中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)第二篇 模型的估计和选择 【圣才出品】
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【 解 析 】 由 Nelson A alen 估 计 知 H（t0） 的 线 性 置 信 区 间 为
2 / 99
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（Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）），
2
即 Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 1.63 ， Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 2.55 。
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第二篇 模型的估计和选择
第 8 章 经验模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．在实验室对 8 只注射了致癌物的小白鼠进行右截断数据的死亡率研究，假设除了死 亡外，所有小白鼠不会退出研究，则有如下数据：
2
2
所以[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，解得：
2
2
Hˆ （t0）=2.09 。
[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，
2
2
解得：Biblioteka VarHˆ （t0）0.46 u
0.46 1.96
0.2347
。H（t0）的
95%对数转换的置信区间的
2
下限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
1.68
上限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
小， rj Pj 0.5Dj 0.5U j 表示在（c j , c j1) 上风险集的大小。如表 8-4 所示。
表 8-4
所以
q'
3 40
1
p4' 0
p4' 1 p4' 2
1
(1
0.002564)(1
0.004098)(1
0.0059)
0.0125
4．已知两个观察值：6，30。现采用核密度估计方法拟合上述分布，并且核函数为 Gamma（5,λ），其中λ使得 Gamma（α,λ）的均值对应相应的观察值，则 f（20）的核密 度估计值为（ ）。[2011 年秋季真题]
【解析】先计算风险集，如表 8-2 所示。
表 8-2
所以根据 Kaplan-Meier 乘积极限估计法有：
1
S
(t
)
6 1 5 66
5
6
4
2 4 0
5 12
t 24
24 t 42
，因此
42 t 60
t 60
0
e0
60 S(t)dt 241 (42 24) 5 (60 42) 5 45.5 。
p(yj )
x yj h 2h
j:y j 74
p(yj )
p(2)
p(4)
74 24
4
p(7)
7
2
7
4
4
p(8)
78 24
4
。
由题： f (2) 1 0.01, p(4) 1 0.01, p(7) 1 0.01, p(8) 2 0.02
0.5
204 e20/6 65 4!
0.015
。
5．在一项生存研究中，有如下数据： 表 8-5
假设累积分布函数 F（t）由核密度方法估计得到，其中核函数为均匀核函数，带宽为 4， 则 的值为（ ）。[2011 年秋季真题]
A．0.02750
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的密度为： kxi (x)
x 1ex/ ( )
，
所以 k6 (20)
204 e20/1.2 1.25 4!
, k30
(20)
204 e20/6 65 4!
。所以 f（20）的核密度估计值为
fˆ (20)
p(6)k6(20)
p(30)k30(20)
0.5
204 e20/1.2 1.25 4!
B．0.02875
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C．0.03125
D．0.03250
E．0.03375
【答案】C
【解析】对于均匀函数，分布函数的核密度函数估计为：
Fˆh (x)
j:xh y j xh
p(yj )
x yj 2h
h
j:y j xh
p(yj )
，
h=4,
因
此
Fˆh(7)
j:74 y j 74
2.60
3．在对 800 个恰好 40 岁的人开展的死亡研究中，已知如下数据： 表 8-3
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假设每年新加入研究的人数和退出研究的人数均服从均匀分布，则采用大样本数据集的
Kaplan-Meier 近似， A．0.0122
A．0.012
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B．0.013
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C．0.014
D．0.015
E．0.016
【答案】D
【 解 析 】 由 题 ， p(6) p(30) 0.5 。 由 Gamma 函 数 的 均 值 有 ：
EX 1 51 6, EX 2 52 30 ，所以 1 1.2,2 6 。又因为 Gamma 核函数
0
6
12
2．在某生存研究中，累积危险率函数 H（t0）的 95%线性置信区间为（1.63，2.55）， 则 H（t0）的 95%对数转换的置信区间为（ ）。[2011 年秋季真题]
A．（0.49,0.94） B．（0.84,3.34） C．（1.58,2.62） D．（1.68,2.50） E．（1.68,2.60） 【答案】E
的估计值为（ ）。[2011 年秋季真题]
B．0.0123
C．0.0124
D．0.0125
E．0.0126.
