案：－1三、解答题13．已知函数f(x)＝1x，求f′(2)的值．解析：limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0－Δx2(2＋Δx)Δx＝limΔx→0－12(2＋Δx)＝－14.答案：－1414．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解析：位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0⎝⎛⎭⎫at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s.能力提升15.若函数f(x)＝－x2＋1，求Δx的取值范围．解析：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)Δx＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．16．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解析：∵当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx，＝110＋110(100＋Δx ＋10)， ∴f ′(100)＝lim Δx →0 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110(100＋Δx ＋10)＝0.105，f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 Word版含解析
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知某物体的自由落体运动方程为s (t )=12gt 2,若lim Δt →0s (1+Δt )-s (1)Δt =g =9.8(m/s),则下面说法正确的是( )A.9.8 m/s 是0~1 s 这段时间内的平均速度B.9.8 m/s 是从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的速度C.9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的速度D.9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的平均速度2.已知某物体的运动方程是s=3+t 2,则在t=2时的瞬时速度是( )B.4 C.7 D.5=3+(2+Δt )2-(3+22)Δt =(Δt )2+4Δt Δt =Δt +4,lim Δt →0Δs Δt =lim Δt →0(Δt +4)=4.故t=2时的瞬时速度为4.3.若将边长为8的正方形的边长增加Δa ,则面积的增量ΔS 为( )A.16(Δa )2B.64C.(Δa )2+8D.16Δa+(Δa )2S=(8+Δa )2-82=16Δa+(Δa )2.4.若函数y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a 等于( )B.2 C.3 D.-2,可知Δy Δx =(2a +b )-(a +b )2-1=a =3.5.设函数f (x )在点x 0附近有定义,且有f (x 0+Δx )-f (x 0)=a Δx+b (Δx )2(a ,b 为常数),则( )A.f'(x )=aB.f'(x )=b =a D.f'(x 0)=b(x 0)·Δx )=a.=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0(a +b 6.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 .7.若f'(x )=3,则lim Δx →0f (x +2Δx )-f (x )Δx =___________________.=lim x →0f (x +2Δx )-f (x )Δx =lim Δx →02·f (x +2Δx )-f (x )2Δx 2lim Δx →0f (x +2Δx )-f (x )2Δx =2f '(x )=6.8.已知曲线y =1x ‒1上两点A (2,-12),B 2.+Δx ,‒12+Δy ,当Δx =1时,割线AB 的斜率为____________.Δy =(12+Δx -1)‒(12-1)=2-(2+Δx )2(2+Δx )=-Δx 2(2+Δx ),∴Δx =‒12(2+Δx ),即所求斜率k =Δy Δx =‒12(2+Δx ).当Δx=1时,k=‒16.‒169.已知一个质点由定点A 开始运动,在时间t 的位移函数为y=f (t )=t 3+3.(1)当t 1=4,Δt=0.01时,求Δy 和ΔyΔt ;(2)求t 1=4时的导数.y=f (t 1+Δt )-f (t 1)=·Δt+3t 1·(Δt )2+(Δt )3,3t 21故当t 1=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 2011.,ΔyΔt =48.120 (2·Δt+(Δt )2]=)lim Δt →0Δy Δt =lim Δt →0[3t 21+3t 13t 21=48,故函数y=t 3+3在t 1=4处的导数是48,即y '|t 1=4=48.二、能力提升1.如果一个物体的运动方程为s (t )=1-t+t 2,其中s 的单位是m,t 的单位是s,那么物体在t=3 s 时的瞬时速度是( )B.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s(3)=lim Δt →0s (3+Δt )-s (3)Δt =lim Δt →0[1-(3+Δt )+(3+Δt )2]-(1-3+32)Δt =lim Δt →0(5+Δt )=2.若f'(x 0)=2,则lim k →0f (x 0-k )-f (x 0)2k 等于( )A.-1B.-2C.1D .12f'(x 0)=2,∴=lim f (x 0-k )-f (x 0)2k ‒12lim k →0f (x 0-k )-f (x 0)-k =‒12×2=‒1.3.若函数y=x 2在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0-Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A.k >k 2B.k 1<k 2C.k 1=k 2D.不确定k 1=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =(x 0+Δx )2-x 20Δx =2x 0+Δx , k 2=f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =x 20-(x 0-Δx )2Δx=2x 0‒Δx ,∴k 1‒k 2=2Δx .∵Δx 可正可负,∴k 1与k 2的大小关系不确定.4.