【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练3

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练3

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．

1．函数f (x )＝

2

3x

＋1

＋a 的零点为1，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－12 C.1

2 D ．2

解析 由已知得f (1)＝0，即231

＋1＋a ＝0，解得a ＝－1

2

.故选B. 答案 B

2．已知a 是函数f (x )＝2x

－log 12 x 的零点，若0

A ．f (x 0)＝0

B ．f (x 0)<0

C ．f (x 0)>0

D ．f (x 0)的符号不确定

解析 分别作出y ＝2x 与y ＝log 12 x 的图象如图所示，当0

的图象在y ＝log 12

x 图象的下方，所以f (x 0)<0.故选B.

答案 B

3．函数f (x )＝2x

－x －2的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析 由f (0)＝20

－0－2<0，f (1)＝2－1－2<0，f (2)＝22

－2－2>0，根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.

答案 B

4．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2

的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )

A ．[15,20]

B ．[12,25]

C ．[10,30]

D ．[20,30]

解析 如图所示，过A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于N ；AM ＝40. 由相似三角形得：DE BC ＝

x 40＝AD AB ＝AN AM ＝AN

40

.

解得AN ＝x ，MN ＝40－x ，则阴影部分的面积为S ＝x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C

答案 C

5．(2012·湖北卷)函数f (x )＝x cos x 2

在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

解析 令f (x )＝x cos x 2＝0可得，x ＝0或cos x 2＝0，故x ＝0或x 2

＝k π＋π2，k ∈Z .

又x ∈[0,4]，则x 2

∈[0,16]，则k ＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个

数为6.

答案 C

6．(2013·安徽卷)若函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2

＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析 由f ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，

即3(f (x ))2

＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示．

由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解， 因此3(f (x ))2

＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3. 答案 A

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________．

解析 根据已知条件设y ＝

200×7%＋x ·4%

200＋x

×100%，令5%

x )·5%<200×7%＋x ·4%<(200＋x )·6%，解得100

答案 (100,400)

8．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线x ＝ay 2

的焦点的横坐标，则a ＝________.

解析 令f (x )＝log 2(x ＋1)－1＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1，于是抛物线x ＝ay 2

的焦点的坐标是(1,0)，因为x ＝ay 2

可化为y 2

＝1

a x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧

1a >0，1

4a ＝1，

解得a ＝1

4

.

答案 14

9．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．

解析 g (x )的零点个数不为零，即f (x )图象与直线y ＝a 的交点个数不为零，画出f (x )的图象可知，a 的最小值为1.

答案 1

三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；

(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.

(2)依题意，f (x )＝ax 2

＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2

－4a (b －1)>0恒成立，

即对于任意b ∈R ，b 2

－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2

－4(4a )<0⇒a 2

－a <0，所以0

11．(本小题10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；

(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值． (精确到1辆/时)

解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .

再由已知得⎩⎪⎨

⎪⎧

200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－1

3

，

b ＝200

3

.

故函数v (x )的表达式为