【答案】D
【解析】由 Kaplan-Meier 近似，D j 是区间[c j , c j1) 中左截断点的观测值个数，U j 是
j
区间（c j , c j1] 上右删失的观测值个数。 Pj (Di X i Ui ) ，表示在 c j 时刻风险集的大 i1
表 8-1
假设生存分布函数 S（t）由 Kaplan-Meier 乘积极限估计法得出，则 的估计值为 （ ）。[2011 年秋季真题]
A．44.5 B．45.5 C．46.5 D．47.5 E．48.5
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【答案】B
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【 解 析 】 由 Nelson A alen 估 计 知 H（t0） 的 线 性 置 信 区 间 为
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（Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）），
2
即 Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 1.63 ， Hˆ （t0） u VarHˆ （t0） 2.55 。
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第二篇 模型的估计和选择
第 8 章 经验模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．在实验室对 8 只注射了致癌物的小白鼠进行右截断数据的死亡率研究，假设除了死 亡外，所有小白鼠不会退出研究，则有如下数据：
2
2
所以[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，解得：
2
2
Hˆ （t0）=2.09 。
[Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] [Hˆ （t0） u VarHˆ （t0）] 1.63 2.55 ，
2
2
解得：Biblioteka VarHˆ （t0）0.46 u
0.46 1.96
0.2347
。H（t0）的
95%对数转换的置信区间的
2
下限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
1.68
上限为
Hˆ （t0）exp{u VarHˆ （t0）/Hˆ （t0）}
2
=2.09e1.960.2347/2.09
小， rj Pj 0.5Dj 0.5U j 表示在（c j , c j1) 上风险集的大小。如表 8-4 所示。
表 8-4
所以
q'
3 40
1
p4' 0
p4' 1 p4' 2
1
(1
0.002564)(1
0.004098)(1
0.0059)
0.0125
4．已知两个观察值：6，30。现采用核密度估计方法拟合上述分布，并且核函数为 Gamma（5,λ），其中λ使得 Gamma（α,λ）的均值对应相应的观察值，则 f（20）的核密 度估计值为（ ）。[2011 年秋季真题]
【解析】先计算风险集，如表 8-2 所示。
表 8-2
所以根据 Kaplan-Meier 乘积极限估计法有：
1
S
(t
)
6 1 5 66
5
6
4
2 4 0
5 12
t 24
24 t 42
，因此
42 t 60
t 60
0
e0
60 S(t)dt 241 (42 24) 5 (60 42) 5 45.5 。
p(yj )
x yj h 2h
j:y j 74
p(yj )
p(2)
p(4)
74 24
4
p(7)
7
2
7
4
4
p(8)
78 24
4
。
由题： f (2) 1 0.01, p(4) 1 0.01, p(7) 1 0.01, p(8) 2 0.02
0.5
204 e20/6 65 4!
0.015
。
5．在一项生存研究中，有如下数据： 表 8-5
假设累积分布函数 F（t）由核密度方法估计得到，其中核函数为均匀核函数，带宽为 4， 则 的值为（ ）。[2011 年秋季真题]
A．0.02750
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的密度为： kxi (x)
x 1ex/ ( )
，
所以 k6 (20)
204 e20/1.2 1.25 4!
, k30
(20)
204 e20/6 65 4!
。所以 f（20）的核密度估计值为
fˆ (20)
p(6)k6(20)
p(30)k30(20)
0.5
204 e20/1.2 1.25 4!
B．0.02875
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C．0.03125
D．0.03250
E．0.03375
【答案】C
【解析】对于均匀函数，分布函数的核密度函数估计为：
Fˆh (x)
j:xh y j xh
p(yj )
x yj 2h
h
j:y j xh
p(yj )
，
h=4,
因
此
Fˆh(7)
j:74 y j 74
2.60
3．在对 800 个恰好 40 岁的人开展的死亡研究中，已知如下数据： 表 8-3
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假设每年新加入研究的人数和退出研究的人数均服从均匀分布，则采用大样本数据集的
Kaplan-Meier 近似， A．0.0122
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B．0.013
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C．0.014
D．0.015
E．0.016
【答案】D
【 解 析 】 由 题 ， p(6) p(30) 0.5 。 由 Gamma 函 数 的 均 值 有 ：
EX 1 51 6, EX 2 52 30 ，所以 1 1.2,2 6 。又因为 Gamma 核函数
0
6
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2．在某生存研究中，累积危险率函数 H（t0）的 95%线性置信区间为（1.63，2.55）， 则 H（t0）的 95%对数转换的置信区间为（ ）。[2011 年秋季真题]
A．（0.49,0.94） B．（0.84,3.34） C．（1.58,2.62） D．（1.68,2.50） E．（1.68,2.60） 【答案】E
的估计值为（ ）。[2011 年秋季真题]
B．0.0123
C．0.0124
D．0.0125
E．0.0126.
【答案】D
【解析】由 Kaplan-Meier 近似，D j 是区间[c j , c j1) 中左截断点的观测值个数，U j 是
j
区间（c j , c j1] 上右删失的观测值个数。 Pj (Di X i Ui ) ，表示在 c j 时刻风险集的大 i1
表 8-1
假设生存分布函数 S（t）由 Kaplan-Meier 乘积极限估计法得出，则 的估计值为 （ ）。[2011 年秋季真题]
A．44.5 B．45.5 C．46.5 D．47.5 E．48.5
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【答案】B
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