已知函数y=f (x )=-4x 2+16x 在x=x 0处的导数为0,则x 0为( )B.2C.3D.4(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-4(x 0+Δx )2+16(x 0+Δx )+4x 20-16x 0ΔxΔx →0(‒8x 0‒4Δx +16)=‒8x 0+16.由-8x +16=0,得x 0=2.5.若将半径为R 的球加热,半径从R=1到R=m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3,则m 的值为_____________.,m=2.得43πm 3-43πm -1=28π3,解得6.若函数f (x )=-x 2+x 在[2,2+Δx ](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,则Δx 的取值范围是 .函数f (x )在[2,2+Δx ]上的平均变化率为Δy Δx =f (2+Δx )-f (2)Δx =-(2+Δx )2+(2+Δx )-(-4+2)Δx =-4Δx +Δx -(Δx )2Δx =‒3‒Δx ,∴由-3-Δx ≤-1,得Δx ≥-2.又Δx>0,∴Δx 的取值范围是(0,+∞).+∞)7.某物体做直线运动,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t-t 2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求此物体在t=0到t=2时的平均速度.∵s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3‒Δt ,∴v 0=3.lim Δt →0(3‒Δt )=3,即初速度(2)∵s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt =‒Δt ‒1,∴lim Δt →0(‒Δt ‒1)=‒1,即物体在t=2时的瞬时速度为-1.(3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1.★8.(1)求函数y =x +4在x =1处的导数;(2)求函数y =1x 2+2在x =2处的导数.∵Δy =1+Δx +4‒1+4=5+Δx ‒5=Δx 5+Δx +5,∴Δx =15+Δx +5,∴y'|x=1=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →015+Δx +5=125=510.(2)∵Δy =1(2+Δx )2+2‒14‒2=1(Δx )2+4Δx +4‒14=-(Δx )2-4Δx 4[(Δx )2+4Δx +4],∴Δy Δx =-Δx -44[(Δx )2+4Δx +4],∴y'|x=2=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-Δx -44[(Δx )2+4Δx +4]=-416=‒14.。
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测同步测试
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测同步测试共 25 题一、选择题1、若f'(x0)=-3 ，则（）A.-3B.-12C.-9D.-62、设 f(x) 是可导函数，且，则f'(x0)= （）A. B.-1C.0D.-23、曲线在点(1，－1)处的切线方程为（）．A.y＝x-2B.y＝xC.y＝x+2D.y＝-x-24、设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率为（）A. B.3C.6D.无法确定5、一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为（）．A. 4.11B. 4.01C. 4.0D. 4.16、已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是（）．A.f'(xA）>f'(x B)B.f′(x A)<f′(x B)C.f′(x A)＝f′(x B)D.不能确定7、若函数y=f(x) 在区间(a,b) 内可导,且, 则的值为（）A.f'(x0)B.2f'(x0)C.-2f'(x0)D.08、水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象（）A. B.C. D.9、若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x ， 1+△y），则等于（）A.4B.4xC.4+2△xD.4+2△x210、若当，则f′(x0)等于（）．A. B.C.－D.-11、设函数 y=f(x) 在 R 上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对12、如图，函数 y=f(x) 在 A ， B 两点间的平均变化率是（）A.1B.-1C.2D.-213、曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为（）．A.y＝3x-1B.y＝-3x+5C.y＝3x+5D.y＝2x14、已知函数 f(x) 在 x=1 处的导数为1，则（）A.3B.C. D.15、一物体运动的方程是s＝2t2，则从2s到(2＋d)s这段时间内位移的增量为（）．A.8B.8＋2dC.8d＋2d2D.4d＋2d2二、填空题16、如果函数，则的值等于________．17、若函数 y=f(x) 的导函数在区间 [a,b] 上是增函数，则函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图像可能是下列中的________.18、曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．19、设函数 y=f(x) ，当自变量由 x0变到时，函数的改变量________.20、曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．21、质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率为________．22、抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________．23、若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.24、若曲线y=x2﹣1的一条切线平行于直线y＝4x﹣3，则这条切线方程为________．25、已知函数y=ax2+bx ，则 =________．参考答案一、选择题1、【答案】B【解析】【解答】因为，所以，选B；【分析】本题主要考查了导数的概念，解决问题的关键是根据导数的概念进行分析计算即可.2、【答案】B【解析】【解答】因为所以，故选B.【分析】本题主要考查了导数的概念，解决问题的关键是根据导数的概念进行计算即可.3、【答案】A【解析】【解答】＝＝，当Δx→0时，→1.曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.选A。
