简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题

一．教学目标：

（1）能熟练的画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域

（2）了解线性规划中的基本概念

（3）能解决简单的线性规划问题

二．教学重点：理解线性规划的相关概念

三．教学难点:能解决简单的线性规划问题

四．教学方法：启发诱导式

五．教学过程：

一 上节知识回顾

（1）不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（B ） A .右上方 B .右下方 C .左上方 D .左下方

(2)已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值 范围为（ B ）

A ()24,7-

B ()7,24-

C ()(),724,-∞-⋃+∞

D ()(),247,-∞-⋃+∞

（3）画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的区域

二 简单的线性规划问题

例：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件 甲产品使用4个A 配件，耗时1小时，每生产一件乙产品使 用4个B 配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该工厂所 有可能的生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，

x

生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 解：设甲、乙两种产品分别生产x ，y 件，由已知条件可得二元一次

不等式组：28416412

00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，如图 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分的整点（坐 标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点(),P x y 在上 述平面区域中时，所安排的生产任务,x y 才有意义。

设工厂获得的利润为z ，则23z x y =+，把23z x y =+变形为

233z y x =-+, 当z 变化时，可以得到一组斜率为2

3-

的平行直线，z 的值随着该直 线纵截距3z 的增大而增大，由图可知，当直线

233z y x =-+经过直线 4x =与直线280x y +-=的交点()4,2M 时，截距3z

的值最大，最大值为 14

3，这时2314x y +=。所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时， 工厂可获最大利润14万元。

小结：1.本节重要概念：

约束条件：由变量,x y 组成的不等式组

线性约束条件：由变量,x y 的一次不等式（或方程）组成的 不等式（组）

目标函数：关于变量,x y 的函数解析式

280x y +-= 4x = y O 3y =

线性目标函数：关于,x y 一次函数解析式

可行解：满足线性约束条件的解(),x y 。

可行域：所有可行解组成的集合。

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或最小值问题。

2.解决线性规划问题的一般步骤：

（1）列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数；

（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（4）求：通过方程组求出最优解；

（5）答：作出答案。

例题变式：（1）若上例中的线性约束条件不变，将目标函数改为 “23z x y =-”试求z 的最大值

2）若上例中的线性约束条件不变，将目标函数改为 “2z x y =+”则z 取最大值时的最优解有（D ） A 1个 B 2个 C 0个 D 无数个

解析：（1）将23z x y =-变为233z y x =-，当z 变化时，233z y x =-是一组

斜率为23的直线，且z 的值随着该直线纵截距3z -的增大而

减小，由图知，当直线

233z y x =-经过直线4x =与x 轴的交

x O 点 时，截距3z -最小，此时z 最大，将40x y =⎧⎨=⎩代入

23z x y =-，得8z =，因此z 的最大值为8.

注意：1.线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取 得，也可在边界处取得，因此要注意比较目标函数对应 直线的斜率和边界直线对应的斜率的大小关系。

2.求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数z 的 值随着线性目标函数对应直线的纵截距的变化而怎样 变化。

三 练习：

1.已知1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求42x y -的取值范围

2.在如图所示的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数

z x a y =+取最小值的最优解有无数个，则

a 的一个可能值是 （ ） A 3- B 3 C 1- D 1

练习2变式：若目标函数z x ay =+仅在点()5,1处取得最大值， 求a 的取值范围 答案：1：[]2,6- 2：A 练习2变式：[)0,1

四．作业：1.课本91页1、2、3题； 2.预习课本89页例6. ()4,2C ()5,1B

()1,1A y

()4,0

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