2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试数学(理)试题(word)

理科数学试题及答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.若复数
112m i
i ++
+是实数，则实数m =（ ） A ．12 B ．1 C ．3
2
D ．2
2.若变量,x y 满足约束条件211y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A ．52-
B ．0
C ．53
D ．52
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别
为
18和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ） A ．110 B ．215 C ．16 D ．15
4.已知双曲线22
1x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12
PF PF +的值为（ ）
A ．
2 B ． C
．
．5.设12
3log 2,ln 2,5
a b c -===，则（ ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
6.执行如图所示的程序框图，若输中k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
A ．3?4S ≤
B ．11?12S ≤
C ．25?24S ≤
D ．137?120
S ≤ 7. ()()5
32x y x y -+的展开式中，4
2
x y 的系数为（ ）
A ．100
B ．120
C ．130
D ．150
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
9.动点(),A x y 在圆2
2
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，
点A 的坐标是12⎛ ⎝，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区
间是（ ）
A ．[]0,1
B ．[]1,7
C ．[]7,12
D ．[]0,1和[]7,12 10.已知命题1:p 设函数()()2
0f x ax bx c a =++>，且()12
a
f =-
，则()f x 在()0,2上必有零点；2:p 设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充分不必要条件． 则在命题
()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:p q p ∧⌝中，真命题是（ ）
A ．13,q q
B ．23,q q
C ．14,q q
D ．24,q q 11.在ABC ∆中，090C ∠=，M 是BC 的中点，若1
sin 3
BAM ∠=
，则sin BAC ∠=（ ）
A ．23
D 12.设直线l 与抛物线2
4y x =相交于,A B 两点，与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,4 C ．()2,3 D ．()2,4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.若向量,a b 满足：()
()(),2,a a b a a b b =+⊥+⊥，则b =_____________．
14.已知
()2
sin x dx π
ϕ-=
⎰
sin 2ϕ=____________． 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一球面上，若012,120AB AC AA BAC ===∠=，则该球的表面积等于___________． 16.已知函数()12
12
x f x ke x x -=-+
（k 为常数）
，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，则()f x 的单调递减区间为_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*112
1,n n n a a S n N n
++==∈． （1）证明：数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）
某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．
（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门
的概率；
（2）若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列及数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//,,1,2,AB DC AD DC AB AD DC SD E ⊥====为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．
（1）证明：2SE EB =；
（2）求二面角A DE C --的大小． 20.（本小题满分12分）
已知()()0,1,0,1A B -是椭圆2
212
x y +=的两个顶点，过其右焦点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，与y 轴交于P 点（异于,A B 两点），直线AC 与直线BD 交于Q 点．
（1时，求直线l 的方程； （2）求证：OP OQ
为定值．
21.（本小题满分12分）
（1）证明：当[]0,1x ∈
sin x x x ≤≤； （2）若不等式()2
2
22cos 42
x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O 和O ' 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C D 、两点，连结DB 并延长交O 于点E ，已知3AC BD ==．
（1）求AB AD 的值； （2）求线段AE 的长．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为152
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐标方程为ρθ=．
（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知0,0a b >>，函数()f x x a x b =-++的最小值为2． （1）求a b +的值；
（2）证明：22a a +>与22b b +>不可能同时成立．
参考答案
一、选择题
二、填空题
14. 9
16
15. 20π 16. (),0-∞ 三、解答题
17. 解：（1）由12n n n a S n ++=
，及11n n n a S S ++=-，得12
n n n n S S S n
++-=，
整理，得()121n n nS n S +=+，∴121n n S S n n +=+ ，又111
S
=， ∴n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1为首项，2为公比的等比数列．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1），得
12n n
S n
-=，∴()1*2n n S n n N -=∈ ， ∴01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ ，①
()12121222122n n n T n n -=⨯+⨯++-+ ，②
由②-①，得
()()2
1
121222
2212112n
n n
n n n T n n n --=-+++++=-+=-+- ．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18. 解：（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取
2
1045
⨯
=人． 记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则()343813
114
C P A C =-=．
故至少有一人来自甲部门的概率为
1314
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．
()()()()03122130646464643333101010101311
0,1,2,3301026
C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============，
∴X 的分布列为
∴()119
01233010265
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. 解：（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，则