人教新课标版数学高二选修1-1练习3-1-1变化率与导数
3.1.1一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，Δs＝4Δt＋4＋8t0，Δtlim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52 C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为0.7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7[答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt ＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( )A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关[答案] B[解析]式子limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．二、填空题12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.。
高中数学人教A版选修1-1第3章3-1变化率与导数课堂练习
高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用3.1 变化率与导数课堂练习（1）1.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为( )A.1B.2C.D.【解析】选C.Δy=-=.2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.4.在雨季潮汛期间,某水文观察员观察千岛湖水位的变化,在24h内发现水位从102.7m上涨到105.1 m,则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】水位涨幅的平均变化率为=0.1(m/h).答案:0.15.若f′(x0)=2,则的值为________.【解析】==f′(x0)=2.答案:26.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx都为,哪一点附近的平均变化率最大? 【解析】设函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率分别为k1,k2,k3,则k1====2+Δx,k2====4+Δx,k3====6+Δx.取Δx=时,k1=2+=,k2=4+=,k3=6+=,所以k1<k2<k3. 所以函数y=x2在x=3附近的平均变化率最大.课堂练习（2）1.函数y=x2的导数为( )A.xB.2xC.2D.4【解析】选B.=(2x+Δx)=2x.2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )A.f′(x0)>0B.f′(x0)<0C.f′(x)=0D.f′(x0)不存在【解析】选B.由y=-3x-5知f′(x0)=- 3<0.3.直线与曲线有唯一公共点,则直线与曲线的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选D.由切线的定义可知:当直线与曲线有一个公共点时,该直线与曲线可能相交也可能相切.4.若函数f(x)在某点处的切线方程为x-y+1=0,则函数在该点处的导数值为________.【解析】由题意,函数在该点处的切线斜率k=1,故在该点处的导数值为1.答案:15.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2.求f(1)与f′(1)的值.【解析】由题意得f(1)=×1+2=.由导数的几何意义得f′(1)=k=.。
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测(I)卷
人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2020高三上·丹东月考) 函数的导函数为，则的展开式中含项的系数为（）A . 20B . -20C . 60D . -602. （2分） (2019高二下·浙江期中) 已知函数，则（）A . 2B .C .D . 33. （2分）武汉炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度（单位：)为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A . 8B .C . -1D . -84. （2分）若，则（）A . -3B . -12C . -9D . -65. （2分）(2020·宜春模拟) 已知函数在处的导数为，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高三上·南阳期末) 已知各项均为正数的等比数列，，若，则 =（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·晋中期中) 设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A . 2B .C . ﹣D . ﹣28. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数在区间上的平均变化率等于（）A . 4B .C .D . 4x9. （2分）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 若函数，则函数从到的平均变化率为（）A .B .C .D .11. （2分）在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1， 1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于A . 4Δx+2Δx2B . 4+2ΔxC . 4Δx+Δx2D . 4+Δx12. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数在区间上的平均变化率为（）A .B .C .D .13. （2分）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为，那么速度为零的时刻是（）A . 0秒B . 1秒末C . 2秒末D . 