中考数学压轴题黄金夺冠三十三

中考数学压轴题黄金夺冠三十三

函数与动点综合问题

5.（2019•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（1，0），与

y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P 的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l 左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式．

解：（1）抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和B（1，0）

∴交点式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）

∴抛物线的表示式为y＝﹣x2﹣x+2

（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小．

如图1，延长CA到C'，使AC'＝AC，连接BC'，BC'与AD交点即为满足条件的点H ∵x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2

∴C（0，2）

∴OA＝OC＝2

∴∠CAO＝45°，直线AC解析式为y＝x+2

∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD

∴∠CAD＝90°

∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45°

∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2

∵AC'＝AC，AD⊥CC'

∴C'（﹣4，﹣2），AD垂直平分CC'

∴CH＝C'H

∴当C'、H、B在同一直线上时，C△CHB＝CH+BH+BC＝C'H+BH+BC＝BC'+BC最小

设直线BC'解析式为y＝kx+a

∴解得：

∴直线BC'：y＝x﹣

∵解得：

∴点H坐标为（﹣，﹣）

（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+

∴抛物线顶点Q（﹣，）

①当﹣2＜t≤﹣时，如图2，直线l与线段AQ相交于点F

设直线AQ解析式为y＝mx+n

∴解得：

∴直线AQ：y＝x+3

∵点P横坐标为t，PF⊥x轴于点E

∴F（t，t+3）

∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝t+3

∴S＝S△AEF＝AE•EF＝（t+2）（t+3）＝t2+3t+3

②当﹣＜t≤0时，如图3，直线l与线段QC相交于点G，过点Q作QM⊥x轴于M ∴AM＝﹣﹣（﹣2）＝，QM＝

∴S△AQM＝AM•QM＝

设直线CQ解析式为y＝qx+2

把点Q代入：﹣q+2＝，解得：q＝﹣

∴直线CQ：y＝﹣x+2

∴G（t，﹣t+2）

∴EM＝t﹣（﹣）＝t+，GE＝﹣t+2

∴S梯形MEGQ＝（QM+GE）•ME＝（﹣t+2）（t+）＝﹣t2+2t+

∴S＝S△AQM+S梯形MEGQ＝+（﹣t2+2t+）＝﹣t2+2t+

③当0＜t＜1时，如图4，直线l与线段BC相交于点N

设直线BC解析式为y＝rx+2

把点B代入：r+2＝0，解得：r＝﹣2

∴直线BC：y＝﹣2x+2

∴N（t，﹣2t+2）

∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2

∴S△BEN＝BE•NE＝（1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1

∵S梯形MOCQ＝（QM+CO）•OM＝×（+2）×＝，S△BOC＝BO•CO＝×1×2＝1 ∴S＝S△AQM+S梯形MOCQ+S△BOC﹣S△BEN＝++1﹣（t2﹣2t+1）＝﹣t2+2t+

综上所述，S＝

6.（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），

A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．

（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；

（2）当PQ＝3时，求t的值；

（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．

解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．

当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），

∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，

∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，

∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．

故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．

（2）当PQ＝3时，25t2﹣80t+100＝（3）2，

整理，得：5t2﹣16t+11＝0，

解得：t1＝1，t2＝．

（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．

连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．

∵OC＝6，BC＝8，

∴OB＝＝10．

∵BQ∥OP，

∴△BDQ∽△ODP，

∴＝＝＝，

∴OD＝6．

∵CB∥OA，

∴∠DOF＝∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC＝＝＝，cos∠OBC＝＝＝，

∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝，

∴点D的坐标为（，），

∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为×＝．

7.（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C

（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；

（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；