()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C S ，∴()()()0,2,2,1,1,0,0,2,0SC BC DC =-=-=
．
设平面SBC 的法向量为(),,m a b c =，由,m m SC BC ⊥⊥ ，得0
m SC m BC ⎧=⎨=⎩
，
设平面EDC 的法向量(),,n x y z =，
由,n DE n DC ⊥⊥ ，得00
n DE n DC ⎧=⎨=⎩
，
∴2011120x y z y λλλλλ⎧++=⎪
+++⎨⎪=⎩
，取()2,0,n λ=-． 由平面EDC ⊥平面SBC ，得m n ⊥， ∴0m n = ，∴20λ-=，即2λ=．
故2SE EB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1），知222,,333E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴222,,333DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，242,,333EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，
∴0EC DE =
，∴EC DE ⊥．
取DE 的中点F ，则111,,333F ⎛⎫
⎪⎝⎭，∴211,,333FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，
∴0FA DE =
，∴FA DE ⊥．
∴向量FA 与EC
的夹角等于二面角A DE C --的平面角．
而1cos ,2FA EC FA EC FA EC
==-
，
故二面角A DE C --的大小为120°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20. 解：（1）由题设条件可知，直线l 的斜率一定存在，()1,0F ， 设直线l 的方程为()()101y k x k k =-≠≠±且，
由()22
112
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2222124220k x k x k +-+-=．
设()()1122,,D ,C x y x y ，则22121222
422
,1212k k x x x x k k -+==
++，
==．
=
，解得k = 故直线
l 的方程为)1y x =
-
或)1y x =-
， 即10x -
-=或10x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()()1122,,,y C x y D x ，()()0,1,0,1A B -，得 直线AC 的方程为1111y y x x -=
+，直线BD 的方程为22
1
1y y x x +=-， 联立两条直线方程并消去x ，得
()()
21121111x y y y x y --=
++． 由（1），知()()221122121222
422
1,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k
-=-=-+==++ ∴112112
122112
Q x y x y x x y x y x y x x ++-=
-++，
∴
()()()122112122112121212
221212222
11222442121212x y x y x x kx x kx x x x kx x k x x x x k k k k k x x x x k k k
++-=-+-+-=-++--=-+-=-+-+++ ，
()()()()122112122112
22112211222
11441212x y x y x x kx x kx x x x k k k x x x x k x x k x x k k -++=---++⎛⎫=-++=-+=--+- ⎪++⎝⎭
，
∴1Q y k =-
，∴1,Q Q x k ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，又()0,P k -， ∴()10,,1Q OP OQ k x k ⎛
⎫=--= ⎪⎝
⎭ ，
故OP OQ
为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. 解：（1）记(
)sin F x x x =，则(
)cos F x x '= 当0,
4x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0F x '>，()F x 在0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数； 当,14x π⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，()0F x <，()F x 在,14π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数． ∵()()00,10F F =>，∴当[]0,1x ∈时，()0F x ≥
，即sin x x ≥． 记()sin H x x x =-，则当()0,1x ∈时，()cos 10H x x '=-<，
∴()H x 在[]0,1上是减函数，∴()()00H x H ≤=，即sin x x ≤．
[]sin ,0,1x x x x ≤≤∈．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵当[]0,1x ∈时，
()()()()(
)()222
2
2
2
2
2
22cos 4242sin 222
24222x x x ax x x x a x x x x a x x x x a x ++++-=+++-+⎫≤+++-+=+⎪⎪⎭
∴当2a ≤-时，不等式()32
22cos 42
x ax x x x ++++≤，对[]0,1x ∈恒成立．
下面证明：
当2a >-时，不等式()3
2
22cos 42
x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈不恒成立．
()()()()()()()()332
2
2
2
3322
222cos 4242sin 222
242sin 222233222223x x x ax x x x a x x x x x x a x x x a x x a x x x x a ++++-=+++-+⎛⎫≥+++-+=+--
⎪⎝⎭⎡⎤
≥+-=--+⎢⎥
⎣⎦
∴存在()00,1x ∈（例如0x 取23a +和12
中的较小者）满足()3
2
0000022cos 402x ax x x x ++++->，
即当2a >-时，不等式()3
2
22cos 402x ax x x x ++++-≤对[]0,1x ∈不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22. 解：（1）∵AC 切O ' 于A ，∴CAB ADB ∠=∠，
同理ACB DAB ∠=∠，∴ACB DAB ∆∆ ， ∴AC AB AD BD
=，即AC BD AB AD = ． ∵3AC BD ==，∴9AB AD = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）∵AD 切O 于A ，∴AED BAD ∠=∠，
又ADE BDA ∠=∠，∴EAD ABD ∆∆ ， ∴AE AD AB BD
=，即AE BD AB AD = ， 由（1）可知，AC BD AB AD = ，
∴3AE AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23. 解：（1）由ρθ=，得2cos ρθ=，
从而有22x y +=，
∴(223x y +=．
∴曲线C 是圆心为)
的圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题设条件知，PQ QC PC +≥，当且仅当,,P Q C 三点共线时，等号成立，
，∴min min PQ PC =-．
设1,52P t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，又)C ，
== 当1t =时，PC 取得最小值，从而PQ 也取得最小值，
此时，点P 的直角坐标为92⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
- ………………………………………10分
24. 解：（1）∵0,0a b >>，
∴()()()f x x a x b x a x b a b a b a b =-++≥--+=--=+=+，
∴()min f x a b =+．
由题设条件知()min 2f x =，
∴2a b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）及基本不等式，得2a b ≤+=，∴1ab ≤．
假设22a a +>与22b b +>同时成立，
则由22a a +>及0a >，得1a >．
同理1b >，∴1ab >，这与1ab ≤矛盾．
故22a a +>与22b b +>不可能同时成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。