1秒末和2秒末14. （2分） (2020高二下·吉林期中) 若函数在点处的切线与垂直,则 =（）A . 2B . 0C .D .15. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 设是可导函数，当时，则 =（）A . 2B .C . -2D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分） (2019高二下·临海期中) 已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是________．17. （1分）汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，三者的大小关系为________．18. （1分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为________19. （1分）(2018·徐州模拟) 在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________20. （1分）(2018·台州模拟) 曲线在处的切线方程为________．21. （1分）一物体的运动方程为s=3t2﹣2，则其在t= ________ 时的瞬时速度为1．22. （1分）一质点的运动方程为s=t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为________23. （1分） (2016高三上·新津期中) 对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是________．24. （1分）若函数f（x）=x2-x+1在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．25. （1分） (2020高二上·上海期中) 求极限： ________参考答案一、选择题 (共15题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：二、填空题 (共10题；共10分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：答案：25-1、考点：解析：。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1同步试题：3.1变化率与导数课时含答案
3。
1 变化率与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．在平均变化率的定义中,自变量x在0x处的增量x∆应满足A．0>∆x B．0<∆xC．0=∆x∆x D．0≠【答案】D2．某物体的位移公式为()=，从0t到0t t+∆这段时间内，下列理解正s s t确的是A．00∆+-称为函数值增量B．0t称为函数值增量t t t()C．00∆∆=+-称为函数值增量D．s t∆∆称为函数值增量s s t t s t()()【答案】C【解析】由自变量的增量、函数值的增量、平均变化率的概念易得C正确．故选C．3．如图所示，函数()=-+，则y x=的图象在点P处的切线方程是8y f x+'=(5)(5)f fA ．12B ．1C ．2D ．0 【答案】C 【解析】易知(5)583f =-+=．由导数的几何意义知(5)1f '=-．故(5)(5)312f f +'=-=．故选C ．4．已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则y x∆∆等于A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ． 24()x x ∆+∆【答案】B【解析】因为2()21f x x=-,所以22(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =,则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故选B ．5．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示,则治污效果较好的是A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定【答案】B6．已知21lim ()213x ax x x→+∞-+=-,则a = A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 【答案】D【解析】原式=2225123(1)(1)(5)1limlim lim233(1)3333x x x a a x ax x ax a x a x x x x x xx→+∞→+∞→+∞-++⨯+--+-+====---，解得6a =．故选D ．7．已知曲线2()y f x x ==在点P 处的切线斜率为k ，则当2k =时，点P 的坐标为A ．(2,8)--B ．(1,1)--C ．(1,1)D ．11(,)28--【答案】C 【解析】设点P的坐标为00()x y ，,则220000000()()()()lim lim x x f x x f x x x x k f x x x∆→∆→+∆-+∆-=='==∆∆000lim 22()x x x x ∆→∆+⋅=，即022x =，则01x =，此时220011y x ===，故点P 的坐标为(1,1)．故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 8．已知函数()21f x x =+,则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为______________．【答案】2【解析】由平均变化率的定义得(2)(0)512202f f --==-．9．设函数()f x 满足0(1)(1)lim1x f f x x→-+=-，则(1)f '=______________．【答案】1【解析】由题意可得0(1)(1)(1)lim1x f x f f x→+-'==．10．已知曲线2()21y f x x==+在点M 处的瞬时变化率为4-，则点M 的坐标为______________．【答案】()1,3-11．曲线2()f x x =在点(2,1)--处的切线方程为______________．【答案】240x y ++=【解析】点(2,1)--在曲线2()f x x=上．因为0002(1)(2)(2)112(2)lim lim lim 22x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→---+∆---+∆'-====-∆∆-+∆， 所以切线方程为11(2)2y x +=-+，即240x y ++=． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知21()2s t gt =，其中g ＝10m/s 2．