刘鸿文版材料力学课件全套2

满足强度要求
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求 它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1 Wt [ ]
T2


16
D13 [ ]

16
3
D (1 )[ ]
§3.3 纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律

在切应力的作用下， τ 单元体的直角将发生微小 的改变，这个改变量 称 G — 剪切弹性模量(GN/m2) 为切应变。 各向同性材料， 当切应力不超过材料 三个弹性常数之间的 的剪切比例极限时，切应 关系： 变与切应力τ成正比， E 这个关系称为剪切胡克定 G 律。
'
§3.5
圆轴扭转时的变形
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
扭转强度条件 T max [ ] Wt 1 3 Wt D 16
扭转刚度条件 T ' max [ ' ] GI p
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
C
M e2
d2
B M e3
3.直径d1的选取
按强度条件
max
3
16T 3 d1
3
16T 16 7640 3 d1 82 . 2 10 m 82.2mm 6 π[ ] π 7010 32T 180 max 按刚度条件 4 Gd1
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确 定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P 7.5 M x T 9549 9549 716.2N m n 100 T 16T 实心轴 max1 3 40MPa WP1 πd1
32T 180 32 7640 180 3 d1 86 . 4 10 m 86.4mm 2 9 2 Gπ [ ] 80 10 π 1
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
p q
Me
_扭转角（rad）

p p
d

x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角 边缘上a点的错动距离：
q q
aa Rd dx
'
a
d
O
边缘上a点的切应变：
c p
a' b
b′
R
q
d R dx
发生在垂直于半径的平面内。
dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
Tmax ( )max Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件的应用
（1）校核强度
max
max
Tmax Wt Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
Wt

（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用 时的最大扭矩T=1930N· m,[]=70MPa.校核此轴 的强度。
p
d

d
q
R


d
a e
d
c p
O a ' e′ b
b′
R
q
dx
距圆心为的圆周上e点的错动距离： 距圆心为处的切应变：
dx
d dx
—扭转角
沿 x轴的变化率。
d dx
cc d dx
'
也发生在垂直于
半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
3
3、计算各轴的横截面上的 最大切应力；校核各轴 强度
T1 16 1114 max E Pa 16.54MPa 3 -9 Wt1 π 70 10 T2 16 557 max H Pa 22.69MPa 3 -9 Wt 2 π 50 10 T3 16 185.7 max C Pa 21.98MPa 3 -9 Wt 3 π 35 10
A
d G dx

A
2 dA
Ip

A
I dA p
2
横截面对形心的极惯性矩
d T GI p dx
d G dx
T Ip
§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于： 1）圆杆 2）
max p
横截面上某点的切应力的方向与扭 矩方向相同，并垂直于半径。切应力的 大小与其和圆心的距离成正比。
3 4
16
(90)3 (1 0.9444 )[ ]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D (90) (1 0.944 )
3 1 4
D1 53.1mm 0.0531m
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4

(0.0531) 2
4
22.2 104 m2
二、切应力互等定理
由平衡方程
Me 2 r r
，得 0 M
z
Me 2 r 2
'
§3.3 纯剪切
切应力互等定理：
纯剪切
在相互垂直 的两个平面上， 切应力必然成对 存在，且数值相 等；两者都垂直 于两个平面的交 线，方向则共同 指向或共同背离 这一交线。
各个截面上只有切应 力没有正应力的情况称为 纯剪切
解：（1）计算抗扭截面模量
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3

（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ] 70MPa
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt I p / R
1 D3 16
Wt I p /( D / 2)
§3.4 圆轴扭转时的应力 扭转强度条件：
1.
max
Tmax Wt
2.
等截面圆轴：
阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
B
C
D
A
T3 M A 1432N m
T3
MA
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
A
318N.m 795N.m 1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
Ip
1 4 D 32
§3.5
例题3.6
圆轴扭转时的变形
某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材料的[τ]=40MPa， 剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转角[φ/]=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚 度。
max
T Wt
§3.5
例题3.7
圆轴扭转时的变形
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m， G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T 16T 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1


16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
T1=M1=1114 N m T2=M2=557 Nm
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
T3=M3=185.7 N m z1 36 n3＝n1 ＝120 r/min＝360r/min z3 12
§3.4 圆轴扭转时的应力
A2

4
(D d )
2 2

4
[(90 103 ) 2 (85 103 ) 2 ] 6.87 104 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面 积之比。
A2 6.87 104 0.31 4 A1 22.2 10
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
满足强度要求。
§3.5
圆轴扭转时的变形 i 1 GI Pi
§3.5
圆轴扭转时的变形
单位长度扭转角
d T dx GI p T 180 ' GI p
'
rad/m
⁰/m
扭转刚度条件
max [ ]
' '
[ ]许用单位扭转角
max
令