（1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t ＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m /s)；（2)30.05(m /s)；（3）30(m /s)． 【解析】（1) 3.130.1(s)t ∆=-=，2211(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则1 3.0530.5(m /s)0.1s vt ∆===∆． （2） 3.0130.01(s)t ∆=-=,2211(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.300530.05(m /s)0.01s v t ∆===∆． （3）由瞬时速度的定义,可知222111(3)(3)(3)33()222s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t sv g t ∆→∆===∆瞬时．13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为120()155T t t =++，其中()T t （单位：°C）为蜥蜴的体温，t （单位：min ）为太阳落山后的时间．(1)从0t =到10t =,蜥蜴的体温下降了多少？(2）从0t =到10t =，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求(5)T '，并解释它的实际意义．【答案】(1）16°C ;（2）1.6°C ,它表示从0t =到10t =这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6°C；(3）'(5) 1.2T =-，它表示5t =时,蜥蜴体温下降的速度为1.2°C/min．(3）12012015(15)(5Δ)(5)125Δ555ΔΔ10ΔT t T t t t t+-++-+++==-+, 当Δt 趋近于0时，1210Δt-+趋近于 1.2-,即'(5) 1.2T =-，它表示5t =时，蜥蜴体温下降的速度为1.2°C/min． 14．设函数1()(,)f x ax a b x b=+∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =．（1）求函数()f x 在0x x =处的导数；(2)求函数()f x 的解析式；（3)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)201()a x b -+；（2）1()1f x x x =+-;（3)证明见解析．（2）由曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =,得'(2)0(2)3f f =⎧⎨=⎩，又由(1)可知0201()()f x a x b '=-+，于是210(2)1232a b a b ⎧-=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 因为a ，b ∈Z ，所以1()1f x x x =+-． (3)在曲线上任取一点0001(,)1x x x +-．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为200020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----．令1x =得0011x y x +=-,则切线与直线1x =的交点为001(1,)1x x +-．令x y =得021y x=-，则切线与直线y x =的交点为0021,1(2)x x --．又直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为000001112|1||211|2222121x x |||x |x x +-⋅--=⋅-=--． 所以,所围成的三角形的面积为定值2．。
人教A版高中数学选修变化率与导数同步练习
3.1.2瞬时变化率与导数一 、选择题。
1. 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21 D ．以上都不是 2．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(000lim --+→ 的值为（ ） A 、)(0x f ' B 、)(20x f ' C 、)(20x f '- D 、03．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－21 D ．21 4.已知曲线y=x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（-4，33）C ．（-1，3）D ．不确定5．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ．21 6.已知函数y=3x-x 2在x=2处的增量为∆x=0.1,则∆y 为（ ） A ．-0.11 B ．1.1 C ．3.80 D ．0.297.在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x （ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零8.在曲线y=-x 2上去一点A 的横坐标为-6，在A 处的横坐标的增量∆x 为（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不确定9.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．21 二、填空 10．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。
11．.2)()(lim 000h h x f h x f h --+→= 。
数学：3.1《变化率与导数》同步测试(新人教a版选修1-1)
3.1.2瞬时变化率与导数一 、选择题。
1. 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21 D ．以上都不是 2．已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x 0∈（a ，b ）则hh x f h x f h )()(000lim --+→ 的值为（ ） A 、)(0x f ' B 、)(20x f ' C 、)(20x f '- D 、03．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－21 D ．21 4.已知曲线y=x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（-4，33）C ．（-1，3）D ．不确定5．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ．21 6.已知函数y=3x-x 2在x=2处的增量为∆x=0.1,则∆y 为（ ）A ．-0.11B ．1.1C ．3.80D ．0.297.在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x （ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零8.在曲线y=-x 2上去一点A 的横坐标为-6，在A 处的横坐标的增量∆x 为（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不确定9.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．21 二、填空 10．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。
11．.2)()(lim 000h h x f h x f h --+→= 。
12.y=－2x 2+1在（0，1）处的平均变化率为 。
高中数学3-1_1变化率问题3.1.2导数的概念习题 新人教A版选修1
3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念一、选择题1．【题文】已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率C.()f x 在0x 处的导数记为y 'D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '2．【题文】设函数()f x 在1x =处可导，则()()011lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '- D ．()1f '-3．【题文】在曲线21y x =+的图象上取一点()1,2及附近一点()1,2x y +∆+∆，则yx∆∆为（） A ．1+2x x ∆+∆ B ．12x x ∆--∆C ．2x ∆+D ．12x x +∆-∆4．【题文】若()02f x '=，则()()000lim2k f x k f x k→--等于（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．125．【题文】若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．126．【题文】设()f x 是可导函数，且()()0002lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．21B ．1-C ．0D ．2-7．【题文】若()()0003lim12x f x f x x x∆→-+∆=∆，则()0f x '等于( )A ．32B ．23C ．32-D ．23-8．【题文】()f x 在0x 处可导，a 为常数，则()()000lim x f x a x f x a x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．()0f x ' B. ()02af x ' C ．()0af x 'D ．0二、填空题9．【题文】质点运动规律为221s t =+，则从1t =到1t d =+时间段内运动距离对时间的变化率为________．10．【题文】已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[]0,2上的平均变化率为 __________．11．【题文】若()()0003lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．三、解答题12．【题文】求函数()23f x x x=-在1x =处的导数．13．【题文】枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度a 等于525.010m/s ⨯，枪弹从枪口射出时所用时间t 为31.610s -⨯，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．（位移公式：212s at =）14．【题文】某一运动物体，在x (单位：s )时离出发点的距离(单位：m )是()32223f x x x x =++. (1)求在第1 s 内的平均速度； (2)求在1 s 末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s ?3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念参考答案及解析1. 【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C. 考点：导数的概念. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处可导，所以()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．考点：导数的定义的应用．【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C【解析】因为21y x =+，所以()()211112y x x x x+∆+-+=∆∆∆=+∆，故选C.考点：变化率的概念． 【题文】选择题 【难度】较易 4. 【答案】A【解析】根据导数的定义知()()000lim2k f x k f x k→--=-，所以()()()()0000001limlim 122k k f x k f x f x k f x k k→→----=-=--.考点：导数的定义. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===.考点：导数的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 6. 【答案】B 【解析】()()()()()000000022lim2lim 222x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-=∆-∆，所以()01f x '=-，故选B.考点：导数的概念. 【题型】选择题7. 【答案】D 【解析】()()()()000000333limlim 232x x f x f x x f x x f x x x ∆→∆→-+∆+∆-⎡⎤=-⨯⎢⎥∆∆⎣⎦＝()()()0000333lim 232x f x x f x f x x ∆→+∆-'-=-∆． ∴()0312f x '-=，∴()023f x '=-. 考点：导数的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】B 【解析】()()()()000000lim2lim 2x x f x a x f x a x f x a x f x a x a x a x∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆()02af x '=.考点：导数的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】42d +【解析】()222112114211d v d d ++-⨯-==++-.考点：平均变化率. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】2【解析】由平均变化率的定义得()()20512.202f f --==-考点：平均变化率. 【题型】填空题11. 【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 考点：导数的概念． 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】5【解析】()()()113122112331y f x f x x x x x =--=+∆+∆∆=+∆-+∆=+∆-∆+21xx∆+∆，232131xx yx xx x∆∆+∆+∆==+∆∆+∆， ∴002limlim 351x x y x x ∆→∆→∆⎛⎫=+= ⎪∆+∆⎝⎭，∴()15f '=. 考点：利用定义求导数. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】800 m/s 【解析】212s at =，∵()()222000111222s a t t at at t a t ∆=+∆-=∆+∆， ∴012t t at a s ∆=+∆∆，∴00001lim lim 2t t at s a t a t t ∆→∆→∆∆⎛⎫=+= ⎪∆⎝⎭，∵525.010m /s a =⨯，30 1.610s t -=⨯，∴()0800m/s at =.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s .考点：求瞬时速度. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】(1)11m/s 3(2)6 m/s (3)2 s 【解析】(1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为()()1010f f -=-()113m /s . (2)()()()()()3221111211133x x x f x f y x x x+∆++∆++∆-+∆-∆==∆∆∆ ()22633x x =+∆+∆.当0x ∆→时，6y x∆→∆，所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s .(3)()()()()()3232222233=x x x x x x x x x f x x f x y x x x⎛⎫+∆++∆++∆-++ ⎪+∆-∆⎝⎭=∆∆∆()22222223x x x x x x =+++∆+∆+∆.当0x ∆→时，2222x y x x∆→+∆+，令222214x x +=+，解得2x =，即经过2 s ，该物体的运动速度达到14 m/s .考点：求平均速度，瞬时速度. 【题型】解答题 【难度】一般。
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人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.1 变化率与导数同步练习题【基础演练】题型一：变化率问题与导数概念一般地，()()1212x x x f x f x f --=△△我们称为平均变化率，如果0x →△时，()()x x f x x f limx flim000x 0x △△△△△△-+=→→存在，称此极限值为函数()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，请根据以上知识解决以下1~5题。
1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5. （2004·山东）若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim 0x △△△△--+→。
题型二：导数的物理意义在物体的运动规律中，如果()t s s =，那么物体的瞬时速度()()tt s t t s limt s limv 0t 0t △△△△△△-+==→→；如果()t v v =，那么物体的加速度()()t t v t t v lim t v lim a 0t 0t △△△△△△-+==→→，请根据以上知识解决以下6~7题。
6. 若一物体运动方程如下：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=3t 3t 3293t 02t 3s 22 求物体在1t =或3t =时的速度。
7. 质点M 按规律t 43v +=做直线运动，则质点的加速度a=___________。
题型三：导数的几何意义导数的几何意义：函数()x f y =在0x 处的导数，即曲线()x f y =在点P （()00x f ,x ）处切线的斜率为()0x f '，相应的切线方程是()()000x x x f y y -'=-，请根据以上知识解决以下8~9题。
8. 下面说法正确的是A. 若()0x f '不存在，则曲线()x f y =在点（0x ，()x f ）处没有切线B. 若曲线()x f y =在点（()00x f ,x ）处有切线，则()0x f '必存在C. 若()0x f '不存在，则曲线()x f y =在点（()00x f ,x ）处的切线斜率不存在D. 若曲线()x f y =在点（()00x f ,x ）处没有切线，则()0x f '可能存在 9. 已知曲线C ：3x y =。
（1）求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程 （2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【互运探究】 ［学科内综合］10. 设()b ,a x 0∈，()x f y =在0x 处可导是()0x f y =在（a ，b ）内可导的A. 充分非必要条件B. 必要而非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件11. 如图3-1-1表示物体运动的路程随时间变化的函数()2t 2t 4t f -=的图象，试根据图象，描述、比较曲线()t f 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况，并求出2t =时的切线的方程。
［学科间综合］12. 两工厂经过治理，污水的排放量（W ）与时间（t ）的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？［新题型］13. 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状，如果开始加热后第x 小时的沥青温度（单位：℃）为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<---≤≤+=8x 1244x 2x 49201x 020x 80x f 22（1）求开始加热后15分钟和30分钟时沥青温度的瞬时变化率； （2）求开始加热后第4小时和第6小时沥青温度的瞬时变化率。
【经典名题】14. （2006·全国）过点（-1，0）作抛物线1x x y 2++=的切线，则其中一条切线为A. 02y x 2=++B. 03y x 3=+-C. 01y x =++D. 01y x =+-15. （2006·安徽）若曲线4x y =的一条切线l 与直线08y 4x =-+垂直，则l 的方程为A. 03y x 4=--B. 05y 4x --+C. 03y x 4=+-D. 03y 4x =++参考答案：1. D 提示：∵()()()t 6t 3135t 135s 222△△△△-=⨯--+-=，∴()6t 3tt6t 3t s v 2--=--==△△△△△△。
2. B 提示：∵()3R 34R V π=， ∴()()R V R R V y -+=△△()33R 34R R 34π-+π=△ ()()[]33223R 34R R R 3R R 3R 34π-+++π=△△△ ()()322R 34R R 4R R 4△△△π+π+π=，∵△R 是一个很小的量， ∴()2R △和（△R ）3非常小，∴R R 4y 2△△π≈。
3. C4. A5. 解：∵()()A x a f x a f lim0x =-+→-△△△， ∴()()A xa f x a f lim 0x =---→△△△（令x △-替换x △）， ∴()()x 2x a f x a f lim 0x △△△△⋅--+→- ()()()()x x a f a f lim 21x a f x a f lim 210x 0x △△△△△△--+-+=→→ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=→-x a f x a f lim A 210x △△△（当0x →△时，0x →-△） ()A A A 21=+=。
6. 解：当1t =时，2t 3s 2+=，()()()()232t 13t s t t s s 2+-++=-+=△△△()2t 3t 6△△+=，∴()()6t 36lim tt 3t 6lim t s lim v 0t 20t 0t =+=+==→→→△△△△△△△△△。
当3t =时，()23t 329s -+=，()()()()()222t 3333293t 3329t s t t s s △△△△=----++=-+=，∴()()0t 3lim t t 3lim t s lim v 0t 20t 0t ====→→→△△△△△△△△。
∴物体在1t =和3t =时的瞬时速度分别是6和0。
7. 4 提示：()()4tt 43t t 43lim t v lima 0t 0t =+-++==→→△△△△△△。
∴4a =。
8. C 9. 解：（1）将1x =代入曲线C 的方程，得1y =，∴切点的坐标为（1，1）。
∵()xx x x limy 330x △△△-+='→()2220x x 3x 3x x 3x lim =+⋅+=→△△△，∴3|y 1x ='=，∴过点（1，1）的切线的方程为()1x 31y -=-，即02y x 3=--。
（2）由⎩⎨⎧==--3xy 02y x 3，得2x 3x 3-= 整理得()()02x x 1x 2=-+-，解得1x =或2x -=。
从而获得切线与曲线的公共点为（1，1）和（-2，-8）。
说明切线与曲线C 的公共点除去切点外，还有一个公共点（-2，-8）提示：本例回答了一个问题：直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。
10. B11. 解：用曲线()t f 在0t 、1t 、2t 处的切线刻画曲线()t f 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况。
（1）当0t t =时，曲线()t f 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降。
（2）当1t t =时，曲线()t f 在1t 处的切线1l 的斜率()0t f 1<'，所以在1t t =附近曲线下降，即函数()t f 在1t t =附近单调递减。
（3）当2t t =时，曲线()t f 在2t 处的切线2l 的斜率()0t f 2<'，所以在2t t =附近曲线下降，即函数()t f 在2t t =附近也单调递减。
由图象可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，说明曲线()t f 在1t 附近比在2t 附近下降得缓慢。
（4）当2t =时，()02f =。
在2t =是的切线的斜率()2f k '=()()t2f t 2f lim0t △△△-+=→ ()()t88t 22t 24lim 20t △△△△+-+-+=→ t t 8t 2t 4lim 20t △△△△△--=→ ()44t 2lim 0t -=--=→△△。
所以切线的方程为()2x 4y --=。
即08y x 4=-+。
提示：导数的几何意义是曲线的切线斜率，反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判定斜率的符号即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况），同时可以根据几点处的切线倾斜程度的大小，判断曲线升降的快慢程度。
12. 解：在0t 处，虽然()()0201t W t W =，但()()()()tt t W t W t t t W t W 02020101△△△△--≤--，所以说，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一些。
13. 解：（1）∵1x 0≤≤时，()20x 80x f 2+=，15分钟=0.25小时，30分钟=0.5小时，∴沥青温度在15分钟和30分钟时的瞬时变化率就是函数()x f 在25.0x =处和5.0x =处的导数()25.0f '和()5.0f '，∵()()x25.0f x 25.0f x f △△△△-+= ()()x 2025.08020x 25.08022△△+⨯-++=()[]x 8040xx x 5.0802△△△△+=+=，∴()()40x 8040lim x flim 25.0f 0x 0x =+=='→→△△△△△，∵同理可得()xflim 5.0f 0x △△△→='()80x 8080lim 0x =+=→△△。